Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Классификация линий второго порядка по инвариантам

Классификация линий второго порядка по инвариантам


Преобразования квадратичной функции


Рассмотрим преобразование квадратичной функции


[math]p(x)=a_{11}\cdot x_1^2+2\cdot a_{12}\cdot x_1\cdot x_2+a_{22}\cdot x_2^2+2\cdot a_1\cdot x_1+2\cdot a_2\cdot x_2+a_0[/math]
(3.52)

при линейной невырожденной замене переменных:


[math]\begin{cases}x_1=s_1+s_{11}\cdot x'_1+s_{12}\cdot x'_2,\\ x_2=s_2+s_{21}\cdot x'_1+s_{22}\cdot x'_2,\end{cases} \text{or} \quad x=s+S\cdot x',[/math]
(3.53)

где [math]s=\begin{pmatrix}s_1\\s_2\end{pmatrix}\!,~ S=\begin{pmatrix} s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22} \end{pmatrix}[/math] — невырожденная матрица [math](\det S\ne0)[/math].


При любой невырожденной замене переменных квадратичной функции [math]p(x)[/math] получаем снова квадратичную функцию [math]p'(x')[/math] (см. пункт 1 замечаний 3.1):


[math]p'(x')=a'_{11}\cdot x_1^{\prime2}+2\cdot a'_{12}\cdot x'_1\cdot x'_2+a'_{22}\cdot x_2^{\prime2}+2\cdot a'_1\cdot x'_1+2\cdot a'_2\cdot x'_2+a'_0.[/math]
(3.54)

▼ Формулы, связывающие коэффициенты функций (3.52) и (3.54)

Найдем формулы, связывающие коэффициенты функций (3.52) и (3.54). Представим квадратичные функции в матричном виде (см. пункт 6 замечаний 3.1):


[math]p(x)=\widehat{x}^T\cdot P\cdot\widehat{x}, \quad p'(x')=\widehat{x}\,'^T\cdot P'\cdot\widehat{x}\,',[/math]

где [math]P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1&a_2&a_0\end{pmatrix}\!,~ P'=\begin{pmatrix} a'_{11}& a'_{12}& a'_1\\ a'_{12}&a'_{22}&a'_2\\a'_1&a'_2&a'_0\end{pmatrix}[/math] — матрицы квадратичных функции, [math]\widehat{x}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\1 \end{pmatrix}\!,~\widehat{x}\,'=\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\1\end{pmatrix}[/math] — расширенные (дополненные единицей) столбцы переменных. Замену переменных (3.53) запишем для расширенных столбцов:


[math]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_1\\s_{21}&s_{22}&s_2\\0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\1\end{pmatrix}[/math] т.е. [math]\widehat{x}=T\cdot\widehat{x}\,',[/math] где [math]T=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_1\\s_{21}&s_{22}&s_2\\0&0&1\end{pmatrix}[/math]

невырожденная матрица, поскольку [math]\det{T}=\det{S}\ne0[/math] (в этом можно убедиться, раскладывая определитель матрицы [math]T[/math] по третьей строке).


Подставляя [math]\widehat{x}=T\cdot\widehat{x}\,'[/math] в [math]p(x)[/math], получаем, учитывая свойство транспонирования произведения матриц [math](A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T[/math]:


[math]p'(x')=(T\cdot\widehat{x}\,')^T\cdot P\cdot(T\cdot\widehat{x}\,')=(\widehat{x}\,')^T\cdot T^T\cdot P\cdot T\cdot(\widehat{x}\,')^T.[/math]

Сравнивая с [math]p'(x')=(\widehat{x}\,')^T\cdot P'\cdot(\widehat{x}\,')[/math], заключаем, что


[math]P'=T^T\cdot P\cdot T.[/math]
(3.55)

▼ Формулы для квадратичных функций (3.52), (3.54)

Получим аналогичные формулы для квадратичных функций (3.52), (3.54), представленных в виде суммы квадратичных и линейных форм (см. пункт 6 замечаний 3.1):


[math]\begin{gathered} p(x)=x^T\cdot A\cdot x+2\cdot a^T\cdot x+a_0,\\[3pt] p'(x')=(x')^T\cdot A'\cdot x'+2\cdot (a')^T\cdot x'+a'_0, \end{gathered}[/math]

где [math]A=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\!,~ A'=\begin{pmatrix}a'_{1}\\a'_{2}\end{pmatrix}[/math] — матрицы квадратичных форм; [math]a= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{pmatrix}\!,~ A'=\begin{pmatrix} a'_{11}&a'_{12}\\ a'_{12}&a'_{22}\end{pmatrix}[/math] — столбцы коэффициентов линейных форм функций (3.52) и (3.54). Подставляя [math]x=s+S\cdot x'[/math] в [math]p(x)[/math], получаем


[math]p'(x')=(s+S\cdot x')^T\cdot A\cdot(s+S\cdot x')+2\cdot a^T\cdot(s+S\cdot x')+a_0.[/math]

Учитывая свойства [math](A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T[/math] и [math](A+B)^T=A^T+B^T[/math] матричных операций, симметричность матрицы [math]A[/math] (т.е. [math]A^T=A[/math]), а также равенство


[math](x')^T\cdot S^T\cdot A\cdot s=\begin{pmatrix}x'_1&x'_2\end{pmatrix}\!\cdot S^T\cdot A\cdot\!\begin{pmatrix}s_1\\s_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_1&s_2\end{pmatrix}\!\cdot A^T\cdot S\cdot\!\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix}=s^T\cdot A^T\cdot S\cdot x',[/math]

выражающее свойство транспонирования скалярного выражения (число, рассматриваемое как матрица размеров [math]1\times1[/math], при транспонировании не изменяется), упростим квадратичную функцию


[math]p'(x')=(x')^T\cdot S^T\cdot A\cdot S\cdot x'+2\cdot(a^T+s^T\cdot A)\cdot S\cdot x'+s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0.[/math]

Сравнивая с [math]p'(x')=(x')^T\cdot A'\cdot x'+2\cdot(a')^T\cdot x'+a'_0[/math], заключаем, что


[math]A'=S^T\cdot A\cdot S;\quad a'=S^T\cdot(a+A\cdot s);\quad a'_0=s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0.[/math]
(3.56)

Итак, формулы (3.55) и (3.56) выражают преобразования квадратичных функций при линейной невырожденной замене переменных (3.53).




Ортогональные инварианты квадратичной функции


Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции (3.52), которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных (3.53), называются инвариантами относительно аффинной замены переменных или, короче, аффинными инвариантами квадратичной функции. Например, знак определителя [math]\det{A}[/math] матрицы квадратичной формы функции (3.52) не изменяется при замене (3.53), так как, согласно (3.56)


[math]\det{A'}=\det(S^T\cdot A\cdot S)=\det{S^T}\cdot\det{A}\cdot\det{S}=\det\nolimits^2S\cdot\det{A},[/math]

поскольку определитель произведения матриц равен произведению их определителей и [math]\det{S}^T=\det{S}[/math]. Аналогично, учитывая (3.55), получаем, что [math]\det{P'}=\det\nolimits^2T\cdot\det{P}[/math], т.е. знаки определителей [math]\det{P'}[/math] и [math]\det{P}[/math] совпадают при любой линейной невырожденной замене переменных.


Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции (3.52), которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных (3.53) с ортогональной матрицей [math]S~(S^T=S^{-1})[/math], называются инвариантами относительно ортогональной замены переменных или, короче, ортогональными инвариантами квадратичной функции. Эти алгебраические выражения являются важнейшими геометрическими характеристиками линий второго порядка и могут быть использованы как для их классификации, так и для построения, поскольку преобразование прямоугольной системы координат соответствует ортогональной замене переменных. Далее, если не оговорено противное, будем рассматривать преобразования квадратичных функций при ортогональных заменах переменных.


Обозначим через

[math]\tau=a_{11}+a_{22}, \quad \delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}, \quad \Delta=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\ a_{12}&a_{22}&a_2\\ a_1&a_2&a_0 \end{vmatrix}[/math]

выражения, зависящие от коэффициентов функции


[math]p(x,y)=a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0,[/math]
(3.57)

а через [math]\tau',\delta',\Delta'[/math] — соответствующие выражения для функции


[math]p'(x',y')=a'_{11}\cdot (x')^2+2\cdot a'_{12}\cdot x'\cdot y'+a_{22}\cdot (y')^2+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0,[/math]

которая получается из [math]p(x,y)[/math] при ортогональной замене переменных (см. пункт 9 замечаний 3.1):


[math]\begin{cases}x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y',\\ y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y',\end{cases} \text{or} \quad \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s+S\cdot\!\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\!,[/math]
(3.58)

где [math]s=\begin{pmatrix} x_0\\y_0 \end{pmatrix}\!,~ S=\begin{pmatrix} s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix}[/math] — ортогональная матрица [math](S^T=S^{-1}).[/math]


Теорема (3.4) об ортогональных инвариантах. При любой ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражения [math]\tau,\delta,\Delta[/math] не изменяются: [math]\tau=\tau',\,\delta=\delta',\,\Delta=\Delta'[/math].


Выражения [math]\tau,\delta,\Delta[/math] называются ортогональными инвариантами квадратичной функции.


▼ Доказательство

Действительно, из равенства (3.55) [math]P'=T^T\cdot P\cdot T[/math], учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а также равенство [math]\det{T^T}=\det{T}[/math], получаем


[math]\det{P'}= \det{T^T}\cdot \det{P}\det{T}= \det\nolimits^2T\det{P}.[/math]

Для ортогональной матрицы [math]S[/math]:


[math]S^T=S^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad S^T\cdot S=E \quad \Rightarrow \quad \det{S^T}\cdot\det{S}=\det{E}=1 \quad \Rightarrow \quad \det\nolimits^2S=1.[/math]

Поскольку [math]\det{T}=\det{S}[/math] (как показано выше), получаем [math]\det\nolimits^2T=1[/math]. Следовательно, [math]\det{P'}=\det{P}[/math], т.е. [math]\Delta'=\Delta[/math].


Рассмотрим теперь квадратичную функцию


[math]p(x,y)-\lambda\cdot x^2-\lambda\cdot y^2[/math]

двух переменных [math]x,y[/math], зависящую от параметра [math]\lambda[/math]. Матрица квадратичной формы этой функции


[math]A-\lambda\cdot E=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}-\lambda\cdot\!\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{12}&a_{22}-\lambda\end{pmatrix}[/math]

после замены переменных (3.58) преобразуется по закону (3.56):


[math]S^T\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot S=S^{T}\cdot A\cdot S-\lambda\cdot\underbrace{S^T\cdot S}_{E}=A'-\lambda\cdot E.[/math]

Поскольку [math]\det\nolimits^2S=1[/math], то


[math]\det(A'-\lambda\cdot E)=\det{S^T}\cdot\det(A-\lambda\cdot E)\cdot\det{S}=\det\nolimits^2S\cdot\det(A-\lambda\cdot E)=\det(A-\lambda\cdot E).[/math]

Следовательно, при любой ортогональной замене переменных (3.58)


[math]\begin{vmatrix}a'_{11}-\lambda&a'_{12}\\a'_{12}&a'_{22}-\lambda\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{12}&a_{22}-\lambda\end{vmatrix}.[/math]

Раскрывая определители, с учетом введенных обозначений получаем тождественное равенство двух многочленов


[math]\lambda^2-\tau'\cdot\lambda+\delta'=\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta.[/math]

Приравнивая коэффициенты, имеем: [math]\tau=\tau'[/math] и [math]\delta=\delta'[/math]. Таким образом, при любой ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражения [math]\tau,\delta,\Delta[/math] не изменяются: [math]\tau=\tau',\,\delta=\delta',\,\Delta=\Delta'[/math]. Теорема доказана.




Замечания 3.12


1. При любой однородной [math](s=0)[/math] ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражение


[math]\kappa=\begin{vmatrix}a_{11}&a_1\\a_1&a_0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22}&a_2\\a_2&a_0\end{vmatrix}[/math] не изменяется: [math]\kappa=\kappa'[/math].

Выражение [math]\kappa[/math] называется ортогональным семиинвариантом (полуинвариантом) квадратичной функции, поскольку [math]\kappa[/math] не изменяется только при однородных ортогональных преобразованиях, т.е. при наложении дополнительного условия [math]s=0[/math] по сравнению с условиями теоремы 3.4.


2. Если у квадратичной функции (3.52) [math]\delta=0[/math] и [math]\Delta=0[/math], то при любой ортогональной замене ее переменных (3.53) выражение [math]\kappa[/math] не изменяется: [math]\kappa=\kappa'[/math], другими словами, выражение [math]\kappa[/math] является ортогональным инвариантом для квадратичной функции при [math]\delta=\Delta=0[/math].


3. Характеристическим многочленом квадратной матрицы [math]A[/math] называется многочлен [math]\det(A-\lambda\cdot E)[/math]. Уравнение [math]\det(A-\lambda\cdot E)=0[/math] называется характеристическим для матрицы [math]A[/math].


4. Из доказательства теоремы 3.4 следует, что характеристический многочлен матрицы квадратичной формы не изменяется при ортогональной замене переменных, т.е. является ортогональным инвариантом.


5. Корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы являются ортогональными инвариантами.


Это следует из ортогональной инвариантности характеристического многочлена.


6. Из доказательства теоремы 3.3 следует, что для любой квадратичной функции (3.52) существует такая ортогональная замена переменных (3.53): [math]x=S\cdot x'[/math], где [math]S^T=S^{-1}[/math], при которой у функции (3.54) будет отсутствовать произведение переменных:


[math]p'(x'_1,x'_2)= \lambda_1\cdot(x'_1)^2+\lambda_2\cdot(x'_2)^2+2\cdot a'_1\cdot x'_1+2\cdot a'_1\cdot x'_1+a_0,[/math]

т.е. матрица [math]A'[/math] квадратичной формы функции (3.54) будет диагональной:


[math]A'=S^{-1}\cdot A\cdot S=\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2\end{pmatrix}\!.[/math]

Записывая характеристический многочлен этой матрицы, получаем


[math]\det(\Lambda-\lambda\cdot E)= \begin{pmatrix}\lambda_1-\lambda&0\\0&\lambda_2-\lambda\end{pmatrix}= (\lambda_1-\lambda)\cdot(\lambda_2-\lambda),[/math]

т.е. числа [math]\lambda_1,\lambda_2[/math] являются его корнями. Из инвариантности характеристических многочленов [math]\det(A-\lambda\cdot E)=\det(\Lambda-\lambda\cdot E)[/math] следует, что


[math]\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta= (\lambda_1-\lambda)\cdot(\lambda_2-\lambda)= \lambda^2-(\lambda_1+\lambda_2)\cdot\lambda+\lambda_1\cdot\lambda_2.[/math]

Отсюда получаем: [math]\tau= \lambda_1+ \lambda_2,~ \delta= \lambda_1\cdot \lambda_2[/math].


7. Корни [math]\lambda_1,\lambda_2[/math] характеристического уравнения [math]\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta=0[/math] действительные, так как его дискриминант неотрицателен:


[math]\tau^2-4\delta= (a_{11}+a_{22})^2-4(a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}^2)= (a_{11}-a_{22})^2+4a_{12}^2\geqslant0.[/math]

8. При линейной невырожденной замене переменных (соответственно, при преобразовании аффинных, не обязательно прямоугольных, систем координат) не изменяется знак выражений [math]\delta[/math] и [math]\Delta[/math]. Действительно, из (3.55) и (3.56) следует, что [math]\Delta'=\det\nolimits^2T\cdot\Delta[/math] и [math]\delta'=\det\nolimits^2T\cdot\delta[/math]. Таким образом, знаки выражений [math]\delta[/math] и [math]\Delta[/math] являются аффинными инвариантами квадратичной функции.


9. При умножении квадратичной функции [math]p(x,y)[/math] на отличное от нуля число [math]\mu[/math] получаем квадратичную функцию [math]\widetilde{p}(x,y)=\mu\cdot p(x,y)[/math], для которой выражения инвариантов [math]\widetilde{\tau},\,\widetilde{\delta},\,\widetilde{\Delta}[/math], семиинварианта [math]\widetilde{\kappa}[/math], а также корни [math]\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2[/math] характеристического уравнения пропорциональны соответствующим выражениям [math]\tau,\,\delta,\,\Delta[/math] [math]\kappa,\,\lambda_1,\,\lambda_2[/math] для функции [math]p(x,y)[/math]:


[math]\widetilde{\tau}=\mu\cdot\tau, \quad \widetilde{\delta}= \mu^2\cdot\delta, \quad \widetilde{\Delta}= \mu^3\cdot\Delta, \quad \widetilde{\kappa}=\mu^2\cdot\kappa, \quad \widetilde{\lambda}_1= \mu\cdot\lambda_1, \quad \widetilde{\lambda}_2=\mu\cdot\lambda_2.[/math]

Поскольку все коэффициенты функции [math]p(x,y)[/math] умножаются на число [math]\mu[/math], то определители второго [math](\delta,\kappa)[/math] и третьего порядков [math](\Delta)[/math] умножаются на [math]\mu^2[/math] и [math]\mu^3[/math] соответственно.


Отсюда следует, например, что знаки выражений [math]\delta,\,\kappa[/math] и [math]\tau\cdot\Delta[/math] сохраняются. Для пропорциональных уравнений [math]p(x,y)=0[/math] и [math]mu\cdot p(x,y)=0[/math] (при любом [math]\mu\ne0[/math]), определяющих одну и ту же линию второго порядка, постоянными характеристиками (инвариантами) являются [math]\operatorname{sgn}\delta,\,\operatorname{sgn}\kappa,\,\operatorname{sgn}(\tau{\cdot}\delta)[/math].




Определение вида канонического уравнения линии 2-го порядка по инвариантам


Пусть в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] линия второго порядка описывается уравнением


[math]p(x,y)=0,[/math]
(3.59)

где [math]p(x,y)[/math] — квадратичная функция (3.57):


[math]p(x,y)=a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x_1+2\cdot a_2\cdot y+a_0.[/math]

Согласно теореме 3.3, в любой другой прямоугольной системе координат [math]O'x'y'[/math] уравнение этой же линии имеет вид


[math]\widetilde{p}(x',y')=0,[/math]
(3.60)

где квадратичная функция


[math]\widetilde{p}(x',y')=\mu\cdot\!\left(a'_{11}\cdot(x')^2+a'_{22}\cdot(y')^2+2\cdot a'_{12}\cdot x'\cdot y'+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0\right)[/math]
(3.61)

получена из квадратичной функции [math]p(x,y)[/math] в результате умножения на отличный от нуля множитель [math]\mu[/math] и ортогональной замены переменных:


[math]\begin{cases}x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y',\\ y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y',\end{cases} \text{or} \quad \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}= s+S\cdot\! \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\!.[/math]
(3.62)

Здесь [math]s=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}[/math] — координатный столбец вектора [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса начала координат, [math]S=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix}[/math] — ортогональная матрица [math](S^T=S^{-1})[/math] перехода от базиса [math]\vec{i},\,\vec{j}[/math] системы координат [math]Oxy[/math] к базису системы координат [math]O'x'y'[/math].


Корни характеристических уравнений матриц квадратичных форм, инварианты и семиинварианты квадратичных функций [math]p(x,y),[/math] [math]\widetilde{p}(x',y')[/math] обозначим соответственно


[math]\lambda_1,~\lambda_2,~\tau,~\delta,~\Delta,~\kappa; \quad \widetilde{\lambda}_1,~\widetilde{\lambda}_2,~\widetilde{\tau},~\widetilde{\delta},~\widetilde{\Delta},~\widetilde{\kappa}.[/math]

По теореме 3.3 и пункт 9 замечаний 3.12 эти выражения связаны формулами


[math]\widetilde{\lambda}_1= \mu\cdot\lambda_1,~ \widetilde{\lambda}_2=\mu\cdot\lambda_2,~\widetilde{\tau}=\mu\cdot\tau;~\widetilde{\delta}=\mu^2\cdot\delta;~\widetilde{\Delta}=\mu^3\cdot\Delta;~\widetilde{\kappa}=\mu^2\cdot\kappa.[/math]
(3.63)

Используя эти связи, выясним признаки видов канонических уравнений, а также выразим коэффициенты канонических уравнений. Предполагаем, что система координат [math]O'x'y'[/math] каноническая, т.е. уравнение [math]\widetilde{p}(x',y')=0[/math] имеет один из девяти канонических видов, указанных в теореме 3.3. В этом случае матрица [math]\widetilde{A}[/math] квадратичной формы функции [math]\widetilde{p}(x',y')[/math] имеет диагональный вид:


[math]\widetilde{A}=\begin{pmatrix}\widetilde{\lambda}_1&0\\0&\widetilde{\lambda}_2\end{pmatrix}[/math]

Коэффициенты при квадратах неизвестных в канонических уравнениях (1)-(9) равны корням [math]\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2[/math] характеристического уравнения этой матрицы. В зависимости от знаков чисел [math]\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2[/math] уравнения (1)-(9) разбиваются на три группы:


– корни [math]\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2}[/math] отличны от нуля и имеют одинаковые знаки ([math]\widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1,\cdot\widetilde{\lambda}_2>0[/math] — эллиптический тип): уравнения эллипса (1), мнимого эллипса (2), пары мнимых пересекающихся прямых (3);


– корни [math]\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2}[/math] отличны от нуля и имеют разные знаки ([math]\widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1,\cdot\widetilde{\lambda}_2<0[/math] — гиперболический тип): уравнения гиперболы (4) или пары пересекающихся прямых (5);


– один из корней [math]\widetilde{\lambda}_1,~ \widetilde{\lambda}_2[/math] равен нулю ([math]\widetilde{\lambda}_1=0,~ \widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1\cdot\widetilde{\lambda}_2=0[/math] — параболический тип): уравнения параболы (6), пары параллельных прямых (7), пары мнимых параллельных прямых (8) или пары совпадающих прямых (9).


Тип уравнения (3.59) не изменяется в ходе приведения его к каноническому виду (3.60), так как, согласно (3.63), выражения [math]\delta[/math] и [math]\widetilde{\delta}[/math] для исходного (3.59) и канонического уравнений отличаются только положительным множителем [math]\widetilde{\delta}=\mu^2\cdot\delta[/math]. Поэтому условия [math]\widetilde{\delta}>0,[/math] [math]\widetilde{\delta}<0,[/math] [math]\widetilde{\delta}=0,[/math] определяющие тип канонического уравнения, равносильны условиям [math]\delta>0,[/math] [math]\delta<0,[/math] [math]\delta=0,[/math] определяющим тип исходного уравнения.


▼ Рассмотрим уравнения эллиптического типа (δ > 0)

Для уравнения (1) эллипса [math]\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}-1=0[/math] имеем: [math]\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2},[/math]


[math]\widetilde{\tau}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}, \quad \widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}a^{-2}&0\\0&b^{-2}\end{vmatrix}=\frac{1}{a^2b^2}, \quad \widetilde{\Delta}= \begin{vmatrix} a^{-2}&0&0\\ 0&b^{-2}&0\\0&0&-1\end{vmatrix}=-\frac{1}{a^2b^2}=-\widetilde{\delta},[/math]

значит, [math]\widetilde{\tau}\cdot\widetilde{\Delta}<0,~\widetilde{\Delta}=-\widetilde{\delta},~ 0<\widetilde{\lambda}_1 \leqslant\widetilde{\lambda}_2[/math], так как [math]a\geqslant b>0[/math]. Учитывая (3.63), получаем:


[math]\mu\cdot\tau\cdot\mu^3\cdot\Delta<0; \quad \mu^3\cdot\Delta=-\mu^2\cdot\delta; \quad \mu\cdot\lambda_1=\frac{1}{a^2}; \quad \mu\cdot\lambda_2=\frac{1}{b^2}; \quad 0<\mu\cdot\lambda_1\leqslant\mu\cdot\lambda_2.[/math]

Следовательно, [math]\tau\cdot\Delta<0,~\mu=-\frac{\delta}{\Delta}[/math]. Преобразуем неравенства


[math]0<\mu\cdot\lambda_1\leqslant\mu\cdot\lambda_2\quad \Leftrightarrow \quad 0<|\mu\cdot\lambda_1|\leqslant|\mu\cdot\lambda_2| \quad \Leftrightarrow 0<|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|,[/math]

т.е. [math]\lambda_1[/math] — меньший (точнее, не больший) по модулю корень характеристического уравнения [math]\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta=0[/math]. Подставляя [math]\mu=-\frac{\delta}{\Delta}[/math] в равенства [math]\mu\cdot\lambda_1=\frac{1}{a^2}[/math] и [math]\mu\cdot\lambda_2=\frac{1}{b^2}[/math], находим [math]a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}},[/math] и [math]b=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}.[/math]


Таким образом, при [math]\delta>0,~\tau\cdot\Delta<0[/math] уравнение (3.59) описывает эллипс с полуосями [math]a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}},[/math] и [math]b=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}.[/math]


Для уравнения (2) мнимого эллипса [math]\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}+1=0[/math] аналогично получаем: [math]\delta>0,~\tau\cdot\Delta<0,[/math] [math]a=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}},[/math] и [math]b=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}.[/math]


Для уравнения (3) пары мнимых пересекающихся прямых [math]\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=0[/math] находим [math]\delta>0,[/math] [math]\Delta=0[/math]. В отличие от уравнений (1),(2) отсутствует связь: [math]\widetilde{\Delta}=\pm\widetilde{\delta}[/math]. Поэтому коэффициент пропорциональности [math]\mu[/math] в (3.61) найти однозначно нельзя. Однако для справедливости отношения [math]a=\sqrt{\frac{1}{|\lambda_1|}},~b=\sqrt{\frac{1}{|\lambda_2|}}.[/math]


▼ Рассмотрим уравнения гиперболического типа (δ < 0)

Для уравнения (4) гиперболы [math]\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}-1=0[/math] имеем: [math]\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2},[/math]


[math]\widetilde{\tau}=\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}, \quad \widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}a^{-2}&0\\0&-b^{-2}\end{vmatrix}=-\frac{1}{a^2b^2}, \quad \widetilde{\Delta}=\begin{vmatrix}a^{-2}&0&0\\0&-b^{-2}&0\\0&0&-1\end{vmatrix}=\frac{1}{a^2b^2}=-\widetilde{\delta},[/math]

значит, [math]\widetilde{\Delta}\ne0,~ \widetilde{\Delta}=-\widetilde{\delta},~ \widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2}>0,~ \widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2}<0[/math]. Учитывая(3.63), получаем


[math]\mu^3\cdot\Delta\ne0, \quad \mu^3\cdot\Delta=-\mu^2\cdot\delta, \quad \mu\cdot\lambda_1=\frac{1}{a^2}>0, \quad \mu\cdot\lambda_2=-\frac{1}{b^2}<0.[/math]

Следовательно, [math]\Delta\ne0[/math] и [math]\mu=-\frac{\delta}{\Delta}[/math]. Подставляя [math]\mu=-\frac{\delta}{\Delta}[/math] в соотношения для корней характеристического уравнения, получаем: [math]-\frac{\delta}{\Delta}\lambda_1=\frac{1}{a^2}>0[/math] и [math]-\frac{\delta}{\Delta}\lambda_2=-\frac{1}{b^2}<0[/math]. Отсюда [math]a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}}[/math] и [math]b=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}[/math]. Так как [math]\delta<0[/math], то [math]\lambda_1[/math] — тот корень характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком [math]\Delta[/math], т.е. [math]\lambda_1\cdot\Delta>0[/math] (второй корень [math]\lambda_2[/math] противоположного знака).


Таким образом, при [math]\delta<0,~\Delta\ne0[/math] уравнение (3.59) описывает гиперболу с полуосями [math]a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}}[/math] и [math]b=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}[/math].


Для уравнения (5) пары пересекающихся прямых [math]\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=0[/math] аналогично получаем: [math]\Delta=0,[/math] [math]a=\sqrt{\frac{1}{\lambda_1}},[/math] [math]b=\sqrt{-\frac{1}{\lambda_2}},[/math] где [math]\lambda_1[/math] — положительный корень характеристического уравнения, а [math]\lambda_2[/math] — отрицательный корень.


▼ Рассмотрим уравнения параболического типа (δ = 0)

Для уравнения (6) параболы [math](y')^2-2\cdot p\cdot x'=0[/math] имеем: [math]\widetilde{\lambda}_1=0,~\widetilde{\lambda}_2=1,[/math]


[math]\widetilde{\tau}=1, \quad \widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}0&0\\0&1\end{vmatrix}=0, \quad \widetilde{\Delta}=\begin{vmatrix}0&0&-p\\0&1&0\\-p&0&0\end{vmatrix}=-p^2,[/math]

значит, [math]\widetilde{\Delta}\ne0,~\widetilde{\Delta}=-p^2,~\widetilde{\lambda}_2=\widetilde{\tau}=1[/math]. Учитывая (3.63), получаем [math]\mu^3\cdot\Delta\ne0[/math] [math]\mu^3\cdot\Delta=-p^2[/math] [math]\mu\cdot\lambda_2=\mu\cdot\tau=1.[/math] Следовательно, [math]\Delta\ne0,[/math] [math]p=\sqrt{-\mu^3\cdot\Delta},[/math] [math]\mu=\frac{1}{\tau},[/math] , т.е. [math]p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\tau^3}}[/math].


Таким образом, при [math]\delta=0,~\Delta\ne0[/math] уравнение (3.59) описывает параболу с фокальным параметром [math]p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\tau^3}}[/math].


Для уравнения (7) пары параллельных прямых [math](y')^2-b^2=0[/math] имеем: [math]\widetilde{\lambda}_1=0,~\widetilde{\lambda}_2=1,~\widetilde{\tau}=1,[/math]


[math]\widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}0&0\\0&1\end{vmatrix}=0, \quad \widetilde{\Delta}=\begin{vmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-b^2\end{vmatrix}=0, \quad \widetilde{\kappa}= \begin{vmatrix}0&0\\0&-b^2\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1&0\\0&-b^2\end{vmatrix}=-b^2.[/math]

Значит, [math]\widetilde{\Delta}=0,~ \widetilde{\lambda}_2= \widetilde{\tau}=1,~\widetilde{\kappa}=-b^2<0[/math]. Напомним (см. пункт 2 замечаний 3.12), что выражение [math]\kappa[/math] является ортогональным инвариантом при условиях [math]\delta=\Delta=0[/math]. Учитывая (3.63), получаем [math]\Delta=0,[/math] [math]\lambda_2=\tau=\frac{1}{\mu}[/math] [math]\kappa<0[/math] Из равенства [math]\widetilde{\kappa}=-b^2[/math] имеем [math]\mu^2\cdot\kappa=-b^2[/math], т.е. [math]b=\sqrt{-\frac{\kappa}{\tau^2}}[/math].


Таким образом, при [math]\delta=0,~\Delta=0,~\kappa<0[/math] уравнение (3.59) является уравнением пары параллельных прямых с коэффициентом [math]b=\sqrt{-\frac{\kappa}{\tau^2}}[/math].


Для уравнения (8) пары мнимых параллельных прямых [math](y')^2+b^2=0[/math] аналогично получаем: [math]\Delta=0,~\kappa>0,~b=\sqrt{\frac{\kappa}{\tau^2}}[/math].


Для уравнения (9) пары совпадающих прямых [math](y')^2=0[/math] получаем: [math]\delta=0,~\Delta=0,~\kappa=0[/math].


Таким образом, классификацию поверхностей второго порядка можно записать, используя инварианты квадратичной функции (см. таблицу 3.2).




Замечания 3.13

1. Матрица квадратичной формы для левой части канонических уравнений имеет диагональный вид [math]\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}[/math], где [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math] — корни характеристического уравнения [math]\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta=0[/math], взятые согласно правилам:


– для эллиптического случая (при [math]\delta>0[/math]): [math]|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|[/math];

– для гиперболического случая (при [math]\delta<0[/math]): [math]\lambda_1\cdot\Delta>0[/math], если [math]\Delta\ne0[/math], и [math]\lambda_1>0[/math], если [math]\Delta=0[/math];

– для параболического случая (при [math]\delta=0[/math]): [math]\lambda_1=0[/math].


2. Отношения [math]\frac{\lambda_1}{\lambda_2},~\frac{\Delta}{\lambda_2^3}[/math], где [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math] — корни характеристического уравнения, взятые согласно правилам пункта 1, не изменяются при умножении уравнения на отличный от нуля множитель и при ортогональной замене неизвестных.


Поскольку отношение [math]k=\frac{b}{a}[/math] сторон основного прямоугольника, эксцентриситет [math]e[/math] и фокальный параметр [math]p[/math] выражаются через указанные инварианты: для эллипса [math]k=\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{\lambda_1}{\lambda_2}}[/math] [math]r=\sqrt{1-k^2}\,;[/math] для гиперболы [math]k=\frac{b}{a}=\sqrt{-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}}[/math] [math]r=\sqrt{1+k^2}\,;[/math] для эллипса, гиперболы и параболы [math]p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^3}}[/math] так как [math]\frac{\Delta}{\lambda_2^3}=-\frac{1}{a^2b^2}\cdot\frac{1}{1/b^6}=-\frac{b^4}{a^2}-p^2[/math], то они, в свою очередь, также являются инвариантами.


3. Тип линии не изменяется при аффинном преобразовании координат (см. пункт 6 замечаний 3.12), так как сохраняется знак [math]\delta[/math] (условия [math]\delta>0,[/math] [math]\delta<0,[/math] [math]\delta=0[/math] остаются справедливыми при аффинных преобразованиях координат и при умножении уравнения на любое отличное от нуля число). Следовательно, знак [math]\delta[/math] является аффинным инвариантом линии второго порядка.


Таблица 3.2. Классификация линий второго порядка по инвариантам


Классификация линий второго порядка по инвариантам


Пример 3.23. По ортогональным инвариантам определить виды алгебраических линий второго порядка, заданных в примере 3.19:

а) [math]x^2-y^2-4x+6y-5=0[/math];

б) [math]x^2-4x+4y+4=0[/math];

в) [math]3x^2+10xy+3y^2+8=0[/math];

г) [math]52x^2+72xy+73y^2-280x-290y+325=0[/math].


▼ Решение

а) Для квадратичной функции [math]p(x,y)=x^2-y^2-4x+6y-5[/math] (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты


[math]\tau=1-1=0, \quad \delta=\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}=-1, \quad \Delta=\begin{vmatrix}1&0&-2\\0&-1&3\\-2&3&-5\end{vmatrix}=5+4-9=0.[/math]

По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает пару пересекающихся прямых, так как [math]\delta<0,~\Delta=0[/math].


б) Для квадратичной функции [math]p(x,y)=x^2-4x+4y+4[/math] (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты


[math]\tau=1+0=1, \quad \delta= \begin{vmatrix} 1&0\\0&0 \end{vmatrix}=0, \quad \Delta= \begin{vmatrix} 1&0&-2\\ 0&0&2\\ -2&2&4 \end{vmatrix}=-4.[/math]

По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает параболу, так как [math]\delta=0,~\Delta\ne0[/math].


в) Для квадратичной функции [math]p(x,y)=3x^2+10xy+3y^2+8[/math] (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты


[math]\tau=3+3=6, \quad \delta=\begin{vmatrix}3&5\\5&3\end{vmatrix}=9-25=-16, \quad \Delta=\begin{vmatrix}3&5&0\\5&3&0\\0&0&8\end{vmatrix}=8{\cdot}(16)=-128.[/math]

По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает гиперболу, так как [math]\delta<0,~\Delta\ne0.[/math]


г) Для квадратичной функции [math]p(x,y)=52x^2+72xy+73y^2-280x-290y+325[/math] (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты


[math]\tau=52+73=125, \quad \delta=\begin{vmatrix}52&36\\36&73\end{vmatrix}=2500, \quad \Delta=\begin{vmatrix}52&36&-140\\36&73&-145\\-140&-145&325\end{vmatrix}=-250000[/math]

По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает эллипс, так как [math]\delta>0,~\Delta\ne0,~\tau{\cdot}\Delta<0.[/math]


Классификация заданных линий совпадает с результатами примера 3.19.




Определение канонического базиса для линии второго порядка


Ненулевой столбец [math]s[/math] называется собственным вектором квадратной матрицы [math]A[/math], если выполняется равенство


[math]A\cdot s=\lambda\cdot s.[/math]

Число [math]\lambda[/math] в этом равенстве называется собственным значением матрицы [math]A[/math]. Говорят, что собственный вектор [math]s[/math] соответствует (принадлежит) собственному значению [math]\lambda[/math].


Ненулевой вектор [math]\vec{s}[/math], а также его координатный столбец [math]s=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}^T[/math], будем называть собственным вектором линии второго порядка


[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0[/math]

если выполняется равенство


[math]\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= \lambda\cdot\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\! \quad \Leftrightarrow \quad A\cdot s=\lambda\cdot s,[/math]
(3.64)

т.е. координатный столбец собственного вектора линии второго порядка является собственным вектором матрицы [math]A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{pmatrix}[/math]. Собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению [math](A{\cdot}s=0{\cdot}s\,\Leftrightarrow\,A{\cdot}s=0)[/math], будем называть особым собственным вектором линии второго порядка.


Перенося неизвестные в левую часть, запишем систему уравнений (3.64) в виде


[math]\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{12}&a_{22}-\lambda\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow \quad (A-\lambda\cdot E)\cdot s=o.[/math]

Эта однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю: [math]\det(A-\lambda\cdot E)=0[/math]. Другими словами, собственные значения матрицы [math]A[/math] являются корнями характеристического уравнения [math]\det(A-\lambda\cdot E)=0[/math], и наоборот.




Свойства собственных векторов линии второго порядка


1. Собственный вектор линии второго порядка не изменяется при ортогональном преобразовании координат и при умножении обеих частей уравнения линии на отличное от нуля число, другими словами, линии (3.59) и (3.60) имеют одинаковые собственные векторы.


▼ Доказательство

Покажем сначала, что собственный вектор не изменяется при однородном ортогональном преобразовании координат. Действительно, пусть [math]s_1[/math] — собственный вектор матрицы [math]A[/math] (соответствующий собственному значению [math]\lambda_1[/math]). Тогда вектор [math]s'_1=S^{-1}\cdot s_1[/math] является собственным для матрицы [math]A'=S^T\cdot A\cdot S[/math], где [math]S[/math] — ортогональная матрица. В самом деле, учитывая, что [math]S^T=S^{-1},[/math] [math]s_1=S\cdot s'_1[/math] и [math]A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1[/math] получаем


[math]A'\cdot s'_1=\underbrace{S^T\cdot A\cdot S}_{A'}\cdot \underbrace{S^{-1}\cdot s_1}_{s'_1}= S^T\cdot A\cdot \underbrace{S\cdot S^{-1}}_{E}\cdot s_1=S^T\cdot \underbrace{A\cdot s_1}_{\lambda_1\cdot s_1}=\lambda_1\cdot\underbrace{S^{-1}\cdot s_1}_{s'_1}=\lambda_1\cdot s'_1,[/math]

т.е. [math]A'\cdot s'_1=\lambda_1\cdot s'_1[/math]. Следовательно, [math]s'_1[/math] — собственный вектор, соответствующий собственному значению [math]\lambda_1[/math].


При параллельном переносе системы координат матрица квадратичной формы не изменяется [math](A'=S^T\cdot A\cdot S=A[/math], если [math]S=E)[/math], поэтому не изменяются и ее собственные векторы. Если же обе части уравнения (3.59) умножаются на отличное от нуля число [math]\mu[/math], то все элементы матрицы [math]A[/math], а также ее собственные значения, умножаются на число [math]\mu[/math]. Однако, собственный вектор линии не изменяется, поскольку условия [math]A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1[/math] и [math]\mu\cdot A\cdot s_1=\mu\cdot\lambda_1\cdot s_1[/math] равносильны (при [math]\mu\ne0\,).[/math]


2. Собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.


▼ Доказательство

В самом деле, пусть [math]\vec{s}_1[/math] и [math]\vec{s}_2[/math] — собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям [math](\lambda_1\ne\lambda_2)[/math], т.е. координатные столбцы [math]s_1[/math], и [math]s_2[/math] этих векторов удовлетворяют условиям: [math]A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1[/math] и [math]A\cdot s_2=\lambda_2\cdot s_2[/math]. Первое равенство умножим слева на строку [math]s_2^T[/math], а второе — на [math]s_1^T[/math], и вычтем второе равенство из первого:


[math]s_2^T\cdot A\cdot s_1-s_1^T\cdot A\cdot s_2= \lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2.[/math]

Поскольку при транспонировании число (рассматриваемое как матрица размеров 1×1) не изменяется, то правую часть этого равенства можно преобразовать к виду


[math]\lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2= \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s_2-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2= (\lambda_1-\lambda_2)\cdot s_1^T\cdot s_2,[/math]

так как [math]s_2^T\cdot s_1=(s_1^T\cdot s_2)^T=s_1^T\cdot s_2[/math], а левая часть рассматриваемого равенства, учитывая симметричность матрицы [math]A[/math] [math](A^T=A)[/math], равна нулю, так как


[math]s_2^T\cdot A\cdot s_1= (s_1^T\cdot A^T\cdot s_2)^T= s_1^T\cdot A^T\cdot s_2= s_1^T\cdot A\cdot s_2.[/math]

Следовательно, рассматриваемое равенство можно записать в виде


[math](\lambda_1-\lambda_2)\cdot s_1^T\cdot s_2=0[/math] или [math]s_1^T\cdot s_2=0,[/math]

поскольку [math]\lambda_1\ne\lambda_2[/math]. Последнее равенство означает, что [math]\langle\vec{s}_1,\vec{s}_2\rangle=s_1^T\cdot s_2=0[/math] — скалярное произведение ненулевых векторов [math]\vec{s}_1[/math] и [math]\vec{s}_2[/math] равно нулю, т.е. они ортогональны.


3. Базисные векторы канонической системы координат являются единичными взаимно ортогональными собственными векторами линии.


▼ Доказательство

Действительно, в канонической системе координат [math]O'\vec{s}_1\vec{s}_2[/math] матрица [math]A[/math] квадратичной формы имеет диагональный вид [math]A=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}[/math], где [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math] — корни характеристического уравнения (см. пункт 6 замечаний 3.12) или, что то же самое, собственные значения матрицы [math]A[/math]. Записывая (3.64) для координатных столбцов [math]s_1=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}^T,[/math] [math]s_2=\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}^T[/math] базисных векторов [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2[/math], получаем


[math]\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}= \lambda\cdot\!\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\!, \quad \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}= \lambda\cdot\!\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Первое соотношение выполняется при [math]\lambda=\lambda_1[/math], второе — при [math]\lambda=\lambda_2[/math]. Следовательно, базисные векторы [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2[/math] являются собственными, соответствующими собственным значениям [math]\lambda=\lambda_1[/math] для первого базисного вектора [math](\vec{s}_1)[/math], [math]\lambda=\lambda_2[/math] — для второго [math](\vec{s}_2)[/math]. При этом не исключается случай равенства собственных значений.


Таким образом, для определения канонического базиса нужно найти два взаимно ортогональных единичных собственных вектора.




Замечания 3.14


1. Собственные векторы матрицы определяются неоднозначно. Например, если [math]s[/math] — собственный вектор матрицы (или линии), то столбец [math]\mu\cdot s[/math] при любом отличном от нуля числе [math]\mu[/math] также является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению [math]\lambda[/math], что и вектор [math]s[/math].


2. Матрицу [math]S[/math] перехода от базиса [math]\vec{i},\,\vec{j}[/math] исходной системы координат [math]Oxy[/math] к базису [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2[/math] канонической системы координат [math]O'x'y'[/math] образуют координатные столбцы [math]s_1,\,s_2[/math] взаимно ортогональных единичных собственных векторов линии второго порядка.


▼ Доказательство пункта 2

В самом деле, пусть [math]s_1,\,s_2[/math] — координатные столбцы (относительно исходной системы координат [math]Oxy[/math]) единичных взаимно ортогональных собственных векторов [math]\vec{s}_1,\,\vec{s}_2[/math]. Тогда по определению собственных векторов выполняются равенства [math]A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1,[/math] [math]A\cdot s_2=\lambda_2\cdot s_2,[/math] а из условий нормировки и ортогональности:


[math]\langle\vec{s}_1,\vec{s}_1\rangle=s_1^T\cdot s_1=1, \quad \langle\vec{s}_1,\vec{s}_2\rangle=s_1^T\cdot s_2=0, \quad \langle\vec{s}_2,\vec{s}_2\rangle=s_2^T\cdot s_2=1.[/math]

Составим из координатных столбцов [math]s_1,\,s_2[/math] матрицу [math]S=(s_1\mid s_2)[/math]. Во-первых, эта матрица ортогональная [math](S^T=S^{-1})[/math], так как


[math]S^T \cdot S = \begin{pmatrix}s_1^T \\ \hline s_2^T\end{pmatrix} \cdot (s_1\mid s_2) = \left(\begin{array}{c|c} s_1^T \cdot {s_1} & s_1^T \cdot {s_2} \\ \hline s_2^T \cdot {s_1} & s_2^T \cdot {s_2} \end{array}\right) = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E.[/math]

Во-вторых, ортогональное преобразование координат с этой матрицей приводит матрицу [math]A[/math] квадратичной формы к каноническому (диагональному) виду:


[math]\begin{gathered} A'=S^T\cdot A\cdot S=S^T\cdot A\cdot(s_1\mid s_2)= S^T\cdot(A\cdot s_1\mid A\cdot s_2)= \\[3pt] =\!\left(\frac{s_1^T}{s_2^T}\right)\!\cdot(\lambda_1\cdot s_1\mid\lambda_2\cdot s_2)= \!\left(\!\!\begin{array}{*{20}c} \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s_1 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2\\\hline \lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s_2 \end{array}\!\!\right)\!= \!\left(\!\!\begin{array}{*{20}c} \lambda_1\cdot1 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot0\\\hline \lambda_1\cdot0 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot1 \end{array}\!\!\right)\!= \!\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!=\Lambda. \end{gathered}[/math]

3. Два единичных взаимно ортогональных собственных вектора линии второго порядка определяются с точностью до множителя (–1), т.е. каждый из них можно заменить на противоположный, тем самым изменить направление соответствующей координатной оси. Для всех линий, за исключением параболы (6), выбор положительного направления на координатных осях может быть произвольным, другими словами, если, например, вектор [math]\vec{s}_1[/math] базисный, то и противоположный вектор [math](-\vec{s}_1)[/math] также можно взять в качестве базисного. Положительное направление оси [math]O'x'[/math] (базисный вектор [math]\vec{s}_1[/math]) для параболы нельзя менять на противоположное. Правильный выбор этих базисных векторов описан далее в пункт 2 замечаний 3.16.




Определение начала канонической системы координат для линии 2-го порядка


Пусть в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] поверхность второго порядка задана уравнением (3.59):


[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0.[/math]
(3.65)

Выбор начала [math]O'[/math] канонической системы координат [math]O'x'y'[/math] определяется свойствами симметрии линии второго порядка. Например, координатная ось [math]O'x'[/math] является осью симметрии любой линии второго порядка; ось ординат [math]O'y'[/math] служит осью симметрии любой линии, за исключением параболы, начало координат [math]O'[/math] является центром симметрии линий (1)-(5), (7)-(9), т.е. всех линий, за исключением параболы. Точка [math]M_0[/math] называется центром симметрии (или просто центром) линии второго порядка (3.65), если вместе с каждой своей точкой [math]M[/math] линия содержит также и точку [math]M'[/math], симметричную точке [math]M[/math] относительно [math]M_0[/math] (точка [math]M_0[/math] — середина отрезка [math]MM'[/math]).


Линия второго порядка называется центральной, если она имеет единственный центр. В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным, линия называется нецентральной. Центральными линиями являются эллипсы, гипербола и пары пересекающихся прямых (рис.3.54), единственный центр этих линий — начало координат. Остальные линии — нецентральные.


Центральные линии второго порядка: эллипсы, гипербола, пары пересекающихся прямых

Заметим, что линии эллиптического или гиперболического типов являются центральными, а линии параболического типа — нецентральными, как это указано в первом столбце таблицы 3.2.


Прямая, каждая точка которой является центром симметрии, называется прямой центров. На рис.3.55 изображены линии, имеющие прямую центров (эта прямая совпадает с осью абсцисс канонической системы координат (двойная линия на рис.3.55)).


Прямая [math]l_0[/math] называется осью симметрии линии второго порядка (3.65), если вместе с каждой своей точкой [math]M[/math] поверхность содержит также и точку [math]M'[/math], симметричную точке [math]M[/math] относительно прямой [math]l_0[/math] (прямая [math]l_0[/math] перпендикулярна отрезку [math]MM'[/math] и делит его пополам).




Оси симметрии линии 2-го порядка


Оси симметрии имеют все линии второго порядка. Если линия центральная, то ось симметрии проходит через ее центр. Например, координатные оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипсов, гиперболы, пар пересекающихся прямых (рис.3.54). Если нецентральная линия имеет прямую центров, то эта прямая служит осью симметрии. Например, ось абсцисс канонической системы координат для пар параллельных или совпадающих прямых (рис.3.55). Ось ординат [math]Oy[/math] также является осью симметрии этих линий. Ось абсцисс [math]Ox[/math] является единственной осью симметрии для параболы (рис.3.56).


Если линия (3.65) имеет хотя бы один центр, то этот центр можно принять за начало канонической системы координат (рис.3.54, 3.55). Если линия не имеет ни одного центра (является параболой), то началом канонической системы координат является точка пересечения этой параболы с ее осью симметрии (рис.3.56).


Прямая, каждая точка которой является центром симметрии линий второго порядка

Составим уравнения для определения центра линии (3.65). Для этого сделаем ортогональное преобразование координат (3.58):


[math]\begin{cases}x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y'\\ y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y'\end{cases}[/math] или [math]\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= s+S\cdot\!\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]s=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}[/math] — координатный столбец вектора [math]\vec{s}=\overrightarrow{OO'}[/math] переноса системы координат, а ортогональная матрица [math]S=(s_1\mid s_2)[/math] составлена из единичных взаимно ортогональных собственных векторов линии (3.65), соответствующих собственным значениям [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math]. В новой системе координат [math]O'x'y'[/math] уравнение линии будет иметь вид


[math]\lambda_1\cdot(x')^2+\lambda_2\cdot(y')^2+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0=0,[/math]
(3.66)

где, согласно (3.56) и пункту 6 замечаний 3.12, матрица [math]A'=S^T\cdot A\cdot S=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}[/math] — диагональная, столбец коэффициентов линейной формы [math]a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)[/math], а свободный член [math]a'_0=p(s)=s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0.[/math].


Если в уравнении (3.66) отсутствуют линейные члены [math](a'=o)[/math], то начало координат [math]O'[/math] является центром симметрии, поскольку при одновременной замене неизвестных [math]x'\leftrightarrow(-x'),[/math] [math]y'\leftrightarrow(-y')[/math] уравнение (3.66) не изменяется. Другими словами, если координаты точки [math]M(x',y')[/math] удовлетворяют уравнению, то и координаты [math](-x',-y')[/math] точки, симметричной точке [math]M[/math] относительно начала координат, также удовлетворяют уравнению.


Так как матрица [math]S[/math] невырожденная, то равенство [math]a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)=o[/math] равносильно системе линейных уравнений:


[math]A\cdot s+a=o \quad \text{or} \quad \begin{cases}a_{11}\cdot x_0+a_{12}\cdot y_0+a_1=0,\\ a_{12}\cdot x_0+a_{22}\cdot y_0+a_2=0,\end{cases}[/math]
(3.67)

которая определяет координаты [math]x_0,\,y_0[/math] центра симметрии, т.е. точки [math]O'[/math].


Эта система имеет единственное решение только тогда, когда [math]\delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}\ne0[/math] или [math]\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid a)=2.[/math] Следовательно, условие [math]\delta\ne0[/math] является критерием наличия у линии единственного центра.


При [math]\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid a)=1[/math] система (3.67) имеет бесконечно много решений, т.е. центры симметрии линии образуют прямую центров. При [math]\operatorname{rang}A<\operatorname{rang}(A\mid a)[/math] система не имеет решений, т.е. линия не имеет ни одного центра.


Таким образом, для линий второго порядка, имеющих хотя бы один центр симметрии, этот центр служит началом [math]O'[/math] канонической системы координат системы [math]O'x'y'[/math]. Координаты [math]x_0,\,y_0[/math] находятся как решение системы (3.67), причем это решение единственное для центральных поверхностей.


Рассмотрим теперь случай, когда система (3.67) несовместна. В этом случае линия (3.65) не имеет ни одного центра (см. рис.3.56), т.е. является параболой.


▼ Уравнение оси симметрии линии (3.65)

Получим уравнение оси симметрии линии (3.65). Для этого запишем столбец [math]a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)[/math] коэффициентов линейных членов уравнения (3.66), учитывая, что матрица [math]S=(s_1\mid s_2)[/math] составлена из собственных векторов матрицы [math]A[/math], т.е. [math]S^T\cdot A=\Lambda\cdot S^T[/math] (последнее равенство можно считать матричной формой записи (3.64)):


[math]S^T\cdot A= \Lambda\cdot S^T= \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!\cdot\! \left(\frac{s_1^T}{s_2^T}\right)=\left(\frac{\lambda_1\cdot s_1^T}{\lambda_2\cdot s_2^T}\right)\!,[/math] то есть [math]a'=\begin{pmatrix} \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a\\ \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a \end{pmatrix}\!.[/math]

Если [math]\lambda_1\ne0[/math], то уравнение [math]\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0[/math], или, что то же самое, в координатной форме


[math]\lambda_1\cdot(s_{11}\cdot x_0+s_{21}\cdot y_0)+s_{11}\cdot a_1+s_{21}\cdot a_2=0,[/math]

имеет решение [math]s=\begin{pmatrix}x_0&y_0\end{pmatrix}^T[/math], то, взяв точку [math]O'(x_0,y_0)[/math] в качестве начала системы координат [math]O'x'y'[/math], получим уравнение (3.66), в котором будет отсутствовать линейный член с неизвестной [math]x'[/math], так как [math]a'_1=\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0.[/math] Такое уравнение при замене неизвестной [math]x'\leftrightarrow(-x')[/math] не изменяется. Другими словами, если координаты точки [math]M(x',y')[/math] удовлетворяют уравнению (3.66), то и координаты [math](-x',y')[/math] точки, симметричной точке [math]M[/math] относительно оси [math]O'y'[/math], также удовлетворяют уравнению (3.66) (при [math]a'_1=0).[/math] Следовательно, если уравнение [math]\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0[/math] имеет решения, то оно определяет ось симметрии [math]O'y'[/math] линии (3.65).


В случае параболы собственное значение [math]\lambda_2[/math] отлично от нуля [math](\lambda_1=0)[/math], поэтому уравнение


[math]\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0[/math]
(3.68)

имеет решения, которые определяют ось симметрии параболы. Заметим, что ось симметрии, определяемая уравнением (3.68), коллинеарна особому собственному вектору [math]\vec{s}_1[/math] (соответствующему нулевому собственному значению [math]\lambda_1=0).[/math]


Обозначим через [math]\vec{a}[/math] вектор с координатным столбцом [math]a[/math], составленным из коэффициентов линейных членов уравнения (3.65). Представим этот вектор (а также его координатный столбец) в виде


[math]\vec{a}= \vec{a}_{\operatorname{pr}}+\vec{a}_{\perp} \quad \Leftrightarrow \quad a=a_{\operatorname{pr}}+a_{\perp},[/math]

где [math]\vec{a}_{\operatorname{pr}}=\langle\vec{a},\vec{s}_1\rangle\cdot\vec{s}_1[/math] — ортогональная проекция вектора [math]\vec{a}[/math] на ось симметрии (3.68), коллинеарную [math]\vec{s}_1[/math]; [math]\vec{a}_{\perp}=\vec{a}-\vec{a}_{\operatorname{pr}}[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]\vec{a}[/math] относительно оси (3.68); [math]\vec{a}_{\operatorname{pr}},\,\vec{a}_{\perp}[/math] – координатные столбцы соответствующих векторов. Тогда для указанного разложения вектора [math]\vec{a}[/math] справедливы равенства


[math]s_1^T\cdot a_{\perp}=0, \quad s_2^T\cdot a=s_2^T\cdot a_{\perp},[/math]

поскольку [math]s_2^T\cdot a= \langle\vec{s}_2,\vec{a}\rangle= \langle\vec{s}_2, \vec{a}_{\operatorname{pr}}+\vec{a}_{\perp}\rangle= \underbrace{\langle\vec{s}_2, \vec{a}_{\operatorname{pr}}\rangle}_{0}+ \langle\vec{s}_2,\vec{a}_{\perp}\rangle= \langle\vec{s}_2,\vec{a}_{\perp}\rangle= s_2^T\cdot a_{\perp}[/math] и [math]s_1^T\cdot a_{\perp}=\langle\vec{s}_1,\vec{a}_{\perp}\rangle=0[/math], что следует из ортогональности векторов [math]\vec{s}_1[/math] и [math]\vec{a}_{\perp}.[/math]


▼ Координаты точки O' пересечения оси симметрии (3.68) с линией (3.65)

Найдем координаты точки [math]O'[/math] пересечения оси симметрии (3.68) с линией (3.65), т.е. найдем такой столбец [math]s[/math], удовлетворяющий (3.68), чтобы [math]s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=0[/math]. Для этого, учитывая (3.68), [math]\lambda_1=0[/math] и равенство [math]A=S\cdot\Lambda\cdot S^T[/math], преобразуем произведение


[math]A\cdot s=S\cdot\Lambda\cdot S^T=S\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s\\ \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s \end{pmatrix}\!= S\cdot\! \begin{pmatrix}0\\-s_2^T\cdot a\end{pmatrix}\!= -S\cdot\!\begin{pmatrix}s_1^T\cdot a_{\perp}\\ s_2^T\cdot a_{\perp}\end{pmatrix}\!= -\underbrace{S\cdot S^T}_{E}\cdot a_{\perp}=-a_{\perp}.[/math]

Поскольку матрица [math]A[/math] симметрическая, то [math]s^T\cdot A=-a_{\perp}^T[/math] и


[math]s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=-a_{\perp}^T\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0= (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0.[/math]

Добавляя уравнение [math](a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0=0[/math] к уравнению (3.68), получаем тему уравнений, определяющую начало [math]O'[/math] канонической системы координат для параболы (где [math]\vec{a}_{\operatorname{pr}}= \langle\vec{a}, \vec{s}_1\rangle\cdot \vec{s}_1[/math]):


[math]\begin{cases}\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\ (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}[/math]
(3.69)



Замечания 3.15


1. Определение центра или оси симметрии равным образом относится как к вещественным, так и мнимым линиям, т.е. включает случай комплексных решений. При этом оказывается, что координаты любого центра линии, любой точки оси симметрии являются вещественными.


2. Система уравнений [math]A\cdot s+a_{\perp}=o[/math] всегда совместна: ее решениями являются координаты центра симметрии, если линия имеет центр; либо координаты оси симметрии (коллинеарной особому собственному вектору), если поверхность не имеет центра.


3. Если система уравнений [math]A\cdot s+a=o[/math] не имеет решений, т.е. линия не имеет ни одного центра, то система


[math]\begin{cases}A\cdot s+a_{\perp}=o,\\ (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0-0,\end{cases}[/math]

совместна и ее решение определяет начало канонической системы координат. Другими словами, эта система равносильна системе (3.69) в случае параболы.


4. Направлением на координатной плоскости называют множество коллинеарных ненулевых векторов (а также множество координатных столбцов этих векторов). Все ненулевые векторы, коллинеарные, например, ненулевому вектору [math]\alpha\vec{i}+\beta\vec{j},[/math] [math]\alpha^2+\beta^2\ne0,[/math] имеют вид [math]\lambda(\alpha\vec{i}+\beta\vec{j})[/math] при [math]\lambda\ne0[/math], т.е. зависят только от отношения координат [math]\alpha:\beta[/math]. Поэтому направление обозначается отношением ос:Р, при этом базисные векторы системы координат имеют направления [math]1:0[/math] и [math]0:1[/math], а отношение [math]0:0[/math] — недопустимо. Говорят, что прямая, отрезок, вектор имеют направление [math]\alpha:\beta[/math], если они коллинеарны вектору [math]\alpha\vec{i}+\beta\vec{j},[/math]. Направления, определяемые собственными векторами линии второго порядка, будем называть собственными.


5. Два направления [math]\alpha_1:\beta_1[/math] и [math]\alpha_2:\beta_2[/math] называются взаимно сопряженными относительно квадратичной формы


[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\!\cdot A\cdot\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\!,[/math]

если [math]\begin{pmatrix}\alpha_1&\beta_1\end{pmatrix}\!\cdot A\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha_2\\\beta_2\end{pmatrix}=0[/math].


Направление [math]\alpha:\beta[/math], взаимно сопряженное самому себе, т.е. [math]\begin{pmatrix}\alpha&\beta\end{pmatrix}\!\cdot A\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=0[/math], называется самосопряженным (асимптотическим).


Асимптотические направления для гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы, пары параллельных прямых

Любая прямая неасимптотического направления пересекает линию второго порядка в двух точках (быть может мнимых). Прямая асимптотического направления либо не пересекает линию второго порядка, либо пересекает ее в одной точке, либо целиком принадлежит линии второго порядка. На рис.3.57 двойными стрелками изображены асимптотические направления для гиперболы (а), пары пересекающихся прямых (б), параболы (в), пары параллельных прямых (г).


6. Середины всех хорд неасимптотического направления [math]\alpha:\beta[/math] лежат на одной прямой, имеющей сопряженное направление. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка, сопряженным направлению [math]\alpha:\beta[/math]. На рис.3.58 изображены хорды и сопряженные им диаметры эллипса (а), гиперболы (б,в) и параболы (г). Два диаметра, имеющие сопряженные (неасимптотические) направления, называются сопряженными диаметрами. Каждый из них делит пополам все хорды, параллельные другому (на рис.3.58,а,б,в. полужирными прямыми изображены взаимно сопряженные диаметры эллипса и гиперболы).


Сопряжённые диаметры линий второго порядка - эллипса, гиперболы, параболы

7. Свойства сопряженных направлений используются в численных методах поиска минимума функций нескольких переменных.


8. Направление называется главным направлением относительно линии второго порядка, если это направление и перпендикулярное к нему являются взаимно сопряженными. Главные направления являются собственными направлениями, определяющими направления осей канонических систем координат.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved