Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Комплексные числа в тригонометрической форме

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах


Тригонометрическая форма комплексного числа


Каждому комплексному числу [math]z=x+iy[/math] геометрически соответствует точка [math]M(x,y)[/math] на плоскости [math]Oxy[/math]. Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат [math](x,y)[/math], можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат [math](r,\varphi)[/math] в полярной системе (рис. 1.3,a).


Величина [math]r[/math] является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол [math]\varphi[/math] может принимать бесчисленное множество значений (при этом [math]z\ne0[/math]): если точке соответствует некоторое значение [math]\varphi_0[/math], то ей также соответствуют значения [math]\varphi=\varphi_0+2k\pi,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]. Например, если для точки [math]z=-1-i[/math] (см. рис. 1.1) выбрать [math]\varphi_0=\frac{5\pi}{4}[/math], то ей соответствует любое [math]\varphi=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,~ k=0,\pm1,\ldots[/math], в частности [math]\varphi=-\frac{3\pi}{4}[/math] при [math]k=-1[/math]. Если же выбрать [math]\varphi_0=-\frac{3\pi}{4}[/math], то [math]\varphi=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi,~ k=0,\pm1,\ldots[/math], а при [math]k=1[/math] получаем [math]\varphi=\frac{5\pi}{4}[/math].


Положение точки на плоскости в полярных координатах

Используя связь декартовых и полярных координат точки [math]M\colon \begin{cases} x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi\end{cases}[/math] (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа [math]z=x+iy[/math] получаем тригонометрическую форму:


[math]z=r \bigl(\cos\varphi+i\sin\varphi\bigr).[/math]
(1.3)



Показательная форма комплексного числа


Если обозначить комплексное число [math]z[/math], у которого [math]\operatorname{Re}z= \cos\varphi[/math], а [math]\operatorname{Im}z=\sin\varphi[/math], через [math]e^{i\,\varphi}[/math], то есть [math]\cos\varphi+i\sin\varphi=e^{i\,\varphi}[/math], то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:


[math]z=r\,e^{i\,\varphi}.[/math]
(1.4)

Равенство [math]e^{i\,\varphi}= \cos\varphi+i\sin\varphi[/math] называется формулой Эйлера.


Заметим, что геометрически задание комплексного числа [math]z=(r,\varphi)[/math] равносильно заданию вектора [math]\overrightarrow{OM}[/math], длина которого равна [math]r[/math], то есть [math]\bigl|\overrightarrow{OM}\bigr|=r[/math], а направление — под углом [math]\varphi[/math] к оси [math]Ox[/math] (рис. 1.3,б).




Модуль комплексного числа


Число [math]r[/math] — длина радиуса-вектора точки [math]M(x,y)[/math] называется модулем комплексного числа [math]z=x+iy[/math]. Обозначение: [math]|z|=r[/math].


Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме [math]z=x+iy\colon[/math]


[math]|z|=\sqrt{x^2+y^2}\,.[/math]
(1.5)

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Очевидно, что [math]|z|\geqslant0[/math] и [math]|z|=0[/math] только для числа [math]z=0~(x=0,\,y=0)[/math].


С помощью правила вычитания запишем модуль числа [math]z=z_1-z_2[/math], где [math]z_1=x_1+iy_1[/math] и [math]z_2=x_2+iy_2\,\colon[/math]


[math]\bigl|z_1-z_2\bigr|= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\,.[/math]

А это, как известно, есть формула для расстояния между точками [math]M_1(x_1,y_1)[/math] и [math]M_2(x_2,y_2)[/math].


Таким образом, число [math]|z_1-z_2|[/math] есть расстояние между точками [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] на комплексной плоскости.


Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:


[math]\bold{1)}~z_1=2,~z_2=-2+\sqrt{3}\,;\qquad \bold{2)}~z_3=-2i,~ z_4=(2-\sqrt{3})i\,;\qquad \bold{3)}~ z_5=-1+2i\,.[/math]


▼ Решение

Найдем решение для каждого из трех случаев:


1) числа [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] действительные, причем [math]z_1=x_1=2>0,~ z_2=x_2=-2+\sqrt{3}<0[/math]. Поэтому [math]|z_1|=z_1=2,~ |z_2|=2-\sqrt{3}[/math] (рис. 1.4);


2) числа [math]z_3[/math] и [math]z_4[/math] — чисто мнимые, причем [math]z_3=iy_3,~ y_3=-2<0;~ z_4=iy_4,~ y_4=2-\sqrt{3}>0[/math]. Поэтому [math]|z_3|=|y_3|=-y_3=2[/math], то есть [math]|-2i|=2;~ |z_4|=|y_4|= y_4=2-\sqrt{3}[/math], или [math]\bigl|(2-\sqrt{3})i\bigr|=2-\sqrt{3}[/math] (рис. 1.4);


3) для числа [math]z_5=-1+2i[/math] имеем [math]x_5=\operatorname{Re}z_5=-1,~ y_5=\operatorname{Im}z_5=2[/math]. Поэтому [math]|z_5|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}[/math] (рис. 1.4).




Аргумент комплексного числа


Полярный угол [math]\varphi[/math] точки [math]M(x,y)[/math] называется аргументом комплексного числа [math]z=x+iy[/math]. Обозначение: [math]\varphi=\arg z[/math].


В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под [math]\arg z[/math] будем понимать значение [math]\varphi[/math], удовлетворяющее условию [math]-\pi<\varphi\leqslant\pi[/math]. Так, для точки [math]z=-1-i[/math] (см. рис. 1.1) [math]\arg z=-\frac{3\pi}{4}[/math].


Формулу для нахождения аргумента комплексного числа [math]z=x+iy[/math], заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки [math]M(x,y)[/math] (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для [math]z[/math], у которых [math]x\ne0[/math], получаем [math]\operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}[/math]; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для [math]z[/math], у которых [math]x=0,~ y>0[/math], имеем [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math]; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для [math]z[/math], у которых [math]x=0,~ y<0[/math], соответственно [math]\varphi=-\frac{\pi}{2}[/math].


Аргумент числа [math]z=0[/math] — величина неопределенная.


Нахождение аргумента при [math]x\ne0[/math] сводится к решению тригонометрического уравнения [math]\operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}[/math]. При [math]y=0[/math], т.е. когда [math]z=x[/math] — число действительное, имеем [math]\varphi=0[/math] при [math]x>0[/math] и [math]\varphi=\pi[/math] при [math]x<0[/math]. При [math]y\ne0[/math] решение уравнения зависит от четверти плоскости [math]Oxy[/math]. Четверть, в которое расположена точка [math]z[/math], определяется по знакам [math]\operatorname{Re}z[/math] и [math]\operatorname{Im}z[/math]. В результате получаем:


[math]\arg z= \begin{cases}\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x>0;\\ \pi+\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x<0,y\geqslant0;\\ -\pi+\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x<0,y<0;\\ \dfrac{\pi}{2},& x=0,~y>0;\\ -\dfrac{\pi}{2},& x=0,~y<0.\end{cases}[/math]
(1.6)

При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5.


Аргумент комплексного числа

Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13.


▼ Решение

Как и в примере 1.13, решим задачу для каждого из трех случаев:


1) числа [math]z_1=2[/math] и [math]z_2=-2+\sqrt{3}[/math] — действительные, причем [math]z_1=x_1>0,~ z_2=x_2<0[/math], поэтому [math]\arg z_1=0,~ \arg z_2=\pi[/math] (см. рис. 1.4);


2) числа [math]z_3=-2i[/math] и [math]z_4=(2-\sqrt{3})i[/math] — чисто мнимые [math](x_3= x_4=0)[/math], причем [math]y_3= \operatorname{Im}z_3 =-2<0,[/math] [math]y_4= \operatorname{Im}z_4= 2-\sqrt{3}>0[/math], поэтому [math]\arg z_3=-\frac{\pi}{2},~ \arg z_4= \frac{\pi}{2}[/math] (см. рис. 1.4);


3) для числа [math]z_5=-1+2i[/math] имеем [math]\operatorname{Re}z_5=-1\ne0[/math], поэтому из [math]\operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}[/math] находим [math]\operatorname{tg}\varphi=-2[/math]; так как при этом [math]\operatorname{Im}z_5>0,~ \operatorname{Re}z_5<0[/math] (точка [math]z_5[/math] находится во второй четверти, рис. 1.4), то получаем [math]\varphi= \pi+\operatorname{arctg}(-2)[/math] (рис. 1.5) или [math]\varphi=\pi-\operatorname{arctg}2[/math].


Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа [math]z=2-i[/math].


Решение. Находим [math]|z|=\sqrt{2^2+(-1)^2}= \sqrt{5}[/math]. Так как [math]\operatorname{Re}z=2>0,~ \operatorname{Im}z=-1<0[/math], т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства [math]\operatorname{tg}\varphi=-\frac{1}{2}[/math] получаем [math]\varphi= \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)[/math] (рис. 1.5).




Главное значение аргумента комплексного числа


Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла [math]\varphi[/math] для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций [math]\sin\varphi[/math] и [math]\cos\varphi[/math].


Всякий угол, отличающийся от [math]\arg z[/math] на слагаемое, кратное [math]2\pi[/math], обозначается [math]\operatorname{Arg}z[/math] и записывается равенством:


[math]\operatorname{Arg}z=\arg z+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots,[/math]
(1.7)

где [math]\arg z[/math] — главное значение аргумента, [math]-\pi<\arg z\leqslant\pi[/math].


Комплексные числа с нулевыми вещественными и мнимыми частями

Пример 1.16. Записать [math]\arg z[/math] и [math]\operatorname{Arg}z[/math] для чисел [math]z_1=1,~ z_2=-1,~ z_3=i,~ z_4=-i[/math].


Решение. Числа [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому


[math]\arg z_1=0,~~ \operatorname{Arg}z_1=2k\pi;\qquad \arg z_2=\pi,~~ \operatorname{Arg}z_2= \pi+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots;[/math]

числа [math]z_3[/math] и [math]z_4[/math] — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому


[math]\arg z_3=\frac{\pi}{2},~~ \operatorname{Arg}z_3=\frac{\pi}{2}+2k\pi;\qquad \arg z_4=-\frac{\pi}{2},~~ \operatorname{Arg}z_4= -\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k=0,\pm1, \pm2,\ldots[/math]

Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16:

а) в тригонометрической форме;

б) в показательной форме.


▼ Решение

Модули всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем:


а) [math]1=\cos2k\pi+ i\sin2k\pi;~~ -1=\cos(\pi+2k\pi)+ i\sin(\pi+2k\pi);~~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]


[math]i=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);\quad -i=\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);[/math]

б) [math]1=e^{2k\pi i};~~ -1=e^{(\pi+2k\pi)i};~~ i=e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)i};~~ -i=e^{\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)i},~~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math].


Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа [math]z_1=-1-i,~ z_2=\cos\frac{\pi}{5}-i\sin\frac{\pi}{5},~ z_3= i\left(\cos\frac{\pi}{5}-i\sin\frac{\pi}{5}\right)[/math].


▼ Решение

Числа [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] записаны в алгебраической форме (заметим, что заданная запись числа [math]z_2[/math] не является тригонометрической формой записи (сравните с (1.3)). Находим модули чисел по формуле (1.5):


[math]|z_1|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{2}\,,\qquad |z_2|=\sqrt{\cos^2 \frac{\pi}{5}+ \left(-\sin \frac{\pi}{5}\right)^2}=1.[/math]

Далее находим аргументы. Для числа [math]z_1[/math] имеем [math]\operatorname{tg}\varphi=1[/math] и, так как [math]\operatorname{Re}z_1<0,~ \operatorname{Im}z_1<0[/math] (точка расположена в третьей четверти), получаем [math]\arg z_1=-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}[/math] (см. рис. 1.5). Для числа [math]z_2[/math] имеем [math]\operatorname{tg}\varphi=-\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}[/math], или [math]\operatorname{tg}\varphi= \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{5}\right)[/math], и, так как [math]\operatorname{Re}z_2>0,~ \operatorname{Im}z_2<0[/math] (точка расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5)), получаем [math]\arg z_2=-\frac{\pi}{5}[/math].


Записываем числа [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] в тригонометрической форме


[math]\begin{gathered}z_1= \sqrt{2} \left[\cos\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\right];\\[5pt] z_2= \cos\left(-\frac{\pi}{5}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{\pi}{5}+ 2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots \end{gathered}[/math]

Заметим, что для числа [math]z_2[/math] решение можно найти иначе, а именно используя свойства тригонометрических функций: [math]\cos\alpha=\cos(-\alpha),~ -\sin\alpha=\sin(-\alpha)[/math].


Число [math]z_3[/math] является произведением двух чисел. Выполнив умножение, получим алгебраическую форму записи (найдем [math]\operatorname{Re}z_3[/math] и [math]\operatorname{Im}z_3[/math]): [math]z_3=\sin \frac{\pi}{5}+ i\cos \frac{\pi}{5}[/math]. Здесь, как и для числа [math]z_2[/math], при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, а именно [math]\sin\frac{\pi}{5}= \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)\!,~ \cos\frac{\pi}{5}= \sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)[/math].


Рассуждая, как выше, найдем [math]|z_3|=1,~ \arg z_3=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}= \frac{3\pi}{10}[/math]. Для числа [math]z_3=\sin \frac{\pi}{5}+ i\cos \frac{\pi}{5}[/math], записанного в алгебраической форме, получаем тригонометрическую форму:


[math]z_3= \cos\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]



Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме


Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел [math]z_1=r_1(\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1),[/math] [math]z_2=r_2(\cos\varphi_2+ i\sin\varphi_2),[/math] из условия [math]z_1=z_2[/math]. очевидно, следует:


[math]r_1=r_2;\qquad \varphi_1-\varphi_2=2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]

или

[math]|z_1|=|z_2|,\quad \operatorname{Arg}z_1-\operatorname{Arg}z_2= 2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]
(1.8)

Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное [math]2\pi[/math].


Для пары сопряженных комплексных чисел [math]z[/math] и [math]\overline{z}[/math] справедливы следующие равенства:


[math]|\overline{z}|= |z|,\qquad \arg\overline{z}=-\arg z\,.[/math]
(1.9)



Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме


Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме [math]z_1=r_1(\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1)[/math] и [math]z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)[/math] и перемножим их по правилу умножения двучленов:


[math]\begin{aligned}z_1\cdot z_2&= r_1\cdot r_2\cdot (\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1)\cdot (\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)=\\ &= r_1\cdot r_2 \bigl(\cos\varphi_1\cos\varphi_2- \sin\varphi_1 \sin\varphi_2+ i(\cos\varphi_1 \sin\varphi_2+ \sin\varphi_1 \cos\varphi_2)\bigr) \end{aligned}[/math]

или

[math]z_1\cdot z_2= r_1\cdot r_2\cdot \bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+ i\sin(\varphi_1+ \varphi_2)\bigr).[/math]

Получили новое число [math]z[/math], записанное в тригонометрической форме: [math]z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)[/math], для которого [math]r=r_1\cdot r_2,~ \varphi= \varphi_1+ \varphi_2[/math].


Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:


[math]|z_1\cdot z_2|= |z_1|\cdot |z_2|,\qquad \operatorname{Arg}(z_1\cdot z_2)= \arg z_1+\arg z_2.[/math]
(1.10)

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.


Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:


[math]\bold{1)}~ z=-2i \left(\cos\frac{4\pi}{7}- i\sin\frac{4\pi}{7}\right)\!;\qquad \bold{2)}~ z=(1+i)(\sqrt{3}-i).[/math]


▼ Решение

Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме:


[math]\bold{1)}\quad z=z_1\cdot z_2,\quad z_1=-2i,\quad z_2= \cos\frac{4\pi}{7}- i\sin\frac{4\pi}{7}= \cos\!\left(-\frac{4\pi}{7}\right)+ i\sin\!\left(-\frac{4\pi}{7}\right)\,.[/math]


Для чисел [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] находим модули и аргументы: [math]|z_1|=2,~ \arg z_1=-\frac{\pi}{2};~ |z_2|=1,~ \arg z_2=-\frac{4\pi}{7}[/math]. Используя формулы (1.10), получаем


[math]|z|=|z_1|\cdot|z_2|=2,\quad \operatorname{Arg}z= \arg z_1+\arg z_2= -\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{7};\quad \arg z= 2\pi- \frac{15\pi}{14}= \frac{13\pi}{14}[/math]

б) [math]z=z_1\cdot z_2,~ z_1=1+i,~ z_2=\sqrt{3}-i[/math]. Для числа [math]z_1[/math] имеем: [math]|z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4}[/math]; для числа [math]z_2\colon\, |z_2|=2,~ \operatorname{tg}\varphi_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}[/math], и так как [math]\operatorname{Re}z_2>0,~ \operatorname{Im}z_2<0[/math] (точка расположена в четвертой четверти), то [math]\arg z_2=-\frac{\pi}{6}[/math]. Используя формулы (1.10), получаем [math]|z|=2\sqrt{2},~ \arg z=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}[/math].


Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти [math]|z|[/math] и [math]\arg z[/math], используя формулы (1.5), (1.6).




Деление комплексных чисел в тригонометрической форме


Рассмотрим частное комплексных чисел [math]\frac{z_1}{z_2}[/math], заданных в тригонометрической форме. Из определения частного [math]z=\frac{z_1}{z_2}[/math] имеем [math]z_1=z\cdot z_2[/math] и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем [math]r=\frac{r_1}{r_2},~ \varphi=\varphi_1-\varphi_2[/math].


Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:


[math]\left|\frac{z_1}{z_2}\right|= \frac{|z_1|}{|z_2|},\qquad \operatorname{Arg}\frac{z_1}{z_2}= \arg z_1-\arg z_2.[/math]
(1.11)

В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.


Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число [math]\frac{1+i}{\sqrt{3}-i}[/math].


Решение. Обозначим [math]z=\frac{z_1}{z_2},~ z_1=1+i,~ z_2=\sqrt{3}-i[/math]. Для чисел [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] находим модули и аргументы: [math]|z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4};[/math] [math]|z_2|=2,~ \arg z_2=-\frac{\pi}{6}[/math] (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем [math]|z|=\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{\sqrt{2}}{2},~ \arg z=\arg z_1-\arg z_2=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)= \frac{5\pi}{12}[/math] и


[math]\frac{1+i}{\sqrt{3}-i}= \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{12}+2k\pi\right)+ i\sin\left(\frac{5\pi}{12}+2k\pi\right)\right)\!,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]



Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме


Из определения степени [math]z^n[/math] и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем


[math]|z^n|=r^n,\quad \operatorname{Arg}z^n=n\varphi[/math], где [math]z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)[/math].

Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:


[math]|z^n|= |z|^n,\qquad \operatorname{Arg}z^n= n\arg z\,.[/math]
(1.12)

Записывая число [math]z^n[/math] в тригонометрической форме [math]z^n= r^n(\cos n\varphi+ i\sin n\varphi)[/math], получаем формулу возведения в степень:


[math]\bigl[r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)\bigr]^n= r^n(\cos n\varphi+ i\sin n\varphi).[/math]
(1.13)

При [math]r=1[/math] это равенство принимает вид и называется формула Муавра


[math](\cos\varphi+ i\sin\varphi)^n= \cos n\varphi+ i\sin n\varphi\,.[/math]
(1.14)

Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа [math](1+i)^5[/math].


Решение. Обозначим [math]z=z_1^5,~ z_1=1+i[/math]. Находим модуль и аргумент числа [math]z_1\colon\, |z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4}[/math]. Поэтому [math]|z|= (\sqrt{2})^5[/math] и [math]\operatorname{Arg}z=5\arg z_1=\frac{5\pi}{4}[/math]. Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие [math]-\pi<\arg z\leqslant\pi[/math], то [math]\arg z= \frac{5\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}[/math].


Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число [math](1+i)^5(\sqrt{3}-i)^7[/math].


▼ Решение

Обозначим [math]z=z_1\cdot z_2,~ z_1=(1+i)^5,~ z_2=(\sqrt{3}-i)^7[/math]. Находим модули и аргументы чисел [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math]. Для числа [math]z_1[/math] имеем: [math]|\sqrt{3}-i|=2,~ \arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{\pi}{6}[/math] (см. пример 1.21). Для числа [math]z_2[/math] последовательно находим: [math]|\sqrt{3}-i|=2,~ \arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{\pi}{6}[/math] (см. пример 1.19), [math]|z_2|=2^7,~ \operatorname{Arg}z_2= 7\arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{7\pi}{6}[/math], или, находя главное значение аргумента: [math]\arg z_2=\frac{5\pi}{6}[/math]. Таким образом, по формуле (1.10) получаем


[math]|z|=(\sqrt{2})^5\cdot 2^7= 2^9\sqrt{2}[/math] и [math]\operatorname{Arg}z= \frac{5\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}= \frac{\pi}{12}\,.[/math]

Записываем число [math]z=z_1\cdot z_2[/math] в тригонометрической форме:


[math]z= 2^9\sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{12}+2k\pi\right)+ i\sin \left(\frac{\pi}{12}+ 2k\pi\right)\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]

Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для [math]\cos3\varphi[/math] и [math]\sin3\varphi[/math] через тригонометрические функции угла [math]\varphi[/math].


▼ Решение

Из формулы (1.14) при [math]n=3[/math] имеем [math](\cos\varphi+ i\sin\varphi)^3= \cos3\varphi+i\sin3\varphi[/math]. Возведем левую часть в степень, учитывая, что [math]i^3=-i[/math] (см. пример 1.8):


[math]\begin{aligned}\cos^3\varphi+ i3\cos^2\varphi\sin\varphi- 3\cos\varphi \sin^2\varphi+ i^3\sin^3\varphi&= \cos3\varphi+ i\sin3\varphi,\\ (\cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi)+ i(3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi)&= \cos3\varphi+ i\sin3\varphi.\end{aligned}[/math]

Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:


[math]\cos3\varphi= \cos^3\varphi- 3\cos\varphi\sin^2\varphi,\qquad \sin3\varphi= 3\cos^2\varphi \sin\varphi- \sin^3\varphi.[/math]



Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме


Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме [math]z=r\,e^{i\varphi}[/math], или [math]z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)[/math]. Искомое число [math]w=\sqrt[n]{z}[/math] также запишем в показательной форме: [math]w=\rho\,e^{i\varphi},~ \rho=|w|,~ \theta=\arg w[/math]. Используя определение операции извлечения корня [math]z=w^n[/math] и условия (1.8), получаем соотношения


[math]\rho^n=r,\qquad n\cdot\theta= \varphi+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]

или

[math]\rho= \sqrt[n]{r},\quad \theta= \frac{\varphi+2k\pi}{n},\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots[/math]
(1.15)

Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент [math](\operatorname{Arg}z)[/math] разделить на показатель корня:


[math]\bigl|\sqrt[n]{z}\bigr|= \sqrt[n]{|z|},\qquad \operatorname{Arg}\sqrt[n]{z}= \frac{\operatorname{Arg}z}{n}\,.[/math]
(1.16)

Теперь можно записать число [math]w=\sqrt[n]{z}[/math] в показательной форме:


[math]\sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{|z|}\cdot \exp \frac{i \operatorname{Arg}z}{n}\,.[/math]

Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение [math]\sqrt[n]{z}[/math] принимает только [math]n[/math] различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять [math]n[/math] последовательных значений [math]k[/math], например [math]k=0,1,2,\ldots,n-1[/math]. В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где [math]r=|z|,~ \varphi=\arg z[/math]:


[math]\sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{r} \left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+ i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\!,\quad 0,1,2,\ldots,n-1.[/math]
(1.17)



Замечания 1.1


1. Рассмотренная задача извлечения корня степени [math]n[/math] из комплексного числа равносильна решению уравнения вида [math]z^n-a=0[/math], где, очевидно, [math]z=\sqrt[n]{a}[/math].


Значения корня комплексного числа

Для решения уравнения нужно найти [math]n[/math] значений [math]\sqrt[n]{a}[/math], а для этого необходимо найти [math]r=|a|,~ \varphi=\arg a[/math] и использовать формулу извлечения корня.


2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа [math]w_k,~ k=1,2,\ldots,n[/math] (значения [math]\sqrt[n]{z}[/math]) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса [math]R=\sqrt[n]{r},~ r=|z|[/math]. Аргументы двух последовательных чисел отличаются на [math]\frac{2\pi}{n}[/math], так как [math]\arg w_{k+1}-\arg w_k= \frac{2\pi}{n}[/math], т.е. каждое последующее значение [math]w_{k+1}[/math] может быть получено из предыдущего [math]w_k[/math] поворотом радиуса-вектора точки [math]w_k[/math] на [math]\frac{2\pi}{n}[/math].В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.


Точки, соответствующие значениям [math]\sqrt[n]{z}[/math], расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой [math]R= \sqrt[n]{|z|}[/math], причем аргумент одного из значений [math]w_k[/math] равен [math]\frac{\arg z}{n}= \frac{\varphi}{n}[/math] (рис. 1.7).




Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0


1. Найти модуль и аргумент числа [math]a\colon\, r=|a|,~ \varphi=\arg a[/math].
2. Записать формулу (1.17) при заданном значении [math]n\colon\, \sqrt[n]{a}= \sqrt[n]{r} \left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+ i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)[/math].
3. Выписать значения корней уравнения [math]z_k[/math], придавая значения [math]k=0,1,2,\ldots,n-1[/math].

Пример 1.24. Решить уравнения: a) [math]z^6-1=0[/math]; б) [math]z^3-i=0[/math].


▼ Решение

Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму.


а) Найдем [math]z=\sqrt[6]{1}[/math].
1. Определим модуль и аргумент числа [math]1\colon\, r=1,~ \varphi=0[/math].
2. При полученных значениях [math]r[/math] и [math]\varphi[/math] записываем формулу (1.17):

[math]z= \sqrt[6]{1}= \sqrt[6]{1} \left(\cos\frac{2k\pi}{6}+ i\sin\frac{2k\pi}{6}\right)\!,\qquad k=0,1,2,3,4,5.[/math]

Заметим, что справа стоит [math]\sqrt[6]{1}[/math] — арифметический корень, его единственное значение равно 1.


3. Придавая [math]k[/math] последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения:


[math]\begin{array}{ll}z_1= \cos0+i\sin0=1,&\qquad z_2=\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}= \dfrac{1}{2}+ i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\\[7pt] z_3= \cos\dfrac{2\pi}{3}+ i\sin\dfrac{2\pi}{3}= -\dfrac{1}{2}+ i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},&\qquad z_4=\cos\pi+i\sin\pi=-1,\\[10pt] z_5= \cos\dfrac{4\pi}{3}+ i\sin\dfrac{4\pi}{3}= -\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},&\qquad z_6= \cos\dfrac{5\pi}{3}+ i\sin\dfrac{5\pi}{3}= \dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}[/math]

Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса [math]R=1[/math], одна из точек (соответствует [math]k=0[/math]) [math]z_1=1[/math]. Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: [math]z_6= \overline{z}_2,~ z_5= \overline{z}_3,~ z_1[/math] и [math]z_4[/math] — действительные числа.


б) Найдем [math]z=\sqrt[3]{i}[/math].
1. Определим модуль и аргумент числа [math]r\colon\, r=|i|=1,~ \varphi=\arg i=\frac{\pi}{2}[/math].
2. По формуле (1.17) имеем

[math]\sqrt[3]{i}= 1\cdot \left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+ i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)= \cos\!\left(\frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi\right)\!,\quad k=0,1,2.[/math]

3. Выписываем корни [math]z_1,\,z_2,\,z_3\colon\, z_1= \frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2},~ z_2= -\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2},~ z_3=-i[/math].


Геометрический смысл комплексных корней

Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например [math]z_1=\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6}[/math] (при [math]k=0[/math]) — это точка окружности [math]|z|=1[/math], лежащая на луче [math]\varphi=\frac{\pi}{6}[/math]. После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность [math]|z|=1[/math] (рис. 1.8,б).


Пример 1.25. Найти корень уравнения [math]z^4-1+i=0[/math], для которого [math]\operatorname{Re}z<0,~ \operatorname{Im}z>0[/math].


▼ Решение
Геометрическая интерпретация корней комплексного уравнения

Задача равносильна задаче нахождения [math]z=\sqrt[4]{1-i}[/math] при условие [math]\operatorname{Re}z<0,~ \operatorname{Im}z>0[/math].


1. Находим модуль и аргумент числа [math]1-i\colon\, r=|1-i|=\sqrt{2},~ \varphi=\arg(1-i)=-\frac{\pi}{4}[/math].


2. По формуле (1.17) имеем: [math]z_{k+1}= \sqrt[4]{1-i}= \sqrt[8]{2}e^{\left(-\frac{\pi}{16}+\frac{2k\pi}{4}\right) i},~ k=0,1,2,3[/math].


3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение [math]k~(k=0,1,2,3)[/math], при котором выполняется условие [math]\frac{\pi}{2}< \arg z\leqslant\pi[/math] (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9).


Условию поставленной задачи удовлетворяет корень [math]z_3[/math] (при [math]k=2[/math]): [math]z_3= \sqrt[8]{2}e^{\left(\pi-\frac{\pi}{16}\right)i}= \sqrt[8]{2}e^{\frac{15\pi}{16}\,i}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved