Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Интегральное определение логарифмической функции

Интегральное определение логарифмической функции


Мы знаем, что при [math]x>0[/math] выполняется равенство

[math]\int\limits_{1}^{x}\frac{dt}{t}= \ln{x}-\ln{1}=\ln{x}\,.[/math]


Оно позволяет дать новое определение логарифмической функции, не опирающееся на понятие показательной функции. Именно, положим по определению, что при [math]x>0[/math]


[math]\ln{x}= \int\limits_{1}^{x}\frac{dt}{t}\,.[/math]

Выведем, исходя из этого определения, свойства логарифмической функции.


а) Логарифмическая функция определена для всех положительных значений [math]x[/math]. В самом деле, функция [math]y=\frac{1}{t}[/math] непрерывна при [math]x>0[/math], а потому в силу теоремы о существовании определенного интеграла интеграл [math]\int\limits_{1}^{x} \frac{dt}{t}[/math] существует при всех [math]x>0[/math].


б) Логарифмическая функция дифференцируема, и ее производная в любой точке [math]x>0[/math] равна [math]\frac{1}{x}:[/math]


[math]\bigl(\ln{x}\bigr)'= \frac{1}{x}\,,\quad x>0.[/math]

В самом деле, функция [math]y=\frac{1}{t}[/math] непрерывна при [math]t>0[/math], а потому в силу теоремы о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом имеем:


[math]\bigl(\ln{x}\bigr)'= \Biggl(\int\limits_{1}^{x} \frac{dt}{t}\Biggr)'= \frac{1}{x}\,.[/math]

Поскольку всякая дифференцируемая функция непрерывна, то логарифмическая функция непрерывна при [math]x>0[/math].


в) Логарифмическая функция строго возрастает при [math]x>0[/math]. В самом деле, если [math]x>0[/math], то [math]\frac{1}{x}>0[/math], т. е. производная функции [math]y=\ln{x}[/math] положительна. Следовательно, эта функция строго возрастает.


г) Так как [math]\ln{1}= \int\limits_{1}^{1}\frac{dt}{t}=0[/math] и логарифмическая функция строго возрастает, то [math]\ln{x}>0[/math] при [math]x>0[/math] и [math]\ln{x}<0[/math] при [math]x<1[/math].


д) Если [math]x_1>0[/math] и [math]x_2>0[/math], то выполняется равенство


[math]\ln\bigl(x_1\cdot x_2\bigr)= \ln{x_1}+\ln{x_2}\,.[/math]
(1)

В самом деле, имеем: [math]\ln(x_1\cdot x_2)= \int\limits_{1}^{x_1 \cdot x_2}\frac{dt}{t}= \int\limits_{1}^{x_1}\frac{dt}{t} + \int\limits_{x_1}^{x_1\cdot x_2}\frac{dt}{t}[/math].


Сделаем во втором интеграле подстановку [math]t=x_1z[/math]. Когда [math]t[/math] меняется от [math]x_1[/math] до [math]x_1x_2[/math], переменная [math]z[/math] изменяется от 1 до [math]x_2[/math]. Поэтому [math]\int\limits_{x_1}^{x_1x_2}\frac{dt}{t}= \int\limits_{1}^{x_1}\frac{dz}{z}[/math]. Значит,


[math]\ln\bigl(x_1\cdot x_2\bigr)= \int\limits_{1}^{x_1\cdot x_2}\frac{dt}{t}= \int\limits_{1}^{x_1} \frac{dt}{t} + \int\limits_{1}^{x_2}\frac{dz}{z}= \ln{x_1}+ \ln{x_2}\,.[/math]
(2)

Методом математической индукции можно доказать справедливость равенства (1) для любого конечного множества положительных чисел [math]x_1,x_2,\ldots,x_n:[/math]


[math]\ln\bigl(x_1\cdot x_2\cdot \ldots\cdot x_n\bigr)= \ln x_1+\ln x_2+ \ldots+ \ln x_n\,.[/math]
(2)

е) Если [math]x_1>0[/math] и [math]x_2>0[/math], то выполняется равенство


[math]\ln\frac{x_1}{x_2}= \ln x_1-ln x_2\,.[/math]
(3)

В самом деле, из равенства (1) следует, что [math]\ln\frac{x_1}{x_2}+\ln x_2= \ln\frac{x_1\cdot x_2}{x_2}= \ln x_1[/math] откуда без труда получается требуемое равенство (3).


ж) Если [math]x>0[/math] и [math]n[/math] — натуральное число, то


[math]\ln x^n= n\ln{x}\,.[/math]
(4)
Это легко следует из равенства (2).

з) Логарифмическая функция стремится к [math]+\infty[/math], когда [math]x\to+\infty[/math], и к [math]-\infty[/math], когда [math]x\to+0[/math]


[math]\lim_{x\to+\infty}\ln{x}=+\infty;\qquad \lim_{x\to+0}\ln{x}=-\infty.[/math]
(5)

В самом деле, возьмем любое число [math]q>1[/math]. Тогда [math]\ln q^n=n\ln q[/math]. Поскольку [math]\ln q>0[/math] при [math]q>1[/math], то


[math]\lim_{n\to+\infty}\ln q^n= \lim_{n\to+\infty}n\ln q=+\infty.[/math]

Это показывает, что строго возрастающая функция [math]y=\ln{x}[/math] может принимать сколь угодно большие значения, и потому [math]\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty[/math]. Так как


[math]\lim_{x\to+0}\ln{x}= -\lim_{x\to+0}\ln\frac{1}{x}\,,[/math], а [math]\lim_{x\to+0} \ln\frac{1}{x}= \lim_{t\to+\infty}\ln{t}= +\infty[/math], то [math]\lim_{x\to+0}\ln{x}= -\infty[/math].

Из непрерывности логарифмической функции и равенств (5) следует, что множество ее значений совпадает с множеством [math]\mathbb{R}[/math] всех действительных чисел. В частности, найдется значение аргумента, при котором эта функция равна единице. Обозначим это значение буквой е. Таким образом, теперь число е определяется равенством [math]\ln{e}=1[/math].


и) Справедливо равенство [math]\lim_{x\to0} \bigl(1+ x\bigr)^{1/x}=e[/math]. В самом деле, в силу непрерывности функции [math]y=\ln{x}[/math] имеем:


[math]\ln\lim_{x\to0}\bigl(1+x\bigr)^{1/x}= \lim_{x\to0}\ln\bigl(1+x\bigr)^{1/x}[/math], но [math][/math].

Так как [math]\ln1=0[/math], то


[math]\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}= \lim_{x\to0}\frac{ln(1+x)-\ln1}{x}= \bigl(\ln(1+x)\bigr)'_{x=0}= \left.{\frac{1}{1+x}}\right|_{x=0}=1.[/math]

Значит, и [math]\ln\lim_{x\to0}\bigl(1+x\bigr)^{1/x}=1[/math], то есть [math]\lim_{x\to0} \bigl(1+x\bigr)^{1/x}=e[/math].


При описанном выше построении теории логарифмической функции мы определяем показательную функцию как обратную логарифмической (существование обратной функции следует из того, что функция [math]y=\ln{x}[/math] строго возрастает и непрерывна на промежутке [math](0;+\infty)[/math]. Свойства показательной функции при этом выводятся из соответствующих свойств логарифмической функции.


Наконец, определим степень с любым показателем [math]\alpha[/math], положив при [math]x>0\colon~ x^{\alpha}= e^{\alpha\ln{x}}[/math].


Из свойств логарифмической и показательной функций следует, что при [math]x>0[/math] и [math]\alpha=\frac{m}{n}[/math] имеем:


[math]\bigr(x^{m/n}\bigr)^n= \exp^n\!\left(\frac{m}{n}\ln x\right)= e^{m\ln x}= x^m.[/math]

Поэтому [math]x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}[/math]. Это показывает, что данное определение степени совпадает с обычным.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved