Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Интегрирование однородных линейных систем ДУ

Интегрирование однородных линейных систем ДУ
с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера


Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами называется система дифференциальных уравнений вида


\frac{dx_i}{dt}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}x_k(t),\quad i=1,2,\ldots,n,
(1)

где коэффициенты a_{ik} — постоянные, а x_k(t) — искомые функции от t.


Систему (1) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения


\frac{dX}{dt}=AX, где A= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\!,\quad X=\begin{pmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_n(t)\end{pmatrix}\!,\quad \frac{dX}{dt}= \begin{pmatrix}\dfrac{dx_1}{dt}\\ \dfrac{dx_2}{dt}\\\vdots\\\dfrac{dx_n}{dt}\end{pmatrix}\!.

Одностолбцовая матрица


Y(t)= \begin{pmatrix}y_1(t)\\y_2(t)\\\vdots\\y_n(t)\end{pmatrix}

называется частным решением уравнения (2) в интервале (a,b), если выполняется тождество


\frac{dY}{dt}\equiv AY(t) для a<t<b.

Система частных решений


X_1(t)= \begin{pmatrix}x_1^{(1)}(t)\\ x_1^{(2)}(t)\\\vdots\\x_1^{(n)}(t)\end{pmatrix}\!,\quad X_2(t)= \begin{pmatrix}x_2^{(1)}(t)\\ x_2^{(2)}(t)\\\vdots\\x_2^{(n)}(t)\end{pmatrix}\!,\quad \ldots,\quad X_n(t)= \begin{pmatrix}x_n^{(1)}(t)\\ x_n^{(2)}(t)\\\vdots\\x_n^{(n)}(t)\end{pmatrix}

(здесь в записи x_i^k нижний индекс указывает номер решения, а верхний — номер функции в решении) называется фундаментальной на интервале (a,b), если ее определитель Вронского


\mathsf{W}(t)\equiv\mathsf{W}(X_1,X_2,\ldots,X_n)= \begin{vmatrix}x_1^{(1)}(t)& x_2^{(1)}(t)&\cdots&x_n^{(1)}(t)\\[3pt] x_1^{(2)}(t)& x_2^{(2)}(t)&\cdots&x_n^{(2)}(t)\\[3pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[3pt] x_1^{(n)}(t)& x_2^{(n)}(t)&\cdots&x_n^{(n)}(t)\end{vmatrix}\ne0\quad \forall\,t\in(a,b).



Теорема. Если система частных решений однородного уравнения (2) является фундаментальной, то общее решение этого уравнения имеет вид


X(t)=C_1X_1(t)+C_2X_2(t)+\ldots+C_nX_n(t),

где C_1,C_2,\ldots,C_n — произвольные постоянные.


Линейные системы можно интегрировать различными способами, рассмотренными ранее, например методом исключения, путем нахождения интегрируемых комбинаций и т.д.


Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами применяется также метод Эйлера.


Рассмотрим этот метод в применении к системе трех линейных дифференциальных уравнений:


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=ax+by+cz,\\ \dfrac{dy}{dt}=a_1x+b_1y+c_1z,\\ \dfrac{dz}{dt}=a_2x+b_2y+c_2z.\end{cases}
(3)

Решение системы (3) ищем в виде


x=\lambda\,e^{ r t},\quad y=\mu\,e^{ r t},\quad z=\nu\,e^{ r t},\quad \lambda,\mu,\nu, r=\text{const}.
(4)

Подставляя (4) в (3) и сокращая на e^{rt}, получаем систему уравнений для определения \lambda,\,\mu и \nu:


\begin{cases}(a- r)\lambda+b\mu+c\nu=0,\\ a_1\lambda+(b_1- r)\mu+c_1\nu=0,\\ a_2\lambda+b_2\mu+(c_2- r)\nu=0.\end{cases}
(5)

Система (5) имеет ненулевое решение, когда ее определитель \Delta равен нулю,


\Delta=\begin{vmatrix}a- r&b&c\\ a_1&b_1- r&c_1\\ a_2&b_2&c_2- r\end{vmatrix}=0.
(6)

Уравнение (6) называется характеристическим.


А. Пусть корни r_1,\, r_2 и r_3 характеристического уравнения — вещественные и различные. Подставив в (5) вместо r число r_1 и решив систему (5), получим числа \lambda_1,\,\mu_1 и \nu_1. Затем положим в (5) r= r_2 и получим числа \lambda_2,\,\mu_2,\,\nu_2 и, наконец, при r= r_3 получим \lambda_3,\,\mu_3 и \nu_3. Соответственно трем наборам чисел \lambda,\,\mu и \nu получим три частных решения


\begin{array}{*{20}{lll}}x_1=\lambda_1e^{ r_1t},&\quad y_1=\mu_1e^{ r_1t},&\quad z_1=\nu_1e^{ r_1t};\\[3pt] x_2=\lambda_2e^{ r_2t},&\quad y_2=\mu_2e^{ r_2t},&\quad z_2=\nu_2e^{ r_2t};\\[3pt] x_3=\lambda_3e^{ r_3t},&\quad y_3=\mu_3e^{ r_3t},&\quad z_3=\nu_3e^{ r_3t}.\end{array}

Общее решение системы (3) имеет вид


\begin{cases}x=C_1\lambda_1e^{ r_1t}+ C_2\lambda_2e^{ r_2t}+ C_3\lambda_3e^{ r_3t},\\[3pt] y=C_1\mu_1e^{ r_1t}+ C_2\mu_2e^{ r_2t}+ C_3\mu_3e^{ r_3t},\\[3pt] y=C_1\nu_1e^{ r_1t}+ C_2\nu_2e^{ r_2t}+ C_3\nu_3e^{ r_3t}.\end{cases}



Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений


\begin{cases}x'_t=3x-y+z,\\ y'_t=-x+5y-z,\\z'_t=x-y+3z.\end{cases}

Решение. Составляем характеристическое уравнение


\begin{vmatrix}3-r&-1&1\\-1&5-r&-1\\1&-1&3-r\end{vmatrix}=0, или r^3-11r^2+36r-36=0.

Корням r_1=2,~r_2=3,~r_3=6 соответствуют числа


\begin{array}{*{20}{lll}}\lambda_1=1,&\quad \mu_1=0,&\quad \nu_1=-1;\\ \lambda_2=1,&\quad \mu_2=1,&\quad \nu_2=1;\\ \lambda_3=1,&\quad \mu_3=-2,&\quad \nu_3=1.\end{array}

Выписываем частные решения


\begin{array}{*{20}{lll}}x_1=e^{2t},&\quad y_1=0,&\quad z_1=-e^{2t},\\ x_2=e^{3t},&\quad y_2=e^{3t},&\quad z_2=e^{3t},\\ x_3=e^{6t},&\quad y_3=-2e^{6t},&\quad z_3=e^{6t}.\end{array}

Общее решение системы:


\begin{cases}x=C_1e^{2t}+C_2e^{3t}+C_3e^{6t},\\ y=C_2e^{3t}-2C_3e^{6t},\\ z=-C_1e^{2t}+C_2e^{3t}+C_3e^{6t}.\end{cases}



Б. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения комплексные.


Пример 2. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=x-5y,\\ \dfrac{dy}{dt}=2x-y.\end{cases}
(7)

Решение. Выпишем систему для определения \lambda и \mu


\begin{cases}(1- r)\lambda-5\mu=0,\\2\lambda-(1+ r)\mu=0.\end{cases}
(8)

Характеристическое уравнение


\begin{vmatrix}1-r&-5\\2&-1-r\end{vmatrix}=0

имеет корни r_1=3i,~r_2=-3i. Подставляя r_1=3i в (8), получаем два уравнения для определения \lambda_1 и \mu_1:


(1-3i)\lambda_1-5\mu_1=0,\quad 2\lambda_1-(1+3i)\mu_1=0.

из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель системы (8) равен нулю).


Возьмем \lambda_1=5,~\mu_1=1-3i, тогда первое частное решение запишется так:


x_1=5e^{3it},\quad y_1=(1-3i)e^{3it}.
(9)

Аналогично, подставляя в (8) корень r_2=-3i, найдем второе частное решение:


x_2=5e^{-3it},\quad y_2=(1+3i)e^{-3it}.
(10)

Перейдем к новой фундаментальной системе решений:


\begin{array}{*{20}{ll}}\widetilde{x}_1=\dfrac{x_1+x_2}{2}\,,&\quad \widetilde{x}_2=\dfrac{x_1-x_2}{2i}\,,\\ \widetilde{y}_1=\dfrac{y_1+y_2}{2}\,,&\quad \widetilde{y}_2=\dfrac{y_1-y_2}{2i}\,.\end{array}
(11)

Пользуясь известной формулой Эйлера e^{\pm\alpha it}=\cos\alpha t\pm i\sin\alpha t, из (9), (10) и (11) получаем


\begin{array}{*{20}{ll}}\widetilde{x}_1=5\cos3t\,,&\quad \widetilde{x}_2=5\sin3t\,,\\ \widetilde{y}_1=\cos3t+3\sin3t\,,&\quad \widetilde{y}_2=\sin3t-3\cos3t\,.\end{array}

Общим решением системы (7) будет


\begin{cases}x=C_1\widetilde{x}_1+C_2\widetilde{x}_2= 5C_1\cos3t+5C_2\sin3t\,,\\[3pt] y=C_1\widetilde{y}_1+C_2\widetilde{y}_2= C_1(\cos3t+3\sin3t)+C_2(\sin3t-3\cos3t).\end{cases}



Замечание. Найдя первое частное решение (9), можно было бы сразу написать общее решение системы (7), пользуясь формулами


x=C_1\operatorname{Re}x_1+ C_2\operatorname{Im}x_1\,,\quad y=C_1\operatorname{Re}y_1+ C_2\operatorname{Im}y_1\,,

где \operatorname{Re}z и \operatorname{Im}z обозначают соответственно действительную и мнимую части комплексного числа z, т. е. если z=a+bi, то \operatorname{Re}z=a, \operatorname{Im}z=b.




В. Случай кратных корней.


Пример 3. Решить систему


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=2x+y,\\ \dfrac{dy}{dt}=4y-x.\end{cases}
(12)

Решение. Характеристическое уравнение


\begin{vmatrix}2-r&1\\-1&4-r\end{vmatrix}=0 или r^2-6r+9=0 имеет кратный корень r_{1,2}=3.

Решение следует искать в виде


x=(\lambda_1+\mu_1t)e^{3t},\quad y=(\lambda_2+\mu_2t)e^{3t}.
(13)

Подставляя (13) в первое уравнение системы (12), получаем


3(\lambda_1+\mu_1t)+\mu_1= 2(\lambda_1+\mu_1t)+(\lambda_2+\mu_2t).
(14)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой части (14), получаем:


\begin{cases}3\lambda_1+\mu_1=2\lambda_1+\lambda_2,\\3\mu_1=2\mu_1+\mu_2,\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases}\lambda_2=\lambda_1+\mu_1,\\\mu_2=\mu_1.\end{cases}
(15)

Величины \lambda_1 и \mu_1 остаются произвольными. Обозначая их соответственно через C_1 и C_2, получаем общее решение системы (12):


x=(C_1+C_2t)e^{3t},\quad y=(C_1+C_2+C_2t)e^{3t}.



Замечание. Легко проверить, что если (13) подставить во второе уравнение системы (12), то получим тот же результат (15). В самом деле, из равенства


\mu_2+3(\lambda_2+\mu_2t)=4(\lambda_2+\mu_2t)-(\lambda_1+\mu_1t)

получаем два соотношения для определения \lambda_2 и \mu_2 через \lambda_1 и \mu_1


\begin{cases}\mu_2+3\lambda_2=4\lambda_2-\lambda_1,\\3\mu_2=4\mu_2-\mu_1,\end{cases} откуда \begin{cases}\lambda_2=\lambda_1+\mu_2,\\\mu_2=\mu_1.\end{cases}



Пример 4. Решить задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений


\begin{cases}x'(t)=6y,\\y'(t)=-2z,\\z'(t)=2x+8y-2z\end{cases}
(16)

с начальными условиями x(0)=-4,~y(0)=0,~z(0)=1.


Решение. Характеристическое уравнение


\begin{vmatrix}-r&8&0\\0&-r&-2\\2&8&-2-r\end{vmatrix}=0 \quad\Leftrightarrow\quad (r+2)(r^2+16)=0.
(17)

Корни уравнения (17): r_1=-2,~r_2=4i,~r_3=-4i. Действительному корню r_1=-2 отвечает решение


x_1=\lambda_1e^{-2t},\quad y_1=\mu_1e^{-2t},\quad z_1=\nu_1e^{-2t}.
(18)

Подставляя (18) в систему (16) и сокращая на e^{-2t}, получаем


-2\lambda_1=8\mu_1,\quad -2\mu_1=-2\nu_1,\quad -2\nu_1=2\lambda_1+8\mu_1-2\nu_1,

откуда \lambda_1=-4\mu_1,~\nu_1=\mu_1. Полагаем, например, \mu_1=1, тогда \lambda_1=-4,~\nu_1=1 и частное решение (18):


x_1=-4e^{-2t},\quad y_1=e^{-2t},\quad z_1=e^{-2t}.
(19)

Комплексному корню r_2=4i отвечает решение


x_2=\lambda_2e^{4it},\quad y_2=\mu_2e^{4it},\quad z_2=\nu_2e^{4it},

подставив которое в (16) и сокращая на e^{4it}, получим


4i\lambda_2=8\mu_2,\quad 4i\mu_2=-2\nu_2,\quad 4i\nu_2=2\lambda_2+8\mu_2-2\nu_2,

откуда \lambda_2=-2i\mu_2,~\nu_2=-2i\mu_2, так что, например, при \mu_2=i имеем \lambda_2=2,~\nu_2=2 и частное решение


x_2=2e^{4it},\quad y_2=ie^{4it},\quad z_2=\nu_2e^{4it}.
(20)

Корню r_3=-4i соответствует решение, комплексно сопряженное решению (20), т.е.


x_3=2e^{-4it},\quad y_3=-ie^{-4it},\quad z_3=\nu_2e^{-4it}.
(21)

Учитывая (19), (20), (21), получаем общее решение


\begin{cases}x=-4C_1e^{-2t}+2C_2e^{4it}+2C_3e^{-4it},\\[2pt] y=C_1e^{-2t}+C_2ie^{4it}-C_3ie^{-4it},\\[2pt] z=C_1e^{-2t}+2C_2e^{4it}+2C_3e^{-4it}.\end{cases}
(22)

Выделим, наконец, решение с начальными условиями x(0)=-4,~y(0)=0,~z(0)=1. Из (22) при t=0 имеем


\begin{cases}-4=-4C_1+2C_2+2C_3,\\ \phantom{-}0=C_1+C_2i-C_3i,\\ \phantom{-}1=C_1+2C_2+2C_3,\end{cases} откуда \begin{cases}C_1=1,\\ C_2=i/2,\\ C_3=-i/2.\end{cases}

Итак,

\begin{cases}x=-4e^{-2t}+ie^{4it}-ie^{-4it},\\[2pt] y=e^{-2t}-\frac{1}{2}e^{4it}-\frac{1}{2}e^{-4it},\\[2pt] z=e^{-2t}+iC_2e^{4it}-iC_3e^{-4it}.\end{cases}

Воспользовавшись формулами Эйлера e^{\pm i\alpha t}=\cos\alpha t\pm i\sin\alpha t, окончательно получим


z=-4e^{-2t}-2\sin4t,\quad y=e^{-2t}-\cos4t,\quad z=e^{-2t}-2\sin4t.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved