Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Интегрирование по частям

Интегрирование по частям


Интегрирование по частям в неопределенном интеграле


Метод вычисления интегралов, называемый интегрированием по частям, основан на правиле дифференцирования произведения.


Пусть [math]u=u(x),~v=v(x)[/math] — функции, дифференцируемые на некотором промежутке [math]X[/math]. Тогда, как известно, дифференциал произведения этих функций вычисляется по формуле


[math]d(uv)=u\,dv+v\,du\,.[/math]

Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:


[math]\int d(uv)=\int\bigl(u\,dv+v\,du\bigr).[/math] Так как [math]\int d(uv)=uv+C[/math], а [math]\int\bigl(u\,dv+v\,du\bigr)= \int u\,dv+\int v\,du[/math],

то получаем: [math]uv+C=\int u\,dv+\int v\,du[/math], откуда [math]\int u\,dv=uv+C-\int v\,du[/math].

Поскольку [math]\textstyle{\int v\,du}[/math] уже содержит произвольную постоянную, в правой части полученного равенства [math]C[/math] можно опустить и записать равенство в виде


[math]\int u\,dv=uv-\int v\,du\,.[/math]
(1)

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.


При выводе формулы (1) мы предположили, что функции [math]u(x)[/math] и [math]v(x)[/math] дифференцируемы. Этой формулой обычно пользуются в тех случаях, когда подынтегральное выражение [math]v\,du[/math] проще, чем подынтегральное выражение [math]u\,dv[/math].


Заметим, что одно и то же подынтегральное выражение можно различными способами записать в виде [math]u\,dv[/math]. Например,


[math]x^4\sin{x}\,dx=x^4\cdot d(-\cos{x})=\sin{x}\cdot d\!\left(\frac{x^5}{5}\right)= x^2\sin{x}\cdot d\!\left(\frac{x^3}{3}\right)[/math]

и т. д. Поэтому иногда приходится испытывать различные формы такой записи, прежде чем метод приведет к успеху. Обычно стараются подынтегральное выражение разбить на части [math]{u}[/math] и [math]dv[/math] так, чтобы вид [math]{v}[/math] был не сложнее, чем вид [math]{v'}[/math], а вид [math]{u'}[/math] проще, чем вид [math]{u}[/math]. В частности, полезно иметь в виду, что для таких функций, как [math]y=\ln{x},[/math] [math]y=x^n,[/math] [math]y=\operatorname{arctg}x,[/math] [math]y=\operatorname{arcctg}x[/math], производные имеют вид более простой, чем сами функции. Поэтому в большинстве случаев эти функции удобно принимать за функцию[math]{u}[/math].




Пример 1. Вычислим по частям неопределенный интеграл [math]\int x\cos{x}\,dx[/math].


Решение. Положим [math]u=x,~dv=\cos{x}\,dx[/math]. Тогда [math]du=dx,~ v=\sin{x}[/math].


Используя формулу интегрирования по частям (1), получаем:


[math]\int x\cos{x}\,dx=x\sin{x}-\int\sin{x}\,dx=x\sin{x}+\cos{x}+C.[/math]

Замечание. При нахождении [math]{v}[/math] не пишут промежуточную произвольную постоянную [math]C_1[/math], так как она не оказывает влияния на окончательный результат.


Пример 2. Вычислим интеграл [math]\int x^2\sin{x}\.dx[/math] с помощью метода интегрирования по частям.


Решение. Положим [math]u=x^2,~dv=\sin{x}\,dx[/math]. Тогда [math]du=2x\,dx,~v=-\cos{x}[/math].


Используя формулу (1), получим:


[math]\int x^2\sin{x}\,dx=-x^2\cos{x}+2\int x\cos{x}\,dx.[/math]
(2)

Чтобы вычислить полученный в правой части равенства (2) интеграл, приходится снова использовать метод интегрирования по частям. Получим (см. пример 1):


[math]\int x\cos{x}\,dx=x\sin{x}+\cos{x}+C_1.[/math]

Возвращаясь к исходному интегралу и воспользовавшись промежуточным равенством (2), окончательно получаем:


[math]\int x^2\sin{x}\,dx=-x^2\cos{x}+ 2(x\sin{x}+\cos{x}+C_1)= 2x\sin{x}+(2-x^2)\cos{x}+C~~(C=2C_1).[/math]



Пример 3. Вычислим неопределённый интеграл [math]\int x^3\ln{x}[/math].


Решение. В данном случае удобнее за и принять не степенную функцию, как в предыдущих примерах, а логарифмическую функцию.


Положим [math]u=\ln{x},~~dv=x^3\,dx[/math]. Тогда [math]du=\frac{1}{x}\,dx,~~ v=\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}\,.[/math].

Используя формулу (1), будем иметь:


[math]\begin{aligned}\int x^3\ln{x}\,dx&= \frac{x^4}{4}\ln{x}-\int\frac{x^4}{4} \cdot\frac{1}{x}\,dx= \frac{x^4}{4}\ln{x}-\frac{1}{4}\int x^3\,dx=\\ &=\frac{x^4}{4} \ln{x}-\frac{1}{4}\!\left(\frac{x^4}{4}+C_1\right)= \frac{x^4}{4}\ln{x}-\frac{x^4}{16}+C. \end{aligned}[/math]

Пример 4. Вычислим [math]\int e^x\sin{x}\,dx[/math].


Решение. В данном случае под знаком интеграла содержится произведение двух функций [math]e^x[/math] и [math]\sin{x}[/math]. Производная и первообразная каждой из этих функций не проще самой функции. Это значит, что в данном случае за и можно принять любую из функций [math]e^x,~\sin{x}[/math].


Положим [math]u=e^x,~~dv=\sin{x}\,dx[/math]. Тогда [math]du=e^x\,dx,~~ v=-\cos{x}\,dx[/math].

Преобразуем данный интеграл, воспользовавшись формулой (1):

[math]\int e^x\sin{x}\,dx= -e^x\cos{x}+\int\cos{x}\cdot e^x\,dx.[/math]

В правой части получили интеграл того же вида, что и данный. Для его вычисления применим метод интегрирования по частям, снова взяв за [math]{u}[/math] показательную функцию:


[math]u=e^x,~~dv=\cos{x}\,dx[/math]. Тогда [math]du=e^x\,dx,~~v=\sin{x}[/math].

Таким образом,

[math]\int e^x\sin{x}\,dx= -e^x\cos{x}+e^x\sin{x}-\int e^x\sin{x}\,dx.[/math]
(3)

В правой части равенства (3) содержится точно такой же интеграл, что и в левой части, но с другим знаком. Из равенства (3) получаем:


[math]2\int e^x\sin{x}\,dx=e^x\sin{x}-e^x\cos{x}+C_1[/math]
и далее:
[math]\int e^x\sin{x}\,dx=\frac{1}{2}\,e^x (\sin{x}-\cos{x})+C~\,\left(C= \frac{C_1}{2}\right)\!.[/math]

Замечание. После переноса интеграла в левую часть равенства (3) надо оставить в правой части произвольную постоянную [math]C_1[/math], неявно содержащуюся в записи интеграла.




Интегрирование по частям в определенном интеграле


Для определенного интеграла формула интегрирования по частям принимает следующий вид:


[math]\int\limits_{a}^{b}u\,dv=\Bigl.{uv}\Bigr|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v\,du.[/math]
(4)
В самом деле, если
[math]\int u\,dv=F(x)+C_1,\qquad \int v\,du=\Phi(x)+C2,[/math]

то по формуле интегрирования по частям для неопределенного интеграла имеем:

[math]F(x)=u(x)v(x)-\Phi(x)+C.[/math]
Поэтому
[math]F(b)=u(b)v(b)-\Phi(b)+C[/math] и [math]F(a)=u(a)v(a)-\Phi(a)+C[/math].

Значит, [math]F(b)-F(a)=\bigl(u(b)v(b)-u(a)v(a)\bigr)-\bigl(\Phi(b)-\Phi(a)\bigr)[/math], а это и есть формула (4).




Пример 5. Вычислить по частям определённый интеграл [math]\int\limits_{1}^{2}x\,e^x\,dx[/math].


Решение. Положим [math]u=x,~~dv=e^x\,dx[/math]. Тогда [math]du=dx,~~v=e^x[/math].


Воспользовавшись формулой (4), получим:


[math]\int\limits_{1}^{2}x\,e^x\,dx= \Bigl.{x\,e^x}\Bigr|_{1}^{2}- \int\limits_{1}^{2} e^x\,dx= 2\cdot e^2-1\cdot e^1-\Bigl.{e^x}\Bigr|_{1}^{2}= 2e^2-e-(e^2-e)=e^2.[/math]



Рекуррентные формулы: вывод интегрированием по частям


Метод интегрирования по частям применяется в ряде случаев для вывода рекуррентных (возвратных) формул. Рассмотрим примеры вывода рекуррентных формул как в случае неопределенного, так и в случае определенного интеграла,


Пример 6. Вычислим [math]\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^n}~ (n=1,2,3,\ldots)[/math].


Решение. Введем обозначение [math]I_k=\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^k}[/math].


Положим [math]u=\frac{1}{(a^2+x^2)^n},~dv=dx[/math]. Тогда [math]du=-n(a^2+x^2)^{-n-1} \cdot2x\,dx=-\frac{2nx\,dx}{(a^2+x^2)^{n+1}},~v=x[/math].


Воспользовавшись формулой (1), получим:


[math]I_n=\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^n}= \frac{x}{(a^2+x^2)^n}+ 2n\int\frac{x^2\,dx}{(a^2+x^2)^{n+1}}\,.[/math]
(5)

Преобразуем интеграл, содержащийся в правой части равенства (5), следующим образом:


[math]\int\frac{x^2\,dx}{(a^2+x^2)^{n+1}}= \int\frac{(a^2+x^2)-a^2}{(a^2+x^2)^{n+1}}\,dx= \ int\frac{dx}{(a^2+x^2)^n}- a^2\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^{n+1}}=I_n-a^2I_{n+1}.[/math]

Подставим полученное выражение в формулу (5):

[math]I_n=\frac{x}{(a^2+x^2)^n}+2n(I_n-a^2I_{n+1}).[/math]

Из этого равенства находим:

[math]I_{n+1}=\frac{2n-1}{2na^2}\,I_n+\frac{1}{2na^2}\cdot\frac{x}{(a^2+x^2)^n}\,.[/math]
(6)

Полученная рекуррентная формула (6), как бы возвращая нас назад от [math]n+1[/math] к [math]{n}[/math] позволяет свести вычисление интеграла с индексом [math]n+1[/math] к вычислению интеграла с меньшим индексом [math]{n}[/math].


Пусть, например, нужно вычислить интеграл [math]\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^2}[/math]. Воспользуемся рекуррентной формулой (б). В данном случае [math]n+1=2[/math], следовательно, [math]n=1[/math]. Имеем:


[math]I_2=\frac{1}{2a^2}\,I_1+\frac{1}{2a^2}\cdot\frac{x}{a^2+x^2}\,,[/math]
то есть
[math]I_2=\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^2}= \frac{1}{2a^2}\int\frac{dx}{a^2+x^2}+ \frac{1}{2a^2}\cdot\frac{x}{a^2+x^2}= \frac{1}{2a^2}\!\left(\frac{1}{a}\operatorname{arctg} \frac{x}{a}+ \frac{x}{a^2+x^2}\right)+C.[/math]

Для определенных интегралов рекуррентные формулы часто упрощаются за счет того, что при подстановке пределов интегрирования [math]{a}[/math] и [math]{b}[/math] произведение [math]u(x)v(x)[/math] обращается в нуль.




Пример 7. Вычислить определённый интеграл от тригонометрической функции [math]\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^nx\,dx~(n=1,2,3,\ldots)[/math].


Решение. Введем обозначение [math]I_n=\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^nx\,dx[/math] и положим


[math]u=\sin^{n-1}x,~~dv=\sin{x}\,dx[/math]. Тогда [math]du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos{x}\,dx,~~ v=-\cos{x}\,.[/math]

Воспользовавшись формулой (4), получим:


[math]\begin{aligned}I_n&=\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^nx\,dx= \int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^{n-1}x\sin{x}\,dx= \Bigl.{-\cos{x}\sin^{n-1}x}\Bigr|_{0}^{\pi/2}+ (n-1)\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=\\ &=-\left(\cos\frac{\pi}{2}\sin^{n-1}\frac{\pi}{2}-\cos0\sin^{n-1}0\right)+ (n-1)\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,dx=\\ &=0+(n-1)\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2}x\,dx- (n-1)\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^{n}x\,dx=(n-1)I_{n-2}-(n-1}I_n. \end{aligned}[/math]

Итак, [math]I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n[/math]. Это значит, что


[math]I_n=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2},[/math]
(7)
то есть
[math]\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^{n}x\,dx= \frac{n-1}{n}\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2}x\,dx\,.[/math]

Таким образом, рекуррентная формула (7) позволяет свести вычисление интеграла [math]\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx[/math] к вычислению интеграла, где [math]\sin{x}[/math] имеет более низкую степень. Например,


[math]I_3=\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^{3}x\,dx= \frac{3-1}{3}\,I_1= \frac{2}{3}\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin{x}\,dx= \frac{2}{3}\Bigl.{-\cos{x}}\Bigr|_{0}^{\pi/2}= -\frac{2}{3}\!\left(\cos\frac{\pi}{2}-\cos0\right)= \frac{2}{3}\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved