Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Конечные автоматы с выходом. Структурный синтез
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Конечные автоматы с выходом. Структурный синтез Пусть $M=(V,Q,q_0,F,\delta)$ — детерминированный конечный автомат. Модифицируем метки его дуг, а именно фиксируем произвольно алфавит $W$ , который назовем выходным (хотя он может и совпадать со входным алфавитом $V$ конечного автомата $M$ ), его буквы назовем выходными символами и для каждой дуги $e$ конечного автомата $M$ проделаем следующее: каждому входному символу $a$ , принадлежащему метке дуги е, сопоставим однозначно упорядоченную пару $(a,b)\in V\times W$ . Полученный таким образом размеченный ориентированный граф называют конечным автоматом с выходом. Конечный автомат с выходом может быть определен и иначе, независимо от понятия детерминированного конечного автомата. Конечный автомат с выходом есть упорядоченная семерка $M=(V,W,Q,q_0,F,\delta,\mu),$ где $V$ — входной алфавит (его элементы — входные символы); $W$ — выходной алфавит (его элементы — выходные символы); $Q$ — конечное множество состояний конечного автомата с выходом; $q_0$ — выделенное состояние, называемое начальным состоянием конечного автомата с выходом; $F$ — выделенное непустое подмножество состояний, каждый элемент которого называют заключительным состоянием конечного автомата с выходом; $\delta\colon Q\times V\to Q$ — отображение, называемое функцией переходов конечного автомата с выходом; $\mu\colon Q\times V\to W$ — отображение, называемое функцией выходов конечного автомата с выходом. Графом (или диаграммой) конечного автомата с выходом $M$ называют ориентированный граф, множество вершин которого совпадает с множеством состояний $Q$ , а множество дуг определяется так: из вершины (состояния) $q$ ведет дуга в вершину (состояние) $r$ тогда и только тогда, когда $r=\delta(q,a)$ для некоторого входного символа $a$ (причем, поскольку $\delta$ есть отображение, для каждой пары $(q,a)$ указанное состояние $r$ единственное). Каждой дуге диаграммы конечного автомата с выходом $M$ сопоставляется метка, являющаяся конечным множеством упорядоченных пар из $V\times W$ , так, что пара $(a,b)$ принадлежит метке дуги $q\to r$ тогда и только тогда, когда $\mu(q,a)=b$ . Как видно, метка каждой дуги конечного автомата с выходом есть конечное соответствие, функциональное по второй компоненте (т.е. частичное отображение из $V$ в $W$ ). Область определения этого соответствия называется входной меткой дуги, а область значений — выходной меткой дуги (диаграммы конечного автомата с выходом). На рис. 7.37 показана диаграмма конечного автомата с выходом, у которого входной алфавит $V=\{a,b\}$ , выходной алфавит $W=\{0;1\}$ , множество состояний $Q=\{q_0,q_1,q_2\}$ при начальном состоянии $q_0$ и заключительном — $q_2$ . Функции переходов и выходов определяются метками дуг. Обычно при изображении диаграмм упорядоченная пара $(i,0)\in V\times W$ записывается через косую черту: $i/0$ . Можно показать, что два сформулированных выше определения конечного автомата с выходом равносильны и тем самым существует взаимно однозначное соответствие между конечными автоматами с выходом (в смысле второго определения) и ориентированными графами, дуги которых размечены над декартовым произведением двух алфавитов так, как это описано в первом определении. Исходя из этого, мы можем отождествить конечные автоматы с выходом и их диаграммы. Таким образом, каждому конечному автомату с выходом $M$ однозначно сопоставляется детерминированный конечный автомат $M_V=(V,Q,q_0,F,\delta)$ , метки дуг которого получаются "стиранием" всех выходных символов в упорядоченных парах, которыми помечены дуги исходного конечного автомата с выходом (на каждой дуге остается только ее входная метка). Этот детерминированный конечный автомат будем называть входной проекцией конечного автомата с выходом или V-проекцией конечного автомата с выходом $M$ . Входная проекция конечного автомата с выходом, диаграмма которого изображена на рис. 7.37, показана на рис. 7.38. Функцию выходов $\mu$ конечного автомата с выходом $M$ можно доопределить до некоторого отображения $\mu^{\ast}$ из $Q\times V^{\ast}$ в $W^{\ast}$ . Для этого фиксируем произвольно состояние $q$ и входную цепочку $x\in V^{\ast}$ . Тогда в силу детерминированности конечного автомата $M_V$ существует единственный путь в $M_V$ (и, следовательно, в диаграмме $M$ ), ведущий из $q$ в некоторое состояние $r$ , на котором читается цепочка $x$ . Пусть $a\in V$ — входной символ, принадлежащий входной метке некоторой дуги, исходящей из $r$ . Тогда положим $\mu^{\ast}(q,x)=\lambda$ , если $x=\lambda$ ; $\mu^{\ast}(q,xa)= \mu^{\ast}(q,x)\mu(r,a)$ (заметим, что при этом для любых $q\in Q$ и $a\in V$ имеется $\mu^{\ast}(q,a)=\mu(q,a)$ , т.е. функция выходов конечного автомата с выходом есть сужение функции $\mu^{\ast}$ на подмножество $Q\times V$ ). В частности, для любой входной цепочки $x$ , допускаемой конечным автоматом $M_V$ , положим $f_M(x)=\mu^{\ast}(q_0,x).$ (7.11) функция $f_M$ определенная выражением (7.11), называется функцией, вычисляемой конечным автоматом с выходом $M$ . Так, для конечного автомата на рис. 7.37 имеем, например, $f_M(abba)=0110$ . Можно показать, что функция $f_M$ , вычисляемая данным конечным автоматом, есть биекция регулярного языка $(a+b)^{\ast}bb(a+b)^{\ast}$ в алфавите $V=\{a,b\}$ на регулярный язык $(0+1)^{\ast}11(0+1)^{\ast}$ в алфавите $W=\{0;1\}$ , такая, что для каждой цепочки $x$ первого языка цепочка $f_M(x)$ получается заменой каждого вхождения символа $a$ символом 0 и заменой каждого вхождения символа $b$ символом 1. Функция из $V^{\ast}$ в $W^{\ast}$ называется ограниченно детерминированной функцией (или ОД-функцией), если она вычисляется некоторым конечным автоматом с выходом. Замечание 7.13. Термин "ограниченно детерминированная функция" связан с тем, что множество всех функций вида $f\colon V^{\ast}\to W^{\ast}$ , вычисляемых конечными автоматами с выходом, есть собственное подмножество множества всех таких функций, которые вычисляются посредством так называемых машин Тьюринга. Машина Тьюринга является самой общей математической моделью "детерминированного преобразователя слов", т.е. моделью, с помощью которой может быть вычислена любая функция из множества слов в одном алфавите в множество слов в другом алфавите. Таким образом, каждый конечный автомат с выходом вычисляет некоторую ОД-функцию. С интуитивной точки зрения это значит, что конечный автомат с выходом работает как "детерминированный преобразователь" слов (цепочек) во входном алфавите в слова (цепочки) в выходном алфавите. В отличие от обычного конечного автомата, который является чистым "распознавателем", конечный автомат с выходом снабжен выходной лентой, на которую записывается выходная цепочка $f_M(x)$ для заданной входной цепочки $x$ (рис. 7.39). Для конечных автоматов с выходом может быть поставлена задача структурного синтеза. Содержательно ее можно представить как задачу, аналогичную задаче реализации булевой функции или булева оператора схемой из функциональных элементов. Однако в отличие от СФЭ, реализующей булев оператор, "схема", которая реализует ОД-функцию (или, что то же, вычисляющий ее конечный автомат с выходом), должна помимо функциональных элементов, каждый из которых вычисляет некоторую булеву функцию из заданного конечного множества функций, содержать так называемые элементы задержки, позволяющие хранить информацию о текущем состоянии автомата. Чтобы объяснить это, представим себе (на интуитивном уровне) процесс работы конечного автомата с выходом во времени. В начальный момент времени (время дискретно) $t=0$ блок управления конечного автомата с выходом находится в начальном состоянии $q(0)=q_0$ . Предположим, что в произвольный момент времени $t\geqslant0$ состояние есть $q(t)$ . Пусть в этот момент времени конечный автомат считывает с входной ленты символ $x(t)$ . Тогда в этот же момент времени $t$ на выходной ленте появится выходной символ $y(t)$ , а его устройство управления перейдет в состояние $q(t+1)$ , в котором и останется до следующего момента времени $t+1$ . При этом выполняются соотношения $\begin{cases}q(t+1)=\delta(q(t),x(t)),\\ y(t)=\mu(q(t),x(t)),\\ q(0)=q_0. \end{cases}$ (7.12) Эти соотношения называют каноническими уравнениями данного конечного автомата с выходом. Из канонических уравнений (7.12) вытекает, что "схема", реализующая конечный автомат с выходом, должна иметь " память" о состоянии устройства управления в предыдущий момент времени. Эта "память" реализуется с помощью так называемых элементов задержки, или триггеров. Конструированию "схемы" предшествует двоичное кодирование входных и выходных символов, а также состояний устройства управления. Это значит, что каждому состоянию или символу однозначно сопоставляется булев вектор (набор) соответствующей размерности. В общем виде искомая "схема" должна содержать два блока: назовем их комбинационной частью (КЧ) и запоминающей частью (ЗЧ) (рис. 7.40). На вход комбинационной части поступают в каждый момент времени $t$ двоичный код входного символа (булев вектор $X(t)$ ) и двоичный код состояния от запоминающей части (булев вектор $U(t)$ ), а с выхода комбинационной части снимается двоичный код выходного символа (булев вектор $Y(t)$ ) и двоичный код следующего состояния (булев вектор $U(t+1)$ ). Если через $F$ и $G$ обозначить булевы операторы, сопоставленные в результате указанного выше двоичного кодирования функциям перехода и выхода соответственно, то канонические уравнения примут вид $\begin{aligned}Z(t)=F(U(t),X(t)),\\ Y(t)=G(U(t),X(t)),\\ U(t+1)=Z(t),\\ U(0)=U_0,\\ t\geqslant0. \end{aligned}$ (7.13) Таким образом, комбинационная часть строится как некая схема из функциональных элементов, реализующая булев оператор, определяемый первыми двумя уравнениями (7.13), тогда как запоминающая часть содержит необходимое число триггеров и реализует "задержку" $U(t+1)=Z(t)$ . Каждый триггер есть устройство преобразования "одноразрядного двоичного сигнала" (с математической точки зрения булева вектора размерности 1), состоящего в задержке этого сигнала "на один такт". Иначе говоря, если в момент времени $t$ на вход триггера $T$ поступает сигнал $x(t)$ , в момент $(t+1)$ с выхода триггера снимается сигнал $y(t+1)=x(t)$ . Обычно рассматривают триггеры с двумя выходами: прямым и инверсным. Прямой выход работает так, как описано выше, а инверсный выдает сигнал, являющийся отрицанием сигнала прямого выхода (рис. 7.41). Теперь обсудим вопрос о размерности булевых векторов, кодирующих состояния и символы обоих алфавитов. Произвольное непустое конечное множество $S=\{s_1,\ldots,s_p\}$ может быть "закодировано" двоичными числами таким образом: нумеруем элементы $S$ от 0 до $(p-1)$ и эти номера записываем в двоичной системе счисления. Нетрудно сообразить, что тогда разрядность этих чисел (или, что то же самое, размерность соответствующих булевых векторов) составит $]\log_{2}p[$ (ближайшее целое, большее $\log_{2}p$ ). Так, если $p=15$ , то для того, чтобы закодировать числа от 0 до 14, нужны четырехразрядные двоичные коды, поскольку $]\log_{2}15[=4$ . Заметим, что в общем случае, поскольку число $]\log_{2}p[$ не будет целым, не все двоичные числа соответствующей разрядности будут использованы. Так, при $p=15$ не будет использовано число 1111 (двоичный код числа 15). Тогда размерности булевых векторов $X$ (кодов входных символов), $Y$ (кодов выходных символов), $U$ и $Z$ (кодов текущего и нового состояний) соответственно будут равны: $n=]\log_{2}\|V\|[,\qquad m=]\log_{2}\|W\|[,\qquad k=]\log_{2}\|Q\|[.$ Предлагается следующий алгоритм определения булевых операторов $F$ и $G$ в (7.13). 1. Составляется таблица для функций переходов и выходов исходного конечного автомата с выходом (табл. 7.1). $\begin{aligned}\mathit{Table~7.1}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|} \hline \text{Current status} & \text{Input symbol}& \text{Output symbol}& \text{New status} \\\hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\hline q& a& b=\mu(q,a)& r=\delta(q,a) \\\hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\hline \end{array} &\end{aligned}$ 2. По составленной таблице (см. табл. 7.1) строят так называемую структурную таблицу (табл. 7.2), в которой каждый символ (входной и выходной) и каждое состояние заменяются их двоичным кодом, причем так, что если набор $(u_1,\ldots,u_k)$ есть код текущего состояния $q$ , набор $(x_1,\ldots,x_n)$ есть код входного символа $a$ , то $(y_1,\ldots,y_m)= G \bigl((u_1,\ldots,u_k),(x_1,\ldots,x_n)\bigr)$ тогда и только тогда, когда набор $(y_1,\ldots,y_m)$ есть код выходного символа $b=\mu(q,a)$ , a $(z_1,\ldots,z_k)= F \bigl((u_1,\ldots,u_k),(x_1,\ldots,x_n)\bigr)$ тогда и только тогда, когда набор $(z_1,\ldots,z_k)$ есть код состояния $r=\delta(q,a)$ . $\begin{aligned}\mathit{Table~7.2}~&\\ \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|} \hline U& X& Y& Z \\\hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\hline u_1,\ldots,u_k& x_1,\ldots,x_n & y_1,\ldots,y_m & z_1,\ldots,z_k \\\hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\hline \end{array} &\end{aligned}$ Структурная таблица есть не что иное, как таблица, задающая некоторый булев оператор (вообще говоря, частичный, так как не все векторы соответствующей размерности служат кодами элементов множеств $V,W,Q$ ) из $\mathbb{B}^{k+n}$ в $\mathbb{B}^{m+k}$ . Этот оператор может быть реализован некоторой схемой из функциональных элементов (как правило, над стандартным базисом). Вектор $Z$ поступает (в некоторый момент времени $t$ ) на входы к триггеров, с прямых выходов которых (в момент времени $t+1$ ) снимается вектор $U$ , то есть $U(t+1)=Z(t)$ . Таким образом, если в начальный момент времени $t=0$ с выхода запоминающей части снимается вектор $U_0$ , код начального состояния $q_0$ и на вход комбинационной части поступит вектор $X(0)$ , то на вход запоминающей части в этот же момент времени поступит вектор $Z(0)=F(U(0),X(0))=U(1)$ и триггеры запоминающей части будут хранить уже информацию о новом состоянии до момента времени $t=1$ и т.д. В этом небольшом дополнении мы никак не можем сколько-нибудь подробно и строго обсуждать математическую теорию реализации ОД-функций "схемами" с элементами задержки. Разумеется, нет и речи о каких-либо доказательствах. Также мы не решаем "инженерно-технические" проблемы структурного синтеза, в частности проблемы "аппаратной реализации" триггеров. Наша цель здесь — показать в рамках самого элементарного изложения связь между теорией конечных автоматов и теорией булевых функций. Эта связь состоит в том, что теория булевых функций дает аппарат для структурного синтеза конечных автоматов (с выходом), т.е. для перехода от описания функции, вычисляемой конечным автоматом, к его структуре, реализующей его "схеме", построенной на функциональных элементах и элементах задержки. В заключение разберем простой пример структурного синтеза. Пример 7.14. Конечный автомат с выходом задан диаграммой, изображенной на рис. 7.42. С содержательной точки зрения этот автомат работает как простейший "лексический анализатор", распознавая все цепочки во входном алфавите $V=\{a,a,0,1\}$ , которые начинаются с "буквы", т.е. с символа $a$ или $b$ , как "правильные", тогда как цепочки, начинающиеся с "цифры" (т.е. с 0 или 1), классифицируются как "неправильные", о чем выдается сообщение в виде выходного символа "?". Кодируя входной и выходной алфавиты, а также состояния, получим следующие двоичные коды: 1) входной алфавит: $a-00,~ b-01,~0-10,~1-11$ ; 2) выходной алфавит: $0-00,~1-01,~?-10$ , код 11 не используется; 3) множество состояний: $q_0-00,~ q_1-01,~ q_2-10$ , код 11 не используется. Так как рассматриваемый автомат простой, мы сразу составим структурную таблицу (табл. 7.3). $\begin{aligned}\mathit{Table~7.3}~&\\ \begin{array}{\|cc\|cc\|cc\|cc\|} \hline u_1&u_2&x_1&x_2& y_1&y_2&z_1&z_2\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&1&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&1&0&1&0\\ 0&0&1&1&1&0&1&0\\\hline 0&1&0&0&0&0&0&1\\ 0&1&0&1&0&0&0&1\\ 0&1&1&0&0&1&0&1\\ 0&1&1&1&0&1&0&1\\\hline 1&0&0&0&0&0&1&0\\ 1&0&0&1&0&0&1&0\\ 1&0&1&0&0&1&1&0\\ 1&0&1&1&0&1&1&0\\\hline \end{array}&\end{aligned}$ Для частичных булевых функций $y_1=y_1(x_1,x_2,u_1,u_2),\quad y_2=y_2(x_1,x_2,u_1,u_2),\quad z_1=z_1(x_1,x_2,u_1,u_2),\quad z_2=z_2(x_1,x_2,u_1,u_2)$ ставим карты Карно и найдем для каждой из них минимальную ДНФ. Для функции $y_1$ карта Карно изображена на рис. 7.43. Единственная склейка дает $y_1=\overline{u}_1\overline{u}_2x_1$ . Для второй функции получим (рис. 7.44) $y_2=u_2x_1\lor u_1x_1= x_1(u_1\lor u_2)$ . Для функции $z_1$ имеем (рис. 7.45) минимальную ДНФ $z_1=u_1\lor x_1\overline{u}_2$ . Наконец, для функции $z_2$ по карте Карно, изображенной на рис. 7.46, находим $z_2=u_2\lor\overline{x}_1\overline{u}_1$ . Структурная схема автомата представлена на рис. 7.47. Обратим внимание на то, что вместо инверторов для сигналов $u_1$ и $u_2$ мы используем сигналы, снимаемые с инверсных выходов триггеров $T_1$ и $T_2$ . Заметим также, что переменная $x_2$ оказалась фиктивной. Действительно, тип входного символа ("буква", т.е. а или Ь, и "цифра", т.е. 0 или 1) распознается по первому разряду входного вектора $X$ : при $x_1=0$ имеем " букву", а при $x_1=1$ — "цифру". Наконец, следует заметить, что синтезированная "структурная схема", строго говоря, не является графом (поскольку содержит, например, "кратные дуги", т.е. допускает несколько разных дуг между одной и той же парой вершин). Даже комбинационная часть этой схемы не может быть уже названа схемой из функциональных элементов, так как в вершины, помеченные переменными $u_1,u_2$ заходят некоторые дуги. Это будет, говоря неформально, схема из функциональных элементов, "вставленная" в некий более общий "графовый объект". Строгая математическая теория таких "обобщенных графов" в этом курсе не рассматривается. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Конечные автоматы с выходом. Структурный синтез

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Конечные автоматы с выходом. Структурный синтез

Пусть $M=(V,Q,q_0,F,\delta)$ — детерминированный конечный автомат. Модифицируем метки его дуг, а именно фиксируем произвольно алфавит $W$ , который назовем выходным (хотя он может и совпадать со входным алфавитом $V$ конечного автомата $M$ ), его буквы назовем выходными символами и для каждой дуги $e$ конечного автомата $M$ проделаем следующее: каждому входному символу $a$ , принадлежащему метке дуги е, сопоставим однозначно упорядоченную пару $(a,b)\in V\times W$ .

Полученный таким образом размеченный ориентированный граф называют конечным автоматом с выходом.

Конечный автомат с выходом может быть определен и иначе, независимо от понятия детерминированного конечного автомата. Конечный автомат с выходом есть упорядоченная семерка

$M=(V,W,Q,q_0,F,\delta,\mu),$

где $V$ — входной алфавит (его элементы — входные символы); $W$ — выходной алфавит (его элементы — выходные символы); $Q$ — конечное множество состояний конечного автомата с выходом; $q_0$ — выделенное состояние, называемое начальным состоянием конечного автомата с выходом; $F$ — выделенное непустое подмножество состояний, каждый элемент которого называют заключительным состоянием конечного автомата с выходом; $\delta\colon Q\times V\to Q$ — отображение, называемое функцией переходов конечного автомата с выходом; $\mu\colon Q\times V\to W$ — отображение, называемое функцией выходов конечного автомата с выходом.

Графом (или диаграммой) конечного автомата с выходом $M$ называют ориентированный граф, множество вершин которого совпадает с множеством состояний $Q$ , а множество дуг определяется так: из вершины (состояния) $q$ ведет дуга в вершину (состояние) $r$ тогда и только тогда, когда $r=\delta(q,a)$ для некоторого входного символа $a$ (причем, поскольку $\delta$ есть отображение, для каждой пары $(q,a)$ указанное состояние $r$ единственное).

Каждой дуге диаграммы конечного автомата с выходом $M$ сопоставляется метка, являющаяся конечным множеством упорядоченных пар из $V\times W$ , так, что пара $(a,b)$ принадлежит метке дуги $q\to r$ тогда и только тогда, когда $\mu(q,a)=b$ .

Как видно, метка каждой дуги конечного автомата с выходом есть конечное соответствие, функциональное по второй компоненте (т.е. частичное отображение из $V$ в $W$ ). Область определения этого соответствия называется входной меткой дуги, а область значений — выходной меткой дуги (диаграммы конечного автомата с выходом).

На рис. 7.37 показана диаграмма конечного автомата с выходом, у которого входной алфавит $V=\{a,b\}$ , выходной алфавит $W=\{0;1\}$ , множество состояний $Q=\{q_0,q_1,q_2\}$ при начальном состоянии $q_0$ и заключительном — $q_2$ . Функции переходов и выходов определяются метками дуг. Обычно при изображении диаграмм упорядоченная пара $(i,0)\in V\times W$ записывается через косую черту: $i/0$ .

Можно показать, что два сформулированных выше определения конечного автомата с выходом равносильны и тем самым существует взаимно однозначное соответствие между конечными автоматами с выходом (в смысле второго определения) и ориентированными графами, дуги которых размечены над декартовым произведением двух алфавитов так, как это описано в первом определении. Исходя из этого, мы можем отождествить конечные автоматы с выходом и их диаграммы.

Таким образом, каждому конечному автомату с выходом $M$ однозначно сопоставляется детерминированный конечный автомат $M_V=(V,Q,q_0,F,\delta)$ , метки дуг которого получаются "стиранием" всех выходных символов в упорядоченных парах, которыми помечены дуги исходного конечного автомата с выходом (на каждой дуге остается только ее входная метка). Этот детерминированный конечный автомат будем называть входной проекцией конечного автомата с выходом или V-проекцией конечного автомата с выходом $M$ . Входная проекция конечного автомата с выходом, диаграмма которого изображена на рис. 7.37, показана на рис. 7.38.

Диаграмма входной проекции конечного автомата с выходом

Функцию выходов $\mu$ конечного автомата с выходом $M$ можно доопределить до некоторого отображения $\mu^{\ast}$ из $Q\times V^{\ast}$ в $W^{\ast}$ . Для этого фиксируем произвольно состояние $q$ и входную цепочку $x\in V^{\ast}$ . Тогда в силу детерминированности конечного автомата $M_V$ существует единственный путь в $M_V$ (и, следовательно, в диаграмме $M$ ), ведущий из $q$ в некоторое состояние $r$ , на котором читается цепочка $x$ . Пусть $a\in V$ — входной символ, принадлежащий входной метке некоторой дуги, исходящей из $r$ . Тогда положим $\mu^{\ast}(q,x)=\lambda$ , если $x=\lambda$ ; $\mu^{\ast}(q,xa)= \mu^{\ast}(q,x)\mu(r,a)$ (заметим, что при этом для любых $q\in Q$ и $a\in V$ имеется $\mu^{\ast}(q,a)=\mu(q,a)$ , т.е. функция выходов конечного автомата с выходом есть сужение функции $\mu^{\ast}$ на подмножество $Q\times V$ ). В частности, для любой входной цепочки $x$ , допускаемой конечным автоматом $M_V$ , положим

$f_M(x)=\mu^{\ast}(q_0,x).$

(7.11)

функция $f_M$ определенная выражением (7.11), называется функцией, вычисляемой конечным автоматом с выходом $M$ .

Так, для конечного автомата на рис. 7.37 имеем, например, $f_M(abba)=0110$ . Можно показать, что функция $f_M$ , вычисляемая данным конечным автоматом, есть биекция регулярного языка $(a+b)^{\ast}bb(a+b)^{\ast}$ в алфавите $V=\{a,b\}$ на регулярный язык $(0+1)^{\ast}11(0+1)^{\ast}$ в алфавите $W=\{0;1\}$ , такая, что для каждой цепочки $x$ первого языка цепочка $f_M(x)$ получается заменой каждого вхождения символа $a$ символом 0 и заменой каждого вхождения символа $b$ символом 1.

Функция из $V^{\ast}$ в $W^{\ast}$ называется ограниченно детерминированной функцией (или ОД-функцией), если она вычисляется некоторым конечным автоматом с выходом.

Замечание 7.13. Термин "ограниченно детерминированная функция" связан с тем, что множество всех функций вида $f\colon V^{\ast}\to W^{\ast}$ , вычисляемых конечными автоматами с выходом, есть собственное подмножество множества всех таких функций, которые вычисляются посредством так называемых машин Тьюринга. Машина Тьюринга является самой общей математической моделью "детерминированного преобразователя слов", т.е. моделью, с помощью которой может быть вычислена любая функция из множества слов в одном алфавите в множество слов в другом алфавите.

Входная и выходные ленты конечного автомата

Таким образом, каждый конечный автомат с выходом вычисляет некоторую ОД-функцию. С интуитивной точки зрения это значит, что конечный автомат с выходом работает как "детерминированный преобразователь" слов (цепочек) во входном алфавите в слова (цепочки) в выходном алфавите. В отличие от обычного конечного автомата, который является чистым "распознавателем", конечный автомат с выходом снабжен выходной лентой, на которую записывается выходная цепочка $f_M(x)$ для заданной входной цепочки $x$ (рис. 7.39).

Для конечных автоматов с выходом может быть поставлена задача структурного синтеза. Содержательно ее можно представить как задачу, аналогичную задаче реализации булевой функции или булева оператора схемой из функциональных элементов. Однако в отличие от СФЭ, реализующей булев оператор, "схема", которая реализует ОД-функцию (или, что то же, вычисляющий ее конечный автомат с выходом), должна помимо функциональных элементов, каждый из которых вычисляет некоторую булеву функцию из заданного конечного множества функций, содержать так называемые элементы задержки, позволяющие хранить информацию о текущем состоянии автомата.

Чтобы объяснить это, представим себе (на интуитивном уровне) процесс работы конечного автомата с выходом во времени.

В начальный момент времени (время дискретно) $t=0$ блок управления конечного автомата с выходом находится в начальном состоянии $q(0)=q_0$ . Предположим, что в произвольный момент времени $t\geqslant0$ состояние есть $q(t)$ . Пусть в этот момент времени конечный автомат считывает с входной ленты символ $x(t)$ . Тогда в этот же момент времени $t$ на выходной ленте появится выходной символ $y(t)$ , а его устройство управления перейдет в состояние $q(t+1)$ , в котором и останется до следующего момента времени $t+1$ . При этом выполняются соотношения

$\begin{cases}q(t+1)=\delta(q(t),x(t)),\\ y(t)=\mu(q(t),x(t)),\\ q(0)=q_0. \end{cases}$

(7.12)

Эти соотношения называют каноническими уравнениями данного конечного автомата с выходом.

Блочная схема с комбинационной частью и запоминающей частью

Из канонических уравнений (7.12) вытекает, что "схема", реализующая конечный автомат с выходом, должна иметь " память" о состоянии устройства управления в предыдущий момент времени. Эта "память" реализуется с помощью так называемых элементов задержки, или триггеров.

Конструированию "схемы" предшествует двоичное кодирование входных и выходных символов, а также состояний устройства управления. Это значит, что каждому состоянию или символу однозначно сопоставляется булев вектор (набор) соответствующей размерности. В общем виде искомая "схема" должна содержать два блока: назовем их комбинационной частью (КЧ) и запоминающей частью (ЗЧ) (рис. 7.40). На вход комбинационной части поступают в каждый момент времени $t$ двоичный код входного символа (булев вектор $X(t)$ ) и двоичный код состояния от запоминающей части (булев вектор $U(t)$ ), а с выхода комбинационной части снимается двоичный код выходного символа (булев вектор $Y(t)$ ) и двоичный код следующего состояния (булев вектор $U(t+1)$ ).

Если через $F$ и $G$ обозначить булевы операторы, сопоставленные в результате указанного выше двоичного кодирования функциям перехода и выхода соответственно, то канонические уравнения примут вид

$\begin{aligned}Z(t)=F(U(t),X(t)),\\ Y(t)=G(U(t),X(t)),\\ U(t+1)=Z(t),\\ U(0)=U_0,\\ t\geqslant0. \end{aligned}$

(7.13)

Таким образом, комбинационная часть строится как некая схема из функциональных элементов, реализующая булев оператор, определяемый первыми двумя уравнениями (7.13), тогда как запоминающая часть содержит необходимое число триггеров и реализует "задержку" $U(t+1)=Z(t)$ . Каждый триггер есть устройство преобразования "одноразрядного двоичного сигнала" (с математической точки зрения булева вектора размерности 1), состоящего в задержке этого сигнала "на один такт". Иначе говоря, если в момент времени $t$ на вход триггера $T$ поступает сигнал $x(t)$ , в момент $(t+1)$ с выхода триггера снимается сигнал $y(t+1)=x(t)$ . Обычно рассматривают триггеры с двумя выходами: прямым и инверсным. Прямой выход работает так, как описано выше, а инверсный выдает сигнал, являющийся отрицанием сигнала прямого выхода (рис. 7.41).

Теперь обсудим вопрос о размерности булевых векторов, кодирующих состояния и символы обоих алфавитов. Произвольное непустое конечное множество $S=\{s_1,\ldots,s_p\}$ может быть "закодировано" двоичными числами таким образом: нумеруем элементы $S$ от 0 до $(p-1)$ и эти номера записываем в двоичной системе счисления. Нетрудно сообразить, что тогда разрядность этих чисел (или, что то же самое, размерность соответствующих булевых векторов) составит $]\log_{2}p[$ (ближайшее целое, большее $\log_{2}p$ ). Так, если $p=15$ , то для того, чтобы закодировать числа от 0 до 14, нужны четырехразрядные двоичные коды, поскольку $]\log_{2}15[=4$ . Заметим, что в общем случае, поскольку число $]\log_{2}p[$ не будет целым, не все двоичные числа соответствующей разрядности будут использованы. Так, при $p=15$ не будет использовано число 1111 (двоичный код числа 15).

Тогда размерности булевых векторов $X$ (кодов входных символов), $Y$ (кодов выходных символов), $U$ и $Z$ (кодов текущего и нового состояний) соответственно будут равны:

$n=]\log_{2}|V|[,\qquad m=]\log_{2}|W|[,\qquad k=]\log_{2}|Q|[.$

Предлагается следующий алгоритм определения булевых операторов $F$ и $G$ в (7.13).

1. Составляется таблица для функций переходов и выходов исходного конечного автомата с выходом (табл. 7.1).

$\begin{aligned}\mathit{Table~7.1}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Current status} & \text{Input symbol}& \text{Output symbol}& \text{New status} \\\hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\hline q& a& b=\mu(q,a)& r=\delta(q,a) \\\hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\hline \end{array} &\end{aligned}$

2. По составленной таблице (см. табл. 7.1) строят так называемую структурную таблицу (табл. 7.2), в которой каждый символ (входной и выходной) и каждое состояние заменяются их двоичным кодом, причем так, что если набор $(u_1,\ldots,u_k)$ есть код текущего состояния $q$ , набор $(x_1,\ldots,x_n)$ есть код входного символа $a$ , то

$(y_1,\ldots,y_m)= G \bigl((u_1,\ldots,u_k),(x_1,\ldots,x_n)\bigr)$

тогда и только тогда, когда набор $(y_1,\ldots,y_m)$ есть код выходного символа $b=\mu(q,a)$ , a

$(z_1,\ldots,z_k)= F \bigl((u_1,\ldots,u_k),(x_1,\ldots,x_n)\bigr)$

тогда и только тогда, когда набор $(z_1,\ldots,z_k)$ есть код состояния $r=\delta(q,a)$ .

$\begin{aligned}\mathit{Table~7.2}~&\\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline U& X& Y& Z \\\hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\hline u_1,\ldots,u_k& x_1,\ldots,x_n & y_1,\ldots,y_m & z_1,\ldots,z_k \\\hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\hline \end{array} &\end{aligned}$

Структурная таблица есть не что иное, как таблица, задающая некоторый булев оператор (вообще говоря, частичный, так как не все векторы соответствующей размерности служат кодами элементов множеств $V,W,Q$ ) из $\mathbb{B}^{k+n}$ в $\mathbb{B}^{m+k}$ . Этот оператор может быть реализован некоторой схемой из функциональных элементов (как правило, над стандартным базисом). Вектор $Z$ поступает (в некоторый момент времени $t$ ) на входы к триггеров, с прямых выходов которых (в момент времени $t+1$ ) снимается вектор $U$ , то есть $U(t+1)=Z(t)$ . Таким образом, если в начальный момент времени $t=0$ с выхода запоминающей части снимается вектор $U_0$ , код начального состояния $q_0$ и на вход комбинационной части поступит вектор $X(0)$ , то на вход запоминающей части в этот же момент времени поступит вектор $Z(0)=F(U(0),X(0))=U(1)$ и триггеры запоминающей части будут хранить уже информацию о новом состоянии до момента времени $t=1$ и т.д.

В этом небольшом дополнении мы никак не можем сколько-нибудь подробно и строго обсуждать математическую теорию реализации ОД-функций "схемами" с элементами задержки. Разумеется, нет и речи о каких-либо доказательствах. Также мы не решаем "инженерно-технические" проблемы структурного синтеза, в частности проблемы "аппаратной реализации" триггеров. Наша цель здесь — показать в рамках самого элементарного изложения связь между теорией конечных автоматов и теорией булевых функций. Эта связь состоит в том, что теория булевых функций дает аппарат для структурного синтеза конечных автоматов (с выходом), т.е. для перехода от описания функции, вычисляемой конечным автоматом, к его структуре, реализующей его "схеме", построенной на функциональных элементах и элементах задержки.

В заключение разберем простой пример структурного синтеза.

Пример 7.14. Конечный автомат с выходом задан диаграммой, изображенной на рис. 7.42. С содержательной точки зрения этот автомат работает как простейший "лексический анализатор", распознавая все цепочки во входном алфавите $V=\{a,a,0,1\}$ , которые начинаются с "буквы", т.е. с символа $a$ или $b$ , как "правильные", тогда как цепочки, начинающиеся с "цифры" (т.е. с 0 или 1), классифицируются как "неправильные", о чем выдается сообщение в виде выходного символа "?".

Конечный автомат с выходом, заданный диаграммой

Кодируя входной и выходной алфавиты, а также состояния, получим следующие двоичные коды:

1) входной алфавит: $a-00,~ b-01,~0-10,~1-11$ ;
2) выходной алфавит: $0-00,~1-01,~?-10$ , код 11 не используется;
3) множество состояний: $q_0-00,~ q_1-01,~ q_2-10$ , код 11 не используется.

Так как рассматриваемый автомат простой, мы сразу составим структурную таблицу (табл. 7.3).

$\begin{aligned}\mathit{Table~7.3}~&\\ \begin{array}{|cc|cc|cc|cc|} \hline u_1&u_2&x_1&x_2& y_1&y_2&z_1&z_2\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&1\\ 0&0&0&1&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&1&0&1&0\\ 0&0&1&1&1&0&1&0\\\hline 0&1&0&0&0&0&0&1\\ 0&1&0&1&0&0&0&1\\ 0&1&1&0&0&1&0&1\\ 0&1&1&1&0&1&0&1\\\hline 1&0&0&0&0&0&1&0\\ 1&0&0&1&0&0&1&0\\ 1&0&1&0&0&1&1&0\\ 1&0&1&1&0&1&1&0\\\hline \end{array}&\end{aligned}$

Для частичных булевых функций

$y_1=y_1(x_1,x_2,u_1,u_2),\quad y_2=y_2(x_1,x_2,u_1,u_2),\quad z_1=z_1(x_1,x_2,u_1,u_2),\quad z_2=z_2(x_1,x_2,u_1,u_2)$

ставим карты Карно и найдем для каждой из них минимальную ДНФ.

Для функции $y_1$ карта Карно изображена на рис. 7.43. Единственная склейка дает $y_1=\overline{u}_1\overline{u}_2x_1$ . Для второй функции получим (рис. 7.44) $y_2=u_2x_1\lor u_1x_1= x_1(u_1\lor u_2)$ . Для функции $z_1$ имеем (рис. 7.45) минимальную ДНФ $z_1=u_1\lor x_1\overline{u}_2$ . Наконец, для функции $z_2$ по карте Карно, изображенной на рис. 7.46, находим $z_2=u_2\lor\overline{x}_1\overline{u}_1$ .

Структурная схема автомата представлена на рис. 7.47. Обратим внимание на то, что вместо инверторов для сигналов $u_1$ и $u_2$ мы используем сигналы, снимаемые с инверсных выходов триггеров $T_1$ и $T_2$ . Заметим также, что переменная $x_2$ оказалась фиктивной. Действительно, тип входного символа ("буква", т.е. а или Ь, и "цифра", т.е. 0 или 1) распознается по первому разряду входного вектора $X$ : при $x_1=0$ имеем " букву", а при $x_1=1$ — "цифру".

Наконец, следует заметить, что синтезированная "структурная схема", строго говоря, не является графом (поскольку содержит, например, "кратные дуги", т.е. допускает несколько разных дуг между одной и той же парой вершин). Даже комбинационная часть этой схемы не может быть уже названа схемой из функциональных элементов, так как в вершины, помеченные переменными $u_1,u_2$ заходят некоторые дуги. Это будет, говоря неформально, схема из функциональных элементов, "вставленная" в некий более общий "графовый объект".

Строгая математическая теория таких "обобщенных графов" в этом курсе не рассматривается.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]