Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Исследование функции и построения графика

Исследование функции и построение графика


Исследование функции и построение её графика можно проводить по схеме в следующей последовательности.


1. Нахождение области определения функции, выяснение вопроса о её чётности и нечётности, периодичности.


2. Уточнение поведения функции вблизи точек разрыва, построение вертикальных и наклонных асимптот, если таковые имеются.


3. Определение точек пересечения кривой с осями координат, отыскание экстремумов и интервалов возрастания и убывания функции.


4. Отыскание точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости графика функции., нахождение нескольких дополнительных значений функции (для большей точности чертежа на отдельных участках) и окончательное построение графика с учётом проведенного исследования.


По мере построения графика бывает очевидным, какие вопросы исследования целесообразно опустить, а какие добавить. Если данных для построения недостаточно, то следует найти еще несколько точек графика функции, исходя из ее уравнения. Результаты исследования функции целесообразно заносить сразу же на предварительный рисунок, тогда к концу проведения исследования график будет практически построен.


Рассмотрим примеры полного исследования функций и построения их графиков.




Пример 1. Построить график дробно-рациональной функции y=\frac{2x^3-5x^2+14x-6}{4x^2}\,.

Решение.


1. Поскольку функция представляет собой рациональную дробь, то она определена и непрерывна на бесконечном интервале кроме точки x=0, в которой обращается в нуль знаменатель. Так как f(-x) не равно ни f(x), ни -f(x), то график данной функции не симметричен оси ординат Oy, ни относительно начала координат, то есть данная функция не является ни чётной, ни нечётной. Очевидно, данная функция также не является периодической.


2. Выясним вопрос о существовании асимптот. Так как \lim_{x\to0+0}y=-\infty, то график функции имеет вертикальную асимптоту x=0. Далее из существования пределов


\begin{gathered} k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^3-5x^2+14x-6}{4x^3}= \frac{1}{4}\lim_{x\to\pm\infty}\!\left(2-\frac{5}{x}+\frac{14}{x^2}-\frac{6}{x^3}\right)=\frac{1}{2},\hfill\\[4pt] \begin{aligned}b=\lim_{x\to\pm\infty}\!\left(f(x)-\frac{x}{2}\right)&= \lim_{x\to\pm\infty}\!\left(\frac{2x^3-5x^2+14x-6}{4x^2}-\frac{x}{2}\right)= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{-5x^2+14x-6}{4x^2}=\\[2pt] &=\frac{1}{4}\lim_{x\to\pm\infty}\!\left(-5+\frac{14}{x}-\frac{6}{x^2}\right)=-\frac{5}{4}.\hfill \end{aligned}\end{gathered}

вытекает, что при x\to+\infty и при x\to-\infty график функции имеет наклонную асимптоту y^{\ast}=\frac{x}{2}-\frac{5}{4}.


3. Находим точки пересечения с осями координат: y=0 при 2x^3-5x^2+14x-6=0. Легко видеть, что 2x^3-5x^2+14x-6=2\!\left(x-\frac{1}{2}\right)\!(x^2-2x+6)=0. Так как квадратный трёхчлен имеет комплексные корни, то рассматриваемое уравнение имеет только один вещественный корень x=\frac{1}{2}, так что график функции пересекает ось абсцисс Ox в точке \left(\frac{1}{2};0\right)\!. Ось ординат Oy график не пересекает, так как x=0 — вертикальная асимптота.


Для нахождения областей возрастания и убывания функции вычислим первую производную:


y'=\frac{(2x^3-5x^2+14x-6)'x^2-(x^2)'(2x^3-5x^2+14x-6)}{4x^4}= \frac{x^3-7x+6}{2x^3}=\frac{(x-1)(x-2)(x+3)}{2x^3}.

Имея в виду, кроме того, что сама функция и первая производная не существую при x=0, мы получаем следующие области сохранения знака первой производной y' функции y:


(-\infty;-3), \quad (-3;0), \quad (0;1), \quad (1;2), \quad (2;+\infty) или

\begin{array}{*{20}c} y'\!\!\!&\vline & +& -3&-&0 & +& 1& -& 2& +&{}\\ \hline y\!\!\!&\vline & \nearrow & {}& \searrow &{} & \nearrow & {}& \searrow & {}& \nearrow&{}^{x} \end{array}

Из приведенного исследования очевидно, функция имеет следующие точки локального экстремума:


1) максимум при x=-3, причём f(-3)=-49/12;
2) максимум при x=1, причём f(1)=5/4;
3) минимум при x=2, причём f(2)=9/8.

4. Для нахождения областей сохранения направления выпуклости вычислим вторую производную:


y''=\frac{x^3(3x^2-7)-3x^2(x^3-7x+6)}{2x^6}=\frac{7x-9}{x^4}=7\cdot\frac{x-9/7}{x^4}.

Учитывая, что сама функция и её производные не существуют в точке x=0, следующие области сохранения знака второй производной функции: (-\infty;0), ~(0;9/7),~(9/7;+\infty). Составляем диаграмму:


\begin{array}{*{20}c} y''\!\!\! &\vline & - &0 &- & 9/7& +& {}\\ \hline y\!\!\!&\vline & \frown &{} &\frown & {}& \smile& {}^{x} \end{array}

Отсюда видно, что график функции имеет перегиб в точке \left(\frac{9}{7};f\!\left(\frac{9}{7}\right)\!\right)=\left(\frac{9}{7};\frac{913}{756}\right). По полученным данным строим график рассматриваемой функции.


Исследование дробно-рациональной функции и построение её графика



Пример 2. Исследовать и построить график экспоненциальной функции y=x\,e^{-x^2}.


Решение. Функция определена на всей числовой оси. Она непрерывна при всех значениях аргумента. Так как f(-x)=-f(x), то, следовательно, функция является нечётной, и её график симметричен относительно начала координат. Функция не является периодической, вертикальных асимптот нет, так нет точек разрыва.


Найдём наклонные асимптоты графика функции:


\begin{aligned} k&=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2}=0,\\[4pt] b&= \lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]= \lim_{x\to\pm\infty}x\,e^{-x^2}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{e^{x^2}}= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{2x\,e^{x^2}}=0. \end{aligned}

Таким образом, при x\to+\infty ось абсцисс y=0 служит горизонтальной асимптотой графика, и вследствие нечётности функции эта же прямая будет горизонтальной асимптотой и при x\to-\infty.


При x=0 функция равна нулю, так что её график пересекает оси координат в точке (0;0).


Находим экстремумы функции:


y'=e^{-x^2}-2x^2\,e^{-x^2}=e^{-x^2}(1-2x^2), следовательно, y'=0 при x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.

Критическими точками являются x_1=-\frac{1}{\sqrt{2}} и x_2=+\frac{1}{\sqrt{2}}. Строим диаграмму:


\begin{array}{*{20}c} y'\!\!\!&\vline&\phantom{0}-\phantom{0}&\phantom{0}-\!\frac{1}{\sqrt{2}}\phantom{0} &\phantom{0} +\phantom{0} &\phantom{0}0\phantom{0} &\phantom{0}+\phantom{0} &\phantom{0}\frac{1}{\sqrt{2}}\phantom{0} &\phantom{0}-\phantom{0} &{}\\[5pt] \hline y\!\!\!&\vline & \searrow &\min&\nearrow &{0}&\nearrow &\max & \searrow& {}^{x}\end{array}

Отсюда видно, что функция имеет максимум при x=\frac{1}{\sqrt{2}} и минимум при x=-\frac{1}{\sqrt{2}}.


y_{\max}=f\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2}, \quad y_{\min}=f\!\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2}.

Следовательно, область значений функции — отрезок \left[-\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2};\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-1/2}\right].


Найдём точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции:


y''=2x\cdot e^{-x^2}\cdot(2x^2-3).

Вторая производная обращается в нуль при x=0 и x=\pm\sqrt{3/2}.


\begin{array}{*{20}c} y''\!\!\! &\vline & -& -\sqrt{\frac{3}{2}}& +& 0& -& \sqrt{\frac{3}{2}}& +& {}\\[5pt] \hline y\!\!\! &\vline & \frown& {}& \smile& {}& \frown& {}& \smile& {}^{x} \end{array}

Абсциссами точек перегиба являются x=0,~x=\pm\sqrt{3/2}, то есть график имеет три точки перегиба (0;0), \left(-\sqrt{\tfrac{3}{2}};-\sqrt{\tfrac{3}{2}}e^{-3/2}\right) и \left(\sqrt{\tfrac{3}{2}};\sqrt{\tfrac{3}{2}}e^{-3/2}\right)\!.


Теперь построим график функции с учётом проведенного исследования.


Исследование экспоненциальной функции и построение её графика
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved