Инвариантные подпространства
Определение инвариантных подпространств
Пусть — линейное преобразование линейного пространства . Линейное подпространство называется инвариантным относительно преобразования , если образ любого вектора из принадлежит подпространству , т.е. . Другими словами, инвариантное подпространство включает свой образ . Нулевое подпространство и все пространство являются инвариантными подпространствами для любого линейного преобразования .
Пусть — инвариантное подпространство относительно преобразования . Линейный оператор , рассматриваемый как линейное преобразование пространства в себя, называется сужением (ограничением) линейного преобразования на инвариантное подпространство и обозначается , или . Для всех векторов выполняется равенство , т.е. образы, порождаемые оператором и его сужением , совпадают.
Примеры инвариантных подпространств
Рассмотрим инвариантные подпространства линейных операторов (преобразований).
1. Для нулевого преобразования любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение нулевого преобразования является нулевым преобразованием.
2. Для тождественного преобразования любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение тождественного преобразования является тождественным преобразованием.
3. Для центральной симметрии любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение центральной симметрии является центральной симметрией.
4. Для гомотетии любое подпространство является инвариантным, так как (при ). Сужение гомотетии является гомотетией.
5. Для поворота плоскости (при ) имеются два инвариантных подпространства: нулевое и вся плоскость . Других инвариантных подпространств нет.
6. Для оператора дифференцирования каждое из подпространств является инвариантным, так как при дифференцировании степень многочлена уменьшается.
7. Рассмотрим оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора проектирования на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — нулевым .
8. Рассмотрим оператор отражения в подпространстве параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора отражения на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — центральной симметрией , так как .
9. В пространстве радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , рассмотрим поворот на угол , вокруг оси , заданной радиус-вектором . Подпространство инвариантно относительно этого преобразования, так как любой вектор, принадлежащий , не изменяется в результате поворота, т.е. отображается в себя. Подпространство — радиус-векторов, принадлежащих плоскости, перпендикулярной оси вращения, также инвариантное, так как в результате поворота все эти радиус-векторы остаются в той же плоскости.
Свойства инвариантных подпространств
1. Если — инвариантное подпространство относительно обратимого линейного преобразования , то его сужение также обратимое линейное преобразование.
2. Для любого линейного преобразования ядро и образ являются инвариантными подпространствами, так как
 и 
3. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любой натуральной степени этого преобразования, причем
В самом деле, каждое из указанных множеств является линейным подпространством, так как это образы сужений линейных операторов, например, . Докажем, например, включение . Для любого существует вектор , что . Следовательно, .
4. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любого многочлена от этого преобразования.
Теорема (9.2) о матрицах оператора и его сужения на инвариантное подпространство
Пусть — линейное преобразование n-мерного пространства , а — подпространство, инвариантное относительно преобразования . Тогда существует базис пространства , в котором матрица преобразования имеет нулевой угол:
где — матрица сужения преобразования на подпространство , — нулевая матрица размеров . И наоборот, если в некотором базисе матрица преобразования имеет нулевой угол (нулевую матрицу размеров ), то преобразование имеет ℓ-мерное инвариантное подпространство.
В самом деле, возьмем базис подпространства и дополним его векторами до базиса всего пространства . Раскладывая образы первых базисных векторов по этому базису, получаем
так как . Следовательно, последние элементов первых столбцов матрицы преобразования равны нулю. Обратное утверждение доказывается, проводя аналогичные рассуждения в обратном порядке.
Следствие. Если n-мерное пространство представлено в виде прямой суммы ненулевых инвариантных относительно преобразования подпространств , то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид
где — матрица сужения преобразования на подпространство .
Например, рассмотрим операторы проектирования и отражения . Объединяя базисы подпространств и , получаем базис пространства , в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|