Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Комплексные числа в алгебраической форме

Комплексные числа в алгебраической форме


Определение комплексного числа


Комплексным числом называется выражение вида x+iy, где x,\,y — действительные числа (x,y\in\mathbb{R}); i — число, квадрат которого равен минус единице (i^2=-1); число обозначается z=x+iy.


Числа x и y при этом называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются x=\operatorname{Re}z\,, y=\operatorname{Im}z; i — мнимая единица.


Выражение z=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа; знаки между составляющими числа — обычные знаки операций сложения и умножения, которые обладают теми же свойствами, что и в действительной области.


Множество комплексных чисел обозначается \mathbb{C}, а z\in \mathbb{C} — элемент данного множества.


Из определения следует, что действительные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, т.е. \mathbb{R}\subset\mathbb{C}, а именно при y=0 получаем z=x — действительное число.


Число z=iy называется чисто мнимым.


Пример 1.1. Записать действительную и мнимую части чисел: z_1=3-2i,~ z_2=5,~ z_3=-3i,~ z_4=1+i\,.


Решение. \operatorname{Re}z_1=3,~ \operatorname{Im}z_1=-2;~~ \operatorname{Re}z_2=5,~ \operatorname{Im}z_2=0;~~ \operatorname{Re}z_3=0,~ \operatorname{Im}z_3=-3,~~ \operatorname{Re}z_4=1,~ \operatorname{Im}z_4=1.




Равенство комплексных чисел


Комплексные числа z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2 называются равными, если у них соответственно равны действительные и мнимые части:


z_1=z_2\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}\operatorname{Re}z_1= \operatorname{Re}z_2,\\ \operatorname{Im}z_1= \operatorname{Im}z_2;\end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases}x_1=x_2,\\ y_1=y_2.\end{cases}
(1.1)

Сопряженные комплексные числа


Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные чисти, и мнимые противоположны по знаку. Число, сопряженное числу z=x+iy, обозначается \overline{z}=x-iy. Определение сопряженных чисел можно записать и виде равенств:


\operatorname{Re}\overline{z}= \operatorname{Re}z,\qquad \operatorname{Im}\overline{z}= -\operatorname{Im}z.
(1.2)

Из определения, в частности, следует, что число, сопряженное действительному числу, совпадает с ним: \overline{x}=x,~ x\in \mathbb{R}.


Пример 1.2. Записать числа, сопряженные комплексным числам из примера 1.1.


Решение. Используя равенства (1.2), получаем:


z_1=3-2i~ \Rightarrow~ \overline{z}_1=3+2i;\quad z_2=5~ \Rightarrow~ \overline{z}_2=5;\quad z_3=-3i~ \Rightarrow~ \overline{z}_3=3i;\quad z_4=-1+i~ \Rightarrow~ \overline{z}_4=-1-i.



Комплексная плоскость


Из определения комплексного числа как упорядоченной пары действительных чисел (см. введение) получаем, что задание комплексного числа z можно рассматривать как задание точки на плоскости, абсциссой которой является x=\operatorname{Re}z, ординатой y=\operatorname{Im}z, т.е. числу z=x+iy соответствует точка M(x,y). Между множеством точек плоскости Oxy и множеством комплексных чисел (множество \mathbb{C}) устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждой точке M(x,y) соответствует единственное число z=x+iy, каждому числу z=x+iy соответствует единственная точка M с координатами (x,y); плоскость Oxy при этом называется комплексной плоскостью (плоскость (z)). На рис. 1.1 отмечены точки, соответствующие комплексным числам из примера 1.2.


Точки на комплексной плоскости

Используя геометрическую интерпретацию комплексных чисел как точек плоскости, убеждаемся в справедливости утверждения, что комплексные числа не сравниваются, т.е. на множестве \mathbb{C} не определены операции сравнения (не имени места знаки <,\,\leqslant,\,>,\,\geqslant). Это следует из того, что множество точек плоскости не упорядочено.




Понятие бесконечности на множестве комплексных чисел


Как и в действительной области, на множестве комплексных чисел вводится понятие бесконечности, бесконечно удаленной точки. Это можно сделать по аналогии с множеством \mathbb{R} действительных чисел из геометрических соображений.


Рассмотрим числовую прямую и окружность S, которая касается прямой в точке O; точку, диаметрально противоположную точке O, обозначим N (рис. 1.2,б).


Будем соединять прямыми различные точки оси с точкой N; точки пересечения прямых с окружностью будем обозначать X. Очевидно, каждой точке x\in \mathbb{R} соответствует точка X\in S. Обратное справедливо для всех точек окружности, за исключением точки N. Но по мере удаления x по прямой от точки O (с увеличением расстояния, равного |x|), ее образ на окружности приближается к точке N. Для последовательности такого вида в анализе принято название бесконечно большая последовательность (величина). Ее предел обозначается \lim_{n\to\infty}x_n=\infty и называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. Поэтому точку N можно рассматривать как образ бесконечно удаленной точки на окружности, а бесконечность — как "точку" оси Ox, образом которой на окружности является точка N.


Сфера Римана и стереографическая проекция

По аналогии рассмотрим плоскость C (плоскость Oxy) и сферу S, касающуюся ее в начале координат, т.е. в точке O (рис. 1.2,а). Лучи, соединяющие точки z\in\mathbb{C} с точкой N пересекают сферу в точках Z\in S. При этом любой точке z\in\mathbb{C} соответствует единственная точка Z\in S, и наоборот, любой точке Z\in S\setminus N соответствует единственная точка z\in \mathbb{C}. Очевидно, чем дальше расположена точка z\in \mathbb{C} от начала координат (\lim_{n\to\infty} \rho_n=\infty,~ \rho_n=\sqrt{x_n^2+y_n^2} — длина радиуса-вектора точки z=x+iy), тем ближе ее образ Z\in S к точке N. Чтобы соответствие было полным, вводится "несобственный" элемент (символ \infty) , бесконечно удаленная точка как точка плоскости, образом которой на S является точка N.


Плоскость \mathbb{C}, дополненная элементом \infty, называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается \overline{\mathbb{C}}= \mathbb{C}\cup\{\infty\}.


Построенное взаимно однозначное соответствие точек сферы и множества \mathbb{C} называется стереографической проекцией, а сфера Sсферой Римана.




Сложение комплексных чисел


Суммой двух комплексных чисел z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2 называется число z=x+iy такое, что справедливы равенства


x=x_1+x_2,\quad y=y_1+y_2, то есть z=z_1+z_2= (x_1+x_2)+ i(y_1+y_2)= x+iy.

Обозначение:z=z_1+z_2.


Правило сложения: при сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.


Пример 1.3. Найти сумму чисел z_1 и z_2, z_2 и z_3, где z_1=3-2i,~ z_2=5+2i,~ z_3=1-i.


Решение.

\begin{gathered}z_1+z_2= (3-2i)+(5+2i)= (3+5)+i(-2+2)=8;\\[2pt] z_2+z_3= (5+2i)+(1-i)= 6+i.\end{gathered}



Вычитание комплексных чисел


Разностью чисел z_1 и z_2 называется число z такое, что z_1=z+z_2. Обозначение: z=z_1-z_2. Используя правило сложения, получаем для нахождения разности z=z_1-z_2,~ z=x+iy равенства x=x_1-x_2,~ y=y_1-y_2.


Правило вычитания. При нахождении разности z_1-z_2 из действительной и мнимой частей уменьшаемого z_1 вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого:


z=(x_1-x_2)+ (y_1-y_2)i\,.

Пример 1.4. Найти разность z_1-z_2,~ z_2-z_3 для чисел из примера 1.3.


Решение.

\begin{gathered}z_1-z_2= (3-2i)-(5+2i)= (3-5)+ (-2i-2i)= -2-4i,\\[2pt] z_2-z_3= (5+2i)- (1-i)= 4+3i. \end{gathered}



Умножение комплексных чисел


Произведением чисел z_1=x_1+iy_1 и z_2=x_2+iy_2 называется число z=x+iy такое, что выполняются равенства x=x_1x_2-y_1y_2, y=x_1y_2+x_2y_1. Обозначение: z=z_1\cdot z_2.


Нетрудно убедиться, что эти равенства имеют место, если произвести формальное перемножение выражений (x_1+iy_1) и (x_2+iy_2), как двучленов:


(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)= x_1x_2+ i\,x_1y_2+ i\,y_1x_2+ i^2y_1y_2= (x_1x_2-y_1y_2)+ i(x_1y_2+ y_1x_2).

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что i^2=-1.


Пример 1.5. Найти произведение комплексных чисел z_1=1-2i и z_2=3+4i.


Решение.

z_1\cdot z_2= (1-2i)(3+4i)= 1\cdot3+ 1\cdot4i- 3\cdot2i+ 4i\cdot(-2i)= 3-2i-8i^2= 11-2i\,.

Пример 1.6. Найти сумму и произведение пары комплексных сопряженных чисел


Решение. Для чисел z=x+iy,~ \overline{z}= x-iy получаем


\begin{gathered} z+\overline{z}= (x+iy)+ (x-iy)=2x\quad \Leftrightarrow\quad z+\overline{z}= 2 \operatorname{Re}z\,;\\[2pt] z\cdot \overline{z}= (x+iy)(x-iy)= x^2+ i\,xy- i\,xy- i^2y^2= x^2+y^2. \end{gathered}

Результат решения примера можно сформулировать как свойство: сумма и произведение сопряженных комплексных чисел — числа действительные.




Деление комплексных чисел


Частным от деления числа z_1 на z_2\, (z_2\ne0) называется число z, такое, что справедливо равенство z\cdot z_2=z_1. Обозначение: z=\frac{z_1}{z_2}. Задача нахождения частного сводится к определению \operatorname{Re}z и \operatorname{Im}z из системы


\begin{cases}\operatorname{Re}(z\cdot z_2)= \operatorname{Re}z_1,\\ \operatorname{Im}(z\cdot z_2)= \operatorname{Im}z_1.\end{cases}

При нахождении частного удобно использовать свойство произведения сопряженных чисел.


Правило деления. Чтобы разделить число z_1 на z_1\, (z_2\ne0) следует числитель и знаменатель дроби \frac{z_1}{z_2} умножить на число \overline{z}_2, сопряженное знаменателю.


Пример 1.7. Найти частное от деления комплексного числа z_1=3+2i на z_2=2-i.


Решение.

\frac{z_1}{z_2}= \frac{3+2i}{2-i}= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}= \frac{(6-2)+i(3+4)}{4+1}= \frac{4}{5}+ \frac{7}{5}\,i\,.



Возведение комплексного числа в степень


Возведение комплексного числа z в степень n — это нахождение произведения n сомножителей, каждый из которых равен z, т.е. z^n= \underbrace{z\cdot z\cdot\ldots\cdot z}_{n}.


Правило возведения в степень. При возведении в степень n числа z (нахождении \operatorname{Re}z^n и \operatorname{Im}z^n) используется правило возведения в степень двучлена (x+iy), в общем случае применяется формула бинома Ньютона:


(x+iy)^n= \sum_{k=0}^{n}C_n^k x^{n-k}(iy)^k, где C_n^k= \frac{n!}{k!(n-k)!}.

Пример 1.8. Найти различные степени числа i, то есть i^n.


Решение. Имеем i^2=-1,~ i^3=i^2\cdot i=-i,~ i^4=(i^2)^2= (-1)^2=1. Замечая закономерность, получаем для n=4k,~ n=4k+1, n=4k+2,~ n=4k+3 следующие значения:


i^{4k}= (i^4)^k=1;\quad i^{4k+1}= i^{4k}\cdot i=i;\quad i^{4k+2}= i^{4k}\cdot i^2= -1;\quad i^{4k+3}= i^{4k}\cdot i^3= -i\,.

Пример 1.9. Найти мнимую и вещественную части комплексных чисел: \operatorname{Im}(1-i)^4,~ \operatorname{Re}(2-i)^3.


Решение.


\begin{gathered}(1-i)^4= \bigl((1-i)^2\bigr)^2= (1-2i-1)^2= (-2i)^2=-4\quad \Rightarrow\quad \operatorname{Im}(1-i)^4=0;\\[5pt] (2-i)^3= 2^3+ 3\cdot 2^2\cdot (-i)+ 3\cdot 2\cdot (-i)^2+ (-i)^3= 8-12i-6+i= 2-11i\quad \Rightarrow\quad \operatorname{Re}(2-i)^3=2\,. \end{gathered}

Пример 1.10. Возвести комплексное число (2+i) в пятую степень.


Решение. Используем формулу бинома Ньютона при n=5:


\begin{aligned}(2+i)^5&= 2^5+5\cdot 2^4\cdot i+ \frac{5\cdot 4}{2!}\cdot 2^3\cdot i^2+ \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3!}\cdot 2^2\cdot i^3+ \frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{4!}\cdot 2\cdot i^4+ i^5=\\ &=32+80i- 80-40i+10+i= -38+41i\,.\end{aligned}



Извлечение корня из комплексного числа


Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число w, такое, что w^n=z. Обозначение: w=\sqrt[\LARGE{n}]{z}.


Правило извлечения корня. Для извлечения корня \sqrt[\LARGE{n}]{z} (нахождения x=\operatorname{Re}\sqrt[\LARGE{n}]{z} и y=\operatorname{Im}\sqrt[\LARGE{n}]{z}) следует, используя определение корня и правило возведения в степень, составить и решить систему уравнений относительно искомых x и y:


\sqrt[\LARGE{n}]{z}=x+iy\quad \Rightarrow\quad z=(x+iy)^n\quad \Rightarrow\quad \begin{cases}\operatorname{Re}z= \operatorname{Re}(x+iy)^n,\\ \operatorname{Im}z= \operatorname{Im}(x+iy)^n\,.\end{cases}

Пример 1.11. Извлечь корень \sqrt{3-4i}.


Решение. Обозначим \sqrt{3-4i}= x+iy, тогда (x+iy)^2= 3-4i, или x^2-y^2+i2xy=3-4i. Используя условие равенства комплексных чисел, записываем систему


\begin{cases}x^2-y^2=3,\\ 2xy=-4.\end{cases} Решая ее, находим \left[\begin{aligned} &\begin{cases}x_1=2,\\ y_1=-1;\end{cases}\\ &\begin{cases}x_2=-2,\\ y_2=1.\end{cases} \end{aligned}\right.

В результате получаем два значения квадратного корня: \sqrt{3-4i}=2-i и \sqrt{3-4i}=-2+i.




Свойства операции комплексного сопряжения


Используя определение сопряженных чисел и правила нахождения суммы, произведения, частного комплексных чисел, можно установить справедливость следующих свойств операции комплексного сопряжения:


\begin{array}{lll}\bold{1)}~ \overline{z_1\pm z_2}= \overline{z}_1\pm \overline{z}_2\,;\quad & \bold{2)}~ \overline{z_1\cdot z_2}= \overline{z}_1\cdot \overline{z}_2\,;\quad & \bold{3)}~ \overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}= \dfrac{\overline{z}_1}{\overline{z}_2}\,;\\[10pt] \bold{4)}~ \overline{P}_n(z)= P_n(\overline{z});\quad & \bold{5)}~\overline{\left(\dfrac{P_n(z)}{Q_m(z)}\right)}= \dfrac{P_n (\overline{z})}{Q_m (\overline{z})}\,.\quad & \end{array}


В двух последних равенствах P_n(z) и Q_m(z) — многочлены с действительными коэффициентами степени n и m соответственно.


Пример 1.12. Вычислить P(\overline{z}_0)+ P(z_0), если P(z)= 2z^2+3z+1 и z_0=\frac{1+2i}{1-i}.


Решение. Используя свойство 4 из пункта 7, находим


P(\overline{z}_0)+ P(z_0)= \overline{P(z_0)}+ P(z_0)= 2 \operatorname{Re} P(z_0).

Далее, производя деление, записываем число z_0 в алгебраической форме:


z_0=\frac{1+2i}{1-i}= \frac{(1+2i)(1+i)}{2}= \frac{-1+3i}{2}

и подставляем в выражение для P(z). Получаем


P(z_0)= 2\cdot \frac{(3i-1)^2}{4}+ \frac{3(3i-1)}{2}+1= \frac{-9-6i+1+9i-3+2}{2}= -\frac{9}{2}+ i\,\frac{3}{2}\,,

поэтому \operatorname{Re}P(z_0)=-\frac{9}{2}. Окончательно имеем: P(\overline{z}_0)+ P(z_0)= 2 \operatorname{Re}P(z_0)=-9.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved