Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Исследования функции и построения графика
ОглавлениеВведение в анализ

Исследование функции и построение графика


Исследование функции и построение её графика можно проводить по схеме в следующей последовательности.


1. Нахождение области определения функции, выяснение вопроса о её чётности и нечётности, периодичности.


2. Уточнение поведения функции вблизи точек разрыва, построение вертикальных и наклонных асимптот, если таковые имеются.


3. Определение точек пересечения кривой с осями координат, отыскание экстремумов и интервалов возрастания и убывания функции.


4. Отыскание точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости графика функции., нахождение нескольких дополнительных значений функции (для большей точности чертежа на отдельных участках) и окончательное построение графика с учётом проведенного исследования.


По мере построения графика бывает очевидным, какие вопросы исследования целесообразно опустить, а какие добавить. Если данных для построения недостаточно, то следует найти еще несколько точек графика функции, исходя из ее уравнения. Результаты исследования функции целесообразно заносить сразу же на предварительный рисунок, тогда к концу проведения исследования график будет практически построен.


Рассмотрим примеры полного исследования функций и построения их графиков.




Пример 1. Построить график дробно-рациональной функции [math]y=\frac{2x^3-5x^2+14x-6}{4x^2}\,.[/math]

Решение.


1. Поскольку функция представляет собой рациональную дробь, то она определена и непрерывна на бесконечном интервале кроме точки [math]x=0,[/math] в которой обращается в нуль знаменатель. Так как [math]f(-x)[/math] не равно ни [math]f(x),[/math] ни [math]-f(x),[/math] то график данной функции не симметричен оси ординат [math]Oy,[/math] ни относительно начала координат, то есть данная функция не является ни чётной, ни нечётной. Очевидно, данная функция также не является периодической.


2. Выясним вопрос о существовании асимптот. Так как [math]\lim_{x\to0+0}y=-\infty,[/math] то график функции имеет вертикальную асимптоту [math]x=0.[/math] Далее из существования пределов


[math]\begin{gathered} k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^3-5x^2+14x-6}{4x^3}= \frac{1}{4}\lim_{x\to\pm\infty}\!\left(2-\frac{5}{x}+\frac{14}{x^2}-\frac{6}{x^3}\right)=\frac{1}{2},\hfill\\[4pt] \begin{aligned}b=\lim_{x\to\pm\infty}\!\left(f(x)-\frac{x}{2}\right)&= \lim_{x\to\pm\infty}\!\left(\frac{2x^3-5x^2+14x-6}{4x^2}-\frac{x}{2}\right)= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{-5x^2+14x-6}{4x^2}=\\[2pt] &=\frac{1}{4}\lim_{x\to\pm\infty}\!\left(-5+\frac{14}{x}-\frac{6}{x^2}\right)=-\frac{5}{4}.\hfill \end{aligned}\end{gathered}[/math]

вытекает, что при [math]x\to+\infty[/math] и при [math]x\to-\infty[/math] график функции имеет наклонную асимптоту [math]y^{\ast}=\frac{x}{2}-\frac{5}{4}.[/math]


3. Находим точки пересечения с осями координат: [math]y=0[/math] при [math]2x^3-5x^2+14x-6=0.[/math] Легко видеть, что [math]2x^3-5x^2+14x-6=2\!\left(x-\frac{1}{2}\right)\!(x^2-2x+6)=0.[/math] Так как квадратный трёхчлен имеет комплексные корни, то рассматриваемое уравнение имеет только один вещественный корень [math]x=\frac{1}{2},[/math] так что график функции пересекает ось абсцисс [math]Ox[/math] в точке [math]\left(\frac{1}{2};0\right)\!.[/math] Ось ординат [math]Oy[/math] график не пересекает, так как [math]x=0[/math] — вертикальная асимптота.


Для нахождения областей возрастания и убывания функции вычислим первую производную:


[math]y'=\frac{(2x^3-5x^2+14x-6)'x^2-(x^2)'(2x^3-5x^2+14x-6)}{4x^4}= \frac{x^3-7x+6}{2x^3}=\frac{(x-1)(x-2)(x+3)}{2x^3}.[/math]

Имея в виду, кроме того, что сама функция и первая производная не существую при [math]x=0,[/math] мы получаем следующие области сохранения знака первой производной [math]y'[/math] функции [math]y:[/math]


[math](-\infty;-3), \quad (-3;0), \quad (0;1), \quad (1;2), \quad (2;+\infty)[/math] или

[math]\begin{array}{*{20}c} y'\!\!\!&\vline & +& -3&-&0 & +& 1& -& 2& +&{}\\ \hline y\!\!\!&\vline & \nearrow & {}& \searrow &{} & \nearrow & {}& \searrow & {}& \nearrow&{}^{x} \end{array}[/math]

Из приведенного исследования очевидно, функция имеет следующие точки локального экстремума:


1) максимум при [math]x=-3[/math], причём [math]f(-3)=-49/12[/math];
2) максимум при [math]x=1[/math], причём [math]f(1)=5/4[/math];
3) минимум при [math]x=2[/math], причём [math]f(2)=9/8[/math].

4. Для нахождения областей сохранения направления выпуклости вычислим вторую производную:


[math]y''=\frac{x^3(3x^2-7)-3x^2(x^3-7x+6)}{2x^6}=\frac{7x-9}{x^4}=7\cdot\frac{x-9/7}{x^4}.[/math]

Учитывая, что сама функция и её производные не существуют в точке [math]x=0,[/math] следующие области сохранения знака второй производной функции: [math](-\infty;0), ~(0;9/7),~(9/7;+\infty).[/math] Составляем диаграмму:


[math]\begin{array}{*{20}c} y''\!\!\! &\vline & - &0 &- & 9/7& +& {}\\ \hline y\!\!\!&\vline & \frown &{} &\frown & {}& \smile& {}^{x} \end{array}[/math]

Отсюда видно, что график функции имеет перегиб в точке [math]\left(\frac{9}{7};f\!\left(\frac{9}{7}\right)\!\right)=\left(\frac{9}{7};\frac{913}{756}\right).[/math] По полученным данным строим график рассматриваемой функции.


Исследование дробно-рациональной функции и построение её графика



Пример 2. Исследовать и построить график экспоненциальной функции [math]y=x\,e^{-x^2}.[/math]


Решение. Функция определена на всей числовой оси. Она непрерывна при всех значениях аргумента. Так как [math]f(-x)=-f(x),[/math] то, следовательно, функция является нечётной, и её график симметричен относительно начала координат. Функция не является периодической, вертикальных асимптот нет, так нет точек разрыва.


Найдём наклонные асимптоты графика функции:


[math]\begin{aligned} k&=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2}=0,\\[4pt] b&= \lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]= \lim_{x\to\pm\infty}x\,e^{-x^2}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{e^{x^2}}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{2x\,e^{x^2}}=0. \end{aligned}[/math]

Таким образом, при [math]x\to+\infty[/math] ось абсцисс [math]y=0[/math] служит горизонтальной асимптотой графика, и вследствие нечётности функции эта же прямая будет горизонтальной асимптотой и при [math]x\to-\infty.[/math]


При [math]x=0[/math] функция равна нулю, так что её график пересекает оси координат в точке [math](0;0).[/math]


Находим экстремумы функции:


[math]y'=e^{-x^2}-2x^2\,e^{-x^2}=e^{-x^2}(1-2x^2)[/math], следовательно, [math]y'=0[/math] при [math]x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.[/math]

Критическими точками являются [math]x_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}[/math] и [math]x_2=+\frac{1}{\sqrt{2}}.[/math] Строим диаграмму:


[math]\begin{array}{*{20}c} y'\!\!\!&\vline&\phantom{0}-\phantom{0}&\phantom{0}-\!\frac{1}{\sqrt{2}}\phantom{0} &\phantom{0} +\phantom{0} &\phantom{0}0\phantom{0} &\phantom{0}+\phantom{0} &\phantom{0}\frac{1}{\sqrt{2}}\phantom{0} &\phantom{0}-\phantom{0} &{}\\[5pt] \hline y\!\!\!&\vline & \searrow &\min&\nearrow &{0}&\nearrow &\max & \searrow& {}^{x}\end{array}[/math]

Отсюда видно, что функция имеет максимум при [math]x=\frac{1}{\sqrt{2}}[/math] и минимум при [math]x=-\frac{1}{\sqrt{2}}.[/math]


[math]y_{\max}=f\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2}, \quad y_{\min}=f\!\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2}.[/math]

Следовательно, область значений функции — отрезок [math]\left[-\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2};\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2}\right].[/math]


Найдём точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции:


[math]y''=2x\cdot e^{-x^2}\cdot(2x^2-3).[/math]

Вторая производная обращается в нуль при [math]x=0[/math] и [math]x=\pm\sqrt{3/2}.[/math]


[math]\begin{array}{*{20}c} y''\!\!\! &\vline & -& -\sqrt{\frac{3}{2}}& +& 0& -& \sqrt{\frac{3}{2}}& +& {}\\[5pt] \hline y\!\!\! &\vline & \frown& {}& \smile& {}& \frown& {}& \smile& {}^{x} \end{array}[/math]

Абсциссами точек перегиба являются [math]x=0,~x=\pm\sqrt{3/2}[/math], то есть график имеет три точки перегиба [math](0;0),[/math] [math]\left(-\sqrt{\tfrac{3}{2}};-\sqrt{\tfrac{3}{2}}e^{-3/2}\right)[/math] и [math]\left(\sqrt{\tfrac{3}{2}};\sqrt{\tfrac{3}{2}}e^{-3/2}\right)\!.[/math]


Теперь построим график функции с учётом проведенного исследования.


Исследование экспоненциальной функции и построение её графика

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved