Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Инвариантные множители многочленной матрицы (λ-матрицы)

Инвариантные множители многочленной матрицы (λ-матрицы)


Пусть A(\lambda)λ-матрица n-го порядка. Любой минор этой матрицы представляет собой многочлен переменной \lambda. Напомним, что рангом λ-матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. \operatorname{rg} A(\lambda)=r, если в матрице A(\lambda) имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.


Обозначим через d_k(\lambda) наибольший общий делитель миноров k-го порядка λ-матрицы A(\lambda). Для определенности будем считать, что старшие коэффициенты многочленов d_k(\lambda) равны единице. Заметим, что в совокупности многочленов


d_1(\lambda),~ d_2(\lambda),~ \ldots,~ d_r(\lambda),

где r=\operatorname{rg}A(\lambda), каждый последующий многочлен делится на предыдущий.


В самом деле, разложив любой минор k-го порядка по строке, получим сумму миноров (k-1)-го порядка, взятых с некоторыми коэффициентами. Так как каждый минор (k-1)-го порядка делится на d_{k-1}(\lambda), то и вся сумма будет делиться на d_{k-1}(\lambda). Следовательно, любой минор k-го порядка делится на d_{k-1}(\lambda). Поэтому и наибольший общий делитель d_{k}(\lambda) также делится на d_{k-1}(\lambda). Многочлены


e_1(\lambda)=d_1(\lambda),\quad e_2(\lambda)= \frac{d_2(\lambda)}{d_1(\lambda)}, \quad \ldots,\quad e_r(\lambda)=\frac{d_r(\lambda)}{d_{r-1}(\lambda)}\,,
(7.11)

называются инвариантными множителями λ-матрицы A(\lambda). Здесь r — ранг λ-матрицы A(\lambda).




Теорема 7.3 об инвариантных множителях. При элементарных преобразованиях λ-матрицы ее инвариантные множители не изменяются.


Достаточно показать, что при элементарных преобразованиях не изменяются многочлены d_1(\lambda), d_2(\lambda), \ldots, d_r(\lambda). Это доказательство почти дословно повторяет доказательство теоремы 3.3. В самом деле, при одном элементарном преобразовании (I, II или III типа) матрицы A(\lambda) любой ее минор k-го порядка либо не изменится, либо поменяет знак на противоположный, либо совпадет с другим минором к -го порядка, либо окажется равным сумме двух миноров k-го порядка (взятых с некоторыми множителями). Ни одно из этих действий не может изменить наибольшего общего делителя d_k(\lambda). Отсюда следует, что и отношения (7.11) наибольших общих делителей не изменяются.


Следствие 1. Ранг λ-матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях столбцов (строк).


Следствие 2. Инвариантные множители λ-матрицы полностью определяют ее нормальный диагональный вид, т.е. многочлены e_i(\lambda),~i=1,\ldots,r, в (7.9) совпадают с инвариантными множителями (7.11) λ-матрицы.


В самом деле, все миноры первого порядка матрицы (7.9), т.е. элементы этой матрицы, делятся на e_1(\lambda). Поэтому d_1(\lambda)=e_1(\lambda). Все миноры второго порядка матрицы (7.9) делятся на произведение e_1(\lambda)e_2(\lambda). Следовательно, d_2(\lambda)=e_1(\lambda)e_2(\lambda) и т.д. Рассматривая миноры r-го порядка получаем, что d_r(\lambda)=e_1(\lambda)e_2(\lambda)\ldots e_r(\lambda). Отсюда следуют равенства (7.11). По теореме 7.3 все эквивалентные λ-матрицы имеют одни и те же инвариантные множители, которые, как мы только что убедились, полностью определяют нормальный диагональный вид λ-матрицы.


Следствие 3. Эквивалентные λ-матрицы приводятся к одному и тому оке нормальному диагональному виду.




Способы нахождения инвариантных множителей многочленных матриц


Первый способ. Привести λ-матрицу к нормальному диагональному виду (7.9): \operatorname{diag}(e_1(\lambda),\ldots,e_r(\lambda),\,0,\ldots,0). Ненулевые многочлены, стоящие на главной диагонали, являются искомыми инвариантными множителями.


Второй способ.


1. Найти наибольший общий делитель d_1(\lambda) миноров 1-го порядка λ-матрицы (т.е. ее элементов); найти наибольший общий делитель d_2(\lambda) миноров 2-го порядка и т.д. Процесс завершить, если все миноры некоторого порядка (r+1) либо тождественно равны нулю, либо не существуют.


2. Найти инвариантные множители по формулам (7.11).




Пример 7.7. Найти инвариантные множители многочленных матриц


A(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda-1&0\\ 0&\lambda-1\end{pmatrix}\!,\quad B(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda-1&0\\ 0&\lambda-2\end{pmatrix}\!,\quad C(\lambda)= \begin{pmatrix}\lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}\!.

Решение. Матрица A(\lambda). Первый способ. Матрица A(\lambda) имеет нормальный диагональный вид. Поэтому e_1(\lambda)=\lambda-1 и e_2(\lambda)=\lambda-1.


Второй способ. 1. Запишем ненулевые миноры первого порядка матрицы A(\lambda). Они равны \lambda-1. Следовательно, их наибольший общий делитель d_1(\lambda)=\lambda-1. Минор второго порядка этой матрицы единственный и равен (\lambda-1)^2. Следовательно, d_2(\lambda)=(\lambda-1)^2.


2. По определению (7.11) находим инвариантные множители:


e_1(\lambda)=d_1(\lambda)=\lambda-1,\qquad e_2(\lambda)= \frac{d_2(\lambda)}{d_1(\lambda)}= \frac{(\lambda-1)^2}{\lambda-1}=\lambda-1.

Матрица B(\lambda). Второй способ. 1. Диагональный вид матрицы B(\lambda) не является нормальным, поскольку двучлен (\lambda-2) не делится на двучлен (\lambda-1) (без остатка). Запишем ненулевые миноры первого порядка: \lambda-1,~\lambda-2. Наибольший общий делитель этих многочленов равен единице, т.е. d_1(\lambda)=1. Матрица B(\lambda) имеет единственный минор второго порядка, поэтому


d_2(\lambda)=(\lambda-1)\cdot(\lambda-2).

2. По формулам (7.11) находим инвариантные множители:


e_1(\lambda)=d_1(\lambda)=1,\quad e_2(\lambda)=\frac{d_2(\lambda)}{d_1(\lambda)}= \frac{(\lambda-1)(\lambda-2)}{1}=(\lambda-1)(\lambda-2).

Матрица C(\lambda). Первый способ. Матрица A(\lambda) была приведена к нормальному диагональному виду (см. пример 7.6): C(\lambda)\sim \operatorname{diag}(1;1;\lambda^3), поэтому


e_1(\lambda)=1,\qquad e_2(\lambda)=1,\qquad e_3(\lambda)=\lambda^3.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved