Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Комплексные числа в алгебраической форме

Комплексные числа в алгебраической форме


Определение комплексного числа


Комплексным числом называется выражение вида [math]x+iy[/math], где [math]x,\,y[/math] — действительные числа [math](x,y\in\mathbb{R})[/math]; [math]i[/math] — число, квадрат которого равен минус единице [math](i^2=-1)[/math]; число обозначается [math]z=x+iy[/math].


Числа [math]x[/math] и [math]y[/math] при этом называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются [math]x=\operatorname{Re}z\,,[/math] [math]y=\operatorname{Im}z[/math]; [math]i[/math] — мнимая единица.


Выражение [math]z=x+iy[/math] называется алгебраической формой записи комплексного числа; знаки между составляющими числа — обычные знаки операций сложения и умножения, которые обладают теми же свойствами, что и в действительной области.


Множество комплексных чисел обозначается [math]\mathbb{C}[/math], а [math]z\in \mathbb{C}[/math] — элемент данного множества.


Из определения следует, что действительные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, т.е. [math]\mathbb{R}\subset\mathbb{C}[/math], а именно при [math]y=0[/math] получаем [math]z=x[/math] — действительное число.


Число [math]z=iy[/math] называется чисто мнимым.


Пример 1.1. Записать действительную и мнимую части чисел: [math]z_1=3-2i,~ z_2=5,~ z_3=-3i,~ z_4=1+i\,[/math].


Решение. [math]\operatorname{Re}z_1=3,~ \operatorname{Im}z_1=-2;~~ \operatorname{Re}z_2=5,~ \operatorname{Im}z_2=0;~~ \operatorname{Re}z_3=0,~ \operatorname{Im}z_3=-3,~~ \operatorname{Re}z_4=1,~ \operatorname{Im}z_4=1[/math].




Равенство комплексных чисел


Комплексные числа [math]z_1=x_1+iy_1[/math] и [math]z_2=x_2+iy_2[/math] называются равными, если у них соответственно равны действительные и мнимые части:


[math]z_1=z_2\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}\operatorname{Re}z_1= \operatorname{Re}z_2,\\ \operatorname{Im}z_1= \operatorname{Im}z_2;\end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases}x_1=x_2,\\ y_1=y_2.\end{cases}[/math]
(1.1)

Сопряженные комплексные числа


Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные чисти, и мнимые противоположны по знаку. Число, сопряженное числу [math]z=x+iy[/math], обозначается [math]\overline{z}=x-iy[/math]. Определение сопряженных чисел можно записать и виде равенств:


[math]\operatorname{Re}\overline{z}= \operatorname{Re}z,\qquad \operatorname{Im}\overline{z}= -\operatorname{Im}z.[/math]
(1.2)

Из определения, в частности, следует, что число, сопряженное действительному числу, совпадает с ним: [math]\overline{x}=x,~ x\in \mathbb{R}[/math].


Пример 1.2. Записать числа, сопряженные комплексным числам из примера 1.1.


Решение. Используя равенства (1.2), получаем:


[math]z_1=3-2i~ \Rightarrow~ \overline{z}_1=3+2i;\quad z_2=5~ \Rightarrow~ \overline{z}_2=5;\quad z_3=-3i~ \Rightarrow~ \overline{z}_3=3i;\quad z_4=-1+i~ \Rightarrow~ \overline{z}_4=-1-i.[/math]



Комплексная плоскость


Из определения комплексного числа как упорядоченной пары действительных чисел (см. введение) получаем, что задание комплексного числа [math]z[/math] можно рассматривать как задание точки на плоскости, абсциссой которой является [math]x=\operatorname{Re}z[/math], ординатой [math]y=\operatorname{Im}z[/math], т.е. числу [math]z=x+iy[/math] соответствует точка [math]M(x,y)[/math]. Между множеством точек плоскости [math]Oxy[/math] и множеством комплексных чисел (множество [math]\mathbb{C}[/math]) устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждой точке [math]M(x,y)[/math] соответствует единственное число [math]z=x+iy[/math], каждому числу [math]z=x+iy[/math] соответствует единственная точка [math]M[/math] с координатами [math](x,y)[/math]; плоскость [math]Oxy[/math] при этом называется комплексной плоскостью (плоскость [math](z)[/math]). На рис. 1.1 отмечены точки, соответствующие комплексным числам из примера 1.2.


Точки на комплексной плоскости

Используя геометрическую интерпретацию комплексных чисел как точек плоскости, убеждаемся в справедливости утверждения, что комплексные числа не сравниваются, т.е. на множестве [math]\mathbb{C}[/math] не определены операции сравнения (не имени места знаки [math]<,\,\leqslant,\,>,\,\geqslant[/math]). Это следует из того, что множество точек плоскости не упорядочено.




Понятие бесконечности на множестве комплексных чисел


Как и в действительной области, на множестве комплексных чисел вводится понятие бесконечности, бесконечно удаленной точки. Это можно сделать по аналогии с множеством [math]\mathbb{R}[/math] действительных чисел из геометрических соображений.


Рассмотрим числовую прямую и окружность [math]S[/math], которая касается прямой в точке [math]O[/math]; точку, диаметрально противоположную точке [math]O[/math], обозначим [math]N[/math] (рис. 1.2,б).


Будем соединять прямыми различные точки оси с точкой [math]N[/math]; точки пересечения прямых с окружностью будем обозначать [math]X[/math]. Очевидно, каждой точке [math]x\in \mathbb{R}[/math] соответствует точка [math]X\in S[/math]. Обратное справедливо для всех точек окружности, за исключением точки [math]N[/math]. Но по мере удаления [math]x[/math] по прямой от точки [math]O[/math] (с увеличением расстояния, равного [math]|x|[/math]), ее образ на окружности приближается к точке [math]N[/math]. Для последовательности такого вида в анализе принято название бесконечно большая последовательность (величина). Ее предел обозначается [math]\lim_{n\to\infty}x_n=\infty[/math] и называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой. Поэтому точку [math]N[/math] можно рассматривать как образ бесконечно удаленной точки на окружности, а бесконечность — как "точку" оси [math]Ox[/math], образом которой на окружности является точка [math]N[/math].


Сфера Римана и стереографическая проекция

По аналогии рассмотрим плоскость [math]C[/math] (плоскость [math]Oxy[/math]) и сферу [math]S[/math], касающуюся ее в начале координат, т.е. в точке [math]O[/math] (рис. 1.2,а). Лучи, соединяющие точки [math]z\in\mathbb{C}[/math] с точкой [math]N[/math] пересекают сферу в точках [math]Z\in S[/math]. При этом любой точке [math]z\in\mathbb{C}[/math] соответствует единственная точка [math]Z\in S[/math], и наоборот, любой точке [math]Z\in S\setminus N[/math] соответствует единственная точка [math]z\in \mathbb{C}[/math]. Очевидно, чем дальше расположена точка [math]z\in \mathbb{C}[/math] от начала координат ([math]\lim_{n\to\infty} \rho_n=\infty,~ \rho_n=\sqrt{x_n^2+y_n^2}[/math] — длина радиуса-вектора точки [math]z=x+iy[/math]), тем ближе ее образ [math]Z\in S[/math] к точке [math]N[/math]. Чтобы соответствие было полным, вводится "несобственный" элемент (символ [math]\infty[/math]) , бесконечно удаленная точка как точка плоскости, образом которой на [math]S[/math] является точка [math]N[/math].


Плоскость [math]\mathbb{C}[/math], дополненная элементом [math]\infty[/math], называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается [math]\overline{\mathbb{C}}= \mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math].


Построенное взаимно однозначное соответствие точек сферы и множества [math]\mathbb{C}[/math] называется стереографической проекцией, а сфера [math]S[/math]сферой Римана.




Сложение комплексных чисел


Суммой двух комплексных чисел [math]z_1=x_1+iy_1[/math] и [math]z_2=x_2+iy_2[/math] называется число [math]z=x+iy[/math] такое, что справедливы равенства


[math]x=x_1+x_2,\quad y=y_1+y_2[/math], то есть [math]z=z_1+z_2= (x_1+x_2)+ i(y_1+y_2)= x+iy[/math].

Обозначение:[math]z=z_1+z_2[/math].


Правило сложения: при сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.


Пример 1.3. Найти сумму чисел [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math], [math]z_2[/math] и [math]z_3[/math], где [math]z_1=3-2i,~ z_2=5+2i,~ z_3=1-i[/math].


Решение.

[math]\begin{gathered}z_1+z_2= (3-2i)+(5+2i)= (3+5)+i(-2+2)=8;\\[2pt] z_2+z_3= (5+2i)+(1-i)= 6+i.\end{gathered}[/math]



Вычитание комплексных чисел


Разностью чисел [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] называется число [math]z[/math] такое, что [math]z_1=z+z_2[/math]. Обозначение: [math]z=z_1-z_2[/math]. Используя правило сложения, получаем для нахождения разности [math]z=z_1-z_2,~ z=x+iy[/math] равенства [math]x=x_1-x_2,~ y=y_1-y_2[/math].


Правило вычитания. При нахождении разности [math]z_1-z_2[/math] из действительной и мнимой частей уменьшаемого [math]z_1[/math] вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого:


[math]z=(x_1-x_2)+ (y_1-y_2)i\,.[/math]

Пример 1.4. Найти разность [math]z_1-z_2,~ z_2-z_3[/math] для чисел из примера 1.3.


Решение.

[math]\begin{gathered}z_1-z_2= (3-2i)-(5+2i)= (3-5)+ (-2i-2i)= -2-4i,\\[2pt] z_2-z_3= (5+2i)- (1-i)= 4+3i. \end{gathered}[/math]



Умножение комплексных чисел


Произведением чисел [math]z_1=x_1+iy_1[/math] и [math]z_2=x_2+iy_2[/math] называется число [math]z=x+iy[/math] такое, что выполняются равенства [math]x=x_1x_2-y_1y_2,[/math] [math]y=x_1y_2+x_2y_1[/math]. Обозначение: [math]z=z_1\cdot z_2[/math].


Нетрудно убедиться, что эти равенства имеют место, если произвести формальное перемножение выражений [math](x_1+iy_1)[/math] и [math](x_2+iy_2)[/math], как двучленов:


[math](x_1+iy_1)(x_2+iy_2)= x_1x_2+ i\,x_1y_2+ i\,y_1x_2+ i^2y_1y_2= (x_1x_2-y_1y_2)+ i(x_1y_2+ y_1x_2).[/math]

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что [math]i^2=-1[/math].


Пример 1.5. Найти произведение комплексных чисел [math]z_1=1-2i[/math] и [math]z_2=3+4i[/math].


Решение.

[math]z_1\cdot z_2= (1-2i)(3+4i)= 1\cdot3+ 1\cdot4i- 3\cdot2i+ 4i\cdot(-2i)= 3-2i-8i^2= 11-2i\,.[/math]

Пример 1.6. Найти сумму и произведение пары комплексных сопряженных чисел


Решение. Для чисел [math]z=x+iy,~ \overline{z}= x-iy[/math] получаем


[math]\begin{gathered} z+\overline{z}= (x+iy)+ (x-iy)=2x\quad \Leftrightarrow\quad z+\overline{z}= 2 \operatorname{Re}z\,;\\[2pt] z\cdot \overline{z}= (x+iy)(x-iy)= x^2+ i\,xy- i\,xy- i^2y^2= x^2+y^2. \end{gathered}[/math]

Результат решения примера можно сформулировать как свойство: сумма и произведение сопряженных комплексных чисел — числа действительные.




Деление комплексных чисел


Частным от деления числа [math]z_1[/math] на [math]z_2\, (z_2\ne0)[/math] называется число [math]z[/math], такое, что справедливо равенство [math]z\cdot z_2=z_1[/math]. Обозначение: [math]z=\frac{z_1}{z_2}[/math]. Задача нахождения частного сводится к определению [math]\operatorname{Re}z[/math] и [math]\operatorname{Im}z[/math] из системы


[math]\begin{cases}\operatorname{Re}(z\cdot z_2)= \operatorname{Re}z_1,\\ \operatorname{Im}(z\cdot z_2)= \operatorname{Im}z_1.\end{cases}[/math]

При нахождении частного удобно использовать свойство произведения сопряженных чисел.


Правило деления. Чтобы разделить число [math]z_1[/math] на [math]z_1\, (z_2\ne0)[/math] следует числитель и знаменатель дроби [math]\frac{z_1}{z_2}[/math] умножить на число [math]\overline{z}_2[/math], сопряженное знаменателю.


Пример 1.7. Найти частное от деления комплексного числа [math]z_1=3+2i[/math] на [math]z_2=2-i[/math].


Решение.

[math]\frac{z_1}{z_2}= \frac{3+2i}{2-i}= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}= \frac{(6-2)+i(3+4)}{4+1}= \frac{4}{5}+ \frac{7}{5}\,i\,.[/math]



Возведение комплексного числа в степень


Возведение комплексного числа [math]z[/math] в степень [math]n[/math] — это нахождение произведения [math]n[/math] сомножителей, каждый из которых равен [math]z[/math], т.е. [math]z^n= \underbrace{z\cdot z\cdot\ldots\cdot z}_{n}[/math].


Правило возведения в степень. При возведении в степень [math]n[/math] числа [math]z[/math] (нахождении [math]\operatorname{Re}z^n[/math] и [math]\operatorname{Im}z^n[/math]) используется правило возведения в степень двучлена [math](x+iy)[/math], в общем случае применяется формула бинома Ньютона:


[math](x+iy)^n= \sum_{k=0}^{n}C_n^k x^{n-k}(iy)^k[/math], где [math]C_n^k= \frac{n!}{k!(n-k)!}[/math].

Пример 1.8. Найти различные степени числа [math]i[/math], то есть [math]i^n[/math].


Решение. Имеем [math]i^2=-1,~ i^3=i^2\cdot i=-i,~ i^4=(i^2)^2= (-1)^2=1[/math]. Замечая закономерность, получаем для [math]n=4k,~ n=4k+1,[/math] [math]n=4k+2,~ n=4k+3[/math] следующие значения:


[math]i^{4k}= (i^4)^k=1;\quad i^{4k+1}= i^{4k}\cdot i=i;\quad i^{4k+2}= i^{4k}\cdot i^2= -1;\quad i^{4k+3}= i^{4k}\cdot i^3= -i\,.[/math]

Пример 1.9. Найти мнимую и вещественную части комплексных чисел: [math]\operatorname{Im}(1-i)^4,~ \operatorname{Re}(2-i)^3[/math].


Решение.


[math]\begin{gathered}(1-i)^4= \bigl((1-i)^2\bigr)^2= (1-2i-1)^2= (-2i)^2=-4\quad \Rightarrow\quad \operatorname{Im}(1-i)^4=0;\\[5pt] (2-i)^3= 2^3+ 3\cdot 2^2\cdot (-i)+ 3\cdot 2\cdot (-i)^2+ (-i)^3= 8-12i-6+i= 2-11i\quad \Rightarrow\quad \operatorname{Re}(2-i)^3=2\,. \end{gathered}[/math]

Пример 1.10. Возвести комплексное число [math](2+i)[/math] в пятую степень.


Решение. Используем формулу бинома Ньютона при [math]n=5:[/math]


[math]\begin{aligned}(2+i)^5&= 2^5+5\cdot 2^4\cdot i+ \frac{5\cdot 4}{2!}\cdot 2^3\cdot i^2+ \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3!}\cdot 2^2\cdot i^3+ \frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{4!}\cdot 2\cdot i^4+ i^5=\\ &=32+80i- 80-40i+10+i= -38+41i\,.\end{aligned}[/math]



Извлечение корня из комплексного числа


Корнем n-й степени из комплексного числа [math]z[/math] называется число [math]w[/math], такое, что [math]w^n=z[/math]. Обозначение: [math]w=\sqrt[n]{z}[/math].


Правило извлечения корня. Для извлечения корня [math]\sqrt[n]{z}[/math] (нахождения [math]x=\operatorname{Re}\sqrt[n]{z}[/math] и [math]y=\operatorname{Im}\sqrt[n]{z}[/math]) следует, используя определение корня и правило возведения в степень, составить и решить систему уравнений относительно искомых [math]x[/math] и [math]y^[/math]


[math]\sqrt[n]{z}=x+iy\quad \Rightarrow\quad z=(x+iy)^n\quad \Rightarrow\quad \begin{cases}\operatorname{Re}z= \operatorname{Re}(x+iy)^n,\\ \operatorname{Im}z= \operatorname{Im}(x+iy)^n\,.\end{cases}[/math]

Пример 1.11. Извлечь корень [math]\sqrt{3-4i}[/math].


Решение. Обозначим [math]\sqrt{3-4i}= x+iy[/math], тогда [math](x+iy)^2= 3-4i[/math], или [math]x^2-y^2+i2xy=3-4i[/math]. Используя условие равенства комплексных чисел, записываем систему


[math]\begin{cases}x^2-y^2=3,\\ 2xy=-4.\end{cases}[/math] Решая ее, находим [math]\left[\begin{aligned} &\begin{cases}x_1=2,\\ y_1=-1;\end{cases}\\ &\begin{cases}x_2=-2,\\ y_2=1.\end{cases} \end{aligned}\right.[/math]

В результате получаем два значения квадратного корня: [math]\sqrt{3-4i}=2-i[/math] и [math]\sqrt{3-4i}=-2+i[/math].




Свойства операции комплексного сопряжения


Используя определение сопряженных чисел и правила нахождения суммы, произведения, частного комплексных чисел, можно установить справедливость следующих свойств операции комплексного сопряжения:


[math]\begin{array}{lll}\bold{1)}~ \overline{z_1\pm z_2}= \overline{z}_1\pm \overline{z}_2\,;\quad & \bold{2)}~ \overline{z_1\cdot z_2}= \overline{z}_1\cdot \overline{z}_2\,;\quad & \bold{3)}~ \overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}= \dfrac{\overline{z}_1}{\overline{z}_2}\,;\\[10pt] \bold{4)}~ \overline{P}_n(z)= P_n(\overline{z});\quad & \bold{5)}~\overline{\left(\dfrac{P_n(z)}{Q_m(z)}\right)}= \dfrac{P_n (\overline{z})}{Q_m (\overline{z})}\,.\quad & \end{array}[/math]


В двух последних равенствах [math]P_n(z)[/math] и [math]Q_m(z)[/math] — многочлены с действительными коэффициентами степени [math]n[/math] и [math]m[/math] соответственно.


Пример 1.12. Вычислить [math]P(\overline{z}_0)+ P(z_0)[/math], если [math]P(z)= 2z^2+3z+1[/math] и [math]z_0=\frac{1+2i}{1-i}[/math].


Решение. Используя свойство 4 из пункта 7, находим


[math]P(\overline{z}_0)+ P(z_0)= \overline{P(z_0)}+ P(z_0)= 2 \operatorname{Re} P(z_0).[/math]

Далее, производя деление, записываем число [math]z_0[/math] в алгебраической форме:


[math]z_0=\frac{1+2i}{1-i}= \frac{(1+2i)(1+i)}{2}= \frac{-1+3i}{2}[/math]

и подставляем в выражение для [math]P(z)[/math]. Получаем


[math]P(z_0)= 2\cdot \frac{(3i-1)^2}{4}+ \frac{3(3i-1)}{2}+1= \frac{-9-6i+1+9i-3+2}{2}= -\frac{9}{2}+ i\,\frac{3}{2}\,,[/math]

поэтому [math]\operatorname{Re}P(z_0)=-\frac{9}{2}[/math]. Окончательно имеем: [math]P(\overline{z}_0)+ P(z_0)= 2 \operatorname{Re}P(z_0)=-9[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved