Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Изоморфизм линейных пространств
ОглавлениеЛинейная алгебра

Изоморфизм линейных пространств


Говорят, что между элементами двух множеств [math]{U}[/math] и [math]{V}[/math] установлено взаимно однозначное соответствие, если указано правило, которое каждому элементу [math]u\in U[/math] сопоставляет один и только один элемент [math]v\in V[/math], при чем каждый элемент [math]v\in V[/math] оказывается сопоставленным одному и только одному элементу [math]u\in U[/math]. Взаимно однозначное соответствие будем обозначать [math]U\leftrightarrow V[/math], а соответствующие элементы: [math]u\leftrightarrow v[/math].


Два линейных пространства [math]{U}[/math] и [math]{V}[/math] называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:


1) сумме векторов пространства [math]{U}[/math] соответствует сумма соответствующих векторов пространства [math]V:[/math]


[math]\left.{u_1\leftrightarrow v_1,\\ u_2\leftrightarrow v_2}\right\}\quad \Rightarrow\quad (u_1+u_2) \leftrightarrow (v_1+v_2);[/math]

2) произведению числа на вектор пространства [math]{U}[/math] соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства [math]V:[/math]


[math]u\leftrightarrow v\quad \Rightarrow\quad \lambda u\leftrightarrow \lambda v.[/math]

Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции.




Пример 8.5. Установить между пространствами [math]U=\mathbb{R}[/math] и [math]V=\mathbb{R}[/math] взаимно однозначное соответствие, которое


а) является изоморфизмом;

б) не является изоморфизмом.


Решение. а) Поставим в соответствие каждому числу [math]u\in \mathbb{R}[/math] число [math]v\in \mathbb{R}[/math] по правилу: [math]v=2u[/math]. Тогда каждое число [math]v\in \mathbb{R}[/math] отвечает одному числу [math]u=\frac{1}{2}v[/math]. Следовательно, правило [math]v=2u[/math] устанавливает взаимно однозначное соответствие [math]\mathbb{R} \mathop{\longleftrightarrow}\limits^{v=2u} \mathbb{R}[/math]. Если [math]u_1\leftrightarrow v_1[/math] и [math]u_2\leftrightarrow v_2[/math], т.е. [math]v_1=2u_1[/math], и [math]v_2=2u_2[/math], то [math](u_1+u_2)\leftrightarrow (v_1+v_2)[/math]. так как [math]v_1+v_2=2u_1+2v_2=2(u_1+u_2)[/math]. Если [math]u\leftrightarrow v[/math], т.е. [math]v=2u[/math], то [math]\lambda u\leftrightarrow \lambda v[/math] для любого действительного числа [math]\lambda[/math], так как [math]\lambda v=\lambda\cdot(2u)= 2(\lambda u)[/math]. Следовательно, соответствие [math]v=2u[/math] сохраняет линейные операции, т.е. является изоморфизмом.


б) Рассмотрим взаимно однозначное соответствие [math]\mathbb{R} \mathop{\longleftrightarrow}\limits^{v=u^3} \mathbb{R}[/math], устанавливаемое формулой [math]v=u^3[/math] (число [math]{v}[/math] оказывается сопоставленным числу [math]u=\sqrt[3]{v}[/math]). Это соответствие не является изоморфизмом, так как не сохраняет линейные операции. Например, если [math]u\leftrightarrow v[/math], т.е. [math]v=u^3[/math], то [math](2u)^3=8u^3=8v[/math]. Значит, [math]2u\leftrightarrow8v[/math], что противоречит условию [math]\lambda u\leftrightarrow \lambda v[/math] для [math]\lambda=2[/math].




Замечания 8.6


1. При изоморфизме линейных пространств [math]{U}[/math] и [math]V:[/math]


– их нулевые элементы соответствуют друг другу [math](o_U\leftrightarrow o_V)[/math];

– противоположные элементы соответствуют друг другу.


Это следует из определения, если в условии 2 положить [math]\lambda=0[/math] или [math]\lambda=-1[/math].

2. Линейной комбинации векторов пространства [math]{U}[/math] соответствует линейная комбинация соответствующих векторов пространства [math]{V}[/math].


3. Линейно независимой (линейно зависимой) системе векторов пространства [math]{U}[/math] соответствует линейно независимая (линейно зависимая) система векторов пространства [math]{V}[/math]. Действительно, из пунктов 1,2 следует, что равенства [math]\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\ldots+\lambda_nu_n=o_U[/math] и [math]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\ldots+\lambda_nv_n=o_V[/math] равносильны. Если не все коэффициенты [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] равны нулю, то обе системы [math]u_1,u_2,\ldots,u_n[/math] и [math]u_1,u_2,\ldots,u_n[/math] линейно зависимы, в противном случае, обе системы линейно независимы.


4. Любое n-мерное линейное вещественное пространство [math]{V}[/math] изоморфно n-мерному арифметическому пространству [math]\mathbb{R}^n[/math], а л -мерное комплексное пространство изоморфно [math]\mathbb{C}^n[/math].


Это следует из пункта 4 замечаний 8.5, где установлено взаимно однозначное соответствие [math]V\leftrightarrow \mathbb{R}^n[/math] между векторами и координатными столбцами. Линейные операции с векторами в координатной форме показывают, что это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом.


5. Если пространство [math]{U}[/math] изоморфно пространству [math]{V}[/math], а [math]{V}[/math] изоморфно пространству [math]W[/math], то пространства [math]{U}[/math] и [math]W[/math] также изоморфны.


В самом деле, имея взаимно однозначные соответствия [math]U\leftrightarrow V[/math] и [math]V\leftrightarrow W[/math], поставим в соответствие вектору [math]{u}[/math] такой вектор [math]w[/math], что [math]u\leftrightarrow v\leftrightarrow w[/math]. Такое "сквозное" соответствие [math]U\leftrightarrow W[/math] будет взаимно однозначным, сохраняющим линейные операции.




Теорема 8.3 об изоморфизме линейных пространств. Два конечно мерных линейных пространства (над одним и тем же числовым полем) изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.


Действительно, если пространства изоморфны [math](U\leftrightarrow V)[/math], то базису [math]u_1,u_2,\ldots,u_n[/math] пространства [math]{U}[/math] соответствует линейно независимая система векторов [math]v_1,v_2,\ldots,v_n[/math] пространства [math]{V}[/math] (см. пункт 3 замечаний 8.6), которую в случае необходимости можно дополнить до базиса пространства [math]{V}[/math] (см. теорему 8.2). Следовательно, [math]\operatorname{dim}U\leqslant \operatorname{dim}V[/math]. Аналогично получаем противоположное неравенство [math]\operatorname{dim}U\geqslant \operatorname{dim}V[/math]. Таким образом, [math]\operatorname{dim}U= \operatorname{dim}V[/math] (необходимость доказана). Достаточность следует из пунктов 4,5 замечаний 8.6. Действительно, пусть пространства [math]{U}[/math] и [math]{V}[/math] определены над полем [math]\mathbb{R}[/math] и [math]\operatorname{dim}U= \operatorname{dim}V=n[/math]. Тогда, выбрав любые базисы в пространствах [math]{U}[/math] и [math]{V}[/math], установим изоморфизмы [math]U\leftrightarrow \mathbb{R}^n[/math] и [math]V\leftrightarrow \mathbb{R}^n[/math], если [math]{U}[/math] и [math]{V}[/math] — вещественные пространства. Если пространства [math]{U}[/math] и [math]{V}[/math] определены над полем [math]\mathbb{C}[/math] комплексных чисел, то [math]U\leftrightarrow \mathbb{C}^n[/math] и [math]V\leftrightarrow \mathbb{C}^n[/math]. В обоих случаях, согласно пункту 5 замечаний 8.6, пространства [math]{U}[/math] и [math]{V}[/math] изоморфны. Теорема доказана.


Следствие. Изучение конечномерных линейных пространств сводится к изучению арифметических пространств той же размерности.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved