Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Характеристический многочлен матрицы

Характеристический многочлен матрицы


Напомним, что характеристическим многочленом квадратной матрицы A (n-го порядка) называется многочлен \Delta_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda E). Степень характеристического многочлена совпадает с порядком матрицы A. Рассмотрим другие свойства характеристического многочлена.


1. Характеристический многочлен квадратной матрицы A n-го по рядка может быть представлен в виде


\Delta_{A}(\lambda)= (-1)^n(\lambda-\lambda_1)^{n_1}\cdot(\lambda-\lambda_2)^{n_2}\cdot\ldots\cdot (\lambda-\lambda_k)^{n_k},
(7.24)

где \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k — корни характеристического многочлена (собственные значения матрицы A) кратности n_1,n_2,\ldots, n_k соответственно, причем n_1\geqslant1,n_2\geqslant1,\ldots,n_k\geqslant1 и n_1+n_2+\ldots+n_k=n.


Действительно, указанное разложение (7.24) имеет любой многочлен степени n (см. следствие основной теоремы алгебры). Старший коэффициент a_n=(-1)^n характеристического многочлена вычисляется, разлагая определитель \det(A-\lambda E).


2. Характеристический многочлен квадратной матрицы A n-го по рядка может быть представлен в виде произведения инвариантных множителей характеристической матрицы (A-\lambda E):


\Delta_{A}(\lambda)= (-1)^n \cdot e_1(\lambda)\cdot e_2(\lambda)\cdot\ldots\cdot e_n(\lambda)=(-1)^n\prod_{i=1}^{n}e_i(\lambda).
(7.25)

В самом деле, характеристическая матрица имеет нормальный диагональный вид (7.9): \operatorname{diag}\Bigl(e_1(\lambda),e_2(\lambda),\ldots,e_n(\lambda)\Bigr), так как \operatorname{rg}(A-\lambda E)=n. Наибольший общий делитель d_n(\lambda) (старший коэффициент которого равен единице) единственного минора n-го порядка матрицы (A-\lambda E) отличается от определителя \det(A-\lambda E) только множителем (-1)^n, т.е. характеристический многочлен \Delta_{A}(\lambda)=(-1)^nd_n(\lambda). Подставляя d_n(\lambda)= e_1(\lambda)\cdot e_2(\lambda)\cdot\ldots\cdot e_n(\lambda), получаем (7.25).


3. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.


В самом деле, пусть матрицы A и B подобны, т.е. существует такая матрица S, что B=S^{-1}AS. Преобразуем характеристический многочлен матрицы B по теореме 2.2 (об определителе произведения матриц) с учетом свойства 4 обратной матрицы:


\begin{aligned}\Delta_{B}(\lambda)&= \det(B-\lambda E)= \det\Bigl(S^{-1}AS-S^{-1}\lambda ES\Bigr)= \det\Bigl[S^{-1}(A-\lambda E)S\Bigr]=\\[2pt] &=\det(S^{-1})\cdot\det(A-\lambda E)\cdot\det{S}= \frac{1}{\det{S}}\cdot\det(A-\lambda E)\cdot\det{S}= \Delta_A(\lambda), \end{aligned}

что и требовалось показать.


4. Характеристический многочлен матрицы A n-го порядка имеет вид


\begin{gathered}\Delta_{A}(\lambda)=(-\lambda)^n+(-\lambda)^{n-1}\cdot \operatorname{tr}A+\ldots+(-\lambda)^{n-k}\cdot \sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}M_{i_1\,i_2\,\ldots\,i_k}^{i_1\,i_2\,\ldots\,i_k}+\ldots+\\[2pt] (-\lambda)\cdot \sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_{n-1}\leqslant n}M_{i_1\,i_2\,\ldots\,i_{n-1}}^{i_1\,i_2\,\ldots\,i_{n-1}}+\det{A}. \end{gathered}
(7.26)

Минор k-го порядка M_{i_1\,i_2\,\ldots\,i_k}^{i_1\,i_2\,\ldots\,i_k}, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении одноименных строк и столбцов, называется главным минором. В формуле (7.26) коэффициент при (-\lambda)^{n-k} равен сумме главных миноров k-го порядка, в частности, след матрицы \operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+ \ldots+ a_{nn} — это сумма главных миноров 1-го порядка, определитель матрицы — это главный минор n-го порядка.


Поясним формулу (7.26). Пусть a_i — i-й столбец матрицы A, e_i — i-й столбец единичной матрицы E_n. В этих обозначениях запишем характеристический многочлен матрицы


\Delta_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda E)= \Bigl|a_1-\lambda e_1\quad a_2-\lambda e_2\quad \cdots\quad a_n-\lambda e_n\Bigr|

Представим этот определитель в виде суммы определителей, используя его линейность по каждому столбцу. Получим


\begin{aligned}\Delta_{A}(\lambda)= &\begin{vmatrix}a_1-\lambda e_1&a_2-\lambda e_2&\cdots& a_n-\lambda e_n\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{vmatrix}+\\[2pt] &+(-\lambda)\cdot\! \Bigl(\begin{vmatrix} e_1&a_2&\cdots&a_n \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_1&e_2&\cdots&a_n \end{vmatrix}+\ldots+\begin{vmatrix}a_1&a_2&\cdots&e_n \end{vmatrix}\Bigr)+\\[2pt] &+(-\lambda)^2\cdot\! \Bigl(\begin{vmatrix}e_1&e_2&a_3&\cdots&a_n \end{vmatrix}+\ldots+ \begin{vmatrix}a_1&\cdots&e_{n-1}&e_n \end{vmatrix}\Bigr)+\ldots+\\[2pt] &+(-\lambda)^{n-1}\cdot\! \Bigl(\begin{vmatrix}e_1&e_2&e_3&\cdots&a_n \end{vmatrix}+\ldots+\begin{vmatrix} a_1&\cdots&e_{n-1}&e_n \end{vmatrix}\Bigr)+\ldots+\\[2pt] &+(-\lambda)^n\cdot \begin{vmatrix} e_1&e_2&e_3&\cdots&e_n\end{vmatrix}.\end{aligned}

Разлагая определители, стоящие в фигурных скобках, по столбцам единичной матрицы, получаем главные миноры матрицы A, например:


\begin{vmatrix}e_1&e_2&a_3&\cdots&a_n\end{vmatrix}= M_{{}_{3\,4\,\ldots\,n}}^{{}^{3\,4\,\ldots\,n}},\quad \begin{vmatrix}e_1&a_2&e_3&\cdots&e_n \end{vmatrix}= M_{{}_2}^{{}^2}=a_{22}.

Таким образом, коэффициент при (-\lambda)^{n-k} равен сумме главных миноров к -го порядка матрицы A.


5. Подобные матрицы имеют: равные определители, равные следы, равные суммы главных миноров одного и того же порядка, совпадающие спектры.


В самом деле, подобные матрицы имеют равные характеристические многочлены (по свойству 3). У равных многочленов — одинаковые корни (т.е. спектры подобных матриц совпадают), а также равные соответствующие коэффициенты в (7.26), которые по свойству 4 выражаются через главные миноры матриц.


6. Определитель матрицы равен произведению ее собственных значений (с учетом их кратности).


Действительно, характеристический многочлен можно разложить на множители (см. следствие основной теоремы алгебры):


\Delta_{A}(\lambda)= (-1)^n\cdot(\lambda-\lambda_1)\cdot(\lambda-\lambda_2)\cdot\ldots\cdot (\lambda-\lambda_n),

где \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n — корни многочлена (быть может, совпадающие). Отсюда \Delta_{A}(0)= \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\ldots\cdot\lambda_n. С другой стороны, по определению получаем


\Delta_{A}(0)=\Bigl.{\det(A-\lambda E)}\Bigr|_{\lambda=0}=\det{A}, Следовательно, \det{A}=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\ldots\cdot\lambda_n.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved