Интегрирование иррациональных функций
При интегрировании иррациональных функций используются различные приемы. Мы рассмотрим метод рационализации подынтегрального выражения. Он заключается в выборе такой подстановки , которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное относительно новой переменной . Поскольку рациональные функции мы умеем интегрировать, такие подстановки позволяют интегрировать и иррациональные функции.
Пусть — рациональная функция от и , т. е. функция, получаемая из и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления). Примерами таких функций могут служить
Если заменить в переменную выражением , то получим функцию от одной переменной . Интеграл от нее имеет вид:
Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки
В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно функцию, то переменная рационально выражается через переменную
Тогда — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной
Замечание. Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.
Пример 1. Вычислим интеграл от иррациональной функции .
Решение. Учитывая, что под корнем содержится дробно-линейное выражение, воспользуемся подстановкой
, откуда .
Выразим все компоненты подынтегрального выражения через .
Заменив под знаком интеграла переменную новой переменной , получим:
Пример 2. Вычислим .
Решение. В данном случае под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же подкоренным выражением. Наименьшее общее кратное всех показателей корней, входящих в состав подынтегрального выражения, равно 6, поэтому данный интеграл от иррациональной функции может быть рационализирован с помощью подстановки:
, тогда
Заменив переменную под знаком интеграла, получим:
Под знаком интеграла содержится неправильная рациональная дробь. Для выделения целой части разделим числитель на знаменатель. Получаем: Поэтому
Для вычисления интеграла выделим в знаменателе полный квадрат аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере. Получим:
Окончательно находим, где :
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|