Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Канонические уравнения линий второго порядка
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Канонические уравнения линий второго порядка Рассмотрим задачу приведения уравнения линии второго порядка к наиболее простому (каноническому) виду. Напомним, что алгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат $Ox_1x_2$ может быть задано уравнением вида $p(x_1,x_2)=0,$ где $p(x_1,x_2)$ — многочлен второй степени двух переменных $Ox_1x_2$ . Требуется найти прямоугольную систему координат, в которой уравнение линии приняло бы наиболее простой вид. Результатом решения поставленной задачи является следующая основная теорема (3.3) Классификация алгебраических линий второго порядка (теорема 3.3) Для любой алгебраической линии второго порядка существует прямоугольная система координат $Oxy$ , в которой уравнение этой линии принимает один из следующих девяти канонических видов: Теорема 3.3 дает аналитические определения линий второго порядка. Согласно пункту 2 замечаний 3.1, линии (1), (4), (5), (6), (7), (9) называются вещественными (действительными), а линии (2), (3), (8) — мнимыми. Приведем доказательство теоремы, поскольку оно фактически содержит алгоритм решения поставленной задачи. Без ограничения общности можно предполагать, что уравнение линии второго порядка задано в прямоугольной системе координат $Oxy$ . В противном случае можно перейти от непрямоугольной системы координат $Ox_1x_2$ к прямоугольной $Oxy$ , при этом уравнение линии будет иметь тот же вид и ту же степень согласно теореме 3.1 об инвариантности порядка алгебраической линии. Пусть в прямоугольной системе координат $Oxy$ алгебраическая линия второго порядка задана уравнением $a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0,$ (3.34) в котором хотя бы один из старших коэффициентов $a_{11},a_{12},a_{22}$ отличен от нуля, т.е. левая часть (3.34) — многочлен двух переменных $x,y$ второй степени. Коэффициенты при первых степенях переменных $x$ и $y$ , а также при их произведении $x\cdot y$ взяты удвоенными просто для удобства дальнейших преобразований. Для приведения уравнения (3.34) к каноническому виду используются следующие преобразования прямоугольных координат: – поворот на угол $\varphi$ $\begin{cases}x=x'\cdot\cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\y=x'\cdot\sin\varphi+y'\cdot\cos\varphi;\end{cases}$ (3.35) – параллельный перенос $\begin{cases}x=x_0+x',\\y=y_0+y';\end{cases}$ (3.36) – изменение направлений координатных осей (отражения в координатных осях): оси ординат $\begin{cases}x=x',\\y=-y',\end{cases}$ оси абсцисс $\begin{cases}x=-x',\\y=y',\end{cases}$ обеих осей $\begin{cases}x=-x',\\y=-y';\end{cases}\quad (3.37)$ – переименование координатных осей (отражение в прямой $y=x$ ) $\begin{cases}x=y',\\y=x',\end{cases}$ (3.38) где $x,y$ и $x',y'$ — координаты произвольной точки в старой $(Oxy)$ и новой $O'x'y'$ системах координат соответственно. Кроме преобразования координат обе части уравнения можно умножать на отличное от нуля число. Рассмотрим сначала частные случаи, когда уравнение (3.34) имеет вид: $\begin{aligned} &\mathsf{(I)\colon}~ \lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_2\ne0;\\[2pt] &\mathsf{(II)\colon}~ \lambda_2\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x,~\lambda_2\ne0,~a_1\ne0;\\[2pt] &\mathsf{(III)\colon}~ \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_1\ne0,~\lambda_2\ne0. \end{aligned}$ Эти уравнения (также многочлены в левых частях) называются приведенными. Покажем, что приведенные уравнения (I), (II), (III) сводятся к каноническим (1)–(9). Уравнение (I). Если в уравнении (I) свободный член равен нулю $(a_0=0)$ , то, разделив обе части уравнения $\lambda_2y^2=0$ на старший коэффициент $(\lambda_0\ne0)$ , получим $y^2=0$ — уравнение двух совпадающих прямых (9), содержащих ось абсцисс $y=0$ . Если же свободный член отличен от нуля $a_0\ne0$ , то разделим обе части уравнения (I) на старший коэффициент $(\lambda_2\ne0):$ $y^2+\frac{a_0}{\lambda_2}=0$ . Если величина $\frac{a_0}{\lambda_2}$ отрицательная, то, обозначив ее через $-b^2$ , где $b=\sqrt{-\frac{a_0}{\lambda_2}}$ , получаем $y^2-b^2=0$ — уравнение пары параллельных прямых (7): $y=b$ или $y=-b$ . Если же величина $\frac{a_0}{\lambda_2}$ положительная, то, обозначив ее через $b^2$ , где $b=\sqrt{\frac{a_0}{\lambda_2}}$ , получаем $y^2+b^2=0$ — уравнение пары мнимых параллельных прямых (8). Это уравнение не имеет действительных решений, поэтому на координатной плоскости нет точек, отвечающих этому уравнению. Однако в области комплексных чисел уравнение $y^2+b^2=0$ имеет два сопряженных решения $y=\pm ib$ , которые иллюстрируются штриховыми линиями (см. пункт 8 теоремы 3.3). Уравнение (II). Разделим уравнение на старший коэффициент $(\lambda_2\ne0)$ и перенесем линейный член в правую часть: $y^2=-\frac{2a_1}{\lambda_2}\,x$ . Если величина $\frac{a_1}{\lambda_2}$ отрицательная, то, обозначая $p=-\frac{a_1}{\lambda_2}>0$ , получаем $y^2=2px$ — уравнение параболы (6). Если величина $\frac{a_1}{\lambda_2}$ положительная, то, изменяя направление оси абсцисс, т.е. выполняя второе преобразование в (3.37), получаем уравнение $(y')^2=\frac{2a_1}{\lambda_2}\,x'$ или $(y')^2=2px'$ , где $p=\frac{a_1}{\lambda_2}>0$ . Это уравнение параболы в новой системе координат $Ox'y'$ . Уравнение (III). Возможны два случая: либо старшие коэффициенты одного знака (эллиптический случай), либо противоположных знаков (гиперболический случай). В эллиптическом случае $(\lambda_1\lambda_2>0)$ при $a_0\ne0$ переносим свободный член в правую часть и делим обе части на $-a_0\ne0$ : $\mathsf{(III)}\quad\Leftrightarrow\quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{\lambda_1}{-a_0}\cdot x^2+\frac{\lambda_2}{-a_0}\cdot y^2=1$ Если знак старших коэффициентов $\lambda_1,\lambda_2$ противоположен знаку $a_0$ , то, обозначая положительные величины $\frac{-a_0}{\lambda_1}$ и $\frac{-a_0}{\lambda_2}$ через $a^2$ и $b^2$ , получаем $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ — уравнение эллипса (1). Если знак старших коэффициентов $\lambda_1,\lambda_2$ совпадает со знаком $a_0$ , то, обозначая положительные величины $\frac{a_0}{\lambda_1}$ и $\frac{a_0}{\lambda_2}$ через $a^2$ и $b^2$ , получаем $-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1~\Leftrightarrow~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$ — уравнение мнимого эллипса (2). Это уравнение не имеет действительных решений. Однако оно имеет решения в области комплексных чисел, которые иллюстрируются штриховой линией (см. пункт 2 теоремы 3.3). Можно считать, что в уравнениях эллипса (действительного или мнимого) коэффициенты удовлетворяют неравенству $a\geqslant b$ , в противном случае этого можно добиться, переименовывая координатные оси, т.е. делая преобразование (3.38) системы координат. Если свободный член уравнения (III) равен нулю $(a_0=0)$ , то, обозначая положительные величины $\frac{1}{\|\lambda_1\|}$ и $\frac{1}{\|\lambda_2\|}$ через $a^2$ и $b^2$ , получаем $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$ — уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (3). Этому уравнению удовлетворяет только точка с координатами $x=0$ и $y=0$ , т.е. точка $O$ — начало координат. Однако в области комплексных чисел левую часть уравнения можно разложить на множители $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\left(\frac{y}{b}+i\,\frac{x}{a}\right)\!\!\left(\frac{y}{b}-i\,\frac{x}{a}\right)$ , поэтому уравнение имеет сопряженные решения $y=\pm i\,\frac{b}{a}\,x$ , которые иллюстрируются штриховыми линиями, пересекающимися в начале координат (см. пункт 3 теоремы 3.3). В гиперболическом случае $(\lambda_1,\lambda_2<0)$ при $a_0\ne0$ переносим свободный член в правую часть и делим обе части на $-a_0\ne0$ : $\mathsf{(III)}\quad \Leftrightarrow \quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\lambda_1}{-a_0}\cdot x^2+\frac{\lambda_2}{-a_0}\cdot y^2=1.$ Величины $\frac{-a_0}{\lambda_1}$ и $\frac{-a_0}{\lambda_2}$ имеют противоположные знаки. Без ограничения общности считаем, что знак $\lambda_2$ совпадает со знаком свободного члена $a_0$ , т.е. $\frac{a_0}{\lambda_2}>0$ . В противном случае нужно переименовать координатные оси, т.е. сделать преобразование (3.38) системы координат. Обозначая положительные величины $\frac{-a_0}{\lambda_1}$ и $\frac{a_0}{\lambda_2}$ через $a^2$ и $b^2$ , получаем $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ — уравнение гиперболы (4). Пусть в уравнении (III) свободный член равен нулю $(a_0=0)$ . Тогда можно считать, что $\lambda_1>0$ , а $\lambda_2<0$ (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины $\frac{1}{\lambda_1}$ и $-\frac{1}{\lambda_2}$ через $a^2$ и $b^2$ , получаем $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ — уравнение пары пересекающихся прямых (5). Уравнения прямых находятся в результате разложения на множители левой части уравнения $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\!\!\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0$ , то есть $y=\pm\frac{b}{a}\cdot x$ Таким образом, приведенные уравнения (I),(II),(III) алгебраической линии второго порядка сводятся к одному из канонических видов (1)–(9), перечисленных в теореме 3.3. Осталось показать, что общее уравнение (3.34) можно свести к приведенным при помощи преобразований прямоугольной системы координат. Упрощение общего уравнения (3.34) производится в два этапа. На первом этапе при помощи поворота системы координат "уничтожается" член с произведением неизвестных. Если произведения неизвестных нет $(a_{12}=0)$ , то поворот делать не надо (в этом случае переходим сразу ко второму этапу). На втором этапе при помощи параллельного переноса "уничтожаются" один или оба члена первой степени. В результате получаются приведенные уравнения (I),(II),(III). Первый этап: преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат. Если коэффициент $a_{12}\ne0$ , выполним поворот системы координат на угол $\varphi$ . Подставляя выражения (3.35) в уравнение (3.34), получаем: $\begin{gathered} a_{11}(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)^2+2a_{12}(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)+a_{22}(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)^2+\\[2pt] +2a_1(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)+2a_2(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)+a_0=0. \end{gathered}$ Приводя подобные члены, приходим к уравнению вида (3.34): $a'_{11}(x')^2+2a'_{12}x'y'+a'_{22}(y')^2+2a'_1x'+2a'_2y'+a'_0=0,$ (3.39) где $\begin{aligned}a'_{11}&=a_{11}\cos^2\varphi+2a_{12}\cos\varphi\sin\varphi+a_{22}\sin^2\varphi;\\[2pt] a'_{12}&=-a_{11}\cos\varphi\sin\varphi+a_{12}(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+a_{22}\cos\varphi\sin\varphi;\\[2pt] a'_{22}&=a_{11}\sin^2\varphi-2a_{12}\cos\varphi\sin\varphi+a_{22}\cos^2\varphi;\\[2pt] a'_1&=a_1\cos\varphi+a_2\sin\varphi;\quad a'_2=-a_1\sin\varphi+a_2\cos\varphi; \quad a'_0=a_0. \end{aligned}$ Определим угол $\varphi$ так, чтобы $a'_{12}=0$ . Преобразуем выражение для $a'_{12}$ , переходя к двойному углу: $a'_{12}= -\frac{1}{2}\,a_{11}\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi+\frac{1}{2}\,a_{22}\sin2\varphi= \frac{a_{22}-a_{11}}{2}\,\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi.$ Угол $\varphi$ должен удовлетворять однородному тригонометрическому уравнению $\frac{a_{22}-a_{11}}{2}\,\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi=0$ , которое равносильно уравнению $\operatorname{ctg}2\varphi=\frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}},$ (3.40) поскольку $a_{12}\ne 0$ . Это уравнение имеет бесконечное количество корней $\varphi=\frac{1}{2}\operatorname{arcctg}\frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}+\frac{\pi}{2}\,n, \quad n\in\mathbb{Z}.$ Выберем любой из них, например, угол $\varphi$ из интервала $0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ . Тогда в уравнении (3.39) исчезнет член $2a'_{12}x'y'$ , поскольку $a'_{12}=0$ . Обозначив оставшиеся старшие коэффициенты через $\lambda_1= a'_{11}$ и $\lambda_2=a'_{22}$ , получим уравнение $\lambda_1\cdot(x')^2+\lambda_2\cdot(y')^2+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0=0.$ (3.41) Согласно теореме 3.1, уравнение (3.41) является уравнением второй степени (при преобразовании (3.35) порядок линии сохраняется), т.е. хотя бы один из старших коэффициентов $\lambda_1$ или $\lambda_2$ отличен от нуля. Далее будем считать, что именно коэффициент при $(y')^2$ не равен нулю $(\lambda_2\ne0)$ . В противном случае (при $\lambda_2=0$ и $\lambda_1\ne0$ ) следует сделать поворот системы координат на угол $\varphi+\frac{\pi}{2}$ , который также удовлетворяет условию (3.40). Тогда вместо координат $x',y'$ в (3.41) получим $y',-x'$ соответственно, т.е. отличный от нуля коэффициент $\lambda_1$ будет при $(y')^2$ . Второй этап: преобразование уравнения линии второго порядка при параллельном переносе прямоугольной системы координат. Уравнение (3.41) можно упростить, выделяя полные квадраты. Нужно рассмотреть два случая: $\lambda_1\ne0$ или $\lambda_1=0$ (согласно предположению $\lambda_2\ne0$ ), которые называются центральный (включающий эллиптический и гиперболический случаи) или параболический соответственно. Геометрический смысл этих названий раскрывается в дальнейшем. Центральный случай: $\lambda_1\ne0$ и $\lambda_2\ne0$ . Выделяя полные квадраты по переменным $x',y'$ , получаем $\begin{gathered}\lambda_1\left[(x')^2+2\,\frac{a'_1}{\lambda_1}\,x'+{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2\right]+ \lambda_2\left[(y')^2+2\,\frac{a'_2}{\lambda_2}\,y'+{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]- \lambda_1{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0~\Leftrightarrow\\[3pt] \Leftrightarrow~ \lambda_1{\left(x'+\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2+\lambda_2{\left(y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2- \lambda_1{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0. \end{gathered}$ После замены переменных $\left\{\begin{aligned} x''&=x'+\frac{a'_1}{\lambda_1},\\ y''&=y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right.$ (3.42) получаем уравнение $\lambda_1\,(x'')^2+\lambda_2\,(y'')^2+a''_0=0,$ (3.43) где $a''_0=-\lambda_1{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0$ . Параболический случай: $\lambda_1=0$ и $\lambda_2\ne0$ . Выделяя полный квадрат по переменной $y'$ , получаем $\begin{gathered} \lambda_2\left[(y')^2+2\cdot\frac{a'_2}{\lambda_2}\cdot y'+{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]+2\cdot a'_1\cdot x'-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0 \quad \Leftrightarrow \\[3pt] \Leftrightarrow \quad \lambda_2{\left(y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+2\cdot a'_1\cdot x'-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0.\end{gathered}$ (3.44) Если $a'_1\ne0$ , то последнее уравнение приводится к виду $\lambda_2{\left(y'+ \frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+ 2\cdot a'_1\left[x'+\frac{a'_0}{2a'_1}- \frac{\lambda_2}{2a'_1}{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]=0.$ Сделав замену переменных $\left\{\begin{aligned} x''&=x'+\frac{a'_0}{2a'_1}- \frac{\lambda_2}{2a'_1}{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2,\\ y''&=y'+ \frac{a'_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right.$ (3.45) получим, где $a''_1=a'_1$ $\lambda_2\cdot(y'')^2+2\cdot a''_1\cdot x''=0,$ (3.46) Если $a'_1=0$ , то уравнение (3.44) приводится к виду, где $a''_0=-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2} \right)\!}^2+a'_0$ , $\lambda_2\cdot(y'')^2+a''_0,$ (3.47) $\left\{\begin{aligned}x''&=x',\\y''&=y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}.\end{aligned}\right.$ (3.48) Замены переменных (3.42), (3.45), (3.48) соответствуют параллельному переносу системы координат $Ox'y'$ (см. пункт 1"a" замечаний 2.3). Таким образом, при помощи параллельного переноса системы координат $Ox'y'$ получаем новую систему координат $O''x''y''$ , в которой уравнение линии второго порядка принимает вид (3.43), или (3.46), или (3.47). Эти уравнения являются приведенными (вида (III),(II) или (I) соответственно). Основная теорема 3.3 о приведении уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду доказана. Замечания 3.8 1. Система координат, в которой уравнение алгебраической линии второго порядка имеет канонический вид, называется канонической. Каноническая система координат определяется неоднозначно. Например, изменяя направление оси ординат на противоположное, снова получаем каноническую систему координат, так как замена переменной $y$ на $(-y)$ не изменяет уравнений (1)–(9). Поэтому ориентация канонической системы координат не имеет принципиального значения, ее всегда можно сделать правой, изменив при необходимости направление оси ординат. 2. Ранее показано, что преобразования прямоугольных систем координат на плоскости сводятся к одному из преобразований (2.9) или (2.10): $\begin{cases} x=x_0+x'\cdot\cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x'\cdot\sin\varphi+y'\cdot\cos\varphi, \end{cases}\quad \begin{cases} x=x_0+x'\cdot\cos\varphi+y'\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x'\cdot\sin\varphi-y'\cdot\cos\varphi.\end{cases}$ Поэтому задача приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду сводится к нахождению начала $O'(x_0,y_0)$ канонической системы координат $O'x'y'$ и угла $\varphi$ наклона ее оси абсцисс $O'x'$ к оси абсцисс $Ox$ исходной системы координат $Oxy$ . 3. В случаях (3),(5),(7),(8),(9) линии называются распадающимися, поскольку соответствующие им многочлены второй степени разлагаются в произведение многочленов первой степени. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Канонические уравнения линий второго порядка

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Канонические уравнения линий второго порядка

Рассмотрим задачу приведения уравнения линии второго порядка к наиболее простому (каноническому) виду.

Напомним, что алгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат $Ox_1x_2$ может быть задано уравнением вида $p(x_1,x_2)=0,$ где $p(x_1,x_2)$ — многочлен второй степени двух переменных $Ox_1x_2$ . Требуется найти прямоугольную систему координат, в которой уравнение линии приняло бы наиболее простой вид.

Результатом решения поставленной задачи является следующая основная теорема (3.3)

Классификация алгебраических линий второго порядка (теорема 3.3)

Для любой алгебраической линии второго порядка существует прямоугольная система координат $Oxy$ , в которой уравнение этой линии принимает один из следующих девяти канонических видов:

Канонические уравнения линий второго порядка

Теорема 3.3 дает аналитические определения линий второго порядка. Согласно пункту 2 замечаний 3.1, линии (1), (4), (5), (6), (7), (9) называются вещественными (действительными), а линии (2), (3), (8) — мнимыми.

Приведем доказательство теоремы, поскольку оно фактически содержит алгоритм решения поставленной задачи.

Без ограничения общности можно предполагать, что уравнение линии второго порядка задано в прямоугольной системе координат $Oxy$ . В противном случае можно перейти от непрямоугольной системы координат $Ox_1x_2$ к прямоугольной $Oxy$ , при этом уравнение линии будет иметь тот же вид и ту же степень согласно теореме 3.1 об инвариантности порядка алгебраической линии.

Пусть в прямоугольной системе координат $Oxy$ алгебраическая линия второго порядка задана уравнением

$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0,$

(3.34)

в котором хотя бы один из старших коэффициентов $a_{11},a_{12},a_{22}$ отличен от нуля, т.е. левая часть (3.34) — многочлен двух переменных $x,y$ второй степени. Коэффициенты при первых степенях переменных $x$ и $y$ , а также при их произведении $x\cdot y$ взяты удвоенными просто для удобства дальнейших преобразований.

Для приведения уравнения (3.34) к каноническому виду используются следующие преобразования прямоугольных координат:

– поворот на угол $\varphi$

$\begin{cases}x=x'\cdot\cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\y=x'\cdot\sin\varphi+y'\cdot\cos\varphi;\end{cases}$

(3.35)

– параллельный перенос

$\begin{cases}x=x_0+x',\\y=y_0+y';\end{cases}$

(3.36)

– изменение направлений координатных осей (отражения в координатных осях):

оси ординат $\begin{cases}x=x',\\y=-y',\end{cases}$ оси абсцисс $\begin{cases}x=-x',\\y=y',\end{cases}$ обеих осей $\begin{cases}x=-x',\\y=-y';\end{cases}\quad (3.37)$

– переименование координатных осей (отражение в прямой $y=x$ )

$\begin{cases}x=y',\\y=x',\end{cases}$

(3.38)

где $x,y$ и $x',y'$ — координаты произвольной точки в старой $(Oxy)$ и новой $O'x'y'$ системах координат соответственно.

Кроме преобразования координат обе части уравнения можно умножать на отличное от нуля число.

Рассмотрим сначала частные случаи, когда уравнение (3.34) имеет вид:

$\begin{aligned} &\mathsf{(I)\colon}~ \lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_2\ne0;\\[2pt] &\mathsf{(II)\colon}~ \lambda_2\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x,~\lambda_2\ne0,~a_1\ne0;\\[2pt] &\mathsf{(III)\colon}~ \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_1\ne0,~\lambda_2\ne0. \end{aligned}$

Эти уравнения (также многочлены в левых частях) называются приведенными. Покажем, что приведенные уравнения (I), (II), (III) сводятся к каноническим (1)–(9).

Уравнение (I). Если в уравнении (I) свободный член равен нулю $(a_0=0)$ , то, разделив обе части уравнения $\lambda_2y^2=0$ на старший коэффициент $(\lambda_0\ne0)$ , получим $y^2=0$ — уравнение двух совпадающих прямых (9), содержащих ось абсцисс $y=0$ . Если же свободный член отличен от нуля $a_0\ne0$ , то разделим обе части уравнения (I) на старший коэффициент $(\lambda_2\ne0):$ $y^2+\frac{a_0}{\lambda_2}=0$ . Если величина $\frac{a_0}{\lambda_2}$ отрицательная, то, обозначив ее через $-b^2$ , где $b=\sqrt{-\frac{a_0}{\lambda_2}}$ , получаем $y^2-b^2=0$ — уравнение пары параллельных прямых (7): $y=b$ или $y=-b$ . Если же величина $\frac{a_0}{\lambda_2}$ положительная, то, обозначив ее через $b^2$ , где $b=\sqrt{\frac{a_0}{\lambda_2}}$ , получаем $y^2+b^2=0$ — уравнение пары мнимых параллельных прямых (8). Это уравнение не имеет действительных решений, поэтому на координатной плоскости нет точек, отвечающих этому уравнению. Однако в области комплексных чисел уравнение $y^2+b^2=0$ имеет два сопряженных решения $y=\pm ib$ , которые иллюстрируются штриховыми линиями (см. пункт 8 теоремы 3.3).

Уравнение (II). Разделим уравнение на старший коэффициент $(\lambda_2\ne0)$ и перенесем линейный член в правую часть: $y^2=-\frac{2a_1}{\lambda_2}\,x$ . Если величина $\frac{a_1}{\lambda_2}$ отрицательная, то, обозначая $p=-\frac{a_1}{\lambda_2}>0$ , получаем $y^2=2px$ — уравнение параболы (6). Если величина $\frac{a_1}{\lambda_2}$ положительная, то, изменяя направление оси абсцисс, т.е. выполняя второе преобразование в (3.37), получаем уравнение $(y')^2=\frac{2a_1}{\lambda_2}\,x'$ или $(y')^2=2px'$ , где $p=\frac{a_1}{\lambda_2}>0$ . Это уравнение параболы в новой системе координат $Ox'y'$ .

Уравнение (III). Возможны два случая: либо старшие коэффициенты одного знака (эллиптический случай), либо противоположных знаков (гиперболический случай).

В эллиптическом случае $(\lambda_1\lambda_2>0)$ при $a_0\ne0$ переносим свободный член в правую часть и делим обе части на $-a_0\ne0$ :

$\mathsf{(III)}\quad\Leftrightarrow\quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{\lambda_1}{-a_0}\cdot x^2+\frac{\lambda_2}{-a_0}\cdot y^2=1$

Если знак старших коэффициентов $\lambda_1,\lambda_2$ противоположен знаку $a_0$ , то, обозначая положительные величины $\frac{-a_0}{\lambda_1}$ и $\frac{-a_0}{\lambda_2}$ через $a^2$ и $b^2$ , получаем $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ — уравнение эллипса (1).

Если знак старших коэффициентов $\lambda_1,\lambda_2$ совпадает со знаком $a_0$ , то, обозначая положительные величины $\frac{a_0}{\lambda_1}$ и $\frac{a_0}{\lambda_2}$ через $a^2$ и $b^2$ , получаем $-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1~\Leftrightarrow~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$ — уравнение мнимого эллипса (2). Это уравнение не имеет действительных решений. Однако оно имеет решения в области комплексных чисел, которые иллюстрируются штриховой линией (см. пункт 2 теоремы 3.3).

Можно считать, что в уравнениях эллипса (действительного или мнимого) коэффициенты удовлетворяют неравенству $a\geqslant b$ , в противном случае этого можно добиться, переименовывая координатные оси, т.е. делая преобразование (3.38) системы координат.

Если свободный член уравнения (III) равен нулю $(a_0=0)$ , то, обозначая положительные величины $\frac{1}{|\lambda_1|}$ и $\frac{1}{|\lambda_2|}$ через $a^2$ и $b^2$ , получаем $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$ — уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (3). Этому уравнению удовлетворяет только точка с координатами $x=0$ и $y=0$ , т.е. точка $O$ — начало координат. Однако в области комплексных чисел левую часть уравнения можно разложить на множители $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\left(\frac{y}{b}+i\,\frac{x}{a}\right)\!\!\left(\frac{y}{b}-i\,\frac{x}{a}\right)$ , поэтому уравнение имеет сопряженные решения $y=\pm i\,\frac{b}{a}\,x$ , которые иллюстрируются штриховыми линиями, пересекающимися в начале координат (см. пункт 3 теоремы 3.3).

В гиперболическом случае $(\lambda_1,\lambda_2<0)$ при $a_0\ne0$ переносим свободный член в правую часть и делим обе части на $-a_0\ne0$ :

$\mathsf{(III)}\quad \Leftrightarrow \quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\lambda_1}{-a_0}\cdot x^2+\frac{\lambda_2}{-a_0}\cdot y^2=1.$

Величины $\frac{-a_0}{\lambda_1}$ и $\frac{-a_0}{\lambda_2}$ имеют противоположные знаки. Без ограничения общности считаем, что знак $\lambda_2$ совпадает со знаком свободного члена $a_0$ , т.е. $\frac{a_0}{\lambda_2}>0$ . В противном случае нужно переименовать координатные оси, т.е. сделать преобразование (3.38) системы координат. Обозначая положительные величины $\frac{-a_0}{\lambda_1}$ и $\frac{a_0}{\lambda_2}$ через $a^2$ и $b^2$ , получаем $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ — уравнение гиперболы (4).

Пусть в уравнении (III) свободный член равен нулю $(a_0=0)$ . Тогда можно считать, что $\lambda_1>0$ , а $\lambda_2<0$ (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины $\frac{1}{\lambda_1}$ и $-\frac{1}{\lambda_2}$ через $a^2$ и $b^2$ , получаем $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ — уравнение пары пересекающихся прямых (5). Уравнения прямых находятся в результате разложения на множители левой части уравнения

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\!\!\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0$ , то есть $y=\pm\frac{b}{a}\cdot x$

Таким образом, приведенные уравнения (I),(II),(III) алгебраической линии второго порядка сводятся к одному из канонических видов (1)–(9), перечисленных в теореме 3.3.

Осталось показать, что общее уравнение (3.34) можно свести к приведенным при помощи преобразований прямоугольной системы координат.

Упрощение общего уравнения (3.34) производится в два этапа. На первом этапе при помощи поворота системы координат "уничтожается" член с произведением неизвестных. Если произведения неизвестных нет $(a_{12}=0)$ , то поворот делать не надо (в этом случае переходим сразу ко второму этапу). На втором этапе при помощи параллельного переноса "уничтожаются" один или оба члена первой степени. В результате получаются приведенные уравнения (I),(II),(III).

Первый этап: преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат.

Если коэффициент $a_{12}\ne0$ , выполним поворот системы координат на угол $\varphi$ . Подставляя выражения (3.35) в уравнение (3.34), получаем:

$\begin{gathered} a_{11}(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)^2+2a_{12}(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)+a_{22}(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)^2+\\[2pt] +2a_1(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)+2a_2(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)+a_0=0. \end{gathered}$

Приводя подобные члены, приходим к уравнению вида (3.34):

$a'_{11}(x')^2+2a'_{12}x'y'+a'_{22}(y')^2+2a'_1x'+2a'_2y'+a'_0=0,$

(3.39)

где

$\begin{aligned}a'_{11}&=a_{11}\cos^2\varphi+2a_{12}\cos\varphi\sin\varphi+a_{22}\sin^2\varphi;\\[2pt] a'_{12}&=-a_{11}\cos\varphi\sin\varphi+a_{12}(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+a_{22}\cos\varphi\sin\varphi;\\[2pt] a'_{22}&=a_{11}\sin^2\varphi-2a_{12}\cos\varphi\sin\varphi+a_{22}\cos^2\varphi;\\[2pt] a'_1&=a_1\cos\varphi+a_2\sin\varphi;\quad a'_2=-a_1\sin\varphi+a_2\cos\varphi; \quad a'_0=a_0. \end{aligned}$

Определим угол $\varphi$ так, чтобы $a'_{12}=0$ . Преобразуем выражение для $a'_{12}$ , переходя к двойному углу:

$a'_{12}= -\frac{1}{2}\,a_{11}\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi+\frac{1}{2}\,a_{22}\sin2\varphi= \frac{a_{22}-a_{11}}{2}\,\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi.$

Угол $\varphi$ должен удовлетворять однородному тригонометрическому уравнению $\frac{a_{22}-a_{11}}{2}\,\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi=0$ , которое равносильно уравнению

$\operatorname{ctg}2\varphi=\frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}},$

(3.40)

поскольку $a_{12}\ne 0$ . Это уравнение имеет бесконечное количество корней

$\varphi=\frac{1}{2}\operatorname{arcctg}\frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}+\frac{\pi}{2}\,n, \quad n\in\mathbb{Z}.$

Выберем любой из них, например, угол $\varphi$ из интервала $0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ . Тогда в уравнении (3.39) исчезнет член $2a'_{12}x'y'$ , поскольку $a'_{12}=0$ .

Обозначив оставшиеся старшие коэффициенты через $\lambda_1= a'_{11}$ и $\lambda_2=a'_{22}$ , получим уравнение

$\lambda_1\cdot(x')^2+\lambda_2\cdot(y')^2+2\cdot a'_1\cdot x'+2\cdot a'_2\cdot y'+a'_0=0.$

(3.41)

Согласно теореме 3.1, уравнение (3.41) является уравнением второй степени (при преобразовании (3.35) порядок линии сохраняется), т.е. хотя бы один из старших коэффициентов $\lambda_1$ или $\lambda_2$ отличен от нуля. Далее будем считать, что именно коэффициент при $(y')^2$ не равен нулю $(\lambda_2\ne0)$ . В противном случае (при $\lambda_2=0$ и $\lambda_1\ne0$ ) следует сделать поворот системы координат на угол $\varphi+\frac{\pi}{2}$ , который также удовлетворяет условию (3.40). Тогда вместо координат $x',y'$ в (3.41) получим $y',-x'$ соответственно, т.е. отличный от нуля коэффициент $\lambda_1$ будет при $(y')^2$ .

Второй этап: преобразование уравнения линии второго порядка при параллельном переносе прямоугольной системы координат.

Уравнение (3.41) можно упростить, выделяя полные квадраты. Нужно рассмотреть два случая: $\lambda_1\ne0$ или $\lambda_1=0$ (согласно предположению $\lambda_2\ne0$ ), которые называются центральный (включающий эллиптический и гиперболический случаи) или параболический соответственно. Геометрический смысл этих названий раскрывается в дальнейшем.

Центральный случай: $\lambda_1\ne0$ и $\lambda_2\ne0$ . Выделяя полные квадраты по переменным $x',y'$ , получаем

$\begin{gathered}\lambda_1\left[(x')^2+2\,\frac{a'_1}{\lambda_1}\,x'+{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2\right]+ \lambda_2\left[(y')^2+2\,\frac{a'_2}{\lambda_2}\,y'+{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]- \lambda_1{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0~\Leftrightarrow\\[3pt] \Leftrightarrow~ \lambda_1{\left(x'+\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2+\lambda_2{\left(y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2- \lambda_1{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0. \end{gathered}$

После замены переменных

$\left\{\begin{aligned} x''&=x'+\frac{a'_1}{\lambda_1},\\ y''&=y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right.$

(3.42)

получаем уравнение

$\lambda_1\,(x'')^2+\lambda_2\,(y'')^2+a''_0=0,$

(3.43)

где $a''_0=-\lambda_1{\left(\frac{a'_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0$ .

Параболический случай: $\lambda_1=0$ и $\lambda_2\ne0$ . Выделяя полный квадрат по переменной $y'$ , получаем

$\begin{gathered} \lambda_2\left[(y')^2+2\cdot\frac{a'_2}{\lambda_2}\cdot y'+{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]+2\cdot a'_1\cdot x'-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0 \quad \Leftrightarrow \\[3pt] \Leftrightarrow \quad \lambda_2{\left(y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+2\cdot a'_1\cdot x'-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a'_0=0.\end{gathered}$

(3.44)

Если $a'_1\ne0$ , то последнее уравнение приводится к виду

$\lambda_2{\left(y'+ \frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+ 2\cdot a'_1\left[x'+\frac{a'_0}{2a'_1}- \frac{\lambda_2}{2a'_1}{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]=0.$

Сделав замену переменных

$\left\{\begin{aligned} x''&=x'+\frac{a'_0}{2a'_1}- \frac{\lambda_2}{2a'_1}{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2}\right)\!}^2,\\ y''&=y'+ \frac{a'_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right.$

(3.45)

получим, где $a''_1=a'_1$

$\lambda_2\cdot(y'')^2+2\cdot a''_1\cdot x''=0,$

(3.46)

Если $a'_1=0$ , то уравнение (3.44) приводится к виду, где $a''_0=-\lambda_2{\left(\frac{a'_2}{\lambda_2} \right)\!}^2+a'_0$ ,

$\lambda_2\cdot(y'')^2+a''_0,$

(3.47)

$\left\{\begin{aligned}x''&=x',\\y''&=y'+\frac{a'_2}{\lambda_2}.\end{aligned}\right.$

(3.48)

Замены переменных (3.42), (3.45), (3.48) соответствуют параллельному переносу системы координат $Ox'y'$ (см. пункт 1"a" замечаний 2.3).

Таким образом, при помощи параллельного переноса системы координат $Ox'y'$ получаем новую систему координат $O''x''y''$ , в которой уравнение линии второго порядка принимает вид (3.43), или (3.46), или (3.47). Эти уравнения являются приведенными (вида (III),(II) или (I) соответственно).

Основная теорема 3.3 о приведении уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду доказана.

Замечания 3.8

1. Система координат, в которой уравнение алгебраической линии второго порядка имеет канонический вид, называется канонической. Каноническая система координат определяется неоднозначно. Например, изменяя направление оси ординат на противоположное, снова получаем каноническую систему координат, так как замена переменной $y$ на $(-y)$ не изменяет уравнений (1)–(9). Поэтому ориентация канонической системы координат не имеет принципиального значения, ее всегда можно сделать правой, изменив при необходимости направление оси ординат.

2. Ранее показано, что преобразования прямоугольных систем координат на плоскости сводятся к одному из преобразований (2.9) или (2.10):

$\begin{cases} x=x_0+x'\cdot\cos\varphi-y'\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x'\cdot\sin\varphi+y'\cdot\cos\varphi, \end{cases}\quad \begin{cases} x=x_0+x'\cdot\cos\varphi+y'\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x'\cdot\sin\varphi-y'\cdot\cos\varphi.\end{cases}$

Поэтому задача приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду сводится к нахождению начала $O'(x_0,y_0)$ канонической системы координат $O'x'y'$ и угла $\varphi$ наклона ее оси абсцисс $O'x'$ к оси абсцисс $Ox$ исходной системы координат $Oxy$ .

3. В случаях (3),(5),(7),(8),(9) линии называются распадающимися, поскольку соответствующие им многочлены второй степени разлагаются в произведение многочленов первой степени.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]