Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Инвариантные подпространства
ОглавлениеЛинейная алгебра

Инвариантные подпространства


Определение инвариантных подпространств


Пусть [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] — линейное преобразование линейного пространства [math]{V}[/math]. Линейное подпространство [math]L\triangleleft V[/math] называется инвариантным относительно преобразования [math]\mathcal{A}[/math], если образ любого вектора из [math]L[/math] принадлежит подпространству [math]L[/math], т.е. [math]\mathcal{A}(\mathbf{v})\in L~ \forall \mathbf{v}\in L[/math]. Другими словами, инвариантное подпространство [math]L[/math] включает свой образ [math]\mathcal{A}(L)\colon\, \mathcal{A}(L)\subset L[/math]. Нулевое подпространство [math]\{\boldsymbol{o}\}[/math] и все пространство [math]{V}[/math] являются инвариантными подпространствами для любого линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math].


Пусть [math]L[/math] — инвариантное подпространство относительно преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math]. Линейный оператор [math]\mathcal{A}\colon L\to L[/math], рассматриваемый как линейное преобразование пространства [math]L[/math] в себя, называется сужением (ограничением) линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] на инвариантное подпространство [math]L\triangleleft V[/math] и обозначается [math]\mathcal{A}_L\colon L\to L[/math], или [math]\Bigl.{\mathcal{A}}\Bigr|_{L}\colon L\to L[/math]. Для всех векторов [math]\mathbf{v}in L[/math] выполняется равенство [math]\mathcal{A}_L (\mathbf{v})= \mathcal{A}(\mathbf{v})[/math], т.е. [math]\forall \mathbf{v}\in L[/math] образы, порождаемые оператором [math]\mathcal{A}[/math] и его сужением [math]\mathcal{A}_L[/math], совпадают.




Примеры инвариантных подпространств


Рассмотрим инвариантные подпространства линейных операторов (преобразований).


1. Для нулевого преобразования [math]\mathcal{O}\colon V\to V[/math] любое подпространство [math]L\triangleleft V[/math] является инвариантным, так как [math]\mathcal{O}(L)= \{\boldsymbol{o}\}\subset L[/math]. Сужение нулевого преобразования [math]\mathcal{O}_{L}\colon L\to L[/math] является нулевым преобразованием.


2. Для тождественного преобразования [math]\mathcal{E}\colon V\to V[/math] любое подпространство [math]L\triangleleft V[/math] является инвариантным, так как [math]\mathcal{E}(L)=L[/math]. Сужение тождественного преобразования [math]\mathcal{E}_{L} \colon L\to L[/math] является тождественным преобразованием.


3. Для центральной симметрии [math]\mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}\colon V\to V[/math] любое подпространство [math]L\triangleleft V[/math] является инвариантным, так как [math]\mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}(L)=L[/math]. Сужение центральной симметрии [math]\Bigl.{\mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}}\Bigr|_{L}\colon L\to L[/math] является центральной симметрией.


4. Для гомотетии [math]\mathcal{H}_{\lambda}\colon V\to V[/math] любое подпространство [math]L\triangleleft V[/math] является инвариантным, так как [math]\mathcal{H}_{\lambda} (L)=L[/math] (при [math]\lambda\ne0[/math]). Сужение гомотетии [math]\Bigl.{\mathcal{H}_{\lambda}}\Bigr|_{L}\colon L\to L[/math] является гомотетией.


5. Для поворота [math]\mathcal{R}_{\varphi}\colon V_2\to V_2[/math] плоскости (при [math]\varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb{Z}[/math]) имеются два инвариантных подпространства: нулевое [math]\{\vec{o}\}[/math] и вся плоскость [math]V_2[/math]. Других инвариантных подпространств нет.


6. Для оператора дифференцирования [math]\mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_n(\mathbb{R})[/math] каждое из подпространств [math]\{o(x)\}\triangleleft P_0(\mathbb{R}) \triangleleft P_1(\mathbb{R})\triangleleft \ldots\triangleleft P_n(\mathbb{R})[/math] является инвариантным, так как при дифференцировании степень многочлена уменьшается.


7. Рассмотрим оператор [math]\Pi_{L_1}\colon V\to V[/math] проектирования на подпространство [math]L_1[/math] параллельно подпространству [math]L_2[/math]. Здесь [math]V=L_1\oplus L_2,[/math] [math]\Pi_{L_1}(\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_1[/math] для [math]\mathbf{v} =\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,[/math] [math]\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2[/math]. Для этого оператора подпространства [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] инвариантные, так как [math]\Pi_{L_1}(L_1)=L_1[/math] и [math]\Pi_{L_1}(L_2)=\{\boldsymbol{o}}\subset L_2[/math]. Сужение оператора проектирования на подпространство [math]L_1[/math] является тождественным преобразованием [math]\Bigl.{\Pi_{L_1}}\Bigr|_{L_1}=\mathcal{E}[/math], а сужение на подпространство [math]L_2[/math] — нулевым [math]\Bigl.{\Pi_{L_1}}\Bigr|_{L_2}= \mathcal{O}[/math].


8. Рассмотрим оператор [math]\mathcal{Z}_{L_1}\colon V\to V[/math] отражения в подпространстве [math]L_1[/math] параллельно подпространству [math]L_2[/math]. Здесь [math]V=L_1\oplus L_2,[/math] [math]\mathcal{Z}_{L_1}(\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2[/math] для [math]\mathbf{v} =\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,[/math] [math]\mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2[/math]. Для этого оператора подпространства [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] инвариантные, так как [math]\mathcal{Z}_{L_1}(L_1)=L_1[/math] и [math]\mathcal{Z}_{L_1}(L_2)=L_2[/math]. Сужение оператора отражения на подпространство [math]L_1[/math] является тождественным преобразованием [math]\Bigl.{\mathcal{Z}_{L_1} }\Bigr|_{L_1}=\mathcal{E}[/math], а сужение на подпространство [math]L_2[/math] — центральной симметрией [math]\Bigl.{\mathcal{Z}_{L_1} }\Bigr|_{L_2}=\mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}[/math], так как [math]\Bigl.{\mathcal{Z}_{L_1} }\Bigr|_{L_2}(\mathbf{v}_2)=-\mathbf{v}_2[/math].


9. В пространстве [math]V_3[/math] радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки [math]O[/math], рассмотрим поворот на угол [math]\varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb{Z}[/math], вокруг оси [math]l[/math], заданной радиус-вектором [math]\vec{l}[/math]. Подпространство [math]L=\operatorname{Lin}(\vec{l})[/math] инвариантно относительно этого преобразования, так как любой вектор, принадлежащий [math]L[/math], не изменяется в результате поворота, т.е. отображается в себя. Подпространство [math]\Pi=L^{\perp}[/math] — радиус-векторов, принадлежащих плоскости, перпендикулярной оси вращения, также инвариантное, так как в результате поворота все эти радиус-векторы остаются в той же плоскости.




Свойства инвариантных подпространств


1. Если [math]L[/math] — инвариантное подпространство относительно обратимого линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math], то его сужение [math]\mathcal{A}_L\colon L\to L[/math] также обратимое линейное преобразование.


2. Для любого линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] ядро [math]\ker \mathcal{A}[/math] и образ [math]\operatorname{im} \mathcal{A}[/math] являются инвариантными подпространствами, так как


[math]\mathcal{A}(\ker \mathcal{A}) =\{\boldsymbol{o}\}\triangleleft \ker \mathcal{A}[/math] и [math]\mathcal{A}(\operatorname{im} \mathcal{A})\triangleleft \operatorname{im} \mathcal{A}[/math]

3. Если [math]L[/math] — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math], то [math]L[/math] — инвариантно относительно любой натуральной степени этого преобразования, причем


[math]\mathcal{A}^m(L)\triangleleft \mathcal{A}^{m-1}(L)\triangleleft \ldots\triangleleft \mathcal{A}(L)\triangleleft \mathcal{E}(L)=L.[/math]

В самом деле, каждое из указанных множеств является линейным подпространством, так как это образы сужений линейных операторов, например, [math]\mathcal{A}^m(L)=\operatorname{im} (\mathcal{A}_L)^m[/math]. Докажем, например, включение [math]\mathcal{A}^2(L)\triangleleft \mathcal{A}(L)[/math]. Для любого [math]\mathbf{w}\in \mathcal{A}^2(L)[/math] существует вектор [math]\mathbf{v}\in \mathcal{A}(L)\triangleleft L[/math], что [math]\mathbf{w}= \mathcal{A}(\mathbf{v})[/math]. Следовательно, [math]\mathbf{w}\in \mathcal{A}(L)[/math].


4. Если [math]L[/math] — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math], то [math]L[/math] — инвариантно относительно любого многочлена от этого преобразования.




Теорема (9.2) о матрицах оператора и его сужения на инвариантное подпространство


Пусть [math]\mathcal{A}\colon V\to V[/math] — линейное преобразование n-мерного пространства [math]V[/math], а [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно преобразования [math]\mathcal{A}[/math]. Тогда существует базис [math](\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots, \mathbf{e}_n)[/math] пространства [math]V[/math], в котором матрица [math]A[/math] преобразования [math]\mathcal{A}[/math] имеет нулевой угол:


[math]A=\begin{pmatrix}B\!\!&\vline\!\!&C\\\hline O\!\!&\vline\!\!& D \end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]B[/math] — матрица сужения [math]\mathcal{A}_L[/math] преобразования [math]\mathcal{A}[/math] на подпространство [math]L[/math], [math]O[/math] — нулевая матрица размеров [math](n-\ell)\times \ell,~ \ell=\dim{L}[/math]. И наоборот, если в некотором базисе [math](\mathbf{e})[/math] матрица [math]A[/math] преобразования [math]\mathcal{A}[/math] имеет нулевой угол (нулевую матрицу [math]O[/math] размеров [math](n-\ell)\times \ell[/math]), то преобразование [math]\mathcal{A}[/math] имеет ℓ-мерное инвариантное подпространство.


В самом деле, возьмем базис [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_{\ell}[/math] подпространства [math]L[/math] и дополним его векторами [math]\mathbf{e}_{\ell+1},\ldots,\mathbf{e}_n[/math] до базиса [math]\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n[/math] всего пространства [math]V[/math]. Раскладывая образы первых [math]\ell[/math] базисных векторов по этому базису, получаем


[math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)= a_{1i}\mathbf{e}_1+\ldots+a_{\ell i}\mathbf{e}_{\ell}+ 0\cdot \mathbf{e}_{\ell+1}+\ldots+0\cdot \mathbf{e}_{n},[/math]

так как [math]\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)\in L,~ i=1,\ldots,\ell[/math]. Следовательно, последние [math](n-\ell)[/math] элементов первых [math]\ell[/math] столбцов матрицы [math]A[/math] преобразования [math]\mathcal{A}[/math] равны нулю. Обратное утверждение доказывается, проводя аналогичные рассуждения в обратном порядке.


Следствие. Если n-мерное пространство [math]V[/math] представлено в виде прямой суммы ненулевых инвариантных относительно преобразования [math]\mathcal{A}[/math] подпространств [math]V=L_1\oplus\ldots\oplus L_k[/math], то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид


[math]A=\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_k)= \begin{pmatrix}A_1&{}&O\\ {}&\ddots&{}\\ O&{}&A_k \end{pmatrix}\!,[/math]

где [math]A_i[/math] — матрица сужения [math]\mathcal{A}_{L_i}[/math] преобразования [math]\mathcal{A}[/math] на подпространство [math]L_i,~ i=1,\ldots,k[/math].


Например, рассмотрим операторы проектирования [math]\Pi_{L_1}\colon V\to V[/math] и отражения [math]\mathcal{Z}_{L_1}\colon V\to V[/math]. Объединяя базисы подпространств [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math], получаем базис пространства [math]V=L_1\oplus L_2[/math], в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид


[math]\Pi_{L_1}= \begin{pmatrix}E\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\end{pmatrix}\!,\qquad Z_{L_1}= \begin{pmatrix}E\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&-E\end{pmatrix}\!.[/math]


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved