Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование тригонометрических функций


Рассмотрим интегралы вида


[math]\int R(\sin{x},\cos{x})\,dx[/math], где [math]R(\sin{x},\cos{x})[/math] — рациональная функция.

Такие интегралы всегда рационализируются подстановкой [math]t=\operatorname{tg} \frac{x}{2}~(-\pi<x<\pi)[/math]. В самом деле,


[math]\sin{x}=\frac{2 \operatorname{tg}\dfrac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}\,,\qquad \cos{x}=\frac{1-\operatorname{tg}^2\dfrac{x}{2}}{1+ \operatorname{tg}^2\dfrac{x}{2}}= \frac{1-t^2}{1+t^2}\,.[/math]

Выразим далее переменную [math]x[/math] через переменную [math]t[/math]. Так как


[math]\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}=t,~-\frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}[/math], то [math]x=2 \operatorname{arctg}t[/math], а поэтому [math]dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}[/math].
Значит
[math]\int R(\sin{x},\cos{x})\,dx= \int R\!\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \frac{2\,dt}{1+t^2}\,.[/math]

Таким образом, задача свелась к вычислению интеграла от рациональной функции. Поскольку подстановка [math]t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}[/math] — позволяет рационализировать любой интеграл вида [math]\int R(\sin{x},\cos{x})\,dx[/math], то её называют универсальной подстановкой. Любой интеграл этого вида выражается через элементарные функции.




Пример 1. Вычислим интеграл от тригонометрической дроби [math]\int\frac{dx}{2\sin{x}+3\cos{x}+4}[/math].


Решение. Воспользуемся универсальной подстановкой [math]t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2},-\pi<x<\pi[/math]. Имеем:


[math]2\sin{x}+3\cos{x}+4= 2\cdot\frac{2t}{1+t^2}+ 3\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}+4= \frac{t^2+4t+7}{1+t^2},\quad dx= \frac{2\,dt}{1+t^2}\,.[/math]

Заменив переменную под знаком интеграла, получим:


[math]\begin{aligned}\int\frac{dx}{2\sin{x}+3\cos{x}+4}&= \int\frac{\dfrac{2\,dt}{1+ t^2}}{\dfrac{t^2+4t+7}{1+t^2}}= 2\int\frac{dt}{t^2+4t+7}= 2\int\frac{dt}{(t+2)^2+3}=\\ &=\frac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\frac{t+2}{\sqrt{3}}+C= \frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}\frac{\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}+2}{\sqrt{3}}+C \end{aligned}[/math]



Хотя подстановка [math]t=\operatorname{tg}\frac{x}{2}[/math] универсальна, она часто приводит к слишком громоздким выкладкам. Во многих случаях удается упростить вычисление интегралов вида [math]\int R(\sin{x},\cos{x})\,dx[/math], воспользовавшись другими подстановками. Так, если при изменении знака [math]\sin{x}[/math] меняется знак [math]R(\sin{x},\cos{x}):[/math]


[math]R(-\sin{x},\cos{x})=-R(\sin{x},\cos{x}),[/math]

то интеграл можно рационализировать с помощью подстановки [math]\cos{x}=t[/math]. Если при изменении знака [math]\cos{x}[/math] меняется знак [math]R(\sin{x},\cos{x}):[/math]


[math]R(\sin{x},-\cos{x})=-R(\sin{x},\cos{x}),[/math]

то целесообразна подстановка [math]\sin{x}=t[/math]. Если при одновременном изменении знака [math]\sin{x}[/math] и [math]\cos{x}=t[/math] функция [math]R(\sin{x},\cos{x})[/math] не меняется, то есть является чётной:


[math]R(-\sin{x},-\cos{x})= R(\sin{x},\cos{x}),[/math]

то рационализация достигается с помощью одной из подстановок:

[math]\operatorname{tg}x=t,~ -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}[/math], или [math]\operatorname{ctg}x=t,~ 0<x<\pi[/math].

Поясним сказанное на примерах.


Пример 2. Вычислим интеграл от произведения тригонометрических функций [math]\int\sin^3x\cos^2x\,dx[/math].


Решение. В данном случае имеем:


[math]R(-\sin{x},\cos{x})= (-\sin{x})^3\cos^2x= -\sin^3x\cos^2x= -R(\sin{x},\cos{x}).[/math]

Воспользуемся подстановкой [math]\cos{x}=t[/math]. Заметим, что


[math]\sin^3x \cos^2x= \sin^2x \cos^2x \sin{x}\,dx= -(1-\cos^2x)\cos^2x (-\sin{x}\,dx)= -(1-\cos^2x)\cos^2x\,d(\cos{x}).[/math]
Значит,
[math]\int\sin^3x \cos^2x\,dx= -\int(1-t^2)t^2\,dt= \int(t^4-t^2)\,dt= \frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}+C= \frac{1}{5}\cos^5x- \frac{1}{3}\cos^3x+C.[/math]

Пример 3. Вычислим интеграл от тригонометрической дроби [math]\int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}\,dx[/math].


Решение. В данном случае имеем:


[math]R(\sin{x},-\cos{x})= \frac{(-\cos{x})^3}{1+\sin^2x}= -\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}= -R(\sin{x},\cos{x}).[/math]

Воспользуемся подстановкой [math]\sin{x}=t:[/math]


[math]\begin{aligned} \int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}\,dx&= \int\frac{\cos^2x}{1+\sin^2x}\, \cos{x}\,dx= \int\frac{1-\sin^2x}{1+\sin^2x}\,d(\sin{x})= \int\frac{1-t^2}{1+t^2}\,dt= \int\! \left(\frac{2}{1+t^2}-1\right)\!dt=\\ &=2 \operatorname{arctg}t-t+C= 2 \operatorname{arctg}(\sin{x})- \sin{x}+C.\end{aligned}[/math]



Пример 4. Вычислим [math]\int\frac{\cos^2x}{\sin^4x}\,dx[/math].


Решение. В данном случае имеем: [math]R(-\sin{x},-\cos{x})= R(\sin{x},\cos{x})[/math]. Значит, в качестве рационализирующей может выступить одна из двух подстановок [math]\operatorname{tg}x=t[/math] или [math]\operatorname{ctg}x=t[/math]. Имеем:


[math]\int\frac{\cos^2x}{\sin^4x}\,dx= int\operatorname{ctg}^2x \frac{dx}{\sin^2x}\,dx\,.[/math]

В данном случае целесообразно сделать подстановку [math]\operatorname{ctg}x=t[/math]. Тогда [math]dt=-\frac{dx}{\sin^2x}[/math] и, следовательно,


[math]\int\frac{\cos^2x}{\sin^4x}\,dx= -\int t^2\,dt= -\frac{t^3}{3}+C= -\frac{1}{3} \operatorname{ctg}^3x+C.[/math]

При вычислении интегралов от тригонометрических функций для преобразования подынтегральных выражений часто используются различные формулы тригонометрии. В первую очередь применяют формулы:


[math]\sin\alpha\cos\beta= \frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}\,;[/math]
(1)

[math]\cos\alpha\cos\beta= \frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}\,;[/math]
(2)

[math]\sin\alpha\sin\beta= \frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}\,;[/math]
(3)
и их частные случаи:
[math]\sin^2x= \frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\,;[/math]
(4)

Из формул (1), (2), (3) получаем, что при [math]n\ne m[/math]


[math]\begin{aligned} \int\sin{mx}\cos{nx}\,dx&= \int\frac{\sin[(m+n)x]+\sin[(m-n)x]}{2}\,dx= -\frac{1}{2}\! \left(\frac{\cos[(m+n)x]}{m+n}+\frac{\cos[(m-n)x]}{m-n}\right)+C.\\[5pt] \int\cos{mx}\cos{nx}\,dx&= \int\frac{\cos[(m+n)x]+\cos[(m-n)x]}{2}\,dx= \frac{1}{2}\! \left(\frac{\sin[(m+n)x]}{m+n}+\frac{\sin[(m-n)x]}{m-n}\right)+C.\\[5pt] \int\sin{mx}\sin{nx}\,dx&= \int\frac{\cos[(m-n)x]-\cos[(m+n)x]}{2}\,dx= \frac{1}{2}\! \left(\frac{\sin[(m-n)x]}{m-n}- \frac{\sin[(m+n)x]}{m+n}\right)+C. \end{aligned}[/math]



Пример 5. Вычислим [math]\int\sin^2x \cos^4x\,dx[/math].


Решение.

[math]\begin{aligned}\int & \sin^2x \cos^4x\,dx= \int(\sin^2x \cos^2x) \cos^2x\,dx= \frac{1}{4}\int\sin^22x \cos^2x\,dx= \frac{1}{4}\int\frac{1-\cos4x}{2}\cdot\frac{1+\cos2x}{2}\,dx=\\ &=\frac{1}{16}\int\Bigl(1-\cos4x+\cos2x-\cos4x\cos2x\Bigr)dx= \frac{1}{16}\!\left(x-\frac{\sin4x}{4}+ \frac{\sin2x}{2}- \int\frac{\cos6x+\cos2x}{2}\,dx\right)=\\ &=\frac{1}{16}\!\left[x-\frac{\sin4x}{4}+ \frac{\sin2x}{2}- \frac{1}{2}\!\left(\frac{\sin6x}{6}+ \frac{\sin2x}{2}\right)\right]+C= \frac{1}{16}\!\left(x+ \frac{1}{4}\sin2x- \frac{1}{4}\sin4x-\frac{1}{12}\sin6x\right)+C. \end{aligned}[/math]

Пример 6. Вычислим [math]\int\sin{x}\sin3x\sin5x\,dx[/math].


Решение. Несколько раз воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму:


[math]\begin{aligned}\int\sin{x}\sin3x\sin5x\,dx&= \frac{1}{2}\int(\cos2x-\cos4x)\sin5x\,dx=\\ &=\frac{1}{2}\int\cos2x\sin5x\,dx- \frac{1}{2}\int\cos4x\sin5x\,dx=\\ &= \frac{1}{4}\int(\sin7x+ \sin3x)\,dx- \frac{1}{4}\int(\sin9x+\sin{x})\,dx=\\ &=\frac{1}{4}\!\left(-\frac{1}{7}\cos7x- \frac{1}{3}\cos3x\right)- \frac{1}{4}\!\left(-\frac{1}{9}\cos9x-\cos{x}\right)+C=\\ &=\frac{7\cos9x+ 63\cos{x}-9\cos7x-21\cos3x}{252}+C. \end{aligned}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved