Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Классификация линий второго порядка по инвариантам
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Классификация линий второго порядка по инвариантам Содержание 1. Преобразования квадратичной функции 2. Ортогональные инварианты квадратичной функции 3. Ортогональный семиинвариант (полуинвариант) 4. Определение вида канонического уравнения по инвариантам 5. Определение канонического базиса для линии 2-го порядка 6. Свойства собственных векторов линии 2-го порядка 7. Определение начала канонической системы координат для линии 2-го порядка 8. Оси симметрии линии 2-го порядка Преобразования квадратичной функции Рассмотрим преобразование квадратичной функции $p(x)=a_{11}\cdot x_1^2+2\cdot a_{12}\cdot x_1\cdot x_2+a_{22}\cdot x_2^2+2\cdot a_1\cdot x_1+2\cdot a_2\cdot x_2+a_0$ (3.52) при линейной невырожденной замене переменных: $\begin{cases}x_1=s_1+s_{11}\cdot x'_1+s_{12}\cdot x'_2,\\ x_2=s_2+s_{21}\cdot x'_1+s_{22}\cdot x'_2,\end{cases} \text{or} \quad x=s+S\cdot x',$ (3.53) где $s=\begin{pmatrix}s_1\\s_2\end{pmatrix}\!,~ S=\begin{pmatrix} s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22} \end{pmatrix}$ — невырожденная матрица $(\det S\ne0)$ . При любой невырожденной замене переменных квадратичной функции $p(x)$ получаем снова квадратичную функцию $p'(x')$ (см. пункт 1 замечаний 3.1): $p'(x')=a'_{11}\cdot x_1^{\prime2}+2\cdot a'_{12}\cdot x'_1\cdot x'_2+a'_{22}\cdot x_2^{\prime2}+2\cdot a'_1\cdot x'_1+2\cdot a'_2\cdot x'_2+a'_0.$ (3.54) Формулы, связывающие коэффициенты функций (3.52) и (3.54) Найдем формулы, связывающие коэффициенты функций (3.52) и (3.54). Представим квадратичные функции в матричном виде (см. пункт 6 замечаний 3.1): $p(x)=\widehat{x}^T\cdot P\cdot\widehat{x}, \quad p'(x')=\widehat{x}\,'^T\cdot P'\cdot\widehat{x}\,',$ где $P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1&a_2&a_0\end{pmatrix}\!,~ P'=\begin{pmatrix} a'_{11}& a'_{12}& a'_1\\ a'_{12}&a'_{22}&a'_2\\a'_1&a'_2&a'_0\end{pmatrix}$ — матрицы квадратичных функции, $\widehat{x}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\1 \end{pmatrix}\!,~\widehat{x}\,'=\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\1\end{pmatrix}$ — расширенные (дополненные единицей) столбцы переменных. Замену переменных (3.53) запишем для расширенных столбцов: $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_1\\s_{21}&s_{22}&s_2\\0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\1\end{pmatrix}$ т.е. $\widehat{x}=T\cdot\widehat{x}\,',$ где $T=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_1\\s_{21}&s_{22}&s_2\\0&0&1\end{pmatrix}$ — невырожденная матрица, поскольку $\det{T}=\det{S}\ne0$ (в этом можно убедиться, раскладывая определитель матрицы $T$ по третьей строке). Подставляя $\widehat{x}=T\cdot\widehat{x}\,'$ в $p(x)$ , получаем, учитывая свойство транспонирования произведения матриц $(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T$ : $p'(x')=(T\cdot\widehat{x}\,')^T\cdot P\cdot(T\cdot\widehat{x}\,')=(\widehat{x}\,')^T\cdot T^T\cdot P\cdot T\cdot(\widehat{x}\,')^T.$ Сравнивая с $p'(x')=(\widehat{x}\,')^T\cdot P'\cdot(\widehat{x}\,')$ , заключаем, что $P'=T^T\cdot P\cdot T.$ (3.55) Формулы для квадратичных функций (3.52), (3.54) Получим аналогичные формулы для квадратичных функций (3.52), (3.54), представленных в виде суммы квадратичных и линейных форм (см. пункт 6 замечаний 3.1): $\begin{gathered} p(x)=x^T\cdot A\cdot x+2\cdot a^T\cdot x+a_0,\\[3pt] p'(x')=(x')^T\cdot A'\cdot x'+2\cdot (a')^T\cdot x'+a'_0, \end{gathered}$ где $A=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\!,~ A'=\begin{pmatrix}a'_{1}\\a'_{2}\end{pmatrix}$ — матрицы квадратичных форм; $a= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{pmatrix}\!,~ A'=\begin{pmatrix} a'_{11}&a'_{12}\\ a'_{12}&a'_{22}\end{pmatrix}$ — столбцы коэффициентов линейных форм функций (3.52) и (3.54). Подставляя $x=s+S\cdot x'$ в $p(x)$ , получаем $p'(x')=(s+S\cdot x')^T\cdot A\cdot(s+S\cdot x')+2\cdot a^T\cdot(s+S\cdot x')+a_0.$ Учитывая свойства $(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T$ и $(A+B)^T=A^T+B^T$ матричных операций, симметричность матрицы $A$ (т.е. $A^T=A$ ), а также равенство $(x')^T\cdot S^T\cdot A\cdot s=\begin{pmatrix}x'_1&x'_2\end{pmatrix}\!\cdot S^T\cdot A\cdot\!\begin{pmatrix}s_1\\s_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_1&s_2\end{pmatrix}\!\cdot A^T\cdot S\cdot\!\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix}=s^T\cdot A^T\cdot S\cdot x',$ выражающее свойство транспонирования скалярного выражения (число, рассматриваемое как матрица размеров $1\times1$ , при транспонировании не изменяется), упростим квадратичную функцию $p'(x')=(x')^T\cdot S^T\cdot A\cdot S\cdot x'+2\cdot(a^T+s^T\cdot A)\cdot S\cdot x'+s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0.$ Сравнивая с $p'(x')=(x')^T\cdot A'\cdot x'+2\cdot(a')^T\cdot x'+a'_0$ , заключаем, что $A'=S^T\cdot A\cdot S;\quad a'=S^T\cdot(a+A\cdot s);\quad a'_0=s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0.$ (3.56) Итак, формулы (3.55) и (3.56) выражают преобразования квадратичных функций при линейной невырожденной замене переменных (3.53). Ортогональные инварианты квадратичной функции Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции (3.52), которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных (3.53), называются инвариантами относительно аффинной замены переменных или, короче, аффинными инвариантами квадратичной функции. Например, знак определителя $\det{A}$ матрицы квадратичной формы функции (3.52) не изменяется при замене (3.53), так как, согласно (3.56) $\det{A'}=\det(S^T\cdot A\cdot S)=\det{S^T}\cdot\det{A}\cdot\det{S}=\det\nolimits^2S\cdot\det{A},$ поскольку определитель произведения матриц равен произведению их определителей и $\det{S}^T=\det{S}$ . Аналогично, учитывая (3.55), получаем, что $\det{P'}=\det\nolimits^2T\cdot\det{P}$ , т.е. знаки определителей $\det{P'}$ и $\det{P}$ совпадают при любой линейной невырожденной замене переменных. Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции (3.52), которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных (3.53) с ортогональной матрицей $S~(S^T=S^{-1})$ , называются инвариантами относительно ортогональной замены переменных или, короче, ортогональными инвариантами квадратичной функции. Эти алгебраические выражения являются важнейшими геометрическими характеристиками линий второго порядка и могут быть использованы как для их классификации, так и для построения, поскольку преобразование прямоугольной системы координат соответствует ортогональной замене переменных. Далее, если не оговорено противное, будем рассматривать преобразования квадратичных функций при ортогональных заменах переменных. Обозначим через $\tau=a_{11}+a_{22}, \quad \delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}, \quad \Delta=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\ a_{12}&a_{22}&a_2\\ a_1&a_2&a_0 \end{vmatrix}$ выражения, зависящие от коэффициентов функции $p(x,y)=a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0,$ (3.57) а через $\tau',\delta',\Delta'$ — соответствующие выражения для функции $p'(x',y')=a'_{11}\cdot (x')^2+2\cdot a'_{12}\cdot x'\cdot y'+a_{22}\cdot (y')^2+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0,$ которая получается из $p(x,y)$ при ортогональной замене переменных (см. пункт 9 замечаний 3.1): $\begin{cases}x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y',\\ y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y',\end{cases} \text{or} \quad \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s+S\cdot\!\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\!,$ (3.58) где $s=\begin{pmatrix} x_0\\y_0 \end{pmatrix}\!,~ S=\begin{pmatrix} s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix}$ — ортогональная матрица $(S^T=S^{-1}).$ Теорема (3.4) об ортогональных инвариантах. При любой ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражения $\tau,\delta,\Delta$ не изменяются: $\tau=\tau',\,\delta=\delta',\,\Delta=\Delta'$ . Выражения $\tau,\delta,\Delta$ называются ортогональными инвариантами квадратичной функции. Доказательство Действительно, из равенства (3.55) $P'=T^T\cdot P\cdot T$ , учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а также равенство $\det{T^T}=\det{T}$ , получаем $\det{P'}= \det{T^T}\cdot \det{P}\det{T}= \det\nolimits^2T\det{P}.$ Для ортогональной матрицы $S$ : $S^T=S^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad S^T\cdot S=E \quad \Rightarrow \quad \det{S^T}\cdot\det{S}=\det{E}=1 \quad \Rightarrow \quad \det\nolimits^2S=1.$ Поскольку $\det{T}=\det{S}$ (как показано выше), получаем $\det\nolimits^2T=1$ . Следовательно, $\det{P'}=\det{P}$ , т.е. $\Delta'=\Delta$ . Рассмотрим теперь квадратичную функцию $p(x,y)-\lambda\cdot x^2-\lambda\cdot y^2$ двух переменных $x,y$ , зависящую от параметра $\lambda$ . Матрица квадратичной формы этой функции $A-\lambda\cdot E=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}-\lambda\cdot\!\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{12}&a_{22}-\lambda\end{pmatrix}$ после замены переменных (3.58) преобразуется по закону (3.56): $S^T\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot S=S^{T}\cdot A\cdot S-\lambda\cdot\underbrace{S^T\cdot S}_{E}=A'-\lambda\cdot E.$ Поскольку $\det\nolimits^2S=1$ , то $\det(A'-\lambda\cdot E)=\det{S^T}\cdot\det(A-\lambda\cdot E)\cdot\det{S}=\det\nolimits^2S\cdot\det(A-\lambda\cdot E)=\det(A-\lambda\cdot E).$ Следовательно, при любой ортогональной замене переменных (3.58) $\begin{vmatrix}a'_{11}-\lambda&a'_{12}\\a'_{12}&a'_{22}-\lambda\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{12}&a_{22}-\lambda\end{vmatrix}.$ Раскрывая определители, с учетом введенных обозначений получаем тождественное равенство двух многочленов $\lambda^2-\tau'\cdot\lambda+\delta'=\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta.$ Приравнивая коэффициенты, имеем: $\tau=\tau'$ и $\delta=\delta'$ . Таким образом, при любой ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражения $\tau,\delta,\Delta$ не изменяются: $\tau=\tau',\,\delta=\delta',\,\Delta=\Delta'$ . Теорема доказана. Замечания 3.12 1. При любой однородной $(s=0)$ ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражение $\kappa=\begin{vmatrix}a_{11}&a_1\\a_1&a_0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22}&a_2\\a_2&a_0\end{vmatrix}$ не изменяется: $\kappa=\kappa'$ . Выражение $\kappa$ называется ортогональным семиинвариантом (полуинвариантом) квадратичной функции, поскольку $\kappa$ не изменяется только при однородных ортогональных преобразованиях, т.е. при наложении дополнительного условия $s=0$ по сравнению с условиями теоремы 3.4. 2. Если у квадратичной функции (3.52) $\delta=0$ и $\Delta=0$ , то при любой ортогональной замене ее переменных (3.53) выражение $\kappa$ не изменяется: $\kappa=\kappa'$ , другими словами, выражение $\kappa$ является ортогональным инвариантом для квадратичной функции при $\delta=\Delta=0$ . 3. Характеристическим многочленом квадратной матрицы $A$ называется многочлен $\det(A-\lambda\cdot E)$ . Уравнение $\det(A-\lambda\cdot E)=0$ называется характеристическим для матрицы $A$ . 4. Из доказательства теоремы 3.4 следует, что характеристический многочлен матрицы квадратичной формы не изменяется при ортогональной замене переменных, т.е. является ортогональным инвариантом. 5. Корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы являются ортогональными инвариантами. Это следует из ортогональной инвариантности характеристического многочлена. 6. Из доказательства теоремы 3.3 следует, что для любой квадратичной функции (3.52) существует такая ортогональная замена переменных (3.53): $x=S\cdot x'$ , где $S^T=S^{-1}$ , при которой у функции (3.54) будет отсутствовать произведение переменных: $p'(x'_1,x'_2)= \lambda_1\cdot(x'_1)^2+\lambda_2\cdot(x'_2)^2+2\cdot a'_1\cdot x'_1+2\cdot a'_1\cdot x'_1+a_0,$ т.е. матрица $A'$ квадратичной формы функции (3.54) будет диагональной: $A'=S^{-1}\cdot A\cdot S=\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2\end{pmatrix}\!.$ Записывая характеристический многочлен этой матрицы, получаем $\det(\Lambda-\lambda\cdot E)= \begin{pmatrix}\lambda_1-\lambda&0\\0&\lambda_2-\lambda\end{pmatrix}= (\lambda_1-\lambda)\cdot(\lambda_2-\lambda),$ т.е. числа $\lambda_1,\lambda_2$ являются его корнями. Из инвариантности характеристических многочленов $\det(A-\lambda\cdot E)=\det(\Lambda-\lambda\cdot E)$ следует, что $\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta= (\lambda_1-\lambda)\cdot(\lambda_2-\lambda)= \lambda^2-(\lambda_1+\lambda_2)\cdot\lambda+\lambda_1\cdot\lambda_2.$ Отсюда получаем: $\tau= \lambda_1+ \lambda_2,~ \delta= \lambda_1\cdot \lambda_2$ . 7. Корни $\lambda_1,\lambda_2$ характеристического уравнения $\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta=0$ действительные, так как его дискриминант неотрицателен: $\tau^2-4\delta= (a_{11}+a_{22})^2-4(a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}^2)= (a_{11}-a_{22})^2+4a_{12}^2\geqslant0.$ 8. При линейной невырожденной замене переменных (соответственно, при преобразовании аффинных, не обязательно прямоугольных, систем координат) не изменяется знак выражений $\delta$ и $\Delta$ . Действительно, из (3.55) и (3.56) следует, что $\Delta'=\det\nolimits^2T\cdot\Delta$ и $\delta'=\det\nolimits^2T\cdot\delta$ . Таким образом, знаки выражений $\delta$ и $\Delta$ являются аффинными инвариантами квадратичной функции. 9. При умножении квадратичной функции $p(x,y)$ на отличное от нуля число $\mu$ получаем квадратичную функцию $\widetilde{p}(x,y)=\mu\cdot p(x,y)$ , для которой выражения инвариантов $\widetilde{\tau},\,\widetilde{\delta},\,\widetilde{\Delta}$ , семиинварианта $\widetilde{\kappa}$ , а также корни $\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2$ характеристического уравнения пропорциональны соответствующим выражениям $\tau,\,\delta,\,\Delta$ $\kappa,\,\lambda_1,\,\lambda_2$ для функции $p(x,y)$ : $\widetilde{\tau}=\mu\cdot\tau, \quad \widetilde{\delta}= \mu^2\cdot\delta, \quad \widetilde{\Delta}= \mu^3\cdot\Delta, \quad \widetilde{\kappa}=\mu^2\cdot\kappa, \quad \widetilde{\lambda}_1= \mu\cdot\lambda_1, \quad \widetilde{\lambda}_2=\mu\cdot\lambda_2.$ Поскольку все коэффициенты функции $p(x,y)$ умножаются на число $\mu$ , то определители второго $(\delta,\kappa)$ и третьего порядков $(\Delta)$ умножаются на $\mu^2$ и $\mu^3$ соответственно. Отсюда следует, например, что знаки выражений $\delta,\,\kappa$ и $\tau\cdot\Delta$ сохраняются. Для пропорциональных уравнений $p(x,y)=0$ и $mu\cdot p(x,y)=0$ (при любом $\mu\ne0$ ), определяющих одну и ту же линию второго порядка, постоянными характеристиками (инвариантами) являются $\operatorname{sgn}\delta,\,\operatorname{sgn}\kappa,\,\operatorname{sgn}(\tau{\cdot}\delta)$ . Определение вида канонического уравнения линии 2-го порядка по инвариантам Пусть в прямоугольной системе координат $Oxy$ линия второго порядка описывается уравнением $p(x,y)=0,$ (3.59) где $p(x,y)$ — квадратичная функция (3.57): $p(x,y)=a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x_1+2\cdot a_2\cdot y+a_0.$ Согласно теореме 3.3, в любой другой прямоугольной системе координат $O'x'y'$ уравнение этой же линии имеет вид $\widetilde{p}(x',y')=0,$ (3.60) где квадратичная функция $\widetilde{p}(x',y')=\mu\cdot\!\left(a'_{11}\cdot(x')^2+a'_{22}\cdot(y')^2+2\cdot a'_{12}\cdot x'\cdot y'+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0\right)$ (3.61) получена из квадратичной функции $p(x,y)$ в результате умножения на отличный от нуля множитель $\mu$ и ортогональной замены переменных: $\begin{cases}x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y',\\ y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y',\end{cases} \text{or} \quad \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}= s+S\cdot\! \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\!.$ (3.62) Здесь $s=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}$ — координатный столбец вектора $\vec{s}=\overrightarrow{OO'}$ переноса начала координат, $S=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix}$ — ортогональная матрица $(S^T=S^{-1})$ перехода от базиса $\vec{i},\,\vec{j}$ системы координат $Oxy$ к базису системы координат $O'x'y'$ . Корни характеристических уравнений матриц квадратичных форм, инварианты и семиинварианты квадратичных функций $p(x,y),$ $\widetilde{p}(x',y')$ обозначим соответственно $\lambda_1,~\lambda_2,~\tau,~\delta,~\Delta,~\kappa; \quad \widetilde{\lambda}_1,~\widetilde{\lambda}_2,~\widetilde{\tau},~\widetilde{\delta},~\widetilde{\Delta},~\widetilde{\kappa}.$ По теореме 3.3 и пункт 9 замечаний 3.12 эти выражения связаны формулами $\widetilde{\lambda}_1= \mu\cdot\lambda_1,~ \widetilde{\lambda}_2=\mu\cdot\lambda_2,~\widetilde{\tau}=\mu\cdot\tau;~\widetilde{\delta}=\mu^2\cdot\delta;~\widetilde{\Delta}=\mu^3\cdot\Delta;~\widetilde{\kappa}=\mu^2\cdot\kappa.$ (3.63) Используя эти связи, выясним признаки видов канонических уравнений, а также выразим коэффициенты канонических уравнений. Предполагаем, что система координат $O'x'y'$ каноническая, т.е. уравнение $\widetilde{p}(x',y')=0$ имеет один из девяти канонических видов, указанных в теореме 3.3. В этом случае матрица $\widetilde{A}$ квадратичной формы функции $\widetilde{p}(x',y')$ имеет диагональный вид: $\widetilde{A}=\begin{pmatrix}\widetilde{\lambda}_1&0\\0&\widetilde{\lambda}_2\end{pmatrix}$ Коэффициенты при квадратах неизвестных в канонических уравнениях (1)-(9) равны корням $\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2$ характеристического уравнения этой матрицы. В зависимости от знаков чисел $\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2$ уравнения (1)-(9) разбиваются на три группы: – корни $\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2}$ отличны от нуля и имеют одинаковые знаки ( $\widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1,\cdot\widetilde{\lambda}_2>0$ — эллиптический тип): уравнения эллипса (1), мнимого эллипса (2), пары мнимых пересекающихся прямых (3); – корни $\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2}$ отличны от нуля и имеют разные знаки ( $\widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1,\cdot\widetilde{\lambda}_2<0$ — гиперболический тип): уравнения гиперболы (4) или пары пересекающихся прямых (5); – один из корней $\widetilde{\lambda}_1,~ \widetilde{\lambda}_2$ равен нулю ( $\widetilde{\lambda}_1=0,~ \widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1\cdot\widetilde{\lambda}_2=0$ — параболический тип): уравнения параболы (6), пары параллельных прямых (7), пары мнимых параллельных прямых (8) или пары совпадающих прямых (9). Тип уравнения (3.59) не изменяется в ходе приведения его к каноническому виду (3.60), так как, согласно (3.63), выражения $\delta$ и $\widetilde{\delta}$ для исходного (3.59) и канонического уравнений отличаются только положительным множителем $\widetilde{\delta}=\mu^2\cdot\delta$ . Поэтому условия $\widetilde{\delta}>0,$ $\widetilde{\delta}<0,$ $\widetilde{\delta}=0,$ определяющие тип канонического уравнения, равносильны условиям $\delta>0,$ $\delta<0,$ $\delta=0,$ определяющим тип исходного уравнения. Рассмотрим уравнения эллиптического типа (δ > 0) Для уравнения (1) эллипса $\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}-1=0$ имеем: $\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2},$ $\widetilde{\tau}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}, \quad \widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}a^{-2}&0\\0&b^{-2}\end{vmatrix}=\frac{1}{a^2b^2}, \quad \widetilde{\Delta}= \begin{vmatrix} a^{-2}&0&0\\ 0&b^{-2}&0\\0&0&-1\end{vmatrix}=-\frac{1}{a^2b^2}=-\widetilde{\delta},$ значит, $\widetilde{\tau}\cdot\widetilde{\Delta}<0,~\widetilde{\Delta}=-\widetilde{\delta},~ 0<\widetilde{\lambda}_1 \leqslant\widetilde{\lambda}_2$ , так как $a\geqslant b>0$ . Учитывая (3.63), получаем: $\mu\cdot\tau\cdot\mu^3\cdot\Delta<0; \quad \mu^3\cdot\Delta=-\mu^2\cdot\delta; \quad \mu\cdot\lambda_1=\frac{1}{a^2}; \quad \mu\cdot\lambda_2=\frac{1}{b^2}; \quad 0<\mu\cdot\lambda_1\leqslant\mu\cdot\lambda_2.$ Следовательно, $\tau\cdot\Delta<0,~\mu=-\frac{\delta}{\Delta}$ . Преобразуем неравенства $0<\mu\cdot\lambda_1\leqslant\mu\cdot\lambda_2\quad \Leftrightarrow \quad 0<\|\mu\cdot\lambda_1\|\leqslant\|\mu\cdot\lambda_2\| \quad \Leftrightarrow 0<\|\lambda_1\|\leqslant\|\lambda_2\|,$ т.е. $\lambda_1$ — меньший (точнее, не больший) по модулю корень характеристического уравнения $\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta=0$ . Подставляя $\mu=-\frac{\delta}{\Delta}$ в равенства $\mu\cdot\lambda_1=\frac{1}{a^2}$ и $\mu\cdot\lambda_2=\frac{1}{b^2}$ , находим $a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}},$ и $b=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}.$ Таким образом, при $\delta>0,~\tau\cdot\Delta<0$ уравнение (3.59) описывает эллипс с полуосями $a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}},$ и $b=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}.$ Для уравнения (2) мнимого эллипса $\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}+1=0$ аналогично получаем: $\delta>0,~\tau\cdot\Delta<0,$ $a=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}},$ и $b=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}.$ Для уравнения (3) пары мнимых пересекающихся прямых $\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=0$ находим $\delta>0,$ $\Delta=0$ . В отличие от уравнений (1),(2) отсутствует связь: $\widetilde{\Delta}=\pm\widetilde{\delta}$ . Поэтому коэффициент пропорциональности $\mu$ в (3.61) найти однозначно нельзя. Однако для справедливости отношения $a=\sqrt{\frac{1}{\|\lambda_1\|}},~b=\sqrt{\frac{1}{\|\lambda_2\|}}.$ Рассмотрим уравнения гиперболического типа (δ < 0) Для уравнения (4) гиперболы $\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}-1=0$ имеем: $\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2},$ $\widetilde{\tau}=\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}, \quad \widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}a^{-2}&0\\0&-b^{-2}\end{vmatrix}=-\frac{1}{a^2b^2}, \quad \widetilde{\Delta}=\begin{vmatrix}a^{-2}&0&0\\0&-b^{-2}&0\\0&0&-1\end{vmatrix}=\frac{1}{a^2b^2}=-\widetilde{\delta},$ значит, $\widetilde{\Delta}\ne0,~ \widetilde{\Delta}=-\widetilde{\delta},~ \widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2}>0,~ \widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2}<0$ . Учитывая(3.63), получаем $\mu^3\cdot\Delta\ne0, \quad \mu^3\cdot\Delta=-\mu^2\cdot\delta, \quad \mu\cdot\lambda_1=\frac{1}{a^2}>0, \quad \mu\cdot\lambda_2=-\frac{1}{b^2}<0.$ Следовательно, $\Delta\ne0$ и $\mu=-\frac{\delta}{\Delta}$ . Подставляя $\mu=-\frac{\delta}{\Delta}$ в соотношения для корней характеристического уравнения, получаем: $-\frac{\delta}{\Delta}\lambda_1=\frac{1}{a^2}>0$ и $-\frac{\delta}{\Delta}\lambda_2=-\frac{1}{b^2}<0$ . Отсюда $a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}}$ и $b=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}$ . Так как $\delta<0$ , то $\lambda_1$ — тот корень характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком $\Delta$ , т.е. $\lambda_1\cdot\Delta>0$ (второй корень $\lambda_2$ противоположного знака). Таким образом, при $\delta<0,~\Delta\ne0$ уравнение (3.59) описывает гиперболу с полуосями $a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}}$ и $b=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}$ . Для уравнения (5) пары пересекающихся прямых $\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=0$ аналогично получаем: $\Delta=0,$ $a=\sqrt{\frac{1}{\lambda_1}},$ $b=\sqrt{-\frac{1}{\lambda_2}},$ где $\lambda_1$ — положительный корень характеристического уравнения, а $\lambda_2$ — отрицательный корень. Рассмотрим уравнения параболического типа (δ = 0) Для уравнения (6) параболы $(y')^2-2\cdot p\cdot x'=0$ имеем: $\widetilde{\lambda}_1=0,~\widetilde{\lambda}_2=1,$ $\widetilde{\tau}=1, \quad \widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}0&0\\0&1\end{vmatrix}=0, \quad \widetilde{\Delta}=\begin{vmatrix}0&0&-p\\0&1&0\\-p&0&0\end{vmatrix}=-p^2,$ значит, $\widetilde{\Delta}\ne0,~\widetilde{\Delta}=-p^2,~\widetilde{\lambda}_2=\widetilde{\tau}=1$ . Учитывая (3.63), получаем $\mu^3\cdot\Delta\ne0$ $\mu^3\cdot\Delta=-p^2$ $\mu\cdot\lambda_2=\mu\cdot\tau=1.$ Следовательно, $\Delta\ne0,$ $p=\sqrt{-\mu^3\cdot\Delta},$ $\mu=\frac{1}{\tau},$ , т.е. $p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\tau^3}}$ . Таким образом, при $\delta=0,~\Delta\ne0$ уравнение (3.59) описывает параболу с фокальным параметром $p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\tau^3}}$ . Для уравнения (7) пары параллельных прямых $(y')^2-b^2=0$ имеем: $\widetilde{\lambda}_1=0,~\widetilde{\lambda}_2=1,~\widetilde{\tau}=1,$ $\widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}0&0\\0&1\end{vmatrix}=0, \quad \widetilde{\Delta}=\begin{vmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-b^2\end{vmatrix}=0, \quad \widetilde{\kappa}= \begin{vmatrix}0&0\\0&-b^2\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1&0\\0&-b^2\end{vmatrix}=-b^2.$ Значит, $\widetilde{\Delta}=0,~ \widetilde{\lambda}_2= \widetilde{\tau}=1,~\widetilde{\kappa}=-b^2<0$ . Напомним (см. пункт 2 замечаний 3.12), что выражение $\kappa$ является ортогональным инвариантом при условиях $\delta=\Delta=0$ . Учитывая (3.63), получаем $\Delta=0,$ $\lambda_2=\tau=\frac{1}{\mu}$ $\kappa<0$ Из равенства $\widetilde{\kappa}=-b^2$ имеем $\mu^2\cdot\kappa=-b^2$ , т.е. $b=\sqrt{-\frac{\kappa}{\tau^2}}$ . Таким образом, при $\delta=0,~\Delta=0,~\kappa<0$ уравнение (3.59) является уравнением пары параллельных прямых с коэффициентом $b=\sqrt{-\frac{\kappa}{\tau^2}}$ . Для уравнения (8) пары мнимых параллельных прямых $(y')^2+b^2=0$ аналогично получаем: $\Delta=0,~\kappa>0,~b=\sqrt{\frac{\kappa}{\tau^2}}$ . Для уравнения (9) пары совпадающих прямых $(y')^2=0$ получаем: $\delta=0,~\Delta=0,~\kappa=0$ . Таким образом, классификацию поверхностей второго порядка можно записать, используя инварианты квадратичной функции (см. таблицу 3.2). Замечания 3.13 1. Матрица квадратичной формы для левой части канонических уравнений имеет диагональный вид $\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$ , где $\lambda_1,\,\lambda_2$ — корни характеристического уравнения $\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta=0$ , взятые согласно правилам: – для эллиптического случая (при $\delta>0$ ): $\|\lambda_1\|\leqslant\|\lambda_2\|$ ; – для гиперболического случая (при $\delta<0$ ): $\lambda_1\cdot\Delta>0$ , если $\Delta\ne0$ , и $\lambda_1>0$ , если $\Delta=0$ ; – для параболического случая (при $\delta=0$ ): $\lambda_1=0$ . 2. Отношения $\frac{\lambda_1}{\lambda_2},~\frac{\Delta}{\lambda_2^3}$ , где $\lambda_1,\,\lambda_2$ — корни характеристического уравнения, взятые согласно правилам пункта 1, не изменяются при умножении уравнения на отличный от нуля множитель и при ортогональной замене неизвестных. Поскольку отношение $k=\frac{b}{a}$ сторон основного прямоугольника, эксцентриситет $e$ и фокальный параметр $p$ выражаются через указанные инварианты: для эллипса $k=\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{\lambda_1}{\lambda_2}}$ $r=\sqrt{1-k^2}\,;$ для гиперболы $k=\frac{b}{a}=\sqrt{-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}}$ $r=\sqrt{1+k^2}\,;$ для эллипса, гиперболы и параболы $p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^3}}$ так как $\frac{\Delta}{\lambda_2^3}=-\frac{1}{a^2b^2}\cdot\frac{1}{1/b^6}=-\frac{b^4}{a^2}-p^2$ , то они, в свою очередь, также являются инвариантами. 3. Тип линии не изменяется при аффинном преобразовании координат (см. пункт 6 замечаний 3.12), так как сохраняется знак $\delta$ (условия $\delta>0,$ $\delta<0,$ $\delta=0$ остаются справедливыми при аффинных преобразованиях координат и при умножении уравнения на любое отличное от нуля число). Следовательно, знак $\delta$ является аффинным инвариантом линии второго порядка. Таблица 3.2. Классификация линий второго порядка по инвариантам Пример 3.23. По ортогональным инвариантам определить виды алгебраических линий второго порядка, заданных в примере 3.19: а) $x^2-y^2-4x+6y-5=0$ ; б) $x^2-4x+4y+4=0$ ; в) $3x^2+10xy+3y^2+8=0$ ; г) $52x^2+72xy+73y^2-280x-290y+325=0$ . Решение а) Для квадратичной функции $p(x,y)=x^2-y^2-4x+6y-5$ (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты $\tau=1-1=0, \quad \delta=\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}=-1, \quad \Delta=\begin{vmatrix}1&0&-2\\0&-1&3\\-2&3&-5\end{vmatrix}=5+4-9=0.$ По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает пару пересекающихся прямых, так как $\delta<0,~\Delta=0$ . б) Для квадратичной функции $p(x,y)=x^2-4x+4y+4$ (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты $\tau=1+0=1, \quad \delta= \begin{vmatrix} 1&0\\0&0 \end{vmatrix}=0, \quad \Delta= \begin{vmatrix} 1&0&-2\\ 0&0&2\\ -2&2&4 \end{vmatrix}=-4.$ По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает параболу, так как $\delta=0,~\Delta\ne0$ . в) Для квадратичной функции $p(x,y)=3x^2+10xy+3y^2+8$ (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты $\tau=3+3=6, \quad \delta=\begin{vmatrix}3&5\\5&3\end{vmatrix}=9-25=-16, \quad \Delta=\begin{vmatrix}3&5&0\\5&3&0\\0&0&8\end{vmatrix}=8{\cdot}(16)=-128.$ По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает гиперболу, так как $\delta<0,~\Delta\ne0.$ г) Для квадратичной функции $p(x,y)=52x^2+72xy+73y^2-280x-290y+325$ (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты $\tau=52+73=125, \quad \delta=\begin{vmatrix}52&36\\36&73\end{vmatrix}=2500, \quad \Delta=\begin{vmatrix}52&36&-140\\36&73&-145\\-140&-145&325\end{vmatrix}=-250000$ По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает эллипс, так как $\delta>0,~\Delta\ne0,~\tau{\cdot}\Delta<0.$ Классификация заданных линий совпадает с результатами примера 3.19. Определение канонического базиса для линии второго порядка Ненулевой столбец $s$ называется собственным вектором квадратной матрицы $A$ , если выполняется равенство $A\cdot s=\lambda\cdot s.$ Число $\lambda$ в этом равенстве называется собственным значением матрицы $A$ . Говорят, что собственный вектор $s$ соответствует (принадлежит) собственному значению $\lambda$ . Ненулевой вектор $\vec{s}$ , а также его координатный столбец $s=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}^T$ , будем называть собственным вектором линии второго порядка $a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0$ если выполняется равенство $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= \lambda\cdot\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\! \quad \Leftrightarrow \quad A\cdot s=\lambda\cdot s,$ (3.64) т.е. координатный столбец собственного вектора линии второго порядка является собственным вектором матрицы $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{pmatrix}$ . Собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению $(A{\cdot}s=0{\cdot}s\,\Leftrightarrow\,A{\cdot}s=0)$ , будем называть особым собственным вектором линии второго порядка. Перенося неизвестные в левую часть, запишем систему уравнений (3.64) в виде $\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{12}&a_{22}-\lambda\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow \quad (A-\lambda\cdot E)\cdot s=o.$ Эта однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю: $\det(A-\lambda\cdot E)=0$ . Другими словами, собственные значения матрицы $A$ являются корнями характеристического уравнения $\det(A-\lambda\cdot E)=0$ , и наоборот. Свойства собственных векторов линии второго порядка 1. Собственный вектор линии второго порядка не изменяется при ортогональном преобразовании координат и при умножении обеих частей уравнения линии на отличное от нуля число, другими словами, линии (3.59) и (3.60) имеют одинаковые собственные векторы. Доказательство Покажем сначала, что собственный вектор не изменяется при однородном ортогональном преобразовании координат. Действительно, пусть $s_1$ — собственный вектор матрицы $A$ (соответствующий собственному значению $\lambda_1$ ). Тогда вектор $s'_1=S^{-1}\cdot s_1$ является собственным для матрицы $A'=S^T\cdot A\cdot S$ , где $S$ — ортогональная матрица. В самом деле, учитывая, что $S^T=S^{-1},$ $s_1=S\cdot s'_1$ и $A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1$ получаем $A'\cdot s'_1=\underbrace{S^T\cdot A\cdot S}_{A'}\cdot \underbrace{S^{-1}\cdot s_1}_{s'_1}= S^T\cdot A\cdot \underbrace{S\cdot S^{-1}}_{E}\cdot s_1=S^T\cdot \underbrace{A\cdot s_1}_{\lambda_1\cdot s_1}=\lambda_1\cdot\underbrace{S^{-1}\cdot s_1}_{s'_1}=\lambda_1\cdot s'_1,$ т.е. $A'\cdot s'_1=\lambda_1\cdot s'_1$ . Следовательно, $s'_1$ — собственный вектор, соответствующий собственному значению $\lambda_1$ . При параллельном переносе системы координат матрица квадратичной формы не изменяется $(A'=S^T\cdot A\cdot S=A$ , если $S=E)$ , поэтому не изменяются и ее собственные векторы. Если же обе части уравнения (3.59) умножаются на отличное от нуля число $\mu$ , то все элементы матрицы $A$ , а также ее собственные значения, умножаются на число $\mu$ . Однако, собственный вектор линии не изменяется, поскольку условия $A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1$ и $\mu\cdot A\cdot s_1=\mu\cdot\lambda_1\cdot s_1$ равносильны (при $\mu\ne0\,).$ 2. Собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны. Доказательство В самом деле, пусть $\vec{s}_1$ и $\vec{s}_2$ — собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям $(\lambda_1\ne\lambda_2)$ , т.е. координатные столбцы $s_1$ , и $s_2$ этих векторов удовлетворяют условиям: $A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1$ и $A\cdot s_2=\lambda_2\cdot s_2$ . Первое равенство умножим слева на строку $s_2^T$ , а второе — на $s_1^T$ , и вычтем второе равенство из первого: $s_2^T\cdot A\cdot s_1-s_1^T\cdot A\cdot s_2= \lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2.$ Поскольку при транспонировании число (рассматриваемое как матрица размеров 1×1) не изменяется, то правую часть этого равенства можно преобразовать к виду $\lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2= \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s_2-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2= (\lambda_1-\lambda_2)\cdot s_1^T\cdot s_2,$ так как $s_2^T\cdot s_1=(s_1^T\cdot s_2)^T=s_1^T\cdot s_2$ , а левая часть рассматриваемого равенства, учитывая симметричность матрицы $A$ $(A^T=A)$ , равна нулю, так как $s_2^T\cdot A\cdot s_1= (s_1^T\cdot A^T\cdot s_2)^T= s_1^T\cdot A^T\cdot s_2= s_1^T\cdot A\cdot s_2.$ Следовательно, рассматриваемое равенство можно записать в виде $(\lambda_1-\lambda_2)\cdot s_1^T\cdot s_2=0$ или $s_1^T\cdot s_2=0,$ поскольку $\lambda_1\ne\lambda_2$ . Последнее равенство означает, что $\langle\vec{s}_1,\vec{s}_2\rangle=s_1^T\cdot s_2=0$ — скалярное произведение ненулевых векторов $\vec{s}_1$ и $\vec{s}_2$ равно нулю, т.е. они ортогональны. 3. Базисные векторы канонической системы координат являются единичными взаимно ортогональными собственными векторами линии. Доказательство Действительно, в канонической системе координат $O'\vec{s}_1\vec{s}_2$ матрица $A$ квадратичной формы имеет диагональный вид $A=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$ , где $\lambda_1,\,\lambda_2$ — корни характеристического уравнения (см. пункт 6 замечаний 3.12) или, что то же самое, собственные значения матрицы $A$ . Записывая (3.64) для координатных столбцов $s_1=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}^T,$ $s_2=\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}^T$ базисных векторов $\vec{s}_1,\,\vec{s}_2$ , получаем $\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}= \lambda\cdot\!\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\!, \quad \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}= \lambda\cdot\!\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\!.$ Первое соотношение выполняется при $\lambda=\lambda_1$ , второе — при $\lambda=\lambda_2$ . Следовательно, базисные векторы $\vec{s}_1,\,\vec{s}_2$ являются собственными, соответствующими собственным значениям $\lambda=\lambda_1$ для первого базисного вектора $(\vec{s}_1)$ , $\lambda=\lambda_2$ — для второго $(\vec{s}_2)$ . При этом не исключается случай равенства собственных значений. Таким образом, для определения канонического базиса нужно найти два взаимно ортогональных единичных собственных вектора. Замечания 3.14 1. Собственные векторы матрицы определяются неоднозначно. Например, если $s$ — собственный вектор матрицы (или линии), то столбец $\mu\cdot s$ при любом отличном от нуля числе $\mu$ также является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению $\lambda$ , что и вектор $s$ . 2. Матрицу $S$ перехода от базиса $\vec{i},\,\vec{j}$ исходной системы координат $Oxy$ к базису $\vec{s}_1,\,\vec{s}_2$ канонической системы координат $O'x'y'$ образуют координатные столбцы $s_1,\,s_2$ взаимно ортогональных единичных собственных векторов линии второго порядка. Доказательство пункта 2 В самом деле, пусть $s_1,\,s_2$ — координатные столбцы (относительно исходной системы координат $Oxy$ ) единичных взаимно ортогональных собственных векторов $\vec{s}_1,\,\vec{s}_2$ . Тогда по определению собственных векторов выполняются равенства $A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1,$ $A\cdot s_2=\lambda_2\cdot s_2,$ а из условий нормировки и ортогональности: $\langle\vec{s}_1,\vec{s}_1\rangle=s_1^T\cdot s_1=1, \quad \langle\vec{s}_1,\vec{s}_2\rangle=s_1^T\cdot s_2=0, \quad \langle\vec{s}_2,\vec{s}_2\rangle=s_2^T\cdot s_2=1.$ Составим из координатных столбцов $s_1,\,s_2$ матрицу $S=(s_1\mid s_2)$ . Во-первых, эта матрица ортогональная $(S^T=S^{-1})$ , так как $S^T \cdot S = \begin{pmatrix}s_1^T \\ \hline s_2^T\end{pmatrix} \cdot (s_1\mid s_2) = \left(\begin{array}{c\|c} s_1^T \cdot {s_1} & s_1^T \cdot {s_2} \\ \hline s_2^T \cdot {s_1} & s_2^T \cdot {s_2} \end{array}\right) = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E.$ Во-вторых, ортогональное преобразование координат с этой матрицей приводит матрицу $A$ квадратичной формы к каноническому (диагональному) виду: $\begin{gathered} A'=S^T\cdot A\cdot S=S^T\cdot A\cdot(s_1\mid s_2)= S^T\cdot(A\cdot s_1\mid A\cdot s_2)= \\[3pt] =\!\left(\frac{s_1^T}{s_2^T}\right)\!\cdot(\lambda_1\cdot s_1\mid\lambda_2\cdot s_2)= \!\left(\!\!\begin{array}{{20}c} \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s_1 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2\\\hline \lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s_2 \end{array}\!\!\right)\!= \!\left(\!\!\begin{array}{{20}c} \lambda_1\cdot1 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot0\\\hline \lambda_1\cdot0 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot1 \end{array}\!\!\right)\!= \!\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!=\Lambda. \end{gathered}$ 3. Два единичных взаимно ортогональных собственных вектора линии второго порядка определяются с точностью до множителя (–1), т.е. каждый из них можно заменить на противоположный, тем самым изменить направление соответствующей координатной оси. Для всех линий, за исключением параболы (6), выбор положительного направления на координатных осях может быть произвольным, другими словами, если, например, вектор $\vec{s}_1$ базисный, то и противоположный вектор $(-\vec{s}_1)$ также можно взять в качестве базисного. Положительное направление оси $O'x'$ (базисный вектор $\vec{s}_1$ ) для параболы нельзя менять на противоположное. Правильный выбор этих базисных векторов описан далее в пункт 2 замечаний 3.16. Определение начала канонической системы координат для линии 2-го порядка Пусть в прямоугольной системе координат $Oxy$ поверхность второго порядка задана уравнением (3.59): $a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0.$ (3.65) Выбор начала $O'$ канонической системы координат $O'x'y'$ определяется свойствами симметрии линии второго порядка. Например, координатная ось $O'x'$ является осью симметрии любой линии второго порядка; ось ординат $O'y'$ служит осью симметрии любой линии, за исключением параболы, начало координат $O'$ является центром симметрии линий (1)-(5), (7)-(9), т.е. всех линий, за исключением параболы. Точка $M_0$ называется центром симметрии (или просто центром) линии второго порядка (3.65), если вместе с каждой своей точкой $M$ линия содержит также и точку $M'$ , симметричную точке $M$ относительно $M_0$ (точка $M_0$ — середина отрезка $MM'$ ). Линия второго порядка называется центральной, если она имеет единственный центр. В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным, линия называется нецентральной. Центральными линиями являются эллипсы, гипербола и пары пересекающихся прямых (рис.3.54), единственный центр этих линий — начало координат. Остальные линии — нецентральные. Заметим, что линии эллиптического или гиперболического типов являются центральными, а линии параболического типа — нецентральными, как это указано в первом столбце таблицы 3.2. Прямая, каждая точка которой является центром симметрии, называется прямой центров. На рис.3.55 изображены линии, имеющие прямую центров (эта прямая совпадает с осью абсцисс канонической системы координат (двойная линия на рис.3.55)). Прямая $l_0$ называется осью симметрии линии второго порядка (3.65), если вместе с каждой своей точкой $M$ поверхность содержит также и точку $M'$ , симметричную точке $M$ относительно прямой $l_0$ (прямая $l_0$ перпендикулярна отрезку $MM'$ и делит его пополам). Оси симметрии линии 2-го порядка Оси симметрии имеют все линии второго порядка. Если линия центральная, то ось симметрии проходит через ее центр. Например, координатные оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипсов, гиперболы, пар пересекающихся прямых (рис.3.54). Если нецентральная линия имеет прямую центров, то эта прямая служит осью симметрии. Например, ось абсцисс канонической системы координат для пар параллельных или совпадающих прямых (рис.3.55). Ось ординат $Oy$ также является осью симметрии этих линий. Ось абсцисс $Ox$ является единственной осью симметрии для параболы (рис.3.56). Если линия (3.65) имеет хотя бы один центр, то этот центр можно принять за начало канонической системы координат (рис.3.54, 3.55). Если линия не имеет ни одного центра (является параболой), то началом канонической системы координат является точка пересечения этой параболы с ее осью симметрии (рис.3.56). Составим уравнения для определения центра линии (3.65). Для этого сделаем ортогональное преобразование координат (3.58): $\begin{cases}x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y'\\ y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y'\end{cases}$ или $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= s+S\cdot\!\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\!,$ где $s=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}$ — координатный столбец вектора $\vec{s}=\overrightarrow{OO'}$ переноса системы координат, а ортогональная матрица $S=(s_1\mid s_2)$ составлена из единичных взаимно ортогональных собственных векторов линии (3.65), соответствующих собственным значениям $\lambda_1,\,\lambda_2$ . В новой системе координат $O'x'y'$ уравнение линии будет иметь вид $\lambda_1\cdot(x')^2+\lambda_2\cdot(y')^2+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0=0,$ (3.66) где, согласно (3.56) и пункту 6 замечаний 3.12, матрица $A'=S^T\cdot A\cdot S=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$ — диагональная, столбец коэффициентов линейной формы $a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)$ , а свободный член $a'_0=p(s)=s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0.$ . Если в уравнении (3.66) отсутствуют линейные члены $(a'=o)$ , то начало координат $O'$ является центром симметрии, поскольку при одновременной замене неизвестных $x'\leftrightarrow(-x'),$ $y'\leftrightarrow(-y')$ уравнение (3.66) не изменяется. Другими словами, если координаты точки $M(x',y')$ удовлетворяют уравнению, то и координаты $(-x',-y')$ точки, симметричной точке $M$ относительно начала координат, также удовлетворяют уравнению. Так как матрица $S$ невырожденная, то равенство $a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)=o$ равносильно системе линейных уравнений: $A\cdot s+a=o \quad \text{or} \quad \begin{cases}a_{11}\cdot x_0+a_{12}\cdot y_0+a_1=0,\\ a_{12}\cdot x_0+a_{22}\cdot y_0+a_2=0,\end{cases}$ (3.67) которая определяет координаты $x_0,\,y_0$ центра симметрии, т.е. точки $O'$ . Эта система имеет единственное решение только тогда, когда $\delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}\ne0$ или $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid a)=2.$ Следовательно, условие $\delta\ne0$ является критерием наличия у линии единственного центра. При $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid a)=1$ система (3.67) имеет бесконечно много решений, т.е. центры симметрии линии образуют прямую центров. При $\operatorname{rang}A<\operatorname{rang}(A\mid a)$ система не имеет решений, т.е. линия не имеет ни одного центра. Таким образом, для линий второго порядка, имеющих хотя бы один центр симметрии, этот центр служит началом $O'$ канонической системы координат системы $O'x'y'$ . Координаты $x_0,\,y_0$ находятся как решение системы (3.67), причем это решение единственное для центральных поверхностей. Рассмотрим теперь случай, когда система (3.67) несовместна. В этом случае линия (3.65) не имеет ни одного центра (см. рис.3.56), т.е. является параболой. Уравнение оси симметрии линии (3.65) Получим уравнение оси симметрии линии (3.65). Для этого запишем столбец $a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)$ коэффициентов линейных членов уравнения (3.66), учитывая, что матрица $S=(s_1\mid s_2)$ составлена из собственных векторов матрицы $A$ , т.е. $S^T\cdot A=\Lambda\cdot S^T$ (последнее равенство можно считать матричной формой записи (3.64)): $S^T\cdot A= \Lambda\cdot S^T= \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!\cdot\! \left(\frac{s_1^T}{s_2^T}\right)=\left(\frac{\lambda_1\cdot s_1^T}{\lambda_2\cdot s_2^T}\right)\!,$ то есть $a'=\begin{pmatrix} \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a\\ \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a \end{pmatrix}\!.$ Если $\lambda_1\ne0$ , то уравнение $\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0$ , или, что то же самое, в координатной форме $\lambda_1\cdot(s_{11}\cdot x_0+s_{21}\cdot y_0)+s_{11}\cdot a_1+s_{21}\cdot a_2=0,$ имеет решение $s=\begin{pmatrix}x_0&y_0\end{pmatrix}^T$ , то, взяв точку $O'(x_0,y_0)$ в качестве начала системы координат $O'x'y'$ , получим уравнение (3.66), в котором будет отсутствовать линейный член с неизвестной $x'$ , так как $a'_1=\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0.$ Такое уравнение при замене неизвестной $x'\leftrightarrow(-x')$ не изменяется. Другими словами, если координаты точки $M(x',y')$ удовлетворяют уравнению (3.66), то и координаты $(-x',y')$ точки, симметричной точке $M$ относительно оси $O'y'$ , также удовлетворяют уравнению (3.66) (при $a'_1=0).$ Следовательно, если уравнение $\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0$ имеет решения, то оно определяет ось симметрии $O'y'$ линии (3.65). В случае параболы собственное значение $\lambda_2$ отлично от нуля $(\lambda_1=0)$ , поэтому уравнение $\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0$ (3.68) имеет решения, которые определяют ось симметрии параболы. Заметим, что ось симметрии, определяемая уравнением (3.68), коллинеарна особому собственному вектору $\vec{s}_1$ (соответствующему нулевому собственному значению $\lambda_1=0).$ Обозначим через $\vec{a}$ вектор с координатным столбцом $a$ , составленным из коэффициентов линейных членов уравнения (3.65). Представим этот вектор (а также его координатный столбец) в виде $\vec{a}= \vec{a}_{\operatorname{pr}}+\vec{a}_{\perp} \quad \Leftrightarrow \quad a=a_{\operatorname{pr}}+a_{\perp},$ где $\vec{a}_{\operatorname{pr}}=\langle\vec{a},\vec{s}_1\rangle\cdot\vec{s}_1$ — ортогональная проекция вектора $\vec{a}$ на ось симметрии (3.68), коллинеарную $\vec{s}_1$ ; $\vec{a}_{\perp}=\vec{a}-\vec{a}_{\operatorname{pr}}$ — ортогональная составляющая вектора $\vec{a}$ относительно оси (3.68); $\vec{a}_{\operatorname{pr}},\,\vec{a}_{\perp}$ – координатные столбцы соответствующих векторов. Тогда для указанного разложения вектора $\vec{a}$ справедливы равенства $s_1^T\cdot a_{\perp}=0, \quad s_2^T\cdot a=s_2^T\cdot a_{\perp},$ поскольку $s_2^T\cdot a= \langle\vec{s}_2,\vec{a}\rangle= \langle\vec{s}_2, \vec{a}_{\operatorname{pr}}+\vec{a}_{\perp}\rangle= \underbrace{\langle\vec{s}_2, \vec{a}_{\operatorname{pr}}\rangle}_{0}+ \langle\vec{s}_2,\vec{a}_{\perp}\rangle= \langle\vec{s}_2,\vec{a}_{\perp}\rangle= s_2^T\cdot a_{\perp}$ и $s_1^T\cdot a_{\perp}=\langle\vec{s}_1,\vec{a}_{\perp}\rangle=0$ , что следует из ортогональности векторов $\vec{s}_1$ и $\vec{a}_{\perp}.$ Координаты точки O' пересечения оси симметрии (3.68) с линией (3.65) Найдем координаты точки $O'$ пересечения оси симметрии (3.68) с линией (3.65), т.е. найдем такой столбец $s$ , удовлетворяющий (3.68), чтобы $s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=0$ . Для этого, учитывая (3.68), $\lambda_1=0$ и равенство $A=S\cdot\Lambda\cdot S^T$ , преобразуем произведение $A\cdot s=S\cdot\Lambda\cdot S^T=S\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s\\ \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s \end{pmatrix}\!= S\cdot\! \begin{pmatrix}0\\-s_2^T\cdot a\end{pmatrix}\!= -S\cdot\!\begin{pmatrix}s_1^T\cdot a_{\perp}\\ s_2^T\cdot a_{\perp}\end{pmatrix}\!= -\underbrace{S\cdot S^T}_{E}\cdot a_{\perp}=-a_{\perp}.$ Поскольку матрица $A$ симметрическая, то $s^T\cdot A=-a_{\perp}^T$ и $s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=-a_{\perp}^T\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0= (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0.$ Добавляя уравнение $(a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0=0$ к уравнению (3.68), получаем тему уравнений, определяющую начало $O'$ канонической системы координат для параболы (где $\vec{a}_{\operatorname{pr}}= \langle\vec{a}, \vec{s}_1\rangle\cdot \vec{s}_1$ ): $\begin{cases}\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\ (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}$ (3.69) Замечания 3.15 1. Определение центра или оси симметрии равным образом относится как к вещественным, так и мнимым линиям, т.е. включает случай комплексных решений. При этом оказывается, что координаты любого центра линии, любой точки оси симметрии являются вещественными. 2. Система уравнений $A\cdot s+a_{\perp}=o$ всегда совместна: ее решениями являются координаты центра симметрии, если линия имеет центр; либо координаты оси симметрии (коллинеарной особому собственному вектору), если поверхность не имеет центра. 3. Если система уравнений $A\cdot s+a=o$ не имеет решений, т.е. линия не имеет ни одного центра, то система $\begin{cases}A\cdot s+a_{\perp}=o,\\ (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0-0,\end{cases}$ совместна и ее решение определяет начало канонической системы координат. Другими словами, эта система равносильна системе (3.69) в случае параболы. 4. Направлением на координатной плоскости называют множество коллинеарных ненулевых векторов (а также множество координатных столбцов этих векторов). Все ненулевые векторы, коллинеарные, например, ненулевому вектору $\alpha\vec{i}+\beta\vec{j},$ $\alpha^2+\beta^2\ne0,$ имеют вид $\lambda(\alpha\vec{i}+\beta\vec{j})$ при $\lambda\ne0$ , т.е. зависят только от отношения координат $\alpha:\beta$ . Поэтому направление обозначается отношением ос:Р, при этом базисные векторы системы координат имеют направления $1:0$ и $0:1$ , а отношение $0:0$ — недопустимо. Говорят, что прямая, отрезок, вектор имеют направление $\alpha:\beta$ , если они коллинеарны вектору $\alpha\vec{i}+\beta\vec{j},$ . Направления, определяемые собственными векторами линии второго порядка, будем называть собственными. 5. Два направления $\alpha_1:\beta_1$ и $\alpha_2:\beta_2$ называются взаимно сопряженными относительно квадратичной формы $a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\!\cdot A\cdot\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\!,$ если $\begin{pmatrix}\alpha_1&\beta_1\end{pmatrix}\!\cdot A\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha_2\\\beta_2\end{pmatrix}=0$ . Направление $\alpha:\beta$ , взаимно сопряженное самому себе, т.е. $\begin{pmatrix}\alpha&\beta\end{pmatrix}\!\cdot A\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=0$ , называется самосопряженным (асимптотическим). Любая прямая неасимптотического направления пересекает линию второго порядка в двух точках (быть может мнимых). Прямая асимптотического направления либо не пересекает линию второго порядка, либо пересекает ее в одной точке, либо целиком принадлежит линии второго порядка. На рис.3.57 двойными стрелками изображены асимптотические направления для гиперболы (а), пары пересекающихся прямых (б), параболы (в), пары параллельных прямых (г). 6. Середины всех хорд неасимптотического направления $\alpha:\beta$ лежат на одной прямой, имеющей сопряженное направление. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка, сопряженным направлению $\alpha:\beta$ . На рис.3.58 изображены хорды и сопряженные им диаметры эллипса (а), гиперболы (б,в) и параболы (г). Два диаметра, имеющие сопряженные (неасимптотические) направления, называются сопряженными диаметрами. Каждый из них делит пополам все хорды, параллельные другому (на рис.3.58,а,б,в. полужирными прямыми изображены взаимно сопряженные диаметры эллипса и гиперболы).

Классификация линий второго порядка по инвариантам

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Классификация линий второго порядка по инвариантам

Преобразования квадратичной функции

Рассмотрим преобразование квадратичной функции

$p(x)=a_{11}\cdot x_1^2+2\cdot a_{12}\cdot x_1\cdot x_2+a_{22}\cdot x_2^2+2\cdot a_1\cdot x_1+2\cdot a_2\cdot x_2+a_0$

(3.52)

при линейной невырожденной замене переменных:

$\begin{cases}x_1=s_1+s_{11}\cdot x'_1+s_{12}\cdot x'_2,\\ x_2=s_2+s_{21}\cdot x'_1+s_{22}\cdot x'_2,\end{cases} \text{or} \quad x=s+S\cdot x',$

(3.53)

где $s=\begin{pmatrix}s_1\\s_2\end{pmatrix}\!,~ S=\begin{pmatrix} s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22} \end{pmatrix}$ — невырожденная матрица $(\det S\ne0)$ .

При любой невырожденной замене переменных квадратичной функции $p(x)$ получаем снова квадратичную функцию $p'(x')$ (см. пункт 1 замечаний 3.1):

$p'(x')=a'_{11}\cdot x_1^{\prime2}+2\cdot a'_{12}\cdot x'_1\cdot x'_2+a'_{22}\cdot x_2^{\prime2}+2\cdot a'_1\cdot x'_1+2\cdot a'_2\cdot x'_2+a'_0.$

(3.54)

Формулы, связывающие коэффициенты функций (3.52) и (3.54)

Найдем формулы, связывающие коэффициенты функций (3.52) и (3.54). Представим квадратичные функции в матричном виде (см. пункт 6 замечаний 3.1):

$p(x)=\widehat{x}^T\cdot P\cdot\widehat{x}, \quad p'(x')=\widehat{x}\,'^T\cdot P'\cdot\widehat{x}\,',$

где $P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1&a_2&a_0\end{pmatrix}\!,~ P'=\begin{pmatrix} a'_{11}& a'_{12}& a'_1\\ a'_{12}&a'_{22}&a'_2\\a'_1&a'_2&a'_0\end{pmatrix}$ — матрицы квадратичных функции, $\widehat{x}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\1 \end{pmatrix}\!,~\widehat{x}\,'=\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\1\end{pmatrix}$ — расширенные (дополненные единицей) столбцы переменных. Замену переменных (3.53) запишем для расширенных столбцов:

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_1\\s_{21}&s_{22}&s_2\\0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\1\end{pmatrix}$ т.е. $\widehat{x}=T\cdot\widehat{x}\,',$ где $T=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_1\\s_{21}&s_{22}&s_2\\0&0&1\end{pmatrix}$ —

невырожденная матрица, поскольку $\det{T}=\det{S}\ne0$ (в этом можно убедиться, раскладывая определитель матрицы $T$ по третьей строке).

Подставляя $\widehat{x}=T\cdot\widehat{x}\,'$ в $p(x)$ , получаем, учитывая свойство транспонирования произведения матриц $(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T$ :

$p'(x')=(T\cdot\widehat{x}\,')^T\cdot P\cdot(T\cdot\widehat{x}\,')=(\widehat{x}\,')^T\cdot T^T\cdot P\cdot T\cdot(\widehat{x}\,')^T.$

Сравнивая с $p'(x')=(\widehat{x}\,')^T\cdot P'\cdot(\widehat{x}\,')$ , заключаем, что

$P'=T^T\cdot P\cdot T.$

(3.55)

Формулы для квадратичных функций (3.52), (3.54)

Получим аналогичные формулы для квадратичных функций (3.52), (3.54), представленных в виде суммы квадратичных и линейных форм (см. пункт 6 замечаний 3.1):

$\begin{gathered} p(x)=x^T\cdot A\cdot x+2\cdot a^T\cdot x+a_0,\\[3pt] p'(x')=(x')^T\cdot A'\cdot x'+2\cdot (a')^T\cdot x'+a'_0, \end{gathered}$

где $A=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\!,~ A'=\begin{pmatrix}a'_{1}\\a'_{2}\end{pmatrix}$ — матрицы квадратичных форм; $a= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{pmatrix}\!,~ A'=\begin{pmatrix} a'_{11}&a'_{12}\\ a'_{12}&a'_{22}\end{pmatrix}$ — столбцы коэффициентов линейных форм функций (3.52) и (3.54). Подставляя $x=s+S\cdot x'$ в $p(x)$ , получаем

$p'(x')=(s+S\cdot x')^T\cdot A\cdot(s+S\cdot x')+2\cdot a^T\cdot(s+S\cdot x')+a_0.$

Учитывая свойства $(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T$ и $(A+B)^T=A^T+B^T$ матричных операций, симметричность матрицы $A$ (т.е. $A^T=A$ ), а также равенство

$(x')^T\cdot S^T\cdot A\cdot s=\begin{pmatrix}x'_1&x'_2\end{pmatrix}\!\cdot S^T\cdot A\cdot\!\begin{pmatrix}s_1\\s_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_1&s_2\end{pmatrix}\!\cdot A^T\cdot S\cdot\!\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix}=s^T\cdot A^T\cdot S\cdot x',$

выражающее свойство транспонирования скалярного выражения (число, рассматриваемое как матрица размеров $1\times1$ , при транспонировании не изменяется), упростим квадратичную функцию

$p'(x')=(x')^T\cdot S^T\cdot A\cdot S\cdot x'+2\cdot(a^T+s^T\cdot A)\cdot S\cdot x'+s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0.$

Сравнивая с $p'(x')=(x')^T\cdot A'\cdot x'+2\cdot(a')^T\cdot x'+a'_0$ , заключаем, что

$A'=S^T\cdot A\cdot S;\quad a'=S^T\cdot(a+A\cdot s);\quad a'_0=s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0.$

(3.56)

Итак, формулы (3.55) и (3.56) выражают преобразования квадратичных функций при линейной невырожденной замене переменных (3.53).

Ортогональные инварианты квадратичной функции

Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции (3.52), которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных (3.53), называются инвариантами относительно аффинной замены переменных или, короче, аффинными инвариантами квадратичной функции. Например, знак определителя $\det{A}$ матрицы квадратичной формы функции (3.52) не изменяется при замене (3.53), так как, согласно (3.56)

$\det{A'}=\det(S^T\cdot A\cdot S)=\det{S^T}\cdot\det{A}\cdot\det{S}=\det\nolimits^2S\cdot\det{A},$

поскольку определитель произведения матриц равен произведению их определителей и $\det{S}^T=\det{S}$ . Аналогично, учитывая (3.55), получаем, что $\det{P'}=\det\nolimits^2T\cdot\det{P}$ , т.е. знаки определителей $\det{P'}$ и $\det{P}$ совпадают при любой линейной невырожденной замене переменных.

Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции (3.52), которые не изменяются при линейной невырожденной замене переменных (3.53) с ортогональной матрицей $S~(S^T=S^{-1})$ , называются инвариантами относительно ортогональной замены переменных или, короче, ортогональными инвариантами квадратичной функции. Эти алгебраические выражения являются важнейшими геометрическими характеристиками линий второго порядка и могут быть использованы как для их классификации, так и для построения, поскольку преобразование прямоугольной системы координат соответствует ортогональной замене переменных. Далее, если не оговорено противное, будем рассматривать преобразования квадратичных функций при ортогональных заменах переменных.

Обозначим через

$\tau=a_{11}+a_{22}, \quad \delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}, \quad \Delta=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_1\\ a_{12}&a_{22}&a_2\\ a_1&a_2&a_0 \end{vmatrix}$

выражения, зависящие от коэффициентов функции

$p(x,y)=a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0,$

(3.57)

а через $\tau',\delta',\Delta'$ — соответствующие выражения для функции

$p'(x',y')=a'_{11}\cdot (x')^2+2\cdot a'_{12}\cdot x'\cdot y'+a_{22}\cdot (y')^2+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0,$

которая получается из $p(x,y)$ при ортогональной замене переменных (см. пункт 9 замечаний 3.1):

$\begin{cases}x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y',\\ y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y',\end{cases} \text{or} \quad \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s+S\cdot\!\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\!,$

(3.58)

где $s=\begin{pmatrix} x_0\\y_0 \end{pmatrix}\!,~ S=\begin{pmatrix} s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix}$ — ортогональная матрица $(S^T=S^{-1}).$

Теорема (3.4) об ортогональных инвариантах. При любой ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражения $\tau,\delta,\Delta$ не изменяются: $\tau=\tau',\,\delta=\delta',\,\Delta=\Delta'$ .

Выражения $\tau,\delta,\Delta$ называются ортогональными инвариантами квадратичной функции.

Доказательство

Действительно, из равенства (3.55) $P'=T^T\cdot P\cdot T$ , учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а также равенство $\det{T^T}=\det{T}$ , получаем

$\det{P'}= \det{T^T}\cdot \det{P}\det{T}= \det\nolimits^2T\det{P}.$

Для ортогональной матрицы $S$ :

$S^T=S^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad S^T\cdot S=E \quad \Rightarrow \quad \det{S^T}\cdot\det{S}=\det{E}=1 \quad \Rightarrow \quad \det\nolimits^2S=1.$

Поскольку $\det{T}=\det{S}$ (как показано выше), получаем $\det\nolimits^2T=1$ . Следовательно, $\det{P'}=\det{P}$ , т.е. $\Delta'=\Delta$ .

Рассмотрим теперь квадратичную функцию

$p(x,y)-\lambda\cdot x^2-\lambda\cdot y^2$

двух переменных $x,y$ , зависящую от параметра $\lambda$ . Матрица квадратичной формы этой функции

$A-\lambda\cdot E=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}-\lambda\cdot\!\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{12}&a_{22}-\lambda\end{pmatrix}$

после замены переменных (3.58) преобразуется по закону (3.56):

$S^T\cdot(A-\lambda\cdot E)\cdot S=S^{T}\cdot A\cdot S-\lambda\cdot\underbrace{S^T\cdot S}_{E}=A'-\lambda\cdot E.$

Поскольку $\det\nolimits^2S=1$ , то

$\det(A'-\lambda\cdot E)=\det{S^T}\cdot\det(A-\lambda\cdot E)\cdot\det{S}=\det\nolimits^2S\cdot\det(A-\lambda\cdot E)=\det(A-\lambda\cdot E).$

Следовательно, при любой ортогональной замене переменных (3.58)

$\begin{vmatrix}a'_{11}-\lambda&a'_{12}\\a'_{12}&a'_{22}-\lambda\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{12}&a_{22}-\lambda\end{vmatrix}.$

Раскрывая определители, с учетом введенных обозначений получаем тождественное равенство двух многочленов

$\lambda^2-\tau'\cdot\lambda+\delta'=\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta.$

Приравнивая коэффициенты, имеем: $\tau=\tau'$ и $\delta=\delta'$ . Таким образом, при любой ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражения $\tau,\delta,\Delta$ не изменяются: $\tau=\tau',\,\delta=\delta',\,\Delta=\Delta'$ . Теорема доказана.

Замечания 3.12

1. При любой однородной $(s=0)$ ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражение

$\kappa=\begin{vmatrix}a_{11}&a_1\\a_1&a_0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{22}&a_2\\a_2&a_0\end{vmatrix}$ не изменяется: $\kappa=\kappa'$ .

Выражение $\kappa$ называется ортогональным семиинвариантом (полуинвариантом) квадратичной функции, поскольку $\kappa$ не изменяется только при однородных ортогональных преобразованиях, т.е. при наложении дополнительного условия $s=0$ по сравнению с условиями теоремы 3.4.

2. Если у квадратичной функции (3.52) $\delta=0$ и $\Delta=0$ , то при любой ортогональной замене ее переменных (3.53) выражение $\kappa$ не изменяется: $\kappa=\kappa'$ , другими словами, выражение $\kappa$ является ортогональным инвариантом для квадратичной функции при $\delta=\Delta=0$ .

3. Характеристическим многочленом квадратной матрицы $A$ называется многочлен $\det(A-\lambda\cdot E)$ . Уравнение $\det(A-\lambda\cdot E)=0$ называется характеристическим для матрицы $A$ .

4. Из доказательства теоремы 3.4 следует, что характеристический многочлен матрицы квадратичной формы не изменяется при ортогональной замене переменных, т.е. является ортогональным инвариантом.

5. Корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы являются ортогональными инвариантами.

Это следует из ортогональной инвариантности характеристического многочлена.

6. Из доказательства теоремы 3.3 следует, что для любой квадратичной функции (3.52) существует такая ортогональная замена переменных (3.53): $x=S\cdot x'$ , где $S^T=S^{-1}$ , при которой у функции (3.54) будет отсутствовать произведение переменных:

$p'(x'_1,x'_2)= \lambda_1\cdot(x'_1)^2+\lambda_2\cdot(x'_2)^2+2\cdot a'_1\cdot x'_1+2\cdot a'_1\cdot x'_1+a_0,$

т.е. матрица $A'$ квадратичной формы функции (3.54) будет диагональной:

$A'=S^{-1}\cdot A\cdot S=\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2\end{pmatrix}\!.$

Записывая характеристический многочлен этой матрицы, получаем

$\det(\Lambda-\lambda\cdot E)= \begin{pmatrix}\lambda_1-\lambda&0\\0&\lambda_2-\lambda\end{pmatrix}= (\lambda_1-\lambda)\cdot(\lambda_2-\lambda),$

т.е. числа $\lambda_1,\lambda_2$ являются его корнями. Из инвариантности характеристических многочленов $\det(A-\lambda\cdot E)=\det(\Lambda-\lambda\cdot E)$ следует, что

$\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta= (\lambda_1-\lambda)\cdot(\lambda_2-\lambda)= \lambda^2-(\lambda_1+\lambda_2)\cdot\lambda+\lambda_1\cdot\lambda_2.$

Отсюда получаем: $\tau= \lambda_1+ \lambda_2,~ \delta= \lambda_1\cdot \lambda_2$ .

7. Корни $\lambda_1,\lambda_2$ характеристического уравнения $\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta=0$ действительные, так как его дискриминант неотрицателен:

$\tau^2-4\delta= (a_{11}+a_{22})^2-4(a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}^2)= (a_{11}-a_{22})^2+4a_{12}^2\geqslant0.$

8. При линейной невырожденной замене переменных (соответственно, при преобразовании аффинных, не обязательно прямоугольных, систем координат) не изменяется знак выражений $\delta$ и $\Delta$ . Действительно, из (3.55) и (3.56) следует, что $\Delta'=\det\nolimits^2T\cdot\Delta$ и $\delta'=\det\nolimits^2T\cdot\delta$ . Таким образом, знаки выражений $\delta$ и $\Delta$ являются аффинными инвариантами квадратичной функции.

9. При умножении квадратичной функции $p(x,y)$ на отличное от нуля число $\mu$ получаем квадратичную функцию $\widetilde{p}(x,y)=\mu\cdot p(x,y)$ , для которой выражения инвариантов $\widetilde{\tau},\,\widetilde{\delta},\,\widetilde{\Delta}$ , семиинварианта $\widetilde{\kappa}$ , а также корни $\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2$ характеристического уравнения пропорциональны соответствующим выражениям $\tau,\,\delta,\,\Delta$ $\kappa,\,\lambda_1,\,\lambda_2$ для функции $p(x,y)$ :

$\widetilde{\tau}=\mu\cdot\tau, \quad \widetilde{\delta}= \mu^2\cdot\delta, \quad \widetilde{\Delta}= \mu^3\cdot\Delta, \quad \widetilde{\kappa}=\mu^2\cdot\kappa, \quad \widetilde{\lambda}_1= \mu\cdot\lambda_1, \quad \widetilde{\lambda}_2=\mu\cdot\lambda_2.$

Поскольку все коэффициенты функции $p(x,y)$ умножаются на число $\mu$ , то определители второго $(\delta,\kappa)$ и третьего порядков $(\Delta)$ умножаются на $\mu^2$ и $\mu^3$ соответственно.

Отсюда следует, например, что знаки выражений $\delta,\,\kappa$ и $\tau\cdot\Delta$ сохраняются. Для пропорциональных уравнений $p(x,y)=0$ и $mu\cdot p(x,y)=0$ (при любом $\mu\ne0$ ), определяющих одну и ту же линию второго порядка, постоянными характеристиками (инвариантами) являются $\operatorname{sgn}\delta,\,\operatorname{sgn}\kappa,\,\operatorname{sgn}(\tau{\cdot}\delta)$ .

Определение вида канонического уравнения линии 2-го порядка по инвариантам

Пусть в прямоугольной системе координат $Oxy$ линия второго порядка описывается уравнением

$p(x,y)=0,$

(3.59)

где $p(x,y)$ — квадратичная функция (3.57):

$p(x,y)=a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x_1+2\cdot a_2\cdot y+a_0.$

Согласно теореме 3.3, в любой другой прямоугольной системе координат $O'x'y'$ уравнение этой же линии имеет вид

$\widetilde{p}(x',y')=0,$

(3.60)

где квадратичная функция

$\widetilde{p}(x',y')=\mu\cdot\!\left(a'_{11}\cdot(x')^2+a'_{22}\cdot(y')^2+2\cdot a'_{12}\cdot x'\cdot y'+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0\right)$

(3.61)

получена из квадратичной функции $p(x,y)$ в результате умножения на отличный от нуля множитель $\mu$ и ортогональной замены переменных:

$\begin{cases}x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y',\\ y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y',\end{cases} \text{or} \quad \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}= s+S\cdot\! \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}\!.$

(3.62)

Здесь $s=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}$ — координатный столбец вектора $\vec{s}=\overrightarrow{OO'}$ переноса начала координат, $S=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}\\s_{21}&s_{22}\end{pmatrix}$ — ортогональная матрица $(S^T=S^{-1})$ перехода от базиса $\vec{i},\,\vec{j}$ системы координат $Oxy$ к базису системы координат $O'x'y'$ .

Корни характеристических уравнений матриц квадратичных форм, инварианты и семиинварианты квадратичных функций $p(x,y),$ $\widetilde{p}(x',y')$ обозначим соответственно

$\lambda_1,~\lambda_2,~\tau,~\delta,~\Delta,~\kappa; \quad \widetilde{\lambda}_1,~\widetilde{\lambda}_2,~\widetilde{\tau},~\widetilde{\delta},~\widetilde{\Delta},~\widetilde{\kappa}.$

По теореме 3.3 и пункт 9 замечаний 3.12 эти выражения связаны формулами

$\widetilde{\lambda}_1= \mu\cdot\lambda_1,~ \widetilde{\lambda}_2=\mu\cdot\lambda_2,~\widetilde{\tau}=\mu\cdot\tau;~\widetilde{\delta}=\mu^2\cdot\delta;~\widetilde{\Delta}=\mu^3\cdot\Delta;~\widetilde{\kappa}=\mu^2\cdot\kappa.$

(3.63)

Используя эти связи, выясним признаки видов канонических уравнений, а также выразим коэффициенты канонических уравнений. Предполагаем, что система координат $O'x'y'$ каноническая, т.е. уравнение $\widetilde{p}(x',y')=0$ имеет один из девяти канонических видов, указанных в теореме 3.3. В этом случае матрица $\widetilde{A}$ квадратичной формы функции $\widetilde{p}(x',y')$ имеет диагональный вид:

$\widetilde{A}=\begin{pmatrix}\widetilde{\lambda}_1&0\\0&\widetilde{\lambda}_2\end{pmatrix}$

Коэффициенты при квадратах неизвестных в канонических уравнениях (1)-(9) равны корням $\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2$ характеристического уравнения этой матрицы. В зависимости от знаков чисел $\widetilde{\lambda}_1,\,\widetilde{\lambda}_2$ уравнения (1)-(9) разбиваются на три группы:

– корни $\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2}$ отличны от нуля и имеют одинаковые знаки ( $\widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1,\cdot\widetilde{\lambda}_2>0$ — эллиптический тип): уравнения эллипса (1), мнимого эллипса (2), пары мнимых пересекающихся прямых (3);

– корни $\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2}$ отличны от нуля и имеют разные знаки ( $\widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1,\cdot\widetilde{\lambda}_2<0$ — гиперболический тип): уравнения гиперболы (4) или пары пересекающихся прямых (5);

– один из корней $\widetilde{\lambda}_1,~ \widetilde{\lambda}_2$ равен нулю ( $\widetilde{\lambda}_1=0,~ \widetilde{\delta}=\widetilde{\lambda}_1\cdot\widetilde{\lambda}_2=0$ — параболический тип): уравнения параболы (6), пары параллельных прямых (7), пары мнимых параллельных прямых (8) или пары совпадающих прямых (9).

Тип уравнения (3.59) не изменяется в ходе приведения его к каноническому виду (3.60), так как, согласно (3.63), выражения $\delta$ и $\widetilde{\delta}$ для исходного (3.59) и канонического уравнений отличаются только положительным множителем $\widetilde{\delta}=\mu^2\cdot\delta$ . Поэтому условия $\widetilde{\delta}>0,$ $\widetilde{\delta}<0,$ $\widetilde{\delta}=0,$ определяющие тип канонического уравнения, равносильны условиям $\delta>0,$ $\delta<0,$ $\delta=0,$ определяющим тип исходного уравнения.

Рассмотрим уравнения эллиптического типа (δ > 0)

Для уравнения (1) эллипса $\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}-1=0$ имеем: $\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=\frac{1}{b^2},$

$\widetilde{\tau}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}, \quad \widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}a^{-2}&0\\0&b^{-2}\end{vmatrix}=\frac{1}{a^2b^2}, \quad \widetilde{\Delta}= \begin{vmatrix} a^{-2}&0&0\\ 0&b^{-2}&0\\0&0&-1\end{vmatrix}=-\frac{1}{a^2b^2}=-\widetilde{\delta},$

значит, $\widetilde{\tau}\cdot\widetilde{\Delta}<0,~\widetilde{\Delta}=-\widetilde{\delta},~ 0<\widetilde{\lambda}_1 \leqslant\widetilde{\lambda}_2$ , так как $a\geqslant b>0$ . Учитывая (3.63), получаем:

$\mu\cdot\tau\cdot\mu^3\cdot\Delta<0; \quad \mu^3\cdot\Delta=-\mu^2\cdot\delta; \quad \mu\cdot\lambda_1=\frac{1}{a^2}; \quad \mu\cdot\lambda_2=\frac{1}{b^2}; \quad 0<\mu\cdot\lambda_1\leqslant\mu\cdot\lambda_2.$

Следовательно, $\tau\cdot\Delta<0,~\mu=-\frac{\delta}{\Delta}$ . Преобразуем неравенства

т.е. $\lambda_1$ — меньший (точнее, не больший) по модулю корень характеристического уравнения $\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta=0$ . Подставляя $\mu=-\frac{\delta}{\Delta}$ в равенства $\mu\cdot\lambda_1=\frac{1}{a^2}$ и $\mu\cdot\lambda_2=\frac{1}{b^2}$ , находим $a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}},$ и $b=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}.$

Таким образом, при $\delta>0,~\tau\cdot\Delta<0$ уравнение (3.59) описывает эллипс с полуосями $a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}},$ и $b=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}.$

Для уравнения (2) мнимого эллипса $\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}+1=0$ аналогично получаем: $\delta>0,~\tau\cdot\Delta<0,$ $a=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}},$ и $b=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}.$

Для уравнения (3) пары мнимых пересекающихся прямых $\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=0$ находим $\delta>0,$ $\Delta=0$ . В отличие от уравнений (1),(2) отсутствует связь: $\widetilde{\Delta}=\pm\widetilde{\delta}$ . Поэтому коэффициент пропорциональности $\mu$ в (3.61) найти однозначно нельзя. Однако для справедливости отношения $a=\sqrt{\frac{1}{|\lambda_1|}},~b=\sqrt{\frac{1}{|\lambda_2|}}.$

Рассмотрим уравнения гиперболического типа (δ < 0)

Для уравнения (4) гиперболы $\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}-1=0$ имеем: $\widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2},~\widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2},$

$\widetilde{\tau}=\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}, \quad \widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}a^{-2}&0\\0&-b^{-2}\end{vmatrix}=-\frac{1}{a^2b^2}, \quad \widetilde{\Delta}=\begin{vmatrix}a^{-2}&0&0\\0&-b^{-2}&0\\0&0&-1\end{vmatrix}=\frac{1}{a^2b^2}=-\widetilde{\delta},$

значит, $\widetilde{\Delta}\ne0,~ \widetilde{\Delta}=-\widetilde{\delta},~ \widetilde{\lambda}_1=\frac{1}{a^2}>0,~ \widetilde{\lambda}_2=-\frac{1}{b^2}<0$ . Учитывая(3.63), получаем

$\mu^3\cdot\Delta\ne0, \quad \mu^3\cdot\Delta=-\mu^2\cdot\delta, \quad \mu\cdot\lambda_1=\frac{1}{a^2}>0, \quad \mu\cdot\lambda_2=-\frac{1}{b^2}<0.$

Следовательно, $\Delta\ne0$ и $\mu=-\frac{\delta}{\Delta}$ . Подставляя $\mu=-\frac{\delta}{\Delta}$ в соотношения для корней характеристического уравнения, получаем: $-\frac{\delta}{\Delta}\lambda_1=\frac{1}{a^2}>0$ и $-\frac{\delta}{\Delta}\lambda_2=-\frac{1}{b^2}<0$ . Отсюда $a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}}$ и $b=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}$ . Так как $\delta<0$ , то $\lambda_1$ — тот корень характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком $\Delta$ , т.е. $\lambda_1\cdot\Delta>0$ (второй корень $\lambda_2$ противоположного знака).

Таким образом, при $\delta<0,~\Delta\ne0$ уравнение (3.59) описывает гиперболу с полуосями $a=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1\delta}}$ и $b=\sqrt{\frac{\Delta}{\lambda_2\delta}}$ .

Для уравнения (5) пары пересекающихся прямых $\frac{(x')^2}{a^2}-\frac{(y')^2}{b^2}=0$ аналогично получаем: $\Delta=0,$ $a=\sqrt{\frac{1}{\lambda_1}},$ $b=\sqrt{-\frac{1}{\lambda_2}},$ где $\lambda_1$ — положительный корень характеристического уравнения, а $\lambda_2$ — отрицательный корень.

Рассмотрим уравнения параболического типа (δ = 0)

Для уравнения (6) параболы $(y')^2-2\cdot p\cdot x'=0$ имеем: $\widetilde{\lambda}_1=0,~\widetilde{\lambda}_2=1,$

$\widetilde{\tau}=1, \quad \widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}0&0\\0&1\end{vmatrix}=0, \quad \widetilde{\Delta}=\begin{vmatrix}0&0&-p\\0&1&0\\-p&0&0\end{vmatrix}=-p^2,$

значит, $\widetilde{\Delta}\ne0,~\widetilde{\Delta}=-p^2,~\widetilde{\lambda}_2=\widetilde{\tau}=1$ . Учитывая (3.63), получаем $\mu^3\cdot\Delta\ne0$ $\mu^3\cdot\Delta=-p^2$ $\mu\cdot\lambda_2=\mu\cdot\tau=1.$ Следовательно, $\Delta\ne0,$ $p=\sqrt{-\mu^3\cdot\Delta},$ $\mu=\frac{1}{\tau},$ , т.е. $p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\tau^3}}$ .

Таким образом, при $\delta=0,~\Delta\ne0$ уравнение (3.59) описывает параболу с фокальным параметром $p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\tau^3}}$ .

Для уравнения (7) пары параллельных прямых $(y')^2-b^2=0$ имеем: $\widetilde{\lambda}_1=0,~\widetilde{\lambda}_2=1,~\widetilde{\tau}=1,$

$\widetilde{\delta}=\begin{vmatrix}0&0\\0&1\end{vmatrix}=0, \quad \widetilde{\Delta}=\begin{vmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-b^2\end{vmatrix}=0, \quad \widetilde{\kappa}= \begin{vmatrix}0&0\\0&-b^2\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1&0\\0&-b^2\end{vmatrix}=-b^2.$

Значит, $\widetilde{\Delta}=0,~ \widetilde{\lambda}_2= \widetilde{\tau}=1,~\widetilde{\kappa}=-b^2<0$ . Напомним (см. пункт 2 замечаний 3.12), что выражение $\kappa$ является ортогональным инвариантом при условиях $\delta=\Delta=0$ . Учитывая (3.63), получаем $\Delta=0,$ $\lambda_2=\tau=\frac{1}{\mu}$ $\kappa<0$ Из равенства $\widetilde{\kappa}=-b^2$ имеем $\mu^2\cdot\kappa=-b^2$ , т.е. $b=\sqrt{-\frac{\kappa}{\tau^2}}$ .

Таким образом, при $\delta=0,~\Delta=0,~\kappa<0$ уравнение (3.59) является уравнением пары параллельных прямых с коэффициентом $b=\sqrt{-\frac{\kappa}{\tau^2}}$ .

Для уравнения (8) пары мнимых параллельных прямых $(y')^2+b^2=0$ аналогично получаем: $\Delta=0,~\kappa>0,~b=\sqrt{\frac{\kappa}{\tau^2}}$ .

Для уравнения (9) пары совпадающих прямых $(y')^2=0$ получаем: $\delta=0,~\Delta=0,~\kappa=0$ .

Таким образом, классификацию поверхностей второго порядка можно записать, используя инварианты квадратичной функции (см. таблицу 3.2).

Замечания 3.13

1. Матрица квадратичной формы для левой части канонических уравнений имеет диагональный вид $\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$ , где $\lambda_1,\,\lambda_2$ — корни характеристического уравнения $\lambda^2-\tau\cdot\lambda+\delta=0$ , взятые согласно правилам:

– для эллиптического случая (при $\delta>0$ ): $|\lambda_1|\leqslant|\lambda_2|$ ;

– для гиперболического случая (при $\delta<0$ ): $\lambda_1\cdot\Delta>0$ , если $\Delta\ne0$ , и $\lambda_1>0$ , если $\Delta=0$ ;

– для параболического случая (при $\delta=0$ ): $\lambda_1=0$ .

2. Отношения $\frac{\lambda_1}{\lambda_2},~\frac{\Delta}{\lambda_2^3}$ , где $\lambda_1,\,\lambda_2$ — корни характеристического уравнения, взятые согласно правилам пункта 1, не изменяются при умножении уравнения на отличный от нуля множитель и при ортогональной замене неизвестных.

Поскольку отношение $k=\frac{b}{a}$ сторон основного прямоугольника, эксцентриситет $e$ и фокальный параметр $p$ выражаются через указанные инварианты: для эллипса $k=\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{\lambda_1}{\lambda_2}}$ $r=\sqrt{1-k^2}\,;$ для гиперболы $k=\frac{b}{a}=\sqrt{-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}}$ $r=\sqrt{1+k^2}\,;$ для эллипса, гиперболы и параболы $p=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_2^3}}$ так как $\frac{\Delta}{\lambda_2^3}=-\frac{1}{a^2b^2}\cdot\frac{1}{1/b^6}=-\frac{b^4}{a^2}-p^2$ , то они, в свою очередь, также являются инвариантами.

3. Тип линии не изменяется при аффинном преобразовании координат (см. пункт 6 замечаний 3.12), так как сохраняется знак $\delta$ (условия $\delta>0,$ $\delta<0,$ $\delta=0$ остаются справедливыми при аффинных преобразованиях координат и при умножении уравнения на любое отличное от нуля число). Следовательно, знак $\delta$ является аффинным инвариантом линии второго порядка.

Таблица 3.2. Классификация линий второго порядка по инвариантам

Классификация линий второго порядка по инвариантам

Пример 3.23. По ортогональным инвариантам определить виды алгебраических линий второго порядка, заданных в примере 3.19:

а) $x^2-y^2-4x+6y-5=0$ ;

б) $x^2-4x+4y+4=0$ ;

в) $3x^2+10xy+3y^2+8=0$ ;

г) $52x^2+72xy+73y^2-280x-290y+325=0$ .

Решение

а) Для квадратичной функции $p(x,y)=x^2-y^2-4x+6y-5$ (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты

$\tau=1-1=0, \quad \delta=\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}=-1, \quad \Delta=\begin{vmatrix}1&0&-2\\0&-1&3\\-2&3&-5\end{vmatrix}=5+4-9=0.$

По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает пару пересекающихся прямых, так как $\delta<0,~\Delta=0$ .

б) Для квадратичной функции $p(x,y)=x^2-4x+4y+4$ (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты

$\tau=1+0=1, \quad \delta= \begin{vmatrix} 1&0\\0&0 \end{vmatrix}=0, \quad \Delta= \begin{vmatrix} 1&0&-2\\ 0&0&2\\ -2&2&4 \end{vmatrix}=-4.$

По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает параболу, так как $\delta=0,~\Delta\ne0$ .

в) Для квадратичной функции $p(x,y)=3x^2+10xy+3y^2+8$ (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты

$\tau=3+3=6, \quad \delta=\begin{vmatrix}3&5\\5&3\end{vmatrix}=9-25=-16, \quad \Delta=\begin{vmatrix}3&5&0\\5&3&0\\0&0&8\end{vmatrix}=8{\cdot}(16)=-128.$

По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает гиперболу, так как $\delta<0,~\Delta\ne0.$

г) Для квадратичной функции $p(x,y)=52x^2+72xy+73y^2-280x-290y+325$ (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты

$\tau=52+73=125, \quad \delta=\begin{vmatrix}52&36\\36&73\end{vmatrix}=2500, \quad \Delta=\begin{vmatrix}52&36&-140\\36&73&-145\\-140&-145&325\end{vmatrix}=-250000$

По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает эллипс, так как $\delta>0,~\Delta\ne0,~\tau{\cdot}\Delta<0.$

Классификация заданных линий совпадает с результатами примера 3.19.

Определение канонического базиса для линии второго порядка

Ненулевой столбец $s$ называется собственным вектором квадратной матрицы $A$ , если выполняется равенство

$A\cdot s=\lambda\cdot s.$

Число $\lambda$ в этом равенстве называется собственным значением матрицы $A$ . Говорят, что собственный вектор $s$ соответствует (принадлежит) собственному значению $\lambda$ .

Ненулевой вектор $\vec{s}$ , а также его координатный столбец $s=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}^T$ , будем называть собственным вектором линии второго порядка

$a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0$

если выполняется равенство

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= \lambda\cdot\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\! \quad \Leftrightarrow \quad A\cdot s=\lambda\cdot s,$

(3.64)

т.е. координатный столбец собственного вектора линии второго порядка является собственным вектором матрицы $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{pmatrix}$ . Собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению $(A{\cdot}s=0{\cdot}s\,\Leftrightarrow\,A{\cdot}s=0)$ , будем называть особым собственным вектором линии второго порядка.

Перенося неизвестные в левую часть, запишем систему уравнений (3.64) в виде

$\begin{pmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}\\a_{12}&a_{22}-\lambda\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\!\quad \Leftrightarrow \quad (A-\lambda\cdot E)\cdot s=o.$

Эта однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю: $\det(A-\lambda\cdot E)=0$ . Другими словами, собственные значения матрицы $A$ являются корнями характеристического уравнения $\det(A-\lambda\cdot E)=0$ , и наоборот.

Свойства собственных векторов линии второго порядка

1. Собственный вектор линии второго порядка не изменяется при ортогональном преобразовании координат и при умножении обеих частей уравнения линии на отличное от нуля число, другими словами, линии (3.59) и (3.60) имеют одинаковые собственные векторы.

Доказательство

Покажем сначала, что собственный вектор не изменяется при однородном ортогональном преобразовании координат. Действительно, пусть $s_1$ — собственный вектор матрицы $A$ (соответствующий собственному значению $\lambda_1$ ). Тогда вектор $s'_1=S^{-1}\cdot s_1$ является собственным для матрицы $A'=S^T\cdot A\cdot S$ , где $S$ — ортогональная матрица. В самом деле, учитывая, что $S^T=S^{-1},$ $s_1=S\cdot s'_1$ и $A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1$ получаем

$A'\cdot s'_1=\underbrace{S^T\cdot A\cdot S}_{A'}\cdot \underbrace{S^{-1}\cdot s_1}_{s'_1}= S^T\cdot A\cdot \underbrace{S\cdot S^{-1}}_{E}\cdot s_1=S^T\cdot \underbrace{A\cdot s_1}_{\lambda_1\cdot s_1}=\lambda_1\cdot\underbrace{S^{-1}\cdot s_1}_{s'_1}=\lambda_1\cdot s'_1,$

т.е. $A'\cdot s'_1=\lambda_1\cdot s'_1$ . Следовательно, $s'_1$ — собственный вектор, соответствующий собственному значению $\lambda_1$ .

При параллельном переносе системы координат матрица квадратичной формы не изменяется $(A'=S^T\cdot A\cdot S=A$ , если $S=E)$ , поэтому не изменяются и ее собственные векторы. Если же обе части уравнения (3.59) умножаются на отличное от нуля число $\mu$ , то все элементы матрицы $A$ , а также ее собственные значения, умножаются на число $\mu$ . Однако, собственный вектор линии не изменяется, поскольку условия $A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1$ и $\mu\cdot A\cdot s_1=\mu\cdot\lambda_1\cdot s_1$ равносильны (при $\mu\ne0\,).$

2. Собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство

В самом деле, пусть $\vec{s}_1$ и $\vec{s}_2$ — собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям $(\lambda_1\ne\lambda_2)$ , т.е. координатные столбцы $s_1$ , и $s_2$ этих векторов удовлетворяют условиям: $A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1$ и $A\cdot s_2=\lambda_2\cdot s_2$ . Первое равенство умножим слева на строку $s_2^T$ , а второе — на $s_1^T$ , и вычтем второе равенство из первого:

$s_2^T\cdot A\cdot s_1-s_1^T\cdot A\cdot s_2= \lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2.$

Поскольку при транспонировании число (рассматриваемое как матрица размеров 1×1) не изменяется, то правую часть этого равенства можно преобразовать к виду

$\lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2= \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s_2-\lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2= (\lambda_1-\lambda_2)\cdot s_1^T\cdot s_2,$

так как $s_2^T\cdot s_1=(s_1^T\cdot s_2)^T=s_1^T\cdot s_2$ , а левая часть рассматриваемого равенства, учитывая симметричность матрицы $A$ $(A^T=A)$ , равна нулю, так как

$s_2^T\cdot A\cdot s_1= (s_1^T\cdot A^T\cdot s_2)^T= s_1^T\cdot A^T\cdot s_2= s_1^T\cdot A\cdot s_2.$

Следовательно, рассматриваемое равенство можно записать в виде

$(\lambda_1-\lambda_2)\cdot s_1^T\cdot s_2=0$ или $s_1^T\cdot s_2=0,$

поскольку $\lambda_1\ne\lambda_2$ . Последнее равенство означает, что $\langle\vec{s}_1,\vec{s}_2\rangle=s_1^T\cdot s_2=0$ — скалярное произведение ненулевых векторов $\vec{s}_1$ и $\vec{s}_2$ равно нулю, т.е. они ортогональны.

3. Базисные векторы канонической системы координат являются единичными взаимно ортогональными собственными векторами линии.

Доказательство

Действительно, в канонической системе координат $O'\vec{s}_1\vec{s}_2$ матрица $A$ квадратичной формы имеет диагональный вид $A=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$ , где $\lambda_1,\,\lambda_2$ — корни характеристического уравнения (см. пункт 6 замечаний 3.12) или, что то же самое, собственные значения матрицы $A$ . Записывая (3.64) для координатных столбцов $s_1=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}^T,$ $s_2=\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}^T$ базисных векторов $\vec{s}_1,\,\vec{s}_2$ , получаем

$\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}= \lambda\cdot\!\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\!, \quad \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}= \lambda\cdot\!\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\!.$

Первое соотношение выполняется при $\lambda=\lambda_1$ , второе — при $\lambda=\lambda_2$ . Следовательно, базисные векторы $\vec{s}_1,\,\vec{s}_2$ являются собственными, соответствующими собственным значениям $\lambda=\lambda_1$ для первого базисного вектора $(\vec{s}_1)$ , $\lambda=\lambda_2$ — для второго $(\vec{s}_2)$ . При этом не исключается случай равенства собственных значений.

Таким образом, для определения канонического базиса нужно найти два взаимно ортогональных единичных собственных вектора.

Замечания 3.14

1. Собственные векторы матрицы определяются неоднозначно. Например, если $s$ — собственный вектор матрицы (или линии), то столбец $\mu\cdot s$ при любом отличном от нуля числе $\mu$ также является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению $\lambda$ , что и вектор $s$ .

2. Матрицу $S$ перехода от базиса $\vec{i},\,\vec{j}$ исходной системы координат $Oxy$ к базису $\vec{s}_1,\,\vec{s}_2$ канонической системы координат $O'x'y'$ образуют координатные столбцы $s_1,\,s_2$ взаимно ортогональных единичных собственных векторов линии второго порядка.

Доказательство пункта 2

В самом деле, пусть $s_1,\,s_2$ — координатные столбцы (относительно исходной системы координат $Oxy$ ) единичных взаимно ортогональных собственных векторов $\vec{s}_1,\,\vec{s}_2$ . Тогда по определению собственных векторов выполняются равенства $A\cdot s_1=\lambda_1\cdot s_1,$ $A\cdot s_2=\lambda_2\cdot s_2,$ а из условий нормировки и ортогональности:

$\langle\vec{s}_1,\vec{s}_1\rangle=s_1^T\cdot s_1=1, \quad \langle\vec{s}_1,\vec{s}_2\rangle=s_1^T\cdot s_2=0, \quad \langle\vec{s}_2,\vec{s}_2\rangle=s_2^T\cdot s_2=1.$

Составим из координатных столбцов $s_1,\,s_2$ матрицу $S=(s_1\mid s_2)$ . Во-первых, эта матрица ортогональная $(S^T=S^{-1})$ , так как

$S^T \cdot S = \begin{pmatrix}s_1^T \\ \hline s_2^T\end{pmatrix} \cdot (s_1\mid s_2) = \left(\begin{array}{c|c} s_1^T \cdot {s_1} & s_1^T \cdot {s_2} \\ \hline s_2^T \cdot {s_1} & s_2^T \cdot {s_2} \end{array}\right) = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E.$

Во-вторых, ортогональное преобразование координат с этой матрицей приводит матрицу $A$ квадратичной формы к каноническому (диагональному) виду:

$\begin{gathered} A'=S^T\cdot A\cdot S=S^T\cdot A\cdot(s_1\mid s_2)= S^T\cdot(A\cdot s_1\mid A\cdot s_2)= \\[3pt] =\!\left(\frac{s_1^T}{s_2^T}\right)\!\cdot(\lambda_1\cdot s_1\mid\lambda_2\cdot s_2)= \!\left(\!\!\begin{array}{*{20}c} \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s_1 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot s_1^T\cdot s_2\\\hline \lambda_1\cdot s_2^T\cdot s_1 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s_2 \end{array}\!\!\right)\!= \!\left(\!\!\begin{array}{*{20}c} \lambda_1\cdot1 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot0\\\hline \lambda_1\cdot0 \!\!\!&\vline\!\!\!& \lambda_2\cdot1 \end{array}\!\!\right)\!= \!\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!=\Lambda. \end{gathered}$

3. Два единичных взаимно ортогональных собственных вектора линии второго порядка определяются с точностью до множителя (–1), т.е. каждый из них можно заменить на противоположный, тем самым изменить направление соответствующей координатной оси. Для всех линий, за исключением параболы (6), выбор положительного направления на координатных осях может быть произвольным, другими словами, если, например, вектор $\vec{s}_1$ базисный, то и противоположный вектор $(-\vec{s}_1)$ также можно взять в качестве базисного. Положительное направление оси $O'x'$ (базисный вектор $\vec{s}_1$ ) для параболы нельзя менять на противоположное. Правильный выбор этих базисных векторов описан далее в пункт 2 замечаний 3.16.

Определение начала канонической системы координат для линии 2-го порядка

Пусть в прямоугольной системе координат $Oxy$ поверхность второго порядка задана уравнением (3.59):

$a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0.$

(3.65)

Выбор начала $O'$ канонической системы координат $O'x'y'$ определяется свойствами симметрии линии второго порядка. Например, координатная ось $O'x'$ является осью симметрии любой линии второго порядка; ось ординат $O'y'$ служит осью симметрии любой линии, за исключением параболы, начало координат $O'$ является центром симметрии линий (1)-(5), (7)-(9), т.е. всех линий, за исключением параболы. Точка $M_0$ называется центром симметрии (или просто центром) линии второго порядка (3.65), если вместе с каждой своей точкой $M$ линия содержит также и точку $M'$ , симметричную точке $M$ относительно $M_0$ (точка $M_0$ — середина отрезка $MM'$ ).

Линия второго порядка называется центральной, если она имеет единственный центр. В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным, линия называется нецентральной. Центральными линиями являются эллипсы, гипербола и пары пересекающихся прямых (рис.3.54), единственный центр этих линий — начало координат. Остальные линии — нецентральные.

Центральные линии второго порядка: эллипсы, гипербола, пары пересекающихся прямых

Заметим, что линии эллиптического или гиперболического типов являются центральными, а линии параболического типа — нецентральными, как это указано в первом столбце таблицы 3.2.

Прямая, каждая точка которой является центром симметрии, называется прямой центров. На рис.3.55 изображены линии, имеющие прямую центров (эта прямая совпадает с осью абсцисс канонической системы координат (двойная линия на рис.3.55)).

Прямая $l_0$ называется осью симметрии линии второго порядка (3.65), если вместе с каждой своей точкой $M$ поверхность содержит также и точку $M'$ , симметричную точке $M$ относительно прямой $l_0$ (прямая $l_0$ перпендикулярна отрезку $MM'$ и делит его пополам).

Оси симметрии линии 2-го порядка

Оси симметрии имеют все линии второго порядка. Если линия центральная, то ось симметрии проходит через ее центр. Например, координатные оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипсов, гиперболы, пар пересекающихся прямых (рис.3.54). Если нецентральная линия имеет прямую центров, то эта прямая служит осью симметрии. Например, ось абсцисс канонической системы координат для пар параллельных или совпадающих прямых (рис.3.55). Ось ординат $Oy$ также является осью симметрии этих линий. Ось абсцисс $Ox$ является единственной осью симметрии для параболы (рис.3.56).

Если линия (3.65) имеет хотя бы один центр, то этот центр можно принять за начало канонической системы координат (рис.3.54, 3.55). Если линия не имеет ни одного центра (является параболой), то началом канонической системы координат является точка пересечения этой параболы с ее осью симметрии (рис.3.56).

Прямая, каждая точка которой является центром симметрии линий второго порядка

Составим уравнения для определения центра линии (3.65). Для этого сделаем ортогональное преобразование координат (3.58):

$\begin{cases}x=x_0+s_{11}\cdot x'+s_{12}\cdot y'\\ y=y_0+s_{21}\cdot x'+s_{22}\cdot y'\end{cases}$ или $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= s+S\cdot\!\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\!,$

где $s=\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}$ — координатный столбец вектора $\vec{s}=\overrightarrow{OO'}$ переноса системы координат, а ортогональная матрица $S=(s_1\mid s_2)$ составлена из единичных взаимно ортогональных собственных векторов линии (3.65), соответствующих собственным значениям $\lambda_1,\,\lambda_2$ . В новой системе координат $O'x'y'$ уравнение линии будет иметь вид

$\lambda_1\cdot(x')^2+\lambda_2\cdot(y')^2+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0=0,$

(3.66)

где, согласно (3.56) и пункту 6 замечаний 3.12, матрица $A'=S^T\cdot A\cdot S=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}$ — диагональная, столбец коэффициентов линейной формы $a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)$ , а свободный член $a'_0=p(s)=s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0.$ .

Если в уравнении (3.66) отсутствуют линейные члены $(a'=o)$ , то начало координат $O'$ является центром симметрии, поскольку при одновременной замене неизвестных $x'\leftrightarrow(-x'),$ $y'\leftrightarrow(-y')$ уравнение (3.66) не изменяется. Другими словами, если координаты точки $M(x',y')$ удовлетворяют уравнению, то и координаты $(-x',-y')$ точки, симметричной точке $M$ относительно начала координат, также удовлетворяют уравнению.

Так как матрица $S$ невырожденная, то равенство $a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)=o$ равносильно системе линейных уравнений:

$A\cdot s+a=o \quad \text{or} \quad \begin{cases}a_{11}\cdot x_0+a_{12}\cdot y_0+a_1=0,\\ a_{12}\cdot x_0+a_{22}\cdot y_0+a_2=0,\end{cases}$

(3.67)

которая определяет координаты $x_0,\,y_0$ центра симметрии, т.е. точки $O'$ .

Эта система имеет единственное решение только тогда, когда $\delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}\ne0$ или $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid a)=2.$ Следовательно, условие $\delta\ne0$ является критерием наличия у линии единственного центра.

При $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A\mid a)=1$ система (3.67) имеет бесконечно много решений, т.е. центры симметрии линии образуют прямую центров. При $\operatorname{rang}A<\operatorname{rang}(A\mid a)$ система не имеет решений, т.е. линия не имеет ни одного центра.

Таким образом, для линий второго порядка, имеющих хотя бы один центр симметрии, этот центр служит началом $O'$ канонической системы координат системы $O'x'y'$ . Координаты $x_0,\,y_0$ находятся как решение системы (3.67), причем это решение единственное для центральных поверхностей.

Рассмотрим теперь случай, когда система (3.67) несовместна. В этом случае линия (3.65) не имеет ни одного центра (см. рис.3.56), т.е. является параболой.

Уравнение оси симметрии линии (3.65)

Получим уравнение оси симметрии линии (3.65). Для этого запишем столбец $a'=S^T\cdot(A\cdot s+a)$ коэффициентов линейных членов уравнения (3.66), учитывая, что матрица $S=(s_1\mid s_2)$ составлена из собственных векторов матрицы $A$ , т.е. $S^T\cdot A=\Lambda\cdot S^T$ (последнее равенство можно считать матричной формой записи (3.64)):

$S^T\cdot A= \Lambda\cdot S^T= \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\!\cdot\! \left(\frac{s_1^T}{s_2^T}\right)=\left(\frac{\lambda_1\cdot s_1^T}{\lambda_2\cdot s_2^T}\right)\!,$ то есть $a'=\begin{pmatrix} \lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a\\ \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a \end{pmatrix}\!.$

Если $\lambda_1\ne0$ , то уравнение $\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0$ , или, что то же самое, в координатной форме

$\lambda_1\cdot(s_{11}\cdot x_0+s_{21}\cdot y_0)+s_{11}\cdot a_1+s_{21}\cdot a_2=0,$

имеет решение $s=\begin{pmatrix}x_0&y_0\end{pmatrix}^T$ , то, взяв точку $O'(x_0,y_0)$ в качестве начала системы координат $O'x'y'$ , получим уравнение (3.66), в котором будет отсутствовать линейный член с неизвестной $x'$ , так как $a'_1=\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0.$ Такое уравнение при замене неизвестной $x'\leftrightarrow(-x')$ не изменяется. Другими словами, если координаты точки $M(x',y')$ удовлетворяют уравнению (3.66), то и координаты $(-x',y')$ точки, симметричной точке $M$ относительно оси $O'y'$ , также удовлетворяют уравнению (3.66) (при $a'_1=0).$ Следовательно, если уравнение $\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s+s_1^T\cdot a=0$ имеет решения, то оно определяет ось симметрии $O'y'$ линии (3.65).

В случае параболы собственное значение $\lambda_2$ отлично от нуля $(\lambda_1=0)$ , поэтому уравнение

$\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0$

(3.68)

имеет решения, которые определяют ось симметрии параболы. Заметим, что ось симметрии, определяемая уравнением (3.68), коллинеарна особому собственному вектору $\vec{s}_1$ (соответствующему нулевому собственному значению $\lambda_1=0).$

Обозначим через $\vec{a}$ вектор с координатным столбцом $a$ , составленным из коэффициентов линейных членов уравнения (3.65). Представим этот вектор (а также его координатный столбец) в виде

$\vec{a}= \vec{a}_{\operatorname{pr}}+\vec{a}_{\perp} \quad \Leftrightarrow \quad a=a_{\operatorname{pr}}+a_{\perp},$

где $\vec{a}_{\operatorname{pr}}=\langle\vec{a},\vec{s}_1\rangle\cdot\vec{s}_1$ — ортогональная проекция вектора $\vec{a}$ на ось симметрии (3.68), коллинеарную $\vec{s}_1$ ; $\vec{a}_{\perp}=\vec{a}-\vec{a}_{\operatorname{pr}}$ — ортогональная составляющая вектора $\vec{a}$ относительно оси (3.68); $\vec{a}_{\operatorname{pr}},\,\vec{a}_{\perp}$ – координатные столбцы соответствующих векторов. Тогда для указанного разложения вектора $\vec{a}$ справедливы равенства

$s_1^T\cdot a_{\perp}=0, \quad s_2^T\cdot a=s_2^T\cdot a_{\perp},$

поскольку $s_2^T\cdot a= \langle\vec{s}_2,\vec{a}\rangle= \langle\vec{s}_2, \vec{a}_{\operatorname{pr}}+\vec{a}_{\perp}\rangle= \underbrace{\langle\vec{s}_2, \vec{a}_{\operatorname{pr}}\rangle}_{0}+ \langle\vec{s}_2,\vec{a}_{\perp}\rangle= \langle\vec{s}_2,\vec{a}_{\perp}\rangle= s_2^T\cdot a_{\perp}$ и $s_1^T\cdot a_{\perp}=\langle\vec{s}_1,\vec{a}_{\perp}\rangle=0$ , что следует из ортогональности векторов $\vec{s}_1$ и $\vec{a}_{\perp}.$

Координаты точки O' пересечения оси симметрии (3.68) с линией (3.65)

Найдем координаты точки $O'$ пересечения оси симметрии (3.68) с линией (3.65), т.е. найдем такой столбец $s$ , удовлетворяющий (3.68), чтобы $s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=0$ . Для этого, учитывая (3.68), $\lambda_1=0$ и равенство $A=S\cdot\Lambda\cdot S^T$ , преобразуем произведение

$A\cdot s=S\cdot\Lambda\cdot S^T=S\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda_1\cdot s_1^T\cdot s\\ \lambda_2\cdot s_2^T\cdot s \end{pmatrix}\!= S\cdot\! \begin{pmatrix}0\\-s_2^T\cdot a\end{pmatrix}\!= -S\cdot\!\begin{pmatrix}s_1^T\cdot a_{\perp}\\ s_2^T\cdot a_{\perp}\end{pmatrix}\!= -\underbrace{S\cdot S^T}_{E}\cdot a_{\perp}=-a_{\perp}.$

Поскольку матрица $A$ симметрическая, то $s^T\cdot A=-a_{\perp}^T$ и

$s^T\cdot A\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0=-a_{\perp}^T\cdot s+2\cdot a^T\cdot s+a_0= (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0.$

Добавляя уравнение $(a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0=0$ к уравнению (3.68), получаем тему уравнений, определяющую начало $O'$ канонической системы координат для параболы (где $\vec{a}_{\operatorname{pr}}= \langle\vec{a}, \vec{s}_1\rangle\cdot \vec{s}_1$ ):

$\begin{cases}\lambda_2\cdot s_2^T\cdot s+s_2^T\cdot a=0,\\ (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0=0,\end{cases}$

(3.69)

Замечания 3.15

1. Определение центра или оси симметрии равным образом относится как к вещественным, так и мнимым линиям, т.е. включает случай комплексных решений. При этом оказывается, что координаты любого центра линии, любой точки оси симметрии являются вещественными.

2. Система уравнений $A\cdot s+a_{\perp}=o$ всегда совместна: ее решениями являются координаты центра симметрии, если линия имеет центр; либо координаты оси симметрии (коллинеарной особому собственному вектору), если поверхность не имеет центра.

3. Если система уравнений $A\cdot s+a=o$ не имеет решений, т.е. линия не имеет ни одного центра, то система

$\begin{cases}A\cdot s+a_{\perp}=o,\\ (a+a_{\operatorname{pr}})^T\cdot s+a_0-0,\end{cases}$

совместна и ее решение определяет начало канонической системы координат. Другими словами, эта система равносильна системе (3.69) в случае параболы.

4. Направлением на координатной плоскости называют множество коллинеарных ненулевых векторов (а также множество координатных столбцов этих векторов). Все ненулевые векторы, коллинеарные, например, ненулевому вектору $\alpha\vec{i}+\beta\vec{j},$ $\alpha^2+\beta^2\ne0,$ имеют вид $\lambda(\alpha\vec{i}+\beta\vec{j})$ при $\lambda\ne0$ , т.е. зависят только от отношения координат $\alpha:\beta$ . Поэтому направление обозначается отношением ос:Р, при этом базисные векторы системы координат имеют направления $1:0$ и $0:1$ , а отношение $0:0$ — недопустимо. Говорят, что прямая, отрезок, вектор имеют направление $\alpha:\beta$ , если они коллинеарны вектору $\alpha\vec{i}+\beta\vec{j},$ . Направления, определяемые собственными векторами линии второго порядка, будем называть собственными.

5. Два направления $\alpha_1:\beta_1$ и $\alpha_2:\beta_2$ называются взаимно сопряженными относительно квадратичной формы

$a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\!\cdot A\cdot\!\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\!,$

если $\begin{pmatrix}\alpha_1&\beta_1\end{pmatrix}\!\cdot A\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha_2\\\beta_2\end{pmatrix}=0$ .

Направление $\alpha:\beta$ , взаимно сопряженное самому себе, т.е. $\begin{pmatrix}\alpha&\beta\end{pmatrix}\!\cdot A\cdot\! \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=0$ , называется самосопряженным (асимптотическим).

Асимптотические направления для гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы, пары параллельных прямых

Любая прямая неасимптотического направления пересекает линию второго порядка в двух точках (быть может мнимых). Прямая асимптотического направления либо не пересекает линию второго порядка, либо пересекает ее в одной точке, либо целиком принадлежит линии второго порядка. На рис.3.57 двойными стрелками изображены асимптотические направления для гиперболы (а), пары пересекающихся прямых (б), параболы (в), пары параллельных прямых (г).

6. Середины всех хорд неасимптотического направления $\alpha:\beta$ лежат на одной прямой, имеющей сопряженное направление. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка, сопряженным направлению $\alpha:\beta$ . На рис.3.58 изображены хорды и сопряженные им диаметры эллипса (а), гиперболы (б,в) и параболы (г). Два диаметра, имеющие сопряженные (неасимптотические) направления, называются сопряженными диаметрами. Каждый из них делит пополам все хорды, параллельные другому (на рис.3.58,а,б,в. полужирными прямыми изображены взаимно сопряженные диаметры эллипса и гиперболы).