Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Изоморфизм линейных пространств

Изоморфизм линейных пространств


Говорят, что между элементами двух множеств {U} и {V} установлено взаимно однозначное соответствие, если указано правило, которое каждому элементу u\in U сопоставляет один и только один элемент v\in V, при чем каждый элемент v\in V оказывается сопоставленным одному и только одному элементу u\in U. Взаимно однозначное соответствие будем обозначать U\leftrightarrow V, а соответствующие элементы: u\leftrightarrow v.


Два линейных пространства {U} и {V} называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:


1) сумме векторов пространства {U} соответствует сумма соответствующих векторов пространства V:


\left.{u_1\leftrightarrow v_1,\\ u_2\leftrightarrow v_2}\right\}\quad \Rightarrow\quad (u_1+u_2) \leftrightarrow (v_1+v_2);

2) произведению числа на вектор пространства {U} соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства V:


u\leftrightarrow v\quad \Rightarrow\quad \lambda u\leftrightarrow \lambda v.

Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции.




Пример 8.5. Установить между пространствами U=\mathbb{R} и V=\mathbb{R} взаимно однозначное соответствие, которое


а) является изоморфизмом;

б) не является изоморфизмом.


Решение. а) Поставим в соответствие каждому числу u\in \mathbb{R} число v\in \mathbb{R} по правилу: v=2u. Тогда каждое число v\in \mathbb{R} отвечает одному числу u=\frac{1}{2}v. Следовательно, правило v=2u устанавливает взаимно однозначное соответствие \mathbb{R} \mathop{\longleftrightarrow}\limits^{v=2u} \mathbb{R}. Если u_1\leftrightarrow v_1 и u_2\leftrightarrow v_2, т.е. v_1=2u_1, и v_2=2u_2, то (u_1+u_2)\leftrightarrow (v_1+v_2). так как v_1+v_2=2u_1+2v_2=2(u_1+u_2). Если u\leftrightarrow v, т.е. v=2u, то \lambda u\leftrightarrow \lambda v для любого действительного числа \lambda, так как \lambda v=\lambda\cdot(2u)= 2(\lambda u). Следовательно, соответствие v=2u сохраняет линейные операции, т.е. является изоморфизмом.


б) Рассмотрим взаимно однозначное соответствие \mathbb{R} \mathop{\longleftrightarrow}\limits^{v=u^3} \mathbb{R}, устанавливаемое формулой v=u^3 (число {v} оказывается сопоставленным числу u=\sqrt[\LARGE{3}]{v}). Это соответствие не является изоморфизмом, так как не сохраняет линейные операции. Например, если u\leftrightarrow v, т.е. v=u^3, то (2u)^3=8u^3=8v. Значит, 2u\leftrightarrow8v, что противоречит условию \lambda u\leftrightarrow \lambda v для \lambda=2.




Замечания 8.6


1. При изоморфизме линейных пространств {U} и V\colon


– их нулевые элементы соответствуют друг другу (o_U\leftrightarrow o_V);

– противоположные элементы соответствуют друг другу.


Это следует из определения, если в условии 2 положить \lambda=0 или \lambda=-1.


2. Линейной комбинации векторов пространства {U} соответствует линейная комбинация соответствующих векторов пространства {V}.


3. Линейно независимой (линейно зависимой) системе векторов пространства {U} соответствует линейно независимая (линейно зависимая) система векторов пространства {V}. Действительно, из пунктов 1,2 следует, что равенства \lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\ldots+\lambda_nu_n=o_U и \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\ldots+\lambda_nv_n=o_V равносильны. Если не все коэффициенты \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n равны нулю, то обе системы u_1,u_2,\ldots,u_n и u_1,u_2,\ldots,u_n линейно зависимы, в противном случае, обе системы линейно независимы.


4. Любое n-мерное линейное вещественное пространство {V} изоморфно n-мерному арифметическому пространству \mathbb{R}^n, а л -мерное комплексное пространство изоморфно \mathbb{C}^n.


Это следует из пункта 4 замечаний 8.5, где установлено взаимно однозначное соответствие V\leftrightarrow \mathbb{R}^n между векторами и координатными столбцами. Линейные операции с векторами в координатной форме показывают, что это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом.


5. Если пространство {U} изоморфно пространству {V}, а {V} изоморфно пространству W, то пространства {U} и W также изоморфны.


В самом деле, имея взаимно однозначные соответствия U\leftrightarrow V и V\leftrightarrow W, поставим в соответствие вектору {u} такой вектор w, что u\leftrightarrow v\leftrightarrow w. Такое "сквозное" соответствие U\leftrightarrow W будет взаимно однозначным, сохраняющим линейные операции.




Теорема 8.3 об изоморфизме линейных пространств. Два конечно мерных линейных пространства (над одним и тем же числовым полем) изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.


Действительно, если пространства изоморфны (U\leftrightarrow V), то базису u_1,u_2,\ldots,u_n пространства {U} соответствует линейно независимая система векторов v_1,v_2,\ldots,v_n пространства {V} (см. пункт 3 замечаний 8.6), которую в случае необходимости можно дополнить до базиса пространства {V} (см. теорему 8.2). Следовательно, \operatorname{dim}U\leqslant \operatorname{dim}V. Аналогично получаем противоположное неравенство \operatorname{dim}U\geqslant \operatorname{dim}V. Таким образом, \operatorname{dim}U= \operatorname{dim}V (необходимость доказана). Достаточность следует из пунктов 4,5 замечаний 8.6. Действительно, пусть пространства {U} и {V} определены над полем \mathbb{R} и \operatorname{dim}U= \operatorname{dim}V=n. Тогда, выбрав любые базисы в пространствах {U} и {V}, установим изоморфизмы U\leftrightarrow \mathbb{R}^n и V\leftrightarrow \mathbb{R}^n, если {U} и {V} — вещественные пространства. Если пространства {U} и {V} определены над полем \mathbb{C} комплексных чисел, то U\leftrightarrow \mathbb{C}^n и V\leftrightarrow \mathbb{C}^n. В обоих случаях, согласно пункту 5 замечаний 8.6, пространства {U} и {V} изоморфны. Теорема доказана.


Следствие. Изучение конечномерных линейных пространств сводится к изучению арифметических пространств той же размерности.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved