Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Комплексные числа в тригонометрической форме

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах


Тригонометрическая форма комплексного числа


Каждому комплексному числу z=x+iy геометрически соответствует точка M(x,y) на плоскости Oxy. Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат (x,y), можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат (r,\varphi) в полярной системе (рис. 1.3,a).


Величина r является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол \varphi может принимать бесчисленное множество значений (при этом z\ne0): если точке соответствует некоторое значение \varphi_0, то ей также соответствуют значения \varphi=\varphi_0+2k\pi,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots. Например, если для точки z=-1-i (см. рис. 1.1) выбрать \varphi_0=\frac{5\pi}{4}, то ей соответствует любое \varphi=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,~ k=0,\pm1,\ldots, в частности \varphi=-\frac{3\pi}{4} при k=-1. Если же выбрать \varphi_0=-\frac{3\pi}{4}, то \varphi=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi,~ k=0,\pm1,\ldots, а при k=1 получаем \varphi=\frac{5\pi}{4}.


Положение точки на плоскости в полярных координатах

Используя связь декартовых и полярных координат точки M\colon \begin{cases} x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi\end{cases} (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа z=x+iy получаем тригонометрическую форму:


z=r \bigl(\cos\varphi+i\sin\varphi\bigr).
(1.3)



Показательная форма комплексного числа


Если обозначить комплексное число z, у которого \operatorname{Re}z= \cos\varphi, а \operatorname{Im}z=\sin\varphi, через e^{i\,\varphi}, то есть \cos\varphi+i\sin\varphi=e^{i\,\varphi}, то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:


z=r\,e^{i\,\varphi}.
(1.4)

Равенство e^{i\,\varphi}= \cos\varphi+i\sin\varphi называется формулой Эйлера.


Заметим, что геометрически задание комплексного числа z=(r,\varphi) равносильно заданию вектора \overrightarrow{OM}, длина которого равна r, то есть \bigl|\overrightarrow{OM}\bigr|=r, а направление — под углом \varphi к оси Ox (рис. 1.3,б).




Модуль комплексного числа


Число r — длина радиуса-вектора точки M(x,y) называется модулем комплексного числа z=x+iy. Обозначение: |z|=r.


Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме z=x+iy\colon


|z|=\sqrt{x^2+y^2}\,.
(1.5)

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Очевидно, что |z|\geqslant0 и |z|=0 только для числа z=0~(x=0,\,y=0).


С помощью правила вычитания запишем модуль числа z=z_1-z_2, где z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2\,\colon


\bigl|z_1-z_2\bigr|= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\,.

А это, как известно, есть формула для расстояния между точками M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2).


Таким образом, число |z_1-z_2| есть расстояние между точками z_1 и z_2 на комплексной плоскости.


Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:


\bold{1)}~z_1=2,~z_2=-2+\sqrt{3}\,;\qquad \bold{2)}~z_3=-2i,~ z_4=(2-\sqrt{3})i\,;\qquad \bold{3)}~ z_5=-1+2i\,.


▼ Решение

Найдем решение для каждого из трех случаев:


1) числа z_1 и z_2 действительные, причем z_1=x_1=2>0,~ z_2=x_2=-2+\sqrt{3}<0. Поэтому |z_1|=z_1=2,~ |z_2|=2-\sqrt{3} (рис. 1.4);


2) числа z_3 и z_4 — чисто мнимые, причем z_3=iy_3,~ y_3=-2<0;~ z_4=iy_4,~ y_4=2-\sqrt{3}>0. Поэтому |z_3|=|y_3|=-y_3=2, то есть |-2i|=2;~ |z_4|=|y_4|= y_4=2-\sqrt{3}, или \bigl|(2-\sqrt{3})i\bigr|=2-\sqrt{3} (рис. 1.4);


3) для числа z_5=-1+2i имеем x_5=\operatorname{Re}z_5=-1,~ y_5=\operatorname{Im}z_5=2. Поэтому |z_5|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5} (рис. 1.4).




Аргумент комплексного числа


Полярный угол \varphi точки M(x,y) называется аргументом комплексного числа z=x+iy. Обозначение: \varphi=\arg z.


В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под \arg z будем понимать значение \varphi, удовлетворяющее условию -\pi<\varphi\leqslant\pi. Так, для точки z=-1-i (см. рис. 1.1) \arg z=-\frac{3\pi}{4}.


Формулу для нахождения аргумента комплексного числа z=x+iy, заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки M(x,y) (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для z, у которых x\ne0, получаем \operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для z, у которых x=0,~ y>0, имеем \varphi=\frac{\pi}{2}; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для z, у которых x=0,~ y<0, соответственно \varphi=-\frac{\pi}{2}.


Аргумент числа z=0 — величина неопределенная.


Нахождение аргумента при x\ne0 сводится к решению тригонометрического уравнения \operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}. При y=0, т.е. когда z=x — число действительное, имеем \varphi=0 при x>0 и \varphi=\pi при x<0. При y\ne0 решение уравнения зависит от четверти плоскости Oxy. Четверть, в которое расположена точка z, определяется по знакам \operatorname{Re}z и \operatorname{Im}z. В результате получаем:


Аргумент комплексного числа
\arg z= \begin{cases}\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x>0;\\ \pi+\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x<0,y\geqslant0;\\ -\pi+\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x<0,y<0;\\ \dfrac{\pi}{2},& x=0,~y>0;\\ -\dfrac{\pi}{2},& x=0,~y<0.\end{cases}
(1.6)

При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5.


Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13.


▼ Решение

Как и в примере 1.13, решим задачу для каждого из трех случаев:


1) числа z_1=2 и z_2=-2+\sqrt{3} — действительные, причем z_1=x_1>0,~ z_2=x_2<0, поэтому \arg z_1=0,~ \arg z_2=\pi (см. рис. 1.4);


2) числа z_3=-2i и z_4=(2-\sqrt{3})i — чисто мнимые (x_3= x_4=0), причем y_3= \operatorname{Im}z_3 =-2<0, y_4= \operatorname{Im}z_4= 2-\sqrt{3}>0, поэтому \arg z_3=-\frac{\pi}{2},~ \arg z_4= \frac{\pi}{2} (см. рис. 1.4);


3) для числа z_5=-1+2i имеем \operatorname{Re}z_5=-1\ne0, поэтому из \operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x} находим \operatorname{tg}\varphi=-2; так как при этом \operatorname{Im}z_5>0,~ \operatorname{Re}z_5<0 (точка z_5 находится во второй четверти, рис. 1.4), то получаем \varphi= \pi+\operatorname{arctg}(-2) (рис. 1.5) или \varphi=\pi-\operatorname{arctg}2.


Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа z=2-i.


Решение. Находим |z|=\sqrt{2^2+(-1)^2}= \sqrt{5}. Так как \operatorname{Re}z=2>0,~ \operatorname{Im}z=-1<0, т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства \operatorname{tg}\varphi=-\frac{1}{2} получаем \varphi= \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right) (рис. 1.5).




Главное значение аргумента комплексного числа


Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла \varphi для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций \sin\varphi и \cos\varphi.


Всякий угол, отличающийся от \arg z на слагаемое, кратное 2\pi, обозначается \operatorname{Arg}z и записывается равенством:


\operatorname{Arg}z=\arg z+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots,
(1.7)

где \arg z — главное значение аргумента, -\pi<\arg z\leqslant\pi.


Комплексные числа с нулевыми вещественными и мнимыми частями

Пример 1.16. Записать \arg z и \operatorname{Arg}z для чисел z_1=1,~ z_2=-1,~ z_3=i,~ z_4=-i.


Решение. Числа z_1 и z_2 — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому


\arg z_1=0,~~ \operatorname{Arg}z_1=2k\pi;\qquad \arg z_2=\pi,~~ \operatorname{Arg}z_2= \pi+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots;

числа z_3 и z_4 — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому


\arg z_3=\frac{\pi}{2},~~ \operatorname{Arg}z_3=\frac{\pi}{2}+2k\pi;\qquad \arg z_4=-\frac{\pi}{2},~~ \operatorname{Arg}z_4= -\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k=0,\pm1, \pm2,\ldots

Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16:

а) в тригонометрической форме;

б) в показательной форме.


▼ Решение

Модули всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем:


а) 1=\cos2k\pi+ i\sin2k\pi;~~ -1=\cos(\pi+2k\pi)+ i\sin(\pi+2k\pi);~~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots


i=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);\quad -i=\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);

б) 1=e^{2k\pi i};~~ -1=e^{(\pi+2k\pi)i};~~ i=e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)i};~~ -i=e^{\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)i},~~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots.


Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа z_1=-1-i,~ z_2=\cos\frac{\pi}{5}-i\sin\frac{\pi}{5},~ z_3= i\left(\cos\frac{\pi}{5}-i\sin\frac{\pi}{5}\right).


▼ Решение

Числа z_1 и z_2 записаны в алгебраической форме (заметим, что заданная запись числа z_2 не является тригонометрической формой записи (сравните с (1.3)). Находим модули чисел по формуле (1.5):


|z_1|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{2}\,,\qquad |z_2|=\sqrt{\cos^2 \frac{\pi}{5}+ \left(-\sin \frac{\pi}{5}\right)^2}=1.

Далее находим аргументы. Для числа z_1 имеем \operatorname{tg}\varphi=1 и, так как \operatorname{Re}z_1<0,~ \operatorname{Im}z_1<0 (точка расположена в третьей четверти), получаем \arg z_1=-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4} (см. рис. 1.5). Для числа z_2 имеем \operatorname{tg}\varphi=-\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}, или \operatorname{tg}\varphi= \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{5}\right), и, так как \operatorname{Re}z_2>0,~ \operatorname{Im}z_2<0 (точка расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5)), получаем \arg z_2=-\frac{\pi}{5}.


Записываем числа z_1 и z_2 в тригонометрической форме


\begin{gathered}z_1= \sqrt{2} \left[\cos\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\right];\\[5pt] z_2= \cos\left(-\frac{\pi}{5}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{\pi}{5}+ 2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots \end{gathered}

Заметим, что для числа z_2 решение можно найти иначе, а именно используя свойства тригонометрических функций: \cos\alpha=\cos(-\alpha),~ -\sin\alpha=\sin(-\alpha).


Число z_3 является произведением двух чисел. Выполнив умножение, получим алгебраическую форму записи (найдем \operatorname{Re}z_3 и \operatorname{Im}z_3): z_3=\sin \frac{\pi}{5}+ i\cos \frac{\pi}{5}. Здесь, как и для числа z_2, при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, а именно \sin\frac{\pi}{5}= \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)\!,~ \cos\frac{\pi}{5}= \sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right).


Рассуждая, как выше, найдем |z_3|=1,~ \arg z_3=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}= \frac{3\pi}{10}. Для числа z_3=\sin \frac{\pi}{5}+ i\cos \frac{\pi}{5}, записанного в алгебраической форме, получаем тригонометрическую форму:


z_3= \cos\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots



Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме


Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел z_1=r_1(\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1), z_2=r_2(\cos\varphi_2+ i\sin\varphi_2), из условия z_1=z_2. очевидно, следует:


r_1=r_2;\qquad \varphi_1-\varphi_2=2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots

или

|z_1|=|z_2|,\quad \operatorname{Arg}z_1-\operatorname{Arg}z_2= 2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots
(1.8)

Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное 2\pi.


Для пары сопряженных комплексных чисел z и \overline{z} справедливы следующие равенства:


|\overline{z}|= |z|,\qquad \arg\overline{z}=-\arg z\,.
(1.9)



Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме


Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме z_1=r_1(\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1) и z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2) и перемножим их по правилу умножения двучленов:


\begin{aligned}z_1\cdot z_2&= r_1\cdot r_2\cdot (\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1)\cdot (\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)=\\ &= r_1\cdot r_2 \bigl(\cos\varphi_1\cos\varphi_2- \sin\varphi_1 \sin\varphi_2+ i(\cos\varphi_1 \sin\varphi_2+ \sin\varphi_1 \cos\varphi_2)\bigr) \end{aligned}

или

z_1\cdot z_2= r_1\cdot r_2\cdot \bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+ i\sin(\varphi_1+ \varphi_2)\bigr).

Получили новое число z, записанное в тригонометрической форме: z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi), для которого r=r_1\cdot r_2,~ \varphi= \varphi_1+ \varphi_2.


Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:


|z_1\cdot z_2|= |z_1|\cdot |z_2|,\qquad \operatorname{Arg}(z_1\cdot z_2)= \arg z_1+\arg z_2.
(1.10)

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.


Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:


\bold{1)}~ z=-2i \left(\cos\frac{4\pi}{7}- i\sin\frac{4\pi}{7}\right)\!;\qquad \bold{2)}~ z=(1+i)(\sqrt{3}-i).


▼ Решение

Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме:


\bold{1)}\quad z=z_1\cdot z_2,\quad z_1=-2i,\quad z_2= \cos\frac{4\pi}{7}- i\sin\frac{4\pi}{7}= \cos\!\left(-\frac{4\pi}{7}\right)+ i\sin\!\left(-\frac{4\pi}{7}\right)\,.


Для чисел z_1 и z_2 находим модули и аргументы: |z_1|=2,~ \arg z_1=-\frac{\pi}{2};~ |z_2|=1,~ \arg z_2=-\frac{4\pi}{7}. Используя формулы (1.10), получаем


|z|=|z_1|\cdot|z_2|=2,\quad \operatorname{Arg}z= \arg z_1+\arg z_2= -\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{7};\quad \arg z= 2\pi- \frac{15\pi}{14}= \frac{13\pi}{14}

б) z=z_1\cdot z_2,~ z_1=1+i,~ z_2=\sqrt{3}-i. Для числа z_1 имеем: |z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4}; для числа z_2\colon\, |z_2|=2,~ \operatorname{tg}\varphi_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}, и так как \operatorname{Re}z_2>0,~ \operatorname{Im}z_2<0 (точка расположена в четвертой четверти), то \arg z_2=-\frac{\pi}{6}. Используя формулы (1.10), получаем |z|=2\sqrt{2},~ \arg z=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}.


Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти |z| и \arg z, используя формулы (1.5), (1.6).




Деление комплексных чисел в тригонометрической форме


Рассмотрим частное комплексных чисел \frac{z_1}{z_2}, заданных в тригонометрической форме. Из определения частного z=\frac{z_1}{z_2} имеем z_1=z\cdot z_2 и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем r=\frac{r_1}{r_2},~ \varphi=\varphi_1-\varphi_2.


Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:


\left|\frac{z_1}{z_2}\right|= \frac{|z_1|}{|z_2|},\qquad \operatorname{Arg}\frac{z_1}{z_2}= \arg z_1-\arg z_2.
(1.11)

В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.


Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число \frac{1+i}{\sqrt{3}-i}.


Решение. Обозначим z=\frac{z_1}{z_2},~ z_1=1+i,~ z_2=\sqrt{3}-i. Для чисел z_1 и z_2 находим модули и аргументы: |z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4}; |z_2|=2,~ \arg z_2=-\frac{\pi}{6} (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем |z|=\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{\sqrt{2}}{2},~ \arg z=\arg z_1-\arg z_2=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)= \frac{5\pi}{12} и


\frac{1+i}{\sqrt{3}-i}= \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{12}+2k\pi\right)+ i\sin\left(\frac{5\pi}{12}+2k\pi\right)\right)\!,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots



Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме


Из определения степени z^n и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем


|z^n|=r^n,\quad \operatorname{Arg}z^n=n\varphi, где z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi).

Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:


|z^n|= |z|^n,\qquad \operatorname{Arg}z^n= n\arg z\,.
(1.12)

Записывая число z^n в тригонометрической форме z^n= r^n(\cos n\varphi+ i\sin n\varphi), получаем формулу возведения в степень:


\bigl[r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)\bigr]^n= r^n(\cos n\varphi+ i\sin n\varphi).
(1.13)

При r=1 это равенство принимает вид и называется формула Муавра


(\cos\varphi+ i\sin\varphi)^n= \cos n\varphi+ i\sin n\varphi\,.
(1.14)

Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа (1+i)^5.


Решение. Обозначим z=z_1^5,~ z_1=1+i. Находим модуль и аргумент числа z_1\colon\, |z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4}. Поэтому |z|= (\sqrt{2})^5 и \operatorname{Arg}z=5\arg z_1=\frac{5\pi}{4}. Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие -\pi<\arg z\leqslant\pi, то \arg z= \frac{5\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}.


Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число (1+i)^5(\sqrt{3}-i)^7.


▼ Решение

Обозначим z=z_1\cdot z_2,~ z_1=(1+i)^5,~ z_2=(\sqrt{3}-i)^7. Находим модули и аргументы чисел z_1 и z_2. Для числа z_1 имеем: |\sqrt{3}-i|=2,~ \arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{\pi}{6} (см. пример 1.21). Для числа z_2 последовательно находим: |\sqrt{3}-i|=2,~ \arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{\pi}{6} (см. пример 1.19), |z_2|=2^7,~ \operatorname{Arg}z_2= 7\arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{7\pi}{6}, или, находя главное значение аргумента: \arg z_2=\frac{5\pi}{6}. Таким образом, по формуле (1.10) получаем


|z|=(\sqrt{2})^5\cdot 2^7= 2^9\sqrt{2} и \operatorname{Arg}z= \frac{5\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}= \frac{\pi}{12}\,.

Записываем число z=z_1\cdot z_2 в тригонометрической форме:


z= 2^9\sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{12}+2k\pi\right)+ i\sin \left(\frac{\pi}{12}+ 2k\pi\right)\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots

Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для \cos3\varphi и \sin3\varphi через тригонометрические функции угла \varphi.


▼ Решение

Из формулы (1.14) при n=3 имеем (\cos\varphi+ i\sin\varphi)^3= \cos3\varphi+i\sin3\varphi. Возведем левую часть в степень, учитывая, что i^3=-i (см. пример 1.8):


\begin{aligned}\cos^3\varphi+ i3\cos^2\varphi\sin\varphi- 3\cos\varphi \sin^2\varphi+ i^3\sin^3\varphi&= \cos3\varphi+ i\sin3\varphi,\\ (\cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi)+ i(3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi)&= \cos3\varphi+ i\sin3\varphi.\end{aligned}

Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:


\cos3\varphi= \cos^3\varphi- 3\cos\varphi\sin^2\varphi,\qquad \sin3\varphi= 3\cos^2\varphi \sin\varphi- \sin^3\varphi.



Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме


Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме z=r\,e^{i\varphi}, или z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi). Искомое число w=\sqrt[\LARGE{n}]{z} также запишем в показательной форме: w=\rho\,e^{i\varphi},~ \rho=|w|,~ \theta=\arg w. Используя определение операции извлечения корня z=w^n и условия (1.8), получаем соотношения


\rho^n=r,\qquad n\cdot\theta= \varphi+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots

или

\rho= \sqrt[\LARGE{n}]{r},\quad \theta= \frac{\varphi+2k\pi}{n},\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots
(1.15)

Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент (\operatorname{Arg}z) разделить на показатель корня:


\bigl|\sqrt[\LARGE{n}]{z}\bigr|= \sqrt[\LARGE{n}]{|z|},\qquad \operatorname{Arg}\sqrt[\LARGE{n}]{z}= \frac{\operatorname{Arg}z}{n}\,.
(1.16)

Теперь можно записать число w=\sqrt[\LARGE{n}]{z} в показательной форме:


\sqrt[\LARGE{n}]{z}= \sqrt[\LARGE{n}]{|z|}\cdot \exp \frac{i \operatorname{Arg}z}{n}\,.

Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение \sqrt[\LARGE{n}]{z} принимает только n различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять n последовательных значений k, например k=0,1,2,\ldots,n-1. В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где r=|z|,~ \varphi=\arg z:


\sqrt[\LARGE{n}]{z}= \sqrt[\LARGE{n}]{r} \left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+ i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\!,\quad 0,1,2,\ldots,n-1.
(1.17)



Значения корня комплексного числа

Замечания 1.1


1. Рассмотренная задача извлечения корня степени n из комплексного числа равносильна решению уравнения вида z^n-a=0, где, очевидно, z=\sqrt[\LARGE{n}]{a}.


Для решения уравнения нужно найти n значений \sqrt[\LARGE{n}]{a}, а для этого необходимо найти r=|a|,~ \varphi=\arg a и использовать формулу извлечения корня.


2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа w_k,~ k=1,2,\ldots,n (значения \sqrt[\LARGE{n}]{z}) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса R=\sqrt[\LARGE{n}]{r},~ r=|z|. Аргументы двух последовательных чисел отличаются на \frac{2\pi}{n}, так как \arg w_{k+1}-\arg w_k= \frac{2\pi}{n}, т.е. каждое последующее значение w_{k+1} может быть получено из предыдущего w_k поворотом радиуса-вектора точки w_k на \frac{2\pi}{n}.В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.


Точки, соответствующие значениям \sqrt[\LARGE{n}]{z}, расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой R= \sqrt[\LARGE{n}]{|z|}, причем аргумент одного из значений w_k равен \frac{\arg z}{n}= \frac{\varphi}{n} (рис. 1.7).




Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0


1. Найти модуль и аргумент числа a\colon\, r=|a|,~ \varphi=\arg a.
2. Записать формулу (1.17) при заданном значении n\colon\, \sqrt[\LARGE{n}]{a}= \sqrt[\LARGE{n}]{r} \left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+ i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right).
3. Выписать значения корней уравнения z_k, придавая значения k=0,1,2,\ldots,n-1.

Пример 1.24. Решить уравнения: a) z^6-1=0; б) z^3-i=0.


▼ Решение

Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму.


а) Найдем z=\sqrt[\LARGE{6}]{1}.
1. Определим модуль и аргумент числа 1\colon\, r=1,~ \varphi=0.
2. При полученных значениях r и \varphi записываем формулу (1.17):

z= \sqrt[\LARGE{6}]{1}= \sqrt[\LARGE{6}]{1} \left(\cos\frac{2k\pi}{6}+ i\sin\frac{2k\pi}{6}\right)\!,\qquad k=0,1,2,3,4,5.

Заметим, что справа стоит \sqrt[\LARGE{6}]{1} — арифметический корень, его единственное значение равно 1.


3. Придавая k последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения:


\begin{array}{ll}z_1= \cos0+i\sin0=1,&\qquad z_2=\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}= \dfrac{1}{2}+ i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\\[7pt] z_3= \cos\dfrac{2\pi}{3}+ i\sin\dfrac{2\pi}{3}= -\dfrac{1}{2}+ i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},&\qquad z_4=\cos\pi+i\sin\pi=-1,\\[10pt] z_5= \cos\dfrac{4\pi}{3}+ i\sin\dfrac{4\pi}{3}= -\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},&\qquad z_6= \cos\dfrac{5\pi}{3}+ i\sin\dfrac{5\pi}{3}= \dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}

Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R=1, одна из точек (соответствует k=0) z_1=1. Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: z_6= \overline{z}_2,~ z_5= \overline{z}_3,~ z_1 и z_4 — действительные числа.


б) Найдем z=\sqrt[\LARGE{3}]{i}.
1. Определим модуль и аргумент числа r\colon\, r=|i|=1,~ \varphi=\arg i=\frac{\pi}{2}.
2. По формуле (1.17) имеем

\sqrt[\LARGE{3}]{i}= 1\cdot \left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+ i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)= \cos\!\left(\frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi\right)\!,\quad k=0,1,2.

3. Выписываем корни z_1,\,z_2,\,z_3\colon\, z_1= \frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2},~ z_2= -\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2},~ z_3=-i.


Геометрический смысл комплексных корней

Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например z_1=\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6} (при k=0) — это точка окружности |z|=1, лежащая на луче \varphi=\frac{\pi}{6}. После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность |z|=1 (рис. 1.8,б).


Пример 1.25. Найти корень уравнения z^4-1+i=0, для которого \operatorname{Re}z<0,~ \operatorname{Im}z>0.


▼ Решение
Геометрическая интерпретация корней комплексного уравнения

Задача равносильна задаче нахождения z=\sqrt[\LARGE{4}]{1-i} при условие \operatorname{Re}z<0,~ \operatorname{Im}z>0.


1. Находим модуль и аргумент числа 1-i\colon\, r=|1-i|=\sqrt{2},~ \varphi=\arg(1-i)=-\frac{\pi}{4}.


2. По формуле (1.17) имеем: z_{k+1}= \sqrt[\LARGE{4}]{1-i}= \sqrt[\LARGE{8}]{2}e^{\left(-\frac{\pi}{16}+\frac{2k\pi}{4}\right) i},~ k=0,1,2,3.


3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение k~(k=0,1,2,3), при котором выполняется условие \frac{\pi}{2}< \arg z\leqslant\pi (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9).


Условию поставленной задачи удовлетворяет корень z_3 (при k=2): z_3= \sqrt[\LARGE{8}]{2}e^{\left(\pi-\frac{\pi}{16}\right)i}= \sqrt[\LARGE{8}]{2}e^{\frac{15\pi}{16}\,i}.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved