Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Итерационный метод Шульца нахождения обратной матрицы

Итерационный метод Шульца нахождения обратной матрицы


Пусть дана квадратная невырожденная матрица [math]A[/math] порядка [math]n[/math]. Будем искать обратную матрицу [math]A^{-1}[/math] в результате последовательных приближений, обозначая эти приближения [math]U^{(0)},U^{(1)},\ldots,U^{(k)},\ldots[/math]. Отклонение (невязку) текущего приближения от искомой обратной матрицы предлагается оценивать величиной [math]\bigl\|\Psi^{(k)}\bigr\|[/math], где [math]\Psi^{(k)}= E-A\cdot U^{(k)}[/math]. Равенство невязки нулю означает, что текущее приближение совпадает с обратной матрицей.


Алгоритм итерационного метода Шульца


1. Положить [math]k=0[/math]. Задать [math]U^{(0)}[/math] — начальное приближение обратной матрицы; [math]\varepsilon[/math] — малое положительное число; [math]m[/math] — порядок метода.


2. Вычислить [math]\Psi^{(k)}= E-A\cdot U^{(k)}[/math].


3. Вычислить [math]\bigl\|\Psi^{(k)}\bigr\|[/math]. Если [math]\bigl\|\Psi^{(k)} \bigr\|\leqslant \varepsilon[/math], процесс завершить и положить [math]A^{-1}\equiv U^{(k)}[/math]. Иначе перейти к пункту 4.


4. Найти следующее приближение


[math]U^{(k+1)}=U^{(k)}\cdot\Bigl\{E+\Psi^{(k)}+ \bigl[\Psi^{(k)}\bigr]^2+\ldots+ \bigl[\Psi^{(k)}\bigr]^m\Bigr\}[/math]
(10.18)

положить [math]k=k+1[/math] и перейти к пункту 2.


Теорема (10.4) о сходимости итерационного метода Шульца. Пусть квадратные матрицы [math]A[/math] и [math]U^{(0)}[/math] таковы, что матрица [math]U^{(0)}[/math] имеет обратную и [math]\bigl\|\Psi^{(0)}\bigr\|<1[/math]. Тогда существует обратная матрица [math]A^{-1}[/math] и к ней сходится последовательность матриц [math]\bigl\{U^{(k)}\bigr\}[/math]. определяемая итерационным процессом (10.18).




Замечания 10.9


1. Заданием параметра т можно получать различные итерационные процедуры, обладающие (m+1)-м порядком сходимости. Обычно полагают [math]m=1[/math] или [math]m=2[/math]. Очевидно, чем больше [math]m[/math], тем больше порядок сходимости метода, однако при [math]m=2[/math] обеспечивается минимум вычислительных затрат, требующихся для обращения матриц с заданной точностью методами семейства (10.18).


2. Для выбора начального приближения [math]U^{(0)}[/math] существуют следующие рекомендации. Если [math]A[/math] — симметрическая положительно определенная матрица и ее спектральный радиус [math]\rho(A)\leqslant\beta[/math], то [math]U^{(0)}=\alpha E[/math], где [math]\alpha\in\!\left(0;\frac{2}{\beta}\right)[/math]. Если [math]A[/math] — произвольная невырожденная матрица и спектральный радиус [math]\rho(AA^T)\leqslant \beta[/math], то [math]U^{(0)}=\alpha A^T[/math], где [math]\alpha\in\!\left(0;\frac{2}{\beta}\right)[/math]. Однако надо иметь в виду, что при этом может не удовлетворяться условие [math]\bigl\| \Psi^{(0)}\bigr\| <1[/math]. Поэтому лучше задавать матрицу [math]U^{(0)}[/math] так, чтобы это условие выполнялось. Тогда алгоритм достаточно быстро сходится к искомому решению задачи.




Пример 10.18. Дана матрица [math]A=\begin{pmatrix} 1&2&1\\0&1&0\\ 0&2&2 \end{pmatrix}[/math]. Найти обратную матрицу [math]A^{-1}[/math] итерационным методом Шульца.


Решение. 1. Положим [math]k=0;~ \varepsilon=0,\!01;~ m=1[/math]. Зададим начальное приближение


[math]U^{(0)}= \begin{pmatrix}0,\!6& -0,\!5& -0,\!4\\ 0,\!1& 0,\!6& 0,\!2\\ 0,\!1& -0,\!5& 0,\!5 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Вычислим [math]\Psi^{(0)}= E-A\cdot U^{(0)}= \begin{pmatrix} 0,\!1& -0,\!2& -0,\!5\\ -0,\!1& 0,\!4& -0,\!2\\ -0,\!4& -0,\!2& -0,\!4 \end{pmatrix}[/math].


3. Так как [math]\bigl\|\Psi^{(0)}\bigr\|_4=0,\!933<1[/math], то выполняется условие теоремы 10.4. Поскольку [math]\bigl\|\Psi^{(0)} \bigr\|_4= 0,\!933> \varepsilon=0,\!01[/math], перейдем к пункту 4.


4. Найдем [math]U^{(1)}= U^{(0)}\cdot \bigl[E+\Psi^{(0)}\bigr]= \begin{pmatrix} 0,\!87& -0,\!74& -0,\!44\\ -0,\!03& 0,\!78& -0,\!05\\ -0,\!04& -0,\!82& 0,\!35 \end{pmatrix}\!.[/math].


Положим [math]k=1[/math] и перейдем к пункту 2. Далее процесс продолжается. Приведем результаты на последующих итерациях:


[math]\begin{gathered} \Psi^{(1)}= E-A\cdot U^{(1)}= \begin{pmatrix}0,\!23& 0& 0,\!19\\ 0,\!03& 0,\!22& 0,\!05\\ 0,\!14& 0,\!08& 0,\!4\end{pmatrix}\!,\quad \bigl\|\Psi^{(1)}\bigr\|_4=0,\!572> \varepsilon=0,\!01\,;\\ U^{(2)}= U^{(1)}\cdot\bigl[E+\Psi^{(1)}\bigr]= \begin{pmatrix}0,\!986& -0,\!938& -0,\!488\\ -0,\!021& 0,\!948& -0,\!037\\ -0,\!025& -0,\!972& 0,\!441\end{pmatrix}\!;\\ \Psi^{(2)}= E-A\cdot U^{(2)}= \begin{pmatrix}0,\!08& 0,\!015& 0,\!12\\ 0,\!021& 0,\!052& 0,\!037\\ 0,\!091& 0,\!05& 0,\!191\end{pmatrix}\!,\quad \bigl\|\Psi^{(2)}\bigr\|_4=0,\!269> \varepsilon=0,\!01\,; \end{gathered}[/math]

[math]\begin{gathered} U^{(3)}= U^{(2)}\cdot\bigl[E+\Psi^{(2)}\bigr]= \begin{pmatrix}1,\!001& -0,\!996& -0,\!497\\ -6,\!029\times10^{-3}& 0,\!995& -0,\!011\\ -6,\!715\times10^{-3}& -1,\!002& 0,\!487 \end{pmatrix}\!,\\ \Psi^{(3)}= E-A\cdot U^{(3)}= \begin{pmatrix}0,\!017& 7,\!942\times10^{-3}& 0,\!033\\ 6,\!029\times 10^{-3}& 4,\!878\times10^{-3}& 0,\!011\\ 0,\!025& 0,\!013& 0,\!049 \end{pmatrix}\!,\quad \bigl\|\Psi^{(3)}\bigr\|_4=0,\!07> \varepsilon=0,\!01\,; \end{gathered}[/math]

[math]\begin{gathered} U^{(4)}= U^{(3)}\cdot\bigl[E+\Psi^{(3)}\bigr]= \begin{pmatrix}1& -1& -0,\!5\\ -4,\!246\times10^{-4}& 1& -8,\!109\times10^{-4}\\ -4,\!63\times10^{-4}& -1& 0,\!499 \end{pmatrix}\!,\\ \Psi^{(4)}= E-A\cdot U^{(4)}= \begin{pmatrix}1,\!192\times10^{-3}& 6,\!192\times10^{-4}& 2,\!276\times10^{-3}\\ 4,\!246\times 10^{-4}& 2,\!244\times10^{-4}& 8,\!109\times10^{-4}\\ 1,\!775\times10^{-3}& 9,\!259\times10^{-4}& 3,\!391\times10^{-3} \end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/math]

Поскольку [math]\bigl\|\Psi^{(4)}\bigr\|_4=4,\!836\times10^{-3}< \varepsilon=0,\!01[/math], процесс завершается и в качестве приближенного решения задачи принимается [math]A^{-1}\cong U^{(4)}[/math]. Найденный результат практически совпадает с полученным в примере 4.3


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved