Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Канонические уравнения поверхностей второго порядка


Рассмотрим задачу приведения уравнения поверхности второго порядка к наиболее простому (каноническому) виду.


Напомним, что алгебраической поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат [math]Ox_{1}x_{2}x_{3}[/math] может быть задано уравнением вида


[math]\begin{gathered} a_{11}\cdot x_{1}^2+ a_{22}\cdot x_{2}^2+a_{33}\cdot x_{3}^2+ 2\cdot a_{12}\cdot x_{1}\cdot x_{2}+ 2\cdot a_{13}\cdot x_{1}\cdot x_{3} + 2\cdot a_{23}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\,+\hfill\\[2pt] +\,2\cdot a_{1}\cdot x_{1}+ 2\cdot a_{2}\cdot x_{2}+ 2\cdot a_{3}\cdot x_{3}+ a_{0}=0, \end{gathered}[/math]
(4.41)

где левая часть — многочлен трех переменных [math]x_{1},x_{2},x_{3}[/math] второй степени. Коэффициенты при первых степенях переменных [math]x_{1},x_{2},x_{3}[/math], а также при их произведениях [math]x_{1}\cdot x_{2},\,x_{1}\cdot x_{3},\,x_{2}\cdot x_{3}[/math] взяты удвоенными просто для удобства дальнейших преобразований.

Уравнение (4.41) можно записать в матричном виде: [math]x^T\cdot A\cdot x+2\cdot a^T\cdot x+a_{0}=0,[/math] где [math]A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix}[/math] — матрица квадратичной формы, [math]a=\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{pmatrix}^T[/math] — столбец коэффициентов линейной формы (см. пункты 5,6, замечаний 4.1).


Требуется найти прямоугольную систему координат [math]Oxyz[/math], в которой уравнение поверхности приняло бы наиболее простой вид.


Результатом решения поставленной задачи является следующая основная теорема.




Классификация алгебраических поверхностей второго порядка (Теорема 4.3)


Для любой алгебраической поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат Oxyz, в которой уравнение этой поверхности принимает один из следующих семнадцати канонических видов:


Поверхности второго порядка: уравнения и чертежи

В этих уравнениях [math]a>0,\,b>0,\,c>0,\,p>0[/math], причем [math]a\geqslant b\geqslant c[/math] в уравнениях 1,2; [math]a\geqslant b[/math] в уравнениях 3,4,5,6,7,9,10.


Теорема 4.3 дает аналитические определения поверхностей второго порядка. Согласно п.2 замечаний 4.1, поверхности (1),(4),(5),(6),(7),(8),(9), (12),(13),(14),(15),(17) называются вещественными (действительными), а поверхности (2),(3),(10),(11),(16) — мнимыми.


Поясним доказательство теоремы. Оно аналогично доказательству теоремы 3.3 и фактически содержит алгоритм решения поставленной задачи.


Без ограничения общности можно предполагать, что уравнение поверхности второго порядка задано в прямоугольной системе координат. В противном случае можно перейти от непрямоугольной системы координат [math]Ox_{1}x_{2}x_{3}[/math] к прямоугольной [math]Oxyz[/math], при этом уравнение линии будет иметь тот же вид и ту же степень согласно теореме 4.1.


Пусть в прямоугольной системе координат [math]Ox_{1}x_{2}x_{3}[/math] алгебраическая поверхность второго порядка задана уравнением (4.41), в котором хотя бы один из старших коэффициентов ап, [math]a_{11},[/math] [math]a_{22},[/math] [math]a_{33},[/math] [math]a_{12},[/math] [math]a_{13},[/math] [math]a_{23}[/math] отличен от нуля,n поскольку левая часть уравнения — многочлен трех переменных [math]x_{1},x_{2},x_{3}[/math] второй степени.


Упрощение общего уравнения (4.41) производится в два этапа. На первом этапе при помощи однородного ортогонального преобразования координат "уничтожаются" члены с произведением неизвестных, как и в случае уравнения линии второго порядка, при этом достаточно сделать три поворота (см. углы Эйлера).


Докажем, что существует однородная ортогональная замена переменных


[math]\begin{cases} x_{1}=s_{11}\cdot x'_{1}+s_{12}\cdot x'_{2}+s_{13}\cdot x'_{3},\\ x_{2}=s_{21}\cdot x'_{1}+s_{22}\cdot x'_{2}+s_{23}\cdot x'_{3},\\ x_{3}=s_{31}\cdot x'_{1}+s_{32}\cdot x'_{2}+s_{33}\cdot x'_{3}, \end{cases}\Leftrightarrow \quad x=S\cdot x'\,,[/math]
(4.42)

где [math]x=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}\!,~ x'=\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\\x'_{3}\end{pmatrix}[/math] — столбцы старых и новых переменных, [math]S=\begin{pmatrix} s_{11}&s_{12}&s_{13}\\ s_{21}&s_{22}&s_{23}\\ s_{31}&s_{32}&s_{33} \end{pmatrix}[/math] — ортогональная матрица [math](S^T=S^{-1})[/math], при которой квадратичная форма


[math]x^T\cdot A\cdot x=a_{11}\cdot x_{1}^2+a_{22}\cdot x_{2}^2+a_{33}\cdot x_{3}^2+ 2\cdot a_{12}\cdot x_{1}\cdot x_{2}+2\cdot a_{13}\cdot x_{1}\cdot x_{3} +2\cdot a_{23}\cdot x_{2}\cdot x_{3}[/math]

приводится к каноническому виду

[math](x')^T\cdot\Lambda\cdot x'=\lambda_{1}\cdot(x'_{1})^2+ \lambda_{2}\cdot(x'_{2})^2+ \lambda_{3}\cdot(x'_{3})^2,[/math]

для которого матрица квадратичной формы диагональная: [math]\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&0\\0&\lambda_{2}&0\\0&0&\lambda_{3}\end{pmatrix}[/math]


Действительно, подставляя [math]x=S\cdot x'[/math] в квадратичную форму [math]x^T\cdot A\cdot x[/math], получаем


[math]x^T\cdot A\cdot x=(S\cdot x')^T\cdot A\cdot S\cdot x'=(x')^T\cdot S^T\cdot A\cdot S\cdot x'=(x')^T\cdot A'\cdot x'\,,[/math]

т.е. при однородной ортогональной замене переменных (4.42) матрица квадратичной формы преобразуется по закону

[math]A'=S^T\cdot A\cdot S\,.[/math]
(4.43)

Составим характеристическое уравнение для матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3 замечаний 3.12):


[math]\det(A-\lambda\cdot E)=\,\,\vline\begin{matrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&a_{13}\\ a_{12}&a_{22}-\lambda&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}-\lambda\end{matrix}\,\vline\,=0.[/math]

Так как это уравнение третьей степени, то оно имеет хотя бы один действительный корень. Обозначим его [math]\lambda_{3}[/math]. Однородная система уравнений


[math]\begin{cases} (a_{11}-\lambda_{3})\cdot x_{1}+a_{12}\cdot x_{2}+a_{13}\cdot x_{3}=0,\\ a_{12}\cdot x_{1}+(a_{22}-\lambda_{3})\cdot x_{2}+a_{23}\cdot x_{3}=0,\\ a_{13}\cdot x_{1}+a_{23}\cdot x_{2}+(a_{33}-\lambda_{3})\cdot x_{3}=0, \end{cases}[/math] или [math](A-\lambda_{3}\cdot E)\cdot x=o,[/math]

определитель которой равен нулю, имеет бесконечно много ненулевых решений. Обозначим через [math]\vec{s}_{3}[/math] вектор, координатный столбец которого совпадает с ненулевым решением [math]s=\begin{pmatrix}s_{13}& s_{23}& s_{33}\end{pmatrix}^T[/math] системы, удовлетворяющим условию нормировки [math]|\vec{s}_{3}|= \sqrt{\langle\,\vec{s}_{3},\vec{s}_{3}\,\rangle}= \sqrt{s_{3}^T\cdot s_{3}}=1[/math]. Дополним этот единичный вектор [math]\vec{s}_{3}[/math] векторами [math]\vec{s}_{1},\vec{s}_{2}[/math] до ортонормированного базиса [math]\vec{s}_{1},\vec{s}_2,\vec{s}_{3}[/math] пространства. Координатные столбцы [math]s_{1},s_{2},s_{3}[/math] векторов [math]\vec{s}_{1},\vec{s}_2,\vec{s}_{3}[/math] удовлетворяют условиям


[math]\begin{matrix} \langle\,\vec{s}_{1},\vec{s}_{1}\,\rangle=s_{1}^T\cdot s_{1}=1,& \langle\,\vec{s}_{2},\vec{s}_{2}\,\rangle=s_{2}^T\cdot s_{2}=1,& \langle\,\vec{s}_{3},\vec{s}_{3}\,\rangle=s_{3}^T\cdot s_{3}=1,\\[7pt] \langle\,\vec{s}_{1},\vec{s}_{2}\,\rangle=s_{1}^T\cdot s_{2}=0,& \langle\,\vec{s}_{1},\vec{s}_{3}\,\rangle=s_{1}^T\cdot s_{3}=0,& \langle\,\vec{s}_{2},\vec{s}_{3}\,\rangle=s_{2}^T\cdot s_{3}=0,\end{matrix}[/math]
(4.44)

кроме того столбец [math]s_{3}[/math] удовлетворяет равенству [math](A-\lambda_{3}E)\cdot s_{3}=o[/math] или, что то же самое, [math]A\cdot s_{3}=\lambda_{3}\cdot s_{3}[/math]. Из координатных столбцов [math]s_{1},s_{2},s_{3}[/math] базисных векторов составим матрицу [math]S=(s_{1}\mid s_{2}\mid s_{3})[/math], которая в силу (4.44) является ортогональной, так как


[math]S^T\cdot S= \begin{pmatrix}\dfrac{\dfrac{s_{1}^T}{s_{2}^T}}{s_{3}^T}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}s_{1}\mid s_{2}\mid s_{3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{\dfrac{s_{1}^T\cdot s_{1}~~\vline~~s_{1}^T\cdot s_{2}~~\vline~~s_{1}^T\cdot s_{3}}{s_{2}^T\cdot s_{1}~~\vline~~s_{2}^T\cdot s_{2}~~\vline~~s_{2}^T\cdot s_{3}}}{s_{3}^T\cdot s_{1}~~\vline~~s_{3}^T\cdot s_{2}~~\vline~~s_{3}^T\cdot s_{3}}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=E[/math]

и, следовательно, [math]S^T=S^{-1}[/math]. Сделаем в квадратичной форме [math]x^T\cdot A\cdot x[/math] замену переменных [math]x=S\cdot x'[/math] с ортогональной матрицей [math]S=\begin{pmatrix}s_{1}\mid s_{2}\mid s_{3}\end{pmatrix}[/math]. По закону (4.43) находим


[math]A'=S^T\cdot A\cdot S=S^T\cdot A\cdot \begin{pmatrix}s_{1}\mid s_{2}\mid s_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}S^T\cdot A\cdot s_{1}\mid S^T\cdot A\cdot s_{2}\mid S^T\cdot A\cdot s_{3}\end{pmatrix}.[/math]

Последний столбец этой матрицы, учитывая равенство [math]A\cdot s_{3}=\lambda_{3}\cdot s_{3}[/math] и ортогональность [math]S[/math], имеет вид


[math]S^T\cdot A\cdot s_{3}= \lambda_{3}\cdot S^T\cdot s_{3}= \lambda_{3}\cdot\!\begin{pmatrix}\dfrac{\dfrac{s_{1}^T}{s_{2}^T}}{s_{3}^T}\end{pmatrix}\!\cdot s_{3}= \lambda_{3}\cdot\!\begin{pmatrix}\dfrac{\dfrac{s_{1}^T\cdot s_{3}}{s_{2}^T\cdot s_{3}}}{s_{3}^T\cdot s_{3}}\end{pmatrix}= \lambda_{3}\cdot\!\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda_{3}\end{pmatrix}\!.[/math]

Следовательно, в матрице [math]A'[/math] элементы [math]a'_{13}=a'_{23}=0[/math] и [math]a'_{33}=\lambda_{3}[/math]. Поэтому квадратичная форма имеет вид


[math](x')^T\cdot A'\cdot x'= a'_{11}\cdot(x'_{1})^2+2\cdot a'_{11}\cdot x'_{1}\cdot x'_{2}+a'_{22}\cdot(x'_{2})^2+\lambda_{3}\cdot(x'_{3})^2.[/math]

Как показано при доказательстве теоремы 3.3, многочлен [math]a'_{11}\cdot(x'_{1})^2+2\cdot a'_{11}\cdot x'_{1}\cdot x'_{2}+a'_{22}\cdot(x'_{2})^2[/math] двух переменных при помощи поворота системы координат [math]Ox'_{1}x'_{2}[/math] можно привести к виду [math]\lambda_{1}\cdot(x''_{2})^2+\lambda_{2}\cdot(x''_{2})^2[/math]. Этот поворот соответствует повороту найденной системы координат [math]O\vec{s}_{1}\vec{s}_{2}\vec{s}_{3}[/math] вокруг оси аппликат.


Таким образом, существует преобразование прямоугольной системы координат, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. При этом уравнение (4.41) не содержит членов с произведением неизвестных:


[math]\lambda_{1}\cdot x^2+\lambda_{2}\cdot y^2+\lambda_{3}\cdot z^2+2\cdot a'_{1}\cdot x+2\cdot a'_{2}\cdot y+2\cdot a'_{3}\cdot z+a_{0}=0.[/math]
(4.45)

На втором этапе, при помощи параллельного переноса "уничтожаются" один, два или все три члена первой степени. В результате всех преобразований получаем систему координат [math]O'x'y'z'[/math], в которой уравнение (4.45) становится приведенным (одного из следующих пяти типов):


[math]\begin{aligned} \mathsf{(I)}\colon&~ \lambda_{2}\cdot(y')^2+a'_{0}=0, \quad \lambda_{2}\ne0;\\[2pt] \mathsf{(II)}\colon&~ \lambda_{2}\cdot(y')^2+2\cdot a'_{1}\cdot x'=0, \quad \lambda_{2}\ne0,~a'_{1}\ne0;\\[2pt] \mathsf{(III)}\colon&~ \lambda_{1}\cdot(x')^2+ \lambda_{2}\cdot(y')^2+ a'_{0}=0, \quad \lambda_{1}\ne0,~ \lambda_{2}\ne0;\\[2pt] \mathsf{(IV)}\colon&~ \lambda_{1}\cdot(x')^2+ \lambda_{2}\cdot(y')^2+ a'_{3}\cdot z'=0, \quad \lambda_{1}\ne0,~ \lambda_{2}\ne0,~a'_{3}\ne0;\\[2pt] \mathsf{(V)}\colon&~ \lambda_{1}\cdot(x')^2+ \lambda_{2}\cdot(y')^2+ \lambda_{3}\cdot(z')^2+a'_{0}=0, \quad \lambda_{1}\ne0,~ \lambda_{2}\ne0,~\lambda_{3}\ne0. \end{aligned}[/math]


Уравнения (I), (II), (II) совпадают с приведенными уравнениями линии второго порядка, поскольку не зависят от неизвестной [math]z[/math]. В разделе показано, что они сводятся к каноническим уравнениям эллипсов, гиперболы, параболы или пар прямых. Поэтому уравнения (I), (II), (III) соответственно сводятся к каноническим уравнениям цилиндров (9), (10), (12), (14): эллиптического, гиперболического, параболического, или пар плоскостей (11), (13), (15), (16), (17).


Уравнение (IV) в зависимости от знаков коэффициентов сводится к каноническим уравнениям параболоидов (7) или (8). Например, если все коэффициенты [math]\lambda_{1},\lambda_{2},a'_{3}[/math] положительны, то, перенося линейный член [math]a'_{3}\cdot z'[/math] в правую часть и разделив обе части уравнения на [math]\frac{1}{2}a'_{3}[/math], получим [math]\frac{2\lambda_{1}}{a'_{3}}(x')^2+\frac{2\lambda_{2}}{a'_{3}}(y')^2=-2z'[/math]. Обозначим положительные величины [math]a^2=\frac{a'_{3}}{2\lambda_{1}},[/math] [math]b^2=\frac{a'_{3}}{2\lambda_{2}}[/math] и изменим направление оси аппликат, т.е. сделаем замену: [math]x'=x'',[/math] [math]y'=y'',[/math] [math]z'=z''[/math]. В результате получим уравнение эллиптического параболоида (7): [math]\frac{(x'')^2}{a^2}+\frac{(y'')^2}{b^2}=2z''[/math] Если окажется, что [math]a<b[/math], то переименуем координатные оси: [math]x''=y''',[/math] [math]y''=x'''.[/math]


Уравнение (V) в зависимости от знаков коэффициентов сводится к каноническим уравнениям эллипсоидов (1),(2), гиперболоидов (4),(5) или конусов (3),(6).




Замечания 4.7.


1. Система координат, в которой уравнение алгебраической поверхности второго порядка имеет канонический вид, называется канонической. Каноническая система координат определяется неоднозначно. Например, изменяя направление оси ординат на противоположное, снова получаем каноническую систему координат, так как замена переменной [math]y[/math] на [math](-y)[/math] не изменяет уравнений (1)–(17).


2. Поверхности второго порядка, приведенные в формулировке теоремы 4.3, изображены в канонической системе координат. Изображение мнимых поверхностей дается штриховыми линиями только для иллюстрации.


3. В случаях (11),(13),(15)-(17) поверхности называются распадающимися, поскольку соответствующие им многочлены второй степени разлагаются в произведение многочленов первой степени.


4. Напомним, что ненулевой столбец [math]x=\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{pmatrix}^T[/math], удовлетворяющий равенству [math]A\cdot x=\lambda\cdot x[/math], называется собственным вектором матрицы [math]A[/math], а число [math]\lambda[/math]собственным значением этой матрицы. Говорят, что собственный вектор [math]x[/math] соответствует (принадлежит) собственному значению [math]\lambda[/math].


Как показано при доказательстве теоремы 4.3, при помощи однородной ортогональной замены переменных (4.42) [math]x=S\cdot x'[/math] или, что то же самое, при помощи поворотов прямоугольной системы координат [math]Ox_{1}x_{2}x_{3}[/math] вокруг ее начала [math]O[/math], квадратичную форму


[math]x^T\cdot A\cdot x=a_{11}\cdot x_{1}^2+a_{22}\cdot x_{2}^2+a_{33}\cdot x_{3}^2+2\cdot a_{12}\cdot x_{1}\cdot x_{2}+2\cdot a_{13}\cdot x_{1}\cdot x_{3}+2\cdot a_{23}\cdot x_{2}\cdot x_{3}[/math]

можно привести к каноническому виду

[math](x')^T\cdot \Lambda\cdot x'= \lambda_{1}\cdot(x'_{1})^2+\lambda_{2}\cdot(x'_{2})^2+\lambda_{3}\cdot(x'_{3})^2,[/math]

где [math]\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}[/math] — собственные числа матрицы [math]A[/math] квадратичной формы, т.е. корни характеристического уравнения: [math]\det(A-\lambda E)=0[/math], а матрица [math]S=(s_{1}\mid s_{2}\mid s_{3})[/math] замены переменных составлена из попарно ортогональных единичных собственных векторов [math]s_{1},s_{2},s_{3}[/math] матрицы [math]A[/math], соответствующих собственным значениям [math]\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}[/math]. Другими словами, для любой квадратичной формы [math]x^T\cdot A\cdot x[/math] (трех переменных) существует ортонормированный базис [math]\vec{s}_{1},\vec{s}_{2},\vec{s}_{3}[/math], составленный из собственных векторов матрицы [math]A[/math], в котором квадратичная форма имеет канонический вид.


5. При ортогональном преобразовании координат собственные векторы матрицы [math]A[/math] квадратичной формы не изменяются, а именно, если [math]s_{1}[/math] собственный вектор матрицы [math]A[/math] (соответствующий собственному значению [math]\lambda_{1}[/math]), то вектор [math]s'_{1}=S^{-1}\cdot s_{1}[/math] является собственным для матрицы [math]A'=S^T\cdot A\cdot S[/math], где [math]S[/math] — ортогональная матрица.


Действительно, учитывая, что [math]S^T=S^{-1},~s_{1}=S\cdot s'_{1}[/math] и [math]A\cdot s_{1}=\lambda_{1}\cdot s_{1}[/math], получаем


[math]A'\cdot s'_{1}= \underbrace{S^T\cdot A\cdot S}_{A'}\cdot \underbrace{S^{-1}\cdot s_{1}}_{s'_{1}}= S^T\cdot A\cdot\underbrace{S\cdot S^{-1}}_{E}\cdot s_{1}= S^T\cdot\underbrace{A\cdot s_{1}}_{\lambda_{1}\cdot s_{1}}= \lambda_{1}\cdot\underbrace{S^{-1}\cdot s_{1}}_{s'_{1}}= \lambda_{1}\cdot s'_{1}\,,[/math]

т.е. [math]A'\cdot s'_{1}=\lambda_{1}\cdot s'_{1}[/math]. Следовательно, [math]s'_{1}[/math] — собственный вектор, соответствующий собственному значению [math]\lambda_{1}[/math].


6. При однородной невырожденной замене переменных [math]x=S\cdot x'[/math] линейная форма [math]a^T\cdot x=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}[/math] меняется следующим образом [math]a^T\cdot S\cdot x'=(a')^Tx'[/math], т.е. столбец коэффициентов линейной формы изменяется по закону [math]a'=S^T\cdot a[/math]. Свободный член квадратичной функции при однородной замене переменных [math]x=S\cdot x'[/math] не изменяется.




Продолжение Порядок приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду



Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved