Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Интегрирование функций комплексного переменного
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Интегрирование функций комплексного переменного Содержание 1. Основные понятия 2. Вычисление интегралов от функций комплексного переменного 3. Примеры вычисления интегралов от функций комплексного переменного 4. Основная теорема Коши для простого контура 5. Теорема Коши для сложного контура 6. Интегральная формула Коши 7. Вычисление интегралов по замкнутому контуру 8. Примеры вычисления интегралов по замкнутому контуру Основные понятия 1. Понятие интеграла от функции комплексного переменного вводится (так же, как и в действительной области) как предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой $l$ , кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой: $\int\limits_{l}f(z)\,dz= \lim_{\lambda\to0} \sum_{k=1}^{n}\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr),\qquad\quad (2.43)$ где $x_k$ — точка, выбранная на дуге $\Delta l_k$ разбиения кривой; $\Delta z_k$ — приращение аргумента функции на этом участке разбиения, $\lambda= \max_{k}\|\Delta z_k\|$ — шаг разбиения, $\|\Delta z_k\|$ — длина хорды, соединяющей концы дуги $\Delta l_k$ ; кривая $l$ разбивается произвольным образом на $n$ частей $\Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n$ . На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки. В случае замкнутой кривой $\textstyle{\left(\int\limits_{l} f(z)dz= \oint\limits_{c}f(z)dz\right)}$ интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром. Формула (2.43) определяет криволинейный интеграл от функции комплексного переменного. Если выделить действительную и мнимую части функции $f(z)$ , т.е. записать ее в виде $f(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatorname{Re}f(z),\quad v=\operatorname{Im}f(z),\qquad u=u(x,y),\quad v=v(x,y),$ то интегральную сумму можно записать в виде двух слагаемых, которые будут являться интегральными суммами криволинейных интегралов второго рода от функций двух действительных переменных. Если $f(z)$ предположить непрерывной на $l$ , то $u(x,y),~ v(x,y)$ будут также непрерывны на $l$ , и, следовательно, будут существовать пределы соответствующих интегральных сумм. Поэтому, если функция $f(z)$ непрерывна на $l$ , то предел в равенстве (2.43) существует, т.е. существует криволинейный интеграл от функции $f(z)$ по кривой $l$ и имеет место формула $\int\limits_{l}f(z)\,dz= \int\limits_{l}u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_{l}u\,dy+v\,dx\,.$ (2.44) Используя определение интеграла или формулу (2.44) и свойства криволинейных интегралов второго рода, нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств криволинейного интеграла от функций комплексного переменного (свойства, известные из действительного анализа). $\begin{aligned}&\bold{1.}~~ \int\limits_{l}\bigl[c_1f_1(z)+ c_2f_2(z)\bigr]dz= c_1\int\limits_{l} f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_{l}f_2(z)\,dz\,.\\ &\bold{2.}~~ \int\limits_{AB}f(z)\,dz=- \int\limits_{BA}f(z)\,dz\,.\\ &\bold{3.}~~ \int\limits_{AB}f(z)\,dz= \int\limits_{AC}f(z)\,dz+ \int\limits_{CB}f(z)\,dz\,.\\ &\bold{4.}~~ \int\limits_{AB}\|dz\|= l_{AB}.\\ &\bold{5.}~~ \left\|\int\limits_{l}f(z)\,dz \right\|\leqslant \int\limits_{l}\|f(z)\|\,\|dz\|. \end{aligned}$ в частности, $\textstyle{\left\|\int\limits_{AB}f(z)\,dz\right\|\leqslant M\cdot l_{AB}}$ , если функция ограничена по модулю на кривой $AB$ , то есть $\|f(z)\|\leqslant M,~ z\in l$ . Это свойство называется свойством оценки модуля интеграла. $\bold{6.}~~ \int\limits_{AB}dz= z_B-z_A\,.$ Формулу (2.44) можно рассматривать и как определение криволинейного интеграла от функции комплексного переменного, и как формулу его вычисления через криволинейные интегралы второго рода от функций двух действительных переменных. Для использования и запоминания формулы вычисления отметим, что равенству (2.44) соответствует формальное выполнение в левой части под знаком интеграла действий выделения действительной и мнимой части функции $f(z)$ , умножения на $dz=dx+i\,dy$ и записи полученного произведения в алгебраической форме: $\int\limits_{l}f(z)\,dz= \int\limits_{l}(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_{l}u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_{l}u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_{l}u\,dy+v\,dx\,.$ Пример 2.79. Вычислить интегралы $\int\limits_{OA}\overline{z}\,dz$ и $\int\limits_{OA}z\,dz$ , где линия $OA$ а) отрезок прямой, соединяющей точки $z_1=0$ и $z_2=1+i$ , б) ломаная $OBA$ , где $O(0;0),~ A(1;1),~ B(1;0)$ . Решение 1. Вычислим интеграл $\int\limits_{OA}\overline{z}\,dz$ . Здесь $f(z)= \overline{z}= x-iy,~ dz=dx+i\,dy$ . Записываем интеграл через криволинейные интегралы второго рода: $\int\limits_{OA}\overline{z}\,dz= \int\limits_{OA} (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_{OA} x\,dx+y\,dy+ i\int\limits_{OA}x\,dy-y\,dx\,,$ что соответствует формуле (2.44). Вычисляем интегралы: а) путь интегрирования — отрезок прямой $y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1$ , поэтому $\int\limits_{OA}\overline{z}\,dz= \int\limits_{0}^{1}2x\,dx=1$ . б) путь интегрирования — ломаная, состоящая из двух отрезков $OB= \{y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\}$ и $BA= \{x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\}$ . Поэтому, разбивая интеграл на два и производя вычисления, получаем $\int\limits_{OA}\overline{z}\,dz= \int\limits_{OB}\overline{z}\,dz+ \int\limits_{BA}\overline{z}\,dz= \int\limits_{0}^{1}x\,dx+ \int\limits_{0}^{1}y\,dy+ i\int\limits_{0}^{1} dy=1+i.$ Интеграл от функции $f(z)=\overline{z}$ зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки $O$ и $A$ . 2. Вычислим интеграл $\textstyle{\int\limits_{OA}z\,dz}$ здесь $f(z)=z=x+iy$ . Записываем интеграл через криволинейные интегралы второго рода $\int\limits_{OA}z\,dz= \int\limits_{OA}x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_{OA}x\,dy+y\,dx\,.$ Подынтегральные выражения полученных интегралов второго рода являются полными дифференциалами (см. условие (2.30)), поэтому достаточно рассмотреть один случай пути интегрирования. Так, в случае "а", где уравнение отрезка $y=x,~0 \leqslant x \leqslant1$ , получаем ответ $\int\limits_{OA}z\,dz=i \int\limits_{0}^{1}2x\,dx=i\,.$ В силу независимости интеграла от формы пути интегрирования, задание в данном случае можно сформулировать в более общем виде: вычислить интеграл $\int\limits_{l}z\,dz$ от точки $z_1=0$ до точки $z_2=1+i$ . В следующем пункте рассмотрим подробнее подобные случаи интегрирования. 2. Пусть интеграл от непрерывной функции в некоторой области не зависит от вида кривой, соединяющей две точки этой области. Зафиксируем начальную точку, обозначив $z_0$ . конечная точка — переменная, обозначим ее $z$ . Тогда значение интеграла будет зависеть только от точки $z$ , то есть $\textstyle{\int\limits_{l}f(z)\,dz}$ определяет некоторую функцию в указанной области. Ниже будет дано обоснование утверждения, что в случае односвязной области интеграл определяет в этой области однозначную функцию. Введем обозначение $\int\limits_{z_0}^{z} f(\xi)\,d\xi=F(z).$ (2.45) Функция $F(z)$ — интеграл с переменным верхним пределом. Используя определение производной, т.е. рассматривая $\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta F}{\Delta z}$ , нетрудно убедиться, что $F(z)$ имеет производную в любой точке области определения, а следовательно, является в ней аналитической. При этом для производной получим формулу $F'(z)=f(z).$ (2.46) Производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции при верхнем пределе. Из равенства (2.46), в частности, следует, что подынтегральная функция $f(z)$ в (2.45) является аналитической функцией, так как производная $F'(z)$ аналитической функции $F(z)$ по свойству таких функций (см. утверждение 2.28) — функция аналитическая. 3. Функция $F(z)$ , для которой выполняется равенство (2.46), называется первообразной для функции $f(z)$ в односвязной области, а совокупность первообразных $\Phi(z)=F(z)+c$ , где $c=\text{const}$ , — неопределенным интегралом от функции $f(z)$ . Из пунктов 2 и 3 получаем следующее утверждение. Утверждение 2.25 1. Интеграл с переменным верхним пределом $\textstyle{\int\limits_{z_0}^{z} f(\xi)\,d\xi}$ от аналитической в односвязной области функции есть функция, аналитическая в этой области; эта функция является первообразной для подынтегральной функции. 2. Любая аналитическая в односвязной области функция имеет в ней первообразную (существование первообразной). Первообразные аналитических функций в односвязных областях отыскиваются, как и в случае действительного анализа: используются свойства интегралов, таблица интегралов, правила интегрирования. Например, $\int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c.$ . Между криволинейным интегралом от аналитической функции и ее первообразной в односвязной области имеет место формула, аналогичная формуле Ньютона-Лейбница из действительного анализа: $\int\limits_{z_1}^{z_2}f(z)\,dz= \Bigl.{F(z)}\Bigr\|_{z_1}^{z_2}= F(z_2)-F(z_1).$ (2.47) 4. Как и в действительном анализе, в комплексной области рассматриваются, кроме интегралов, содержащих параметр в пределах интегрирования (формула (2.45) дает простейший пример таких интегралов), интегралы, которые зависят от параметра, содержащегося в подынтегральной функции: $\textstyle{\int\limits_{l}f(\xi,z)\,d\xi}$ . Среди таких интегралов важное место в теории и практике комплексного интегрирования и приложениях занимает интеграл вида $\textstyle{\int\limits_{l}\dfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi}$ . Полагая $f(z)$ непрерывной на линии $l$ , получаем, что для любой точки $z$ , не принадлежащей $l$ , интеграл существует и определяет в любой области, не содержащей $l$ , некоторую функцию $\frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi=F(z).$ (2.48) Интеграл (2.48) называется интегралом типа Коши; множитель $\frac{1}{2\pi\,i}$ введен для удобства использования построенной функции. Для этой функции, как и для функции, определяемой равенством (2.45), доказывается, что она является аналитической всюду в области определения. Причем в отличие от интеграла (2.45) здесь не требуется, чтобы порождающая функция $f(z)$ была аналитической, т.е. по формуле (2.48) на классе непрерывных функций комплексного переменного строится класс аналитических функций. Производная интеграла (2.48) определяется по формуле $F'(z)= \frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^2}\,d\xi\,.$ (2.49) Для доказательства формулы (2.49) и, следовательно, утверждения об аналитичности интеграла типа Коши достаточно, согласно определению производной, установить справедливость неравенства $\left\|\frac{\Delta F}{\Delta z}-F'(z)\right\|<\varepsilon,\qquad \|\Delta z\|<\delta(\varepsilon)$ для любого $\varepsilon>0$ и при любом $z$ из области определения функции $F(z)$ . Таким же методом можно показать, что существует производная от функции, определяемой равенством (2.49), т.е. $F''(z)$ , и справедлива формула $F''(z)= \frac{1}{\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^3}\,d\xi\,.$ Процедуру можно продолжить и доказать по индукции формулу для производной любого порядка от функции $F(z)\colon$ $F^{(n)}(z)= \frac{n!}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,.$ (2.50) Анализируя формулы (2.48) и (2.49), нетрудно убедиться, что производную $F(z)$ можно получить формально, производя дифференцирование по параметру под знаком интеграла в (2.48): $F'(z)= \frac{d}{dz}\! \left(\frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi\right)= \frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{d}{dz}\! \left(\frac{f(\xi)}{\xi-z}\right)\!d\xi= \frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^2}\,d\xi\,.$ Применяя формально правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра $n$ раз, получим формулу (2.50). Результаты, полученные в этом пункте, запишем в виде утверждения. Утверждение 2.26. Интеграл $\frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi$ от функции $f(z)$ , непрерывной на кривой $l$ , есть функция, аналитическая в любой области $D$ , не содержащей $l$ ; производные этой функции могут быть получены дифференцированием по параметру под знаком интеграла. Вычисление интегралов от функций комплексного переменного Выше получены формулы вычисления интегралов от функций комплексного переменного — формулы (2.44) и (2.47). Если кривую $l$ в формуле (2.44) задать параметрически: $z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta$ или, что соответствует действительной форме: $\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),\end{cases}\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ , то, используя правила вычисления интегралов второго рода в случае параметрического задания кривой, можно преобразовать формулу (2.44) к виду $\int\limits_{l}f(z)\,dz= \int\limits_{\alpha}^{\beta}f\bigl(z(t)\bigr)z'(t)\,dt\,.$ (2.51) Полученный результат и результаты, полученные в предыдущей лекции, запишем в виде последовательности действий. Способы вычисления интегралов $\textstyle{\int\limits_{l}f(z)\,dz}$ . Первый способ. Вычисление интегралов $\textstyle{\int\limits_{l}f(z)\,dz}$ от непрерывной функции путем сведения к криволинейным интегралам от функций действительных переменных — применение формулы (2.44). 1. Найти $\operatorname{Re}f(z)=u,~ \operatorname{Im}f(z)=v$ . 2. Записать подынтегральное выражение $f(z)dz$ в виде произведения $(u+iv)(dx+i\,dy)$ или, перемножая, $u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx)$ . 3. Вычислить криволинейные интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{l}P\,dx+Q\,dy}$ , где $P=P(x,y),~ Q=Q(x,y)$ по правилам вычисления криволинейных интегралов второго рода. Второй способ. Вычисление интегралов $\textstyle{\int\limits_{l} f(z)\,dz}$ от непрерывной функции путем сведения к определенному интегралу в случае параметрического задания пути интегрирования — применение формулы (2.51). 1. Записать параметрическое уравнение кривой $z=z(t)$ и из него определить пределы интегрирования: $t=\alpha$ соответствует начальной точке пути интегрирования, $t=\beta$ — конечной. 2. Найти дифференциал комплекснозначной функции $z(t)\colon\, dz=z'(t)dt$ . 3. Подставить $z(t)$ в подынтегральное выражение, преобразовать интеграл $\int\limits_{\alpha}^{\beta}f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z'(t)\,dt= \int\limits_{\alpha}^{\beta}\varphi(t)\,dt\,.$ 4. Вычислить полученный в п.3 определенный интеграл от комплекснозначной функции действительной переменной. Заметим, что интегрирование комплекснозначной функции действительной переменной не отличается от интегрирования действительнозначной функции; единственным отличием является наличие в первом случае множителя $i$ , действия с которым, естественно, рассматриваются, как с постоянной. Например, $\int\limits_{-1}^{1}e^{2it}dt= \left.{\frac{e^{2it}}{2i}}\right\|_{-1}^{1}= \frac{1}{2i}(e^{2i}-e^{-2i})= \sin2\,.$ Третий способ. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях — применение формулы (2.47). 1. Найти первообразную $F(z)$ , используя свойства интегралов, табличные интегралы и методы, известные из действительного анализа. 2. Применить формулу (2.47): $\int\limits_{z_1}^{z_2}f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1)$ . Замечания 2.10 1. В случае многосвязной области проводятся разрезы так, чтобы можно было получить однозначную функцию $F(z)$ . 2. При интегрировании однозначных ветвей многозначных функций ветвь выделяется заданием значения функции в некоторой точке кривой интегрирования. Если кривая замкнутая, то начальной точкой пути интегрирования считается та точка, в которой задано значение подынтегральной функции. Значение интеграла может зависеть от выбора этой точки. ▼ Примеры 2.80-2.86 вычисления интегралов от функций комплексного переменного Пример 2.80. Вычислить $\int\limits_{l}\operatorname{Re}z\,dz$ , где $l$ — линия, соединяющая точку $z_1=0$ с точкой $z_2=1+i\colon$ а) $l$ — прямая; б) $l$ — ломаная $OBA$ , где $O(0;0),~ B(1;0),~ A(1;1)$ . Решение а) Применяем первый способ — (формулу (2.44)). 1,2. Подынтегральное выражение имеет вид $\operatorname{Re}z\,dz= x(dx+i\,dy)$ . Поэтому $\int\limits_{l}\operatorname{Re}z\,dz= \int\limits_{l}x\,dx+ i\int\limits_{l}x\,dy\,.$ 3. Вычисляем интегралы при $y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1$ (уравнение отрезка $OA$ , соединяющего точки $z_1$ и $z_2$ ). Получаем $\int\limits_{l}\operatorname{Re}z\,dz= \int\limits_{l}x\,dx+ i\int\limits_{l}x\,dy= \int\limits_{0}^{1}x\,dx+ i\int\limits_{0}^{1}x\,dx= \frac{1+i}{2}\,.$ б) Так как путь интегрирования состоит из двух отрезков, записываем интеграл в виде суммы двух интегралов: $\int\limits_{l}\operatorname{Re}z\,dz= \int\limits_{OB}\operatorname{Re}z\,dz+ \int\limits_{BA}\operatorname{Re}z\,dz$ и каждый вычисляем, как в предыдущем пункте. При этом для отрезка $OB$ имеем $\begin{cases}y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end{cases}$ а для отрезка $BA\colon \begin{cases}x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end{cases}$ Производим вычисления: $\int\limits_{l}\operatorname{Re}z\,dz= \int\limits_{OB}x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_{BA} x\,dx+i\,x\,dy= \int\limits_{0}^{1}x\,dx+ i \int\limits_{0}^{1}1\cdot dy= \frac{1}{2}+i.$ Заметим, что подынтегральная функция в данном примере — функция не аналитическая, поэтому интегралы по двум различным кривым, соединяющим две данные точки, могут иметь разные значения, что и проиллюстрировано в этом примере. Пример 2.81. Вычислить $\int\limits_{l}\|z\| \overline{z}\,dz$ , где $l$ — верхняя полуокружность $\|z\|=1$ , обход кривой $l$ против часовой стрелки. Решение Кривая имеет простое параметрическое уравнение $z=e^{it},~ 0\leqslant t\leqslant\pi$ , поэтому удобно использовать второй способ (формулу (2.51)). Подынтегральная функция здесь — непрерывная функция, аналитической не является. 1,2. Для $z=e^{it}$ находим $\overline{z}=e^{-it},~ \|z\|=1,~ dz=i\,e^{it}dt$ . 3,4. Подставляем в подынтегральное выражение. Вычисляем интеграл $\int\limits_{l}\|z\| \overline{z}\,dz= \int\limits_{0}^{\pi}1\cdot e^{-it}\cdot i\,e^{it}dt= \int\limits_{0}^{\pi}i\,dt=i\,\pi.$ Пример 2.82. Вычислить интегралы от аналитических функций: а) $\int\limits_{0}^{i}\sin^2z\,dz$ ; б) $\int\limits_{-i}^{1}\frac{dz}{(z-i)^2}$ , путь интегрирования не проходит через точку $i$ . Решение а) Применяем формулу (2.47) (третье правило); первообразную находим, используя методы интегрирования действительного анализа: $\int\limits_{}^{}\sin^2z\,dz= \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{i}(1-\cos2z)\,dz= \left.{\frac{1}{2} \left(z-\frac{1}{2}\sin2z\right)}\right\|_{0}^{i}= \frac{1}{2}\,i-\frac{1}{4}\sin2i= \frac{1}{2}\,i-i\,\frac{\operatorname{sh}2}{4}= \frac{i}{4}(2-\operatorname{sh}2).$ б) Подынтегральная функция является аналитической всюду, кроме точки $i$ . Проведя разрез плоскости по лучу от точки $i$ до $\infty$ , получим односвязную область, в которой функция является аналитической и интеграл можно вычислить по формуле (2.47). Поэтому для любой кривой, не проходящей через точку $i$ , можно вычислить интеграл по формуле (2.47), при этом для двух заданных точек он будет иметь одно и то же значение. На рис. 2.44 показаны два случая проведения разрезов. Направление обхода границы односвязных областей, где подынтегральная функция является аналитической, указано стрелками. Вычисляем интеграл: $\int\limits_{-i}^{1}\frac{dz}{(z-i)^2}= \left.{\frac{-1}{z-i}}\right\|_{-i}^{1}= -\frac{1}{1-i}-\frac{1}{2i}=-\frac{1+i}{2}+\frac{i}{2}= -\frac{1}{2}\,.$ Пример 2.83. Вычислить интеграл $\int\limits_{0}^{1+i}z\,dz$ . Решение Подынтегральная функция — аналитическая всюду в $\mathbb{C}$ . Применяем третий способ, формулу (2.47): $\int\limits_{0}^{1+i}z\,dz= \left.{\frac{z^2}{2}}\right\|_{0}^{1+i}= \frac{1}{2}(1+i)^2=i.$ Этот результат получен в примере 2.78 согласно первому способу. Пример 2.84. Вычислить интеграл $\oint\limits_{C}\frac{dz}{(z-a)^n}$ , где $C$ — окружность $\|z-a\|=R$ . Решение Применим второй способ. 1. Записываем уравнение окружности в параметрической форме: $z-a=R\,e^{it}$ , или $z=a+R\,e^{it},~ 0\leqslant t\leqslant2\pi$ . 2. Находим дифференциал $dz=R\,i\,e^{it}\,dt$ . 3. Подставляем $z=a+R\,e^{it}$ и $dz$ в подынтегральное выражение: $\oint\limits_{C}\frac{dz}{(z-a)^n}= \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{R\,i\,e^{it}}{R^n e^{int}}\,dt= \frac{i}{R^{n-1}} \int\limits_{0}^{2\pi} e^{it(1-n)}dt\,.$ Вычисляем полученный определенный интеграл. При $n\ne1$ получаем $\int\limits_{0}^{2\pi} e^{it(1-n)}dt= \frac{1}{i(1-n)} \Bigl.{e^{it(1-n)}}\Bigr\|_{0}^{2\pi}= \frac{1}{(n-1)i} \bigl(1-e^{2\pi\,i(n-1)}\bigr).$ Так как $e^{2\pi\,i(n-1)}= e^{2k\pi\,i}=1$ , поэтому $\oint\limits_{C}\frac{dz}{(z-a)^n} =0$ при $n\ne1$ . При $n=1$ получаем $\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-a}= i\int\limits_{0}^{2\pi}dt=2\pi\,i\,.$ . Выпишем полученный результат в виде формулы: $\oint\limits_{\|z-a\|=R}\frac{dz}{(z-a)^n}=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_{\|z-a\|=R}\frac{dz}{z-a}=2\pi\,i\,.$ (2.52) В частности, $\textstyle{\oint\limits_{\|z\|=R}\frac{dz}{z}=2\pi i}$ . Заметим, что если окружность $C\colon \|z-a\|=R$ обходится точкой $k$ раз, то аргумент (параметр) изменяется от 0 до $2\pi k$ ( $k>0$ , если обход в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, и $k<0$ — обход по часовой стрелке). Поэтому $\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-a}= i \int\limits_{0}^{2\pi k}dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_{C} \frac{dz}{z}=2k\pi i.$ Пример 2.85. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного $\int\limits_{1}^{z}\frac{d\xi}{\xi}$ : а) путь интегрирования не проходит через точку $z=0$ и не обходит ее, $-\pi<\arg z \leqslant\pi$ ; б) путь интегрирования не проходит через точку $z=0$ , но обходит ее $n$ раз по окружности против часовой стрелки. Решение а) Этот интеграл — интеграл с переменным верхним пределом — определяет в любой односвязной области однозначную аналитическую функцию (см. 2.45)). Найдем аналитическое выражение этой функции — первообразной для $f(z)=\frac{1}{z}$ . Отделяя действительную и мнимую части интеграла $\int\limits_{l}\frac{dz}{z}$ (применяя формулу (2.44)), нетрудно убедится, что подынтегральные выражения интегралов второго рода являются полными дифференциалами и, следовательно, интеграл $\frac{d\xi}{\xi}$ не зависит от вида кривой, соединяющей точки $z_1=1$ и $z$ . Выберем путь, состоящий из отрезка оси $Ox$ от точки $z_1=1$ до точки $z_2=r$ , где $r=\|z\|$ , и дуги $l$ окружности. соединяющей $z_2$ с $z$ (рис. 2.45,а). Интеграл запишем в виде суммы: $\int\limits_{1}^{z} \frac{d\xi}{\xi}= \int\limits_{1}^{r} \frac{dx}{x}+ \int\limits_{l}\frac{d\xi}{\xi}$ . Для вычисления интеграла по дуге окружности применяем формулу (2.51), дуга при этом имеет уравнение $\xi=r\,e^{it},~ 0\leqslant t\leqslant\arg z$ . Получаем $\int\limits_{l}\frac{d\xi}{\xi}= \int\limits_{0}^{\arg z} \frac{ri\,e^{it}}{r\,e^{it}}\,dt=i\arg z$ ; в результате $\int\limits_{1}^{z}\frac{d\xi}{\xi}=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi$ Правая часть равенства определяет однозначную функцию $\ln z$ — главное значение логарифма. Ответ получаем в виде $\int\limits_{1}^{z}\frac{d\xi}{\xi}=\ln z\,.$ (2.53) Заметим, что полученное равенство можно принять за определение однозначной функции $\ln z$ в односвязной области — плоскости с разрезом по отрицательной действительной полуоси $(-\infty;0]data:image/png;base64,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[/img-math].</p><br /><p>б) Интеграл можно записать в виде суммы: [img-math]\int\limits_{1}^{z}\frac{d\xi}{\xi}= \oint\limits_{c} \frac{dz}{z}+ \int\limits_{l}\frac{d\xi}{\xi}$ , где $c$ — n-раз пробегаемая против часовой стрелки окружность $\|z\|=1$ , а $l$ — кривая, соединяющая точки $z_1$ и $z$ и не охватывающая точку $z=0$ (рис. 2.45,б). Первое слагаемое равно $2n\pi i$ (см. пример 2.84), второе — $\ln{z}$ — формула (2.53). Получаем результат $\int\limits_{1}^{z}\frac{d\xi}{\xi}=\ln z+2n\pi i$ . Пример 2.86. Вычислить интеграл $\int\limits_{l}\frac{dz}{\sqrt{z}}$ по верхней дуге окружности $\|z\|=1$ при условии: a) $\sqrt{1}=1$ ; б) $\sqrt{1}=-1$ . Решение Задание значений функции $\sqrt{z}$ в точке контура интегрирования позволяет выделить однозначные ветви выражения $\sqrt{z}= \sqrt{\|z\|}\exp\!\left(\frac{i}{2}\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1$ (см. пример 2.6). Разрез можно провести, например, по мнимой отрицательной полуоси. Так как при $z=1$ имеем $\sqrt{1}=e^{ik\pi},~k=0;1$ , то в первом случае выделяется ветвь с $k=0$ , во втором — с $k=1$ . Подынтегральная функция на контуре интегрирования непрерывна. Для решения используем формулу (2.51), кривую задаем уравнением $z=e^{it},~0\leqslant t\leqslant\pi$ . а) Ветвь определяется при $k=0$ , т.е. из $z=e^{it}$ для подынтегральной функции получаем $\sqrt{z}=e^{\frac{i}{2}t}$ . Вычисляем интеграл: $\int\limits_{l}\frac{dz}{\sqrt{z}}= \int\limits_{0}^{\pi} \frac{i\,e^{it}}{e^{i\,\frac{t}{2} }}\,dt= i \int\limits_{0}^{\pi}e^{i\,\frac{t}{2}}dt= \Bigl.{2\,e^{i\,\frac{t}{2}}}\Bigr\|_{0}^{\pi}= 2\! \left(e^{i\,\frac{\pi}{2}}-1\right)= 2(i-1).$ б) Ветвь определяется при $k=1$ , т.е. из $z=e^{it}$ для подынтегральной функции имеем $\sqrt{z}= e^{i \left(\frac{t}{2}+\pi\right)}=-e^{i\,\frac{t}{2}}$ . Вычисляем интеграл: $\int\limits_{l}\frac{dz}{\sqrt{z}}= \int\limits_{0}^{\pi}\frac{i\,e^{it}}{-e^{i\,\frac{t}{2}}}\,dt= \ldots= 2(1-i).$ В теории и практике, в приложениях интегрального исчисления функций комплексного переменного, при исследовании поведения функций в ограниченных областях или в окрестностях отдельных точек рассматриваются интегралы по замкнутым кривым — границам областей, в частности окрестностей точек. Будем рассматривать интегралы $\oint\limits_{C}f(z)dz$ , где $f(z)$ — аналитическая в некоторой с области, за исключением отдельных точек, $C$ — граница области или внутренний контур в этой области. Основная теорема Коши для простого контура Теорема 2.1 (теорема Коши для простого контура). Если $f(z)$ аналитическая в односвязной области, то для любого контура $C$ , принадлежащего этой области, справедливо равенство $\oint\limits_{C}f(z)dz=0.$ (2.54) Доказательство теоремы нетрудно получить, опираясь на свойство аналитических функций, согласно которому аналитическая функция имеет производные любого порядка (см. утверждение 2.28). Это свойство обеспечивает непрерывность частных производных от $\operatorname{Re}f(z)$ и $\operatorname{Im}f(z)$ , поэтому, если использовать формулу (2.44), то легко видеть, что для каждого из подынтегральных выражений в криволинейных интегралах второго рода выполняются условия полного дифференциала, как условия Коши-Римана аналитических функций. А интегралы по замкнутым кривым от полных дифференциалов равны нулю. Заметим, что все теоретические положения, излагаемые ниже, опираются в конечном счете на эту важную теорему, в том числе и упомянутое выше свойство аналитических функций. Чтобы не было сомнения в корректности изложения, заметим, что теорема может быть доказана без ссылки на существование ее производных только на основании определения аналитической функции. Следствия из теоремы 2.1 1. Теорема справедлива и в случае, если $C$ — граница области $D$ , а функция $f(z)$ является аналитической в области и на границе, т.е. в $\overline{D}$ , так как, согласно определению, аналитичность в $\overline{D}$ предполагает аналитичность функции в некоторой области $B$ , содержащей $D~(B\supset\overline{D})$ , а $C$ при этом будет внутренним контуром в $B$ . 2. Интегралы по различным кривым, лежащим в односвязной области аналитичности функции и соединяющим две точки этой области, равны между собой, т.е. $\int\limits_{l_1}f(z)dz= \int\limits_{l_2}f(z)dz$ , где $l_1$ и $l_2$ — произвольные кривые, соединяющие точки $z_1$ и $z_2$ (рис. 2.46). Для доказательства достаточно рассмотреть контур $C$ , состоящий из кривой $l_1$ (от точки $z_1$ к точке $z_2$ ) и кривой $l_2$ (от точки $z_2$ к точке $z_1$ ). Свойство можно сформулировать следующим образом. Интеграл от аналитической функции не зависит от вида кривой интегрирования, соединяющей две точки области аналитичности функции и не выходящей из этой области. Это дает обоснование данного выше утверждения 2.25 о свойствах интеграла $\int\limits_{z_0}^{z}f(\xi)d\xi$ и о существовании первообразной аналитической функции. Теорема Коши для сложного контура Теорема 2.2 (теорема Коши для сложного контура). Если функция $f(z)$ является аналитической в многосвязной области, ограниченной сложным контуром, и на этом контуре, то интеграл по границе области от функции равен нулю, т.е., если $C$ — сложный контур — граница области, то справедлива формула (2.54). Сложный контур $C$ для $(n+1)$ — связной области состоит из внешнего контура $\Gamma$ и внутренних — $C_i,~i=1,2,\ldots,n$ ; контуры попарно не пересекаются, обход границы — положительный (на рис.2.47, $n=3$ ). Для доказательства теоремы 2.2 достаточно провести в области разрезы (на рис. 2.47 пунктир) так, чтобы получились две односвязные области и воспользоваться теоремой 2.1. Следствия из теоремы 2.2 1. При выполнении условий теоремы 2.2 интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним; обход на всех контурах в одну сторону (на рис. 2.48, $n=2$ ): $\oint\limits_{\Gamma}f(z)\,dz= \sum_{k=1}^{n} \oint\limits_{C_k}f(z)\,dz\,.$ (2.55) 2. Если $f(z)$ является аналитической в односвязной области $D$ и на границе области, за исключением, быть может, точки $a$ этой области, то интегралы по различным замкнутым кривым, которые лежат в области $D$ и ограничивают области, содержащие точку $a$ , равны между собой (рис. 2.49): $\oint\limits_{C_k}f(z)\,dz= \oint\limits_{C_m}f(z)\,dz\,.$ (2.56) Доказательство очевидно, поскольку каждый такой контур можно рассматривать как внутреннюю границу двусвязной области, внешней границей которой является граница области $D$ . В соответствии с формулой (2.55) при $n=1$ любой такой интеграл равен интегралу по границе $D$ . Сравнение формулировок теоремы 2.2 и следствия 1 из теоремы 2.1 позволяет сделать обобщение, которое запишем в виде следующего утверждения. Утверждение 2.27. Если $f(z)$ аналитическая в $D$ , то $\oint\limits_{C}f(z)\,dz=0$ , где $C$ — граница области $D$ (простой или сложный контур). Интегральная формула Коши В следующей теореме, в отличие от двух предыдущих, рассматривается интеграл от функции, которая, не являясь аналитической в области, ограниченной контуром интегрирования, имеет специальный вид. Теорема 2.3. Если функция $f(z)$ является аналитической в области $D$ и на ее границе $C$ , то для любой внутренней точки $a$ области $(a\in D)$ имеет место равенство $f(a)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(z)}{z-a}\,dz\,.$ (2.57) Область $D$ может быть односвязной или многосвязной, а граница области -простым или сложным контуром. Доказательство для случая односвязной области опирается на результат теоремы 2.1, а для многосвязной — приводится к случаю односвязных областей (как при доказательстве теоремы 2.2) путем проведения разрезов, не проходящих через точку $a$ . Следует обратить внимание на то, что точка а не принадлежит границе области и поэтому подынтегральная функция является непрерывной на $C$ и интеграл существует. Теорема представляет собой важный прикладной интерес, а именно по формуле (2.57) решается так называемая краевая задача теории функций: по значениям функции на границе области определяется ее значение в любой внутренней точке. Замечание 2.11. В условиях теоремы интеграл $\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{\xi-a}\,d\xi$ определяет аналитическую функцию в любой точке $z$ , не принадлежащей контуру $C$ , причем в точках конечной области $D$ , ограниченной контуром, он равен $f(z)$ (по формуле (2.57)), а вне $\overline{D}$ — равен нулю в силу оснований теоремы Коши. Этот интеграл, называемый интегралом Коши, является частным случаем интеграла типа Коши (2.48). Здесь контур замкнутый, в отличие от произвольного в (2.48), а функция $f(z)$ является аналитической, в отличие от непрерывной на $l$ в (2.48). Для интеграла Коши, следовательно, справедливо сформулированное для интеграла типа Коши утверждение 2.26 о существовании производных. Можно сформулировать на основании этого следующее утверждение. Утверждение 2.28 1. Аналитическая функция в любой точке аналитичности может быть записана в виде интеграла $f(z)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi,\quad z\in D\,.$ (2.58) 2. Аналитическая функция имеет производные любого порядка, для которых справедлива формула $f^{(n)}(z)= \frac{n!}{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,.$ (2.59) Формула (2.59) дает интегральное представление производных аналитической функции. Вычисление интегралов по замкнутому контуру Будем рассматривать интегралы вида $\oint\limits_{C}\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\,dz$ , где функция $\varphi(z)$ аналитическая в $D$ , а $\psi(z)$ — многочлен, не имеющий нулей на контуре $C$ . Для вычисления интегралов применяются теоремы из предыдущей лекции и следствия из них. Правило 2.6. При вычислении интегралов вида $\oint\limits_{C}f(z)\,dz$ в зависимости от характера (кратности) нулей многочлена $\psi(z)$ и их расположения относительно контура $C$ можно выделить четыре случая. 1. В области $D$ нет нулей многочлена $\psi(z)$ . Тогда $f(z)= \frac{\varphi(z)}{\psi(z)}$ функция аналитическая и, применяя основную теорему Коши, имеем результат $\oint\limits_{C}f(z)\,dz=0$ . 2. В области $D$ расположен один простой нуль $z=a$ многочлена $\psi(z)$ . Тогда записываем дробь в виде $\frac{f(z)}{z-a}$ , где $f(z)$ — функция, аналитическая в $\overline{D}$ . Применяя интегральную формулу, получаем результат: $\oint\limits_{C}\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\,dz= \oint\limits_{C}\frac{f(z)}{z-a}\,dz= 2\pi i\cdot f(a).$ (2.60) 3. В области $D$ расположен один кратный нуль $z=a$ многочлена $\psi(z)$ (кратности $n$ ). Тогда записываем дробь в виде $\frac{f(z)}{(z-a)^n}$ , где $f(z)$ — функция, аналитическая в $\overline{D}$ . Применяя формулу (2.59), получаем результат $\oint\limits_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^n}\,dz= \frac{2\pi i}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a).$ 4. В области $D$ расположены два нуля многочлена $\psi(z)\colon\,z_1=a$ и $z_2=b$ . Тогда, используя следствие 1 из теоремы 2.2, запишем интеграл в виде $\oint\limits_{C}f(z)\,dz= \oint\limits_{C_1}f(z)\,dz+ \oint\limits_{C_2} f(z)\,dz\,,$ где $C_1$ и $C_2$ — границы непересекающихся окрестностей точек $z_1$ и $z_2$ . Для каждого из полученных интегралов проводим далее вычисления в соответствии с пунктами 2 и 3. Очевидно, можно рассмотреть и случаи большего числа нулей $\psi(z)$ в области $D$ . ▼ Примеры 2.87-2.94 вычисления интегралов по замкнутому контуру Пример 2.87. Вычислить $\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-a}$ , где $C$ — произвольный контур, ограничивающий область, содержащую точку $a$ . Решение Рассмотрим двусвязную область, одна граница которой — контур $C$ , другая — окружность $\|z-a\|=R$ . По следствию 2 из теоремы 2.2 (см. (2.56)) имеем $\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-a}= \oint\limits_{\|z-a\|=R}\frac{dz}{z-a}\,.$ Учитывая результат решения примера 2.84 (формула (2.52)), получаем ответ $\oint\limits_{C} \frac{dz}{z-a}=2\pi i$ . Заметим, что решение можно получить, применив интегральную формулу Коши с $f(z)=1$ . В частности, получаем $\oint\limits_{C}\frac{dz}{z}=2\pi i$ , так как контур $C$ один раз обходит точку $z=0$ . Если контур $C$ обходит точку $z=0$ $k$ раз в положительном $(k>0)$ или отрицательном направлении $(k<0)$ , то $\oint\limits_{C}\frac{dz}{z}=2k\pi i$ . Пример 2.88. Вычислить $\oint\limits_{l}\frac{dz}{z}$ , где $l$ — кривая, соединяющая точки 1 и $z$ , один раз обходящая начало координат. Решение Подынтегральная функция непрерывна на кривой — интеграл существует. Для вычисления используем результаты предыдущего примера и примера 2.85. Для этого рассмотрим замкнутый контур, соединив, например, точку $A$ с точкой 1 (рис. 2.50). Путь интегрирования из точки 1 в точку $z$ через точку $A$ можно представить теперь состоящим из двух кривых — замкнутого контура $C$ (кривая $BDEFAB$ ) и кривой $l_0$ , соединяющей точки 1 и $z$ через точку $A\colon$ $\oint\limits_{l}\frac{dz}{z}= \oint\limits_{C}\frac{dz}{z}+ \oint\limits_{l_0} \frac{dz}{z}\,.$ Используя результаты примеров 2.85 и 2.87, получаем ответ: $\oint\limits_{l}\frac{dz}{z}= \int\limits_{1}^{z}\frac{1}{z}=\ln z+2\pi i\,.$ Без изменения геометрической картинки, можно рассмотреть случай, когда кривая $n$ раз обходит начало координат. Получим результат $\oint\limits_{l}\frac{dz}{z}= \int\limits_{1}^{z}\frac{1}{z}=\ln z+2n\pi i\,.$ Полученное выражение определяет многозначную функцию $\operatorname{Ln}z= \int\limits_{1}^{z}\frac{dz}{z}$ , путь интегрирования не проходит через начало координат. Выбор ветви многозначного выражения определяется заданием значения функции в некоторой точке. Пример 2.89. Найти $\ln2i= \int\limits_{1}^{2i}\frac{1}{z}$ , если $\ln1=4\pi i$ . Решение Из формулы $\operatorname{Ln}z= \ln z+2n\pi i=\ln\|z\|+i(\arg z+2k\pi)$ при $z=1$ получаем $\operatorname{Ln}1=2k\pi i$ , а учитывая условие, находим $k=2$ . Поэтому $\ln2i= \left.{\ln2+i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}\right\|_{k=2}= ln2+ i\left(4k\pi+ \frac{\pi}{2}\right)\!.$ Пример 2.90. Вычислить $\oint\limits_{C}\frac{\sin z}{z^3+16z}\,dz$ в следующих случаях задания контура $C\colon$ а) $\|z-2-i\|=2$ ; б) $\|z+2i\|=1$ . Решение Находим нули знаменателя — особые точки подынтегральной функции. Это точки $z_1=0,~ z_{2,3}=\pm4i$ . Далее нужно определить расположение точек относительно контура интегрирования. В обоих случаях ни одна из точек не входит в область, ограниченную контуром. В этом можно убедиться, использовав чертеж. Оба контура — окружности, центр первой $z_0=2+i$ и радиус $R=2$ ; центр второй $z_0=-2i$ и $R=1$ . Можно определить принадлежность точки области иначе, а именно определить ее расстояние от центра круга и сравнить с величиной радиуса. Например, для точки $z_2=4i$ это расстояние равно $\|4i-2-i\|=\|3i-2\|=\sqrt{13}$ , что больше радиуса $(\sqrt{13}>2)$ , поэтому $z_2=4i$ не принадлежит кругу $\|z-2-i\|<2$ . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек — нулей знаменателя. Пример 2.91. Вычислить $\oint\limits_{C}\frac{\sin z}{z^3+16z}\,dz$ в следующих случаях задания контура $C\colon$ а) $\|z\|=2$ ; б) $\|z+1+i\|=2$ . Решение Рассуждая, как в предыдущем примере, находим, что в обоих случаях внутри кругов расположена только одна из особых точек $z_1=0$ . Поэтому, применяя п.2 правил 2.6 (интегральная формула Коши) , записываем подынтегральную функцию в виде дроби $\frac{1}{z}\cdot \frac{\sin z}{z^2+16}$ , где числитель $f(z)= \frac{\sin z}{z^2+16}$ — функция, аналитическая в указанных кругах. Ответ для обоих случаев одинаковый: $\oint\limits_{C}\frac{\sin z}{z(z^2+16)}\,dz= \left.{2\pi i \cdot \frac{\sin z}{z^2+16}}\right\|_{z=0}=0.$ Пример 2.92. Вычислить $\oint\limits_{C}\frac{\sin z}{z^3+16z}\,dz$ в следующих случаях задания контура $C\colon$ а) $\|z+4i\|=2$ ; б) $\|z-1+3i\|=2$ . Решение Контуры интегрирования — окружности, как и выше, причем в случае "а" центр находится в точке $z_0=-4i,~R=2$ , в случае "б" — в точке $z_0=1-3i,~R=2$ .nВ обоих случаях внутрь соответствующих кругов попадает одна точка $z_0=-4i$ . Применяя п.2 правил 2.6, записываем подынтегральную функцию в виде $\frac{1}{z+4i}\frac{\sin z}{z(z-4i)}$ , где числитель $f(z)=\frac{\sin z}{z(z-4i)}$ является аналитической функцией в рассматриваемых областях. Применяя интегральную формулу, получаем ответ: $\oint\limits_{C}\frac{\sin z}{z^3+16z}\,dz= \left.{2\pi i\cdot \frac{\sin z}{z(z-4i)}}\right\|_{z=-4i}= 2\pi i\cdot \frac{-\sin4i}{-32}= \frac{\pi i\cdot i \operatorname{sh}1}{16}=-\frac{\pi \operatorname{sh}1}{16}\,.$ Пример 2.93. Вычислить интеграл $\oint\limits_{C}\frac{e^z\,dz}{(z-i)^2(z+2)}$ в следующих случаях задания контура: а) $\|z+i\|=1$ ; б) $\|z+2+i\|=2$ . Решение Находим особые точки подынтегральной функции — нули знаменателя $z_1=i,~z_2=-2$ . Определяем принадлежность точек соответствующим областям. В случае "а" в круг $\|z+i\|<1$ не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю. В случае "б" в круг $\|z+2+i\|<2$ радиуса 2 с центром в точке $z_0=-2-i$ входит одна точка: $z=-2$ . Записываем дробь в виде $\frac{1}{z+2}\frac{e^z}{(z-i)^2}$ , где $f(z)=\frac{e^z}{(z-i)^2}$ — аналитическая функция в круге $\|z+2+i\|<2$ . Вычисляем интеграл: $\oint\limits_{C}\frac{e^z\,dz}{(z-i)^2(z+2)}= 2\pi i\cdot \frac{e^{-2}}{(2+i)^2}= \frac{2\pi}{25}e^{-2}(4+3i).$ Пример 2.94. Вычислить интеграл $\oint\limits_{C}\frac{e^z\,dz}{(z-i)^2(z+2)}$ в следующих случаях задания контура: а) $\|z-i\|=2$ ; б) $\|z+2-i\|=3$ . Решение а) В круг $\|z-i\|<2$ попадает точка $z=i$ . Записываем функцию $\frac{1}{(z-i)^2}\frac{e^z}{z+2}$ и применяем п.3 правил 2.6 при $m=2$ и $a=i$ . Вычисляем интеграл: $\oint\limits_{C}\frac{e^z\,dz}{(z-i)^2(z+2)}= \left.{2\pi i \left(\frac{e^z}{z+ 2}\right)'}\right\|_{z=i}= \left.{2\pi i\cdot \frac{e^z(z+2)-e^z}{(z+2)^2}}\right\|_{z=i}= \left.{2\pi i\cdot \frac{e^z(1+z)}{(z+2)^2}}\right\|_{z=i}= \frac{2\pi i(1+i)}{(2+i)^2}\,e^{i}.$ б) В круг $\|z+2-i\|<3$ входят обе точки $z_1=i,~z_2=-2$ . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов: $\oint\limits_{C}f(z)\,dz= \oint\limits_{C_1}f(z)\,dz+ \oint\limits_{C_2} f(z)\,dz\,.$ где каждый из контуров $C_1$ и $C_2$ охватывает только одну из точек. В частности, в качестве контура $C_1$ можно взять окружность из предыдущего случая "а"; $C_2$ — окружность из примера 2.93 п. "б", т.е. можно воспользоваться полученными результатами. Записываем ответ: $\oint\limits_{C}\frac{e^z\,dz}{(z-i)^2(z+2)}= 2\pi i\cdot \frac{e^{-2}}{(2+i)^2}+ 2\pi i\cdot \frac{1+i}{(2+i)^2}\,e^{i}= \frac{2\pi i}{(2+i)^2}\bigl(e^{-2}+e^{i}(1+i)\bigr).$ Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Интегрирование функций комплексного переменного

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Интегрирование функций комплексного переменного

Основные понятия

1. Понятие интеграла от функции комплексного переменного вводится (так же, как и в действительной области) как предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой $l$ , кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

$\int\limits_{l}f(z)\,dz= \lim_{\lambda\to0} \sum_{k=1}^{n}\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr),\qquad\quad (2.43)$

где $x_k$ — точка, выбранная на дуге $\Delta l_k$ разбиения кривой; $\Delta z_k$ — приращение аргумента функции на этом участке разбиения, $\lambda= \max_{k}|\Delta z_k|$ — шаг разбиения, $|\Delta z_k|$ — длина хорды, соединяющей концы дуги $\Delta l_k$ ; кривая $l$ разбивается произвольным образом на $n$ частей $\Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n$ . На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки. В случае замкнутой кривой $\textstyle{\left(\int\limits_{l} f(z)dz= \oint\limits_{c}f(z)dz\right)}$ интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром.

Формула (2.43) определяет криволинейный интеграл от функции комплексного переменного. Если выделить действительную и мнимую части функции $f(z)$ , т.е. записать ее в виде

$f(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatorname{Re}f(z),\quad v=\operatorname{Im}f(z),\qquad u=u(x,y),\quad v=v(x,y),$

то интегральную сумму можно записать в виде двух слагаемых, которые будут являться интегральными суммами криволинейных интегралов второго рода от функций двух действительных переменных. Если $f(z)$ предположить непрерывной на $l$ , то $u(x,y),~ v(x,y)$ будут также непрерывны на $l$ , и, следовательно, будут существовать пределы соответствующих интегральных сумм. Поэтому, если функция $f(z)$ непрерывна на $l$ , то предел в равенстве (2.43) существует, т.е. существует криволинейный интеграл от функции $f(z)$ по кривой $l$ и имеет место формула

$\int\limits_{l}f(z)\,dz= \int\limits_{l}u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_{l}u\,dy+v\,dx\,.$

(2.44)

Используя определение интеграла или формулу (2.44) и свойства криволинейных интегралов второго рода, нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств криволинейного интеграла от функций комплексного переменного (свойства, известные из действительного анализа).

$\begin{aligned}&\bold{1.}~~ \int\limits_{l}\bigl[c_1f_1(z)+ c_2f_2(z)\bigr]dz= c_1\int\limits_{l} f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_{l}f_2(z)\,dz\,.\\ &\bold{2.}~~ \int\limits_{AB}f(z)\,dz=- \int\limits_{BA}f(z)\,dz\,.\\ &\bold{3.}~~ \int\limits_{AB}f(z)\,dz= \int\limits_{AC}f(z)\,dz+ \int\limits_{CB}f(z)\,dz\,.\\ &\bold{4.}~~ \int\limits_{AB}|dz|= l_{AB}.\\ &\bold{5.}~~ \left|\int\limits_{l}f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_{l}|f(z)|\,|dz|. \end{aligned}$

в частности, $\textstyle{\left|\int\limits_{AB}f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_{AB}}$ , если функция ограничена по модулю на кривой $AB$ , то есть $|f(z)|\leqslant M,~ z\in l$ . Это свойство называется свойством оценки модуля интеграла.

$\bold{6.}~~ \int\limits_{AB}dz= z_B-z_A\,.$

Формулу (2.44) можно рассматривать и как определение криволинейного интеграла от функции комплексного переменного, и как формулу его вычисления через криволинейные интегралы второго рода от функций двух действительных переменных.

Для использования и запоминания формулы вычисления отметим, что равенству (2.44) соответствует формальное выполнение в левой части под знаком интеграла действий выделения действительной и мнимой части функции $f(z)$ , умножения на $dz=dx+i\,dy$ и записи полученного произведения в алгебраической форме:

$\int\limits_{l}f(z)\,dz= \int\limits_{l}(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_{l}u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_{l}u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_{l}u\,dy+v\,dx\,.$

Пример 2.79. Вычислить интегралы $\int\limits_{OA}\overline{z}\,dz$ и $\int\limits_{OA}z\,dz$ , где линия $OA$

а) отрезок прямой, соединяющей точки $z_1=0$ и $z_2=1+i$ ,
б) ломаная $OBA$ , где $O(0;0),~ A(1;1),~ B(1;0)$ .

Решение

1. Вычислим интеграл $\int\limits_{OA}\overline{z}\,dz$ . Здесь $f(z)= \overline{z}= x-iy,~ dz=dx+i\,dy$ . Записываем интеграл через криволинейные интегралы второго рода:

$\int\limits_{OA}\overline{z}\,dz= \int\limits_{OA} (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_{OA} x\,dx+y\,dy+ i\int\limits_{OA}x\,dy-y\,dx\,,$

что соответствует формуле (2.44). Вычисляем интегралы:

а) путь интегрирования — отрезок прямой $y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1$ , поэтому $\int\limits_{OA}\overline{z}\,dz= \int\limits_{0}^{1}2x\,dx=1$ .

б) путь интегрирования — ломаная, состоящая из двух отрезков $OB= \{y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\}$ и $BA= \{x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\}$ . Поэтому, разбивая интеграл на два и производя вычисления, получаем

$\int\limits_{OA}\overline{z}\,dz= \int\limits_{OB}\overline{z}\,dz+ \int\limits_{BA}\overline{z}\,dz= \int\limits_{0}^{1}x\,dx+ \int\limits_{0}^{1}y\,dy+ i\int\limits_{0}^{1} dy=1+i.$

Интеграл от функции $f(z)=\overline{z}$ зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки $O$ и $A$ .

2. Вычислим интеграл $\textstyle{\int\limits_{OA}z\,dz}$ здесь $f(z)=z=x+iy$ . Записываем интеграл через криволинейные интегралы второго рода

$\int\limits_{OA}z\,dz= \int\limits_{OA}x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_{OA}x\,dy+y\,dx\,.$

Подынтегральные выражения полученных интегралов второго рода являются полными дифференциалами (см. условие (2.30)), поэтому достаточно рассмотреть один случай пути интегрирования. Так, в случае "а", где уравнение отрезка $y=x,~0 \leqslant x \leqslant1$ , получаем ответ

$\int\limits_{OA}z\,dz=i \int\limits_{0}^{1}2x\,dx=i\,.$

В силу независимости интеграла от формы пути интегрирования, задание в данном случае можно сформулировать в более общем виде: вычислить интеграл

$\int\limits_{l}z\,dz$ от точки $z_1=0$ до точки $z_2=1+i$ .

В следующем пункте рассмотрим подробнее подобные случаи интегрирования.

2. Пусть интеграл от непрерывной функции в некоторой области не зависит от вида кривой, соединяющей две точки этой области. Зафиксируем начальную точку, обозначив $z_0$ . конечная точка — переменная, обозначим ее $z$ . Тогда значение интеграла будет зависеть только от точки $z$ , то есть $\textstyle{\int\limits_{l}f(z)\,dz}$ определяет некоторую функцию в указанной области.

Ниже будет дано обоснование утверждения, что в случае односвязной области интеграл определяет в этой области однозначную функцию. Введем обозначение

$\int\limits_{z_0}^{z} f(\xi)\,d\xi=F(z).$

(2.45)

Функция $F(z)$ — интеграл с переменным верхним пределом.

Используя определение производной, т.е. рассматривая $\lim_{\Delta z\to0}\frac{\Delta F}{\Delta z}$ , нетрудно убедиться, что $F(z)$ имеет производную в любой точке области определения, а следовательно, является в ней аналитической. При этом для производной получим формулу

$F'(z)=f(z).$

(2.46)

Производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции при верхнем пределе.

Из равенства (2.46), в частности, следует, что подынтегральная функция $f(z)$ в (2.45) является аналитической функцией, так как производная $F'(z)$ аналитической функции $F(z)$ по свойству таких функций (см. утверждение 2.28) — функция аналитическая.

3. Функция $F(z)$ , для которой выполняется равенство (2.46), называется первообразной для функции $f(z)$ в односвязной области, а совокупность первообразных $\Phi(z)=F(z)+c$ , где $c=\text{const}$ , — неопределенным интегралом от функции $f(z)$ .

Из пунктов 2 и 3 получаем следующее утверждение.

Утверждение 2.25

1. Интеграл с переменным верхним пределом $\textstyle{\int\limits_{z_0}^{z} f(\xi)\,d\xi}$ от аналитической в односвязной области функции есть функция, аналитическая в этой области; эта функция является первообразной для подынтегральной функции.

2. Любая аналитическая в односвязной области функция имеет в ней первообразную (существование первообразной).

Первообразные аналитических функций в односвязных областях отыскиваются, как и в случае действительного анализа: используются свойства интегралов, таблица интегралов, правила интегрирования.

Например, $\int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c.$ .

Между криволинейным интегралом от аналитической функции и ее первообразной в односвязной области имеет место формула, аналогичная формуле Ньютона-Лейбница из действительного анализа:

$\int\limits_{z_1}^{z_2}f(z)\,dz= \Bigl.{F(z)}\Bigr|_{z_1}^{z_2}= F(z_2)-F(z_1).$

(2.47)

4. Как и в действительном анализе, в комплексной области рассматриваются, кроме интегралов, содержащих параметр в пределах интегрирования (формула (2.45) дает простейший пример таких интегралов), интегралы, которые зависят от параметра, содержащегося в подынтегральной функции: $\textstyle{\int\limits_{l}f(\xi,z)\,d\xi}$ . Среди таких интегралов важное место в теории и практике комплексного интегрирования и приложениях занимает интеграл вида $\textstyle{\int\limits_{l}\dfrac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi}$ .

Полагая $f(z)$ непрерывной на линии $l$ , получаем, что для любой точки $z$ , не принадлежащей $l$ , интеграл существует и определяет в любой области, не содержащей $l$ , некоторую функцию

$\frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi=F(z).$

(2.48)

Интеграл (2.48) называется интегралом типа Коши; множитель $\frac{1}{2\pi\,i}$ введен для удобства использования построенной функции.

Для этой функции, как и для функции, определяемой равенством (2.45), доказывается, что она является аналитической всюду в области определения. Причем в отличие от интеграла (2.45) здесь не требуется, чтобы порождающая функция $f(z)$ была аналитической, т.е. по формуле (2.48) на классе непрерывных функций комплексного переменного строится класс аналитических функций. Производная интеграла (2.48) определяется по формуле

$F'(z)= \frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^2}\,d\xi\,.$

(2.49)

Для доказательства формулы (2.49) и, следовательно, утверждения об аналитичности интеграла типа Коши достаточно, согласно определению производной, установить справедливость неравенства

$\left|\frac{\Delta F}{\Delta z}-F'(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)$

для любого $\varepsilon>0$ и при любом $z$ из области определения функции $F(z)$ .

Таким же методом можно показать, что существует производная от функции, определяемой равенством (2.49), т.е. $F''(z)$ , и справедлива формула

$F''(z)= \frac{1}{\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^3}\,d\xi\,.$

Процедуру можно продолжить и доказать по индукции формулу для производной любого порядка от функции $F(z)\colon$

$F^{(n)}(z)= \frac{n!}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,.$

(2.50)

Анализируя формулы (2.48) и (2.49), нетрудно убедиться, что производную $F(z)$ можно получить формально, производя дифференцирование по параметру под знаком интеграла в (2.48):

$F'(z)= \frac{d}{dz}\! \left(\frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi\right)= \frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{d}{dz}\! \left(\frac{f(\xi)}{\xi-z}\right)\!d\xi= \frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^2}\,d\xi\,.$

Применяя формально правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра $n$ раз, получим формулу (2.50).

Результаты, полученные в этом пункте, запишем в виде утверждения.

Утверждение 2.26. Интеграл $\frac{1}{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi$ от функции $f(z)$ , непрерывной на кривой $l$ , есть функция, аналитическая в любой области $D$ , не содержащей $l$ ; производные этой функции могут быть получены дифференцированием по параметру под знаком интеграла.

Вычисление интегралов от функций комплексного переменного

Выше получены формулы вычисления интегралов от функций комплексного переменного — формулы (2.44) и (2.47).

Если кривую $l$ в формуле (2.44) задать параметрически: $z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta$ или, что соответствует действительной форме: $\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),\end{cases}\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ , то, используя правила вычисления интегралов второго рода в случае параметрического задания кривой, можно преобразовать формулу (2.44) к виду

$\int\limits_{l}f(z)\,dz= \int\limits_{\alpha}^{\beta}f\bigl(z(t)\bigr)z'(t)\,dt\,.$

(2.51)

Полученный результат и результаты, полученные в предыдущей лекции, запишем в виде последовательности действий.

Способы вычисления интегралов $\textstyle{\int\limits_{l}f(z)\,dz}$ .

Первый способ. Вычисление интегралов $\textstyle{\int\limits_{l}f(z)\,dz}$ от непрерывной функции путем сведения к криволинейным интегралам от функций действительных переменных — применение формулы (2.44).

1. Найти $\operatorname{Re}f(z)=u,~ \operatorname{Im}f(z)=v$ .

2. Записать подынтегральное выражение $f(z)dz$ в виде произведения $(u+iv)(dx+i\,dy)$ или, перемножая, $u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx)$ .

3. Вычислить криволинейные интегралы вида $\textstyle{\int\limits_{l}P\,dx+Q\,dy}$ , где $P=P(x,y),~ Q=Q(x,y)$ по правилам вычисления криволинейных интегралов второго рода.

Второй способ. Вычисление интегралов $\textstyle{\int\limits_{l} f(z)\,dz}$ от непрерывной функции путем сведения к определенному интегралу в случае параметрического задания пути интегрирования — применение формулы (2.51).

1. Записать параметрическое уравнение кривой $z=z(t)$ и из него определить пределы интегрирования: $t=\alpha$ соответствует начальной точке пути интегрирования, $t=\beta$ — конечной.

2. Найти дифференциал комплекснозначной функции $z(t)\colon\, dz=z'(t)dt$ .
3. Подставить $z(t)$ в подынтегральное выражение, преобразовать интеграл

$\int\limits_{\alpha}^{\beta}f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z'(t)\,dt= \int\limits_{\alpha}^{\beta}\varphi(t)\,dt\,.$

4. Вычислить полученный в п.3 определенный интеграл от комплекснозначной функции действительной переменной.

Заметим, что интегрирование комплекснозначной функции действительной переменной не отличается от интегрирования действительнозначной функции; единственным отличием является наличие в первом случае множителя $i$ , действия с которым, естественно, рассматриваются, как с постоянной. Например,

$\int\limits_{-1}^{1}e^{2it}dt= \left.{\frac{e^{2it}}{2i}}\right|_{-1}^{1}= \frac{1}{2i}(e^{2i}-e^{-2i})= \sin2\,.$

Третий способ. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях — применение формулы (2.47).

1. Найти первообразную $F(z)$ , используя свойства интегралов, табличные интегралы и методы, известные из действительного анализа.

2. Применить формулу (2.47): $\int\limits_{z_1}^{z_2}f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1)$ .

Замечания 2.10

1. В случае многосвязной области проводятся разрезы так, чтобы можно было получить однозначную функцию $F(z)$ .

2. При интегрировании однозначных ветвей многозначных функций ветвь выделяется заданием значения функции в некоторой точке кривой интегрирования. Если кривая замкнутая, то начальной точкой пути интегрирования считается та точка, в которой задано значение подынтегральной функции. Значение интеграла может зависеть от выбора этой точки.

▼ Примеры 2.80-2.86 вычисления интегралов от функций комплексного переменного

Пример 2.80. Вычислить $\int\limits_{l}\operatorname{Re}z\,dz$ , где $l$ — линия, соединяющая точку $z_1=0$ с точкой $z_2=1+i\colon$

а) $l$ — прямая; б) $l$ — ломаная $OBA$ , где $O(0;0),~ B(1;0),~ A(1;1)$ .

Решение

а) Применяем первый способ — (формулу (2.44)).

1,2. Подынтегральное выражение имеет вид $\operatorname{Re}z\,dz= x(dx+i\,dy)$ . Поэтому

$\int\limits_{l}\operatorname{Re}z\,dz= \int\limits_{l}x\,dx+ i\int\limits_{l}x\,dy\,.$

3. Вычисляем интегралы при $y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1$ (уравнение отрезка $OA$ , соединяющего точки $z_1$ и $z_2$ ). Получаем

$\int\limits_{l}\operatorname{Re}z\,dz= \int\limits_{l}x\,dx+ i\int\limits_{l}x\,dy= \int\limits_{0}^{1}x\,dx+ i\int\limits_{0}^{1}x\,dx= \frac{1+i}{2}\,.$

б) Так как путь интегрирования состоит из двух отрезков, записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

$\int\limits_{l}\operatorname{Re}z\,dz= \int\limits_{OB}\operatorname{Re}z\,dz+ \int\limits_{BA}\operatorname{Re}z\,dz$

и каждый вычисляем, как в предыдущем пункте. При этом для отрезка $OB$ имеем

$\begin{cases}y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end{cases}$ а для отрезка $BA\colon \begin{cases}x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end{cases}$

Производим вычисления:

$\int\limits_{l}\operatorname{Re}z\,dz= \int\limits_{OB}x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_{BA} x\,dx+i\,x\,dy= \int\limits_{0}^{1}x\,dx+ i \int\limits_{0}^{1}1\cdot dy= \frac{1}{2}+i.$

Заметим, что подынтегральная функция в данном примере — функция не аналитическая, поэтому интегралы по двум различным кривым, соединяющим две данные точки, могут иметь разные значения, что и проиллюстрировано в этом примере.

Пример 2.81. Вычислить $\int\limits_{l}|z| \overline{z}\,dz$ , где $l$ — верхняя полуокружность $|z|=1$ , обход кривой $l$ против часовой стрелки.

Решение

Кривая имеет простое параметрическое уравнение $z=e^{it},~ 0\leqslant t\leqslant\pi$ , поэтому удобно использовать второй способ (формулу (2.51)). Подынтегральная функция здесь — непрерывная функция, аналитической не является.

1,2. Для $z=e^{it}$ находим $\overline{z}=e^{-it},~ |z|=1,~ dz=i\,e^{it}dt$ .

3,4. Подставляем в подынтегральное выражение. Вычисляем интеграл

$\int\limits_{l}|z| \overline{z}\,dz= \int\limits_{0}^{\pi}1\cdot e^{-it}\cdot i\,e^{it}dt= \int\limits_{0}^{\pi}i\,dt=i\,\pi.$

Пример 2.82. Вычислить интегралы от аналитических функций:

а) $\int\limits_{0}^{i}\sin^2z\,dz$ ; б) $\int\limits_{-i}^{1}\frac{dz}{(z-i)^2}$ , путь интегрирования не проходит через точку $i$ .

Решение

а) Применяем формулу (2.47) (третье правило); первообразную находим, используя методы интегрирования действительного анализа:

$\int\limits_{}^{}\sin^2z\,dz= \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{i}(1-\cos2z)\,dz= \left.{\frac{1}{2} \left(z-\frac{1}{2}\sin2z\right)}\right|_{0}^{i}= \frac{1}{2}\,i-\frac{1}{4}\sin2i= \frac{1}{2}\,i-i\,\frac{\operatorname{sh}2}{4}= \frac{i}{4}(2-\operatorname{sh}2).$

б) Подынтегральная функция является аналитической всюду, кроме точки $i$ . Проведя разрез плоскости по лучу от точки $i$ до $\infty$ , получим односвязную область, в которой функция является аналитической и интеграл можно вычислить по формуле (2.47). Поэтому для любой кривой, не проходящей через точку $i$ , можно вычислить интеграл по формуле (2.47), при этом для двух заданных точек он будет иметь одно и то же значение.

Два случая проведения разрезов на комплексной плоскости

На рис. 2.44 показаны два случая проведения разрезов. Направление обхода границы односвязных областей, где подынтегральная функция является аналитической, указано стрелками. Вычисляем интеграл:

$\int\limits_{-i}^{1}\frac{dz}{(z-i)^2}= \left.{\frac{-1}{z-i}}\right|_{-i}^{1}= -\frac{1}{1-i}-\frac{1}{2i}=-\frac{1+i}{2}+\frac{i}{2}= -\frac{1}{2}\,.$

Пример 2.83. Вычислить интеграл $\int\limits_{0}^{1+i}z\,dz$ .

Решение

Подынтегральная функция — аналитическая всюду в $\mathbb{C}$ . Применяем третий способ, формулу (2.47):

$\int\limits_{0}^{1+i}z\,dz= \left.{\frac{z^2}{2}}\right|_{0}^{1+i}= \frac{1}{2}(1+i)^2=i.$

Этот результат получен в примере 2.78 согласно первому способу.

Пример 2.84. Вычислить интеграл $\oint\limits_{C}\frac{dz}{(z-a)^n}$ , где $C$ — окружность $|z-a|=R$ .

Решение

Применим второй способ.

1. Записываем уравнение окружности в параметрической форме: $z-a=R\,e^{it}$ , или $z=a+R\,e^{it},~ 0\leqslant t\leqslant2\pi$ .
2. Находим дифференциал $dz=R\,i\,e^{it}\,dt$ .
3. Подставляем $z=a+R\,e^{it}$ и $dz$ в подынтегральное выражение:

$\oint\limits_{C}\frac{dz}{(z-a)^n}= \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{R\,i\,e^{it}}{R^n e^{int}}\,dt= \frac{i}{R^{n-1}} \int\limits_{0}^{2\pi} e^{it(1-n)}dt\,.$

Вычисляем полученный определенный интеграл. При $n\ne1$ получаем

$\int\limits_{0}^{2\pi} e^{it(1-n)}dt= \frac{1}{i(1-n)} \Bigl.{e^{it(1-n)}}\Bigr|_{0}^{2\pi}= \frac{1}{(n-1)i} \bigl(1-e^{2\pi\,i(n-1)}\bigr).$

Так как $e^{2\pi\,i(n-1)}= e^{2k\pi\,i}=1$ , поэтому $\oint\limits_{C}\frac{dz}{(z-a)^n} =0$ при $n\ne1$ . При $n=1$ получаем $\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-a}= i\int\limits_{0}^{2\pi}dt=2\pi\,i\,.$ .

Выпишем полученный результат в виде формулы:

$\oint\limits_{|z-a|=R}\frac{dz}{(z-a)^n}=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_{|z-a|=R}\frac{dz}{z-a}=2\pi\,i\,.$

(2.52)

В частности, $\textstyle{\oint\limits_{|z|=R}\frac{dz}{z}=2\pi i}$ . Заметим, что если окружность $C\colon |z-a|=R$ обходится точкой $k$ раз, то аргумент (параметр) изменяется от 0 до $2\pi k$ ( $k>0$ , если обход в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, и $k<0$ — обход по часовой стрелке). Поэтому

$\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-a}= i \int\limits_{0}^{2\pi k}dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_{C} \frac{dz}{z}=2k\pi i.$

Пример 2.85. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного $\int\limits_{1}^{z}\frac{d\xi}{\xi}$ :

а) путь интегрирования не проходит через точку $z=0$ и не обходит ее, $-\pi<\arg z \leqslant\pi$ ;

б) путь интегрирования не проходит через точку $z=0$ , но обходит ее $n$ раз по окружности против часовой стрелки.

Решение

а) Этот интеграл — интеграл с переменным верхним пределом — определяет в любой односвязной области однозначную аналитическую функцию (см. 2.45)). Найдем аналитическое выражение этой функции — первообразной для $f(z)=\frac{1}{z}$ . Отделяя действительную и мнимую части интеграла $\int\limits_{l}\frac{dz}{z}$ (применяя формулу (2.44)), нетрудно убедится, что подынтегральные выражения интегралов второго рода являются полными дифференциалами и, следовательно, интеграл $\frac{d\xi}{\xi}$ не зависит от вида кривой, соединяющей точки $z_1=1$ и $z$ . Выберем путь, состоящий из отрезка оси $Ox$ от точки $z_1=1$ до точки $z_2=r$ , где $r=|z|$ , и дуги $l$ окружности. соединяющей $z_2$ с $z$ (рис. 2.45,а).

Путь интегрирования на комплексной плоскости 2

Интеграл запишем в виде суммы: $\int\limits_{1}^{z} \frac{d\xi}{\xi}= \int\limits_{1}^{r} \frac{dx}{x}+ \int\limits_{l}\frac{d\xi}{\xi}$ . Для вычисления интеграла по дуге окружности применяем формулу (2.51), дуга при этом имеет уравнение $\xi=r\,e^{it},~ 0\leqslant t\leqslant\arg z$ . Получаем $\int\limits_{l}\frac{d\xi}{\xi}= \int\limits_{0}^{\arg z} \frac{ri\,e^{it}}{r\,e^{it}}\,dt=i\arg z$ ; в результате

$\int\limits_{1}^{z}\frac{d\xi}{\xi}=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi$

Правая часть равенства определяет однозначную функцию $\ln z$ — главное значение логарифма. Ответ получаем в виде

$\int\limits_{1}^{z}\frac{d\xi}{\xi}=\ln z\,.$

(2.53)

Заметим, что полученное равенство можно принять за определение однозначной функции $\ln z$ в односвязной области — плоскости с разрезом по отрицательной действительной полуоси $(-\infty;0]data:image/png;base64,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[/img-math].</p><br /><p>б) Интеграл можно записать в виде суммы: [img-math]\int\limits_{1}^{z}\frac{d\xi}{\xi}= \oint\limits_{c} \frac{dz}{z}+ \int\limits_{l}\frac{d\xi}{\xi}$ , где $c$ — n-раз пробегаемая против часовой стрелки окружность $|z|=1$ , а $l$ — кривая, соединяющая точки $z_1$ и $z$ и не охватывающая точку $z=0$ (рис. 2.45,б).

Первое слагаемое равно $2n\pi i$ (см. пример 2.84), второе — $\ln{z}$ — формула (2.53). Получаем результат $\int\limits_{1}^{z}\frac{d\xi}{\xi}=\ln z+2n\pi i$ .

Пример 2.86. Вычислить интеграл $\int\limits_{l}\frac{dz}{\sqrt{z}}$ по верхней дуге окружности $|z|=1$ при условии: a) $\sqrt{1}=1$ ; б) $\sqrt{1}=-1$ .

Решение

Задание значений функции $\sqrt{z}$ в точке контура интегрирования позволяет выделить однозначные ветви выражения $\sqrt{z}= \sqrt{|z|}\exp\!\left(\frac{i}{2}\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1$ (см. пример 2.6). Разрез можно провести, например, по мнимой отрицательной полуоси. Так как при $z=1$ имеем $\sqrt{1}=e^{ik\pi},~k=0;1$ , то в первом случае выделяется ветвь с $k=0$ , во втором — с $k=1$ . Подынтегральная функция на контуре интегрирования непрерывна. Для решения используем формулу (2.51), кривую задаем уравнением $z=e^{it},~0\leqslant t\leqslant\pi$ .

а) Ветвь определяется при $k=0$ , т.е. из $z=e^{it}$ для подынтегральной функции получаем $\sqrt{z}=e^{\frac{i}{2}t}$ . Вычисляем интеграл:

$\int\limits_{l}\frac{dz}{\sqrt{z}}= \int\limits_{0}^{\pi} \frac{i\,e^{it}}{e^{i\,\frac{t}{2} }}\,dt= i \int\limits_{0}^{\pi}e^{i\,\frac{t}{2}}dt= \Bigl.{2\,e^{i\,\frac{t}{2}}}\Bigr|_{0}^{\pi}= 2\! \left(e^{i\,\frac{\pi}{2}}-1\right)= 2(i-1).$

б) Ветвь определяется при $k=1$ , т.е. из $z=e^{it}$ для подынтегральной функции имеем $\sqrt{z}= e^{i \left(\frac{t}{2}+\pi\right)}=-e^{i\,\frac{t}{2}}$ . Вычисляем интеграл:

$\int\limits_{l}\frac{dz}{\sqrt{z}}= \int\limits_{0}^{\pi}\frac{i\,e^{it}}{-e^{i\,\frac{t}{2}}}\,dt= \ldots= 2(1-i).$

В теории и практике, в приложениях интегрального исчисления функций комплексного переменного, при исследовании поведения функций в ограниченных областях или в окрестностях отдельных точек рассматриваются интегралы по замкнутым кривым — границам областей, в частности окрестностей точек. Будем рассматривать интегралы $\oint\limits_{C}f(z)dz$ , где $f(z)$ — аналитическая в некоторой с области, за исключением отдельных точек, $C$ — граница области или внутренний контур в этой области.

Основная теорема Коши для простого контура

Теорема 2.1 (теорема Коши для простого контура). Если $f(z)$ аналитическая в односвязной области, то для любого контура $C$ , принадлежащего этой области, справедливо равенство

$\oint\limits_{C}f(z)dz=0.$

(2.54)

Доказательство теоремы нетрудно получить, опираясь на свойство аналитических функций, согласно которому аналитическая функция имеет производные любого порядка (см. утверждение 2.28). Это свойство обеспечивает непрерывность частных производных от $\operatorname{Re}f(z)$ и $\operatorname{Im}f(z)$ , поэтому, если использовать формулу (2.44), то легко видеть, что для каждого из подынтегральных выражений в криволинейных интегралах второго рода выполняются условия полного дифференциала, как условия Коши-Римана аналитических функций. А интегралы по замкнутым кривым от полных дифференциалов равны нулю.

Односвязная область и кривые, соединяющие точки, на комплексной плоскости

Заметим, что все теоретические положения, излагаемые ниже, опираются в конечном счете на эту важную теорему, в том числе и упомянутое выше свойство аналитических функций. Чтобы не было сомнения в корректности изложения, заметим, что теорема может быть доказана без ссылки на существование ее производных только на основании определения аналитической функции.

Следствия из теоремы 2.1

1. Теорема справедлива и в случае, если $C$ — граница области $D$ , а функция $f(z)$ является аналитической в области и на границе, т.е. в $\overline{D}$ , так как, согласно определению, аналитичность в $\overline{D}$ предполагает аналитичность функции в некоторой области $B$ , содержащей $D~(B\supset\overline{D})$ , а $C$ при этом будет внутренним контуром в $B$ .

2. Интегралы по различным кривым, лежащим в односвязной области аналитичности функции и соединяющим две точки этой области, равны между собой, т.е. $\int\limits_{l_1}f(z)dz= \int\limits_{l_2}f(z)dz$ , где $l_1$ и $l_2$ — произвольные кривые, соединяющие точки $z_1$ и $z_2$ (рис. 2.46).

Для доказательства достаточно рассмотреть контур $C$ , состоящий из кривой $l_1$ (от точки $z_1$ к точке $z_2$ ) и кривой $l_2$ (от точки $z_2$ к точке $z_1$ ). Свойство можно сформулировать следующим образом. Интеграл от аналитической функции не зависит от вида кривой интегрирования, соединяющей две точки области аналитичности функции и не выходящей из этой области.

Это дает обоснование данного выше утверждения 2.25 о свойствах интеграла $\int\limits_{z_0}^{z}f(\xi)d\xi$ и о существовании первообразной аналитической функции.

Теорема Коши для сложного контура

Теорема 2.2 (теорема Коши для сложного контура). Если функция $f(z)$ является аналитической в многосвязной области, ограниченной сложным контуром, и на этом контуре, то интеграл по границе области от функции равен нулю, т.е., если $C$ — сложный контур — граница области, то справедлива формула (2.54).

Сложный контур $C$ для $(n+1)$ — связной области состоит из внешнего контура $\Gamma$ и внутренних — $C_i,~i=1,2,\ldots,n$ ; контуры попарно не пересекаются, обход границы — положительный (на рис.2.47, $n=3$ ).

Для доказательства теоремы 2.2 достаточно провести в области разрезы (на рис. 2.47 пунктир) так, чтобы получились две односвязные области и воспользоваться теоремой 2.1.

Сложный контур связности области на комплексной плоскости

Следствия из теоремы 2.2

1. При выполнении условий теоремы 2.2 интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним; обход на всех контурах в одну сторону (на рис. 2.48, $n=2$ ):

Область и контуры на комплексной плоскости

$\oint\limits_{\Gamma}f(z)\,dz= \sum_{k=1}^{n} \oint\limits_{C_k}f(z)\,dz\,.$

(2.55)

2. Если $f(z)$ является аналитической в односвязной области $D$ и на границе области, за исключением, быть может, точки $a$ этой области, то интегралы по различным замкнутым кривым, которые лежат в области $D$ и ограничивают области, содержащие точку $a$ , равны между собой (рис. 2.49):

$\oint\limits_{C_k}f(z)\,dz= \oint\limits_{C_m}f(z)\,dz\,.$

(2.56)

Доказательство очевидно, поскольку каждый такой контур можно рассматривать как внутреннюю границу двусвязной области, внешней границей которой является граница области $D$ . В соответствии с формулой (2.55) при $n=1$ любой такой интеграл равен интегралу по границе $D$ .

Сравнение формулировок теоремы 2.2 и следствия 1 из теоремы 2.1 позволяет сделать обобщение, которое запишем в виде следующего утверждения.

Утверждение 2.27. Если $f(z)$ аналитическая в $D$ , то $\oint\limits_{C}f(z)\,dz=0$ , где $C$ — граница области $D$ (простой или сложный контур).

Интегральная формула Коши

В следующей теореме, в отличие от двух предыдущих, рассматривается интеграл от функции, которая, не являясь аналитической в области, ограниченной контуром интегрирования, имеет специальный вид.

Теорема 2.3. Если функция $f(z)$ является аналитической в области $D$ и на ее границе $C$ , то для любой внутренней точки $a$ области $(a\in D)$ имеет место равенство

$f(a)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(z)}{z-a}\,dz\,.$

(2.57)

Область $D$ может быть односвязной или многосвязной, а граница области -простым или сложным контуром.

Доказательство для случая односвязной области опирается на результат теоремы 2.1, а для многосвязной — приводится к случаю односвязных областей (как при доказательстве теоремы 2.2) путем проведения разрезов, не проходящих через точку $a$ .

Следует обратить внимание на то, что точка а не принадлежит границе области и поэтому подынтегральная функция является непрерывной на $C$ и интеграл существует.

Теорема представляет собой важный прикладной интерес, а именно по формуле (2.57) решается так называемая краевая задача теории функций: по значениям функции на границе области определяется ее значение в любой внутренней точке.

Замечание 2.11. В условиях теоремы интеграл $\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{\xi-a}\,d\xi$ определяет аналитическую функцию в любой точке $z$ , не принадлежащей контуру $C$ , причем в точках конечной области $D$ , ограниченной контуром, он равен $f(z)$ (по формуле (2.57)), а вне $\overline{D}$ — равен нулю в силу оснований теоремы Коши. Этот интеграл, называемый интегралом Коши, является частным случаем интеграла типа Коши (2.48). Здесь контур замкнутый, в отличие от произвольного в (2.48), а функция $f(z)$ является аналитической, в отличие от непрерывной на $l$ в (2.48). Для интеграла Коши, следовательно, справедливо сформулированное для интеграла типа Коши утверждение 2.26 о существовании производных. Можно сформулировать на основании этого следующее утверждение.

Утверждение 2.28

1. Аналитическая функция в любой точке аналитичности может быть записана в виде интеграла

$f(z)= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,d\xi,\quad z\in D\,.$

(2.58)

2. Аналитическая функция имеет производные любого порядка, для которых справедлива формула

$f^{(n)}(z)= \frac{n!}{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,.$

(2.59)

Формула (2.59) дает интегральное представление производных аналитической функции.

Вычисление интегралов по замкнутому контуру

Будем рассматривать интегралы вида $\oint\limits_{C}\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\,dz$ , где функция $\varphi(z)$ аналитическая в $D$ , а $\psi(z)$ — многочлен, не имеющий нулей на контуре $C$ . Для вычисления интегралов применяются теоремы из предыдущей лекции и следствия из них.

Правило 2.6. При вычислении интегралов вида $\oint\limits_{C}f(z)\,dz$ в зависимости от характера (кратности) нулей многочлена $\psi(z)$ и их расположения относительно контура $C$ можно выделить четыре случая.

1. В области $D$ нет нулей многочлена $\psi(z)$ . Тогда $f(z)= \frac{\varphi(z)}{\psi(z)}$ функция аналитическая и, применяя основную теорему Коши, имеем результат $\oint\limits_{C}f(z)\,dz=0$ .

2. В области $D$ расположен один простой нуль $z=a$ многочлена $\psi(z)$ . Тогда записываем дробь в виде $\frac{f(z)}{z-a}$ , где $f(z)$ — функция, аналитическая в $\overline{D}$ . Применяя интегральную формулу, получаем результат:

$\oint\limits_{C}\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\,dz= \oint\limits_{C}\frac{f(z)}{z-a}\,dz= 2\pi i\cdot f(a).$

(2.60)

3. В области $D$ расположен один кратный нуль $z=a$ многочлена $\psi(z)$ (кратности $n$ ). Тогда записываем дробь в виде $\frac{f(z)}{(z-a)^n}$ , где $f(z)$ — функция, аналитическая в $\overline{D}$ . Применяя формулу (2.59), получаем результат

$\oint\limits_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^n}\,dz= \frac{2\pi i}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a).$

4. В области $D$ расположены два нуля многочлена $\psi(z)\colon\,z_1=a$ и $z_2=b$ . Тогда, используя следствие 1 из теоремы 2.2, запишем интеграл в виде

$\oint\limits_{C}f(z)\,dz= \oint\limits_{C_1}f(z)\,dz+ \oint\limits_{C_2} f(z)\,dz\,,$

где $C_1$ и $C_2$ — границы непересекающихся окрестностей точек $z_1$ и $z_2$ . Для каждого из полученных интегралов проводим далее вычисления в соответствии с пунктами 2 и 3. Очевидно, можно рассмотреть и случаи большего числа нулей $\psi(z)$ в области $D$ .

▼ Примеры 2.87-2.94 вычисления интегралов по замкнутому контуру

Пример 2.87. Вычислить $\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-a}$ , где $C$ — произвольный контур, ограничивающий область, содержащую точку $a$ .

Решение

Рассмотрим двусвязную область, одна граница которой — контур $C$ , другая — окружность $|z-a|=R$ . По следствию 2 из теоремы 2.2 (см. (2.56)) имеем

$\oint\limits_{C}\frac{dz}{z-a}= \oint\limits_{|z-a|=R}\frac{dz}{z-a}\,.$

Учитывая результат решения примера 2.84 (формула (2.52)), получаем ответ $\oint\limits_{C} \frac{dz}{z-a}=2\pi i$ .

Заметим, что решение можно получить, применив интегральную формулу Коши с $f(z)=1$ . В частности, получаем $\oint\limits_{C}\frac{dz}{z}=2\pi i$ , так как контур $C$ один раз обходит точку $z=0$ . Если контур $C$ обходит точку $z=0$ $k$ раз в положительном $(k>0)$ или отрицательном направлении $(k<0)$ , то $\oint\limits_{C}\frac{dz}{z}=2k\pi i$ .

Пример 2.88. Вычислить $\oint\limits_{l}\frac{dz}{z}$ , где $l$ — кривая, соединяющая точки 1 и $z$ , один раз обходящая начало координат.

Кривая, соединяющая точки и один раз обходящая начало координат

Решение

Подынтегральная функция непрерывна на кривой — интеграл существует. Для вычисления используем результаты предыдущего примера и примера 2.85. Для этого рассмотрим замкнутый контур, соединив, например, точку $A$ с точкой 1 (рис. 2.50). Путь интегрирования из точки 1 в точку $z$ через точку $A$ можно представить теперь состоящим из двух кривых — замкнутого контура $C$ (кривая $BDEFAB$ ) и кривой $l_0$ , соединяющей точки 1 и $z$ через точку $A\colon$

$\oint\limits_{l}\frac{dz}{z}= \oint\limits_{C}\frac{dz}{z}+ \oint\limits_{l_0} \frac{dz}{z}\,.$

Используя результаты примеров 2.85 и 2.87, получаем ответ:

$\oint\limits_{l}\frac{dz}{z}= \int\limits_{1}^{z}\frac{1}{z}=\ln z+2\pi i\,.$

Без изменения геометрической картинки, можно рассмотреть случай, когда кривая $n$ раз обходит начало координат. Получим результат

$\oint\limits_{l}\frac{dz}{z}= \int\limits_{1}^{z}\frac{1}{z}=\ln z+2n\pi i\,.$

Полученное выражение определяет многозначную функцию $\operatorname{Ln}z= \int\limits_{1}^{z}\frac{dz}{z}$ , путь интегрирования не проходит через начало координат. Выбор ветви многозначного выражения определяется заданием значения функции в некоторой точке.

Пример 2.89. Найти $\ln2i= \int\limits_{1}^{2i}\frac{1}{z}$ , если $\ln1=4\pi i$ .

Решение

Из формулы $\operatorname{Ln}z= \ln z+2n\pi i=\ln|z|+i(\arg z+2k\pi)$ при $z=1$ получаем $\operatorname{Ln}1=2k\pi i$ , а учитывая условие, находим $k=2$ . Поэтому

$\ln2i= \left.{\ln2+i \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}\right|_{k=2}= ln2+ i\left(4k\pi+ \frac{\pi}{2}\right)\!.$

Пример 2.90. Вычислить $\oint\limits_{C}\frac{\sin z}{z^3+16z}\,dz$ в следующих случаях задания контура $C\colon$ а) $|z-2-i|=2$ ; б) $|z+2i|=1$ .

Решение

Находим нули знаменателя — особые точки подынтегральной функции. Это точки $z_1=0,~ z_{2,3}=\pm4i$ . Далее нужно определить расположение точек относительно контура интегрирования. В обоих случаях ни одна из точек не входит в область, ограниченную контуром. В этом можно убедиться, использовав чертеж. Оба контура — окружности, центр первой $z_0=2+i$ и радиус $R=2$ ; центр второй $z_0=-2i$ и $R=1$ . Можно определить принадлежность точки области иначе, а именно определить ее расстояние от центра круга и сравнить с величиной радиуса. Например, для точки $z_2=4i$ это расстояние равно $|4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt{13}$ , что больше радиуса $(\sqrt{13}>2)$ , поэтому $z_2=4i$ не принадлежит кругу $|z-2-i|<2$ . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек — нулей знаменателя.

Пример 2.91. Вычислить $\oint\limits_{C}\frac{\sin z}{z^3+16z}\,dz$ в следующих случаях задания контура $C\colon$ а) $|z|=2$ ; б) $|z+1+i|=2$ .

Решение

Рассуждая, как в предыдущем примере, находим, что в обоих случаях внутри кругов расположена только одна из особых точек $z_1=0$ . Поэтому, применяя п.2 правил 2.6 (интегральная формула Коши) , записываем подынтегральную функцию в виде дроби $\frac{1}{z}\cdot \frac{\sin z}{z^2+16}$ , где числитель $f(z)= \frac{\sin z}{z^2+16}$ — функция, аналитическая в указанных кругах. Ответ для обоих случаев одинаковый:

$\oint\limits_{C}\frac{\sin z}{z(z^2+16)}\,dz= \left.{2\pi i \cdot \frac{\sin z}{z^2+16}}\right|_{z=0}=0.$

Пример 2.92. Вычислить $\oint\limits_{C}\frac{\sin z}{z^3+16z}\,dz$ в следующих случаях задания контура $C\colon$ а) $|z+4i|=2$ ; б) $|z-1+3i|=2$ .

Решение

Контуры интегрирования — окружности, как и выше, причем в случае "а" центр находится в точке $z_0=-4i,~R=2$ , в случае "б" — в точке $z_0=1-3i,~R=2$ .nВ обоих случаях внутрь соответствующих кругов попадает одна точка $z_0=-4i$ . Применяя п.2 правил 2.6, записываем подынтегральную функцию в виде $\frac{1}{z+4i}\frac{\sin z}{z(z-4i)}$ , где числитель $f(z)=\frac{\sin z}{z(z-4i)}$ является аналитической функцией в рассматриваемых областях. Применяя интегральную формулу, получаем ответ:

$\oint\limits_{C}\frac{\sin z}{z^3+16z}\,dz= \left.{2\pi i\cdot \frac{\sin z}{z(z-4i)}}\right|_{z=-4i}= 2\pi i\cdot \frac{-\sin4i}{-32}= \frac{\pi i\cdot i \operatorname{sh}1}{16}=-\frac{\pi \operatorname{sh}1}{16}\,.$

Пример 2.93. Вычислить интеграл $\oint\limits_{C}\frac{e^z\,dz}{(z-i)^2(z+2)}$ в следующих случаях задания контура: а) $|z+i|=1$ ; б) $|z+2+i|=2$ .

Решение

Находим особые точки подынтегральной функции — нули знаменателя $z_1=i,~z_2=-2$ . Определяем принадлежность точек соответствующим областям. В случае "а" в круг $|z+i|<1$ не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

В случае "б" в круг $|z+2+i|<2$ радиуса 2 с центром в точке $z_0=-2-i$ входит одна точка: $z=-2$ . Записываем дробь в виде $\frac{1}{z+2}\frac{e^z}{(z-i)^2}$ , где $f(z)=\frac{e^z}{(z-i)^2}$ — аналитическая функция в круге $|z+2+i|<2$ . Вычисляем интеграл:

$\oint\limits_{C}\frac{e^z\,dz}{(z-i)^2(z+2)}= 2\pi i\cdot \frac{e^{-2}}{(2+i)^2}= \frac{2\pi}{25}e^{-2}(4+3i).$

Пример 2.94. Вычислить интеграл $\oint\limits_{C}\frac{e^z\,dz}{(z-i)^2(z+2)}$ в следующих случаях задания контура: а) $|z-i|=2$ ; б) $|z+2-i|=3$ .

Решение

а) В круг $|z-i|<2$ попадает точка $z=i$ . Записываем функцию $\frac{1}{(z-i)^2}\frac{e^z}{z+2}$ и применяем п.3 правил 2.6 при $m=2$ и $a=i$ . Вычисляем интеграл:

$\oint\limits_{C}\frac{e^z\,dz}{(z-i)^2(z+2)}= \left.{2\pi i \left(\frac{e^z}{z+ 2}\right)'}\right|_{z=i}= \left.{2\pi i\cdot \frac{e^z(z+2)-e^z}{(z+2)^2}}\right|_{z=i}= \left.{2\pi i\cdot \frac{e^z(1+z)}{(z+2)^2}}\right|_{z=i}= \frac{2\pi i(1+i)}{(2+i)^2}\,e^{i}.$

б) В круг $|z+2-i|<3$ входят обе точки $z_1=i,~z_2=-2$ . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

$\oint\limits_{C}f(z)\,dz= \oint\limits_{C_1}f(z)\,dz+ \oint\limits_{C_2} f(z)\,dz\,.$

где каждый из контуров $C_1$ и $C_2$ охватывает только одну из точек. В частности, в качестве контура $C_1$ можно взять окружность из предыдущего случая "а"; $C_2$ — окружность из примера 2.93 п. "б", т.е. можно воспользоваться полученными результатами. Записываем ответ:

$\oint\limits_{C}\frac{e^z\,dz}{(z-i)^2(z+2)}= 2\pi i\cdot \frac{e^{-2}}{(2+i)^2}+ 2\pi i\cdot \frac{1+i}{(2+i)^2}\,e^{i}= \frac{2\pi i}{(2+i)^2}\bigl(e^{-2}+e^{i}(1+i)\bigr).$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]