Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Интегрирование рациональных функций

Интегрирование рациональных функций


Ранее речь шла об общих приемах интегрирования. В этом и следующих параграфах мы будем говорить об интегрировании конкретных классов функций с помощью рассмотренных приемов.


Интегрирование простейших рациональных функций


Рассмотрим интеграл вида [math]\textstyle{\int R(x)\,dx}[/math], где [math]y=R(x)[/math] — рациональная функция. Всякое рациональное выражение [math]R(x)[/math] можно представить в виде [math]\frac{P(x)}{Q(x)}[/math], где [math]P(x)[/math] и [math]Q(x)[/math] — многочлены. Если эта дробь неправильная, т. е. если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то ее можно представить в виде суммы многочлена (целая часть) и правильной дроби. Поэтому достаточно рассмотреть интегрирование правильных дробей.


Покажем, что интегрирование таких дробей сводится к интегрированию простейших дробей, т. е. выражений вида:


[math]\mathsf{1)}~\frac{A}{x-a};\quad \mathsf{2)}~\frac{A}{(x-a)^n};\quad \mathsf{3)}~ \frac{Ax+B}{x^2+px+q};\quad \mathsf{4)}~\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}.[/math]


где [math]A,\,B,\,a,\,p,\,q[/math] — действительные числа, а квадратный трехчлен [math]x^2+px+q[/math] не имеет действительных корней. Выражения вида 1) и 2) называют дробями 1-го рода, а выражения вида 3) и 4) — дробями 2-го рода.


Интегралы от дробей 1-го рода вычисляются непосредственно


[math]\begin{aligned}\mathsf{1)}&~\int\frac{A}{x-a}\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf{2)}&~ \int\frac{A}{(x-a)^n}\,dx= A\int(x-a)^{-n}\,dx= A\,\frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1}+C~(n=2,3,4,\ldots). \end{aligned}[/math]


Рассмотрим вычисление интегралов от дробей 2-го рода: [math]\mathsf{3)}~ \int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx\,.[/math]


Сначала заметим, что


[math]\int\frac{dt}{t^2+a^2}= \frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{t}{a}+C,\qquad \int\frac{t\,dt}{t^2+a^2}= \frac{1}{2}\ln(t^2+a^2)+C.[/math]

Чтобы свести вычисление интеграла 3) к этим двум интегралам, преобразуем квадратный трехчлен [math]x^2+px+q[/math], выделив из него полный квадрат:


[math]x^2+px+q= {\left(x+\frac{p}{2}\right)\!}^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!.[/math]

Так как по предположению этот трехчлен не имеет действительных корней, то [math]q-\frac{p^2}{4}>0[/math] и мы можем положить [math]q-\frac{p^2}{4}=a^2[/math]. Подстановка [math]x+\frac{p}{2}=t,~ dx=dt[/math] преобразует интеграл 3) к линейной комбинации указанных двух интегралов:


[math]\begin{aligned}\int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx&= \int\frac{A\!\left(t-\frac{p}{2}\right)+B}{t^2+a^2}\,dt= A\int\frac{t\,dt}{t^2+a^2}+ \left(B-\frac{Ap}{2}\right)\!\int\frac{dt}{t^2+a^2}=\\ &=\frac{A}{2}\ln(t^2+a^2)+ \frac{1}{a}\!\left(B-\frac{Ap}{2}\right)\!\ \operatorname{arctg}\frac{t}{a}+C. \end{aligned}[/math]

В окончательном ответе нужно лишь заменить [math]{t}[/math] на [math]x+\frac{p}{2}[/math], а [math]{a}[/math] на [math]\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}[/math]. Так как [math]t^2+a^2=x^2+px+q[/math], то


[math]\int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx= \frac{A}{2}\ln(x^2+px+q)+ \frac{B-\dfrac{Ap}{2}}{\sqrt{q-\dfrac{p^2}{4}}} \operatorname{arctg}\frac{x+\dfrac{p}{2}}{\sqrt{q-\dfrac{p^2}{4}}}+C.[/math]

Рассмотрим случай [math]\mathsf{4)}~ \int\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}\,dx[/math].


Как и в предыдущем случае, положим [math]x+\frac{p}{2}=t[/math]. Получим:


[math]\int\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}\,dx= A\int\frac{t\,dt}{(t^2+a^2)^n}+ \left(B-\frac{Ap}{2}\right)\! \int\frac{dt}{(t^2+a^2)^n}\,.[/math]

Первое слагаемое вычисляется так:


[math]A\int\frac{t\,dt}{(t^2+a^2)^n}= \frac{A}{2}\int(t^2+a^2)^{-n}\,d(t^2+a^2)= \frac{A}{2}\frac{(t^2+a^2)^{-n+1}}{-n+1}= \frac{A}{2(1-n)(t^2+a^2)^{n-1}}\,.[/math]

Второй же интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы.




Пример 1. Вычислим [math]\int\frac{3x+2}{x^2+2x+3}\,dx[/math].


Решение. Имеем: [math]x^2+2x+3=(x+1)^2+2[/math]. Положим [math]x+1=t[/math]. Тогда [math]dx=dt[/math] и [math]3x+2=3(t-1)+2=3t-1[/math] и, следовательно,


[math]\begin{aligned}\int\frac{3x+2}{x^2+2x+3}\,dx&= \int\frac{3t-1}{t^2+2}\,dt= \frac{3}{2}\int\frac{2t\,dt}{t^2+2}- \int\frac{dt}{t^2+(\sqrt{2})^2}=\\ &=\frac{3}{2}\ln(t^2+2)- \frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}\frac{t}{\sqrt{2}}+C=\\ &=\frac{3}{2}\ln(x^2+2x+3)- \frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctg}\frac{x+1}{\sqrt{2}}+C. \end{aligned}[/math]



Пример 2.Вычислим [math]\int\frac{x+2}{(x^2+6x+10)^2}\,dx[/math].


Решение. Имеем: [math]x^2+6x+10=(x+3)^2+1[/math]. Введем новую переменную, положив [math]x+3=t[/math]. Тогда [math]dt=dx[/math] и [math]x+2=t-1[/math]. Заменив переменную под знаком интеграла, получим:


[math]\begin{aligned}\int\frac{x+2}{(x^2+6x+10)^2}\,dx&= \int\frac{t-1}{(t^2+1)^2}\,dt= \frac{1}{2}\int\frac{2t\,dt}{(t^2+1)^2}-\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=\\ &=-\frac{1}{2(t^2+1)}- \int\frac{dt}{(t^2+1)^2}\,. \end{aligned}}[/math]

Положим [math]I_2=\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}[/math]. Имеем:


[math]I_2=\frac{1}{2}I_1+\frac{1}{2}\frac{t}{t^2+1}[/math], но [math]I_1=\int\frac{dt}{t^2+1}= \operatorname{arctg}t[/math] Таким образом, [math]I_2= \frac{1}{2}\operatorname{arctg}t+ \frac{t}{2(t^2+1)}[/math].

Окончательно получаем:


[math]\begin{aligned}\int\frac{x+2}{(x^2+6x+10)^2}\,dx&=-\frac{1}{2(t^2+1)}-\frac{1}{2}\operatorname{arctg}t-\frac{t}{2(t^2+1)}=\\ &=-\frac{1}{2(x^2+6x+10)}- \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x+3)- \frac{x+3}{2(x^2+6x+10)}+C=\\ &=\frac{-x-4}{2(x^2+6x+10)}-\frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x+3)+C \end{aligned}[/math]



Интегрирование правильных дробей


Рассмотрим правильную дробь [math]R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}[/math], где [math]Q(x)[/math] — многочлен степени [math]n[/math]. Не теряя общности, можно считать, что старший коэффициент в [math]Q(x)[/math] равен 1. В курсе алгебры доказывается, что такой многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:


[math]Q(x)= (x-x_1)^{\alpha}\ldots (x-x_k)^{\beta} (x^2+p\,x+q)^{\gamma}\ldots (x^2+r\,x+s)^{\delta}.[/math]

где [math]x_1,\ldots,x_k[/math] —действительные корни многочлена [math]Q(x)[/math], а квадратные трехчлены не имеют действительных корней. Можно доказать, что тогда [math]R(x)[/math] представляется в виде суммы простейших дробей вида 1) —4):


[math]\begin{aligned}R(x)=&\frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{A_1}{(x-x_1)^{\alpha}}+ \frac{A_2}{(x-x_1)^{\alpha-1}}+\ldots+ \frac{A_{\alpha}}{x-x_1}\,+\\ &+\,\ldots+ \frac{B_1}{(x- x_k)^{\beta}}+ \frac{B_2}{(x-x_k)^{\beta-1}}+\ldots+ \frac{B_{\beta}}{x-x_k}+ \frac{M_1x+ N_1}{(x^2+p\,x+q)^{\gamma}}\,+\\ &+\,\ldots+ \frac{M_{\gamma}+ N_{\gamma}}{x^2+ p\,x+s}+ \frac{E_1x+F_1}{(x^2+rx+s)^{\delta}}+\ldots+ \frac{E_{\delta}x+F_{\delta}}{x^2+rx+s}\,, \end{aligned}[/math]
(1)

где показатели у знаменателей последовательно уменьшаются от [math]\alpha[/math] до 1, …, от [math]\beta[/math] до 1, от [math]\gamma[/math] до 1, …, от [math]\delta[/math] до 1, а [math]A_1,\ldots,F_{\delta}[/math] — неопределенные коэффициенты. Для того чтобы найти эти коэффициенты, необходимо освободиться от знаменателей и, получив равенство двух многочленов, воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.


Другой способ определения коэффициентов [math]A_1,\ldots, A_{\alpha}, \ldots, F_{\delta}[/math] основан на подстановке значений переменной [math]x[/math]. Подставляя в равенство, полученное из равенства (1) после освобождения от знаменателей, вместо [math]x[/math] любое число, придем к линейному уравнению относительно искомых коэффициентов. Путем подстановки необходимого количества таких частных значений переменной получим систему уравнений для отыскания коэффициентов. В качестве частных значений переменной удобнее всего выбирать корни знаменателя (как действительные, так и комплексные). При этом почти все члены в правой части равенства (имеется в виду равенство двух многочленов) обращаются в нуль, что позволяет легко находить оставшиеся коэффициенты. При подстановке комплексных значений следует иметь в виду, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Поэтому из каждого равенства, содержащего комплексные числа, получаются два уравнения.


После нахождения неопределенных коэффициентов остается вычислить интегралы от полученных простейших дробей. Так как при интегрировании простейших дробей получаются, как мы видели, лишь рациональные функции, арктангенсы и логарифмы, то интеграл от любой рациональной функции выражается через рациональную функцию, арктангенсы и логарифмы.




Пример 3. Вычислим интеграл от правильной рациональной дроби [math]\int\frac{6x+1}{x^2+2x-3}\,dx[/math].


Решение. Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители:


[math]x^2+2x-3=(x-1)(x+3).[/math]

Выпишем подынтегральную функцию и представим ее в виде суммы простейших дробей:


[math]\frac{6x+1}{x^2+2x-3}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{B+3}\,.[/math]

Освободившись в этом равенстве от знаменателей, получим:

[math]6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.[/math]
(2)

Для отыскания коэффициентов воспользуемся методом подстановки частных значений. Для нахождения коэффициента [math]A[/math] положим [math]x=1[/math]. Тогда из равенства (2) получим [math]7=4A[/math], откуда [math]A=7/4[/math]. Для отыскания коэффициента [math]B[/math] положим [math]x=-3[/math]. Тогда из равенства (2) получим [math]-17=-4B[/math], откуда [math]B=17/4[/math].


Итак, [math]\frac{6x+1}{x^2+2x-3}= \frac{7}{4}\cdot\frac{1}{x-1}+ \frac{17}{4}\cdot\frac{1}{x+3}[/math]. Значит,


[math]\int\frac{6x+1}{x^2+2x-3}\,dx= \frac{7}{4}\int\frac{dx}{x-1}+ \frac{17}{4}\int\frac{dx}{x+3}= \frac{7}{4}\ln|x-1|+ \frac{17}{4}\ln|x+3|+C.[/math]



Пример 4. Вычислим [math]\int\frac{x^4+2x^2+8x+5}{(x^2+2)(x-1)^2(x+2)}\,dx[/math].


Решение. Выпишем подынтегральную функцию и представим ее в виде суммы простейших дробей. В знаменателе содержится множитель [math]x^2+2[/math], не имеющий действительных корней, ему соответствует дробь 2-го рода: [math]\frac{Ax+B}{x^2+2}[/math] множителю [math](x-1)^2[/math] соответствует сумма двух дробей 1-го рода: [math]\frac{C}{(x-1)^2}+ \frac{D}{x-1}[/math]; наконец, множителю [math]x+2[/math] соответствует одна дробь 1-го рода [math]\frac{E}{x+2}[/math]. Таким образом, подынтегральную функцию мы представим в виде суммы четырех дробей:


[math]\frac{x^4+2x^2+8x+5}{(x^2+2)(x-1)^2(x+2)}= \frac{Ax+B}{x^2+2}+ \frac{C}{(x-1)^2}+ \frac{D}{x-1}+ \frac{E}{x+2}\,.[/math]
(3)

Освободимся в этом равенстве от знаменателей. Получим:

[math]\begin{aligned} x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\,+\\ &\phantom{=}+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end{aligned}[/math]
(4)

Знаменатель подынтегральной функции имеет два действительных корня: [math]x=1[/math] и [math]x=-2[/math]. При подстановке в равенство (4) значения [math]x=1[/math] получаем [math]16=9C[/math], откуда находим [math]C=16/9[/math]. При подстановке [math]x=-2[/math] получаем [math]13=54E[/math] и соответственно определяем [math]E=13/54[/math]. Подстановка значения [math]x=i\,\sqrt{2}[/math] (корня многочлена [math]x^2+2[/math]) позволяет перейти к равенству


[math]4-4+8\,i\,\sqrt{2}+5= (A\,i\,\sqrt{2}+B)\cdot (i\,\sqrt{2}-1)^2\cdot (i\,\sqrt{2}+2).[/math]

Оно преобразуется к виду:


[math](10A+2B)+(2A-5B)\sqrt{2}\,i= 5+8\sqrt{2}\,i[/math], откуда [math]10A+2B=5[/math], а [math](2A-5B)\sqrt{2}=8\sqrt{2}[/math].

Решив систему двух уравнений с двумя переменными [math]\begin{cases}10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end{cases}[/math] находим: [math]A=\frac{41}{54},~ B=-\frac{35}{27}[/math].


Осталось определить значение коэффициента [math]D[/math]. Для этого в равенстве (4) раскроем скобки, приведем подобные члены, а затем сравним коэффициенты при [math]x^4[/math]. Получим:


[math]A+D+E=1[/math], то есть [math]D=0[/math].

Подставим найденные значения коэффициентов в равенство (3):


[math]\frac{x^4+2x^2+8x+5}{(x^2+2)(x-1)^2(x+2)}= \frac{\drac{41}{54}\,x- \dfrac{35}{27}}{x^2+2}+ \frac{16}{9}\frac{1}{(x-1)^2}+ \frac{13}{54}\frac{1}{x+2}\,,[/math]

а затем перейдем к интегрированию:

[math]\begin{aligned}\int\frac{x^4+2x^2+8x+5}{(x^2+2)(x-1)^2(x+2)}\,dx&= \frac{41}{54}\int\frac{x\,dx}{x^2+2}- \frac{35}{27}\int\frac{dx}{x^2+2}+ \frac{16}{9} \int\frac{dx}{(x-1)^2}+ \frac{13}{54}\int\frac{dx}{x+2}=\\ &=\frac{41}{108}\ln(x^2+2)- \frac{35}{27\sqrt{2}}\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{2}}- \frac{16}{9(x-1)}+ \frac{13}{54} \ln|x+2|+C.\end{aligned}[/math]



Интегрирование неправильных дробей


Пусть нужно проинтегрировать функцию [math]y=\frac{f(x)}{g(x)}[/math], где [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math] — многочлены, причем степень многочлена [math]f(x)[/math] больше или равна степени многочлена [math]g(x)[/math]. В этом случае прежде всего необходимо выделить целую часть неправильной дроби [math]\frac{f(x)}{g(x)}[/math], т. е. представить ее в виде


[math]\frac{f(x)}{g(x)}=s(x)+ \frac{r(x)}{g(x)}\,,[/math]

где [math]s(x)[/math] — многочлен степени, равной разности степеней многочленов [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math], а [math]\frac{r(x)}{g(x)}[/math] — правильная дробь.


Тогда имеем [math]\int\frac{f(x)}{g(x)}\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac{r(x)}{g(x)}\,dx\,.[/math].




Пример 5. Вычислим интеграл от неправильной дроби [math]\int\frac{x^4-4x^3+x^2+16x-11}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx[/math].


Решение. Имеем:


[math]\begin{aligned}g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4-4x^3+x^2+16x-11. \end{aligned}[/math]

Для выделения целой части разделим [math]f(x)[/math] на [math]g(x)[/math]: [math]\frac{f(x)}{g(x)}= x-2+\frac{2x^2+1}{x^3-2x^2-5x+6}\,.[/math]


Значит, [math]\int\frac{x^4-4x^3+x^2+16x-11}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac{2x^2+1}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx[/math]


Имеем: [math]\int(x-2)dx=\frac{x^2}{2}-2x+C[/math].


Для вычисления интеграла [math]\int\frac{2x^2+1}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx[/math] применяется, как и выше, метод неопределенных коэффициентов. После вычислений, которые мы оставляем читателю, получаем:


[math]\boxed{\int\frac{x^4-4x^3+x^2+16x-11}{(x-1)(x+2)(x-3)}\,dx= \frac{x^2}{2}-2x- \frac{1}{2}\ln|x-1|+ \frac{3}{5}\ln|x+2|+\frac{19}{10}\ln|x-3|+C}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved