Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Комплексные числа в тригонометрической форме
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Содержание 1. Тригонометрическая форма комплексного числа 2. Показательная форма комплексного числа 3. Модуль комплексного числа 4. Аргумент комплексного числа 5. Главное значение аргумента 6. Равенство комплексных чисел 7. Умножение комплексных чисел 8. Деление комплексных чисел 9. Возведение в степень 10. Извлечение корня 11. Алгоритм решения уравнений Тригонометрическая форма комплексного числа Каждому комплексному числу $z=x+iy$ геометрически соответствует точка $M(x,y)$ на плоскости $Oxy$ . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат $(x,y)$ , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат $(r,\varphi)$ в полярной системе (рис. 1.3,a). Величина $r$ является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол $\varphi$ может принимать бесчисленное множество значений (при этом $z\ne0$ ): если точке соответствует некоторое значение $\varphi_0$ , то ей также соответствуют значения $\varphi=\varphi_0+2k\pi,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ . Например, если для точки $z=-1-i$ (см. рис. 1.1) выбрать $\varphi_0=\frac{5\pi}{4}$ , то ей соответствует любое $\varphi=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,~ k=0,\pm1,\ldots$ , в частности $\varphi=-\frac{3\pi}{4}$ при $k=-1$ . Если же выбрать $\varphi_0=-\frac{3\pi}{4}$ , то $\varphi=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi,~ k=0,\pm1,\ldots$ , а при $k=1$ получаем $\varphi=\frac{5\pi}{4}$ . Используя связь декартовых и полярных координат точки $M\colon \begin{cases} x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi\end{cases}$ (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа $z=x+iy$ получаем тригонометрическую форму: $z=r \bigl(\cos\varphi+i\sin\varphi\bigr).$ (1.3) Показательная форма комплексного числа Если обозначить комплексное число $z$ , у которого $\operatorname{Re}z= \cos\varphi$ , а $\operatorname{Im}z=\sin\varphi$ , через $e^{i\,\varphi}$ , то есть $\cos\varphi+i\sin\varphi=e^{i\,\varphi}$ , то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа: $z=r\,e^{i\,\varphi}.$ (1.4) Равенство $e^{i\,\varphi}= \cos\varphi+i\sin\varphi$ называется формулой Эйлера. Заметим, что геометрически задание комплексного числа $z=(r,\varphi)$ равносильно заданию вектора $\overrightarrow{OM}$ , длина которого равна $r$ , то есть $\bigl\|\overrightarrow{OM}\bigr\|=r$ , а направление — под углом $\varphi$ к оси $Ox$ (рис. 1.3,б). Модуль комплексного числа Число $r$ — длина радиуса-вектора точки $M(x,y)$ называется модулем комплексного числа $z=x+iy$ . Обозначение: $\|z\|=r$ . Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме $z=x+iy\colon$ $\|z\|=\sqrt{x^2+y^2}\,.$ (1.5) Очевидно, что $\|z\|\geqslant0$ и $\|z\|=0$ только для числа $z=0~(x=0,\,y=0)$ . С помощью правила вычитания запишем модуль числа $z=z_1-z_2$ , где $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2\,\colon$ $\bigl\|z_1-z_2\bigr\|= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\,.$ А это, как известно, есть формула для расстояния между точками $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$ . Таким образом, число $\|z_1-z_2\|$ есть расстояние между точками $z_1$ и $z_2$ на комплексной плоскости. Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел: $\bold{1)}~z_1=2,~z_2=-2+\sqrt{3}\,;\qquad \bold{2)}~z_3=-2i,~ z_4=(2-\sqrt{3})i\,;\qquad \bold{3)}~ z_5=-1+2i\,.$ Решение Найдем решение для каждого из трех случаев: 1) числа $z_1$ и $z_2$ действительные, причем $z_1=x_1=2>0,~ z_2=x_2=-2+\sqrt{3}<0$ . Поэтому $\|z_1\|=z_1=2,~ \|z_2\|=2-\sqrt{3}$ (рис. 1.4); 2) числа $z_3$ и $z_4$ — чисто мнимые, причем $z_3=iy_3,~ y_3=-2<0;~ z_4=iy_4,~ y_4=2-\sqrt{3}>0$ . Поэтому $\|z_3\|=\|y_3\|=-y_3=2$ , то есть $\|-2i\|=2;~ \|z_4\|=\|y_4\|= y_4=2-\sqrt{3}$ , или $\bigl\|(2-\sqrt{3})i\bigr\|=2-\sqrt{3}$ (рис. 1.4); 3) для числа $z_5=-1+2i$ имеем $x_5=\operatorname{Re}z_5=-1,~ y_5=\operatorname{Im}z_5=2$ . Поэтому $\|z_5\|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}$ (рис. 1.4). Аргумент комплексного числа Полярный угол $\varphi$ точки $M(x,y)$ называется аргументом комплексного числа $z=x+iy$ . Обозначение: $\varphi=\arg z$ . В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под $\arg z$ будем понимать значение $\varphi$ , удовлетворяющее условию $-\pi<\varphi\leqslant\pi$ . Так, для точки $z=-1-i$ (см. рис. 1.1) $\arg z=-\frac{3\pi}{4}$ . Формулу для нахождения аргумента комплексного числа $z=x+iy$ , заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки $M(x,y)$ (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для $z$ , у которых $x\ne0$ , получаем $\operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}$ ; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для $z$ , у которых $x=0,~ y>0$ , имеем $\varphi=\frac{\pi}{2}$ ; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для $z$ , у которых $x=0,~ y<0$ , соответственно $\varphi=-\frac{\pi}{2}$ . Аргумент числа $z=0$ — величина неопределенная. Нахождение аргумента при $x\ne0$ сводится к решению тригонометрического уравнения $\operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}$ . При $y=0$ , т.е. когда $z=x$ — число действительное, имеем $\varphi=0$ при $x>0$ и $\varphi=\pi$ при $x<0$ . При $y\ne0$ решение уравнения зависит от четверти плоскости $Oxy$ . Четверть, в которое расположена точка $z$ , определяется по знакам $\operatorname{Re}z$ и $\operatorname{Im}z$ . В результате получаем: $\arg z= \begin{cases}\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x>0;\\ \pi+\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x<0,y\geqslant0;\\ -\pi+\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x<0,y<0;\\ \dfrac{\pi}{2},& x=0,~y>0;\\ -\dfrac{\pi}{2},& x=0,~y<0.\end{cases}$ (1.6) При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5. Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13. Решение Как и в примере 1.13, решим задачу для каждого из трех случаев: 1) числа $z_1=2$ и $z_2=-2+\sqrt{3}$ — действительные, причем $z_1=x_1>0,~ z_2=x_2<0$ , поэтому $\arg z_1=0,~ \arg z_2=\pi$ (см. рис. 1.4); 2) числа $z_3=-2i$ и $z_4=(2-\sqrt{3})i$ — чисто мнимые $(x_3= x_4=0)$ , причем $y_3= \operatorname{Im}z_3 =-2<0,$ $y_4= \operatorname{Im}z_4= 2-\sqrt{3}>0$ , поэтому $\arg z_3=-\frac{\pi}{2},~ \arg z_4= \frac{\pi}{2}$ (см. рис. 1.4); 3) для числа $z_5=-1+2i$ имеем $\operatorname{Re}z_5=-1\ne0$ , поэтому из $\operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}$ находим $\operatorname{tg}\varphi=-2$ ; так как при этом $\operatorname{Im}z_5>0,~ \operatorname{Re}z_5<0$ (точка $z_5$ находится во второй четверти, рис. 1.4), то получаем $\varphi= \pi+\operatorname{arctg}(-2)$ (рис. 1.5) или $\varphi=\pi-\operatorname{arctg}2$ . Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа $z=2-i$ . Решение. Находим $\|z\|=\sqrt{2^2+(-1)^2}= \sqrt{5}$ . Так как $\operatorname{Re}z=2>0,~ \operatorname{Im}z=-1<0$ , т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства $\operatorname{tg}\varphi=-\frac{1}{2}$ получаем $\varphi= \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)$ (рис. 1.5). Главное значение аргумента комплексного числа Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла $\varphi$ для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$ . Всякий угол, отличающийся от $\arg z$ на слагаемое, кратное $2\pi$ , обозначается $\operatorname{Arg}z$ и записывается равенством: $\operatorname{Arg}z=\arg z+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots,$ (1.7) где $\arg z$ — главное значение аргумента, $-\pi<\arg z\leqslant\pi$ . Пример 1.16. Записать $\arg z$ и $\operatorname{Arg}z$ для чисел $z_1=1,~ z_2=-1,~ z_3=i,~ z_4=-i$ . Решение. Числа $z_1$ и $z_2$ — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому $\arg z_1=0,~~ \operatorname{Arg}z_1=2k\pi;\qquad \arg z_2=\pi,~~ \operatorname{Arg}z_2= \pi+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots;$ числа $z_3$ и $z_4$ — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому $\arg z_3=\frac{\pi}{2},~~ \operatorname{Arg}z_3=\frac{\pi}{2}+2k\pi;\qquad \arg z_4=-\frac{\pi}{2},~~ \operatorname{Arg}z_4= -\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k=0,\pm1, \pm2,\ldots$ Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16: а) в тригонометрической форме; б) в показательной форме. Решение Модули всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем: а) $1=\cos2k\pi+ i\sin2k\pi;~~ -1=\cos(\pi+2k\pi)+ i\sin(\pi+2k\pi);~~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ $i=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);\quad -i=\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);$ б) $1=e^{2k\pi i};~~ -1=e^{(\pi+2k\pi)i};~~ i=e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)i};~~ -i=e^{\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)i},~~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ . Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа $z_1=-1-i,~ z_2=\cos\frac{\pi}{5}-i\sin\frac{\pi}{5},~ z_3= i\left(\cos\frac{\pi}{5}-i\sin\frac{\pi}{5}\right)$ . Решение Числа $z_1$ и $z_2$ записаны в алгебраической форме (заметим, что заданная запись числа $z_2$ не является тригонометрической формой записи (сравните с (1.3)). Находим модули чисел по формуле (1.5): $\|z_1\|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{2}\,,\qquad \|z_2\|=\sqrt{\cos^2 \frac{\pi}{5}+ \left(-\sin \frac{\pi}{5}\right)^2}=1.$ Далее находим аргументы. Для числа $z_1$ имеем $\operatorname{tg}\varphi=1$ и, так как $\operatorname{Re}z_1<0,~ \operatorname{Im}z_1<0$ (точка расположена в третьей четверти), получаем $\arg z_1=-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}$ (см. рис. 1.5). Для числа $z_2$ имеем $\operatorname{tg}\varphi=-\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}$ , или $\operatorname{tg}\varphi= \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{5}\right)$ , и, так как $\operatorname{Re}z_2>0,~ \operatorname{Im}z_2<0$ (точка расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5)), получаем $\arg z_2=-\frac{\pi}{5}$ . Записываем числа $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической форме $\begin{gathered}z_1= \sqrt{2} \left[\cos\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\right];\\[5pt] z_2= \cos\left(-\frac{\pi}{5}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{\pi}{5}+ 2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots \end{gathered}$ Заметим, что для числа $z_2$ решение можно найти иначе, а именно используя свойства тригонометрических функций: $\cos\alpha=\cos(-\alpha),~ -\sin\alpha=\sin(-\alpha)$ . Число $z_3$ является произведением двух чисел. Выполнив умножение, получим алгебраическую форму записи (найдем $\operatorname{Re}z_3$ и $\operatorname{Im}z_3$ ): $z_3=\sin \frac{\pi}{5}+ i\cos \frac{\pi}{5}$ . Здесь, как и для числа $z_2$ , при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, а именно $\sin\frac{\pi}{5}= \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)\!,~ \cos\frac{\pi}{5}= \sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)$ . Рассуждая, как выше, найдем $\|z_3\|=1,~ \arg z_3=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}= \frac{3\pi}{10}$ . Для числа $z_3=\sin \frac{\pi}{5}+ i\cos \frac{\pi}{5}$ , записанного в алгебраической форме, получаем тригонометрическую форму: $z_3= \cos\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел $z_1=r_1(\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1),$ $z_2=r_2(\cos\varphi_2+ i\sin\varphi_2),$ из условия $z_1=z_2$ . очевидно, следует: $r_1=r_2;\qquad \varphi_1-\varphi_2=2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ или $\|z_1\|=\|z_2\|,\quad \operatorname{Arg}z_1-\operatorname{Arg}z_2= 2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ (1.8) Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное $2\pi$ . Для пары сопряженных комплексных чисел $z$ и $\overline{z}$ справедливы следующие равенства: $\|\overline{z}\|= \|z\|,\qquad \arg\overline{z}=-\arg z\,.$ (1.9) Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме $z_1=r_1(\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1)$ и $z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$ и перемножим их по правилу умножения двучленов: $\begin{aligned}z_1\cdot z_2&= r_1\cdot r_2\cdot (\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1)\cdot (\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)=\\ &= r_1\cdot r_2 \bigl(\cos\varphi_1\cos\varphi_2- \sin\varphi_1 \sin\varphi_2+ i(\cos\varphi_1 \sin\varphi_2+ \sin\varphi_1 \cos\varphi_2)\bigr) \end{aligned}$ или $z_1\cdot z_2= r_1\cdot r_2\cdot \bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+ i\sin(\varphi_1+ \varphi_2)\bigr).$ Получили новое число $z$ , записанное в тригонометрической форме: $z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)$ , для которого $r=r_1\cdot r_2,~ \varphi= \varphi_1+ \varphi_2$ . Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются: $\|z_1\cdot z_2\|= \|z_1\|\cdot \|z_2\|,\qquad \operatorname{Arg}(z_1\cdot z_2)= \arg z_1+\arg z_2.$ (1.10) В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением. Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел: $\bold{1)}~ z=-2i \left(\cos\frac{4\pi}{7}- i\sin\frac{4\pi}{7}\right)\!;\qquad \bold{2)}~ z=(1+i)(\sqrt{3}-i).$ Решение Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме: $\bold{1)}\quad z=z_1\cdot z_2,\quad z_1=-2i,\quad z_2= \cos\frac{4\pi}{7}- i\sin\frac{4\pi}{7}= \cos\!\left(-\frac{4\pi}{7}\right)+ i\sin\!\left(-\frac{4\pi}{7}\right)\,.$ Для чисел $z_1$ и $z_2$ находим модули и аргументы: $\|z_1\|=2,~ \arg z_1=-\frac{\pi}{2};~ \|z_2\|=1,~ \arg z_2=-\frac{4\pi}{7}$ . Используя формулы (1.10), получаем $\|z\|=\|z_1\|\cdot\|z_2\|=2,\quad \operatorname{Arg}z= \arg z_1+\arg z_2= -\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{7};\quad \arg z= 2\pi- \frac{15\pi}{14}= \frac{13\pi}{14}$ б) $z=z_1\cdot z_2,~ z_1=1+i,~ z_2=\sqrt{3}-i$ . Для числа $z_1$ имеем: $\|z_1\|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4}$ ; для числа $z_2\colon\, \|z_2\|=2,~ \operatorname{tg}\varphi_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ , и так как $\operatorname{Re}z_2>0,~ \operatorname{Im}z_2<0$ (точка расположена в четвертой четверти), то $\arg z_2=-\frac{\pi}{6}$ . Используя формулы (1.10), получаем $\|z\|=2\sqrt{2},~ \arg z=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}$ . Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти $\|z\|$ и $\arg z$ , используя формулы (1.5), (1.6). Деление комплексных чисел в тригонометрической форме Рассмотрим частное комплексных чисел $\frac{z_1}{z_2}$ , заданных в тригонометрической форме. Из определения частного $z=\frac{z_1}{z_2}$ имеем $z_1=z\cdot z_2$ и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем $r=\frac{r_1}{r_2},~ \varphi=\varphi_1-\varphi_2$ . Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя: $\left\|\frac{z_1}{z_2}\right\|= \frac{\|z_1\|}{\|z_2\|},\qquad \operatorname{Arg}\frac{z_1}{z_2}= \arg z_1-\arg z_2.$ (1.11) В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением. Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число $\frac{1+i}{\sqrt{3}-i}$ . Решение. Обозначим $z=\frac{z_1}{z_2},~ z_1=1+i,~ z_2=\sqrt{3}-i$ . Для чисел $z_1$ и $z_2$ находим модули и аргументы: $\|z_1\|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4};$ $\|z_2\|=2,~ \arg z_2=-\frac{\pi}{6}$ (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем $\|z\|=\frac{\|z_1\|}{\|z_2\|}=\frac{\sqrt{2}}{2},~ \arg z=\arg z_1-\arg z_2=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)= \frac{5\pi}{12}$ и $\frac{1+i}{\sqrt{3}-i}= \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{12}+2k\pi\right)+ i\sin\left(\frac{5\pi}{12}+2k\pi\right)\right)\!,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме Из определения степени $z^n$ и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем $\|z^n\|=r^n,\quad \operatorname{Arg}z^n=n\varphi$ , где $z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)$ . Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени: $\|z^n\|= \|z\|^n,\qquad \operatorname{Arg}z^n= n\arg z\,.$ (1.12) Записывая число $z^n$ в тригонометрической форме $z^n= r^n(\cos n\varphi+ i\sin n\varphi)$ , получаем формулу возведения в степень: $\bigl[r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)\bigr]^n= r^n(\cos n\varphi+ i\sin n\varphi).$ (1.13) При $r=1$ это равенство принимает вид и называется формула Муавра $(\cos\varphi+ i\sin\varphi)^n= \cos n\varphi+ i\sin n\varphi\,.$ (1.14) Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа $(1+i)^5$ . Решение. Обозначим $z=z_1^5,~ z_1=1+i$ . Находим модуль и аргумент числа $z_1\colon\, \|z_1\|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4}$ . Поэтому $\|z\|= (\sqrt{2})^5$ и $\operatorname{Arg}z=5\arg z_1=\frac{5\pi}{4}$ . Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие $-\pi<\arg z\leqslant\pi$ , то $\arg z= \frac{5\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}$ . Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число $(1+i)^5(\sqrt{3}-i)^7$ . Решение Обозначим $z=z_1\cdot z_2,~ z_1=(1+i)^5,~ z_2=(\sqrt{3}-i)^7$ . Находим модули и аргументы чисел $z_1$ и $z_2$ . Для числа $z_1$ имеем: $\|\sqrt{3}-i\|=2,~ \arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{\pi}{6}$ (см. пример 1.21). Для числа $z_2$ последовательно находим: $\|\sqrt{3}-i\|=2,~ \arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{\pi}{6}$ (см. пример 1.19), $\|z_2\|=2^7,~ \operatorname{Arg}z_2= 7\arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{7\pi}{6}$ , или, находя главное значение аргумента: $\arg z_2=\frac{5\pi}{6}$ . Таким образом, по формуле (1.10) получаем $\|z\|=(\sqrt{2})^5\cdot 2^7= 2^9\sqrt{2}$ и $\operatorname{Arg}z= \frac{5\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}= \frac{\pi}{12}\,.$ Записываем число $z=z_1\cdot z_2$ в тригонометрической форме: $z= 2^9\sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{12}+2k\pi\right)+ i\sin \left(\frac{\pi}{12}+ 2k\pi\right)\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для $\cos3\varphi$ и $\sin3\varphi$ через тригонометрические функции угла $\varphi$ . Решение Из формулы (1.14) при $n=3$ имеем $(\cos\varphi+ i\sin\varphi)^3= \cos3\varphi+i\sin3\varphi$ . Возведем левую часть в степень, учитывая, что $i^3=-i$ (см. пример 1.8): $\begin{aligned}\cos^3\varphi+ i3\cos^2\varphi\sin\varphi- 3\cos\varphi \sin^2\varphi+ i^3\sin^3\varphi&= \cos3\varphi+ i\sin3\varphi,\\ (\cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi)+ i(3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi)&= \cos3\varphi+ i\sin3\varphi.\end{aligned}$ Используя условие равенства комплексных чисел, получаем: $\cos3\varphi= \cos^3\varphi- 3\cos\varphi\sin^2\varphi,\qquad \sin3\varphi= 3\cos^2\varphi \sin\varphi- \sin^3\varphi.$ Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме $z=r\,e^{i\varphi}$ , или $z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)$ . Искомое число $w=\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ также запишем в показательной форме: $w=\rho\,e^{i\varphi},~ \rho=\|w\|,~ \theta=\arg w$ . Используя определение операции извлечения корня $z=w^n$ и условия (1.8), получаем соотношения $\rho^n=r,\qquad n\cdot\theta= \varphi+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ или $\rho= \sqrt[\LARGE{n}]{r},\quad \theta= \frac{\varphi+2k\pi}{n},\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ (1.15) Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент $(\operatorname{Arg}z)$ разделить на показатель корня: $\bigl\|\sqrt[\LARGE{n}]{z}\bigr\|= \sqrt[\LARGE{n}]{\|z\|},\qquad \operatorname{Arg}\sqrt[\LARGE{n}]{z}= \frac{\operatorname{Arg}z}{n}\,.$ (1.16) Теперь можно записать число $w=\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ в показательной форме: $\sqrt[\LARGE{n}]{z}= \sqrt[\LARGE{n}]{\|z\|}\cdot \exp \frac{i \operatorname{Arg}z}{n}\,.$ Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение $\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ принимает только $n$ различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять $n$ последовательных значений $k$ , например $k=0,1,2,\ldots,n-1$ . В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где $r=\|z\|,~ \varphi=\arg z$ : $\sqrt[\LARGE{n}]{z}= \sqrt[\LARGE{n}]{r} \left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+ i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\!,\quad 0,1,2,\ldots,n-1.$ (1.17) Замечания 1.1 1. Рассмотренная задача извлечения корня степени $n$ из комплексного числа равносильна решению уравнения вида $z^n-a=0$ , где, очевидно, $z=\sqrt[\LARGE{n}]{a}$ . Для решения уравнения нужно найти $n$ значений $\sqrt[\LARGE{n}]{a}$ , а для этого необходимо найти $r=\|a\|,~ \varphi=\arg a$ и использовать формулу извлечения корня. 2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа $w_k,~ k=1,2,\ldots,n$ (значения $\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ ) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса $R=\sqrt[\LARGE{n}]{r},~ r=\|z\|$ . Аргументы двух последовательных чисел отличаются на $\frac{2\pi}{n}$ , так как $\arg w_{k+1}-\arg w_k= \frac{2\pi}{n}$ , т.е. каждое последующее значение $w_{k+1}$ может быть получено из предыдущего $w_k$ поворотом радиуса-вектора точки $w_k$ на $\frac{2\pi}{n}$ .В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом. Точки, соответствующие значениям $\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ , расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой $R= \sqrt[\LARGE{n}]{\|z\|}$ , причем аргумент одного из значений $w_k$ равен $\frac{\arg z}{n}= \frac{\varphi}{n}$ (рис. 1.7). Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0 1. Найти модуль и аргумент числа $a\colon\, r=\|a\|,~ \varphi=\arg a$ . 2. Записать формулу (1.17) при заданном значении $n\colon\, \sqrt[\LARGE{n}]{a}= \sqrt[\LARGE{n}]{r} \left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+ i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)$ . 3. Выписать значения корней уравнения $z_k$ , придавая значения $k=0,1,2,\ldots,n-1$ . Пример 1.24. Решить уравнения: a) $z^6-1=0$ ; б) $z^3-i=0$ . Решение Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму. а) Найдем $z=\sqrt[\LARGE{6}]{1}$ . 1. Определим модуль и аргумент числа $1\colon\, r=1,~ \varphi=0$ . 2. При полученных значениях $r$ и $\varphi$ записываем формулу (1.17): $z= \sqrt[\LARGE{6}]{1}= \sqrt[\LARGE{6}]{1} \left(\cos\frac{2k\pi}{6}+ i\sin\frac{2k\pi}{6}\right)\!,\qquad k=0,1,2,3,4,5.$ Заметим, что справа стоит $\sqrt[\LARGE{6}]{1}$ — арифметический корень, его единственное значение равно 1. 3. Придавая $k$ последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения: $\begin{array}{ll}z_1= \cos0+i\sin0=1,&\qquad z_2=\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}= \dfrac{1}{2}+ i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\\[7pt] z_3= \cos\dfrac{2\pi}{3}+ i\sin\dfrac{2\pi}{3}= -\dfrac{1}{2}+ i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},&\qquad z_4=\cos\pi+i\sin\pi=-1,\\[10pt] z_5= \cos\dfrac{4\pi}{3}+ i\sin\dfrac{4\pi}{3}= -\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},&\qquad z_6= \cos\dfrac{5\pi}{3}+ i\sin\dfrac{5\pi}{3}= \dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$ Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса $R=1$ , одна из точек (соответствует $k=0$ ) $z_1=1$ . Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: $z_6= \overline{z}_2,~ z_5= \overline{z}_3,~ z_1$ и $z_4$ — действительные числа. б) Найдем $z=\sqrt[\LARGE{3}]{i}$ . 1. Определим модуль и аргумент числа $r\colon\, r=\|i\|=1,~ \varphi=\arg i=\frac{\pi}{2}$ . 2. По формуле (1.17) имеем $\sqrt[\LARGE{3}]{i}= 1\cdot \left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+ i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)= \cos\!\left(\frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi\right)\!,\quad k=0,1,2.$ 3. Выписываем корни $z_1,\,z_2,\,z_3\colon\, z_1= \frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2},~ z_2= -\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2},~ z_3=-i$ . Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например $z_1=\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6}$ (при $k=0$ ) — это точка окружности $\|z\|=1$ , лежащая на луче $\varphi=\frac{\pi}{6}$ . После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность $\|z\|=1$ (рис. 1.8,б). Пример 1.25. Найти корень уравнения $z^4-1+i=0$ , для которого $\operatorname{Re}z<0,~ \operatorname{Im}z>0$ . Решение Задача равносильна задаче нахождения $z=\sqrt[\LARGE{4}]{1-i}$ при условие $\operatorname{Re}z<0,~ \operatorname{Im}z>0$ . 1. Находим модуль и аргумент числа $1-i\colon\, r=\|1-i\|=\sqrt{2},~ \varphi=\arg(1-i)=-\frac{\pi}{4}$ . 2. По формуле (1.17) имеем: $z_{k+1}= \sqrt[\LARGE{4}]{1-i}= \sqrt[\LARGE{8}]{2}e^{\left(-\frac{\pi}{16}+\frac{2k\pi}{4}\right) i},~ k=0,1,2,3$ . 3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение $k~(k=0,1,2,3)$ , при котором выполняется условие $\frac{\pi}{2}< \arg z\leqslant\pi$ (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9). Условию поставленной задачи удовлетворяет корень $z_3$ (при $k=2$ ): $z_3= \sqrt[\LARGE{8}]{2}e^{\left(\pi-\frac{\pi}{16}\right)i}= \sqrt[\LARGE{8}]{2}e^{\frac{15\pi}{16}\,i}$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Комплексные числа в тригонометрической форме

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах

Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу $z=x+iy$ геометрически соответствует точка $M(x,y)$ на плоскости $Oxy$ . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат $(x,y)$ , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат $(r,\varphi)$ в полярной системе (рис. 1.3,a).

Величина $r$ является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол $\varphi$ может принимать бесчисленное множество значений (при этом $z\ne0$ ): если точке соответствует некоторое значение $\varphi_0$ , то ей также соответствуют значения $\varphi=\varphi_0+2k\pi,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ . Например, если для точки $z=-1-i$ (см. рис. 1.1) выбрать $\varphi_0=\frac{5\pi}{4}$ , то ей соответствует любое $\varphi=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,~ k=0,\pm1,\ldots$ , в частности $\varphi=-\frac{3\pi}{4}$ при $k=-1$ . Если же выбрать $\varphi_0=-\frac{3\pi}{4}$ , то $\varphi=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi,~ k=0,\pm1,\ldots$ , а при $k=1$ получаем $\varphi=\frac{5\pi}{4}$ .

Положение точки на плоскости в полярных координатах

Используя связь декартовых и полярных координат точки $M\colon \begin{cases} x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi\end{cases}$ (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа $z=x+iy$ получаем тригонометрическую форму:

$z=r \bigl(\cos\varphi+i\sin\varphi\bigr).$

(1.3)

Показательная форма комплексного числа

Если обозначить комплексное число $z$ , у которого $\operatorname{Re}z= \cos\varphi$ , а $\operatorname{Im}z=\sin\varphi$ , через $e^{i\,\varphi}$ , то есть $\cos\varphi+i\sin\varphi=e^{i\,\varphi}$ , то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:

$z=r\,e^{i\,\varphi}.$

(1.4)

Равенство $e^{i\,\varphi}= \cos\varphi+i\sin\varphi$ называется формулой Эйлера.

Заметим, что геометрически задание комплексного числа $z=(r,\varphi)$ равносильно заданию вектора $\overrightarrow{OM}$ , длина которого равна $r$ , то есть $\bigl|\overrightarrow{OM}\bigr|=r$ , а направление — под углом $\varphi$ к оси $Ox$ (рис. 1.3,б).

Модуль комплексного числа

Число $r$ — длина радиуса-вектора точки $M(x,y)$ называется модулем комплексного числа $z=x+iy$ . Обозначение: $|z|=r$ .

Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме $z=x+iy\colon$

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}\,.$

(1.5)

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Очевидно, что $|z|\geqslant0$ и $|z|=0$ только для числа $z=0~(x=0,\,y=0)$ .

С помощью правила вычитания запишем модуль числа $z=z_1-z_2$ , где $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2\,\colon$

$\bigl|z_1-z_2\bigr|= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\,.$

А это, как известно, есть формула для расстояния между точками $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$ .

Таким образом, число $|z_1-z_2|$ есть расстояние между точками $z_1$ и $z_2$ на комплексной плоскости.

Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:

$\bold{1)}~z_1=2,~z_2=-2+\sqrt{3}\,;\qquad \bold{2)}~z_3=-2i,~ z_4=(2-\sqrt{3})i\,;\qquad \bold{3)}~ z_5=-1+2i\,.$

Решение

Найдем решение для каждого из трех случаев:

1) числа $z_1$ и $z_2$ действительные, причем $z_1=x_1=2>0,~ z_2=x_2=-2+\sqrt{3}<0$ . Поэтому $|z_1|=z_1=2,~ |z_2|=2-\sqrt{3}$ (рис. 1.4);

2) числа $z_3$ и $z_4$ — чисто мнимые, причем $z_3=iy_3,~ y_3=-2<0;~ z_4=iy_4,~ y_4=2-\sqrt{3}>0$ . Поэтому $|z_3|=|y_3|=-y_3=2$ , то есть $|-2i|=2;~ |z_4|=|y_4|= y_4=2-\sqrt{3}$ , или $\bigl|(2-\sqrt{3})i\bigr|=2-\sqrt{3}$ (рис. 1.4);

3) для числа $z_5=-1+2i$ имеем $x_5=\operatorname{Re}z_5=-1,~ y_5=\operatorname{Im}z_5=2$ . Поэтому $|z_5|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}$ (рис. 1.4).

Аргумент комплексного числа

Полярный угол $\varphi$ точки $M(x,y)$ называется аргументом комплексного числа $z=x+iy$ . Обозначение: $\varphi=\arg z$ .

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под $\arg z$ будем понимать значение $\varphi$ , удовлетворяющее условию $-\pi<\varphi\leqslant\pi$ . Так, для точки $z=-1-i$ (см. рис. 1.1) $\arg z=-\frac{3\pi}{4}$ .

Формулу для нахождения аргумента комплексного числа $z=x+iy$ , заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки $M(x,y)$ (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для $z$ , у которых $x\ne0$ , получаем $\operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}$ ; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для $z$ , у которых $x=0,~ y>0$ , имеем $\varphi=\frac{\pi}{2}$ ; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для $z$ , у которых $x=0,~ y<0$ , соответственно $\varphi=-\frac{\pi}{2}$ .

Аргумент числа $z=0$ — величина неопределенная.

Нахождение аргумента при $x\ne0$ сводится к решению тригонометрического уравнения $\operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}$ . При $y=0$ , т.е. когда $z=x$ — число действительное, имеем $\varphi=0$ при $x>0$ и $\varphi=\pi$ при $x<0$ . При $y\ne0$ решение уравнения зависит от четверти плоскости $Oxy$ . Четверть, в которое расположена точка $z$ , определяется по знакам $\operatorname{Re}z$ и $\operatorname{Im}z$ . В результате получаем:

$\arg z= \begin{cases}\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x>0;\\ \pi+\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x<0,y\geqslant0;\\ -\pi+\operatorname{arctg}\dfrac{y}{x},& x<0,y<0;\\ \dfrac{\pi}{2},& x=0,~y>0;\\ -\dfrac{\pi}{2},& x=0,~y<0.\end{cases}$

(1.6)

При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5.

Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13.

Решение

Как и в примере 1.13, решим задачу для каждого из трех случаев:

1) числа $z_1=2$ и $z_2=-2+\sqrt{3}$ — действительные, причем $z_1=x_1>0,~ z_2=x_2<0$ , поэтому $\arg z_1=0,~ \arg z_2=\pi$ (см. рис. 1.4);

2) числа $z_3=-2i$ и $z_4=(2-\sqrt{3})i$ — чисто мнимые $(x_3= x_4=0)$ , причем $y_3= \operatorname{Im}z_3 =-2<0,$ $y_4= \operatorname{Im}z_4= 2-\sqrt{3}>0$ , поэтому $\arg z_3=-\frac{\pi}{2},~ \arg z_4= \frac{\pi}{2}$ (см. рис. 1.4);

3) для числа $z_5=-1+2i$ имеем $\operatorname{Re}z_5=-1\ne0$ , поэтому из $\operatorname{tg}\varphi= \frac{y}{x}$ находим $\operatorname{tg}\varphi=-2$ ; так как при этом $\operatorname{Im}z_5>0,~ \operatorname{Re}z_5<0$ (точка $z_5$ находится во второй четверти, рис. 1.4), то получаем $\varphi= \pi+\operatorname{arctg}(-2)$ (рис. 1.5) или $\varphi=\pi-\operatorname{arctg}2$ .

Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа $z=2-i$ .

Решение. Находим $|z|=\sqrt{2^2+(-1)^2}= \sqrt{5}$ . Так как $\operatorname{Re}z=2>0,~ \operatorname{Im}z=-1<0$ , т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства $\operatorname{tg}\varphi=-\frac{1}{2}$ получаем $\varphi= \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)$ (рис. 1.5).

Главное значение аргумента комплексного числа

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла $\varphi$ для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$ .

Всякий угол, отличающийся от $\arg z$ на слагаемое, кратное $2\pi$ , обозначается $\operatorname{Arg}z$ и записывается равенством:

$\operatorname{Arg}z=\arg z+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots,$

(1.7)

где $\arg z$ — главное значение аргумента, $-\pi<\arg z\leqslant\pi$ .

Комплексные числа с нулевыми вещественными и мнимыми частями

Пример 1.16. Записать $\arg z$ и $\operatorname{Arg}z$ для чисел $z_1=1,~ z_2=-1,~ z_3=i,~ z_4=-i$ .

Решение. Числа $z_1$ и $z_2$ — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому

$\arg z_1=0,~~ \operatorname{Arg}z_1=2k\pi;\qquad \arg z_2=\pi,~~ \operatorname{Arg}z_2= \pi+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots;$

числа $z_3$ и $z_4$ — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому

$\arg z_3=\frac{\pi}{2},~~ \operatorname{Arg}z_3=\frac{\pi}{2}+2k\pi;\qquad \arg z_4=-\frac{\pi}{2},~~ \operatorname{Arg}z_4= -\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k=0,\pm1, \pm2,\ldots$

Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16:

а) в тригонометрической форме;

б) в показательной форме.

Решение

Модули всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем:

а) $1=\cos2k\pi+ i\sin2k\pi;~~ -1=\cos(\pi+2k\pi)+ i\sin(\pi+2k\pi);~~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

$i=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);\quad -i=\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right);$

б) $1=e^{2k\pi i};~~ -1=e^{(\pi+2k\pi)i};~~ i=e^{\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)i};~~ -i=e^{\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)i},~~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$ .

Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа $z_1=-1-i,~ z_2=\cos\frac{\pi}{5}-i\sin\frac{\pi}{5},~ z_3= i\left(\cos\frac{\pi}{5}-i\sin\frac{\pi}{5}\right)$ .

Решение

Числа $z_1$ и $z_2$ записаны в алгебраической форме (заметим, что заданная запись числа $z_2$ не является тригонометрической формой записи (сравните с (1.3)). Находим модули чисел по формуле (1.5):

$|z_1|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{2}\,,\qquad |z_2|=\sqrt{\cos^2 \frac{\pi}{5}+ \left(-\sin \frac{\pi}{5}\right)^2}=1.$

Далее находим аргументы. Для числа $z_1$ имеем $\operatorname{tg}\varphi=1$ и, так как $\operatorname{Re}z_1<0,~ \operatorname{Im}z_1<0$ (точка расположена в третьей четверти), получаем $\arg z_1=-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}$ (см. рис. 1.5). Для числа $z_2$ имеем $\operatorname{tg}\varphi=-\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}$ , или $\operatorname{tg}\varphi= \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{5}\right)$ , и, так как $\operatorname{Re}z_2>0,~ \operatorname{Im}z_2<0$ (точка расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5)), получаем $\arg z_2=-\frac{\pi}{5}$ .

Записываем числа $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической форме

$\begin{gathered}z_1= \sqrt{2} \left[\cos\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\right];\\[5pt] z_2= \cos\left(-\frac{\pi}{5}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{\pi}{5}+ 2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots \end{gathered}$

Заметим, что для числа $z_2$ решение можно найти иначе, а именно используя свойства тригонометрических функций: $\cos\alpha=\cos(-\alpha),~ -\sin\alpha=\sin(-\alpha)$ .

Число $z_3$ является произведением двух чисел. Выполнив умножение, получим алгебраическую форму записи (найдем $\operatorname{Re}z_3$ и $\operatorname{Im}z_3$ ): $z_3=\sin \frac{\pi}{5}+ i\cos \frac{\pi}{5}$ . Здесь, как и для числа $z_2$ , при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, а именно $\sin\frac{\pi}{5}= \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)\!,~ \cos\frac{\pi}{5}= \sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)$ .

Рассуждая, как выше, найдем $|z_3|=1,~ \arg z_3=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}= \frac{3\pi}{10}$ . Для числа $z_3=\sin \frac{\pi}{5}+ i\cos \frac{\pi}{5}$ , записанного в алгебраической форме, получаем тригонометрическую форму:

$z_3= \cos\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме

Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел $z_1=r_1(\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1),$ $z_2=r_2(\cos\varphi_2+ i\sin\varphi_2),$ из условия $z_1=z_2$ . очевидно, следует:

$r_1=r_2;\qquad \varphi_1-\varphi_2=2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

или

$|z_1|=|z_2|,\quad \operatorname{Arg}z_1-\operatorname{Arg}z_2= 2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

(1.8)

Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное $2\pi$ .

Для пары сопряженных комплексных чисел $z$ и $\overline{z}$ справедливы следующие равенства:

$|\overline{z}|= |z|,\qquad \arg\overline{z}=-\arg z\,.$

(1.9)

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме $z_1=r_1(\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1)$ и $z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$ и перемножим их по правилу умножения двучленов:

$\begin{aligned}z_1\cdot z_2&= r_1\cdot r_2\cdot (\cos\varphi_1+ i\sin\varphi_1)\cdot (\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)=\\ &= r_1\cdot r_2 \bigl(\cos\varphi_1\cos\varphi_2- \sin\varphi_1 \sin\varphi_2+ i(\cos\varphi_1 \sin\varphi_2+ \sin\varphi_1 \cos\varphi_2)\bigr) \end{aligned}$

или

$z_1\cdot z_2= r_1\cdot r_2\cdot \bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+ i\sin(\varphi_1+ \varphi_2)\bigr).$

Получили новое число $z$ , записанное в тригонометрической форме: $z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)$ , для которого $r=r_1\cdot r_2,~ \varphi= \varphi_1+ \varphi_2$ .

Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

$|z_1\cdot z_2|= |z_1|\cdot |z_2|,\qquad \operatorname{Arg}(z_1\cdot z_2)= \arg z_1+\arg z_2.$

(1.10)

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.

Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:

$\bold{1)}~ z=-2i \left(\cos\frac{4\pi}{7}- i\sin\frac{4\pi}{7}\right)\!;\qquad \bold{2)}~ z=(1+i)(\sqrt{3}-i).$

Решение

Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме:

$\bold{1)}\quad z=z_1\cdot z_2,\quad z_1=-2i,\quad z_2= \cos\frac{4\pi}{7}- i\sin\frac{4\pi}{7}= \cos\!\left(-\frac{4\pi}{7}\right)+ i\sin\!\left(-\frac{4\pi}{7}\right)\,.$

Для чисел $z_1$ и $z_2$ находим модули и аргументы: $|z_1|=2,~ \arg z_1=-\frac{\pi}{2};~ |z_2|=1,~ \arg z_2=-\frac{4\pi}{7}$ . Используя формулы (1.10), получаем

$|z|=|z_1|\cdot|z_2|=2,\quad \operatorname{Arg}z= \arg z_1+\arg z_2= -\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{7};\quad \arg z= 2\pi- \frac{15\pi}{14}= \frac{13\pi}{14}$

б) $z=z_1\cdot z_2,~ z_1=1+i,~ z_2=\sqrt{3}-i$ . Для числа $z_1$ имеем: $|z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4}$ ; для числа $z_2\colon\, |z_2|=2,~ \operatorname{tg}\varphi_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ , и так как $\operatorname{Re}z_2>0,~ \operatorname{Im}z_2<0$ (точка расположена в четвертой четверти), то $\arg z_2=-\frac{\pi}{6}$ . Используя формулы (1.10), получаем $|z|=2\sqrt{2},~ \arg z=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}$ .

Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти $|z|$ и $\arg z$ , используя формулы (1.5), (1.6).

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Рассмотрим частное комплексных чисел $\frac{z_1}{z_2}$ , заданных в тригонометрической форме. Из определения частного $z=\frac{z_1}{z_2}$ имеем $z_1=z\cdot z_2$ и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем $r=\frac{r_1}{r_2},~ \varphi=\varphi_1-\varphi_2$ .

Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|= \frac{|z_1|}{|z_2|},\qquad \operatorname{Arg}\frac{z_1}{z_2}= \arg z_1-\arg z_2.$

(1.11)

В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.

Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число $\frac{1+i}{\sqrt{3}-i}$ .

Решение. Обозначим $z=\frac{z_1}{z_2},~ z_1=1+i,~ z_2=\sqrt{3}-i$ . Для чисел $z_1$ и $z_2$ находим модули и аргументы: $|z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4};$ $|z_2|=2,~ \arg z_2=-\frac{\pi}{6}$ (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем $|z|=\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{\sqrt{2}}{2},~ \arg z=\arg z_1-\arg z_2=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)= \frac{5\pi}{12}$ и

$\frac{1+i}{\sqrt{3}-i}= \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{12}+2k\pi\right)+ i\sin\left(\frac{5\pi}{12}+2k\pi\right)\right)\!,~ k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Из определения степени $z^n$ и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем

$|z^n|=r^n,\quad \operatorname{Arg}z^n=n\varphi$ , где $z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)$ .

Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:

$|z^n|= |z|^n,\qquad \operatorname{Arg}z^n= n\arg z\,.$

(1.12)

Записывая число $z^n$ в тригонометрической форме $z^n= r^n(\cos n\varphi+ i\sin n\varphi)$ , получаем формулу возведения в степень:

$\bigl[r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)\bigr]^n= r^n(\cos n\varphi+ i\sin n\varphi).$

(1.13)

При $r=1$ это равенство принимает вид и называется формула Муавра

$(\cos\varphi+ i\sin\varphi)^n= \cos n\varphi+ i\sin n\varphi\,.$

(1.14)

Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа $(1+i)^5$ .

Решение. Обозначим $z=z_1^5,~ z_1=1+i$ . Находим модуль и аргумент числа $z_1\colon\, |z_1|=\sqrt{2},~ \arg z_1=\frac{\pi}{4}$ . Поэтому $|z|= (\sqrt{2})^5$ и $\operatorname{Arg}z=5\arg z_1=\frac{5\pi}{4}$ . Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие $-\pi<\arg z\leqslant\pi$ , то $\arg z= \frac{5\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}$ .

Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число $(1+i)^5(\sqrt{3}-i)^7$ .

Решение

Обозначим $z=z_1\cdot z_2,~ z_1=(1+i)^5,~ z_2=(\sqrt{3}-i)^7$ . Находим модули и аргументы чисел $z_1$ и $z_2$ . Для числа $z_1$ имеем: $|\sqrt{3}-i|=2,~ \arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{\pi}{6}$ (см. пример 1.21). Для числа $z_2$ последовательно находим: $|\sqrt{3}-i|=2,~ \arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{\pi}{6}$ (см. пример 1.19), $|z_2|=2^7,~ \operatorname{Arg}z_2= 7\arg(\sqrt{3}-i)=-\frac{7\pi}{6}$ , или, находя главное значение аргумента: $\arg z_2=\frac{5\pi}{6}$ . Таким образом, по формуле (1.10) получаем

$|z|=(\sqrt{2})^5\cdot 2^7= 2^9\sqrt{2}$ и $\operatorname{Arg}z= \frac{5\pi}{6}-\frac{3\pi}{4}= \frac{\pi}{12}\,.$

Записываем число $z=z_1\cdot z_2$ в тригонометрической форме:

$z= 2^9\sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{12}+2k\pi\right)+ i\sin \left(\frac{\pi}{12}+ 2k\pi\right)\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для $\cos3\varphi$ и $\sin3\varphi$ через тригонометрические функции угла $\varphi$ .

Решение

Из формулы (1.14) при $n=3$ имеем $(\cos\varphi+ i\sin\varphi)^3= \cos3\varphi+i\sin3\varphi$ . Возведем левую часть в степень, учитывая, что $i^3=-i$ (см. пример 1.8):

$\begin{aligned}\cos^3\varphi+ i3\cos^2\varphi\sin\varphi- 3\cos\varphi \sin^2\varphi+ i^3\sin^3\varphi&= \cos3\varphi+ i\sin3\varphi,\\ (\cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi)+ i(3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi)&= \cos3\varphi+ i\sin3\varphi.\end{aligned}$

Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:

$\cos3\varphi= \cos^3\varphi- 3\cos\varphi\sin^2\varphi,\qquad \sin3\varphi= 3\cos^2\varphi \sin\varphi- \sin^3\varphi.$

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме $z=r\,e^{i\varphi}$ , или $z=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi)$ . Искомое число $w=\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ также запишем в показательной форме: $w=\rho\,e^{i\varphi},~ \rho=|w|,~ \theta=\arg w$ . Используя определение операции извлечения корня $z=w^n$ и условия (1.8), получаем соотношения

$\rho^n=r,\qquad n\cdot\theta= \varphi+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

или

$\rho= \sqrt[\LARGE{n}]{r},\quad \theta= \frac{\varphi+2k\pi}{n},\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots$

(1.15)

Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент $(\operatorname{Arg}z)$ разделить на показатель корня:

$\bigl|\sqrt[\LARGE{n}]{z}\bigr|= \sqrt[\LARGE{n}]{|z|},\qquad \operatorname{Arg}\sqrt[\LARGE{n}]{z}= \frac{\operatorname{Arg}z}{n}\,.$

(1.16)

Теперь можно записать число $w=\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ в показательной форме:

$\sqrt[\LARGE{n}]{z}= \sqrt[\LARGE{n}]{|z|}\cdot \exp \frac{i \operatorname{Arg}z}{n}\,.$

Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение $\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ принимает только $n$ различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять $n$ последовательных значений $k$ , например $k=0,1,2,\ldots,n-1$ . В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где $r=|z|,~ \varphi=\arg z$ :

$\sqrt[\LARGE{n}]{z}= \sqrt[\LARGE{n}]{r} \left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+ i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\!,\quad 0,1,2,\ldots,n-1.$

(1.17)

Замечания 1.1

1. Рассмотренная задача извлечения корня степени $n$ из комплексного числа равносильна решению уравнения вида $z^n-a=0$ , где, очевидно, $z=\sqrt[\LARGE{n}]{a}$ .

Для решения уравнения нужно найти $n$ значений $\sqrt[\LARGE{n}]{a}$ , а для этого необходимо найти $r=|a|,~ \varphi=\arg a$ и использовать формулу извлечения корня.

2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа $w_k,~ k=1,2,\ldots,n$ (значения $\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ ) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса $R=\sqrt[\LARGE{n}]{r},~ r=|z|$ . Аргументы двух последовательных чисел отличаются на $\frac{2\pi}{n}$ , так как $\arg w_{k+1}-\arg w_k= \frac{2\pi}{n}$ , т.е. каждое последующее значение $w_{k+1}$ может быть получено из предыдущего $w_k$ поворотом радиуса-вектора точки $w_k$ на $\frac{2\pi}{n}$ .В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.

Точки, соответствующие значениям $\sqrt[\LARGE{n}]{z}$ , расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой $R= \sqrt[\LARGE{n}]{|z|}$ , причем аргумент одного из значений $w_k$ равен $\frac{\arg z}{n}= \frac{\varphi}{n}$ (рис. 1.7).

Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

1. Найти модуль и аргумент числа $a\colon\, r=|a|,~ \varphi=\arg a$ .
2. Записать формулу (1.17) при заданном значении $n\colon\, \sqrt[\LARGE{n}]{a}= \sqrt[\LARGE{n}]{r} \left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+ i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)$ .
3. Выписать значения корней уравнения $z_k$ , придавая значения $k=0,1,2,\ldots,n-1$ .

Пример 1.24. Решить уравнения: a) $z^6-1=0$ ; б) $z^3-i=0$ .

Решение

Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму.

а) Найдем $z=\sqrt[\LARGE{6}]{1}$ .
1. Определим модуль и аргумент числа $1\colon\, r=1,~ \varphi=0$ .
2. При полученных значениях $r$ и $\varphi$ записываем формулу (1.17):

$z= \sqrt[\LARGE{6}]{1}= \sqrt[\LARGE{6}]{1} \left(\cos\frac{2k\pi}{6}+ i\sin\frac{2k\pi}{6}\right)\!,\qquad k=0,1,2,3,4,5.$

Заметим, что справа стоит $\sqrt[\LARGE{6}]{1}$ — арифметический корень, его единственное значение равно 1.

3. Придавая $k$ последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения:

$\begin{array}{ll}z_1= \cos0+i\sin0=1,&\qquad z_2=\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}= \dfrac{1}{2}+ i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\\[7pt] z_3= \cos\dfrac{2\pi}{3}+ i\sin\dfrac{2\pi}{3}= -\dfrac{1}{2}+ i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},&\qquad z_4=\cos\pi+i\sin\pi=-1,\\[10pt] z_5= \cos\dfrac{4\pi}{3}+ i\sin\dfrac{4\pi}{3}= -\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},&\qquad z_6= \cos\dfrac{5\pi}{3}+ i\sin\dfrac{5\pi}{3}= \dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$

Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса $R=1$ , одна из точек (соответствует $k=0$ ) $z_1=1$ . Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: $z_6= \overline{z}_2,~ z_5= \overline{z}_3,~ z_1$ и $z_4$ — действительные числа.

б) Найдем $z=\sqrt[\LARGE{3}]{i}$ .
1. Определим модуль и аргумент числа $r\colon\, r=|i|=1,~ \varphi=\arg i=\frac{\pi}{2}$ .
2. По формуле (1.17) имеем

$\sqrt[\LARGE{3}]{i}= 1\cdot \left(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+ i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\right)= \cos\!\left(\frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi\right)\!,\quad k=0,1,2.$

3. Выписываем корни $z_1,\,z_2,\,z_3\colon\, z_1= \frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2},~ z_2= -\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2},~ z_3=-i$ .

Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например $z_1=\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6}$ (при $k=0$ ) — это точка окружности $|z|=1$ , лежащая на луче $\varphi=\frac{\pi}{6}$ . После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность $|z|=1$ (рис. 1.8,б).

Пример 1.25. Найти корень уравнения $z^4-1+i=0$ , для которого $\operatorname{Re}z<0,~ \operatorname{Im}z>0$ .

Решение

Геометрическая интерпретация корней комплексного уравнения

Задача равносильна задаче нахождения $z=\sqrt[\LARGE{4}]{1-i}$ при условие $\operatorname{Re}z<0,~ \operatorname{Im}z>0$ .

1. Находим модуль и аргумент числа $1-i\colon\, r=|1-i|=\sqrt{2},~ \varphi=\arg(1-i)=-\frac{\pi}{4}$ .

2. По формуле (1.17) имеем: $z_{k+1}= \sqrt[\LARGE{4}]{1-i}= \sqrt[\LARGE{8}]{2}e^{\left(-\frac{\pi}{16}+\frac{2k\pi}{4}\right) i},~ k=0,1,2,3$ .

3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение $k~(k=0,1,2,3)$ , при котором выполняется условие $\frac{\pi}{2}< \arg z\leqslant\pi$ (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9).

Условию поставленной задачи удовлетворяет корень $z_3$ (при $k=2$ ): $z_3= \sqrt[\LARGE{8}]{2}e^{\left(\pi-\frac{\pi}{16}\right)i}= \sqrt[\LARGE{8}]{2}e^{\frac{15\pi}{16}\,i}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Комплексные числа в тригонометрическойи показательной формах

Тригонометрическая форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа

Модуль комплексного числа

Аргумент комплексного числа

Главное значение аргумента комплексного числа

Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах