Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
Тригонометрическая форма комплексного числа
Каждому комплексному числу геометрически соответствует точка на плоскости . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат в полярной системе (рис. 1.3,a).
Величина является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол может принимать бесчисленное множество значений (при этом ): если точке соответствует некоторое значение , то ей также соответствуют значения . Например, если для точки (см. рис. 1.1) выбрать , то ей соответствует любое , в частности при . Если же выбрать , то , а при получаем .
Используя связь декартовых и полярных координат точки (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа получаем тригонометрическую форму:
(1.3)
Показательная форма комплексного числа
Если обозначить комплексное число , у которого , а , через , то есть , то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:
(1.4)
Равенство называется формулой Эйлера.
Заметим, что геометрически задание комплексного числа равносильно заданию вектора , длина которого равна , то есть , а направление — под углом к оси (рис. 1.3,б).
Модуль комплексного числа
Число — длина радиуса-вектора точки называется модулем комплексного числа . Обозначение: .
Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме
(1.5)
Очевидно, что и только для числа .
С помощью правила вычитания запишем модуль числа , где и
А это, как известно, есть формула для расстояния между точками и .
Таким образом, число есть расстояние между точками и на комплексной плоскости.
Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:
Решение
Аргумент комплексного числа
Полярный угол точки называется аргументом комплексного числа . Обозначение: .
В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под будем понимать значение , удовлетворяющее условию . Так, для точки (см. рис. 1.1) .
Формулу для нахождения аргумента комплексного числа , заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для , у которых , получаем ; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для , у которых , имеем ; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для , у которых , соответственно .
Аргумент числа — величина неопределенная.
Нахождение аргумента при сводится к решению тригонометрического уравнения . При , т.е. когда — число действительное, имеем при и при . При решение уравнения зависит от четверти плоскости . Четверть, в которое расположена точка , определяется по знакам и . В результате получаем:
(1.6)
При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5.
Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13.
Решение
Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа .
Решение. Находим . Так как , т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства получаем (рис. 1.5).
Главное значение аргумента комплексного числа
Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций и .
Всякий угол, отличающийся от на слагаемое, кратное , обозначается и записывается равенством:
(1.7)
где — главное значение аргумента, .
Пример 1.16. Записать и для чисел .
Решение. Числа и — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому
числа и — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому
Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16: а) в тригонометрической форме; б) в показательной форме.
Решение
Модули всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем: а) б) .
Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа .
Решение
Числа и записаны в алгебраической форме (заметим, что заданная запись числа не является тригонометрической формой записи (сравните с (1.3)). Находим модули чисел по формуле (1.5): Далее находим аргументы. Для числа имеем и, так как (точка расположена в третьей четверти), получаем (см. рис. 1.5). Для числа имеем , или , и, так как (точка расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5)), получаем . Записываем числа и в тригонометрической форме Заметим, что для числа решение можно найти иначе, а именно используя свойства тригонометрических функций: . Число является произведением двух чисел. Выполнив умножение, получим алгебраическую форму записи (найдем и ): . Здесь, как и для числа , при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, а именно . Рассуждая, как выше, найдем . Для числа , записанного в алгебраической форме, получаем тригонометрическую форму:
Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме
Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел из условия . очевидно, следует:
или (1.8)
Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное .
Для пары сопряженных комплексных чисел и справедливы следующие равенства:
(1.9)
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме и и перемножим их по правилу умножения двучленов:
или
Получили новое число , записанное в тригонометрической форме: , для которого .
Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:
(1.10)
В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.
Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:
Решение
Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме: Для чисел и находим модули и аргументы: . Используя формулы (1.10), получаем б) . Для числа имеем: ; для числа , и так как (точка расположена в четвертой четверти), то . Используя формулы (1.10), получаем . Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти и , используя формулы (1.5), (1.6).
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме
Рассмотрим частное комплексных чисел , заданных в тригонометрической форме. Из определения частного имеем и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем .
Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:
(1.11)
В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.
Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число .
Решение. Обозначим . Для чисел и находим модули и аргументы: (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем и
Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме
Из определения степени и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем
, где .
Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:
(1.12)
Записывая число в тригонометрической форме , получаем формулу возведения в степень:
(1.13)
При это равенство принимает вид и называется формула Муавра
(1.14)
Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа .
Решение. Обозначим . Находим модуль и аргумент числа . Поэтому и . Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие , то .
Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число .
Решение
Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для и через тригонометрические функции угла .
Решение
Из формулы (1.14) при имеем . Возведем левую часть в степень, учитывая, что (см. пример 1.8): Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:
Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме
Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме , или . Искомое число также запишем в показательной форме: . Используя определение операции извлечения корня и условия (1.8), получаем соотношения
или (1.15)
Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент разделить на показатель корня:
(1.16)
Теперь можно записать число в показательной форме:
Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение принимает только различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять последовательных значений , например . В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где :
(1.17)
Замечания 1.1
1. Рассмотренная задача извлечения корня степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида , где, очевидно, .
Для решения уравнения нужно найти значений , а для этого необходимо найти и использовать формулу извлечения корня.
2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа (значения ) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса . Аргументы двух последовательных чисел отличаются на , так как , т.е. каждое последующее значение может быть получено из предыдущего поворотом радиуса-вектора точки на .В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.
Точки, соответствующие значениям , расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой , причем аргумент одного из значений равен (рис. 1.7).
Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0
1. Найти модуль и аргумент числа . 2. Записать формулу (1.17) при заданном значении . 3. Выписать значения корней уравнения , придавая значения .
Пример 1.24. Решить уравнения: a) ; б) .
Решение
Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму. а) Найдем . 1. Определим модуль и аргумент числа . 2. При полученных значениях и записываем формулу (1.17): Заметим, что справа стоит — арифметический корень, его единственное значение равно 1. 3. Придавая последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения: Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса , одна из точек (соответствует ) . Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: и — действительные числа. б) Найдем . 1. Определим модуль и аргумент числа . 2. По формуле (1.17) имеем 3. Выписываем корни . Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например (при ) — это точка окружности , лежащая на луче . После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис. 1.8,б).
Пример 1.25. Найти корень уравнения , для которого .
Решение
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|