Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Инвариантные множители многочленной матрицы (λ-матрицы)
ОглавлениеЛинейная алгебра

Инвариантные множители многочленной матрицы (λ-матрицы)


Пусть [math]A(\lambda)[/math]λ-матрица n-го порядка. Любой минор этой матрицы представляет собой многочлен переменной [math]\lambda[/math]. Напомним, что рангом λ-матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. [math]\operatorname{rg} A(\lambda)=r[/math], если в матрице [math]A(\lambda)[/math] имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.


Обозначим через [math]d_k(\lambda)[/math] наибольший общий делитель миноров k-го порядка λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math]. Для определенности будем считать, что старшие коэффициенты многочленов [math]d_k(\lambda)[/math] равны единице. Заметим, что в совокупности многочленов


[math]d_1(\lambda),~ d_2(\lambda),~ \ldots,~ d_r(\lambda),[/math]

где [math]r=\operatorname{rg}A(\lambda)[/math], каждый последующий многочлен делится на предыдущий.

В самом деле, разложив любой минор k-го порядка по строке, получим сумму миноров (k-1)-го порядка, взятых с некоторыми коэффициентами. Так как каждый минор (k-1)-го порядка делится на [math]d_{k-1}(\lambda)[/math], то и вся сумма будет делиться на [math]d_{k-1}(\lambda)[/math]. Следовательно, любой минор k-го порядка делится на [math]d_{k-1}(\lambda)[/math]. Поэтому и наибольший общий делитель [math]d_{k}(\lambda)[/math] также делится на [math]d_{k-1}(\lambda)[/math]. Многочлены


[math]e_1(\lambda)=d_1(\lambda),\quad e_2(\lambda)= \frac{d_2(\lambda)}{d_1(\lambda)}, \quad \ldots,\quad e_r(\lambda)=\frac{d_r(\lambda)}{d_{r-1}(\lambda)}\,,[/math]
(7.11)

называются инвариантными множителями λ-матрицы А (X). Здесь [math]r[/math] — ранг λ-матрицы [math]A(\lambda)[/math].



Теорема 7.3 об инвариантных множителях. При элементарных преобразованиях λ-матрицы ее инвариантные множители не изменяются.


Достаточно показать, что при элементарных преобразованиях не изменяются многочлены [math]d_1(\lambda), d_2(\lambda), \ldots, d_r(\lambda)[/math]. Это доказательство почти дословно повторяет доказательство теоремы 3.3. В самом деле, при одном элементарном преобразовании (I, II или III типа) матрицы [math]A(\lambda)[/math] любой ее минор k-го порядка либо не изменится, либо поменяет знак на противоположный, либо совпадет с другим минором к -го порядка, либо окажется равным сумме двух миноров k-го порядка (взятых с некоторыми множителями). Ни одно из этих действий не может изменить наибольшего общего делителя [math]d_k(\lambda)[/math]. Отсюда следует, что и отношения (7.11) наибольших общих делителей не изменяются.


Следствие 1. Ранг λ-матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях столбцов (строк).


Следствие 2. Инвариантные множители λ-матрицы полностью определяют ее нормальный диагональный вид, т.е. многочлены [math]e_i(\lambda),~i=1,\ldots,r[/math], в (7.9) совпадают с инвариантными множителями (7.11) λ-матрицы.


В самом деле, все миноры первого порядка матрицы (7.9), т.е. элементы этой матрицы, делятся на [math]e_1(\lambda)[/math]. Поэтому [math]d_1(\lambda)=e_1(\lambda)[/math]. Все миноры второго порядка матрицы (7.9) делятся на произведение [math]e_1(\lambda)e_2(\lambda)[/math]. Следовательно, [math]d_2(\lambda)=e_1(\lambda)e_2(\lambda)[/math] и т.д. Рассматривая миноры r-го порядка получаем, что [math]d_r(\lambda)=e_1(\lambda)e_2(\lambda)\ldots e_r(\lambda)[/math]. Отсюда следуют равенства (7.11). По теореме 7.3 все эквивалентные λ-матрицы имеют одни и те же инвариантные множители, которые, как мы только что убедились, полностью определяют нормальный диагональный вид λ-матрицы.


Следствие 3. Эквивалентные λ-матрицы приводятся к одному и тому оке нормальному диагональному виду.




Способы нахождения инвариантных множителей многочленных матриц


Первый способ. Привести λ-матрицу к нормальному диагональному виду (7.9): [math]\operatorname{diag}(e_1(\lambda),\ldots,e_r(\lambda),\,0,\ldots,0)[/math]. Ненулевые многочлены, стоящие на главной диагонали, являются искомыми инвариантными множителями.


Второй способ.


1. Найти наибольший общий делитель [math]d_1(\lambda)[/math] миноров 1-го порядка λ-матрицы (т.е. ее элементов); найти наибольший общий делитель [math]d_2(\lambda)[/math] миноров 2-го порядка и т.д. Процесс завершить, если все миноры некоторого порядка [math](r+1)[/math] либо тождественно равны нулю, либо не существуют.


2. Найти инвариантные множители по формулам (7.11).




Пример 7.7. Найти инвариантные множители многочленных матриц


[math]A(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda-1&0\\ 0&\lambda-1\end{pmatrix}\!,\quad B(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda-1&0\\ 0&\lambda-2\end{pmatrix}\!,\quad C(\lambda)= \begin{pmatrix}\lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Матрица [math]A(\lambda)[/math]. Первый способ. Матрица [math]A(\lambda)[/math] имеет нормальный диагональный вид. Поэтому [math]e_1(\lambda)=\lambda-1[/math] и [math]e_2(\lambda)=\lambda-1[/math].


Второй способ. 1. Запишем ненулевые миноры первого порядка матрицы [math]A(\lambda)[/math]. Они равны [math]\lambda-1[/math]. Следовательно, их наибольший общий делитель [math]d_1(\lambda)=\lambda-1[/math]. Минор второго порядка этой матрицы единственный и равен [math](\lambda-1)^2[/math]. Следовательно, [math]d_2(\lambda)=(\lambda-1)^2[/math].


2. По определению (7.11) находим инвариантные множители:


[math]e_1(\lambda)=d_1(\lambda)=\lambda-1,\qquad e_2(\lambda)= \frac{d_2(\lambda)}{d_1(\lambda)}= \frac{(\lambda-1)^2}{\lambda-1}=\lambda-1.[/math]

Матрица [math]B(\lambda)[/math]. Второй способ. 1. Диагональный вид матрицы [math]B(\lambda)[/math] не является нормальным, поскольку двучлен [math](\lambda-2)[/math] не делится на двучлен [math](\lambda-1)[/math] (без остатка). Запишем ненулевые миноры первого порядка: [math]\lambda-1,~\lambda-2[/math]. Наибольший общий делитель этих многочленов равен единице, т.е. [math]d_1(\lambda)=1[/math]. Матрица [math]B(\lambda)[/math] имеет единственный минор второго порядка, поэтому


[math]d_2(\lambda)=(\lambda-1)\cdot(\lambda-2).[/math]

2. По формулам (7.11) находим инвариантные множители:


[math]e_1(\lambda)=d_1(\lambda)=1,\quad e_2(\lambda)=\frac{d_2(\lambda)}{d_1(\lambda)}= \frac{(\lambda-1)(\lambda-2)}{1}=(\lambda-1)(\lambda-2).[/math]

Матрица [math]C(\lambda)[/math]. Первый способ. Матрица [math]A(\lambda)[/math] была приведена к нормальному диагональному виду (см. пример 7.6): [math]C(\lambda)\sim \operatorname{diag}(1;1;\lambda^3)[/math], поэтому


[math]e_1(\lambda)=1,\qquad e_2(\lambda)=1,\qquad e_3(\lambda)=\lambda^3.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved