Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование иррациональных функций


При интегрировании иррациональных функций используются различные приемы. Мы рассмотрим метод рационализации подынтегрального выражения. Он заключается в выборе такой подстановки [math]t=\varphi(x)[/math], которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное относительно новой переменной [math]t[/math]. Поскольку рациональные функции мы умеем интегрировать, такие подстановки позволяют интегрировать и иррациональные функции.


Пусть [math]R(x,y)[/math] — рациональная функция от [math]x[/math] и [math]y[/math], т. е. функция, получаемая из [math]x,y[/math] и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления). Примерами таких функций могут служить


[math]z=\frac{x^2-y^2}{x^2+3y^2(4x-y)}\,;\qquad z=\frac{x^3+y^3}{x-y}+ \frac{(x^5-6y^2)^2}{(8x^3-9xy)^3}\,.[/math]

Если заменить в [math]R(x,y)[/math] переменную [math]y[/math] выражением [math]\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}[/math], то получим функцию [math]R\!\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)[/math] от одной переменной [math]x[/math]. Интеграл от нее имеет вид:


[math]\int R\!\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\!dx\,.[/math]

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки


[math]\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t\,.[/math]

В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно [math]x[/math] функцию, то переменная [math]x[/math] рационально выражается через переменную [math]t:[/math]


[math]\frac{ax+b}{cx+d}=t^n,\qquad x=\frac{b-d\,t^n}{c\,t^n-a}=g(t).[/math]

Тогда [math]x'=g'(t)[/math] — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной [math]t:[/math]


[math]\int R\!\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\!dx= \int R(g(t),t)g'(t)\,dt\,.[/math]

Замечание. Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.




Пример 1. Вычислим интеграл от иррациональной функции [math]\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)\sqrt[4]{\dfrac{x+2}{x-1}}}[/math].


Решение. Учитывая, что под корнем содержится дробно-линейное выражение, воспользуемся подстановкой


[math]\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-1}}=t[/math], откуда [math]x= \frac{t^4+2}{t^4-1}[/math].

Выразим все компоненты подынтегрального выражения через [math]t[/math].


[math]\begin{gathered}x-1=\frac{t^4+2}{t^4-1}-1=\frac{3}{t^4-1}\,;\qquad x+2=\frac{t^4+2}{t^4-1} +2= \frac{3t^4}{t^4-1}\,;\\ dx=\left(\frac{t^4+2}{t^4-1}\right)'dt= -\frac{12t^3}{(t^4-1)^2}\,dt\,.\end{gathered}[/math]

Заменив под знаком интеграла переменную [math]x[/math] новой переменной [math]t[/math], получим:


[math]\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)\sqrt[4]{\dfrac{x+2}{x-1}}}= \int\frac{-\dfrac{12t^3}{(t^4- 1)^2}\,dt}{\dfrac{3}{t^4-1}\cdot\dfrac{3t^4}{t^4-1}\cdot t}= -\frac{4}{3}\int\frac{dt}{t^2}= \frac{4}{3t}+C= \frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+2}}+C.[/math]



Пример 2. Вычислим [math]I=\int\frac{1+7 \sqrt[3]{\dfrac{5x- 1}{7}}-5x}{\sqrt[6]{\dfrac{5x-1}{7}}+\sqrt[3]{\dfrac{5x-1}{7}}+\sqrt{\dfrac{5x-1}{7}}}\,dx[/math].


Решение. В данном случае под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же подкоренным выражением. Наименьшее общее кратное всех показателей корней, входящих в состав подынтегрального выражения, равно 6, поэтому данный интеграл от иррациональной функции может быть рационализирован с помощью подстановки:


[math]\sqrt[6]{\frac{5x-1}{7}}=t,~~x=\frac{7t^6+1}{5}[/math], тогда [math]dx=\frac{42}{5}\,t^5\,dt,~~ \sqrt{\frac{5x-1}{7}}=t^3,~~ \sqrt[3]{\frac{5x-1}{7}}=t^2.[/math]

Заменив переменную под знаком интеграла, получим:


[math]I=\int\frac{1+7t^3-(7t^6+1)}{t+t^2+t^3}\cdot\frac{42}{5}\,t^5\,dt= -\frac{294}{5}\int\frac{t^{10}-t^6}{t^2+t+1}\,dt\,.[/math]

Под знаком интеграла содержится неправильная рациональная дробь. Для выделения целой части разделим числитель на знаменатель. Получаем:


[math]\frac{t^{10}-t^6}{t^2+t+1}= t^8-t^7+t^6-2t^4+t^3+t^2-2t+1+ \frac{t-1}{t^2+t+1}\,.[/math]
Поэтому
[math]\begin{aligned} I&= -\frac{294}{5}\int\! \left(t^8-t^7+ t^6-2t^4+t^3+t^2-2t+ 1+\frac{t-1}{t^2+t+1}\right)\!dt=\\ &=-\frac{294}{5}\!\left(\frac{t^9}{9}- \frac{t^8}{8}+ \frac{t^6}{6}- \frac{2}{5}\,t^5+\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}-t^2+t+ \int\frac{t-1}{t^2+t+1}\,dt\right)\!. \end{aligned}[/math]

Для вычисления интеграла [math]\int\frac{t-1}{t^2+t+1}\,dt[/math] выделим в знаменателе полный квадрат аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере. Получим:


[math]\int\frac{t-1}{t^2+t+1}\,dt= \frac{1}{2}\ln(t^2+t+1)- \sqrt{3}\operatorname{arctg}\frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C.[/math]

Окончательно находим, где [math]t=\sqrt[6]{\frac{5x-1}{7}}[/math]:


[math]I=-\frac{294}{5}\!\left(\frac{t^9}{9}- \frac{t^8}{8}+ \frac{t^6}{6}- \frac{2}{5}\,t^5+\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}-t^2+t+ \frac{1}{2}\ln(t^2+t+1)- \sqrt{3}\operatorname{arctg}\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)+C.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved