Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам

Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам


Преобразования квадратичной функции трех переменных


Рассмотрим преобразование квадратичной функции трех переменных


[math]\begin{array}{cc}\begin{aligned}p(x)&=a_{11}\, x_1^2+a_{22}\, x_2^2+a_{33}\, x_3^2+ 2\, a_{12}\, x_1\, x_2+2\, a_{13}\, x_1\, x_3\,+\\ &\qquad +\,2\, a_{23}\, x_2\, x_3+ 2\, a_1\, x_1+2\, a_2\, x_2+2\, a_3\, x_3+a_0\end{aligned} &\quad \mathsf{(4.53)} \end{array}[/math]

при линейной невырожденной замене переменных:


[math]\begin{cases}x_1=s_1+s_{11}\cdot x'_1+s_{12}\cdot x'_2+s_{13}\cdot x'_3,\\x_2=s_2+s_{21}\cdot x'_1+s_{22}\cdot x'_2+s_{23}\cdot x'_3,\\x_3=s_3+s_{31}\cdot x'_1+s_{32}\cdot x'_2+s_{33}\cdot x'_3,\end{cases} \text{or}\quad x=s+S\cdot x',\qquad \mathsf{(4.54)}[/math]

где [math]s=\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}\!,~ S=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{pmatrix}[/math] — невырожденная матрица [math](\det{S}\ne0)[/math]. Напомним, что замена переменных (4.54) называется аффинной, а если матрица [math]S[/math] ортогональная [math](S^T=S^{-1})[/math] — ортогональной.


▼ Преобразования квадратичных функций трех переменных

При любой аффинной замене переменных квадратичной функции [math]p(x)[/math] получаем снова квадратичную функцию [math]p'(x')[/math] (см. пункт 1 замечаний 4.1):


[math]\begin{gathered}p'(x')=a'_{11}\cdot (x'_1)^2+a'_{22}\cdot (x'_2)^2+a'_{33}\cdot (x'_3)^2+ 2\cdot a'_{12}\cdot x'_1\cdot x'_2+2\cdot a'_{13}\cdot x'_1\cdot x'_3+2\cdot a'_{23}\cdot x'_2\cdot x'_3\,+\\ +\,2\cdot a'_1\cdot x'_1+2\cdot a'_2\cdot x'_2+2\cdot a'_3\cdot x'_3+a'_0.\end{gathered}[/math]
(4.55)

Выделим в функциях [math]p(x)[/math] и [math]p'(x')[/math] квадратичные и линейные формы (см. пункты 5,6 замечаний 4.1):


[math]p(x)=x^T\cdot A\cdot x+2\cdot a^T\cdot x+a_0, \quad p'(x')=(x')^T\cdot A'\cdot x'+2\cdot (a')^T\cdot x'+a'_0[/math]

где [math]A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}\!,~ A'=\begin{pmatrix}a'_{11}&a'_{12}&a'_{13}\\a'_{12}&a'_{22}&a'_{23}\\a'_{13}&a'_{23}&a'_{33}\end{pmatrix}[/math] — матрицы квадратичных форм; [math]a=\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\end{pmatrix}^T,[/math] [math]a'=\begin{pmatrix}a'_1&a'_2&a'_3\end{pmatrix}^T,[/math] — столбцы коэффициентов линейных форм функций (4.53), (4.55).


Аналогично случаю двух переменных получаем формулы, связывающие коэффициенты функций (4.53), (4.55):


[math]A'=S^T\cdot A\cdot S; \quad a'=S^T\cdot(a+A\cdot s); \quad a'_0=s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0.[/math]
(4.56)

Квадратичные функции (4.53), (4.55) можно представить в матричном виде


[math]p(x)= \widehat{x}\,^T\cdot P\cdot\widehat{x}, \qquad p'(x')=(\widehat{x}\,')^T\cdot P\,'\cdot\widehat{x}\,',[/math]

где [math]\textstyle{P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_1\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_2\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_3\\ a_1&a_2&a_3&a_0 \end{pmatrix}\!,~ P'=\begin{pmatrix} a'_{11}&a'_{12}&a'_{13}&a'_1\\ a'_{12}&a'_{22}&a'_{23}&a'_2\\ a'_{13}&a'_{23}&a'_{33}&a'_3\\ a'_1&a'_2&a'_3&a'_0 \end{pmatrix}}[/math] — матрицы квадратичных функций, [math]\widehat{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\1\end{pmatrix}\!,[/math] [math]\widehat{x}\,'=\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\x'_3\\1\end{pmatrix}[/math] — расширенные (дополненные единицей) столбцы переменных.


Замену переменных (4.54) можно записать для расширенных столбцов [math]\widehat{x}=T\cdot\wilde{x}'[/math], где [math]\textstyle{T=\begin{pmatrix} s_{11}&s_{12}&s_{13}&s_1\\ s_{12}&s_{22}&s_{23}&s_2\\ s_{13}&s_{23}&s_{33}&s_3\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}}[/math] — невырожденная матрица, поскольку [math]\det{T}=\det{S}\ne0[/math].


Выполняя такую замену, получаем


[math]P'=T^T\cdot P\cdot T.[/math]
(4.57)

Итак, формулы (4.56) и (4.57) выражают преобразования квадратичных функций трех переменных при линейной невырожденной замене (4.54).




Ортогональные инварианты квадратичной функции


Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции, которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных (4.54), называются инвариантами относительно аффинной замены переменных, или, короче, аффинными инвариантами квадратичной функции. Например, знак определителя [math]\det{A}[/math] матрицы квадратичной формы функции (4.53) не изменяется при замене (4.54), так как, согласно (4.56):


[math]\det{A'}= \det(S^T\cdot A\cdot S)= \det{S^T}\cdot\det{A}\det{S}= (\det{T})^2\cdot\det{A}.[/math]

Аналогично, учитывая (4.57), получаем, что [math]\det{P'}=(\det{T})^2\det{P}[/math], т.е. знаки определителей [math]\det{P'}[/math] и [math]\det{P}[/math] совпадают при любой линейной невырожденной замене переменных.


Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции, которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных (4.54) с ортогональной матрицей [math]S[/math] [math](S^T=S^{-1})[/math], называются инвариантами относительно ортогональной замены переменных, или, короче, ортогональными инвариантами квадратичной функции. Эти алгебраические выражения являются важнейшими геометрическими характеристиками поверхности второго порядка и могут быть использованы как для их классификации, так и для построения, поскольку преобразование прямоугольной системы координат соответствует ортогональной замене переменных. Далее, если не оговорено противное, будем рассматривать преобразования квадратичных функций при ортогональных заменах переменных. Для функции (4.53) введем обозначения


[math]\begin{gathered}\tau_1=a_{11}+a_{22}+a_{33}, \quad \tau_2= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{23}&a_{33}\end{vmatrix},\\[2pt] \delta=\det{A}= \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}, \quad \Delta=\det{P}= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_1\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_2\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_3\\ a_1&a_2&a_3&a_0 \end{vmatrix},\end{gathered}[/math]

где [math]\tau_1[/math] — след матрицы [math]A[/math] (сумма диагональных элементов матрицы [math]A[/math]), а [math]\tau_2[/math] — сумма главных миноров второго порядка матрицы [math]A,\,\delta[/math] — определитель матрицы [math]A[/math] квадратичной формы, [math]\Delta[/math] — определитель матрицы [math]P[/math] квадратичной функции. Обозначим через [math]\tau'_1,\,\tau'_2,[/math] [math]\delta'=\det{A'},[/math] [math]\Delta'=\det{P'}[/math]

аналогичные выражения для функции (4.55).


Теорема (4.4) об ортогональных инвариантах. При любой ортогональной замене переменных (4.54) квадратичной функции (4.53) выражения [math]\tau_1,\tau_2,\delta,\Delta[/math] не изменяются: [math]\tau'_1=\tau,[/math] [math]\tau'_2=\tau_2,[/math] [math]\delta'=\delta,[/math] [math]\Delta'=\Delta[/math].


▼ Доказательство

В самом деле, согласно формуле (4.56), при замене переменных (4.54) с ортогональной матрицей [math]S[/math] [math](S^T=S^{-1})[/math] не изменяется определитель квадратичной формы:


[math]\det{A'}= \det(S^T\cdot A\cdot S)= \det{S^T}\cdot\det{S}\cdot\det{A}= (\det{S})^2\cdot\det{A}=\det{A},[/math]

так как [math](\det{S})^2= \det{S^T}\det{S}= \det{S^{-1}}\cdot\det{S}= \det(S^{-1}\cdot S)= \det{E}=1[/math].


Аналогично из (4.57) получаем [math]\det{P'}=(\det{T})^2\det{P}=\det{P}[/math], поскольку [math]\det{T}=\det{S}[/math] (в этом можно убедиться, раскладывая определитель матрицы [math]T[/math] по последней строке) и [math](\det{S})^2=1[/math].


Таким образом, определители матриц квадратичных форм не изменяются при ортогональной замене переменных:


[math]\det{A'}= \det{A}, \qquad \det{P'}=\det{P}.[/math]

Эти равенства [math]\delta'=\delta,~\Delta'=\Delta[/math] устанавливают ортогональную инвариантность выражений [math]\delta[/math] и [math]\Delta[/math].


Рассмотрим теперь квадратичную функцию


[math]\begin{gathered}p_{\lambda}(x)=a_{11}\cdot x_1^2+a_{22}\cdot x_2^2+a_{33}\cdot x_3^2+ 2\cdot a_{12}\cdot x_1\cdot x_2+2\cdot a_{13}\cdot x_1\cdot x_3+2\cdot a_{23}\cdot x_2\cdot x_3\,+\\ +\,2\cdot a_1\cdot x_1+2\cdot a_2\cdot x_2+2\cdot a_3\cdot x_3+a_0-\lambda\cdot x_1^2-\lambda\cdot x_2^2-\lambda\cdot x_3^2,\end{gathered}[/math]

где [math]\lambda[/math] — некоторая постоянная (параметр). Матрица квадратичной формы этой квадратичной функции имеет вид


[math]A-\lambda\cdot E= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}-\lambda&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}-\lambda\end{pmatrix}\!.[/math]

При ортогональной замене переменных (4.54) матрица квадратичной формы преобразуется по закону (4.56):


[math]S^T\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot S= S^T\cdot A\cdot S-\lambda\cdot S^T\cdot S=A'-\lambda\cdot S^T\cdot S=A'-\lambda\cdot E.[/math]

а ее определитель не изменяется, т.е. [math]\det(A-\lambda\cdot E)=\det(A'-\lambda\cdot E).[/math]


Напомним, что определитель [math]\det(A-\lambda\cdot E)[/math] представляет собой многочлен переменной [math]\lambda[/math], который называется характеристическим многочленом матрицы [math]A:[/math]


[math]\det(A-\lambda\cdot E)= \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}-\lambda&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}-\lambda\end{matrix}\,\vline\,= -\lambda^3+\tau_1\cdot\lambda^2-\tau_2\cdot\lambda+\delta,[/math]

где [math]\delta=\det{a},~\tau_1=a_{11}+a_{12}+a_{33}[/math] — след матрицы [math]A[/math] (сумма диагональных элементов матрицы [math]A[/math]), а


[math]\tau_2= \,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{matrix}\,\vline\,+\,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{matrix}\,\vline\,+\,\,\vline\,\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{23}&a_{33}\end{matrix}\,\vline[/math]

— сумма главных миноров второго порядка матрицы [math]A[/math]. Из ортогональной инвариантности характеристического многочлена, т.е. из равенства [math]\det(A-\lambda E)=\det(A'-\lambda E)[/math], следуют равенства соответствующих коэффициентов: [math]\tau'_1=\tau_1,~\tau'_2=\tau_2[/math] что означает ортогональную инвариантность выражений [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math].




Замечания 4.12


1. При любой однородной [math](s=o)[/math] ортогональной замене переменных (4.S4) квадратичной функции (4.S3) выражения


[math]\begin{gathered}\kappa_1=\,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_{1}\\a_{1}&a_{0}\end{matrix}\,\vline\,+\,\vline\,\begin{matrix}a_{22}&a_{2}\\a_{2}&a_{0}\end{matrix}\,\vline\,+\,\vline\,\begin{matrix}a_{33}&a_{3}\\a_{3}&a_{0}\end{matrix}\,\vline\,,\\[2pt] \kappa_2= \,\,\vline\,\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\a_{12}&a_{22}&a_2\\a_1&a_2&a_0\end{matrix}\,\vline\,+ \,\vline\,\begin{matrix} a_{11}&a_{13}&a_1\\ a_{13}&a_{33}&a_3\\ a_1&a_3&a_0 \end{matrix}\,\vline\,+ \,\vline\,\begin{matrix} a_{22}&a_{23}&a_2\\ a_{23}&a_{33}&a_3\\ a_2&a_3&a_0 \end{matrix}\,\vline\,,\end{gathered}[/math]

не изменяются: [math]\kappa_1=\kappa'_1,~\kappa_2=\kappa'_2[/math].


Выражения [math]\kappa_1,\,\kappa_2[/math] называются ортогональными семиинвариантами (полуинвариантами) квадратичной функции (см. пункт 1 замечаний 3.12). Для доказательства нужно рассмотреть характеристический многочлен матрицы [math]P[/math] квадратичной функции.


2. Если у квадратичной функции (4.53) [math]\delta=\Delta=0[/math], то при любой ортогональной замене ее переменных (4.54) выражение [math]\kappa_2[/math] не изменяется: [math]\kappa_2=\kappa'_2[/math], другими словами, выражение [math]\kappa_2[/math] является ортогональным инвариантом для квадратичной функции при [math]\delta=\Delta=0[/math].


3. Если у квадратичной функции (4.53) [math]\delta=\Delta=0[/math] и [math]\tau_1=\tau_2=0[/math], то при любой ортогональной замене ее переменных (4.54) выражение [math]\kappa_1[/math] не изменяется: [math]\kappa_1=\kappa'_1[/math], другими словами, выражение к{ является ортогональным инвариантом для квадратичной функции при [math]\delta=\Delta=0[/math] и [math]\tau_1=\tau_2=0[/math].


4. Из доказательства теоремы 4.4 следует, что характеристический многочлен матрицы квадратичной формы является ортогональным инвариантом.


5. Корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы являются ортогональными инвариантами. Это следует из ортогональной инвариантности характеристического многочлена.


6. Из доказательства теоремы 4.3 следует (см. п.4 замечаний 4.7), что существует такая ортогональная замена переменных [math]x=S\cdot x'[/math] [math](S^T=S^{-1})[/math] функции (4.53), при которой у функции (4.55) будут отсутствовать произведения переменных:


[math]p'(x'_1,x'_2,x'_3)=\lambda_1\cdot(x'_1)^2+\lambda_2\cdot(x'_2)^2+\lambda_3\cdot(x'_3)^2+2\cdot a'_1\cdot x'_1+2\cdot a'_2\cdot x'_2 +2\cdot a'_3\cdot x'_3+a_0,[/math]

т.е. матрица [math]A'[/math] квадратичной формы функции (4.55) будет диагональной:


[math]A'=S^{-1}\cdot A\cdot S=\Lambda= \begin{pmatrix}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{pmatrix}\!.[/math]

▼ Доказательство

Записывая характеристический многочлен этой матрицы, получаем


[math]\det(\Lambda-\lambda\cdot E)= \,\,\vline\,\begin{matrix}\lambda_1-\lambda&0&0\\0&\lambda_2-\lambda&0\\0&0&\lambda_3-\lambda\end{matrix}\,\vline\,= (\lambda_1-\lambda){\cdot}(\lambda_2-\lambda){\cdot}(\lambda_3-\lambda),[/math]

т.е. числа [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] являются его корнями. Из инвариантности характеристических многочленов [math]\det(A-\lambda E)=\det(\Lambda-\lambda E)[/math] следует, что


[math]\begin{gathered} -\lambda_3+\tau_1\cdot\lambda^2-\tau_2\cdot\lambda+\delta\,= (\lambda_1-\lambda){\cdot}(\lambda_2-\lambda){\cdot}(\lambda_3-\lambda)=\\[2pt] =\,-\lambda^3+ (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\cdot\lambda^2- (\lambda_1\cdot\lambda_2+\lambda_2\cdot\lambda_3+\lambda_1\cdot\lambda_3)\cdot\lambda+ \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3. \end{gathered}[/math]

Отсюда получаем:


[math]\tau_1= \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3, \quad \tau_2= \lambda_1\cdot\lambda_2+\lambda_2\cdot\lambda_3+\lambda_1\cdot\lambda_3, \quad \delta= \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3.[/math]

7. Корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения [math]\lambda^3-\tau_1\lambda^2+\tau_2\lambda-\delta=0[/math] действительные. В самом деле, диагональная матрица [math]\Lambda=S^{-1}\cdot A\cdot S[/math] действительная, так как матрицы [math]A[/math] и [math]S[/math] действительные.


8. Корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения имеют одинаковые знаки (все положительные или все отрицательные) тогда и только тогда, когда [math]\tau_2>0[/math] и [math]\tau_1\delta>0[/math].


▼ Доказательство

Необходимость условий легко проверяется по теореме Виета для кубического уравнения (см. пункт 6):


[math]\tau_2= \lambda_1\cdot\lambda_2+\lambda_2\cdot\lambda_3+\lambda_1\cdot\lambda_3>0, \quad \tau_1\cdot\delta=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\cdot\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3>0,[/math]

если все числа [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] положительные, либо все отрицательные. Докажем достаточность. Покажем, что при условиях [math]\tau_2>0[/math] и [math]\tau_1\delta>0[/math] выполняется неравенство [math]\lambda_1\lambda_2>0[/math], т.е. числа [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] имеют одинаковые знаки. В самом деле, так как [math]\tau_2>0[/math], то


[math]\lambda_1\cdot \lambda_2+ \frac{\tau_1\cdot\delta}{\lambda_1\cdot\lambda_2}= \lambda_1\cdot\lambda_2+ \lambda_2\cdot\lambda_3+ \lambda_2\cdot\lambda_3+ \lambda_3^2= \tau_2+\lambda_3^2>0.[/math]

Величины [math]\lambda_1\lambda_2[/math] и [math]\frac{\tau_1\delta}{\lambda_1\lambda_2}[/math] имеют одинаковые знаки (в силу неравенства [math]\tau_1\delta>0[/math]) и их сумма положительна, поэтому они положительные, т.е. [math]\lambda_1\lambda_2>0[/math]. Аналогично показывается, что и [math]\lambda_1\lambda_3>0[/math]. Следовательно, все числа [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] одного знака.


9. При умножении квадратичной функции (4.53) на отличный от нуля множитель [math]\mu[/math] собственные значения матрицы [math]A[/math] умножаются также на [math]\mu[/math], а инварианты и семиинварианты (см. пункт 1) умножаются на [math]\mu,\mu^2,\mu^3[/math] или [math]\mu^4[/math], согласно свойству определителей: [math]\mu\tau_1,[/math] [math]\mu^2\tau_2,[/math] [math]\mu^3\delta,[/math] [math]\mu^4\Delta[/math] [math]\mu^2\kappa_1,[/math] [math]\mu^3\kappa_2.[/math]




Определение вида канонического уравнения поверхности по инвариантам


Пусть в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] поверхность второго порядка описывается уравнением


[math]p(x,y,z)=0,[/math]
(4.58)

где [math]p(x,y,z)[/math] — квадратичная функция:


[math]\begin{gathered}p(x,y,z)=a_{11}\cdot x^2+a_{22}\cdot y^2+a_{33}\cdot z^2+ 2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+2\cdot a_{13}\cdot x\cdot z+2\cdot a_{23}\cdot y\cdot z\,+\\+\,2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+2\cdot a_3\cdot z+a_0.\end{gathered}[/math]
(4.59)

Согласно теореме 4.3, в любой другой прямоугольной системе координат [math]O'x'y'z'[/math] уравнение этой же поверхности имеет вид


[math]\widetilde{p}(x',y',z')=0,[/math]
(4.60)

где квадратичная функция


[math]\begin{gathered}\widetilde{p}(x',y',z')= \mu\cdot\Big(a'_{11}\cdot(x')^2+ a'_{22}\cdot(y')^2+ a'_{33}\cdot(z')^2+ 2\cdot a'_{12}\cdot x'\cdot y'\,+\\ +\,2\cdot a'_{13}\cdot x'\cdot z'+2\cdot a'_{23}\cdot y'\cdot z'+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+2\cdot a'_3\cdot z'+a'_0\Big)\end{gathered}[/math]
(4.61)

получена из квадратичной функции [math]p(x,y,z)[/math] в результате умножения на отличный от нуля множитель [math]\mu[/math] и ортогональной замены переменных:


[math]\begin{cases} x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y'+s_{13}\cdot z',\\ y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y'+s_{23}\cdot z',\\ z=z_0+s_{31}\cdot x'+s_{32}\cdot y'+s_{33}\cdot z', \end{cases} \text{or} \quad \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=s+S\cdot \!\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\end{pmatrix}\!.[/math]
(4.62)

Здесь [math]\textstyle{\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}}[/math] — координатный столбец вектора [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат, [math]\textstyle{\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{pmatrix}}[/math] — ортогональная матрица [math](S^T=S^{-1})[/math] перехода от базиса [math]\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}[/math] системы координат [math]Oxyz[/math] к базису системы координат [math]O'x'y'z'[/math]. Собственные значения матриц квадратичных форм, инварианты и семиинварианты квадратичных функций [math]p(x,y,z)[/math] [math]\widetilde{p}(x',y',z')[/math] обозначим соответственно


[math]\lambda_1,~\lambda_2,~\lambda_3,~\tau_1,~\tau_2,~\delta,~\Delta,~\kappa_1,~\kappa_2; \quad \widetilde{\lambda}_1,~ \widetilde{\lambda}_2,~ \widetilde{\lambda}_3,~ \widetilde{\tau}_1,~ \widetilde{\tau}_2,~ \widetilde{\delta},~ \widetilde{\Delta},~ \widetilde{\kappa}_1,~ \widetilde{\kappa}_2.[/math]

По теореме 4.3 и пункту 9 замечаний 4.12 эти выражения связаны формулами


[math]\begin{gathered} \widetilde{\lambda}_1=\mu\cdot\lambda_1; \quad \widetilde{\lambda}_2=\mu\cdot\lambda_2; \quad \widetilde{\lambda}_3=\mu\cdot\lambda_3; \quad \widetilde{\tau}_1=\mu\cdot\tau_1; \quad \widetilde{\tau}_2=\mu^2\cdot\tau_2; \\ \widetilde{\delta}=\mu^3\cdot\delta; \quad \widetilde{\Delta}=\mu^4\cdot\Delta; \quad \widetilde{\kappa}_1=\mu^2\cdot\kappa_1; \quad \widetilde{\kappa}_2=\mu^3\cdot\kappa_2. \end{gathered}[/math]
(4.63)

Используя эти связи, выясним признаки видов канонических уравнений, а также выразим коэффициенты канонических уравнений. Предполагаем, что система координат [math]O'x'y'z'[/math] каноническая, т.е. уравнение [math]\widetilde{p}(x',y',z')=0[/math] имеет один из семнадцати канонических видов, указанных в теореме 4.3. В этом случае матрица А квадратичной формы функции [math]\widetilde{p}(x',y',z')[/math] имеет диагональный вид:


[math]\widetilde{A}= \begin{pmatrix}\widetilde{\lambda}_1&0&0\\0&\widetilde{\lambda}_2&0\\0&0&\widetilde{\lambda}_3\end{pmatrix}\!.[/math]

▼ Типы уравнений поверхностей 2-го порядка

Коэффициенты при квадратах неизвестных в канонических уравнениях (1)-(17) равны собственным значениям [math]\widetilde{\lambda}_1,\, \widetilde{\lambda}_2,\, \widetilde{\lambda}_3[/math] этой матрицы (или, что то же самое, корням характеристического уравнения). В зависимости от знаков чисел [math]\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2,\,\widetilde{\lambda}_3[/math] уравнения (1)-(17) разбиваются на три группы:


– корни [math]\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2},~\widetilde{\lambda}_3=\frac{1}{c^2}[/math] отличны от нуля [math](\widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1\cdot\widetilde{\lambda}_2\cdot\widetilde{\lambda}_3\ne0)[/math] и имеют одинаковые знаки (эллиптический тип): уравнения эллипсоида, мнимого эллипсоида, мнимого конуса;


– корни [math]\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2},~\widetilde{\lambda}_3=-\frac{1}{c^2}[/math] отличны от нуля [math](\widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1\cdot\widetilde{\lambda}_2\cdot\widetilde{\lambda}_3\ne0)[/math] и имеют разные знаки (гиперболический тип): уравнения однополостного или двуполостного гиперболоидов, конуса;


– хотя бы один из корней [math]\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2,\,\widetilde{\lambda}_3[/math] равен нулю [math](\widetilde{\lambda}_3=0,~\widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1\cdot\widetilde{\lambda}_2\cdot\widetilde{\lambda}_3=0)[/math] (параболический тип): уравнения эллиптического или гиперболического параболоидов, а также цилиндры и пары плоскостей.


Тип уравнения (4.58) не изменяется в ходе приведения его к каноническому виду (4.60), так как, согласно пункту 9 замечаний 4.12, корни характеристических уравнений связаны формулами [math]\widetilde{\lambda}_1=\mu\cdot\lambda_1,[/math] [math]\widetilde{\lambda}_2=\mu\cdot\lambda_2,[/math] [math]\widetilde{\lambda}_3=\mu\cdot\lambda_3,[/math] т.е. отличаются только множителем [math]\mu\ne0[/math]. Поэтому, если [math]\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2,\,\widetilde{\lambda}_3[/math] имеют одинаковые знаки (что равносильно условиям [math]\widetilde{\tau}_2>0[/math] и [math]\widetilde{\tau}_1\widetilde{\delta}>0[/math] (см. пункт 8 замечаний 4.12)), то и [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] имеют одинаковые знаки (что равносильно условиям [math]\tau_2>0[/math] и [math]\tau_1\delta>0[/math]). Если [math]\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2,\,\widetilde{\lambda}_3[/math] имеют разные знаки (что равносильно условиям [math]\widetilde{\tau}_2\leqslant0[/math] или [math]\widetilde{\tau}_1\widetilde{\delta}\leqslant0[/math]), то и [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] имеют разные знаки (что равносильно условиям [math]\tau_2\leqslant0[/math] или [math]\tau_1\delta\leqslant0[/math]. При этом выражения [math]\widetilde{\tau}_2[/math] и [math]\tau_2[/math], а также [math]\widetilde{\tau}_1\widetilde{\delta}[/math] и [math]\tau_1\delta[/math] имеют одинаковые знаки, что следует из (4.63).


▼ Для уравнений эллиптического типа

Для уравнений эллиптического типа [math]\left(\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2}>0,~ \widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2}>0,~ \widetilde{\lambda}_3=\frac{1}{c^2}>0,~ \widetilde{\lambda}_1\cdot\widetilde{\lambda}_2\cdot\widetilde{\lambda}_3>0\right)\colon[/math]


(1) эллипсоида [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+\widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2+\widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2-1=0[/math];


(2) мнимого эллипсоида [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+\widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2+\widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2+1=0[/math];


(3) мнимого конуса [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+\widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2+\widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2=0[/math];


определитель [math]\widetilde{\Delta}[/math] матрицы [math]\widetilde{P}[/math] квадратичной функции [math]\widetilde{p}(x',y',z')[/math] имеет один из следующих видов:


[math]\widetilde{\Delta}=\,\,\vline\,\, \begin{matrix} \widetilde{\lambda}_1&0&0&\!\!\vline\!\!&0\\ 0&\widetilde{\lambda}_2&0&\!\!\vline\!\!&0\\ 0&0&\widetilde{\lambda}_3&\!\!\vline\!\!&0\\\hline 0&0&0 &\!\!\vline\!\!&-1\end{matrix}\,\,\,\vline\,, \quad \widetilde{\Delta}=\,\,\vline\,\, \begin{matrix} \widetilde{\lambda}_1&0&0&\!\!\vline\!\!&0\\ 0&\widetilde{\lambda}_2&0&\!\!\vline\!\!&0\\ 0&0&\widetilde{\lambda}_3&\!\!\vline\!\!&0\\\hline 0&0&0 &\!\!\vline\!\!&1\end{matrix}\,\,\,\vline\,, \quad \widetilde{\Delta}=\,\,\vline\,\, \begin{matrix} \widetilde{\lambda}_1&0&0&\!\!\vline\!\!&0\\ 0&\widetilde{\lambda}_2&0&\!\!\vline\!\!&0\\ 0&0&\widetilde{\lambda}_3&\!\!\vline\!\!&0\\\hline 0&0&0 &\!\!\vline\!\!&0\end{matrix}\,\,\,\vline\,,[/math]
(4.64)

т.е. для уравнений эллипсоида [math]\widetilde{\Delta}<0[/math], мнимого эллипсоида [math]\widetilde{\Delta}>0[/math] и мнимого конуса [math]\widetilde{\Delta}=0[/math].


▼ Для уравнений гиперболического типа

Для уравнений гиперболического типа [math]\left(\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2}>0,~ \widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2}>0,~ \widetilde{\lambda}_3=-\frac{1}{c^2}<0,~ \widetilde{\lambda}_1\cdot\widetilde{\lambda}_2\cdot\widetilde{\lambda}_3<0\right)\colon[/math]


(4) однополостного гиперболоида [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+\widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2+\widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2-1=0[/math];


(5) двуполостного гиперболоида [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+\widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2+\widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2+1=0[/math];


(6) конуса [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+\widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2+\widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2=0[/math];


определитель [math]\widetilde{\Delta}[/math] матрицы [math]\widetilde{P}[/math] квадратичной функции [math]\widetilde{p}(x',y',z')[/math] имеет один из указанных в (4.64) видов, т.е. для однополостного гиперболоида [math]\widetilde{\Delta}>0[/math], двуполостного гиперболоида [math]\widetilde{\Delta}<0[/math], конуса [math]\widetilde{\Delta}=0[/math].


▼ Для уравнений параболоидов

Для уравнений параболоидов [math]\left(\widetilde{\lambda}_1= \frac{1}{a^3},~ \widetilde{\lambda}_3=0,~\widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1\cdot\widetilde{\lambda}_2\cdot\widetilde{\lambda}_3=0\right)\colon[/math]


(7) эллиптического параболоида [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+ \widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2-2\cdot z'=0,~ \widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2}>0[/math];


(8) гиперболического параболоида [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+\widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2-2\cdot z'=0,~ \widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2}<0[/math];


определитель [math]\widetilde{\Delta}[/math] матрицы [math]\widetilde{P}[/math] квадратичной функции [math]\widetilde{p}(x',y',z')[/math] имеет вид:


[math]\widetilde{\Delta}= \,\,\vline\,\,\begin{matrix} \widetilde{\lambda}_1&0&0&\!\!\vline\!\!&0\\ 0&\widetilde{\lambda}_2&0&\!\!\vline\!\!&0\\ 0&0&0&\!\!\vline\!\!&-1\\ \hline 0&0&-1&\!\!\vline\!\!&0 \end{matrix}\,\,\,\vline\,\,\ne0,[/math]
(4.65)

т.е. для уравнений эллиптического параболоида [math]\widetilde{\Delta}<0[/math], гиперболического параболоида [math]\widetilde{\Delta}>0[/math].


Из формул (4.63) следует, что выражения [math]\widetilde{\Delta}[/math] и [math]\lambda[/math] имеют одинаковые знаки, поскольку [math]\widetilde{\Delta}=\mu^4\cdot\Delta[/math]. Поэтому для перечисленных выше уравнений в условиях [math]\widetilde{\Delta}<0,[/math] [math]\widetilde{\Delta}>0,[/math] [math]\widetilde{\Delta}=0[/math] определитель [math]\widetilde{\Delta}[/math] можно заменить на [math]\Delta[/math]. Следовательно, признаками вида для уравнений эллиптического или гиперболического типа служат неравенства [math]\Delta<0,[/math] [math]\Delta>0,[/math] [math]\Delta=0,[/math] а для уравнений параболоидов — неравенства [math]\Delta<0,[/math] [math]\Delta>0[/math].


В остальных случаях при [math]\widetilde{\delta}=\widetilde{\Delta}=0[/math] определение вида поверхности производится аналогично определению вида линии второго порядка, так как в канонических уравнениях цилиндрических поверхностей отсутствует неизвестная [math]z[/math]. При [math]a_{13}=a_{23}=a_{33}=a_3=0[/math] имеют место равенства


[math]\tau_1=\tau, \quad \tau_2=\delta, \quad \kappa_1=\kappa, \quad \kappa_2=\Delta,[/math]

где [math]\tau_1,\,\tau_2,\,\kappa_1,\,\kappa_2[/math] — инварианты цилиндрической поверхности, а [math]\tau,\,\delta,\,\kappa,\,\Delta[/math] — инварианты линии второго порядка.


Таким образом, классификацию поверхностей второго порядка можно записать, используя инварианты квадратичной функции (см. таблицу 4.3).


Таблица 4.3. Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам


Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам

Пример 4.19. По ортогональным инвариантам определить виды алгебраических поверхностей второго порядка, заданных в примере 4.18:


а) [math]x^2+y^2+2x-4y+2z+1=0[/math];

б) [math]x^2+6y-8z+10=0[/math];

в) [math]3x^2-7y^2+3z^2+8xy-8xz-8yz+10x-14y-6z-8=0[/math].


▼ Решение

а) Собственные значения [math]\lambda_1=\lambda_2=1,~\lambda_3=0[/math] матрицы [math]A[/math] квадратичной формы найдены при решении примера 4.18,"а". Согласно пункту 5 замечаний 4.12:


[math]\tau_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=2, \quad \tau_2=\lambda_1\cdot\lambda_2+\lambda_2\cdot\lambda_3+\lambda_1\cdot\lambda_3=1, \quad \delta=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=0.[/math]

Так как хотя бы один из корней равен нулю, то тип поверхности — параболический. Вычисляем


[math]\Delta=\,\,\vline\!\begin{array}{*{20}r} 1&0&0&1\\ 0&1&0&-2\\ 0&0&0&1\\ 1&-2&1&1\end{array}\vline\,=-1<0.[/math]

Следовательно (см. таблицу 4.3), заданная поверхность является эллиптическим параболоидом (параболоидом вращения, см. рис.4.52(1) а)).


б) Собственные значения [math]\lambda_1=1,~\lambda_2=\lambda_3=0[/math] матрицы [math]A[/math] квадратичной формы найдены при решении примера 4.18,"б". Согласно пункту 5 замечаний 4.12:


[math]\tau_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1, \quad \tau_2=\lambda_1\cdot\lambda_2+\lambda_2\cdot\lambda_3+\lambda_1\cdot\lambda_3=0, \quad \delta=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=0.[/math]

Следовательно, тип поверхности — параболический. Вычисляем


[math]\begin{gathered}\Delta= \,\,\vline\,\begin{matrix}1&0&0&0\\0&0&0&3\\0&0&0&-4\\0&3&-4&10\end{matrix}\,\vline\,\,=0,\\ \kappa_2= \,\,\vline\,\begin{matrix}1&0&0\\0&0&3\\0&3&10\end{matrix}\,\vline\,\,+ \,\,\vline\,\begin{matrix}1&0&0\\0&0&-4\\0&-4&10\end{matrix}\,\vline\,\,+\,\,\vline\,\begin{matrix}0&0&3\\0&0&-4\\3&-4&10\end{matrix}\,\vline\,\,= -9-16+0=-25\ne0.\end{gathered}[/math]

Следовательно (см. таблицу 4.3), заданная поверхность является параболическим цилиндром (см. рис.4.52(1) б)).


в) Собственные значения [math]\lambda_1=-1,~\lambda_2=9,~\lambda_3=-9[/math] матрицы [math]A[/math] квадратичной формы найдены при решении примера 4.18,"в". Согласно п.5 замечаний 4.12:


[math]\tau_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-1, \quad \tau_2=\lambda_1\cdot\lambda_2+\lambda_2\cdot\lambda_3+\lambda_1\cdot\lambda_3=-81, \quad \delta=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=81.[/math]

Поскольку корни характеристического уравнения имеют разные знаки, тип поверхности — гиперболический. Вычисляем


[math]\Delta= \,\,\vline\!\!\begin{array}{*{20}r}3&4&-4&5\\4&-7&-4&-7\\-4&-4&3&-3\\5&-7&-3&-8\end{array}\vline\,=81>0,[/math]

Следовательно (см. таблицу 4.3), заданная поверхность является однополостным гиперболоидом (см. рис.4.52(1) в)).


Классификация заданных поверхностей (см. решение примера 4.19) совпадает с результатами примера 4.18.


Эллиптический параболоид, параболический цилиндр и однополостный гиперболоид



Определение коэффициентов канонического уравнения поверхности по инвариантам


Найдем формулы, выражающие коэффициенты канонических уравнений поверхностей через коэффициенты общего уравнения (4.58).


▼ Для уравнений эллиптического типа

Для уравнений эллиптического типа:


– эллипсоида (1): [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+ \widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2 + \widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2-1=0[/math],


– мнимого эллипсоида (2): [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+ \widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2 + \widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2+1=0[/math],


– мнимого конуса (3): [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+ \widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2 + \widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2=0[/math],


где [math]\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~ \widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2},~ \widetilde{\lambda}_3=\frac{1}{c^2}[/math] причем [math]0<\widetilde{\lambda}_1 \leqslant \widetilde{\lambda}_2 \leqslant \widetilde{\lambda}_3[/math]. Учитывая (4.63), запишем равенства


[math]\mu\cdot\lambda_1=\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2}, \quad \mu\cdot\lambda_2=\widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2}, \quad \mu\cdot\lambda_3=\widetilde{\lambda}_3=\frac{1}{c^2}, \cdot \widetilde{\delta}=\mu^3\cdot\delta, \quad \widetilde{\Delta}=\mu^4\cdot\Delta.[/math]

Для уравнения эллипсоида [math]\widetilde{\Delta}=-\widetilde{\delta}[/math] (см. первый определитель в (4.64)). Поэтому [math]\mu^4\cdot\Delta=-\mu^3\cdot\delta[/math], значит [math]\mu=\frac{\delta}{\Delta}[/math]. Тогда полуоси эллипсоида вычисляются по формулам


[math]a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}}, \quad b=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}, \quad c=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_3\delta}},[/math]

причем для выполнения неравенств [math]a\geqslant b\geqslant c[/math] (или, что то же самое [math]\widetilde{\lambda}_1 \leqslant \widetilde{\lambda}_2 \leqslant \widetilde{\lambda}_3[/math]), корни характеристического уравнения нужно занумеровать так, чтобы они удовлетворяли условиям [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|\leqslant|\lambda_3|[/math].


Для уравнения мнимого эллипсоида [math]\widetilde{\Delta}=\widetilde{\delta}[/math] (см. второй определитель в (4.64)). Поэтому [math]\mu^4\cdot\Delta=\mu^3\cdot\delta[/math], значит [math]\mu=\frac{\delta}{\Delta}[/math]. Тогда полуоси мнимого эллипсоида вычисляются по формулам


[math]a=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}}, \quad b=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}, \quad c=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_3\delta}},[/math]

причем корни характеристического уравнения нужно занумеровать так, чтобы [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|\leqslant|\lambda_3|[/math]. Разделив уравнение мнимого конуса на величину [math]|\mu|\ne0[/math], получим уравнение


[math]|\lambda_1|\cdot(x')^2+|\lambda_2|\cdot(y')^2+|\lambda_3|\cdot(z')^2=0.[/math]

Отсюда находим коэффициенты


[math]a^2=\frac{1}{|\lambda_1|}, \quad b^2=\frac{1}{|\lambda_2|}, \quad c^2=\frac{1}{|\lambda_3|}.[/math]

▼ Для уравнений гиперболического типа

Для уравнений гиперболического типа:


– однополостного гиперболоида(4): [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+ \widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2+ \widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2-1=0[/math];


– двуполостного гиперболоида (5): [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+ \widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2+ \widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2+1=0[/math];


– конуса (6): [math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+ \widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2+ \widetilde{\lambda}_3\cdot(z')^2=0[/math],


где [math]\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~ \widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2},~ \widetilde{\lambda}_3=-\frac{1}{c^2}<0,[/math], причем [math]\widetilde{\lambda}_1\leqslant \widetilde{\lambda}_2[/math], аналогичным образом получаем


для однополостного гиперболоида: [math]a^2= -\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta},~b^2=-\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta},~c^2=\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}[/math];


для двуполостного гиперболоида: [math]a^2= \frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta},~b^2=\frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta},~c^2=-\frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}[/math];


для конуса: [math]a^2=\frac{1}{|\lambda_1|}, ~b^2=\frac{1}{|\lambda_2|},~ c^2=\frac{1}{|\lambda_3|}[/math],


причем корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения нужно занумеровать так, чтобы [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] были одного знака и [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|[/math], а корень [math]\lambda_3[/math] — противоположного знака.

▼ Для уравнения эллиптического параболоида

Для уравнения эллиптического параболоида (7):


[math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+ \widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2-2\cdot z'=0, \quad \widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2}, \quad \widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2}, \quad \widetilde{\lambda}_1\leqslant \widetilde{\lambda}_2,[/math]

учитывая (4.63), запишем равенства


[math]\mu\cdot\lambda_1=\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2}, \quad \mu\cdot\lambda_2=\widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2}, \quad \widetilde{\tau}_2=\mu^2\cdot\tau_2, \quad \widetilde{\Delta}=\mu^4\cdot\Delta\,.[/math]

Поскольку [math]\widetilde{\lambda}_3=0[/math], то [math]\widetilde{\tau}_2=\widetilde{\lambda}_1\cdot\widetilde{\lambda}_2=-\widetilde{\Delta}[/math] (см. (4.65)). Следовательно, [math]\mu^2\cdot\tau_2=-\mu^4\cdot\Delta[/math], отсюда [math]\mu^2=-\frac{\tau_2}{\Delta}[/math]. Тогда


[math]a^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1^2\cdot\tau_2}}, \quad b^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^2\cdot\tau_2}}[/math]

причем корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения нужно занумеровать так, чтобы нулевым оказался корень [math]\lambda_3=0[/math], а ненулевые корни [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] одного знака должны удовлетворять условию [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|[/math].


▼ Для уравнения гиперболического параболоида

Для уравнения гиперболического параболоида (8):


[math]\widetilde{\lambda}_1\cdot(x')^2+ \widetilde{\lambda}_2\cdot(y')^2- 2\cdot z'=0, \quad \widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2}, \quad \widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2},[/math]

аналогично получаем
[math]a^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1^2\cdot\tau_2}}, \quad b^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^2\cdot\tau_2}},[/math]

причем корни [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] характеристического уравнения нужно занумеровать так, чтобы нулевым оказался корень [math]\lambda_3=0[/math], а из ненулевых корней [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] разных знаков положительный обозначить [math]\lambda_1~(\lambda_1>0)[/math].

▼ Для уравнений цилиндрических поверхностей

Для уравнений цилиндрических поверхностей формулы для нахождения коэффициентов канонических уравнений по коэффициентам исходного уравнения выводятся аналогично тем, которые были получены в разд.3.3.5. Действительно, учитывая, что в канонических уравнениях цилиндрических поверхностей отсутствует неизвестная [math]z[/math], т.е. [math]a_{13}=a_{23}=a_{33}=a_3=0[/math], получаем равенства


[math]\tau_1=\tau, \quad \tau_2=\delta, \quad \kappa_1=\kappa, \quad \kappa=\Delta\,,[/math]

где [math]\tau_1,\,\tau_2,\,\kappa_1,\,\kappa_2[/math] — инварианты цилиндрической поверхности, а [math]\tau,\,\delta,\,\kappa\,\Delta[/math] — инварианты линии второго порядка. Например, для параметра параболы [math]y^2=2px[/math] в разд.3.3.5 получена формула [math]p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\tau^3}}[/math]. Следовательно, параметр параболического цилиндра [math]y^2=2px[/math] (в этом уравнении отсутствует неизвестная [math]z[/math]) вычисляется по формуле [math]p=\sqrt{-\frac{\kappa_2}{\tau_1^3}}[/math].


Пример 4.20. По ортогональным инвариантам определить коэффициенты канонических уравнений алгебраических поверхностей второго порядка, заданных в примере 4.18,"а","б","в":


a) [math]x^2+y^2+2\cdot x-4\cdot y+2\cdot z+1=0[/math];

б) [math]x^2+6\cdot y-8\cdot z+10=0[/math];

в) [math]3\cdot x^2-7\cdot y^2+3\cdot z^2+8\cdot x\cdot y- 8\cdot x\cdot z-8\cdot y\cdot z+10\cdot x-14\cdot y-6\cdot z-8=0[/math].


▼ Решение

а) Заданное уравнение определяет эллиптический параболоид (см. решение примера 4.18,"а" или 4.19,"а"). Собственные значения [math]\lambda_1=\lambda_2,[/math] [math]\lambda_3=0[/math] матрицы [math]A[/math] квадратичной формы найдены при решении примера 4.18,"а", инвариант [math]\Delta=-1[/math] вычислен в примере 4.19,"а". Заметим, что корни характеристического уравнения занумерованы в соответствии с условиями [math]\Delta_3=0,[/math] [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|[/math]. Найдем инвариант [math]\tau_2= \lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3=1[/math] и вычислим коэффициенты канонического уравнения


[math]a^2=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1^2\cdot\tau_2}}= \sqrt{-\frac{-1}{1^2\cdot1}}=1, \quad b^2=a^2=1,[/math]

так как [math]\lambda_1=\lambda_2[/math]. Таким образом, каноническое уравнение имеет [math](x')^2+(y')^2=2z'[/math].


б) Заданное уравнение определяет параболический цилиндр (см. решение примера 4.18,"б" или 4.19,"б"). Инварианты [math]\tau_1=1,[/math] [math]\kappa_2=-25[/math] найдены при решении примера 4.19,"б". Вычисляем параметр параболического цилиндра [math]p=\sqrt{-\frac{\kappa_2}{\tau_1^3}}=\sqrt{-\frac{-25}{1^3}}=5[/math]. Таким образом, каноническое уравнение имеет вид [math](y')^2=2\cdot5x'[/math].


в) Заданное уравнение определяет однополостный гиперболоид (см. решение примера 4.18,"в" или 4.19,"в"). Собственные значения [math]\lambda=-1,[/math] [math]\lambda=9,[/math] [math]\lambda=-9[/math] матрицы [math]A[/math] квадратичной формы найдены при решении примера 4.18,"в", инварианты [math]\delta=81[/math] и [math]\Delta=81[/math] вычислены в примере 4.19,"в". Обозначим корни следующим образом: корни одного знака (отрицательные корни) обозначим [math]\lambda_1=-1,[/math] [math]\lambda_2=-9,[/math] так, чтобы [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|[/math], а корень противоположного знака [math]\lambda_3=9[/math]. Вычислим коэффициенты канонического уравнения


[math]a^2= -\frac{\Delta}{\lambda_1\cdot\delta}=-\frac{81}{(-1)\cdot81}=1, \quad b^2= \frac{\Delta}{\lambda_2\cdot\delta}=-\frac{81}{(-9)\cdot81}=\frac{1}{9}, \quad c^2= \frac{\Delta}{\lambda_3\cdot\delta}=-\frac{81}{9\cdot81}=\frac{1}{9}.[/math]

Таким образом, каноническое уравнение имеет вид [math]\frac{(x')^2}{1}+\frac{(y')^2}{1/9}+\frac{(z')^2}{1/9}=1[/math].


Канонические уравнения заданных поверхностей совпадают с полученными в примере 4.18,"а","б","в".




Определение канонического базиса для поверхности 2-го порядка


Ненулевой вектор [math]\vec{s}[/math], а также его координатный столбец [math]s= \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}^T[/math], будем называть собственным вектором поверхности второго порядка (4.58), если выполняется равенство


[math]\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \lambda\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\! \quad\Leftrightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s\,,[/math]
(4.66)

т.е. координатный столбец собственного вектора поверхности (4.S8) является собственным вектором матрицы [math]A[/math] квадратичной формы функции (4.S9). Говорят, что собственный вектор [math]\vec{s}[/math] соответствует (принадлежит) собственному значению [math]\lambda[/math]. Собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению


[math]A\cdot s=0\cdot s \quad\Leftrightarrow\quad A\cdot s=o[/math]

будем называть особым собственным вектором поверхности второго порядка.


Укажем следующие свойства собственных векторов поверхности второго порядка.


▼ Посмотреть

1. Собственный вектор поверхности второго порядка не изменяется при ортогональном преобразовании координат и при умножении обеих частей уравнения поверхности на отличное от нуля число, другими слова ми, поверхности (4.58) и (4.60) имеют одинаковые собственные векторы.


Действительно, согласно пункту 5 замечаний 4.7, собственные векторы квадратичной формы не изменяются при однородном ортогональном преобразовании координат, а именно, если [math]s_1[/math] собственный вектор матрицы [math]A[/math], соответствующий собственному значению [math]\lambda_1[/math], то вектор [math]s'_1=S^{-1}\cdot s_1[/math] является собственным для матрицы [math]A'=S^T\cdot A\cdot S[/math], где [math]S[/math] — ортогональная матрица. При параллельном переносе системы координат матрица квадратичной формы не изменяется ([math]A'=S^T\cdot A\cdot S=A[/math], если [math]S=\mathbf{E}[/math], где [math]\mathbf{E}[/math] — единичная матрица), поэтому не изменяются и ее собственные векторы. Если же обе части уравнения (4.58) умножаются на отличное от нуля число [math]\mu[/math], то все элементы матрицы [math]A[/math], а также ее собственные значения, умножаются на число [math]\mu[/math]. Однако, собственный вектор поверхности не изменяется, поскольку условия [math]A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1[/math] и [math]\mu\cdot A\cdot s_1=\mu\cdot\lambda_1\cdot s_1[/math] равносильны (при [math]\mu\ne0[/math]).


2. Собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.


В самом деле, пусть [math]\vec{s}_1[/math] и [math]\vec{s}_2[/math] — собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям [math](\lambda_1\ne\lambda_2)[/math], т.е. координатные столбцы [math]s_1[/math] и [math]s_2[/math] этих векторов удовлетворяют условиям


[math]A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1[/math] и [math]A\cdot s_2=\lambda_2\cdot s_2[/math]

Первое равенство умножим слева на строку [math]s_2^T[/math], а второе — на [math]s_1^T[/math], и вычтем второе равенство из первого:


[math]s_2^T\cdot A\cdot s_1-s_1^T\cdot A\cdot s_2= \lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2.[/math]

Поскольку при транспонировании число (рассматриваемое как матрица размеров [math]1\times1[/math]) не изменяется (см. разд.П.4), то правую часть этого равенства можно преобразовать к виду


[math]\lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2= \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s_2-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2= (\lambda_1-\lambda_2)\cdot s_1^T\cdot s_2,[/math]

так как [math]s_2^T\cdot s_1=(s_1^T\cdot s_2)^T=s_1^T\cdot s_2[/math], а левая часть рассматриваемого равенства, учитывая симметричность матрицы [math]A~(A^T=A)[/math], равна нулю, так как


[math]s_2^T\cdot A\cdot s_1=(s_1^T\cdot A^T\cdot s_2)^T= s_1^T\cdot A^T\cdot s_2 = s_1^T\cdot A\cdot s_2.[/math]

Следовательно, рассматриваемое равенство можно записать в виде


[math](\lambda_1-\lambda_2)\cdot s_1^T\cdot s_2=0[/math] или [math]s_1^T\cdot s_2=0,[/math] поскольку [math]\lambda_1\ne\lambda_2.[/math]

Последнее равенство означает, что [math]\langle\,\vec{s}_1,\vec{s}_2\,\rangle=s_1^T\cdot s_2=0[/math] — скалярное произведение ненулевых векторов J{ и J2 равно нулю, т.е. они ортогональны.


3. Базисные векторы канонической системы координат являются единичными взаимно ортогональными собственными векторами поверхности.


Действительно, в канонической системе координат матрица [math]A[/math] квадратичной формы имеет диагональный вид


[math]A=\Lambda= \begin{pmatrix}\,\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\,\end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math] — корни характеристического уравнения (см. п.6 замечаний 4.12). Записывая (4.66) для координатных столбцов


[math]s_1= \begin{pmatrix}\,1&0&0\,\end{pmatrix}^T, \quad s_2= \begin{pmatrix}\,0&1&0\,\end{pmatrix}^T, \quad s_3= \begin{pmatrix}\,0&0&1\,\end{pmatrix}^T[/math]

базисных векторов [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3[/math], получаем


[math]\begin{aligned}\begin{pmatrix}\,\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\,\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\!&= \lambda\cdot\! \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\!,\\ \begin{pmatrix}\,\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\,\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\!&= \lambda\cdot\!\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\!,\\ \begin{pmatrix}\,\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\,\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\!&= \lambda\cdot\! \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Первое соотношение выполняется при [math]\lambda=\lambda_1[/math], второе — при [math]\lambda=\lambda_2[/math], третье — при [math]\lambda=\lambda_3[/math]. Следовательно, базисные векторы [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3[/math] являются собственными, соответствующими собственным значениям [math]\lambda=\lambda_1[/math] для первого базисного вектора [math](\vec{s}_1)[/math], [math]\lambda=\lambda_2[/math] — для второго [math](\vec{s}_2)[/math] и [math]\lambda=\lambda_3[/math] — для третьего [math](\vec{s}_3)[/math]. При этом не исключается случай равенства собственных значений.


Таким образом, для определения канонического базиса нужно найти три взаимно ортогональных единичных собственных вектора.


Замечания 4.13


1. Собственные векторы матрицы определяются неоднозначно. Например, если [math]S[/math] — собственный вектор матрицы (или поверхности), то столбец [math]\mu\cdot s[/math] при любом отличном от нуля числе [math]\mu[/math] также является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению [math]\lambda[/math], что и вектор [math]S[/math].


2. Три единичных взаимно ортогональных собственных вектора поверхности второго порядка определяются с точностью до множителя [math](-1)[/math]. Другими словами, каждый из них можно заменить на противоположный, тем самым изменить направление соответствующей координатной оси. Для всех поверхностей, за исключением эллиптического параболоида (7) и параболического цилиндра (14), выбор положительного направления на координатных осях может быть произвольным, другими словами, если, например, вектор [math]\vec{s}_1[/math] базисный, то и противоположный вектор [math](-\vec{s}_1)[/math] также можно взять в качестве базисного. Положительное направление оси [math]O'z'[/math] (базисный вектор [math]\vec{s}_3[/math]) для эллиптического параболоида, а также положительное направление оси [math]O'x'[/math] (базисный вектор [math]\vec{s}_1[/math]) для параболического цилиндра нельзя менять на противоположное. Правильный выбор этих базисных векторов описан ниже в замечании 4.15.


3. Собственные векторы поверхности определяют ее главные направления.




Определение начала канонической системы координат для поверхности 2-го порядка


Пусть в прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] поверхность второго порядка задана уравнением вида (4.58):


[math]a_{11}x^2+ a_{22}y^2+ a_{33}z^2+ 2a_{12}xy+ 2a_{13}xz+ 2a_{23}yz+ 2a_1x+ 2a_2y+ 2a_3z+ a_0=0.[/math]
(4.67)

или в матричной форме:

[math]p(x,y,z)= \begin{pmatrix} x&y&z \end{pmatrix}\cdot\! \underbrace{\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}}_{A}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\!+ 2\cdot\! \begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{pmatrix} \cdot\!\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\!+a_0=0.[/math]

Точка [math]M_0[/math] называется центром симметрии (или просто центром) поверхности второго порядка (4.67), если вместе с каждой своей точкой [math]M[/math] поверхность содержит также и точку [math]M'[/math], симметричную точке [math]M[/math] относительно [math]M_0[/math] (точка [math]M_0[/math] — середина отрезка [math]MM'[/math]).


Поверхность второго порядка называется центральной, если она имеет единственный центр. В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным, поверхность называется нецентральной. Центральными поверхностями являются эллипсоиды, гиперболоиды и конусы (рис.4.48), единственный центр этих поверхностей — начало координат. Остальные поверхности — нецентральные.


Центральные поверхности второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды и конусы

Заметим, что поверхности эллиптического или гиперболического типов являются центральными, а поверхности параболического типа — нецентральными, как это указано в первом столбце таблицы 4.3.


Прямая или плоскость, каждая точка которой является центром симметрии, называются прямой центров или плоскостью центров соответственно. На рис.4.49 изображены поверхности, имеющие прямую центров (эта прямая совпадает с осью аппликат канонической системы координат (двойная линия на рис.4.49)). На рис.4.50 изображены поверхности, имеющие плоскость центров (эта плоскость совпадает с плоскостью [math]Oxz[/math] канонической системы координат (выделена двойными линиями на рис.4.50)).


Прямые центров поверхностей второго порядка

Прямая [math]l_0[/math] называется осью симметрии поверхности второго порядка (4.67), если вместе с каждой своей точкой [math]M[/math] поверхность содержит также и точку [math]M'[/math], симметричную точке [math]M[/math] относительно прямой [math]l_0[/math] (прямая [math]l_0[/math] перпендикулярна отрезку [math]MM'[/math] и делит его пополам).


Плоскости центров поверхностей второго порядка

Оси симметрии имеют все поверхности второго порядка. Если поверхность центральная, то ось симметрии проходит через ее центр. Например, координатные оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипсоидов, гиперболоидов, конусов (см. рис.4.48). Если нецентральная поверхность имеет прямую центров, то эта прямая служит осью симметрии. Например, ось аппликат канонической системы координат для гиперболического или эллиптических цилиндров, или пар пересекающихся плоскостей (см. рис.4.49). Другие координатные оси также являются осями симметрии этих поверхностей. Ось [math]Oz[/math] является единственной осью симметрии для параболоидов (рис.4.51), а ось абсцисс — единственная ось симметрии для параболического цилиндра.


Плоскость [math]\rho_0[/math] называется плоскостью симметрии поверхности второго порядка (4.67), если вместе с каждой своей точкой [math]M[/math] поверхность содержит также и точку [math]M'[/math], симметричную точке [math]M[/math] относительно плоскости [math]\rho_0[/math] (плоскость [math]\rho_0[/math] перпендикулярна отрезку [math]MM'[/math] и делит его пополам).


Оси и плоскость симметрии поверхностей, не имеющих центра

Плоскости симметрии имеют все поверхности второго порядка. Если поверхность центральная, то плоскость симметрии проходит через ее центр. Если нецентральная поверхность имеет прямую центров, то эта прямая принадлежит плоскости симметрии. Например, плоскость [math]Oxz[/math] канонической системы координат для гиперболического или эллиптических цилиндров, или пар пересекающихся плоскостей (см. рис.4.49). Если нецентральная поверхность имеет плоскость центров, то эта плоскость служит плоскостью симметрии поверхности, например, координатная плоскость [math]Oxz[/math] для пар параллельных или совпадающих плоскостей (см. рис.4.50). Эта же плоскость [math]Oxz[/math] является плоскостью симметрии для параболоидов и параболического цилиндра (см. рис.4.51).


Если поверхность (4.67) имеет хотя бы один центр, то этот центр принимается за начало канонической системы координат (см. рис.4.48, 4.49, 4.50). Если поверхность не имеет ни одного центра, то началом канонической системы координат является либо точка пересечения оси симметрии параболоидов с его поверхностью, либо любая точка пересечения плоскости симметрии параболического цилиндра с его поверхностью (см. рис.4.51).


▼ Уравнения для определения центра поверхности 2-го порядка

Составим уравнения для определения центра поверхности (4.67). Для этого сделаем ортогональное преобразование координат (4.62):


[math]\begin{cases}x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y'+s_{13}\cdot z',\\[3pt] y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y'+s_{23}\cdot z',\\[3pt] z=z_0+s_{31}\cdot x'+s_{32}\cdot y'+s_{33}\cdot z',\end{cases}[/math] или [math]\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= s+S\cdot\! \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]s=\begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T[/math] — координатный столбец вектора [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса системы координат, а ортогональная матрица [math]s=(\,s_1\mid s_2\mid s_3\,)[/math] составлена из единичных взаимно ортогональных собственных векторов поверхности (4.67), соответствующих собственным значениям [math]\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3[/math]. В новой системе координат [math]O'x'y'z'[/math] уравнение поверхности будет иметь вид


[math]\lambda_1\cdot(x')^2+ \lambda_2\cdot(y')^2+\lambda_3\cdot(z')^2+ 2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+2\cdot a'_3\cdot z'+a_0=0,[/math]
(4.68)

где, согласно (4.56), матрица
[math]A'=S^T\cdot A\cdot S=\Lambda= \begin{pmatrix}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{pmatrix}[/math]

— диагональная, столбец коэффициентов линейной [math]a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)[/math], а свободный член [math]a'_0=s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0[/math].


Если в уравнении (4.68) отсутствуют линейные члены [math](a'=o)[/math], то начало координат [math]O'[/math] является центром симметрии, поскольку при одновременной замене неизвестных


[math]x'\,\leftrightarrow\,(-x'), \quad y'\,\leftrightarrow\,(-y'), \quad z'\,\leftrightarrow\,(-z')[/math]

уравнение (4.68) не изменяется. Другими словами, если координаты точки [math]M(x',y',z')[/math] удовлетворяют уравнению, то и координаты [math](-x',-y',-z')[/math] точки, симметричной точке [math]M[/math] относительно начала координат, также удовлетворяют уравнению.


Так как матрица [math]S[/math] невырожденная, то равенство [math]a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)=o[/math] равносильно системе линейных уравнений (см. разд.4.2.5):


[math]A\cdot s+a=o \quad\text{or}\quad \begin{cases} a_{11}\cdot x_0+a_{12}\cdot y_0+a_{13}\cdot z_0+a_1=0,\\[3pt] a_{12}\cdot x_0+a_{22}\cdot y_0+a_{23}\cdot z_0+a_2=0,\\[3pt] a_{13}\cdot x_0+a_{23}\cdot y_0+a_{33}\cdot z_0+a_3=0,\end{cases}[/math]
(4.69)

которая определяет координаты [math]x_0,\,y_0,\,z_0[/math] центра симметрии, т.е. точки [math]O'[/math]. Эта система имеет единственное решение только тогда, когда


[math]\delta=\,\,\vline\,\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}\,\,\vline\,\ne0[/math] или [math]\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid a)=3[/math]

Следовательно, условие [math]\delta\ne0[/math] является критерием наличия единственного центра (т.е. критерием для центральных поверхностей).


При [math]\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid a)=2[/math] или при [math]\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid a)=1[/math] система (4.69) имеет бесконечно много решений, т.е. центры симметрии поверхности образуют прямую или плоскость центров соответственно. При [math]\operatorname{rang}A<\operatorname{rang}(A\mid a)[/math] система не имеет решений, т.е. поверхность не имеет ни одного центра (см. рис.4.51).


Таким образом, для поверхностей второго порядка, имеющих хотя бы один центр симметрии, этот центр служит началом [math]O'[/math] канонической системы координат системы [math]O'x'y'z'[/math]. Координаты [math]x_0,\,y_0,\,z_0[/math] находятся как решение системы (4.69), причем это решение единственное для центральных поверхностей.


Рассмотрим теперь случай, когда система (4.69) несовместна. В этом случае поверхность (4.67) не имеет ни одного центра (см. рис.4.51), т.е. является либо параболоидом (эллиптическим или гиперболическим), либо параболическим цилиндром.


▼ Уравнения плоскостей и осей симметрии поверхности 2-го порядка

Получим уравнения плоскостей и осей симметрии поверхности (4.67). Для этого запишем столбец [math]a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)[/math] коэффициентов линейных членов уравнения (4.68), учитывая, что матрица [math]S[/math] составлена из собственных векторов матрицы [math]A[/math], т.е. [math]S^T\cdot A=\Lambda\cdot S^T[/math] (последнее равенство можно считать матричной формой записи (4.66)):


[math]S^T\cdot A=\Lambda\cdot S^T= \begin{pmatrix}\lambda_1&0&0\\[3pt]0&\lambda_2&0\\[3pt]0&0&\lambda_3\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}s_1^T\\[3pt]s_2^T\\[3pt]s_3^T\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda_1\cdot s_1^T\\[3pt] \lambda_2\cdot s_2^T\\[3pt] \lambda_3\cdot s_3^T\end{pmatrix}\!,[/math] то есть [math]a'=\begin{pmatrix} \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a\\[3pt] \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a\\[3pt] \lambda_3\cdot s_3^T\cdot s+s_3^T\cdot a\end{pmatrix}\!.[/math]

Если [math]\lambda_1\ne0[/math], то уравнение [math]\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0[/math], или в координатной форме


[math]\lambda_1\cdot(s_{11}\cdot x_0+s_{21}\cdot y_0+s_{31}\cdot z_0)+s_{11}\cdot a_1+s_{21}\cdot a_2+s_{31}\cdot a_3=0,[/math]

имеет решение [math]s= \begin{pmatrix}x_0&y_0&z_0\end{pmatrix}^T[/math]. Тогда, взяв точку [math]O'(x_0,y_0,z_0)[/math] в качестве начала системы координат [math]O'x'y'z'[/math], получим уравнение (4.68), в котором будет отсутствовать линейный член с неизвестной [math]x'[/math], так как [math]a'_1=\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0[/math]. Такое уравнение при замене неизвестной [math]x'\leftrightarrow(-x')[/math] не изменяется. Другими словами, если координаты точки [math]M(x',y',z')[/math] удовлетворяют уравнению (4.68), то и координаты [math](-x',y',z')[/math] точки, симметричной точке [math]M[/math] относительно плоскости [math]O'y'z'[/math], также удовлетворяют уравнению (4.68) (при [math]a'_1=0[/math]). Следовательно, если уравнение [math]\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0[/math] имеет решения, то оно определяет плоскость симметрии [math]O'y'z'[/math] поверхности (4.67).


В случаях эллиптического или гиперболического параболоидов собственные значения [math]\lambda_1[/math] и [math]\lambda_2[/math] отличны от нуля (при этом [math]\lambda_3=0[/math]), поэтому система уравнений


[math]\begin{cases}\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0,\\ \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0\end{cases}[/math]
(4.70)

совместна. Первое уравнение системы определяет плоскость симметрии [math]O'y'z'[/math], второе уравнение системы — плоскость симметрии [math]O'x'z'[/math], а сама система — ось симметрии [math]O'z'[/math] параболоидов (как пересечение координатных плоскостей). Заметим, что ось симметрии, определяемая системой (4.70), коллинеарна особому собственному вектору [math]\vec{s}_3[/math] (соответствующему нулевому собственному значению [math]\lambda_3=0[/math]).


Обозначим через [math]\vec{a}[/math] вектор с координатным столбцом [math]a[/math], составленным из коэффициентов линейной формы в левой части уравнения (4.67). Представим этот вектор (а также его координатный столбец) в виде


[math]\vec{a}=\vec{a}_{\text{pr}}+\vec{a}_{\perp} \quad\Leftrightarrow\quad a=a_{\text{pr}}+a_{\perp},[/math]

где [math]\vec{a}_{\text{pr}}=\langle\vec{a},\vec{s}_3\rangle\cdot\vec{s}_3[/math] — ортогональная проекция вектора [math]\vec{a}[/math] на ось симметрии (4.70), коллинеарную [math]\vec{s}_3[/math]; [math]\vec{a}_{\perp}=\vec{a}-\vec{a}_{\text{pr}}[/math] — ортогональная составляющая вектора а относительно оси (4.70); [math]a_{\text{pr}},\,a_{\perp}[/math] — координатные столбцы соответствующих векторов. Тогда для указанного разложения вектора [math]\vec{a}[/math] справедливы равенства

[math]s_1^T\cdot a=s_1^T\cdot a_{\perp}, \quad s_2^T\cdot a=s_2^T\cdot a_{\perp}, \quad s_3^T\cdot a=s_3^T\cdot a_{\perp},[/math]

поскольку

[math]s_1^T\cdot a=\langle\vec{s}_1, \vec{a}\rangle= \langle \vec{s}_1,\,\vec{a}_{\text{pr}}+\vec{a}_{\perp}\rangle= \underbrace{ \langle\vec{s}_1,\vec{a}_{\text{pr}}\rangle}_{0}+ \langle \vec{s}_1, \vec{a}_{\perp}\rangle= \langle\vec{s}_1, \vec{a}_{\perp} \rangle= s_1^T\cdot a_{\perp}.[/math]

Аналогично доказывается второе равенство, а третье равенство следует из ортогональности векторов [math]\vec{s}_3[/math] и [math]\vec{a}_{\perp}:[/math]


[math]s_3^T\cdot a_{\perp}=\langle\vec{s}_3,\vec{a}_{\perp}\rangle=0.[/math]

Найдем координаты точки [math]O'[/math] пересечения оси симметрии (4.70) с поверхностью (4.67), т.е. найдем такой столбец [math]s[/math], удовлетворяющий (4.70), чтобы [math]s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=0[/math]. Для этого, учитывая (4.70) и равенства


[math]A=S\cdot\Lambda\cdot S^T=S^{-1}, \quad S=(\,s_1\mid s_2\mid s_3\,), \quad \lambda_3=0,[/math]

преобразуем произведение


[math]A\cdot s=S\cdot\Lambda\cdot S^T\cdot s= S\cdot\!\begin{pmatrix} \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s\\[3pt] \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s\\[3pt] \lambda_1\cdot s_3^T\cdot s\end{pmatrix}= S\cdot\!\begin{pmatrix}-s_1^T\cdot a\\[3pt] -s_2^T\cdot a\\[3pt] 0\end{pmatrix}= -S\cdot\!\begin{pmatrix}s_1^T\cdot a_{\perp}\\[3pt] s_2^T\cdot a_{\perp}\\[3pt] s_3^T\cdot a_{\perp}\end{pmatrix}= -S\cdot S^T\cdot a_{\perp}=-a_{\perp}.[/math]

Таким образом, столбец [math]S[/math] удовлетворяет уравнению [math]A\cdot s+a_{\perp}=o[/math]. Поскольку матрица [math]A[/math] симметрическая, то [math]s^T\cdot A=-a_{\perp}^T[/math] и


[math]s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0= -a_{\perp}^T\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0= (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0.[/math]

Добавляя уравнение [math](a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0[/math] к системе (4.70), получаем систему уравнений для нахождения начала [math]O'[/math] канонической системы координат для параболоидов:


[math]\begin{cases}\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0,\\[3pt] \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0, \end{cases}a_{\text{pr}}=(a^T\cdot s_3)\cdot s_3.[/math]
(4.71)

В случае параболического цилиндра собственное значение [math]\lambda_2[/math] отлично от нуля (при этом [math]\lambda_1=\lambda_3=0[/math]), поэтому уравнение [math]\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0[/math] определяет плоскость [math]O'x'z'[/math] симметрии параболического цилиндра. В качестве координат начала канонической системы координат можно взять любое решение системы уравнений


[math]\begin{cases} \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\[3pt] s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=0. \end{cases}[/math]

Последнее уравнение можно записать так же, как последнее уравнение системы (4.71):


[math]\begin{cases} \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\[3pt] (a+a_{\text{pr}})^T\cdot s+a_0=0. \end{cases}[/math]
(4.72)

где [math]a_{\text{pr}}=a-a_{\perp},~a_{\perp}=(a^T\cdot s_2)^T\cdot s_2[/math], т.е. [math]\vec{a}_{\text{pr}}[/math] — ортогональная проекция вектора [math]\vec{a}[/math] на плоскость, компланарную особым собственным векторам [math]\vec{s}_1[/math] и [math]\vec{s}_3[/math]; [math]\vec{a}_{\perp}[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]\vec{a}[/math] относительно этой плоскости.


Замечания 4.14


1. Определение центра, оси или плоскости симметрии равным образом относится как к вещественным, так и мнимым поверхностям, т.е. включает случай комплексных решений. При этом оказывается, что координаты любого центра поверхности, любой точки оси или плоскости симметрии являются вещественными.


2. Система уравнений [math]A\cdot s+a_{\perp}=o[/math] всегда совместна: ее решениями являются координаты центра симметрии, если поверхность имеет центр; либо координаты оси симметрии (коллинеарной особому собственному вектору) или плоскости симметрии (компланарной особым собственным векторам), если поверхность не имеет центра.


3. Если система уравнений [math]A\cdot s+a=o[/math] не имеет решений [math](\operatorname{rang}A<\operatorname{rang}(A\mid a)\,)[/math], т.е. поверхность не имеет ни одного центра, то система [math]\begin{cases}A\cdot s+a_{\perp}=o,\\[3pt] (a+a_{\perp})^T\cdot s+a_0=0\end{cases}[/math] совместна и ее решение определяет начало канонической системы координат. Другими словами, эта система равносильна системе (4.71) в случае параболоидов и системе (4.72) в случае параболического цилиндра.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved