Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование иррациональных функций


При интегрировании иррациональных функций используются различные приемы. Мы рассмотрим метод рационализации подынтегрального выражения. Он заключается в выборе такой подстановки t=\varphi(x), которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное относительно новой переменной t. Поскольку рациональные функции мы умеем интегрировать, такие подстановки позволяют интегрировать и иррациональные функции.


Пусть R(x,y) — рациональная функция от x и y, т. е. функция, получаемая из x,y и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления). Примерами таких функций могут служить


z=\frac{x^2-y^2}{x^2+3y^2(4x-y)}\,;\qquad z=\frac{x^3+y^3}{x-y}+ \frac{(x^5-6y^2)^2}{(8x^3-9xy)^3}\,.

Если заменить в R(x,y) переменную y выражением \sqrt[\LARGE{n}]{\frac{ax+b}{cx+d}}, то получим функцию R\!\left(x, \sqrt[\LARGE{n}]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right) от одной переменной x. Интеграл от нее имеет вид:


\int R\!\left(x,\sqrt[\LARGE{n}]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\!dx\,.

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки


\sqrt[\LARGE{n}]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t\,.

В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно x функцию, то переменная x рационально выражается через переменную t:


\frac{ax+b}{cx+d}=t^n,\qquad x=\frac{b-d\,t^n}{c\,t^n-a}=g(t).

Тогда x'=g'(t) — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной t:


\int R\!\left(x,\sqrt[\LARGE{n}]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\!dx= \int R(g(t),t)g'(t)\,dt\,.

Замечание. Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.




Пример 1. Вычислим интеграл от иррациональной функции \int\frac{dx}{(x-1)(x+2)\sqrt[\LARGE{4}]{\dfrac{x+2}{x-1}}}.


Решение. Учитывая, что под корнем содержится дробно-линейное выражение, воспользуемся подстановкой


\sqrt[\LARGE{4}]{\frac{x+2}{x-1}}=t, откуда x= \frac{t^4+2}{t^4-1}.

Выразим все компоненты подынтегрального выражения через t.


\begin{gathered}x-1=\frac{t^4+2}{t^4-1}-1=\frac{3}{t^4-1}\,;\qquad x+2=\frac{t^4+2}{t^4-1} +2= \frac{3t^4}{t^4-1}\,;\\ dx=\left(\frac{t^4+2}{t^4-1}\right)'dt= -\frac{12t^3}{(t^4-1)^2}\,dt\,.\end{gathered}

Заменив под знаком интеграла переменную x новой переменной t, получим:


\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)\sqrt[\LARGE{4}]{\dfrac{x+2}{x-1}}}= \int\frac{-\dfrac{12t^3}{(t^4- 1)^2}\,dt}{\dfrac{3}{t^4-1}\cdot\dfrac{3t^4}{t^4-1}\cdot t}= -\frac{4}{3}\int\frac{dt}{t^2}= \frac{4}{3t}+C= \frac{4}{3}\sqrt[\LARGE{4}]{\frac{x-1}{x+2}}+C.



Пример 2. Вычислим I=\int\frac{1+7 \sqrt[\LARGE{3}]{\dfrac{5x- 1}{7}}-5x}{\sqrt[\LARGE{6}]{\dfrac{5x-1}{7}}+\sqrt[\LARGE{3}]{\dfrac{5x-1}{7}}+\sqrt{\dfrac{5x-1}{7}}}\,dx.


Решение. В данном случае под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же подкоренным выражением. Наименьшее общее кратное всех показателей корней, входящих в состав подынтегрального выражения, равно 6, поэтому данный интеграл от иррациональной функции может быть рационализирован с помощью подстановки:


\sqrt[\LARGE{6}]{\frac{5x-1}{7}}=t,~~x=\frac{7t^6+1}{5}, тогда dx=\frac{42}{5}\,t^5\,dt,~~ \sqrt{\frac{5x-1}{7}}=t^3,~~ \sqrt[\LARGE{3}]{\frac{5x-1}{7}}=t^2.

Заменив переменную под знаком интеграла, получим:


I=\int\frac{1+7t^3-(7t^6+1)}{t+t^2+t^3}\cdot\frac{42}{5}\,t^5\,dt= -\frac{294}{5}\int\frac{t^{10}-t^6}{t^2+t+1}\,dt\,.

Под знаком интеграла содержится неправильная рациональная дробь. Для выделения целой части разделим числитель на знаменатель. Получаем:


\frac{t^{10}-t^6}{t^2+t+1}= t^8-t^7+t^6-2t^4+t^3+t^2-2t+1+ \frac{t-1}{t^2+t+1}\,.
Поэтому
\begin{aligned} I&= -\frac{294}{5}\int\! \left(t^8-t^7+ t^6-2t^4+t^3+t^2-2t+ 1+\frac{t-1}{t^2+t+1}\right)\!dt=\\ &=-\frac{294}{5}\!\left(\frac{t^9}{9}- \frac{t^8}{8}+ \frac{t^6}{6}- \frac{2}{5}\,t^5+\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}-t^2+t+ \int\frac{t-1}{t^2+t+1}\,dt\right)\!. \end{aligned}

Для вычисления интеграла \int\frac{t-1}{t^2+t+1}\,dt выделим в знаменателе полный квадрат аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере. Получим:


\int\frac{t-1}{t^2+t+1}\,dt= \frac{1}{2}\ln(t^2+t+1)- \sqrt{3}\operatorname{arctg}\frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C.

Окончательно находим, где t=\sqrt[\LARGE{6}]{\frac{5x-1}{7}}:


I=-\frac{294}{5}\!\left(\frac{t^9}{9}- \frac{t^8}{8}+ \frac{t^6}{6}- \frac{2}{5}\,t^5+\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}-t^2+t+ \frac{1}{2}\ln(t^2+t+1)- \sqrt{3}\operatorname{arctg}\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)+C.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved