Интегрирование однородных линейных систем ДУ с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера
Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами называется система дифференциальных уравнений вида
(1)
где коэффициенты — постоянные, а — искомые функции от .
Систему (1) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения
, где
Одностолбцовая матрица
называется частным решением уравнения (2) в интервале , если выполняется тождество
для .
Система частных решений
(здесь в записи нижний индекс указывает номер решения, а верхний — номер функции в решении) называется фундаментальной на интервале , если ее определитель Вронского
Теорема. Если система частных решений однородного уравнения (2) является фундаментальной, то общее решение этого уравнения имеет вид
где — произвольные постоянные.
Линейные системы можно интегрировать различными способами, рассмотренными ранее, например методом исключения, путем нахождения интегрируемых комбинаций и т.д.
Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами применяется также метод Эйлера.
Рассмотрим этот метод в применении к системе трех линейных дифференциальных уравнений:
(3)
Решение системы (3) ищем в виде
(4)
Подставляя (4) в (3) и сокращая на , получаем систему уравнений для определения и
(5)
Система (5) имеет ненулевое решение, когда ее определитель равен нулю,
(6)
Уравнение (6) называется характеристическим.
А. Пусть корни и характеристического уравнения — вещественные и различные. Подставив в (5) вместо число и решив систему (5), получим числа и . Затем положим в (5) и получим числа и, наконец, при получим и . Соответственно трем наборам чисел и получим три частных решения
Общее решение системы (3) имеет вид
Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений
Решение. Составляем характеристическое уравнение
или
Корням соответствуют числа
Выписываем частные решения
Общее решение системы:
Б. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения комплексные.
Пример 2. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений
(7)
Решение. Выпишем систему для определения и
(8)
Характеристическое уравнение
имеет корни . Подставляя в (8), получаем два уравнения для определения и
из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель системы (8) равен нулю).
Возьмем , тогда первое частное решение запишется так:
(9)
Аналогично, подставляя в (8) корень , найдем второе частное решение:
(10)
Перейдем к новой фундаментальной системе решений:
(11)
Пользуясь известной формулой Эйлера , из (9), (10) и (11) получаем
Общим решением системы (7) будет
Замечание. Найдя первое частное решение (9), можно было бы сразу написать общее решение системы (7), пользуясь формулами
где и обозначают соответственно действительную и мнимую части комплексного числа , т. е. если , то , .
В. Случай кратных корней.
Пример 3. Решить систему
(12)
Решение. Характеристическое уравнение
Решение следует искать в виде
(13)
Подставляя (13) в первое уравнение системы (12), получаем
(14)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части (14), получаем:
(15)
Величины и остаются произвольными. Обозначая их соответственно через и , получаем общее решение системы (12):
Замечание. Легко проверить, что если (13) подставить во второе уравнение системы (12), то получим тот же результат (15). В самом деле, из равенства
получаем два соотношения для определения и через и
откуда
Пример 4. Решить задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
(16)
с начальными условиями .
Решение. Характеристическое уравнение
(17)
Корни уравнения (17): . Действительному корню отвечает решение
(18)
Подставляя (18) в систему (16) и сокращая на , получаем
откуда . Полагаем, например, , тогда и частное решение (18):
(19)
Комплексному корню отвечает решение
подставив которое в (16) и сокращая на , получим
откуда , так что, например, при имеем и частное решение
(20)
Корню соответствует решение, комплексно сопряженное решению (20), т.е.
(21)
Учитывая (19), (20), (21), получаем общее решение
(22)
Выделим, наконец, решение с начальными условиями . Из (22) при имеем
откуда Итак,
Воспользовавшись формулами Эйлера , окончательно получим
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|