Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Инвариантные подпространства

Инвариантные подпространства


Определение инвариантных подпространств


Пусть \mathcal{A}\colon V\to V — линейное преобразование линейного пространства {V}. Линейное подпространство L\triangleleft V называется инвариантным относительно преобразования \mathcal{A}, если образ любого вектора из L принадлежит подпространству L, т.е. \mathcal{A}(\mathbf{v})\in L~ \forall \mathbf{v}\in L. Другими словами, инвариантное подпространство L включает свой образ \mathcal{A}(L)\colon\, \mathcal{A}(L)\subset L. Нулевое подпространство \{\boldsymbol{o}\} и все пространство {V} являются инвариантными подпространствами для любого линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V.


Пусть L — инвариантное подпространство относительно преобразования \mathcal{A}\colon V\to V. Линейный оператор \mathcal{A}\colon L\to L, рассматриваемый как линейное преобразование пространства L в себя, называется сужением (ограничением) линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V на инвариантное подпространство L\triangleleft V и обозначается \mathcal{A}_L\colon L\to L, или \Bigl.{\mathcal{A}}\Bigr|_{L}\colon L\to L. Для всех векторов \mathbf{v}in L выполняется равенство \mathcal{A}_L (\mathbf{v})= \mathcal{A}(\mathbf{v}), т.е. \forall \mathbf{v}\in L образы, порождаемые оператором \mathcal{A} и его сужением \mathcal{A}_L, совпадают.




Примеры инвариантных подпространств


Рассмотрим инвариантные подпространства линейных операторов (преобразований).


1. Для нулевого преобразования \mathcal{O}\colon V\to V любое подпространство L\triangleleft V является инвариантным, так как \mathcal{O}(L)= \{\boldsymbol{o}\}\subset L. Сужение нулевого преобразования \mathcal{O}_{L}\colon L\to L является нулевым преобразованием.


2. Для тождественного преобразования \mathcal{E}\colon V\to V любое подпространство L\triangleleft V является инвариантным, так как \mathcal{E}(L)=L. Сужение тождественного преобразования \mathcal{E}_{L} \colon L\to L является тождественным преобразованием.


3. Для центральной симметрии \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}\colon V\to V любое подпространство L\triangleleft V является инвариантным, так как \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}(L)=L. Сужение центральной симметрии \Bigl.{\mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}}\Bigr|_{L}\colon L\to L является центральной симметрией.


4. Для гомотетии \mathcal{H}_{\lambda}\colon V\to V любое подпространство L\triangleleft V является инвариантным, так как \mathcal{H}_{\lambda} (L)=L (при \lambda\ne0). Сужение гомотетии \Bigl.{\mathcal{H}_{\lambda}}\Bigr|_{L}\colon L\to L является гомотетией.


5. Для поворота \mathcal{R}_{\varphi}\colon V_2\to V_2 плоскости (при \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb{Z}) имеются два инвариантных подпространства: нулевое \{\vec{o}\} и вся плоскость V_2. Других инвариантных подпространств нет.


6. Для оператора дифференцирования \mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_n(\mathbb{R}) каждое из подпространств \{o(x)\}\triangleleft P_0(\mathbb{R}) \triangleleft P_1(\mathbb{R})\triangleleft \ldots\triangleleft P_n(\mathbb{R}) является инвариантным, так как при дифференцировании степень многочлена уменьшается.


7. Рассмотрим оператор \Pi_{L_1}\colon V\to V проектирования на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2. Здесь V=L_1\oplus L_2, \Pi_{L_1}(\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_1 для \mathbf{v} =\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2. Для этого оператора подпространства L_1 и L_2 инвариантные, так как \Pi_{L_1}(L_1)=L_1 и \Pi_{L_1}(L_2)=\{\boldsymbol{o}\}\subset L_2. Сужение оператора проектирования на подпространство L_1 является тождественным преобразованием \Bigl.{\Pi_{L_1}}\Bigr|_{L_1}=\mathcal{E}, а сужение на подпространство L_2 — нулевым \Bigl.{\Pi_{L_1}}\Bigr|_{L_2}= \mathcal{O}.


8. Рассмотрим оператор \mathcal{Z}_{L_1}\colon V\to V отражения в подпространстве L_1 параллельно подпространству L_2. Здесь V=L_1\oplus L_2, \mathcal{Z}_{L_1}(\mathbf{v}_1+ \mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2 для \mathbf{v} =\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1\in L_1,~ \mathbf{v}_2\in L_2. Для этого оператора подпространства L_1 и L_2 инвариантные, так как \mathcal{Z}_{L_1}(L_1)=L_1 и \mathcal{Z}_{L_1}(L_2)=L_2. Сужение оператора отражения на подпространство L_1 является тождественным преобразованием \Bigl.{\mathcal{Z}_{L_1} }\Bigr|_{L_1}=\mathcal{E}, а сужение на подпространство L_2 — центральной симметрией \Bigl.{\mathcal{Z}_{L_1} }\Bigr|_{L_2}=\mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}, так как \Bigl.{\mathcal{Z}_{L_1} }\Bigr|_{L_2}(\mathbf{v}_2)=-\mathbf{v}_2.


9. В пространстве V_3 радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки O, рассмотрим поворот на угол \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb{Z}, вокруг оси l, заданной радиус-вектором \vec{l}. Подпространство L=\operatorname{Lin}(\vec{l}) инвариантно относительно этого преобразования, так как любой вектор, принадлежащий L, не изменяется в результате поворота, т.е. отображается в себя. Подпространство \Pi=L^{\perp} — радиус-векторов, принадлежащих плоскости, перпендикулярной оси вращения, также инвариантное, так как в результате поворота все эти радиус-векторы остаются в той же плоскости.




Свойства инвариантных подпространств


1. Если L — инвариантное подпространство относительно обратимого линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V, то его сужение \mathcal{A}_L\colon L\to L также обратимое линейное преобразование.


2. Для любого линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V ядро \ker \mathcal{A} и образ \operatorname{im} \mathcal{A} являются инвариантными подпространствами, так как


\mathcal{A}(\ker \mathcal{A}) =\{\boldsymbol{o}\}\triangleleft \ker \mathcal{A} и \mathcal{A}(\operatorname{im} \mathcal{A})\triangleleft \operatorname{im} \mathcal{A}

3. Если L — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V, то L — инвариантно относительно любой натуральной степени этого преобразования, причем


\mathcal{A}^m(L)\triangleleft \mathcal{A}^{m-1}(L)\triangleleft \ldots\triangleleft \mathcal{A}(L)\triangleleft \mathcal{E}(L)=L.

В самом деле, каждое из указанных множеств является линейным подпространством, так как это образы сужений линейных операторов, например, \mathcal{A}^m(L)=\operatorname{im}  (\mathcal{A}_L)^m. Докажем, например, включение \mathcal{A}^2(L)\triangleleft \mathcal{A}(L). Для любого \mathbf{w}\in \mathcal{A}^2(L) существует вектор \mathbf{v}\in \mathcal{A}(L)\triangleleft L, что \mathbf{w}= \mathcal{A}(\mathbf{v}). Следовательно, \mathbf{w}\in \mathcal{A}(L).


4. Если L — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V, то L — инвариантно относительно любого многочлена от этого преобразования.




Теорема (9.2) о матрицах оператора и его сужения на инвариантное подпространство


Пусть \mathcal{A}\colon V\to V — линейное преобразование n-мерного пространства V, а L — подпространство, инвариантное относительно преобразования \mathcal{A}. Тогда существует базис (\mathbf{e})=(\mathbf{e}_1,\ldots, \mathbf{e}_n) пространства V, в котором матрица A преобразования \mathcal{A} имеет нулевой угол:


A=\begin{pmatrix}B\!\!&\vline\!\!&C\\\hline O\!\!&\vline\!\!& D \end{pmatrix}\!,

где B — матрица сужения \mathcal{A}_L преобразования \mathcal{A} на подпространство L, O — нулевая матрица размеров (n-\ell)\times \ell,~ \ell=\dim{L}. И наоборот, если в некотором базисе (\mathbf{e}) матрица A преобразования \mathcal{A} имеет нулевой угол (нулевую матрицу O размеров (n-\ell)\times \ell), то преобразование \mathcal{A} имеет ℓ-мерное инвариантное подпространство.


В самом деле, возьмем базис \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_{\ell} подпространства L и дополним его векторами \mathbf{e}_{\ell+1},\ldots,\mathbf{e}_n до базиса \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n всего пространства V. Раскладывая образы первых \ell базисных векторов по этому базису, получаем


\mathcal{A}(\mathbf{e}_i)= a_{1i}\mathbf{e}_1+\ldots+a_{\ell i}\mathbf{e}_{\ell}+ 0\cdot \mathbf{e}_{\ell+1}+\ldots+0\cdot \mathbf{e}_{n},

так как \mathcal{A}(\mathbf{e}_i)\in L,~ i=1,\ldots,\ell. Следовательно, последние (n-\ell) элементов первых \ell столбцов матрицы A преобразования \mathcal{A} равны нулю. Обратное утверждение доказывается, проводя аналогичные рассуждения в обратном порядке.


Следствие. Если n-мерное пространство V представлено в виде прямой суммы ненулевых инвариантных относительно преобразования \mathcal{A} подпространств V=L_1\oplus\ldots\oplus L_k, то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид


A=\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_k)= \begin{pmatrix}A_1&{}&O\\ {}&\ddots&{}\\ O&{}&A_k \end{pmatrix}\!,

где A_i — матрица сужения \mathcal{A}_{L_i} преобразования \mathcal{A} на подпространство L_i,~ i=1,\ldots,k.


Например, рассмотрим операторы проектирования \Pi_{L_1}\colon V\to V и отражения \mathcal{Z}_{L_1}\colon V\to V. Объединяя базисы подпространств L_1 и L_2, получаем базис пространства V=L_1\oplus L_2, в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид


\Pi_{L_1}= \begin{pmatrix}E\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&O\end{pmatrix}\!,\qquad Z_{L_1}= \begin{pmatrix}E\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O\!\!&\vline\!\!&-E\end{pmatrix}\!.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved