Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Кольцо многочленов

Кольцо многочленов


Многочленом степени [math]n[/math] от переменной [math]x[/math] называется выражение вида


[math]p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0[/math]
(B.8)

где [math]a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0[/math] — рациональные, действительные или комплексные числа (коэффициенты многочлена), [math]a_n[/math] — старший коэффициент [math](a_n\ne0)[/math]. Каждое слагаемое [math]a_kx^k[/math] в (В.8) называют членом многочлена, в частности, [math]a_nx^n[/math] — старший член, [math]a_0[/math] — свободный член. Степень многочлена [math]n[/math] — целое неотрицательное число (обозначается [math]\deg p(x)[/math]). Многочлен нулевой степени [math](n=0)[/math] — это одночлен [math]a_0x^0= a_0[/math] (просто число). Если в выражении (В.8) все коэффициенты равны нулю, то получается нулевой многочлен.


Два многочлена [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math] считаются равными (тождественно равными), если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной [math]x[/math], т.е. когда они состоят из одинаковых членов, за исключением членов с нулевыми коэффициентами. Из этого определения следует, что при записи многочлена, в случае необходимости, можно добавить члены с коэффициентами, равными нулю. Например,


[math]x^3+2\cdot x=x^3+0\cdot x^2+2\cdot x+0.[/math]

Пусть даны два многочлена

[math]\begin{aligned} p(x)&=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\ldots+a_1\cdot x+a_0,\quad a_n\ne0,\\ q(x)&= b_m\cdot x^m+b_{m-1}\cdot x^{m-1}+\ldots+b_1\cdot x+b_0,\quad b_m\ne0. \end{aligned}[/math]

Суммой многочленов [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math] называется многочлен


[math]p(x)+q(x)= c_s\cdot x^s+c_{s-1}\cdot x^{s-1}+\ldots+c_1\cdot x+c_0,[/math]

коэффициенты которого получаются сложением соответствующих коэффициентов многочленов [math]p(x)[/math] и [math]q(x):[/math]


[math]c_i=a_i+b_i,\quad i=0,1,2,\ldots,k\,,[/math]
(B.9)

где [math]k=\max\{\deg p;\deg q\}= \max\{n;m\}[/math] — наибольшее из чисел [math]n[/math] и [math]m[/math], причем в формуле (В. 9) [math]a_{n+1}=a_{n+2}=\ldots=a_m=0[/math] при [math]n<m[/math] или [math]b_{m+1}=b_{m+2}=\ldots=b_n=0[/math] при [math]n>m[/math]. Заметим, что при сложении многочленов степень суммы не превосходит [math]\max\{n;m\}[/math] — наибольшей из степеней слагаемых, т.е. может оказаться меньше.


Произведением многочленов [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math] называется многочлен


[math]p(x)\cdot q(x)= d_{n+m}\cdot x^{n+m}+ d_{n+m-1}\cdot x^{n+m-1}+\ldots+ d_1\cdot x+d_0,[/math]

коэффициенты которого вычисляются по формулам

[math]\begin{gathered}d_{n+m}=a_n\cdot b_n,\quad d_{n+m-1}=a_n\cdot b_{m-1}+a_{n-1}\cdot b_m,\ldots,\quad d_2=a_2\cdot b_0+a_1\cdot b_1+a_0\cdot b_2,\\ d_1=a_0\cdot b_1+a_1\cdot b_0,\quad d_0=a_0\cdot b_0,\end{gathered}[/math]

т.е. коэффициент [math]d_k[/math] при [math]x^k[/math] равен сумме произведений таких коэффициентов [math]a_i[/math] и [math]b_j[/math] многочленов [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math], что [math]i+j=k[/math]. Из равенства [math]d_{n+m}=a_nb_n[/math] следует, что [math]d_{n+m}\ne0[/math], т.е. степень произведения многочленов равна сумме степеней многочленов-множителей:


[math]\deg\bigl(p(x)\cdot q(x)\bigr)=\deg p(x)+\deg q(x).[/math]



Пример В.12. Даны многочлены [math]p(x)=2x^2+5,~ q(x)=-2x^2+3x[/math]. Найти их сумму и произведение.


Решение. Допишем недостающие члены с нулевыми коэффициентами [math]p(x)=2x^2+0\cdot x+5[/math] и [math]q(x)= -2x^2+3x+0[/math]. Теперь согласно определениям суммы и произведения многочленов, получаем


[math]\begin{aligned}p(x)+q(x)&= (2x^2+0\cdot x+5)+ (-2x^2+3x+0)= 0\cdot x^2+3x+5= 3x+5\,;\\[5pt] p(x)\cdot q(x)&= (2x^2+0\cdot x+5)\cdot (-2x^2+3x+0)=\\ &=2\cdot(-2)x^4+ \bigl(2\cdot3+ 0\cdot (-2)\bigr)x^3+ \bigl(2\cdot0+0\cdot3+5\cdot(-2)\bigr)x^2+ \bigl(0\cdot0+ 5\cdot3\bigr)x+ 5\cdot0=\\ &=-4x^4+6x^3-10x^2+15x\,. \end{aligned}[/math]

Степень суммы оказалась меньше степеней слагаемых, а степень произведения равна сумме степеней слагаемых. Заметим, что введенные операции сложения и умножения многочленов совпадают с обычными правилами сложения и умножения в элементарной алгебре.




Обозначим через [math]P[/math] множество многочленов переменной [math]x[/math]. Если рассматриваются многочлены с рациональными (действительными, комплексными) коэффициентами, то говорят, что [math]P[/math]множество многочленов над полем рациональных (действительных, комплексных) чисел. На множестве [math]P[/math] определены две алгебраические операции — сложение и умножение многочленов. Покажем, что множество многочленов представляет собой кольцо. В самом деле, коммутативность и ассоциативность сложения многочленов вытекают из коммутативности и ассоциативности сложения чисел, так как складываются соответствующие коэффициенты многочленов. Роль нулевого элемента играет число нуль, рассматриваемое как одночлен. Для произвольного многочлена


[math]p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x+a_0[/math] противоположным будет многочлен [math]q(x)=-a_nx^n-a_{n-1}x^{n-1}-\ldots- a_1x-a_0[/math],

так как [math]p(x)+q(x)=0[/math]. Поэтому определена операция вычитания многочленов, обратная к сложению. Следовательно, относительно операции сложения рассматриваемое множество [math]P[/math] является коммутативной группой.


Умножение многочленов коммутативно. Это следует, в частности, из того, что в определении произведения [math]p(x)q(x)[/math] коэффициенты многочленов [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math] используются равноправным образом (формулы не изменятся, если букву [math]a[/math] заменить на [math]b[/math], а букву [math]b[/math] — на [math]a[/math]). Операция умножения многочленов ассоциативна. Действительно, пусть даны многочлены


[math]\begin{aligned} p(x)&= a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\ldots+a_1\cdot x+a_0,\quad a_n\ne0,\\ q(x)&= b_m\cdot x^m+b_{m-1}\cdot x^{m-1}+\ldots+b_1\cdot x+b_0,\quad b_m\ne0,\\ r(x)&= c_s\cdot x^s+c_{s-1}\cdot x^{s-1}+\ldots+c_1\cdot x+c_0,\quad c_s\ne0. \end{aligned}[/math]

Вычислим по определению


[math]\begin{aligned} p(x)\cdot \bigl[q(x)\cdot r(x)\bigr]&= \bigl(a_nx^n+ \ldots+a_1x+ a_0\bigr)\cdot \bigl[b_mc_sx^{m+s}+ \ldots+(b_1c_0+b_0c_1)x+b_0c_0\bigr]=\\ &=a_n b_m c_s x^{n+m+s}+\ldots+ \bigl[a_1b_0c_0+a_0(b_1c_0+b_0c_1)\bigr]x+a_0b_0c_0;\\[5pt] \bigl[p(x)\cdot q(x)\bigr]\cdot r(x)&= \bigl[a_n b_m x^{n+m}+\ldots+ (a_1b_0+ a_0b_1)x+a_0b_0\bigr]\cdot \bigl(c_s x^s+\ldots+ c_1x+c_0\bigr)=\\ &=a_n b_m c_s x^{n+m+s}+\ldots+ \bigl[(a_1b_0+a_0b_1)c_0+ a_0b_0c_1\bigr]x+ a_0b_0c_0.\end{aligned}[/math]

Сравнивая коэффициенты, заключаем, что [math]p(x)\bigl[q(x)r(x)\bigr]= \bigl[p(x)q(x)\bigr]r(x)[/math], т.е. умножение многочленов ассоциативно.


Осталось убедиться в дистрибутивности, причем в силу коммутативности умножения многочленов, достаточно проверить, например, дистрибутивность слева:


[math]p(x)\cdot \bigl[q(x)+r(x)\bigr]= p(x)\cdot q(x)+ p(x)\cdot q(x).[/math]

Найдем коэффициент при [math]x^k[/math] в левой и правой частях этого равенства:


[math]a_k\cdot(b_0+c_0)+a_{k-1}\cdot (b_1+c_1)+\ldots+ a_0\cdot (b_k+c_k)[/math] — в левой части;

[math](a_kb_0+a_{k-1}b_1+\ldots+a_0b_k)+ (a_kc_0+a_{k-1}c_1+\ldots+ a_0c_k)[/math] — в правой части.

Как видим, коэффициенты равны. Следовательно, операции сложения и умножения многочленов подчиняются закону дистрибутивности.


Заметим еще, что в множестве [math]P[/math] имеется единичный элемент [math]e(x)[/math] — многочлен нулевой степени, поскольку для произвольного многочлена


[math]p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0[/math] выполняется равенство [math]p(x)\cdot e(x)=e(x)\cdot p(x)=p(x)[/math].

Таким образом, множество [math]P[/math] многочленов относительно введенных операций представляет собой коммутативное кольцо с единицей.




Замечания В.4


1. В качестве коэффициентов многочлена обычно рассматриваются рациональные, действительные или комплексные числа, т.е. элементы числовых полей. Это обстоятельство существенным образом используется при доказательстве свойств операций сложения и умножения многочленов, так как для сложения и умножения коэффициентов многочленов — элементов числовых полей — законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности имеют место. Можно рассмотреть множество многочленов с целыми коэффициентами. Это множество с введенными операциями сложения и умножения многочленов также является кольцом. Но, например, многочлены с натуральными коэффициентами кольцо не образуют.


2. Операция деления многочленов, обратная умножению, не всегда выполнима, т.е. кольцо многочленов не является полем. Например, любой многочлен ненулевой степени не имеет обратного, так как при умножении его на любой другой многочлен произведение не будет равно 1.


3. Свойства кольца многочленов во многом аналогичны свойствам целых чисел, известным из курса арифметики и алгебры. Например, операция деления целых чисел с остатком, понятие делителя, свойства простых чисел переносятся на многочлены.




Делимость многочленов


Деление многочленов с остатком. Для произвольных многочленов [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math] из кольца [math]P[/math] существуют многочлены [math]s(x)[/math] и [math]r(x)[/math] из того же кольца [math]P[/math], что


[math]p(x)=s(x)\cdot q(x)+r(x),[/math]
(B.10)

причем степень многочлена [math]r(x)[/math] меньше степени многочлена [math]q(x)[/math] или же [math]r(x)=0[/math]. Многочлен [math]s(x)[/math] называется частным (неполным частным), а многочлен [math]r(x)[/math] — остатком от деления [math]p(x)[/math] на [math]s(x)[/math].


Частное и остаток при делении многочленов определяются однозначно. При этом можно использовать обычный алгоритм "деления многочленов уголком".


Замечание В.5. Если [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math] — многочлены с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами, то частное [math]s(x)[/math] и остаток [math]r(x)[/math] будут многочленами с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами соответственно.


Если остаток от деления многочлена [math]p(x)\ne0[/math] на многочлен [math]q(x)\ne0[/math] равен нулю, то говорят, что [math]p(x)[/math] делится (делится без остатка) на [math]q(x):[/math]


[math]p(x)=s(x)\cdot q(x).[/math]

При этом многочлен [math]q(x)[/math] называют делителем многочлена [math]p(x)[/math].


Многочлен [math]d(x)\ne0[/math] называется общим делителем отличных от нуля многочленов [math]p(x)[/math] и [math]q(x)[/math], если каждый из них делится на [math]d(x)[/math] без остатка. Общий делитель максимальной степени называется наибольшим общим делителем. Так как каждый многочлен делится на любое отличное от нуля число, то наибольший общий делитель существует. В крайнем случае, это будет многочлен нулевой степени (просто число). Для однозначности определения наибольшего общего делителя обычно дополнительно требуют, чтобы его старший коэффициент был равен единице. Тогда можно утверждать, что для любых ненулевых многочленов существует единственный наибольший общий делитель. Понятия общего делителя и наибольшего общего делителя распространяются на любое конечное число многочленов. Как и в случае с целыми числами, наибольший общий делитель многочленов можно найти, применяя алгоритм Евклида.


Если [math]p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0[/math] есть некоторый многочлен, а [math]c[/math] — некоторое число, то число [math]p(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\ldots+ a_1c+a_0[/math], полученное подстановкой в выражение [math]p(x)[/math] вместо переменной [math]x[/math] числа [math]c[/math], называется значением многочлена [math]p(x)[/math] при [math]x=c[/math]. Если [math]p(x)=0[/math], то число [math]c[/math] называется корнем многочлена [math]p(x)[/math].


Понятие корня тесно связано с делимостью многочленов. В самом деле, при делении многочлена [math]p(x)[/math] на линейный двучлен [math]q(x)=x-c[/math] в представлении (В.10) получаем остаток [math]r(x)[/math] нулевой степени, т. е. число [math]r:[/math]


[math]p(x)=s(x)\cdot(x-c)+r.[/math]

Подставляя [math]x=c[/math], имеем [math]r=p(c)[/math], т.е. остаток от деления многочлена [math]p(x)[/math] на линейный двучлен [math](x-c)[/math] равен значению [math]p(c)[/math] многочлена [math]p(x)[/math] при [math]x=c[/math] (теорема Безу). Поэтому число [math]c[/math] является корнем многочлена [math]p(x)[/math] тогда и только тогда, когда [math]p(x)[/math] делится на [math](x-c)[/math].


Может оказаться, что многочлен [math]p(x)[/math] делится на [math](x-c)^k[/math], где натуральное число [math]k[/math] больше 1, т.е. [math]p(x)=(x-c)^k s(x)[/math], причем многочлен [math]s(x)[/math] не делится на [math](x-c)[/math], т.е. [math]s(c)\ne0[/math]. В этом случае говорят, что [math]c[/math] — кратный корень, а показатель [math]k[/math] называют кратностью корня [math]c[/math]. При [math]k=1[/math] корень [math]c[/math] называют простым. Например, многочлен [math]p(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^5[/math] имеет простой корень [math]x=1[/math] (кратности 1), двойной корень [math]x=2[/math] (кратности 2)и корень [math]x=3[/math] кратности 5.




Производная многочлена


Производной (первой производной) многочлена [math]p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x+a_0[/math] называется многочлен


[math]p'(x)= n\cdot a_{n}\cdot x^{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-1}\cdot x^{n-2}+\ldots+a_1.[/math]

Второй производной [math]p''(x)[/math] многочлена [math]p(x)[/math] называется многочлен


[math]p''(x)=(p'(x))'[/math] и т.д., производной k-го порядка [math]p^{(k)}(x)[/math] называется производная от многочлена [math]p^{(k-1)}(x)[/math] — производной (k-1)-го порядка:


[math]p^{(k)}(x)= \bigl(p^{(k-1)}(x)\bigr)'.[/math]

Понятие производной многочлена формально отличается от определения, принятого в математическом анализе, где многочлен [math]p(x)[/math] рассматривается как функция аргумента х. Однако, как видим, оба определения дают одно и то же выражение для производной. Поэтому свойства и правила дифференцирования, известные из математического анализа, выполняются и для рассматриваемого понятия производной многочлена. В частности, многочлен [math]p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x+a_0[/math] можно представить в виде


[math]p(x)= p(c)+\frac{1}{1!}\,p'(c)(x-c)+ \frac{1}{2!}\,p''(c)(x-c)^2+\ldots+ \frac{1}{n!}\,p^{(n)}(c)(x-c)^n,[/math]
(B.11)

так как остаточный член в формуле Тейлора равен нулю.

Если многочлен имеет корень [math]c[/math] кратности [math]k[/math], т.е. [math]p(x)=(x-c)^k s(x)[/math], то для его производной


[math]p'(x)= \bigl[(x-c)^k\cdot s(x)\bigr]'= k\cdot (x-c)^{k-1}\cdot s(x)+ (x-c)^k\cdot s'(x)[/math]

корень с имеет кратность [math]k-1[/math]; для второй производной [math]p''(x)=(p'(x))'[/math] — кратность [math]k-2[/math] и т.д. В частности, простой корень (кратности [math]k=1[/math]) многочлена не является корнем его производной.


Из формулы (В.11) следует справедливость утверждения: для того чтобы число с являлось корнем кратности к многочлена [math]p(x)[/math], необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:


[math]p(c)=0,\quad p'(c)=0,\quad\ldots,\quad p^{(k-1)}(c)=0,\quad p^{(k)}(c)\ne0.[/math]
(B.12)

Пример В.13. Определить кратности корней [math]x_1=1[/math] и [math]x_2=2[/math] многочлена [math]p(x)=x^5-2x^4+2x^3-12x^2+21x-10[/math].


Решение. Найдем первую и вторую производные


[math]p'(x)=5x^4-8x^3+6x^2-24x+21,\qquad p''(x)=20x^3-24x^2+12x-24.[/math]

Так как [math]p'(1)=0[/math] и [math]p''(1)=-16\ne0[/math], то корень [math]x_1=1[/math] — двойной (кратности [math]k_1=2[/math]). Так как [math]p'(2)=13\ne0[/math], то корень [math]x_2=2[/math] — простой (кратности [math]k_2=1[/math]).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved