Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Классификация линий второго порядка по инвариантам | |
---|---|
Онлайн-сервисы
Нахождение НОД и НОК
Разложение числа на простые множители
Сравнения по модулю
Операции над множествами
Операции над векторами
Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис
Чертёж треугольника по координатам вершин
Решение треугольника
Решение Пирамиды
Построение Пирамиды по координатам вершин
Чертёж многоугольника по координатам вершин
Решение систем методом Крамера и Матричным
Онлайн построение графика кривой 2-го порядка
Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам
МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики
Онлайн число, сумма и дата прописью
Алгоритмы JavaScript
Алгоритмы поиска
Алгоритмы сортировки
Уникальные элементы массива
Объединение, пересечение и разность массивов
НОД и НОК
Операции над матрицами
Дата прописью
Введение в анализ
Функции: понятие, определение, графики
Непрерывность функции
Исследование функции и построение графика
Теория множеств
Множества: понятие, определение, примеры
Точечные множества
Замкнутые и открытые множества
Мера множества
Группы, кольца, поля в математике
Поле комплексных чисел
Кольцо многочленов
Основная теорема алгебры и ее следствия
Математическая логика
Алгебра высказываний
Аксиоматика и логические рассуждения
Методы доказательств теорем
Алгебра высказываний и операции над ними
Формулы алгебры высказываний
Тавтологии алгебры высказываний
Логическая равносильность формул
Нормальные формы для формул высказываний
Логическое следование формул
Приложение алгебры высказываний для теорем
Дедуктивные и индуктивные умозаключения
Решение логических задач
Принцип полной дизъюнкции
Булевы функции
Множества, отношения и функции в логике
Булевы функции от одного и двух аргументов
Булевы функции от n аргументов
Системы булевых функций
Применение булевых функций к релейно-контактным схемам
Релейно-контактные схемы в ЭВМ
Практическое применение булевых функций
Теория формального
Формализованное исчисление высказываний
Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний
Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний
Логика предикатов
Логика предикатов
Логические операции над предикатами
Кванторные операции над предикатами
Формулы логики предикатов
Тавтологии логики предикатов
Преобразования формул и следование их предикатов
Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул
Применение логики предикатов в математике
Строение математических теорем
Аристотелева силлогистика и методы рассуждений
Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
Метод полной математической индукции
Необходимые и достаточные условия
Логика предикатов и алгебра множеств
Формализованное исчисление предикатов
Неформальные и формаль-ные аксиоматические теории
Неформальные аксиоматические теории
Свойства аксиоматических теорий
Формальные аксиоматические теории
Формализация теории аристотелевых силлогизмов
Свойства формализованного исчисления предикатов
Формальные теории первого порядка
Формализация математической теории
Теория алгоритмов
Интуитивное представление об алгоритмах
Машины Тьюринга и тезис
Рекурсивные функции
Нормальные алгоритмы Маркова
Разрешимость и перечислимость множеств
Неразрешимые алгоритмические проблемы
Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики
Математическая логика и компьютеры
Дискретная математика
Множества и отношения
Теория множеств: понятия и определения
Операции над множествами
Кортеж и декартово произведение множеств
Соответствия и бинарные отношения на множествах
Операции над соответствиями на множествах
Семейства множеств
Специальные свойства бинарных отношений
Отношения эквивалентности на множестве
Упорядоченные множества
Теорема о неподвижной точке
Мощность множества
Парадокс Рассела
Метод характеристических функций
Группы и кольца
Алгебраические структуры и операции
Группоиды, полугруппы, группы
Кольца, тела, поля
Области целостности в теории колец
Модули и линейные пространства
Подгруппы и подкольца
Теорема Лагранжа о порядке конечной группы
Гомоморфизмы групп и нормальные делители
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Алгебра кватернионов
Полукольца и булевы алгебры
Полукольца: определение, аксиомы, примеры
Замкнутые полукольца
Полукольца и системы линейных уравнений
Булевы алгебры и полукольца
Решетки и полурешетки
Алгебраические системы
Алгебраические системы: модели и алгебры
Подсистемы алгебраических систем
Конгруэнции и фактор-системы
Гомоморфизмы алгебраических систем
Прямые произведения алгебраических систем
Конечные булевы алгебры
Многосортные алгебры
Теория графов
Теория графов: основные понятия и определения
Способы представления графов
Неориентированные и ориентированные деревья
Остовное дерево и алгоритм Краскала
Методы систематического обхода вершин графа
Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах
Задача о путях во взвешенных ориентированных графах
Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов
Топологическая сортировка вершин графа
Элементы цикломатики в теории графов
Булева алгебра и функции
Булевы функции и булев куб
Таблицы булевых функций и булев оператор
Равенство булевых функций. Фиктивные переменные
Формулы и суперпозиции булевых функций
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Построение минимальных ДНФ
Теорема Поста и классы
Критерий Поста
Схемы из функциональных элементов
Конечные автоматы и регулярные языки
Конечные автоматы и регулярные языки
Алфавит, слово, язык в программировании
Порождающие грамматики (грамматики Хомского)
Классификация грамматик и языков
Регулярные языки и регулярные выражения
Конечные автоматы
Допустимость языка конечным автоматом
Теорема Клини
Детерминизация конечных автоматов
Минимизация конечных автоматов
Лемма о разрастании для регулярных языков
Обоснование алгоритма детерминизации автоматов
Конечные автоматы с выходом
Морфизмы и конечные подстановки
Машины Тьюринга
Контекстно-свободные языки
Контекстно-свободные языки и грамматики
Приведенная форма КС-грамматики
Лемма о разрастании для КС-языков
Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью)
Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике
Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату
Алгебраические свойства КС-языков
Основное свойство суперпозиции КС-языков
Пересечение контекстно-свободных языков
Методы синтаксического анализа КС-языков
Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики
Семантика формальных языков
Принцип индукции по неподвижной точке
Графовое представление МП-автоматов
Интегральное исчисление
Неопределённый и определённый
Неопределенный и определенный интегралы
Свойства интегралов
Интегрирование по частям
Интегрирование методом замены переменной
Интегрирование различных рациональных функций
Интегрирование различных иррациональных функций
Интегрирование различных тригонометрических функций
Определенный интеграл и его основные свойства
Необходимое и достаточное условие интегрируемости
Теоремы существования первообразной
Свойства определенных интегралов
Несобственные интегралы
Интегральное определение логарифмической функции
Приложения интегралов
Вычисление площадей плоских фигур
Площади фигур в различных координатах
Вычисление объемов тел с помощью интегралов
Объём тела вращения
Вычисление длин дуг кривых
Формулы длины дуги регулярной кривой
Кривизна плоской кривой
Площадь поверхности вращения тела
Интегралы в физике
Статические моменты и координаты центра тяжести
Теоремы Гульдина–Паппа
Вычисление моментов инерции
Другие приложения интегралов в физике
Основные интегралы
Вариационное исчисление
Примеры вариационных задач
Дифференциальное уравнение Эйлера
Функционалы, зависящие от нескольких функций
Задача о минимуме кратного интеграла
Финансовый анализ
Анализ эффективности
Критерии и показатели эффективности предприятия
Методы анализа эффективности деятельности
Факторный анализ прибыли от операционной деятельности
Анализ безубыточности предприятия
Операционный рычаг и эффект финансового рычага
Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов
Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала
Анализ распределения прибыли предприятия
Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности
Анализ устойчивости
Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность
Характеристика типов финансовой устойчивости
Рыночная активность
Финансовый анализ рыночной активности
Методика анализа рыночной активности
Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию
Инвестиционная деятельность
Инвестиции: экономическая сущность и классификация
Государственное регулирование инвестиционной деятельности
Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения
Инвестиции в основные фонды
Оценка состояния основных фондов
Амортизация основных фондов
Капитальное строительство в инвестиционном процессе
Планирование инвестиций в форме капитальных вложений
Экономическая эффективность инвестиций
Финансирование капитальных вложений
Кредитование капитальных вложений
Кредитоспособность
Финансирование и кредитование затрат
Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации
Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации
Инвестиционное строительное проектирование
Анализ инвестиций
Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия
Задачи финансового анализа инвестиций предприятия
Учет фактора времени в инвестиционной деятельности
Аннуитет и финансовая рента в инвестициях
Учет фактора инфляции при инвестировании
Оценка фактора риска инвестиционного проекта
Методы оценки эффективности инвестиций
Показатели эффективности инвестиционного проекта
Стоимость компании
Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО)
Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности
Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании
Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости
Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия
Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций
Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций
Доходный подход к оценке стоимости компании и акций
Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции
Метод капитализации прибыли
Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций
Форвардные контракты
Форвардный контракт и цена
Форвардная цена акции на бирже
Цена форвардного контракта инвестора
Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда
Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда
Форвардная цена валюты на рынке форекс
Форвардный валютный курс и инфляция на рынке
Форвардная цена товара и спотовый рынок
Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам
Синтетический форвардный контракт на акции и валюту
Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей
Зависимые и независимые случайные события
Повторные независимые испытания
Формула Бернулли
Одномерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Функции случайных величин
Законы распределения целочисленных случайных величин
Законы распределения непрерывных случайных величин
Предельные теоремы теории вероятностей
Закон больших чисел и предельные теоремы
Вероятностные закономерности
Математическая статистика
Элементы математической статистики
Выборочный метод
Оценки параметров генеральной совокупности
Статистические гипотезы
Критерии согласия
Теоретические и эмпирические частоты
Теория очередей (СМО)
Определение системы массового обслуживания
Уравнения Колмогорова
Предельные вероятности состояний
Определение СМО с отказами
Определение СМО с ожиданием (очередью)
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра
Метрические понятия и аксиомы геометрии
Равенство и подобие геометрических фигур
Бинарные отношения
Вектор, его направление и длина
Линейные операции над векторами
Линейная зависимость и независимость векторов
Отношение коллинеарных векторов
Проекции векторов на прямую и на плоскость
Угол между векторами
Ортогональные проекции векторов
Координата вектора на прямой и базис
Координаты вектора на плоскости и базис
Координаты вектора в пространстве и базис
Операции над векторами в координатной форме
Ортогональный и ортонормированный базисы
Cкалярное произведение векторов и его свойства
Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Векторное произведение векторов и его свойства
Смешанное произведение векторов и его свойства
Ориентированные площади и объемы
Двойное векторное произведение и его свойства
Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур
Применение произведений векторов при решении геометрических задач
Применение векторной алгебры в механике
Системы координат
Прямоугольные координаты
Преобразования прямоугольных координат
Полярная система координат
Цилиндрическая система координат
Сферические координаты
Аффинные координаты
Аффинные преобразования координат
Аффинные преобразования плоскости
Примеры аффинных преобразований плоскости
Аффинные преобразования пространства
Многомерное координатное пространство
Линейные и аффинные подпространства
Скалярное произведение n-мерных векторов
Преобразования систем координат
Геометрия на плоскости
Алгебраические линии на плоскости
Общие уравнения геометрических мест точек
Алгебраические уравнения линий на плоскости
Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору
Уравнения прямой, проходящей через две точки
Уравнения прямой с угловым коэффициентом
Взаимное расположение прямых
Примеры задач с прямыми на плоскости
Системы неравенств с двумя неизвестными
Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
Линии 2-го порядка
Канонические уравнения линий второго порядка
Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду
Эллипс
Гипербола
Парабола
Квадратичные неравенства с двумя неизвестными
Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты линий
Классификация линий 2-го порядка по инвариантам
Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам
Геометрия в пространстве
Способы задания ГМТ в пространстве
Алгебраические уравнения поверхностей
Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам
Уравнения плоскости, проходящей через три точки
Взаимное расположение плоскостей
Типовые задачи с плоскостями
Уравнения прямых в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Типовые задачи с прямыми в пространстве
Поверхности 2-го порядка
Канонические уравнения поверхностей
Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду
Поверхности второго порядка
Эллипсоиды
Гиперболоиды
Конусы
Параболоиды
Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты поверхностей
Линейная алгебра
Матрицы и операции
Линейные операции над матрицами
Умножение матриц
Возведение матриц в степень
Многочлены от матриц
Транспонирование и сопряжение матриц
Блочные матрицы
Произведение и сумма матриц Кронекера
Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
Элементарные преобразования матриц
Определители
Определители матриц и их основные свойства
Формула полного разложения определителя
Формула Лапласа полного разложения определителя
Определитель произведения матриц
Методы вычисления определителей
Ранг матрицы
Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы
Ранг матрицы и базисный минор матрицы
Методы вычисления ранга матрицы
Ранг системы столбцов (строк)
Обратная матрица
Обратные матрицы и их свойства
Ортогональные и унитарные матрицы
Способы нахождения обратной матрицы
Матричные уравнения
Односторонние обратные матрицы
Скелетное разложение матрицы
Полуобратная матрица
Псевдообратная матрица
Системы уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Структура общего решения системы уравнений
Решение систем с помощью полуобратных матриц
Псевдорешения системы линейных уравнений
Функциональные матрицы
Функциональные матрицы скалярного аргумента
Производные матриц по векторному аргументу
Линейные и квадратичные формы и их преобразования
Приведение форм к каноническому виду
Закон инерции вещественных квадратичных форм
Знакоопределенность форм вещественных квадратичных
Формы и исследование функций на экстремум
Многочленные матрицы
Многочленные матрицы (лямбда-матрицы)
Операции над лямбда-матрицами
Простые преобразования многочленных матриц
Инвариантные множители многочленной матрицы
Функции от матриц
Собственные векторы и значения матрицы
Подобие числовых матриц
Характеристический многочлен матрицы
Минимальный многочлен матрицы
Теорема Гамильтона-Кэли
Жорданова форма матрицы
Приведение матрицы к жордановой форме
Многочлены от матриц
Применение многочленов от матриц
Функции от матриц
Линейные пространства
Линейные пространства: определение и примеры
Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов
Размерность и базис линейного пространства
Преобразования координат в линейном пространстве
Изоморфизм линейных пространств
Подпространства
Подпространства линейного пространства
Пересечение и сумма подпространств
Способы описания подпространств
Нахождение дополнения и суммы подпространств
Нахождение пересечения подпространств
Линейные отображения
Линейные многообразия
Линейные отображения
Матрица линейного отображения
Ядро и образ линейного отображения
Линейные операторы
Линейные операторы (преобразования)
Инвариантные подпространства
Собственные векторы и значения оператора
Свойства собственных векторов операторов
Канонический вид линейного оператора
Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду
Евклидовы пространства
Евклидовы пространства
Ортогональные векторы евклидова пространства
Ортогональный базис евклидова пространства
Ортонормированный базис евклидова пространства
Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве
Задача о перпендикуляре
Матрица и определитель Грама и его свойства
Линейные преобразования евклидовых пространств
Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства
Сопряженные операторы евклидова пространства
Самосопряженные операторы евклидова пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
Унитарные пространства и их линейные преобразования
Комплексный анализ
Комплексные числа
Комплексные числа в алгебраической форме
Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
Множества на комплексной плоскости
Последовательности и ряды комплексных чисел
Комплексные функции
Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная
Элементарные функции комплексного переменного
Дифференцирование функций комплексного переменного
Аналитические функции и их свойства
Конформные отображения
Функциональные ряды в комплексной области
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного
Функциональные ряды и последовательности
Степенные ряды и их свойства
Разложение функций в степенные ряды
Нули аналитических функций
Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням
Особые точки, Вычеты
Изолированные особые точки функций и полюсы
Вычеты и их применение
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Вычеты и расположение нулей многочлена
Операционное исчисление
Дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка
Основные понятия и определения ДУ
Метод изоклин для ДУ 1-го порядка
Метод последовательных приближений
ДУ с разделяющимися переменными
Однородные ДУ
Линейные ДУ 1-го порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли
ДУ в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
ДУ, не разрешенные относительно производной
Дифференциальное уравнение Риккати
Составление ДУ семейств линий
Задачи на траектории
Особые решения ДУ
ДУ высших порядков
Понятия и определения ДУ высших порядков
ДУ, допускающие понижение порядка
Линейная независимость функций
Определители Вронского и Грама
Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Задача Коши и Уравнение Эйлера
Линейные ДУ с переменными коэффициентами
Метод Лагранжа решения ДУ
Краевые задачи для ДУ высших порядков
Разложение решения ДУ в степенной ряд
Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд
Нахождение периодических решений ДУ
Асимптотическое интегрирование ДУ
Системы ДУ
Системы ДУ: понятия и определения
Сведение системы ДУ к одному уравнению
Нахождение интегрируемых комбинаций
Интегрирование однородных линейных систем ДУ
Методы интегрирования неоднородных систем ДУ
Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем
Теория устойчивости
Численные методы
Методы алгебры
Численные методы линейной алгебры
Численные методы решения СЛАУ
Итерационный метод Шульца обратной матрицы
Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы
Методы решения нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Методы теории приближений
Методы приближения сеточных функций
Методы функциональной интерполяции
Методы интегрально-дифференциальной интерполяции
Методы интегрального сглаживания
Методы интерполяции и сглаживания сплайнами
Методы численного дифференцирования и интегрирования
Методы численного дифференцирования
Методы численного интегрирования
Методы решения обыкновенных ДУ
Численные методы решения задачи Коши
Разностные схемы для решения задачи Коши
Составные схемы для решения задачи Коши
Экстраполяционные методы решения задачи Коши
Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши
Численные методы решения краевых задач
Методы решения ДУ в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными
Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка
Численные методы решения уравнений в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными
|
Классификация линий второго порядка по инвариантамПреобразования квадратичной функцииРассмотрим преобразование квадратичной функции (3.52) при линейной невырожденной замене переменных: (3.53) где При любой невырожденной замене переменных квадратичной функции (3.54) Формулы, связывающие коэффициенты функций (3.52) и (3.54)Найдем формулы, связывающие коэффициенты функций (3.52) и (3.54). Представим квадратичные функции в матричном виде (см. пункт 6 замечаний 3.1): где невырожденная матрица, поскольку Подставляя Сравнивая с (3.55) Формулы для квадратичных функций (3.52), (3.54)Получим аналогичные формулы для квадратичных функций (3.52), (3.54), представленных в виде суммы квадратичных и линейных форм (см. пункт 6 замечаний 3.1): где Учитывая свойства выражающее свойство транспонирования скалярного выражения (число, рассматриваемое как матрица размеров Сравнивая с (3.56) Итак, формулы (3.55) и (3.56) выражают преобразования квадратичных функций при линейной невырожденной замене переменных (3.53). Ортогональные инварианты квадратичной функцииВыражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции (3.52), которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных (3.53), называются инвариантами относительно аффинной замены переменных или, короче, аффинными инвариантами квадратичной функции. Например, знак определителя поскольку определитель произведения матриц равен произведению их определителей и Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции (3.52), которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных (3.53) с ортогональной матрицей Обозначим через выражения, зависящие от коэффициентов функции (3.57) а через которая получается из (3.58) где Теорема (3.4) об ортогональных инвариантах. При любой ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражения Выражения ДоказательствоДействительно, из равенства (3.55) Для ортогональной матрицы Поскольку Рассмотрим теперь квадратичную функцию двух переменных после замены переменных (3.58) преобразуется по закону (3.56): Поскольку Следовательно, при любой ортогональной замене переменных (3.58) Раскрывая определители, с учетом введенных обозначений получаем тождественное равенство двух многочленов Приравнивая коэффициенты, имеем: Замечания 3.12 1. При любой однородной Выражение 2. Если у квадратичной функции (3.52) 3. Характеристическим многочленом квадратной матрицы 4. Из доказательства теоремы 3.4 следует, что характеристический многочлен матрицы квадратичной формы не изменяется при ортогональной замене переменных, т.е. является ортогональным инвариантом. 5. Корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы являются ортогональными инвариантами. Это следует из ортогональной инвариантности характеристического многочлена. 6. Из доказательства теоремы 3.3 следует, что для любой квадратичной функции (3.52) существует такая ортогональная замена переменных (3.53): т.е. матрица Записывая характеристический многочлен этой матрицы, получаем т.е. числа Отсюда получаем: 7. Корни 8. При линейной невырожденной замене переменных (соответственно, при преобразовании аффинных, не обязательно прямоугольных, систем координат) не изменяется знак выражений 9. При умножении квадратичной функции Поскольку все коэффициенты функции Отсюда следует, например, что знаки выражений Определение вида канонического уравнения линии 2-го порядка по инвариантамПусть в прямоугольной системе координат (3.59) где Согласно теореме 3.3, в любой другой прямоугольной системе координат (3.60) где квадратичная функция (3.61) получена из квадратичной функции (3.62) Здесь Корни характеристических уравнений матриц квадратичных форм, инварианты и семиинварианты квадратичных функций По теореме 3.3 и пункт 9 замечаний 3.12 эти выражения связаны формулами (3.63) Используя эти связи, выясним признаки видов канонических уравнений, а также выразим коэффициенты канонических уравнений. Предполагаем, что система координат Коэффициенты при квадратах неизвестных в канонических уравнениях (1)-(9) равны корням – корни – корни – один из корней Тип уравнения (3.59) не изменяется в ходе приведения его к каноническому виду (3.60), так как, согласно (3.63), выражения Рассмотрим уравнения эллиптического типа (δ > 0)Для уравнения (1) эллипса значит, Следовательно, т.е. Таким образом, при Для уравнения (2) мнимого эллипса Для уравнения (3) пары мнимых пересекающихся прямых Рассмотрим уравнения гиперболического типа (δ < 0)Для уравнения (4) гиперболы значит, Следовательно, Таким образом, при Для уравнения (5) пары пересекающихся прямых Рассмотрим уравнения параболического типа (δ = 0)Для уравнения (6) параболы значит, Таким образом, при Для уравнения (7) пары параллельных прямых Значит, Таким образом, при Для уравнения (8) пары мнимых параллельных прямых Для уравнения (9) пары совпадающих прямых Таким образом, классификацию поверхностей второго порядка можно записать, используя инварианты квадратичной функции (см. таблицу 3.2). Замечания 3.13 1. Матрица квадратичной формы для левой части канонических уравнений имеет диагональный вид – для эллиптического случая (при – для гиперболического случая (при – для параболического случая (при 2. Отношения Поскольку отношение 3. Тип линии не изменяется при аффинном преобразовании координат (см. пункт 6 замечаний 3.12), так как сохраняется знак Таблица 3.2. Классификация линий второго порядка по инвариантам Пример 3.23. По ортогональным инвариантам определить виды алгебраических линий второго порядка, заданных в примере 3.19: а) б) в) г) Решениеа) Для квадратичной функции По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает пару пересекающихся прямых, так как б) Для квадратичной функции По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает параболу, так как в) Для квадратичной функции По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает гиперболу, так как г) Для квадратичной функции По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает эллипс, так как Классификация заданных линий совпадает с результатами примера 3.19. Определение канонического базиса для линии второго порядкаНенулевой столбец Число Ненулевой вектор если выполняется равенство (3.64) т.е. координатный столбец собственного вектора линии второго порядка является собственным вектором матрицы Перенося неизвестные в левую часть, запишем систему уравнений (3.64) в виде Эта однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю: Свойства собственных векторов линии второго порядка1. Собственный вектор линии второго порядка не изменяется при ортогональном преобразовании координат и при умножении обеих частей уравнения линии на отличное от нуля число, другими словами, линии (3.59) и (3.60) имеют одинаковые собственные векторы. ДоказательствоПокажем сначала, что собственный вектор не изменяется при однородном ортогональном преобразовании координат. Действительно, пусть т.е. При параллельном переносе системы координат матрица квадратичной формы не изменяется 2. Собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны. ДоказательствоВ самом деле, пусть Поскольку при транспонировании число (рассматриваемое как матрица размеров 1×1) не изменяется, то правую часть этого равенства можно преобразовать к виду так как Следовательно, рассматриваемое равенство можно записать в виде поскольку 3. Базисные векторы канонической системы координат являются единичными взаимно ортогональными собственными векторами линии. ДоказательствоДействительно, в канонической системе координат Первое соотношение выполняется при Таким образом, для определения канонического базиса нужно найти два взаимно ортогональных единичных собственных вектора. Замечания 3.14 1. Собственные векторы матрицы определяются неоднозначно. Например, если 2. Матрицу Доказательство пункта 2В самом деле, пусть Составим из координатных столбцов Во-вторых, ортогональное преобразование координат с этой матрицей приводит матрицу 3. Два единичных взаимно ортогональных собственных вектора линии второго порядка определяются с точностью до множителя (–1), т.е. каждый из них можно заменить на противоположный, тем самым изменить направление соответствующей координатной оси. Для всех линий, за исключением параболы (6), выбор положительного направления на координатных осях может быть произвольным, другими словами, если, например, вектор Определение начала канонической системы координат для линии 2-го порядкаПусть в прямоугольной системе координат (3.65) Выбор начала Линия второго порядка называется центральной, если она имеет единственный центр. В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным, линия называется нецентральной. Центральными линиями являются эллипсы, гипербола и пары пересекающихся прямых (рис.3.54), единственный центр этих линий — начало координат. Остальные линии — нецентральные. Заметим, что линии эллиптического или гиперболического типов являются центральными, а линии параболического типа — нецентральными, как это указано в первом столбце таблицы 3.2. Прямая, каждая точка которой является центром симметрии, называется прямой центров. На рис.3.55 изображены линии, имеющие прямую центров (эта прямая совпадает с осью абсцисс канонической системы координат (двойная линия на рис.3.55)). Прямая Оси симметрии линии 2-го порядкаОси симметрии имеют все линии второго порядка. Если линия центральная, то ось симметрии проходит через ее центр. Например, координатные оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипсов, гиперболы, пар пересекающихся прямых (рис.3.54). Если нецентральная линия имеет прямую центров, то эта прямая служит осью симметрии. Например, ось абсцисс канонической системы координат для пар параллельных или совпадающих прямых (рис.3.55). Ось ординат Если линия (3.65) имеет хотя бы один центр, то этот центр можно принять за начало канонической системы координат (рис.3.54, 3.55). Если линия не имеет ни одного центра (является параболой), то началом канонической системы координат является точка пересечения этой параболы с ее осью симметрии (рис.3.56). Составим уравнения для определения центра линии (3.65). Для этого сделаем ортогональное преобразование координат (3.58): где (3.66) где, согласно (3.56) и пункту 6 замечаний 3.12, матрица Если в уравнении (3.66) отсутствуют линейные члены Так как матрица (3.67) которая определяет координаты Эта система имеет единственное решение только тогда, когда При Таким образом, для линий второго порядка, имеющих хотя бы один центр симметрии, этот центр служит началом Рассмотрим теперь случай, когда система (3.67) несовместна. В этом случае линия (3.65) не имеет ни одного центра (см. рис.3.56), т.е. является параболой. Уравнение оси симметрии линии (3.65)Получим уравнение оси симметрии линии (3.65). Для этого запишем столбец Если имеет решение В случае параболы собственное значение (3.68) имеет решения, которые определяют ось симметрии параболы. Заметим, что ось симметрии, определяемая уравнением (3.68), коллинеарна особому собственному вектору Обозначим через где поскольку Координаты точки O' пересечения оси симметрии (3.68) с линией (3.65)Найдем координаты точки Поскольку матрица Добавляя уравнение (3.69) Замечания 3.15 1. Определение центра или оси симметрии равным образом относится как к вещественным, так и мнимым линиям, т.е. включает случай комплексных решений. При этом оказывается, что координаты любого центра линии, любой точки оси симметрии являются вещественными. 2. Система уравнений 3. Если система уравнений совместна и ее решение определяет начало канонической системы координат. Другими словами, эта система равносильна системе (3.69) в случае параболы. 4. Направлением на координатной плоскости называют множество коллинеарных ненулевых векторов (а также множество координатных столбцов этих векторов). Все ненулевые векторы, коллинеарные, например, ненулевому вектору 5. Два направления если Направление Любая прямая неасимптотического направления пересекает линию второго порядка в двух точках (быть может мнимых). Прямая асимптотического направления либо не пересекает линию второго порядка, либо пересекает ее в одной точке, либо целиком принадлежит линии второго порядка. На рис.3.57 двойными стрелками изображены асимптотические направления для гиперболы (а), пары пересекающихся прямых (б), параболы (в), пары параллельных прямых (г). 6. Середины всех хорд неасимптотического направления 7. Свойства сопряженных направлений используются в численных методах поиска минимума функций нескольких переменных. 8. Направление называется главным направлением относительно линии второго порядка, если это направление и перпендикулярное к нему являются взаимно сопряженными. Главные направления являются собственными направлениями, определяющими направления осей канонических систем координат.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |