Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Канонические уравнения линий второго порядка

Канонические уравнения линий второго порядка


Рассмотрим задачу приведения уравнения линии второго порядка к наиболее простому (каноническому) виду.


Напомним, что алгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат [math]Ox_1x_2[/math] может быть задано уравнением вида [math]p(x_1,x_2)=0,[/math] где [math]p(x_1,x_2)[/math] — многочлен второй степени двух переменных [math]Ox_1x_2[/math]. Требуется найти прямоугольную систему координат, в которой уравнение линии приняло бы наиболее простой вид.


Результатом решения поставленной задачи является следующая основная теорема (3.3)




Классификация алгебраических линий второго порядка (теорема 3.3)


Для любой алгебраической линии второго порядка существует прямоугольная система координат [math]Oxy[/math], в которой уравнение этой линии принимает один из следующих девяти канонических видов:


Канонические уравнения линий второго порядка

Теорема 3.3 дает аналитические определения линий второго порядка. Согласно пункту 2 замечаний 3.1, линии (1), (4), (5), (6), (7), (9) называются вещественными (действительными), а линии (2), (3), (8) — мнимыми.




Приведем доказательство теоремы, поскольку оно фактически содержит алгоритм решения поставленной задачи.


Без ограничения общности можно предполагать, что уравнение линии второго порядка задано в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math]. В противном случае можно перейти от непрямоугольной системы координат [math]Ox_1x_2[/math] к прямоугольной [math]Oxy[/math], при этом уравнение линии будет иметь тот же вид и ту же степень согласно теореме 3.1 об инвариантности порядка алгебраической линии.


Пусть в прямоугольной системе координат [math]Oxy[/math] алгебраическая линия второго порядка задана уравнением


[math]a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0,[/math]
(3.34)

в котором хотя бы один из старших коэффициентов [math]a_{11},a_{12},a_{22}[/math] отличен от нуля, т.е. левая часть (3.34) — многочлен двух переменных [math]x,y[/math] второй степени. Коэффициенты при первых степенях переменных [math]x[/math] и [math]y[/math], а также при их произведении [math]x\cdot y[/math] взяты удвоенными просто для удобства дальнейших преобразований.


Для приведения уравнения (3.34) к каноническому виду используются следующие преобразования прямоугольных координат:


– поворот на угол [math]\varphi[/math]

[math]\begin{cases}x=x'\cdot\cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\y=x'\cdot\sin\varphi+y'\cdot\cos\varphi;\end{cases}[/math]
(3.35)

– параллельный перенос

[math]\begin{cases}x=x_0+x',\\y=y_0+y';\end{cases}[/math]
(3.36)

– изменение направлений координатных осей (отражения в координатных осях):


[math][/math]
(3.37)
оси ординат [math]\begin{cases}x=x',\\y=-y',\end{cases}[/math] оси абсцисс [math]\begin{cases}x=-x',\\y=y',\end{cases}[/math] обеих осей [math]\begin{cases}x=-x',\\y=-y';\end{cases}[/math]

– переименование координатных осей (отражение в прямой [math]y=x[/math])


[math]\begin{cases}x=y',\\y=x',\end{cases}[/math]
(3.38)

где [math]x,y[/math] и [math]x',y'[/math] — координаты произвольной точки в старой [math](Oxy)[/math] и новой [math]O'x'y'[/math] системах координат соответственно.


Кроме преобразования координат обе части уравнения можно умножать на отличное от нуля число.


Рассмотрим сначала частные случаи, когда уравнение (3.34) имеет вид:


[math]\begin{aligned} &\mathsf{(I)\colon}~ \lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_2\ne0;\\[2pt] &\mathsf{(II)\colon}~ \lambda_2\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x,~\lambda_2\ne0,~a_1\ne0;\\[2pt] &\mathsf{(III)\colon}~ \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_1\ne0,~\lambda_2\ne0. \end{aligned}[/math]


Эти уравнения (также многочлены в левых частях) называются приведенными. Покажем, что приведенные уравнения (I), (II), (III) сводятся к каноническим (1)–(9).


Уравнение (I). Если в уравнении (I) свободный член равен нулю [math](a_0=0)[/math], то, разделив обе части уравнения [math]\lambda_2y^2=0[/math] на старший коэффициент [math](\lambda_0\ne0)[/math], получим [math]y^2=0[/math]уравнение двух совпадающих прямых (9), содержащих ось абсцисс [math]y=0[/math]. Если же свободный член отличен от нуля [math]a_0\ne0[/math], то разделим обе части уравнения (I) на старший коэффициент [math](\lambda_2\ne0):[/math] [math]y^2+\frac{a_0}{\lambda_2}=0[/math]. Если величина [math]\frac{a_0}{\lambda_2}[/math] отрицательная, то, обозначив ее через [math]-b^2[/math], где [math]b=\sqrt{-\frac{a_0}{\lambda_2}}[/math], получаем [math]y^2-b^2=0[/math]уравнение пары параллельных прямых (7): [math]y=b[/math] или [math]y=-b[/math]. Если же величина [math]\frac{a_0}{\lambda_2}[/math] положительная, то, обозначив ее через [math]b^2[/math], где [math]b=\sqrt{\frac{a_0}{\lambda_2}}[/math], получаем [math]y^2+b^2=0[/math]уравнение пары мнимых параллельных прямых (8). Это уравнение не имеет действительных решений, поэтому на координатной плоскости нет точек, отвечающих этому уравнению. Однако в области комплексных чисел уравнение [math]y^2+b^2=0[/math] имеет два сопряженных решения [math]y=\pm ib[/math], которые иллюстрируются штриховыми линиями (см. пункт 8 теоремы 3.3).


Уравнение (II). Разделим уравнение на старший коэффициент [math](\lambda_2\ne0)[/math] и перенесем линейный член в правую часть: [math]y^2=-\frac{2a_1}{\lambda_2}\,x[/math]. Если величина [math]\frac{a_1}{\lambda_2}[/math] отрицательная, то, обозначая [math]p=-\frac{a_1}{\lambda_2}>0[/math], получаем [math]y^2=2px[/math]уравнение параболы (6). Если величина [math]\frac{a_1}{\lambda_2}[/math] положительная, то, изменяя направление оси абсцисс, т.е. выполняя второе преобразование в (3.37), получаем уравнение [math](y')^2=\frac{2a_1}{\lambda_2}\,x'[/math] или [math](y')^2=2px'[/math], где [math]p=\frac{a_1}{\lambda_2}>0[/math]. Это уравнение параболы в новой системе координат [math]Ox'y'[/math].


Уравнение (III). Возможны два случая: либо старшие коэффициенты одного знака (эллиптический случай), либо противоположных знаков (гиперболический случай).


В эллиптическом случае [math](\lambda_1\lambda_2>0)[/math] при [math]a_0\ne0[/math] переносим свободный член в правую часть и делим обе части на [math]-a_0\ne0[/math]:


[math]\mathsf{(III)}\quad\Leftrightarrow\quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{\lambda_1}{-a_0}\cdot x^2+\frac{\lambda_2}{-a_0}\cdot y^2=1[/math]

Если знак старших коэффициентов [math]\lambda_1,\lambda_2[/math] противоположен знаку [math]a_0[/math], то, обозначая положительные величины [math]\frac{-a_0}{\lambda_1}[/math] и [math]\frac{-a_0}{\lambda_2}[/math] через [math]a^2[/math] и [math]b^2[/math], получаем [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]уравнение эллипса (1).


Если знак старших коэффициентов [math]\lambda_1,\lambda_2[/math] совпадает со знаком [math]a_0[/math], то, обозначая положительные величины [math]\frac{a_0}{\lambda_1}[/math] и [math]\frac{a_0}{\lambda_2}[/math] через [math]a^2[/math] и [math]b^2[/math], получаем [math]-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1~\Leftrightarrow~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1[/math]уравнение мнимого эллипса (2). Это уравнение не имеет действительных решений. Однако оно имеет решения в области комплексных чисел, которые иллюстрируются штриховой линией (см. пункт 2 теоремы 3.3).


Можно считать, что в уравнениях эллипса (действительного или мнимого) коэффициенты удовлетворяют неравенству [math]a\geqslant b[/math], в противном случае этого можно добиться, переименовывая координатные оси, т.е. делая преобразование (3.38) системы координат.


Если свободный член уравнения (III) равен нулю [math](a_0=0)[/math], то, обозначая положительные величины [math]\frac{1}{|\lambda_1|}[/math] и [math]\frac{1}{|\lambda_2|}[/math] через [math]a^2[/math] и [math]b^2[/math], получаем [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0[/math]уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (3). Этому уравнению удовлетворяет только точка с координатами [math]x=0[/math] и [math]y=0[/math], т.е. точка [math]O[/math] — начало координат. Однако в области комплексных чисел левую часть уравнения можно разложить на множители [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\left(\frac{y}{b}+i\,\frac{x}{a}\right)\!\!\left(\frac{y}{b}-i\,\frac{x}{a}\right)[/math], поэтому уравнение имеет сопряженные решения [math]y=\pm i\,\frac{b}{a}\,x[/math], которые иллюстрируются штриховыми линиями, пересекающимися в начале координат (см. пункт 3 теоремы 3.3).


В гиперболическом случае [math](\lambda_1,\lambda_2<0)[/math] при [math]a_0\ne0[/math] переносим свободный член в правую часть и делим обе части на [math]-a_0\ne0[/math]:


[math]\mathsf{(III)}\quad \Leftrightarrow \quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\lambda_1}{-a_0}\cdot x^2+\frac{\lambda_2}{-a_0}\cdot y^2=1.[/math]

Величины [math]\frac{-a_0}{\lambda_1}[/math] и [math]\frac{-a_0}{\lambda_2}[/math] имеют противоположные знаки. Без ограничения общности считаем, что знак [math]\lambda_2[/math] совпадает со знаком свободного члена [math]a_0[/math], т.е. [math]\frac{a_0}{\lambda_2}>0[/math]. В противном случае нужно переименовать координатные оси, т.е. сделать преобразование (3.38) системы координат. Обозначая положительные величины [math]\frac{-a_0}{\lambda_1}[/math] и [math]\frac{a_0}{\lambda_2}[/math] через [math]a^2[/math] и [math]b^2[/math], получаем [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]уравнение гиперболы (4).


Пусть в уравнении (III) свободный член равен нулю [math](a_0=0)[/math]. Тогда можно считать, что [math]\lambda_1>0[/math], а [math]\lambda_2<0[/math] (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины [math]\frac{1}{\lambda_1}[/math] и [math]-\frac{1}{\lambda_2}[/math] через [math]a^2[/math] и [math]b^2[/math], получаем [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0[/math]уравнение пары пересекающихся прямых (5). Уравнения прямых находятся в результате разложения на множители левой части уравнения


[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\!\!\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0[/math], то есть [math]y=\pm\frac{b}{a}\cdot x[/math]

Таким образом, приведенные уравнения (I),(II),(III) алгебраической линии второго порядка сводятся к одному из канонических видов (1)–(9), перечисленных в теореме 3.3.


Осталось показать, что общее уравнение (3.34) можно свести к приведенным при помощи преобразований прямоугольной системы координат.


Упрощение общего уравнения (3.34) производится в два этапа. На первом этапе при помощи поворота системы координат "уничтожается" член с произведением неизвестных. Если произведения неизвестных нет [math](a_{12}=0)[/math], то поворот делать не надо (в этом случае переходим сразу ко второму этапу). На втором этапе при помощи параллельного переноса "уничтожаются" один или оба члена первой степени. В результате получаются приведенные уравнения (I),(II),(III).




Первый этап: преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат.


Если коэффициент [math]a_{12}\ne0[/math], выполним поворот системы координат на угол [math]\varphi[/math]. Подставляя выражения (3.35) в уравнение (3.34), получаем:


[math]\begin{gathered} a_{11}(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)^2+2a_{12}(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)+a_{22}(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)^2+\\[2pt] +2a_1(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)+2a_2(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)+a_0=0. \end{gathered}[/math]

Приводя подобные члены, приходим к уравнению вида (3.34):


[math]a'_{11}(x')^2+2a'_{12}x'y'+a'_{22}(y')^2+2a'_1x'+2a'_2y'+a'_0=0,[/math]
(3.39)

где

[math]\begin{aligned}a'_{11}&=a_{11}\cos^2\varphi+2a_{12}\cos\varphi\sin\varphi+a_{22}\sin^2\varphi;\\[2pt] a'_{12}&=-a_{11}\cos\varphi\sin\varphi+a_{12}(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+a_{22}\cos\varphi\sin\varphi;\\[2pt] a'_{22}&=a_{11}\sin^2\varphi-2a_{12}\cos\varphi\sin\varphi+a_{22}\cos^2\varphi;\\[2pt] a'_1&=a_1\cos\varphi+a_2\sin\varphi;\quad a'_2=-a_1\sin\varphi+a_2\cos\varphi; \quad a'_0=a_0. \end{aligned}[/math]

Определим угол [math]\varphi[/math] так, чтобы [math]a'_{12}=0[/math]. Преобразуем выражение для [math]a'_{12}[/math], переходя к двойному углу:


[math]a'_{12}= -\frac{1}{2}\,a_{11}\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi+\frac{1}{2}\,a_{22}\sin2\varphi= \frac{a_{22}-a_{11}}{2}\,\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi.[/math]

Угол [math]\varphi[/math] должен удовлетворять однородному тригонометрическому уравнению [math]\frac{a_{22}-a_{11}}{2}\,\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi=0[/math], которое равносильно уравнению


[math]\operatorname{ctg}2\varphi=\frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}},[/math]
(3.40)

поскольку [math]a_{12}\ne 0[/math]. Это уравнение имеет бесконечное количество корней


[math]\varphi=\frac{1}{2}\operatorname{arcctg}\frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}+\frac{\pi}{2}\,n, \quad n\in\mathbb{Z}.[/math]

Выберем любой из них, например, угол [math]\varphi[/math] из интервала [math]0<\varphi<\frac{\pi}{2}[/math]. Тогда в уравнении (3.39) исчезнет член [math]2a'_{12}x'y'[/math], поскольку [math]a'_{12}=0[/math].

Обозначив оставшиеся старшие коэффициенты через [math]\lambda_1= a'[/math] и [math]\lambda_2=a'_{22}[/math], получим уравнение


[math]\lambda_1\cdot(x')^2+\lambda_2\cdot(y')^2+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0=0.[/math]
(3.41)

Согласно теореме 3.1, уравнение (3.41) является уравнением второй степени (при преобразовании (3.35) порядок линии сохраняется), т.е. хотя бы один из старших коэффициентов [math]\lambda_1[/math] или [math]\lambda_2[/math] отличен от нуля. Далее будем считать, что именно коэффициент при [math](y')^2[/math] не равен нулю [math](\lambda_2\ne0)[/math]. В противном случае (при [math]\lambda_2=0[/math]и [math]\lambda_1\ne0[/math]) следует сделать поворот системы координат на угол [math]\varphi+\frac{\pi}{2}[/math], который также удовлетворяет условию (3.40). Тогда вместо координат [math]x',y'[/math] в (3.41) получим [math]y',-x'[/math] соответственно, т.е. отличный от нуля коэффициент [math]\lambda_1[/math] будет при [math](y')^2[/math].




Второй этап: преобразование уравнения линии второго порядка при параллельном переносе прямоугольной системы координат.


Уравнение (3.41) можно упростить, выделяя полные квадраты. Нужно рассмотреть два случая: [math]\lambda_1\ne0[/math] или [math]\lambda_1=0[/math] (согласно предположению [math]\lambda_2\ne0[/math]), которые называются центральный (включающий эллиптический и гиперболический случаи) или параболический соответственно. Геометрический смысл этих названий раскрывается в дальнейшем.


Центральный случай: [math]\lambda_1\ne0[/math] и [math]\lambda_2\ne0[/math]. Выделяя полные квадраты по переменным [math]x',y'[/math], получаем


[math]\begin{gathered}\lambda_1\left[(x')^2+2\,\frac{a'_1}{\lambda_1}\,x'+{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2\right]+ \lambda_2\left[(y')^2+2\,\frac{a'_2}{\lambda_2}\,y'+{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]- \lambda_1{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0~\Leftrightarrow\\[3pt] \Leftrightarrow~ \lambda_1{\left(x'+\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2+\lambda_2{\left(y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2- \lambda_1{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0. \end{gathered}[/math]

После замены переменных


[math]\left\{\begin{aligned} x''&=x'+\frac{a'_1}{\lambda_1},\\ y''&=y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right.[/math]
(3.42)

получаем уравнение


[math]\lambda_1\,(x'')^2+\lambda_2\,(y'')^2+a''_0=0,[/math]
(3.43)

где [math]a''_0=-\lambda_1{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0[/math].


Параболический случай: [math]\lambda_1=0[/math] и [math]\lambda_2\ne0[/math]. Выделяя полный квадрат по переменной [math]y'[/math], получаем


[math]\begin{gathered} \lambda_2\left[(y')^2+2\cdot\frac{a'_2}{\lambda_2}\cdot y'+{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]+2\cdot a'_1\cdot x'-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0 \quad \Leftrightarrow \\[3pt] \Leftrightarrow \quad \lambda_2{\left(y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+2\cdot a'_1\cdot x'-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0.\end{gathered}[/math]
(3.44)

Если [math]a'_1\ne0[/math], то последнее уравнение приводится к виду


[math]\lambda_2{\left(y'+ \frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+ 2\cdot a'_1\left[x'+\frac{a'_0}{2a'_1}- \frac{\lambda_2}{2a'_1}{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]=0.[/math]

Сделав замену переменных


[math]\left\{\begin{aligned} x''&=x'+\frac{a'_0}{2a'_1}- \frac{\lambda_2}{2a'_1}{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2,\\ y''&=y'+ \frac{a'_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right.[/math]
(3.45)

получим, где [math]a''_1=a'_1[/math]


[math]\lambda_2\cdot(y'')^2+2\cdot a''_1\cdot x''=0,[/math]
(3.46)

Если [math]a'_1=0[/math], то уравнение (3.44) приводится к виду, где [math]a''_0=-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2} \right)\!}^2+a'_0[/math],


[math]\lambda_2\cdot(y'')^2+a''_0,[/math]
(3.47)

[math]\left\{\begin{aligned}x''&=x',\\y''&=y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}.\end{aligned}\right.[/math]
(3.48)

Замены переменных (3.42), (3.45), (3.48) соответствуют параллельному переносу системы координат [math]Ox'y'[/math] (см. пункт 1"a" замечаний 2.3).


Таким образом, при помощи параллельного переноса системы координат [math]Ox'y'[/math] получаем новую систему координат [math]O''x''y''[/math], в которой уравнение линии второго порядка принимает вид (3.43), или (3.46), или (3.47). Эти уравнения являются приведенными (вида (III),(II) или (I) соответственно).


Основная теорема 3.3 о приведении уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду доказана.




Замечания 3.8


1. Система координат, в которой уравнение алгебраической линии второго порядка имеет канонический вид, называется канонической. Каноническая система координат определяется неоднозначно. Например, изменяя направление оси ординат на противоположное, снова получаем каноническую систему координат, так как замена переменной [math]y[/math] на [math](-y)[/math] не изменяет уравнений (1)–(9). Поэтому ориентация канонической системы координат не имеет принципиального значения, ее всегда можно сделать правой, изменив при необходимости направление оси ординат.


2. Ранее показано, что преобразования прямоугольных систем координат на плоскости сводятся к одному из преобразований (2.9) или (2.10):


[math]\begin{cases} x=x_0+x'\cdot\cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x'\cdot\sin\varphi+y'\cdot\cos\varphi, \end{cases}\quad \begin{cases} x=x_0+x'\cdot\cos\varphi+y'\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x'\cdot\sin\varphi-y'\cdot\cos\varphi.\end{cases}[/math]

Поэтому задача приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду сводится к нахождению начала [math]O'(x_0,y_0)[/math] канонической системы координат [math]O'x'y'[/math] и угла [math]\varphi[/math] наклона ее оси абсцисс [math]O'x'[/math] к оси абсцисс [math]Ox[/math] исходной системы координат [math]Oxy[/math].


3. В случаях (3),(5),(7),(8),(9) линии называются распадающимися, поскольку соответствующие им многочлены второй степени разлагаются в произведение многочленов первой степени.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved