Инвариантные множители многочленной матрицы (λ-матрицы)
Пусть — λ-матрица n-го порядка. Любой минор этой матрицы представляет собой многочлен переменной . Напомним, что рангом λ-матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. , если в матрице имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.
Обозначим через наибольший общий делитель миноров k-го порядка λ-матрицы . Для определенности будем считать, что старшие коэффициенты многочленов равны единице. Заметим, что в совокупности многочленов
где , каждый последующий многочлен делится на предыдущий.
В самом деле, разложив любой минор k-го порядка по строке, получим сумму миноров (k-1)-го порядка, взятых с некоторыми коэффициентами. Так как каждый минор (k-1)-го порядка делится на , то и вся сумма будет делиться на . Следовательно, любой минор k-го порядка делится на . Поэтому и наибольший общий делитель также делится на . Многочлены
(7.11)
называются инвариантными множителями λ-матрицы . Здесь — ранг λ-матрицы .
Теорема 7.3 об инвариантных множителях. При элементарных преобразованиях λ-матрицы ее инвариантные множители не изменяются.
Достаточно показать, что при элементарных преобразованиях не изменяются многочлены . Это доказательство почти дословно повторяет доказательство теоремы 3.3. В самом деле, при одном элементарном преобразовании (I, II или III типа) матрицы любой ее минор k-го порядка либо не изменится, либо поменяет знак на противоположный, либо совпадет с другим минором к -го порядка, либо окажется равным сумме двух миноров k-го порядка (взятых с некоторыми множителями). Ни одно из этих действий не может изменить наибольшего общего делителя . Отсюда следует, что и отношения (7.11) наибольших общих делителей не изменяются.
Следствие 1. Ранг λ-матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях столбцов (строк).
Следствие 2. Инвариантные множители λ-матрицы полностью определяют ее нормальный диагональный вид, т.е. многочлены , в (7.9) совпадают с инвариантными множителями (7.11) λ-матрицы.
В самом деле, все миноры первого порядка матрицы (7.9), т.е. элементы этой матрицы, делятся на . Поэтому . Все миноры второго порядка матрицы (7.9) делятся на произведение . Следовательно, и т.д. Рассматривая миноры r-го порядка получаем, что . Отсюда следуют равенства (7.11). По теореме 7.3 все эквивалентные λ-матрицы имеют одни и те же инвариантные множители, которые, как мы только что убедились, полностью определяют нормальный диагональный вид λ-матрицы.
Следствие 3. Эквивалентные λ-матрицы приводятся к одному и тому оке нормальному диагональному виду.
Способы нахождения инвариантных множителей многочленных матриц
Первый способ. Привести λ-матрицу к нормальному диагональному виду (7.9): . Ненулевые многочлены, стоящие на главной диагонали, являются искомыми инвариантными множителями.
Второй способ.
1. Найти наибольший общий делитель миноров 1-го порядка λ-матрицы (т.е. ее элементов); найти наибольший общий делитель миноров 2-го порядка и т.д. Процесс завершить, если все миноры некоторого порядка либо тождественно равны нулю, либо не существуют.
2. Найти инвариантные множители по формулам (7.11).
Пример 7.7. Найти инвариантные множители многочленных матриц
Решение. Матрица . Первый способ. Матрица имеет нормальный диагональный вид. Поэтому и .
Второй способ. 1. Запишем ненулевые миноры первого порядка матрицы . Они равны . Следовательно, их наибольший общий делитель . Минор второго порядка этой матрицы единственный и равен . Следовательно, .
2. По определению (7.11) находим инвариантные множители:
Матрица . Второй способ. 1. Диагональный вид матрицы не является нормальным, поскольку двучлен не делится на двучлен (без остатка). Запишем ненулевые миноры первого порядка: . Наибольший общий делитель этих многочленов равен единице, т.е. . Матрица имеет единственный минор второго порядка, поэтому
2. По формулам (7.11) находим инвариантные множители:
Матрица . Первый способ. Матрица была приведена к нормальному диагональному виду (см. пример 7.6): , поэтому
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|