Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Интегрирование однородных линейных систем ДУ
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений

Интегрирование однородных линейных систем
с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера


Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами называется система дифференциальных уравнений вида

[math]\frac{dx_i}{dt}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}x_k(t),\quad i=1,2,\ldots,n,[/math]
(1)

где коэффициенты [math]a_{ik}[/math] — постоянные, а [math]x_k(t)[/math] — искомые функции от [math]t[/math].

Систему (1) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения


[math]\frac{dX}{dt}=AX,[/math]
где
[math]A= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\!,\quad X=\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_n(t)\end{pmatrix}\!,\quad \frac{dX}{dt}= \begin{pmatrix}\dfrac{dx_1}{dt}\\[9pt] \dfrac{dx_2}{dt}\\\vdots\\\dfrac{dx_n}{dt}\end{pmatrix}\!.[/math]

Одностолбцовая матрица
[math]Y(t)= \begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_n(t)\end{pmatrix}[/math]

называется частным решением уравнения (2) в интервале [math](a,b)[/math], если выполняется тождество

[math]\frac{dY}{dt}\equiv AY(t)[/math] для [math]a<t<b.[/math]

Система частных решений


[math]X_1(t)= \begin{pmatrix}x_1^{(1)}(t)\\ x_1^{(2)}(t)\\\vdots\\x_1^{(n)}(t)\end{pmatrix}\!,\quad X_2(t)= \begin{pmatrix}x_2^{(1)}(t)\\ x_2^{(2)}(t)\\\vdots\\x_2^{(n)}(t)\end{pmatrix}\!,\quad \ldots,\quad X_n(t)= \begin{pmatrix}x_n^{(1)}(t)\\ x_n^{(2)}(t)\\\vdots\\x_n^{(n)}(t)\end{pmatrix}[/math]

(здесь в записи [math]x_i^k[/math] нижний индекс указывает номер решения, а верхний — номер функции в решении) называется фундаментальной на интервале [math](a,b)[/math], если ее определитель Вронского

[math]\mathsf{W}(t)\equiv\mathsf{W}(X_1,X_2,\ldots,X_n)= \begin{vmatrix}x_1^{(1)}(t)& x_2^{(1)}(t)&\cdots&x_n^{(1)}(t)\\[3pt] x_1^{(2)}(t)& x_2^{(2)}(t)&\cdots&x_n^{(2)}(t)\\[3pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[3pt] x_1^{(n)}(t)& x_2^{(n)}(t)&\cdots&x_n^{(n)}(t)\end{vmatrix}\ne0\quad \forall\,t\in(a,b).[/math]



Теорема. Если система частных решений однородного уравнения (2) является фундаментальной, то общее решение этого уравнения имеет вид


[math]X(t)=C_1X_1(t)+C_2X_2(t)+\ldots+C_nX_n(t),[/math]

где [math]C_1,C_2,\ldots,C_n[/math] — произвольные постоянные.

Линейные системы можно интегрировать различными способами, рассмотренными ранее, например методом исключения, путем нахождения интегрируемых комбинаций и т.д.


Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами применяется также метод Эйлера.


Рассмотрим этот метод в применении к системе трех линейных дифференциальных уравнений:


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=ax+by+cz,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=a_1x+b_1y+c_1z,\\[9pt] \dfrac{dz}{dt}=a_2x+b_2y+c_2z.\end{cases}[/math]
(3)

Решение системы (3) ищем в виде


[math]x=\lambda\,e^{ r t},\quad y=\mu\,e^{ r t},\quad z=\nu\,e^{ r t},\quad \lambda,\mu,\nu, r=\text{const}.[/math]
(4)

Подставляя (4) в (3) и сокращая на [math]e^{ r t}[/math], получаем систему уравнений для определения [math]\lambda,\,\mu[/math] и [math]\nu:[/math]


[math]\begin{cases}(a- r)\lambda+b\mu+c\nu=0,\\ a_1\lambda+(b_1- r)\mu+c_1\nu=0,\\ a_2\lambda+b_2\mu+(c_2- r)\nu=0.\end{cases}[/math]
(5)

Система (5) имеет ненулевое решение, когда ее определитель [math]\Delta[/math] равен нулю,


[math]\Delta=\begin{vmatrix}a- r&b&c\\ a_1&b_1- r&c_1\\ a_2&b_2&c_2- r\end{vmatrix}=0.[/math]
(6)

Уравнение (6) называется характеристическим.


А. Пусть корни [math]r_1,\, r_2[/math] и [math]r_3[/math] характеристического уравнения — вещественные и различные. Подставив в (5) вместо [math]r[/math] число [math]r_1[/math] и решив систему (5), получим числа [math]\lambda_1,\,\mu_1[/math] и [math]\nu_1[/math]. Затем положим в (5) [math]r= r_2[/math] и получим числа [math]\lambda_2,\,\mu_2,\,\nu_2[/math] и, наконец, при [math]r= r_3[/math] получим [math]\lambda_3,\,\mu_3[/math] и [math]\nu_3[/math]. Соответственно трем наборам чисел [math]\lambda,\,\mu[/math] и [math]\nu[/math] получим три частных решения


[math]\begin{array}{*{20}{lll}}x_1=\lambda_1e^{ r_1t},&\quad y_1=\mu_1e^{ r_1t},&\quad z_1=\nu_1e^{ r_1t};\\[3pt] x_2=\lambda_2e^{ r_2t},&\quad y_2=\mu_2e^{ r_2t},&\quad z_2=\nu_2e^{ r_2t};\\[3pt] x_3=\lambda_3e^{ r_3t},&\quad y_3=\mu_3e^{ r_3t},&\quad z_3=\nu_3e^{ r_3t}.\end{array}[/math]

Общее решение системы (3) имеет вид


[math]\begin{cases}x=C_1\lambda_1e^{ r_1t}+ C_2\lambda_2e^{ r_2t}+ C_3\lambda_3e^{ r_3t},\\[3pt] y=C_1\mu_1e^{ r_1t}+ C_2\mu_2e^{ r_2t}+ C_3\mu_3e^{ r_3t},\\[3pt] y=C_1\nu_1e^{ r_1t}+ C_2\nu_2e^{ r_2t}+ C_3\nu_3e^{ r_3t}.\end{cases}[/math]



Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений


[math]\begin{cases}x'_t=3x-y+z,\\ y'_t=-x+5y-z,\\z'_t=x-y+3z.\end{cases}[/math]

Решение. Составляем характеристическое уравнение


[math]\begin{vmatrix}3-r&-1&1\\-1&5-r&-1\\1&-1&3-r\end{vmatrix}=0,[/math] или [math]r^3-11r^2+36r-36=0.[/math]

Корням [math]r_1=2,~r_2=3,~r_3=6[/math] соответствуют числа


[math]\begin{array}{*{20}{lll}}\lambda_1=1,&\quad \mu_1=0,&\quad \nu_1=-1;\\ \lambda_2=1,&\quad \mu_2=1,&\quad \nu_2=1;\\ \lambda_3=1,&\quad \mu_3=-2,&\quad \nu_3=1.\end{array}[/math]

Выписываем частные решения

[math]\begin{array}{*{20}{lll}}x_1=e^{2t},&\quad y_1=0,&\quad z_1=-e^{2t},\\ x_2=e^{3t},&\quad y_2=e^{3t},&\quad z_2=e^{3t},\\ x_3=e^{6t},&\quad y_3=-2e^{6t},&\quad z_3=e^{6t}.\end{array}[/math]

Общее решение системы:
[math]\begin{cases}x=C_1e^{2t}+C_2e^{3t}+C_3e^{6t},\\ y=C_2e^{3t}-2C_3e^{6t},\\ z=-C_1e^{2t}+C_2e^{3t}+C_3e^{6t}.\end{cases}[/math]



Б. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения комплексные.


Пример 2. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x-5y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=2x-y.\end{cases}[/math]
(7)

Решение. Выпишем систему для определения [math]\lambda[/math] и [math]\mu[/math]


[math]\begin{cases}(1- r)\lambda-5\mu=0,\\2\lambda-(1+ r)\mu=0.\end{cases}[/math]
(8)

Характеристическое уравнение
[math]\begin{vmatrix}1-r&-5\\2&-1-r\end{vmatrix}=0[/math]

имеет корни [math]r_1=3i,~r_2=-3i[/math]. Подставляя [math]r_1=3i[/math] в (8), получаем два уравнения для определения [math]\lambda_1[/math] и [math]\mu_1:[/math]

[math](1-3i)\lambda_1-5\mu_1=0,\quad 2\lambda_1-(1+3i)\mu_1=0.[/math]

из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель системы (8) равен нулю).

Возьмем [math]\lambda_1=5,~\mu_1=1-3i[/math], тогда первое частное решение запишется так:


[math]x_1=5e^{3it},\quad y_1=(1-3i)e^{3it}.[/math]
(9)

Аналогично, подставляя в (8) корень [math]r_2=-3i[/math], найдем второе частное решение:


[math]x_2=5e^{-3it},\quad y_2=(1+3i)e^{-3it}.[/math]
(10)

Перейдем к новой фундаментальной системе решений:


[math]\begin{array}{*{20}{ll}}\wedetilde{x}_1=\dfrac{x_1+x_2}{2}\,,&\quad \wedetilde{x}_2=\dfrac{x_1-x_2}{2i}\,,\\[9pt] \wedetilde{y}_1=\dfrac{y_1+y_2}{2}\,,&\quad \wedetilde{y}_2=\dfrac{y_1-y_2}{2i}\,.\end{array}[/math]
(11)

Пользуясь известной формулой Эйлера [math]e^{\pm\alpha it}=\cos\alpha t\pm i\sin\alpha t[/math], из (9), (10) и (11) получаем


[math]\begin{array}{*{20}{ll}}\wedetilde{x}_1=5\cos3t\,,&\quad \wedetilde{x}_2=5\sin3t\,,\\[3pt] \wedetilde{y}_1=\cos3t+3\sin3t\,,&\quad \wedetilde{y}_2=\sin3t-3\cos3t\,.[/math]

Общим решением системы (7) будет

[math]\begin{cases}x=C_1\wedetilde{x}_1+C_2\wedetilde{x}_2= 5C_1\cos3t+5C_2\sin3t\,,\\[3pt] y=C_1\wedetilde{y}_1+C_2\wedetilde{y}_2= C_1(\cos3t+3\sin3t)+C_2(\sin3t-3\cos3t).\end{cases}[/math]



Замечание. Найдя первое частное решение (9), можно было бы сразу написать общее решение системы (7), пользуясь формулами


[math]x=C_1\operatorname{Re}x_1+ C_2\operatorname{Im}x_1\,,\quad y=C_1\operatorname{Re}y_1+ C_2\operatorname{Im}y_1\,,[/math]

где [math]\operatorname{Re}z[/math] и [math]\operatorname{Im}z[/math] обозначают соответственно действительную и мнимую части комплексного числа [math]z[/math], т. е. если [math]z=a+bi[/math], то [math]\operatorname{Re}z=a,[/math] [math]\operatorname{Im}z=b[/math].




В. Случай кратных корней.


Пример 3. Решить систему


[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=2x+y,\\[9pt] \dfrac{dy}{dt}=4y-x.\end{cases}[/math]
(12)

Решение. Характеристическое уравнение


[math]\begin{vmatrix}2-r&1\\-1&4-r\end{vmatrix}=0[/math] или [math]r^2-6r+9=0[/math] имеет кратный корень [math]r_{1,2}=3.[/math]

Решение следует искать в виде

[math]x=(\lambda_1+\mu_1t)e^{3t},\quad y=(\lambda_2+\mu_2t)e^{3t}.[/math]
(13)

Подставляя (13) в первое уравнение системы (12), получаем

[math]3(\lambda_1+\mu_1t)+\mu_1= 2(\lambda_1+\mu_1t)+(\lambda_2+\mu_2t).[/math]
(14)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях [math]t[/math] в левой и правой части (14), получаем:

[math]\begin{cases}3\lambda_1+\mu_1=2\lambda_1+\lambda_2,\\3\mu_1=2\mu_1+\mu_2,\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases}\lambda_2=\lambda_1+\mu_1,\\\mu_2=\mu_1.\end{cases}[/math]
(15)

Величины [math]\lambda_1[/math] и [math]\mu_1[/math] остаются произвольными. Обозначая их соответственно через [math]C_1[/math] и [math]C_2[/math], получаем общее решение системы (12):


[math]x=(C_1+C_2t)e^{3t},\quad y=(C_1+C_2+C_2t)e^{3t}.[/math]



Замечание. Легко проверить, что если (13) подставить во второе уравнение системы (12), то получим тот же результат (15). В самом деле, из равенства


[math]\mu_2+3(\lambda_2+\mu_2t)=4(\lambda_2+\mu_2t)-(\lambda_1+\mu_1t)[/math]

получаем два соотношения для определения [math]\lambda_2[/math] и [math]\mu_2[/math] через [math]\lambda_1[/math] и [math]\mu_1[/math]

[math]\begin{cases}\mu_2+3\lambda_2=4\lambda_2-\lambda_1,\\3\mu_2=4\mu_2-\mu_1,\end{cases}[/math] откуда [math]\begin{cases}\lambda_2=\lambda_1+\mu_2,\\\mu_2=\mu_1.\end{cases}[/math]




Пример 4. Решить задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений


[math]\begin{cases}x'(t)=6y,\\y'(t)=-2z,\\z'(t)=2x+8y-2z\end{cases}[/math]
(16)

с начальными условиями [math]x(0)=-4,~y(0)=0,~z(0)=1[/math].

Решение. Характеристическое уравнение


[math]\begin{vmatrix}-r&8&0\\0&-r&-2\\2&8&-2-r\end{vmatrix}=0 \quad\Leftrightarrow\quad (r+2)(r^2+16)=0.[/math]
(17)

Корни уравнения (17): [math]r_1=-2,~r_2=4i,~r_3=-4i[/math]. Действительному корню [math]r_1=-2[/math] отвечает решение


[math]x_1=\lambda_1e^{-2t},\quad y_1=\mu_1e^{-2t},\quad z_1=\nu_1e^{-2t}.[/math]
(18)

Подставляя (18) в систему (16) и сокращая на [math]e^{-2t}[/math], получаем


[math]-2\lambda_1=8\mu_1,\quad -2\mu_1=-2\nu_1,\quad -2\nu_1=2\lambda_1+8\mu_1-2\nu_1,[/math]

откуда [math]\lambda_1=-4\mu_1,~\nu_1=\mu_1[/math]. Полагаем, например, [math]\mu_1=1[/math], тогда [math]\lambda_1=-4,~\nu_1=1[/math] и частное решение (18):


[math]x_1=-4e^{-2t},\quad y_1=e^{-2t},\quad z_1=e^{-2t}.[/math]
(19)

Комплексному корню [math]r_2=4i[/math] отвечает решение

[math]x_2=\lambda_2e^{4it},\quad y_2=\mu_2e^{4it},\quad z_2=\nu_2e^{4it},[/math]

подставив которое в (16) и сокращая на [math]e^{4it}[/math], получим


[math]4i\lambda_2=8\mu_2,\quad 4i\mu_2=-2\nu_2,\quad 4i\nu_2=2\lambda_2+8\mu_2-2\nu_2,[/math]

откуда [math]\lambda_2=-2i\mu_2,~\nu_2=-2i\mu_2[/math], так что, например, при [math]\mu_2=i[/math] имеем [math]\lambda_2=2,~\nu_2=2[/math] и частное решение


[math]x_2=2e^{4it},\quad y_2=ie^{4it},\quad z_2=\nu_2e^{4it}.[/math]
(20)

Корню [math]r_3=-4i[/math] соответствует решение, комплексно сопряженное решению (20), т.е.


[math]x_3=2e^{-4it},\quad y_3=-ie^{-4it},\quad z_3=\nu_2e^{-4it}.[/math]
(21)

Учитывая (19), (20), (21), получаем общее решение

[math]\begin{cases}x=-4C_1e^{-2t}+2C_2e^{4it}+2C_3e^{-4it},\\[2pt] y=C_1e^{-2t}+C_2ie^{4it}-C_3ie^{-4it},\\[2pt] z=C_1e^{-2t}+2C_2e^{4it}+2C_3e^{-4it}.\end{cases}[/math]
(22)

Выделим, наконец, решение с начальными условиями [math]x(0)=-4,~y(0)=0,~z(0)=1[/math]. Из (22) при [math]t=0[/math] имеем


[math]\begin{cases}-4=-4C_1+2C_2+2C_3,\\ \phantom{-}0=C_1+C_2i-C_3i,\\ \phantom{-}1-C_1+2C_2+2C_3,\end{cases}[/math] откуда [math]C_1=1,~C_2=\frac{i}{2},~C_3=-\frac{i}{2}\,.[/math]

Итак,
[math]\begin{cases}x=-4e^{-2t}+ie^{4it}-ie^{-4it},\\[2pt] y=e^{-2t}-\frac{1}{2}e^{4it}-\frac{1}{2}e^{-4it},\\[2pt] z=e^{-2t}+iC_2e^{4it}-iC_3e^{-4it}.\end{cases}[/math]

Воспользовавшись формулами Эйлера [math]e^{\pm i\alpha t}=\cos\alpha t\pm i\sin\alpha t[/math], окончательно получим


[math]z=-4e^{-2t}-2\sin4t,\quad y=e^{-2t}-\cos4t,\quad z=e^{-2t}-2\sin4t.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved