Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Конформные отображения и их свойства

Конформные отображения и их свойства


Геометрические свойства конформных отображений


Рассмотрим подробнее геометрические свойства конформных отображений с помощью аналитических функций.


Исследование геометрического смысла модуля и аргумента производной аналитической функции показало, что отображение с помощью аналитической функции является конформным в любой точке [math]z_0[/math] аналитичности функции, где выполняется условие [math]f'(z_0)\ne0[/math]. По определению конформного отображения оно обладает в такой точке свойствами сохранения углов и постоянства растяжения.


Взаимно однозначное в конечной области [math]D[/math] отображение, т.е. отображение, осуществляемое однолистной функцией, конформное в каждой точке области, называется конформным в области [math]D[/math].


Можно показать, что условие [math]f'(z)\ne0,~ z\in D[/math] является следствием (необходимым условием) однолистности функции [math]w=f(z)[/math] в [math]D[/math]. Действительно, отображение [math]w=f(z)[/math] можно записать в виде, где [math]u=\operatorname{Re}f(z),~ v=\operatorname{Im}f(z)[/math]


[math]\begin{cases}u=u(x,y),\\ v=v(x,y),\end{cases}(x,y)\in D.[/math]
(2.32)

Из свойств отображения (2.32), изучаемого в действительном анализе, известно, что условием его взаимной однозначности в [math]D[/math] является условие [math]I(x,y)\ne0,~ (x,y)\in D[/math], где [math]I(x,y)[/math] — якобиан отображения, определяемый равенством


[math]I(x,y)= \begin{vmatrix}~\dfrac{\partial u}{\partial x}& \dfrac{\partial u}{\partial y}~\\[9pt] ~\dfrac{\partial v}{\partial x}& \dfrac{\partial v}{\partial y}~\end{vmatrix}.[/math]

Отображение (2.32), удовлетворяющее условию [math]I(x,y)\ne0,~ (x,y)\in D[/math], обладает в [math]D[/math] следующими свойствами: переводит внутреннюю точку во внутреннюю, граничную — в граничную.


Для функции [math]w=f(z)[/math], аналитической в [math]D[/math], условие [math]I(x,y)\ne0[/math] в силу условий Коши-Римана принимает вид


[math]I(x,y)= \begin{vmatrix}~\dfrac{\partial u}{\partial x}& -\dfrac{\partial v}{\partial x}~\\[9pt] ~\dfrac{\partial v}{\partial x}& \dfrac{\partial u}{\partial x}~\end{vmatrix}\ne0[/math]

или, раскрывая определитель, [math]\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2\ne0[/math]. Это последнее условие означает, что [math]|f'(z)|\ne0[/math], так как производная аналитической функции [math]f(z)=u+iv[/math] может быть записана в виде [math]f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\,\frac{\partial v}{\partial x}[/math].




Утверждение 2.15. Отображение с помощью аналитической, однолистной в конечной области [math]D[/math] функции является конформным в [math]D[/math].


Если функция [math]w=f(z)[/math], аналитическая в [math]D[/math], осуществляет взаимно однозначное отображение, то точки [math]w[/math] называются образами точек [math]z[/math], а точки [math]z[/math] — прообразами. В силу свойств взаимно однозначного отображения образом области [math]D[/math] как открытого множества, состоящего из внутренних точек, является область [math]G[/math], а образом кривой [math]\gamma[/math] — границы области [math]D~ (\gamma=\delta D)[/math] — является кривая [math]\Gamma[/math] — граница области [math]G~(\Gamma=\delta G)[/math].


В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи. Первая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении — прямая задача. Вторая — заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую заданную линию или область — обратная задача.


При решении прямой задачи учитывается, что образом точки [math]z_0[/math] при отображении [math]w=f(z)[/math] является точка [math]w_0[/math], такая, что [math]w_0=f(z_0)[/math], т.е. результат подстановки значения [math]z_0[/math] в [math]f(z)[/math]. Поэтому для нахождения образа множества нужно решить систему, состоящую из двух соотношений. Одно из них задает отображающую функцию [math]w=f(z)[/math], другое — уравнение линии, если решается задача нахождения образа линии, или неравенство, определяющее множество точек прообраза, если решается задача отображения областей. В обоих случаях процедура решения сводится к исключению переменной [math]z[/math] из двух заданных соотношений.


Рассмотрим подробнее задачу отображения линии. Чтобы исключить [math]z[/math] из заданных соотношений, следует выразить [math]z[/math] из первого уравнения и подставить во второе, либо наоборот.


Если уравнение линии задано в параметрической форме: [math]\begin{cases}x=x(t),\\ y=y(t), \end{cases}t\in T[/math], то, записав уравнение [math]z=z(t)[/math] и подставив его в отображающую функцию [math]w=f(z)[/math], получим соотношение, содержащее параметр [math]t[/math] и связывающее координаты точек, принадлежащих соответствующему образу, т.е. уравнение образа данной линии.


Если линия задана уравнением [math]F(x,y)=0[/math], что в комплексной форме соответствует равенству [math]F\!\left(\frac{z+\overline{z}}{2},\, \frac{z-\overline{z}}{2i}\right)=0[/math], то в последнее соотношение подставляются [math]z[/math] и [math]\overline{z}[/math], полученные из [math]w=f(z)[/math], то есть [math]z=f^{-1}(w)[/math] и [math]\overline{z}= \overline{f^{-1}(w)}[/math]. В результате получаем соотношение [math]\Phi(w,\overline{w})=0[/math], или после подстановки [math]w=u+iv,~ \overline{w}=u-iv\colon\, \varphi(u,v)=0[/math]. Это соотношение будет искомым уравнением образа.


Таким же методом можно решить задачу отображения области. Для этого в неравенство, определяющее заданную область, следует подставить [math]z[/math], полученное из отображающей функции [math]w=f(z)[/math].


Можно решать эту задачу иначе. Известно, что любая замкнутая кривая разбивает плоскость на две области. По свойству конформного отображения граница области переходит в границу, а любая внутренняя точка во внутреннюю. Поэтому для нахождения образа области достаточно найти образ ее границы, а затем по соответствию пары внутренних точек определить, какая из двух областей, имеющих полученную линию своей границей, является искомой.


Результаты приведенных рассуждений сформулируем в виде правил решения прямой задачи для линии и области соответственно.




Правило 2.4. Для нахождения образа данной линии при отображении [math]w=f(z)[/math] необходимо:


1. Записать уравнение линии в параметрической форме [math]z=z(t)[/math] или в комплексной форме [math]F\!\left(\frac{z+\overline{z}}{2},\, \frac{z-\overline{z}}{2i}\right)=0[/math].


2. В зависимости от вида уравнения линии, заданного или выбранного в п.1, рассмотреть соответствующий случай:


– если линия задана в параметрической форме, подставить выражение [math]z(t)[/math] в [math]w=f(z)[/math]. Полученное соотношение [math]w=f(z(t))[/math] — уравнение образа линии [math]z=z(t)[/math] при отображении [math]w=f(z)[/math];

– если линия задана в комплексной форме, то выразить [math]z[/math] из [math]w=f(z)[/math], то есть [math]z=f^{-1}(w)[/math], и найти [math]\overline{z}= \overline{f^{-1}(w)}[/math]. Затем следует подставить [math]z[/math] и [math]\overline{z}[/math] в уравнение линии. Полученное соотношение — уравнение образа данной линии.




Правило 2.5. Для нахождения образа данной области следует воспользоваться одним из двух способов.


Первый способ.

1. Записать уравнение границы заданной области.

2. Найти образ границы заданной области по правилу 2.4.

3. Выбрать произвольную внутреннюю точку заданной области и найти ее образ при заданном отображении. Область, которой принадлежит полученная точка, является искомым образом заданной области.


Второй способ.

1. Выразить z из соотношения [math]w=f(z)[/math].

2. Подставить полученное в п.1 выражение [math]z=f^{-1}(w)[/math] в неравенство, определяющее заданную область. Полученное соотношение — искомый образ.


Замечания 2.9

1. На практике при нахождении образов с помощью отображений [math]w=\frac{az+ b}{cz+d},[/math] [math]w=z^n,~ w=e^z[/math] и других используются свойства этих отображений, например круговое свойство дробно-линейного отображения или свойство функции [math]w=z^n[/math] увеличивать углы в [math]n[/math] раз.


2. При решении обратной задачи используются свойства простейших отображений и некоторый набор известных отображений — "таблица" отображений.


Далее в лекции рассмотрим отображения с помощью простейших функций.




Линейное отображение на комплексной плоскости


Линейная функция [math]w=az+b[/math], где [math]a[/math] и [math]b[/math] — любые комплексные числа, [math]a\ne0[/math], определена в [math]\mathbb{C}[/math], а если положить [math]w(\infty)=\infty[/math], то в [math]\overline{\mathbb{C}}[/math]. Отображение является однолистным в [math]\mathbb{C}[/math], что вытекает из равенства [math]w_1-w_2= a(z_1-z_2)[/math], так как при [math]a\ne0[/math] из условия [math]z_1\ne z_2[/math] следует [math]w_1\ne w_2[/math] (см. также пример 2.4).


Функция является аналитической в [math]\mathbb{C}[/math]. Исходя из сказанного заключаем, что линейное отображение является конформным всюду в [math]\mathbb{C}[/math].


Выясним геометрический смысл линейного отображения на комплексной плоскости. Для этого запишем параметр [math]a[/math] в показательной форме: [math]a=|a|\cdot e^{ia}[/math] и рассмотрим следующие частные случаи отображения как составляющие:


[math]w_1=|a|\cdot z,\qquad w_2=e^{i\,a}\cdot w_1,\qquad w=w_2+b.[/math]

Первому из этих отображений соответствует изменение длины радиуса-вектора любой точки в [math]|a|[/math] раз, а именно растяжение, если [math]|a|>1[/math], и сжатие при [math]|a|<1[/math]. Это следует из соотношений [math]|w_1|=|a|\cdot|z|,~ \arg w_1=\arg z[/math].


Для второго отображения из соотношений [math]|w_1|=|w_2|,~ \arg w_2=\arg w_1+\alpha[/math]получаем, что оно определяет преобразование поворота — радиус-вектор любой точки [math]w_1[/math] поворачивается относительно начала координат на угол а по часовой стрелке, если [math]\alpha>0[/math], и против — если [math]\alpha<0[/math].


Геометрический смысл отображения [math]w=w_2+b[/math] получается из геометрического смысла сложения комплексных чисел, как векторов, или, что то же, из соотношений [math]\operatorname{Re}w= \operatorname{Re}w_2+ \operatorname{Re}b,[/math] [math]\operatorname{Im}w= \operatorname{Im}w_2+ \operatorname{Im}b[/math]. Отображение [math]w=w_1+b[/math] есть параллельный перенос радиуса-вектора любой точки [math]w_2[/math] в направлении вектора [math]b[/math] на его величину.


На рис. 2.18 проиллюстрированы операции, соответствующие всем рассмотренным отображениям; для наглядности все плоскости [math](z,w_1,w_2,w)[/math] совмещены (совмещены их действительные и мнимые оси).


Представляя линейное отображение [math]w=az+b[/math] как суперпозицию рассмотренных отображений, можно сформулировать утверждение.




Утверждение 2.16


1. Отображение [math]w=az+b[/math] геометрически сводится к последовательному выполнению над радиусом-вектором любой точки плоскости z следующих операций: растяжению (сжатию) в [math]|a|[/math] раз, повороту на угол [math]\alpha=\arg a[/math] и смещению (параллельному переносу) в направлении вектора [math]b[/math] на величину [math]|b|[/math].


2. Отображение [math]w=az+b[/math] изменяет линейные размеры любой фигуры плоскости в [math]|a|[/math] раз (гомотетия — подобие с центром в начале координат и коэффициентом подобия [math]k=|a|[/math]), поворачивает эту фигуру на угол [math]\alpha=\arg a[/math] вокруг начала координат и смещает ее в направлении вектора [math]b[/math] на его величину (рис. 2.19).


3. Линейное отображение обладает круговым свойством, т.е. переводит окружности плоскости [math]z[/math] в окружности плоскости [math]w[/math] (и обратно); прямые переводит в прямые.


Справедливость последнего утверждения следует из геометрических свойств соста

вляющих, так как они, очевидно, обладают круговым свойством. Оно также может быть доказано аналитически.

А именно запишем в комплексной форме уравнение прообраза — окружности в плоскости [math]z[/math] (см. пример 1.27):


[math]A\cdot z\cdot \overline{z}+ M\cdot \overline{z}+ \overline{M}\cdot z+D=0\quad (A,D\in \mathbb{R})[/math]

и подставим в него выражение для [math]z[/math], полученное из [math]w=az+b[/math], то есть [math]z=\frac{w-b}{a}[/math]. Будем иметь


[math]A(w-b)(\overline{w}-\overline{b})+ M(\overline{w}-\overline{b})a+ \overline{M}(w-b)\overline{a}+ Da \overline{a}=0[/math]

или после преобразований: [math]Aw \overline{w}+ \overline{N}w+ N \overline{w}+L=0[/math], где [math]A,L\in \mathbb{R}~ (L=Da \overline{a})[/math]. А это и есть уравнение окружности в плоскости [math]w[/math].


При [math]A=0[/math] и прообраз, и образ определяют прямые.


Заметим, что доказательство можно рассматривать как пример решения прямой задачи — найти образ окружности (прямой) при линейном отображении и убедиться, что это — окружность (прямая) (см. правило 2.4).


Если использовать уравнение прообраза в виде [math]|z-z_0|=r[/math] (см. правило 2.4), после подстановки [math]z=\frac{w-b}{a}[/math] получим [math]|w-(az_0+b)|=|a|r[/math], т.е. образом центра данной окружности при линейном отображении является центр [math]w_0=az_0+b[/math] её образа — центр отображается в центр.


▼ Примеры 2.54-2.62 задач на линейные отображения

Пример 2.54. Найти образ отрезка [math]AB[/math], где [math]A(1+i),~ B(4+i)[/math], при отображении [math]w=2iz-3i[/math] (рис. 2.20).


▼ Решение

Для решения используем круговое свойство, согласно которому образом прямой при линейном отображении является прямая. А так как прямая определяется двумя точками, то достаточно найти образы концов отрезка. Точке [math]A(1+i)[/math] соответствует точка [math]A'[/math], для которой [math]w=2i(1+i)-3i=-2-i[/math], а точке [math]B[/math] -точка [math]B'(-2+5i)[/math]. Образом отрезка [math]AB[/math] будет отрезок [math]A'B'[/math] (рис. 2.20).


Используя геометрический смысл составляющих линейного отображения, можно проиллюстрировать этапы решения геометрически. Запишем составляющие:


[math]w_1=2z,\qquad w_2=i\,w_1,\qquad w=w_2-3i.[/math]

Образом отрезка [math]AB[/math] при отображении [math]w_1=2z[/math] будет отрезок [math]A_1B_1[/math], который получается из [math]AB[/math] гомотетией с центром в начале координат и коэффициентом [math]k=2[/math] (растяжение радиуса-вектора любой точки в два раза).


Далее, образом отрезка [math]A_1B_1[/math] при отображении [math]w_2=iw_1[/math] будет отрезок [math]A_2B_2[/math], который получается из [math]A_1B_1[/math] поворотом относительно начала координат на угол [math]\alpha= \arg i=\frac{\pi}{2}[/math]. Наконец, отрезок [math]A'B'[/math] получается из [math]A_2B_2[/math] при отображении [math]w=w_2-3i[/math] смещением на 3 единицы вниз. Все этапы построения показаны на рис. 2.20.


Пример 2.55. Найти образ окружности [math]|z|=1[/math] при отображении [math]w=2iz-3i[/math].


▼ Решение

Первый способ. Приведем решение согласно правилу 2.4.


1. Уравнение данной окружности задано в комплексной форме: [math]|z|=1[/math].


2. Выражаем [math]z[/math] из [math]w=2iz-3i[/math], то есть [math]z=\frac{w+3i}{2i}[/math], и подставляем полученное выражение для [math]z[/math] в уравнение [math]|z|=1\colon[/math]

[math]\left|\frac{w+3i}{2}\right|=1[/math], или [math]|w+3i|=2[/math].

Второй способ. Как и в предыдущем примере, используем круговое свойство. Образом данной окружности будет окружность, радиус которой равен [math]|a|\cdot r=2[/math], а центром является образ точки [math]z_0=0[/math], то есть [math]w_0=-3i[/math]. Следовательно, искомый образ — окружность [math]|w+3i|=2[/math].


Выделив составляющие отображения: [math]w_1=2z,~ w_2=iw_1,~ w=w_2-3i[/math], можно получить геометрическое решение.


Пример 2.56. Найти образ окружности: a) [math]|z|=1[/math]; б) [math]|z-1|=1[/math] при отображении [math]w=2z[/math].


▼ Решение

а) Так как [math]|w|=2|z|[/math] и [math]|z|=1[/math], то образом окружности [math]|z|=1[/math] является окружность [math]|w|=2[/math].


б) Решаем в соответствии с правилом 2.4.


1. Уравнение окружности задано в комплексной форме [math]|z-1|=1[/math].


2. Выражаем [math]z[/math] из [math]w=2z[/math] и подставляем полученное выражение [math]z=\frac{w}{2}[/math] в уравнение [math]|z-1|=1\colon\, \left|\frac{w-2}{2}\right|=1[/math], то есть [math]|w-2|=2[/math]. Образом окружности [math]|z-1|=1[/math] является окружность [math]|w-2|=2[/math]. На рис. 2.21 дана геометрическая иллюстрация решения.


Пример 2.57. Найти образ оси [math]Oy[/math] при отображении [math]w=2iz-3i[/math].


▼ Решение

Первый способ. Решаем по правилу 2.4. Уравнение оси [math]Oy[/math] выберем в параметрической форме.


1. Так как в действительной форме уравнение имеет вид [math]x=0,\,-\infty<y<+\infty[/math], то в комплексной форме запишется как [math]z=iy,\,-\infty<y<+\infty[/math]. Это — параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран [math]y[/math].


2. Выражаем [math]z[/math] из [math]w=2iz-3i[/math] и подставляем в уравнение оси [math]Oy[/math] или, что о же, подставляем [math]z=iy[/math] в выражение [math]w=2iz-3i[/math]. Получаем уравнение образа в параметрической форме: [math]w=-2y-3i,\,-\infty<y<+\infty[/math]; параметром является [math]y[/math]. Отделив действительную и мнимую части, получим уравнение в действительной норме: [math]v=-3,~ u=-2y[/math] или [math]v=-3,~ u\in\mathbb{R}[/math]. Это есть уравнение прямой в плоскости [math]w[/math], параллельной действительной оси.


Второй способ. Решаем по правилу 2.4, но уравнение оси [math]Oy[/math] выберем в комплексной форме.


1. Записываем комплексное уравнение оси [math]Oy\colon\, z+\overline{z}=0[/math].


2. Выражаем [math]z[/math] из [math]w=2iz-3i[/math] и подставляем [math]z=\frac{w+ 3i}{2i}[/math] и [math]\overline{z}= \frac{\overline{w}-3i}{-2i}[/math] в уравнение [math]z+\overline{z}=0[/math]. Получаем в комплексной форме уравнение образа оси [math]Oy\colon[/math]


[math]\frac{w+3i}{2i}+ \frac{\overline{w}-3i}{-2i}=0[/math], или [math]\frac{w-\overline{w}}{2i}+3=0[/math]. В действительной форме результат записывается в виде [math]\operatorname{Im}w+3=0[/math] или [math]v=-3[/math].


Третий способ. Используем для решения круговое свойство линейного отображения — образом прямой является прямая. Так как прямая определяется двумя точками, то достаточно на оси [math]Oy[/math] выбрать любые две точки и найти их образы. Прямая, проходящая через найденные точки, и будет искомой. Выберем точки [math]z_1=0,~ z_2=i[/math], их образы [math]w_1=-3i,~ w_2=-2-3i[/math] при отображении лежат на прямой [math]\operatorname{Im}w=-3[/math]. Следовательно, образом прямой [math]Oy[/math] является прямая [math]v=-3[/math].


Четвертый способ. Можно привести геометрическое решение, как и в примере 2.54. Так как из условия [math]w=2iz-3i[/math] следует, что [math]|a|=2,~\arg a=\frac{\pi}{2}[/math] [math]b=-3i[/math], то нужно заданную линию (ось [math]Oy[/math]) повернуть на [math]\frac{\pi}{2}[/math] (относительно начала координат), а затем сместить вниз на 3 единицы. Растяжение в 2 раза не меняет геометрического вида исходной линии (оси [math]Oy[/math]), так как она проходит через начало координат.


Пример 2.58. Найти какую-либо линейную функцию, отображающую линию [math]\operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z=0[/math] на линию [math]\operatorname{Im}w=0[/math].


▼ Решение

Поставленная задача есть обратная задача теории отображений — по заданным образу и прообразу найти соответствующее отображение. Без дополнительных условий задача не имеет единственного решения. Действительно, существует множество функций, осуществляющих искомое отображение. Для нахождения любой из них достаточно выбрать две точки [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] в плоскости [math]z[/math], принадлежащие прообразу (т.е. линии [math]\operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z=0[/math]), и две любые точки [math]w_1[/math] и [math]w_2[/math] в плоскости [math]w[/math], принадлежащие линии [math]\operatorname{Im}w=0[/math] (т.е. два действительных числа), и из двух соотношений [math]w_1=az_1+b[/math] и [math]w_2=az_2+b[/math] определить величины [math]a[/math] и [math]b[/math].


Одно из отображений можно просто получить из рассмотрения рис. 2.22.


Для геометрического решения достаточно повернуть луч [math]OA[/math], принадлежащий прообразу, на угол [math]\alpha=\frac{\pi}{4}[/math] против часовой стрелки, т.е. выбрать отображение [math]w=e^{i\,\frac{\pi}{4}}z[/math]. При этом образом точки [math]A(-1+i)[/math] будет точка [math]A_1(-\sqrt{2})[/math], а образом точки [math]B(1-i)[/math] — точка [math]B_1(\sqrt{2})[/math]. Можно выбрать отображение [math]w=e^{-\frac{3\pi}{4}\,i}z[/math] — поворот на угол [math]\alpha=\frac{3\pi}{4}[/math] по часовой стрелке. Тогда точке [math]A[/math] будет соответствовать точка [math]B_1(\sqrt{2})[/math], а точка [math]A_1[/math] будет образом точки [math]B(1-i)[/math].


Заметим, что ответом может быть также [math]w=k\,e^{i\,\frac{\pi}{4}}z,~ w=k\,e^{-i\,\frac{3\pi}{4}}z[/math], где [math]k[/math] — любое положительное число, и [math]w=k\,e^{i\,\frac{\pi}{4}}z+b[/math], где [math]k[/math] и [math]b[/math] — любые действительные числа.


Пример 2.59. Найти какую-либо линейную функцию, отображающую окружность [math]|z-i|=1[/math] на окружность [math]|w-3|=2[/math].


▼ Решение

Как и предыдущая, это — обратная задача отображений. Решать её будем, используя свойства линейного отображения — геометрический смысл его составляющих. В связи с этим при решении удобно выделить следующие этапы (см. рис. 2.23).


Первый этап. Переместим центр окружности в начало координат. Для .того применим отображение [math]w_1=z-i[/math].


Второй этап. В плоскости [math]w_1[/math] применим отображение, дающее растяжение в 2 раза, [math]w_2=2w_1[/math]. Окружность изображена в плоскости [math]w[/math] (считаем плоскости [math]w_2[/math] и [math]w[/math] совмещенными) пунктиром.


Третий этап. Окончательный результат получаем, применяя преобразование смещения, [math]w=w_2+3[/math], то есть [math]w=2(z-i)+3[/math] или [math]w=2z+3-2i[/math].


Здесь, как и в примере 2.58, ответ не единственный и можно рассмотреть другой порядок выполнения операций. Из геометрических соображений ясно, что можно сначала применить не смещение, а поворот или растяжение и получить в результате соответствующее отображение.


Можно получить общий вид линейной функции, осуществляющей заданное отображение, используя тот факт, что окружность определяется положением центра и величиной радиуса, и свойство линейного отображения, переводящего центр окружности в центр.


Поэтому, подбирая искомое отображение в виде [math]w=az+b[/math], из соотношения [math]w_0=az_0+b[/math], то есть [math]3=ai+b[/math], получаем [math]w=az+(3-ai)[/math] или [math]w-3=a(z-i)[/math]. Далее из [math]|w-3|=|a|\cdot|3-i|[/math], учитывая условие задачи, находим [math]|a|=2[/math] и [math]a=2e^{i\alpha}[/math], где [math]\alpha[/math] — любое действительное число.


Окончательный результат [math]w=2e^{i\alpha}(z-i)+3[/math], что также объяснимо из рис. 2.23 , так как геометрический вид окружности с центром в начале координат (см. [math](w_1)[/math] или пунктир в плоскости [math]w[/math]) не изменяется в результате поворота (умножения на [math]e^{i\alpha}[/math]).


Пример 2.60. Найти образ полосы [math]0<\operatorname{Re}z<2[/math] при отображена [math]w=2iz-3i[/math].


▼ Решение

Заданная область — неограниченная односвязная область, границей её на [math]\overline{\mathbb{C}}[/math] является линия, состоящая из двух параллельных прямых (образами эти: прямых на сфере Римана являются две окружности, пересекающиеся в точке [math]N[/math]. Эта линия делит [math]\mathbb{C}[/math] на две области — внутреннюю (полоса) и внешнюю (внешность полосы).


Образом полосы является полоса, так как при линейном отображение прямые переходят в прямые, а в силу конформности отображения параллельность прямых сохраняется.


Решаем по правилу 2.5 первым способом.


1. Границу области образуют две прямые с уравнениями [math]\operatorname{Re}z=0[/math] и [math]\operatorname{Re}z=2[/math].


2. Находим образы прямых [math]\operatorname{Re}z=0[/math] и [math]\operatorname{Re}z=2[/math]. Образ прямой [math]\operatorname{Re}z=x=0[/math] получен в примере 2.57. Его уравнение [math]\operatorname{Im}w=-3[/math]. Образ прямой [math]\operatorname{Re}z=2[/math] можно получить так же или, учитывая параллельность линий, достаточно найти образ одной точки. Например, точке [math]z=2[/math] соответствует [math]w=4i-3i=i[/math]. Поэтому o6pазом прямой [math]\operatorname{Re}z=2[/math] будет прямая [math]\operatorname{Im}w=1[/math], проходяшая через точку [math]w=i[/math].


3. Выбираем внутреннюю точку полосы [math]0<\operatorname{Re}z<2[/math], например [math]z=1[/math], её oбраз [math]w=2i-3i=-i[/math]. Эта точка должна принадлежать искомому образу. Ответом является множество [math]-3<\operatorname{Im}w<1[/math] — полоса, границами которой являются [math]\operatorname{Im}w=1[/math] и [math]\operatorname{Im}w=-3[/math] (рис. 2.24).


Очень простое решение задачи — геометрическое, которое сводится к повороту на [math]\frac{\pi}{2}[/math] против часовой стрелки, растяжению в два раза и смешению вниз мнимой оси на 3 единицы (рис. 2.24).


Пример 2.61. Найти линейную функцию, отображающую область [math]D\colon \operatorname{Re}z+\operatorname{Im}z<0[/math] на область [math]G\colon \operatorname{Im}w>0[/math].


▼ Решение

По свойствам искомого отображения как взаимно однозначного отображения граница области [math]D[/math], прямая [math]\operatorname{Re}z+ \operatorname{Im}z=0[/math], переходит в границу области [math]G\colon \operatorname{Im}w=0[/math]. Функция, устанавливающая соответствие границ, получена в примере 2.58. Это — либо [math]w=k\,e^{i\,\frac{\pi}{4}}z[/math], либо [math]w=k\,e^{-i\,\frac{3\pi}{4}}z[/math], [math]k>0[/math]. Одна из них отображает область [math]\operatorname{Re}z+ \operatorname{Im}z<0[/math] на [math]\operatorname{Im}w>0[/math][math]\operatorname{Re}z+ \operatorname{Im}z>0[/math] соответственно на [math]\operatorname{Im}w<0[/math]), другая — область [math]\operatorname{Re}z+ \operatorname{Im}z<0[/math] на [math]\operatorname{Im}w<0[/math]. Чтобы выбрать необходимую функцию, достаточно установить соответствие двух пар граничных точек или пары внутренних.


Выберем две граничные точки области [math]D[/math] — точки [math]A[/math] и [math]B[/math] (см. рис. 2.22). Направление обхода границы области [math]D[/math] от точки [math]B[/math] к точке [math]A[/math] (область при обходе расположена слева), области [math]G[/math] — от точки [math]A_1[/math] к точке [math]B_1[/math]. Поэтому искомая функция — та, которая переводит точку [math]B[/math] в точку [math]A_1[/math], то есть [math]w=k\,e^{-i\,\frac{3\pi}{4}}z[/math], [math]k>0[/math] или, в частности, [math]w=k\,e^{-i\,\frac{3\pi}{4}}z[/math] (см. пример 2.58). Можно выбрать внутреннюю точку, .например [math]z=-2\in D[/math]. Ее образом при отображении [math]w=k\,e^{i\,\frac{\pi}{4}}z[/math], [math]k>0[/math] является


[math]w=k\,e^{i\,\frac{\pi}{4}}(-2)= k\,e^{i\,\frac{\pi}{4}}2e^{i\pi}= 2k\,e^{\frac{5\pi}{4}\,i}= 2k\,e^{-\frac{3\pi}{4}\,i}[/math], то есть [math]w\notin G[/math].

При отображении же [math]w=k\,e^{-i\,\frac{3\pi}{4}}z[/math], [math]k>0[/math] образом точки [math]z=-2[/math] является [math]w=2k\,e^{\left(\pi-\frac{3\pi}{4}\right)i}= 2k\,e^{i\,\frac{\pi}{4}}[/math], [math]w\in\operatorname{Im}w>0[/math].


Пример 2.62. Найти какую-либо линейную функцию, отображающую область [math]D\colon \operatorname{Re}z>1[/math] на область [math]G\colon \operatorname{Re}w+ \operatorname{Im}w+1<0[/math].


▼ Решение

Как и в предыдущем примере, нужно найти функцию, устанавливающую соответствие границ: прямой [math]\operatorname{Re}z=1[/math] в плоскости [math](z)[/math] и прямой [math]\operatorname{Re}w+ \operatorname{Im}w+1=0[/math] в плоскости [math]w[/math] (рис. 2.25,а и г).


Применим геометрический способ решения (см. пример 2.59), используя геометрические свойства составляющих.


Первый этап. Сдвинем границу области [math]D[/math] на единицу влево, т.е. рассмотрим отображение [math]w_1=z-1[/math]. Образом области [math]D[/math] будет область [math]G_1[/math] (рис. 2.25,б).


Второй этап. Повернем границу области [math]G_1[/math] на угол [math]\alpha= \frac{3\pi}{4}[/math] по часовой стрелке, т.е. рассмотрим отображение [math]w_2=w_1\exp \frac{-3\pi\,i}{4}[/math]. Образом области [math]G_1[/math] будет область [math]G_2[/math] (рис. 2.25,в).


Третий этап. Сдвинем границу области [math]G_2[/math] на единицу вниз, т.е. рассмотрим отображение [math]w=w_2-i[/math]. Образом области [math]G_2[/math] будет область [math]G[/math]. Искомое отображение получим как суперпозицию составляющих, т.е.


[math]w= \exp\left(-\frac{3\pi}{4}\,i\right)(z-1)-i= z\exp\left(-\frac{3\pi}{4}\,i\right)-\left[i+\exp \left(-\frac{3\pi}{4}\,i\right)\right]\!.[/math]

Напомним, что задачи такого типа без дополнительных условий имеют неединственное решение, что в данном случае очевидно из рассмотрения рис. 2.25.


Например, решением будет также функция [math]w=\exp\left(-\frac{3\pi}{4}\,i\right)(z-1)-1[/math] и др.




Дробно-линейное отображение на комплексной плоскости


Дробно-линейным называется отображение с помощью функции [math]w=\frac{az+b}{cz+d}[/math], где [math]a,b,c,d[/math] — произвольные комплексные числа (параметры).


Полагаем [math]c\ne0[/math], так как при [math]c=0[/math] получается рассмотренная выше линейная функция, и [math]ad-bc\ne0[/math], иначе, в силу пропорциональности числителя и знаменателя, [math]w=k=\text{const}[/math].


Функция определена в [math]\mathbb{C}\setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}[/math]. Если положить [math]w\! \left(-\frac{d}{c}\right)= \lim_{z\to -\frac{d}{c}}w(z)=\infty[/math] и [math]w(\infty)= \lim_{z\to\infty}f(z)=\frac{a}{c}[/math], то получаем функцию, которая определена на всей расширенной комплексной плоскости [math]\overline{\mathbb{C}}[/math].


Функция является однолистной в [math]\mathbb{C}[/math] и аналитической в [math]\mathbb{C}[/math] за исключением точки [math]-\frac{d}{c}[/math]. Аналитичность [math]z=\infty[/math] следует из определения, так как аналитической в [math]\xi=0[/math] является функция [math]w\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{a+b\xi}{c+d\xi},~ c\ne0[/math].


Так как однолистное отображение с помощью аналитической функции является конформным, то заключаем, что дробно-линейное отображение конформно в [math]\mathbb{C}[/math], конформно в любой области [math]D\subset \overline{\mathbb{C}}[/math]. Заметим, что [math]w'(z)= \frac{ad-bc}{(cz+d)^2}\ne0[/math] для любой точки [math]z\in \mathbb{C},~ z\ne-\frac{d}{c}[/math].




Геометрические свойства дробно-линейного отображения


Исследуем геометрические свойства дробно-линейного отображения. Как и в случае линейной функции, выделим составляющие. Выделяя целую часть дроби, получаем [math]w=\frac{a}{c}+ \frac{bc-ad}{(cz+d)c}[/math] или, вводя обозначения [math]A=\frac{a}{c},~ B=\frac{bc-ad}{c}[/math], имеем [math]w=A+\frac{B}{cz+d}[/math], из чего следует, что дробно-линейное отображение есть суперпозиция линейного отображения и отображения [math]w=\frac{1}{w}[/math]. Действительно, можно записать цепочку составляющих


[math]w_1=cz+d,\qquad w_2=\frac{1}{w_1},\qquad w=A+Bw_2.[/math]

Рассмотрим отдельно отображение [math]w=\frac{1}{z}[/math] как частный случай дробно-линейного отображения [math](a=d=0,~b=c=1)[/math]. Его также можно записать в виде более простых для исследования составляющих [math]w_1=\frac{1}{\overline{z}},~ w=\overline{w}_1[/math]. Особенность первого отображения заключается в соотношениях [math]|w_1|=\frac{1}{|\overline{z}|},~ \arg w_1=-\arg\overline{z}[/math], которые, учитывая, что [math]|\overline{z}|=|z|[/math] и [math]\arg\overline{z}=-\arg z[/math], можно переписать в виде


[math]|w_1|\cdot |z|=1,\qquad \arg w_1=\arg z\,.[/math]
(2.33)

Геометрически эти соотношения означают, что точки [math]w_1[/math] и [math]z_1[/math] расположены на одном луче, а произведение длин их радиусов-векторов равно единице. Точки, обладающие таким свойством, называются точками, симметричными (или сопряженными) относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат.


Функция [math]w_1=\frac{1}{\overline{z}}[/math] отображает любую точку, лежащую внутри единичного круга, в точку, лежащую вне единичного круга, так как из [math]|z|<1[/math] следует [math]|w_1|=\frac{1}{|z|}>1[/math] и обратно.


Следовательно, функция [math]w=\frac{1}{\overline{z}}[/math] переводит внутренность единичного круга во внешность и наоборот. Преобразование такого вида называется инверсией относительно единичной окружности.


Заметим, что для построения точки [math]w_1[/math] по заданной точке [math]z~(|z|<1)[/math] нужно сначала провести луч из центра окружности [math]|z|=1[/math], а затем к этому лучу в точке [math]z[/math] восставить перпендикуляр и провести касательную к окружности в точке её пересечения с перпендикуляром. Точкой пересечения касательной и луча будет [math]w_1[/math]. Обоснование построения следует из рассмотрения подобных треугольников (рис. 2.26). Очевидно, проводя построение в обратном порядке, можно построить по точке, лежащей вне круга (на рис. 2.26 точка [math]w_1[/math]), симметричную относительно окружности точку [math]z[/math], которая будет расположена внутри круга.


Вторая составляющая отображения [math]w=\frac{1}{z}[/math] функция [math]w= \overline{w}_1[/math] геометрически есть симметрия относительно действительной оси (рис. 2.26).


Результат приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.
Утверждение 2.17

1. Отображение [math]w=\frac{1}{z}[/math] геометрически сводится к построению инверсии относительно окружности [math]|z|=1[/math] и симметрии относительно действительной оси.


2. Дробно-линейное отображение геометрически сводится к преобразованиям растяжения, поворота, сдвига (см. линейное отображение), симметрии относительно окружности [math]|z|=1[/math] и симметрии относительно действительной оси.




Круговое свойство дробно-линейного отображения


Дробно-линейное отображение на комплексной плоскости обладает круговым свойством. Достаточно доказать это свойство для функции [math]w=\frac{1}{z}[/math], так как для линейных составляющих дробно-линейного отображения оно установлено.


Доказательство проведем в соответствии с правилом 2.4 решения прямой задачи.


1. Записываем уравнение произвольной окружности в комплексной форме: [math]Az \overline{z}+M \overline{z}+\overline{M}z+D=0[/math]. Заметим, что при [math]A=0[/math] уравнение определяет прямую. При [math]D\ne0[/math] линия не проходит через начало координат (точку [math]z=0[/math]), при [math]D=0[/math] — проходит.


2. Выражая [math]z[/math] из [math]w=\frac{1}{z}[/math], получаем [math]z=\frac{1}{w},~ \overline{z}= \frac{1}{\overline{w}}[/math] и подставляем в уравнение прообраза. Преобразуем полученное равенство:


[math]A\cdot\frac{1}{w}\cdot \frac{1}{\overline{w}}+ M\cdot \frac{1}{\overline{w}}+ \overline{M}\cdot \frac{1}{w}+D=0[/math], или [math]Dw \overline{w}+Mw+ \overline{M} \overline{w}+A=0[/math].

Полученное уравнение есть уравнение окружности, в частности, при [math]D=0[/math] — прямая.
Для отображения [math]w=\frac{1}{cz+d}[/math] роль точки [math]z=0[/math], очевидно, играет [math]z=-\frac{d}{c}[/math].

Утверждение 2.18 (круговое свойство дробно-линейного отображения).


1. Окружности и прямые, не проходящие через особую точку [math]\left(z=-\frac{d}{c}\right)[/math], отображаются в окружности, а окружности и прямые, проходящие через эту точку, — в прямые.


2. Дробно-линейное отображение переводит окружности расширенной комплексной плоскости в окружности [math]\overline{C}[/math], так как прямые на расширенной комплексной плоскости рассматриваются как окружности.


▼ Примеры 2.63-2.68 задач на дробно-линейные отображения

Пример 2.63. При отображении [math]w=\frac{2}{z}[/math] найти образы:

а) окружностей [math]x^2+y^2-2x=0[/math] и [math](x-1)^2+y^2=4[/math];

б) прямых [math]x=1[/math] и [math]x=0[/math].


▼ Решение

а) Первая окружность проходит через точку [math]z=0[/math] — особую точку функции, поэтому её образом будет прямая. Образом второй окружности, уравнение которой можно переписать как [math]x^2+y^2-2x-3=0[/math], является окружность. Решаем согласно правилу 2.4.


1. Записываем уравнения окружностей в комплексной форме: [math]z \overline{z}-(z+\overline{z})=0[/math] и [math]z \overline{z}-(z+\overline{z})=3[/math].


2. Подставляем в эти уравнения выражения [math]z=\frac{2}{w}[/math] и [math]\overline{z}= \frac{1}{\overline{w}}[/math] Для первой окружности получаем [math]\frac{2}{w \overline{w}}-\left(\frac{1}{w}+\frac{1}{\overline{w}}\right)=0[/math], или [math]w+\overline{w}=2[/math], что можно записать [math]\frac{w+\overline{w}}{2}=1[/math], или [math]\operatorname{Re}w=1[/math]. Это — уравнение прямой, параллельной мнимой оси (рис. 2.21,а). Для второй окружности имеем [math]3w\overline{w}+2(w+\overline{w})-4=0[/math]. Наличие слагаемого [math]w\overline{w}[/math] говорит о том, что образом является окружность. Чтобы определить её центр и радиус, перейдем к действительной форме уравнения, используя равенства [math]w\overline{w}=u^2+v^2,~ w+\overline{w}=2u[/math]. Получим уравнение [math]3u^2+3v^2+ 4u-4=0[/math], или, выделив полный квадрат переменной [math]u,~ \left(u+\frac{2}{3}\right)^2+ v^2=\frac{16}{9}[/math]. Это — уравнение окружности радиуса [math]\frac{4}{3}[/math] с центром в точке [math]\left(-\frac{2}{3};0\right)[/math] (рис. 2.21,а).


б) Образом первой прямой является окружность, второй — прямая. Чтобы получить уравнения соответствующих образов, подставим [math]z=\frac{2}{w}[/math] и [math]\overline{z}= \frac{2}{\overline{w}}[/math] в уравнения данных линий, записанных в комплексной форме: [math]z+\overline{z}=2[/math] и [math]z+\overline{z}=0[/math]. Получим [math]w \overline{w}-(w+\overline{w})=0[/math] — образ первой прямой и [math]w+\overline{w}=0[/math] — второй. Первая линия — окружность [math](u^2+v^2)-2u=0[/math] или [math](u-1)^2+v^2=1[/math]; её радиус [math]R=1[/math], центр в точке [math](1;0)[/math] (рис. 2.27,6). Уравнение [math]w+\overline{w}=0[/math] или [math]\operatorname{Re}w=0[/math] определяет мнимую ось (рис. 2.21,б).


Пример 2.64. Найти образ полосы [math]0<\operatorname{Re}z<1[/math] при отображении [math]w=\frac{2}{z}[/math].


▼ Решение

Решаем по правилу 2.5 первым способом.


1. Запишем уравнения, описывающие границы данной области [math]D\colon\, \operatorname{Re}z}=0[/math] и [math]\operatorname{Re}z=1[/math].


2. Найдем образ границы. Уравнения соответствующих линий найдены в предыдущем примере(п."б"). Граница образа области [math]D[/math] состоит из мнимой оси и окружности (рис. 2.27,б). Она разбивает плоскость [math]w[/math] на две области — образ полосы [math]G[/math] и дополнение этого образа до [math]\mathbb{C}[/math]. Чтобы определить, какая часть плоскости является образом области [math]D[/math], достаточно установить соответствие двух пар граничных точек (на рис.2.27,б указано направление обхода) или пары внутренних.


3. Выберем произвольную внутреннюю точку заданной области, например, [math]z= \frac{1}{2}[/math]. Ее образом является точка [math]w=4[/math], которая должна принадлежать искомому образу — области [math]G[/math]. Следовательно, [math]G[/math] — правая полуплоскость с выброшенным кругом.


Пример 2.65. Найти образ области [math]D\colon \begin{cases}\operatorname{Re}z<1,\\ \left|z-\frac{1}{2}\right|>\frac{1}{2}\end{cases}[/math] при отображении [math]w=\frac{i\cdot z}{z-1}[/math].


▼ Решение

Область [math]D[/math] есть пересечение полуплоскости и внешности круга — полуплоскость [math]\operatorname{Re}z<1[/math] с выброшенным кругом (рис. 2.28).


В соответствии с правилом 2.5 решения задач для областей, как и в предыдущем примере, найдем прежде образ границы области [math]D[/math], которая состоит из двух линий, описываемых уравнениями [math]\operatorname{Re}z=1[/math] и [math]\left|z-\frac{1}{2}\right|= \frac{1}{2}[/math]. Так как обе линии проходят через особую точку [math]z=1[/math], то их образами будут прямые. Для каждой линии решаем задачу по правилу 2.4.


Найдем образ прямой [math]\operatorname{Re}z=1[/math].
1. Запишем уравнение [math]\operatorname{Re}z=1[/math] в комплексной форме: [math]z+ \overline{z}-2=0[/math].

2. Выражаем [math]z[/math] из [math]w=\frac{i\cdot z}{z-1}\colon\, wz-w=iz[/math], то есть [math]z=\frac{w}{w-i},~ \overline{z}=\frac{\overline{w}}{\overline{w}+i}[/math]. Подставляем эти значения в уравнение [math]z+\overline{z}-2=0[/math]. Получаем [math]iw-i\overline{w}+ 2=0[/math], или [math]w-\overline{w}=2i[/math]. Это уравнение определяет прямую [math]\operatorname{Im}w=1[/math], параллельную действительной оси (рис. 2.28).


Найдем образ окружности [math]\left|z-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}[/math].
1. Запишем уравнение окружности в виде [math]|2z-1|=1[/math].

2. Выразим [math]z[/math] из [math]w=\frac{i\cdot z}{z-1}[/math] и подставим [math]z=\frac{w}{w-i}[/math] в уравнение [math]|2z-1|=1[/math]. Получаем [math]|w+i|= |w-i|[/math]. Это равенство определяет уравнение прямой, проходящей перпендикулярно отрезку, соединяющему точки [math]i[/math] и [math](-i)[/math], через его середину. Этой прямой является действительная ось [math]\operatorname{Im}w=0[/math] (рис. 2.28). В результате получили, что образ границы области [math]D[/math] состоит из двух параллельных прямых: [math]\operatorname{Im}w=1[/math] и [math]\operatorname{Im}w=0[/math].


Далее в соответствии с п.3 правила 2.5 выберем произвольную точку, например [math]z=-1\in D[/math]. Так как ее образом при заданном отображении является [math]w=\frac{i}{2}[/math], то образом области [math]D[/math] будет полоса [math]0<\operatorname{Im}w<1[/math].


Пример 2.66. Найти какую-либо дробно-линейную функцию, отображающую круг единичного радиуса с центром в начале координат:

а) на левую полуплоскость;

б) на нижнюю полуплоскость.


▼ Решение

Решается обратная задача отображения областей. Требуется найти отображение области [math]D\colon\,|z|<1[/math] на область [math]G\colon[/math] a) [math]\operatorname{Re}w<0[/math]; б) [math]\operatorname{Im}w<0[/math]. Границей области [math]D[/math] является окружность [math]|z|=1[/math]. Так как в обоих случаях ее образ — прямая, то, согласно утверждению 2.18, искомая функция должна иметь особой точкой одну из точек окружности — окружность проходит через особую точку.


Используя это свойство, "распрямим" окружность, т.е. на первом этапе решения подберем функцию, переводящую одну из точек окружности в бесконечно удаленную точку.


Первый этап. Рассмотрим [math]w_1=\frac{1}{z+1}[/math], где [math]w_1\to\infty[/math] при [math]z\to-1~(w_1(-1)=\infty)[/math].


Найдем уравнение прямой, в которую переходит [math]|z|=1[/math] при отображении [math]w_1=\frac{1}{z+1}[/math], т.е. решим прямую задачу: [math]z=\frac{1-w_1}{w_1},~ |1-w_1|=|w_1|[/math]. Получено уравнение прямой, проходящей перпендикулярно отрезку, соединяющему точки [math]w_1=1[/math] и [math]w_1=0[/math], через его середину, т.е. [math]\operatorname{Re}w_1=\frac{1}{2}[/math]. Образом области [math]D[/math] будет [math]D\colon\, \operatorname{Re}w_1>\frac{1}{2}[/math], так как, например, точка [math]z_0=0\in D[/math] переходит в точку [math]w_1=1\in G_1[/math].


Второй этап. Сравнивая полученный результат и вид области [math]G[/math], заключаем, что нужно применить преобразование смещения (сдвиг) влево на [math]\frac{1}{2}[/math], т.е. линейное отображение [math]w_2=w_1-\frac{1}{2}[/math]. Образом [math]\operatorname{Re}w_1=\frac{1}{2}[/math] будет [math]\operatorname{Re}w_2=0[/math]. Соответствие границ установлено функцией [math]w_2=\frac{1}{z+1}-\frac{1}{2}= \frac{1-z}{2(z+1)}[/math] или [math]w_2=\frac{1-z}{z+1}[/math]. Но при этом отображении образом области [math]D[/math] является правая полуплоскость [math]\operatorname{Re}w_2>0[/math], так как точка [math]z=0[/math], принадлежащая [math]D[/math], переходит в точку [math]w=1,~ w\in \operatorname{Re}w_2>0[/math].


Третий этап. Чтобы получить искомое отображение и для случая "а" , и для случая "б", достаточно сделать поворот.


Решим задачу для случая "а". Применим преобразование поворота на угол против часовой стрелки, т.е. линейное отображение [math]w=e^{i\pi}\cdot w_2=-w_2\colon[/math]


[math]w=\frac{z-1}{z+1}\,.[/math]
(2.34)

Таким образом, найдено отображение, переводящее круг [math]|z|<1[/math] на полуплоскость [math]\operatorname{Re}w<0[/math] (рис. 2.29).


Заметим, что в силу взаимной однозначности обратная функция [math]z=\frac{1+w}{1-w}[/math] отображает левую полуплоскость [math]\operatorname{Re}w<0[/math] на крут [math]|z|<1[/math]. Отсюда следует вид отображения, переводящего левую полуплоскость [math]\operatorname{Re}z<0[/math] на круг [math]|w|<1[/math] (рис. 2.30):


[math]w=\frac{1+z}{1-z}\,.[/math]
(2.35)

Решим задачу для случая "б". Чтобы получить отображение круга [math]|z|<1[/math] на нижнюю полуплоскость [math]\operatorname{Im}w<0[/math] (рис. 2.31), достаточно в плоскости [math]w_2[/math] рассмотреть поворот на [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math], по часовой стрелке, т.е. [math]w=w_2\exp \frac{-i\pi}{2}=-i\cdot w_2\colon[/math]


[math]w=\frac{iz-i}{z+1}\,.[/math]
(2.36)

Пример 2.67. Отобразить область [math]D\colon \begin{cases}|z-i|>1,\\ |z-2i|<2\end{cases}[/math] на область [math]G\colon 0<\operatorname{Re}w<1[/math].


▼ Решение

Так как образами окружностей — границы области [math]D[/math] являются прямые, то нужно применить отображение, "распрямляющее" прямые. Для этого следует использовать отображение, переводящее общую точку окружностей [math]z=0[/math] в [math]\infty[/math].


Первый этап. Применяем преобразование [math]w_1=\frac{1}{z}[/math].


Найдем образ области [math]D[/math] при этом отображении. Для этого, как и при решении предыдущих примеров, в уравнения границы — окружностей [math]|z-i|=1[/math] и [math]|z-2i|=2[/math] подставляем [math]z=\frac{1}{w_1}[/math], то есть


[math]|1-iw_1|=|w_1|,\quad |1-2iw_1|=2|w_1|[/math] или [math]|w_1+i|=|w_1|,\quad \left|w_1+ \frac{i}{2}\right|=|w_1|[/math].

Эти уравнения определяют прямые, уравнения которых в действительной форме имеют вид [math]\operatorname{Im}w_1=-\frac{1}{2}[/math] и [math]\operatorname{Im}w_1=-\frac{1}{4}[/math], или [math]v_1=-\frac{1}{2},~ v_1=-\frac{1}{2}[/math]. Эти прямые, параллельные мнимой оси, определяют границу области [math]G_1[/math]; область [math]G_1[/math] — внутренность полосы, так как, например, образом точки [math]3i\in D[/math] является точка [math]-\frac{1}{3}\,i[/math], принадлежащая полосе (рис. 2.32).


Второй этап. Сравнивая вид областей [math]G_1[/math] и [math]G[/math], убеждаемся, что следует увеличить ширину области [math]G_1[/math] в 4 раза и повернуть ее на угол [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math] против часовой стрелки, т.е. применить преобразование [math]w_2=w_1\exp \frac{i\pi}{2}= 4iw_1[/math]. Образом [math]G[/math] будет полоса [math]G_2[/math].


Третий этап. Окончательный результат получаем смещением на единиц влево, [math]w=2i\,w_1-1[/math], то есть [math]w=\frac{4i-z}{z}[/math].


Пример 2.68. При отображении, полученном в примере 2.67, найти образы прямых [math]\operatorname{Re}z=0,~ \operatorname{Im}z=0,~ \operatorname{Im}z=2[/math].


▼ Решение

Воспользуемся правилом 2.4.


1. Записываем уравнения прямых в комплексной форме [math]z+\overline{z}=0,~ z-\overline{z}=0,~ z-\overline{z}=4i[/math].


2. Выражаем [math]z[/math] из [math]w=\frac{4i}{z}-1[/math], получаем [math]z= \frac{4i}{w+1}[/math]. Подставляем [math]z[/math] и [math]\overline{z}= \frac{-4i}{\overline{w}+ 1}[/math] в уравнения данных прямых, получаем их образы.


Прямой [math]z+\overline{z}=0[/math] соответствует прямая [math]w-\overline{w}=0[/math], то есть [math]\operatorname{Im}w=0[/math] (рис. 2.33).


Прямой [math]z+\overline{z}=0[/math], проходящей через [math]z=0[/math], также соответствует прямая. Её уравнение [math]w+\overline{w}=-2[/math], или [math]\operatorname{Re}w=-1[/math] (рис. 2.33).


Прямой [math]z-\overline{z}=4i[/math], не проходящей через [math]z=0[/math], соответствует окружность. Ее уравнение [math]w\cdot \overline{w}=1[/math], или [math]u^2+v^2=1[/math] (рис. 2.33).


Примеры 2.67 и 2.68 иллюстрируют круговое свойство отображения у свойство конформности. Так, прямая [math]\operatorname{Im}z=0[/math] касается окружностей в плоскости [math]z[/math] и параллельна прямой [math]\operatorname{Im}w=2[/math], т.е. образует с каждой из них угол [math]\alpha=0[/math]. Её образ в плоскости [math](w)[/math] с соответствующими линиями также образует угол [math]\alpha=1[/math].


Прямая [math]\operatorname{Re}z=0[/math] перпендикулярна любой из рассматриваемых здесь линий — и прямым [math]\operatorname{Im}z=0,~ \operatorname{Im}z=2[/math], и окружностям, так как проходит через их центры. Образ этой прямой (действительная ось [math]v=0[/math]) также перпендикулярен соответствующим линиям — трем прямым и окружности.


Прямая [math]\operatorname{Im}z=2[/math] образует угол [math]\alpha=0[/math] с окружностью [math]|z-i|=1[/math]1 и прямой [math]\operatorname{Im}z=0[/math], а с другой окружностью [math]|z-2i|=2[/math] и прямой [math]\operatorname{Re}z=0[/math] — угол [math]\beta= \frac{\pi}{2}[/math]. Такие же углы образует окружность — образ этой прямой в плоскости [math]w[/math] с соответствующими линиями.




Условия, определяющие дробно-линейное отображение


Дробно-линейное отображение рассматривается, как отмечено выше, при [math]c\ne0[/math], поэтому можно записать


[math]w=\frac{\frac{a}{c}\,z+\frac{b}{c}}{z+\frac{d}{c}}[/math] или [math]w=\frac{a_1z+b_1}{z+d_1}[/math],

т.е. оно определяется тремя параметрами. Следовательно, для задания дробно-линейного отображения достаточно задать три условия, например соответствие трех пар точек. При этом, так как отображение рассматривается на [math]\overline{\mathbb{C}}[/math], одна из точек может быть бесконечно удаленной. Имеет место утверждение.


Утверждение 2.19 (условия, определяющие дробно-линейное отображение). Каковы бы ни были три различные точки [math]z_1,\,z_2,\,z_3[/math], плоскости [math]z[/math] и три различные точки [math]w_1,\,w_2,\,w_3[/math] плоскости [math]w[/math], существует единственное дробно-линейное отображение [math]w=\frac{az+b}{cz+d}[/math] такое, что [math]w(z_k)=w_k,~ k=1,2,3[/math]. При этом справедливо соотношение


[math]\frac{w-w_1}{w-w_2}\,\colon \frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}= \frac{z-z_1}{z-z_2}\,\colon \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\,.[/math]
(2.37)

Равенство (2.37) называется ангармоническим отношением. Если его переписать в виде произведения:


[math]\frac{w-w_1}{w-w_2}\cdot \frac{w_3-w_2}{w_3-w_1}= \frac{z-z_1}{z-z_2}\cdot \frac{z_3-z_2}{z_3-z_1}\,.[/math]
(2.38)

то, рассматривая предельный переход в (2.38) при [math]z_k\to\infty[/math] или [math]w_k\to\infty~(k=1,2,3)[/math], замечаем, что предел частного, содержащего соответствующие величины, равен единице. Например, [math]\lim_{z_1\to\infty} \frac{z-z_1}{z_3-z_1}[/math]. Можно сделать заключение.


Если одна из точек [math]z_k[/math] или [math]w_k~(k=1,2,3)[/math] есть бесконечно удаленная точка, то в (2.37) (или (2.38)) соответствующая разность заменяется единицей.


Справедливость утверждения о единственности отображения, определяемого указанными условиями, и справедливость отношения (2.37) могут быть установлены из рассмотрения линейной системы [math]w_k=\frac{a_1z_k+b_1}{z_k+d_1}[/math] или [math]a_1z_k+b_1-w_kd_1=w_kz_k,~ k=1,2,3[/math].


Отметим некоторые особенности отображения (2.37), запишем их в виде утверждения.




Утверждение 2.20


1. Дробно — линейное отображение переводит круг, граница которого проходит через три данные точки [math]z_k,~ k=1,2,3[/math], в круг (или во внешность круга), граница которого проходит через три точки [math]w_k,~ k=1,2,3[/math]. Это следует из того, что положение любой окружности (на плоскости) однозначно определяется тремя точками.


2. Любое дробно-линейное отображение, переводящее точку [math]z_1[/math] в ноль и [math]z_2[/math] в бесконечно удаленную точку, имеет вид (что следует из формулы (2.38))


[math]w=A\cdot \frac{z-z_1}{z-z_2}\,,[/math]
(2.39)

С учетом этого утверждения можно сократить процедуру решения примера 2.66. А именно, так как граница области [math]G[/math] — прямая [math]\operatorname{Re}w=0[/math] проходит через [math]w_1=0,~ w_2=\infty[/math], то, полагая [math]z_1=1~(1\to0),[/math] [math]z_2=-1~ (-1\to\infty)[/math], отображение ищем в виде [math]w_1=A\cdot \frac{z-1}{z+1}[/math] (на первом этапе). Можно взять [math]w_1=\frac{z-1}{z+1}[/math], так как наличие множителя [math]A[/math] в таких случаях будет определять только поворот на [math]\alpha=\arg A[/math], a растяжение в [math]|A|[/math] для геометрического положения прямых, проходящих через начало координат, не имеет значения. Далее, для решения задачи в случае "а" убеждаемся, что искомое отображение уже получено: [math]w=w_1=\frac{z-1}{z+1}[/math], а для решения в случае "б" нужно ещё сделать поворот.


Пример 2.69. Найти дробно-линейную функцию [math]w=f(z)[/math], такую, что [math]w(i)=2i,~ w(\infty)=1,~ w(-1)=\infty[/math].


▼ Решение

Обозначим [math]z_1=i,~ z_2=\infty,~ z_3=-1[/math] и [math]w_1=2i,~ w_2=1,~ w_3=\infty[/math]. Запишем формулу (2.38), заменяя разности, содержащие [math]z_2[/math] и [math]w_3[/math], единицей. Получим


[math]\frac{w-w_1}{w-w_2}= \frac{z-z_1}{z_3-z_1}[/math], то есть [math]\frac{w-2i}{w-1}= \frac{z-i}{-1-i}[/math],

или, после преобразований, [math]w=\frac{z+i-2}{z+1}[/math] — искомое отображение.


В утверждении 2.20 сказано, что дробно-линейное отображение переводит любой круг (внутренность, внешность) на любой круг (внутренность, внешность) заданием соответствия трех пар граничных точек. Так как прямые на [math]\overline{C}[/math] рассматриваются как окружности [math](R=\infty)[/math], то речь здесь идет и о прямых, т.е. любой круг (внутренность, внешность) переводится на любую полуплоскость и обратно заданием соответствия трех граничных пар (для прямой одна из точек [math]z=\infty[/math]).


По формуле (2.38) при условии [math]w_k=f(z_k),~ k=1,2,3[/math] будет получено определенное отображение области [math]D[/math] (ее граница — окружность, прямая) на область [math]G[/math] (граница — окружность, прямая). При этом любой внутренней точке [math]z_0\in D[/math] будет соответствовать определенная [math]w_0\in G[/math].




Сохранение симметричных точек дробно-линейным отображением


Представляют практический интерес задачи, где образом данной точки [math]z_0\in D[/math] должна быть заранее заданная [math]w_0\in G[/math].


Задание соответствия внутренних точек накладывает ограничение на выбор других соответствующих пар. Это связано со следующим свойством дробно-линейного отображения.


Утверждение 2.21


1. Дробно-линейное отображение переводит любые две точки, симметричные относительно окружности расширенной комплексной плоскости, в точки, симметричные относительно образа этой окружности при данном отображении. Свойство называется свойством сохранения симметричных точек.


2. Точки, симметричные границе области (окружности или прямой) при дробно-линейном отображении, переходят в точки, симметричные относительно ее образа при этом отображении.


Свойство означает, что если точки [math]z[/math] и [math]z^{\ast}[/math] симметричны относительно линии у (окружности или прямой) в плоскости [math](z)[/math], а точки [math]w[/math] и [math]w^{\ast}[/math] и линия [math]\Gamma[/math] — их образы при дробно-линейном отображении, то точки [math]w[/math] и [math]w^{\ast}[/math] симметричны относительно [math]\Gamma[/math]. Линия [math]\Gamma[/math], согласно круговому свойству отображения, также является окружностью или прямой. Симметрия точек относительно прямой понимается в обычном смысле. Симметрия относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат рассматривалась при исследовании отображения [math]w=\frac{1}{z}[/math] (формула (2.33)). В общем случае имеет место следующее определение.


Точки [math]z[/math] и [math]z^{\ast}[/math] называются симметричными (или сопряженными) относительно окружности [math]|z-z_0|=R[/math], если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности, и произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату ее радиуса, т.е. справедливо равенство


[math]|z-z_0|\cdot |z^{\ast}-z_0|=R^2.[/math]
(2.40)

Точкой, симметричной точке [math]z_0[/math] — центру окружности, очевидно, является бесконечно удаленная точка.


Полученные при решении примера 2.71 (см. ниже в спойлере) результаты запишем в виде утверждения.


Утверждение 2.22


1. Любое дробно-линейное отображение полуплоскости [math]\operatorname{Im}z>0[/math] на круг [math]|w|<1[/math] имеет вид


[math]w=e^{i\,\alpha}\cdot \frac{z-z_0}{z-\overline{z}_0}\quad (\operatorname{Im}z_0>0,~ \alpha\in \mathbb{R}).[/math]
(2.41)

2. Любое дробно-линейное отображение круга [math]|z|<1[/math] на круг [math]|w|<1[/math] имеет вид


[math]w=e^{i\,\alpha}\cdot \frac{z-z_0}{1-z\,\overline{z}_0}\quad (|z_0|<1,~ \alpha\in \mathbb{R}).[/math]
(2.42)

3. Значение а определяется из дополнительного условия. Это, как правило, задание аргумента производной искомой функции в некоторой точке, например [math]\arg w'(z_0)= \beta[/math].


Формулы (2.41) и (2.42) дают решение двух канонических задач. Для удобства использования изобразим их на рис. 2.34 и рис. 2.35 соответственно.


▼ Примеры 2.70-2.73 решения задач с отображениями

Пример 2.70. Отобразить область [math]|z-2i|<2[/math] на область [math]|w+2i|>2[/math] так, чтобы точки 0 и 2i остались неподвижными.


▼ Решение

Задание неподвижной точки [math]z_0[/math] для отображения [math]w=f(z)[/math] означает условие [math]w(z_0)=z_0[/math], то есть [math]z_0\to z_0[/math] В данном случае имеет место соответствие двух пар точек: [math]0\to0,~ 2i\to 2i[/math], причем первая пара — пара граничных точек, вторая -внутренних. Третью пару, необходимую для применения формулы (2.37), находим, используя свойство сохранения симметричных точек.


Найдем точки, симметричные точкам [math]z=2i[/math] и [math]w=2i[/math] относительно соответствующих окружностей.


Для точки [math]z=2i[/math] точкой, симметричной относительно окружности [math]|z-2i|=2[/math], будет [math]z^{\ast}=\infty[/math], так как [math]2i[/math] — центр круга. Для точки [math]w=2i[/math] точку, симметричную относительно окружности [math]|w+2i|=2[/math], находим, используя формулу (2.40), [math]|2i-(-2i)|\cdot |w^{\ast}-(-2i)|=4[/math], или [math]|w^{\ast}+ 2i|=1[/math]. Из полученного равенства следует, что [math]w^{\ast}[/math] расположена на расстоянии [math]d=1[/math] от центра круга [math](-2i)[/math] и, по определению симметричных точек , на одном луче с центром и точкой [math]2i[/math]. Из этих рассуждений очевидно, что [math]w^{\ast}=-i[/math]. Таким образом, имеем соответствие трех пар точек: [math]0\to0,~ 2i\to2i,~ \infty\to-i[/math].


Применяя формулу (2.37), получаем [math]\frac{w-2i}{-i-2i}\cdot \frac{-i}{w}= \frac{z-2i}{z}[/math], или после преобразований [math]w=\frac{iz}{3i-z}[/math].


Пример 2.71. Отобразить область [math]D[/math] на круг [math]|w|<1[/math] так, чтобы [math]w(z_0)=0,~ z_0\in D[/math], если: a) [math]D\colon \operatorname{Im}z>0[/math]; б) [math]D\colon |z|<1[/math].


▼ Решение

Так как точка [math]z_0[/math] отображается в [math]w=0[/math], т.е. в центр круга [math]|w|<1[/math], то точка [math]z_0^{\ast}[/math], сопряженная точке [math]z_0[/math] относительно границы области [math]D[/math], отображается в [math]w=\infty[/math]. Имеем соответствие двух пар точек, причем [math]z_0\to0[/math] и [math]z_0^{\ast}\to\infty[/math]. Можем искать отображение в виде [math]w=A\cdot \frac{z-z_0}{z-z_0^{\ast}}[/math] (см. (2.39)). Нужно найти величины [math]z_{0}^{\ast}[/math] и [math]A[/math].


1. Найдем [math]z_{0}^{\ast}[/math] — точку, симметричную точке го относительно границы области [math]D[/math] в каждом случае:


а) так как граница области [math]\operatorname{Im}z>0[/math] — действительная ось, то [math]z_{0}^{\ast}= \overline{z}_0[/math];
б) здесь [math]z_{0}^{\ast}[/math] симметрична точке [math]z_{0}[/math] относительно окружности [math]|z|=1[/math], поэтому [math]z_{0}^{\ast}= \frac{1}{\overline{z}_0}[/math] (см. (2.33)).

2. Значение [math]A[/math] определяем из соответствия граничных точек: [math]z_1=w_1[/math], где [math]z_1\in\delta D,~ w_1\in\delta G[/math]. Так как [math]|w_1|=1[/math], то получаем условие для нахождения [math]A\colon\, 1=|A|\cdot \left|\frac{z_1-z_0}{z_1-z_{0}^{\ast}}\right|[/math].


Получим решение для каждого из рассматриваемых случаев.


а) Имеем [math]1=|A|\cdot \left|\frac{z_1-z_0}{z_1-\overline{z}_0}\right|[/math]. Так как [math]z_1\in \operatorname{Im}z=0[/math], то [math]z_1[/math] — действительное число и поэтому [math]|z_1-z_0|= |z_1-\overline{z}_0[/math]. Получаем [math]|A|=1[/math] и [math]A=e^{i\alpha}[/math]. Искомое отображение [math]w=e^{i\alpha}\cdot \frac{z-z_0}{z-\overline{z}_0}[/math], где [math]\alpha[/math] — любое число.


Заметим, что неоднозначность ответа, вызванная произволом выбора а, связана с неопределенностью соответствия [math]z_1\to w_1[/math]. Указана принадлежность этих точек границам соответствующих областей, но не заданы определенные значения. Каждому фиксированному значению [math]z_1\in\delta D[/math] можно поставить в соответствие произвольное значение [math]w_1\in\delta D[/math], удовлетворяющее условию [math]|w_1|=1[/math]. Отображение найдено с точностью до поворота окружности [math]|w|=1[/math], что геометрически очевидно. При задании дополнительного условия для нахождения [math]\alpha[/math] решение поставленной задачи единственное.


б) Отображение ищем в виде [math]w=A\cdot \frac{z-z_0}{z-\overline{z}_{0}^{-1}}[/math], то есть [math]w=-A \overline{z}\cdot \frac{z-z_0}{1-z \overline{z}_0}[/math], или, если обозначить [math]B=-A \overline{z}_0[/math], то [math]w=B\cdot \frac{z-z_0}{1-z \overline{z}_0}[/math].


Из условия [math]|w_1|=1[/math] для [math]z_1\in\delta D[/math] получаем [math]1=|B|\cdot \frac{|z_1-z_0|}{|1-z \overline{z}_0|}[/math].


Так как [math]|z_1|=1[/math] для [math]z_1\in\delta D[/math], то, подставляя [math]z_1=e^{i\varphi}[/math], перепишем равенство


[math]1=|B|\cdot \frac{|e^{i\varphi}-z_0|}{|1-e^{i\varphi} \overline{z}_0|}[/math], или [math]1=|B|\cdot \frac{|e^{i\varphi}-z_0|}{|e^{i\varphi}|\cdot |e^{-i\varphi}-\overline{z}_0|}[/math].

В последнем равенстве [math]|e^{i\varphi}-z_0|=|e^{-i\varphi}-\overline{z}_0|[/math] как модули комплексных сопряженных чисел и [math]|e^{i\varphi}|=1[/math]. Поэтому [math]|B|=1[/math] и [math]B= e^{i\alpha}[/math].


Искомое отображение [math]w=e^{i\alpha}\cdot \frac{z-z_0}{1-z \overline{z}_0},~ \alpha\in \mathbb{R}[/math]. Как и в предыдущем случае, оно не является единственным.


Пример 2.72. Отобразить область [math]\operatorname{Re}z-\operatorname{Im}z>0[/math] на [math]|w-3i|>2[/math] так, чтобы выполнялись условия [math]w(1)=\infty,~ \arg w'(2)=\frac{\pi}{4}[/math].


▼ Решение

По условию точка [math]z=1[/math] отображается в [math]w=\infty[/math], следовательно, точка [math]z=i[/math], симметричная точке [math]z=1[/math] относительно прямой [math]\operatorname{Re}z-\operatorname{Im}z=0[/math], отображается в центр окружности [math]|w-3i|=2[/math], т.е. в точку [math]w=3i[/math] (рис. 2.36,а).


Задача, очевидно, эквивалентна задаче нахождения отображения полуплоскости [math]\operatorname{Re}z-\operatorname{Im}z>0[/math] на круг [math]|w-3i|<2[/math], при условии, что данная точка [math]i[/math] полуплоскости переходит в центр круга (незаштрихованная область на рис. 2.36,а).


Эта задача отображения полуплоскости на круг может быть приведена к канонической. Но чтобы воспользоваться формулой (2.41), нужно применить предварительно два линейных отображения, переводящих область [math]\operatorname{Re}z-\operatorname{Im}z>0[/math] в верхнюю полуплоскость, а круг [math]|w-3i|<2[/math] в единичный круг с центром в начале координат (рис. 2.36,б).


Первый этап. Первое из этих преобразований — поворот на угол [math]\frac{\pi}{4}[/math] по часовой стрелке осуществляется функцией [math]z_1=z\,e^{-i\,\pi \!\not{\phantom{|}}\,\,4}[/math] при этом точка [math]z=i[/math] переходит в [math]z_0=i\cdot e^{-i\,\pi \!\not{\phantom{|}}\,\,4}= e^{i\,\pi \!\not{\phantom{|}}\,\,2}\cdot e^{-i\,\pi \!\not{\phantom{|}}\,\,4}= e^{-i\,\pi \!\not{\phantom{|}}\,\,4}[/math].


Для второго преобразования используем функцию [math]w_1=\frac{w-3i}{2}[/math] — смещение и сжатие; при этом центр круга перейдет в [math]w_0=0[/math].


Второй этап. Для переменных [math]z_1[/math] и [math]w_1[/math] используем формулу (2.41), т.е. запишем


[math]w_1= e^{i\,\alpha}\cdot \frac{z_1-z_0}{z_1-\overline{z}_0},~~ \frac{w-3i}{2}= e^{i\,\alpha}\cdot \frac{z\, e^{-i\,\pi \!\not{\phantom{|}}\,\,4}-i\, e^{-i\,\pi \!\not{\phantom{|}}\,\,4}}{z\, e^{-i\,\pi \!\not{\phantom{|}}\,\,4}- e^{-i\,\pi \!\not{\phantom{|}}\,\,4}}[/math], или после сокращения на [math]e^{-i\,\pi \!\not{\phantom{|}}\,\,4}\colon\, w=3i+2e^{i\,\alpha}\cdot \frac{z-i}{z-1}[/math].

Полученная функция при любом [math]\alpha\in\mathbb{R}[/math] осуществляет отображение [math]\operatorname{Re}z-\operatorname{Im}z>0[/math] на [math]|w-3i|>2[/math], при этом [math]w(1)=\infty[/math].


Третий этап. Для определения параметра [math]\alpha[/math] используем условие [math]\arg w'(2)=\frac{\pi}{4}[/math]. Находим производную [math]w'(z)= 2e^{i\,\alpha}\cdot \frac{i-1}{(z-1)^2}[/math] и ее значение в точке [math]z=2[/math], то есть [math]w'(2)= 2e^{i\,\alpha}(-1+i)[/math].


По правилу нахождения аргумента произведения комплексных чисел из последнего равенства получаем [math]\arg w'(2)= \alpha+\arg(-1+i)[/math], то есть [math]\arg w'(2)=\alpha+ \frac{3\pi}{4}[/math]. Из этого равенства и условия [math]\arg w'(2)=\frac{\pi}{4}[/math] находим [math]\alpha=-\frac{\pi}{2}[/math]. Подставляя [math]\alpha=-\frac{\pi}{2}[/math] в полученное выше выражение, находим окончательный результат: [math]w=3i+2e^{-i\,\pi\!\not{\phantom{|}}\,\,2}\cdot \frac{z-i}{z-1}[/math], или [math]w=3i-2\,\frac{1+iz}{z-1}[/math]. Искомое отображение [math]w=\frac{iz-(2+3i)}{z-1}[/math].


Пример 2.73. Найти образ прямой [math]\operatorname{Re}z+ \operatorname{Im}z=0[/math] при отображении, полученном в примере 2.72.


▼ Решение

Заметим, что данная прямая перпендикулярна границе области [math]D[/math] из примера 2.72, поэтому, по свойству отображения ее образ — линия, перпендикулярная окружности [math]|w-3i|=2[/math]. Кроме того, так как данная прямая не проходит через особую точку функции, то, по круговому свойству, ее образом будет окружность. Эта окружность ортогональна окружности [math]|w-3i|=2[/math] в точке их пересечения. Найдем ее уравнение. Решается прямая задача по правилу 2.4.


1. Запишем уравнение линии [math]\operatorname{Re}z+ \operatorname{Im}z=0[/math] в форме [math]\frac{z+\overline{z}}{2}+\frac{z-\overline{z}}{2i}=0[/math], или после преобразований: [math]z+i\,\overline{z}=0[/math].


2. Из [math]w=\frac{iz-(2+3i)}{z-1}[/math] выражаем [math]z[/math], получаем [math]z=\frac{w-3i-2}{w-i}[/math]. Подставляем [math]z[/math] и [math]\overline{z}= \frac{\overline{w}+3i-2}{\overline{w}+i}[/math] в уравнение и преобразуем равенство [math]\frac{w-3i-2}{w-i}i\cdot \frac{\overline{w}+3i-2}{\overline{w}+i}\colon[/math]


[math]w\cdot \overline{w}-4\cdot \frac{w+\overline{w}}{2} +i\cdot \frac{w-\overline{w}}{2i}\cdot2i+1=0,[/math]

Полученное уравнение — уравнение окружности, так как в нем присутствует слагаемое [math]w\cdot \overline{w}[/math]. Запишем это уравнение в действительной форме:


[math]u^2+v^2-4u-2v+1=0[/math], или [math](u-2)^2+(v-1)^2=4[/math], где [math]u=\operatorname{Re}w,~ v=\operatorname{Im}w[/math].

Центр окружности в точке (2,1), радиус равен 2 (рис. 2.37).


Заметим, что эта окружность пересекает окружность из примера 2.72 под прямым углом, так как касательная к одной совпадает с радиусом другой и наоборот. Под прямым углом пересекаются и их прообразы (рис. 2.37), что иллюстрирует конформность отображения в точке [math]z=0[/math].




Отображение степенной функции на комплексной плоскости


Рассмотрим пример не всюду конформного отображения с помощью функции, которая не является однолистной в [math]\mathbb{C}[/math]. Ранее исследовалась такая функция : [math]w=z^n[/math] (степенная функция), в частности [math]w=z^2[/math]. Напомним полученные результаты.


Утверждение 2.23


1. Отображение [math]w=z^n[/math] неоднолистно в [math]\mathbb{C}[/math]; областью однолистности является любая область, принадлежащая углу раствора [math]\frac{2\pi}{n}[/math] (сектору), т.е. [math]\alpha<\beta<\alpha+\frac{2\pi}{n}[/math], где [math]\alpha[/math] — любое.


2. Функция [math]w=z^n[/math], аналитическая в [math]\mathbb{C}[/math] и [math]w'=n\cdot z^{n-1}[/math], то есть [math]w'(z)\ne0[/math] для любого [math]z\ne0[/math]. Отображение является конформным в [math]\mathbb{C}[/math], за исключением, быть может, точки [math]z=0[/math].


3. Функция [math]w=z^n[/math] конформно и взаимно однозначно отображает любой сектор [math]k\,\frac{2\pi}{n}<\arg z< (k+1)\frac{2\pi}{n}\,;[/math] [math](k=0,1,\ldots,n-1)[/math] на плоскость с разрезом по лучу [math][0;+\infty)[/math], а плоскость [math]\mathbb{C}[/math] с выброшенной точкой [math]z=0[/math] — на риманову поверхность этой функции.


4. Функция [math]w=\sqrt[n]{z}[/math] — обратная к неоднолистной (n-листной) функции [math]w=z^n[/math] является неоднозначной (n-значной). В областях, не содержащих точек [math]z=0[/math] и [math]z=\infty[/math] (точек ветвления функции), возможно выделение однозначных ветвей. Каждая ветвь отображает плоскость с разрезом [math][0;+\infty)[/math] на один из секторов [math]k\,\frac{2\pi}{n}<\arg z< (k+1)\frac{2\pi}{n}\,;[/math] [math](k=0,1,\ldots,n-1)[/math]. Риманову поверхность функции [math]w=z^n[/math] функция [math]w=\sqrt[n]{z}[/math] отображает на [math]\mathbb{C}[/math] с выброшенной точкой.


Выясним геометрические свойства отображения в точке [math]z=0[/math]. Запишем переменные в показательной форме: [math]w=\rho\cdot e^{i\theta},~ z=r\cdot e^{i\varphi}[/math] и из равенства [math]\rho\cdot e^{i\theta}=r^n\cdot e^{in\varphi}[/math] получим: [math]\rho=r^n,~ \theta= n\varphi[/math], или [math]|w|=|z|^n[/math] и [math]\arg w=n\arg z[/math]. При отображении [math]w=z^n[/math] увеличивается в [math]n[/math] раз аргумент — угол наклона радиуса-вектора точки к действительной оси, а при отображении [math]w=\sqrt[n]{z}[/math] — уменьшается в [math]n[/math] раз. Можно сделать заключение.


Утверждение 2.24


1. При отображении [math]w=z^n[/math] увеличиваются в [math]n[/math] раз углы между любыми прямыми, проходящими через начало координат. Поэтому отображением [math]w=z^n[/math] пользуются, если нужно увеличить углы при переходе от прообраза к образу.


2. При отображении [math]w=\sqrt[n]{z}[/math] уменьшаются в [math]n[/math] раз углы между любыми прямыми, проходящими через начало координат. Поэтому отображением [math]w=\sqrt[n]{z}[/math] пользуются, если нужно уменьшить углы при переходе от прообраза к образу.


3. Используя комбинацию дробно-линейного отображения и отображений [math]w=z^n[/math] и [math]w=\sqrt[n]{z}[/math], можно конформно отобразить любую "луночку" — область, ограниченную двумя дугами пересекающихся окружностей, на верхнюю полуплоскость.


▼ Примеры 2.74-2.78 задач со степенными отображениями

Пример 2.74. При отображении [math]w=z^4[/math] найти образ области, ограниченной двумя лучами, выходящими из начала координат и образующими угол [math]\frac{\pi}{2}[/math].


▼ Решение

Область [math]D\colon \alpha<\arg z<\alpha+ \frac{\pi}{2}[/math] есть угол раствора [math]\frac{\pi}{2}[/math], и при отображении [math]w=z^4[/math] переходит в угол раствора [math]2\pi[/math]. Границами области [math]D[/math] являются лучи [math]\arg z=\alpha[/math] и [math]\arg z=\alpha+\frac{\pi}{2}[/math], их параметрические уравнения имеют вид [math]z=r\,e^{i\alpha}[/math] и [math]z=r\,e^{i \left(\alpha+ \frac{\pi}{2}\right)}[/math], где [math]r[/math] — любое, [math]r>0[/math] — параметр.


Образами этих прямых будут прямые-лучи [math]w=r^4e^{i4\alpha}[/math] и [math]w=r^4 e^{i(4\alpha+2\pi)}[/math] или [math]w=R\,e^{i\beta}[/math] и [math]w=R\, e^{i(\beta+ 2\pi)}[/math], где [math]\beta=4\alpha[/math]. Геометрически линии совпадают. Для однозначности отображения на границе проводим разрез по лучу [math]\beta[/math] (рис. 2.38). Образом области [math]D[/math] является плоскость с разрезом получу [math]\arg w=\beta[/math]; угол [math]\alpha<\varphi<\alpha+\frac{\pi}{2}[/math] отображается в угол [math]\beta<\theta< \beta+2\pi[/math].


Заметим, что этот же результат получается и для каждого из трех других углов, образованных продолжением выбранных лучей за начало координат (рис. 2.38). Так, для области [math]D_1[/math], имеем [math]\alpha+\frac{\pi}{2}<\varphi_1<\alpha+\pi[/math] и поэтому [math]4\alpha+2\pi< \theta_1< 4\alpha+4\pi[/math] или [math]\beta_1<\theta_1< \beta_1+2\pi[/math], где [math]\beta_1=4\alpha+ 2\pi[/math] совпадает геометрически с [math]\beta=4\alpha[/math].


Для области [math]D_2[/math] из [math]\alpha-\pi<\varphi_2<\alpha-\frac{\pi}{2}[/math]получаем [math]4\alpha-4\pi<\theta_2<4\alpha-2\pi[/math], или [math]\beta_2<\theta_2<\beta_2+2\pi,~ \beta_2= 4\alpha-4\pi[/math] и [math]\beta_2[/math] совпадает геометрически с [math]\beta=4\alpha[/math].


Наконец, для [math]D_3[/math] из [math]\alpha-\frac{\pi}{2}<\varphi_3<\alpha[/math] получаем [math]4\alpha-2\pi<\theta_3<4\alpha[/math] и [math]\beta_3<\theta_3<\beta_3+2\pi,~ \beta_3= 4\alpha-2\pi[/math] и [math]\beta_3[/math] совпадает геометрически с [math]\beta=4\alpha[/math].


В частности, при [math]\alpha=0[/math] область [math]D[/math] определяется условием [math]0<\arg z<\frac{\pi}{2}[/math] — первый квадрант; [math]D_1,\,D_2,\,D_3[/math] — другие квадранты. Все эти области функцией [math]w=z^4[/math] отображаются на плоскость с разрезом по лучу [math][0;+\infty),~(\beta=4\alpha=0)[/math] (рис. 2.39).


При [math]\alpha=\frac{\pi}{4}[/math] соответствующие области отображаются на плоскость с разрезом по лучу [math](-\infty;0],~ (\beta=4\alpha=\pi)[/math] (рис. 2.40).


Пример 2.75. Отобразить "луночку" [math]\begin{cases}|z-i|<1,\\ |z-1|<1\end{cases}[/math] на верхнюю полуплоскости.


▼ Решение

Границу "луночки" образуют дуги двух окружностей, пересекающихся t точках [math]z=0[/math] и [math]z=1+i[/math] под углом [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math], а границу ее образа — два луча, образующие действительную ось, угол между ними равен [math]\pi[/math] (рис. 2.41).


Так как нужно увеличить угол вдвое, применим отображение [math]w=z^2[/math]. Но прежде надо "распрямить" дугу, т.е. применить преобразование, переводящее все окружности в прямые. Для этого достаточно, чтобы одна из их общих точек отображалась в бесконечно удаленную точку (см. пример 2.67).


Первый этап. Применяем дробно-линейное преобразование [math]w_1=A\cdot \frac{z-z_1}{z-z_2}[/math], где, например, [math]z_0=0,~ z_2=1+i[/math], то есть переводим 0 в 0 [math](0\to0),~ (1+i)[/math] в [math]\infty~((1+i)\to\infty)[/math].


Образами дуг при отображении [math]w=\frac{A\cdot z}{z-(1+i)}[/math] будут два луча, пересекающиеся в начале координат под прямым углом. Положение лучей (наклон) определяется параметром [math]A[/math].


Для определенности отображения на этом этапе зададим значение [math]A[/math] или найдем его, задав третью пару — соответствие внутренних точек. Из соображений симметрии удобно взять, например, [math]\frac{1+i}{2}\to \frac{1+i}{2}[/math]. Образом точки [math]\frac{1+i}{2}[/math], принадлежащей луночке , будет точка [math]\frac{1+i}{2}[/math], принадлежащая первая квадранту.


Из равенства [math]\frac{1+i}{2}= \frac{A}{\frac{1+i}{2}-(1+i)}\cdot \frac{1+i}{2}[/math] находим [math]A=-\frac{1+i}{2}[/math] и получаем отображение [math]w_1=-\frac{1+i}{2}\cdot \frac{z}{z--(1+i)}[/math].


Образом "луночки" будет первый квадрант, а образами дуг — действительная и мнимая полуоси, так как из соответствия [math]0\to0[/math] и [math]\frac{1+i}{2}\to \frac{1+i}{2}[/math] следует, что образом прямой, соединяющей точки [math]z=0[/math] и [math]z=\frac{1+i}{2}[/math], будет биссектриса первого координатного угла в плоскости [math]w_1[/math].


Второй этап. Применяем преобразование [math]w=w_1^2[/math], удваивающее углы, и получаем окончательный ответ:


[math]w=\frac{i}{2} \left(\frac{z}{z-(1+i)}\right)^2[/math] или [math]w=\frac{i\,z^2}{(z-(1+i))^2}[/math].

Пример 2.76. Отобразить полукруг [math]|z|<1,~ \operatorname{Im}z>0[/math] на верхнюю полуплоскость.


▼ Решение

Рассуждая, как и в предыдущем примере, замечаем, что нужно прежде "распрямить" окружность; при этом образом прямой [math]|z|<1,~ \operatorname{Im}z>0[/math] должна быть также прямая. Поэтому нужно взять преобразование, переводящее одну из точек пересечения дуги и прямой в бесконечность.


Первый этап. Пусть [math]1\to\infty,\,-1\to0[/math] (на рис. 2.42,а точки [math]D[/math] и [math]B[/math]) , т.е. выбираем отображение [math]w_1=A\cdot \frac{z+1}{z-1}[/math]. При [math]A=-1[/math] это [math]w=\frac{z+1}{1-z}[/math] и [math]w=\frac{z+1}{z-1}[/math] при [math]A=1[/math].


Второй этап. Определим образ полукруга при выбранном отображении. Для этого достаточно взять еще по одной точке на каждой из частей границы полукруга, например, [math]z=0[/math] (точка [math]A[/math] на рис. 2.42,а) и [math]z=i[/math] (точка [math]C[/math] на рис. 2.42,а), найти их образы и по направлению обхода границы определить вид области.


Так, в случае [math]w_1=\frac{z+1}{z-1}[/math] точке [math]z=0[/math] соответствует [math]w_1=-1[/math], точке [math]z=i[/math] соответствует [math]w_1=-i[/math]. Образом полукруга будет третий квадрант (рис. 2.42,б).


Если взять [math]A=-1[/math], т.е. отображение [math]w_1=\frac{z+1}{1-z}[/math], то из соответствия [math]0\to1,~ i\to i[/math] находим, что образом полукруга будет первый квадрант (рис. 2.42,в)


Третий этап. В случае выбранного выше отображения [math]w_1=\frac{z+1}{1-z}[/math] при [math]A=-1[/math] ответом, очевидно, будет [math]w=w_1^2[/math], то есть [math]w= \left(\frac{z+1}{1-z}\right)^2[/math]. В случае [math]w_1=\frac{z+1}{z-1}[/math] отображение [math]w=w_1^2[/math] приводит к тому же результату. Можно предварительно применить преобразование поворота [math]w_2=e^{i\pi}w_1[/math], в результате чего получим первый квадрант и окончательный ответ: [math]w=w_2^2=w_1^2[/math], то есть [math]w= \left(\frac{z+1}{z-1}\right)^2[/math].


Пример 2.77. Найти образ плоскости с разрезом по лучу [math][0;+\infty)[/math] при отображении [math]w=\sqrt[4]{z}[/math] с условием [math]w(-1)= \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)[/math].


▼ Решение

Заметим, что поставленную задачу можно рассматривать как обратную рассмотренной в примере 2.74 (см. рис. 2.39). Каждой точке границы [math]z=x,~ x\geqslant1[/math] соответствуют четыре значения [math]w[/math], определяемые по формуле [math]w_k=\sqrt[4]{x}\exp \frac{i\,2k\pi}{4},~ k=0,1,2,3[/math]. Образом луча [math]z=x[/math], где [math]x[/math] — параметр, будет каждый из лучей, параметрические уравнения которых


[math]w=r,~~ w=r\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}=r\,i,~~ w=r\,e^{i\pi}=-r,~~ w=r\,e^{i\,\frac{3\pi}{2}}=-r\,i[/math], где [math]r=\sqrt[4]{x}\geqslant0[/math] — параметр.

Они делят плоскость на четыре квадранта.


Выражение [math]w=\sqrt[4]{z}[/math] определяет в любой области, не содержащей точек [math]z=0[/math] и [math]z=\infty[/math], четыре однозначные ветви. В данном случае такая область — плоскость с разрезом [math][0;+\infty)[/math]. Каждая из ветвей отображает эту область на один из квадрантов. Выбор ветви определяется заданием функции в одной из точек области. Из условия [math]w(-1)=\exp \frac{-i\pi}{4}[/math] следует, что образом заданной области будет четвертый квадрант: [math]\operatorname{Re}w>0,~ \operatorname{Im}w<0[/math] (область [math]D_3[/math] на рис. 2.39).


Пример 2.78. Отобразить плоскость с разрезом [math]|\operatorname{Re}z|>1,~ \operatorname{Im}z=0[/math] на верхнюю полуплоскость.


▼ Решение

Из свойств отображения [math]w=\sqrt[n]{z}[/math] и анализа решений примеров 2.74 и 2.77 замечаем, что для отображения плоскости с разрезом по лучу [math][0;+\infty)[/math] на верхнюю полуплоскость нужно применить функцию [math]w= \sqrt{z}[/math]. В данном случае границa области состоит из двух лучей, пробегаемых дважды и соединяющихся в бесконечности (рис. 2.43). Чтобы получить плоскость с одним разрезом, можно сначала применить преобразование, соединяющее разрезы — сдвиг. При этом одна из точек границы должна отображаться в бесконечно удаленную точку. Следовательно, требуется применить дробно-линейное отображение.


Первый этап. Применим преобразование [math]w=A\cdot \frac{z-z_1}{z-z_2}[/math], где, например, [math]z_1=-1,~ z_2=1[/math], то есть [math]-1\to0,~ 1\to\infty[/math].


Запишем отображение [math]w_1=\frac{z+1}{z-1}[/math]. При этом получим [math]0\to-1[/math] и [math]\infty=1[/math], так как [math]\lim_{z\to\infty}w_1=1[/math]. Образом данной области будет плоскость c разрезом [math][0;+\infty)[/math] (рис. 2.43).


Второй этап. Применяем [math]w=\sqrt{w_1}[/math] при условии [math](w-1)=i[/math]. Получим отображение, переводящее заданную область в верхнюю полуплоскость.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved