Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Интегральное определение логарифмической функции

Интегральное определение логарифмической функции


Мы знаем, что при x>0 выполняется равенство

\int\limits_{1}^{x}\frac{dt}{t}= \ln{x}-\ln{1}=\ln{x}\,.


Оно позволяет дать новое определение логарифмической функции, не опирающееся на понятие показательной функции. Именно, положим по определению, что при x>0


\ln{x}= \int\limits_{1}^{x}\frac{dt}{t}\,.

Выведем, исходя из этого определения, свойства логарифмической функции.


а) Логарифмическая функция определена для всех положительных значений x. В самом деле, функция y=\frac{1}{t} непрерывна при x>0, а потому в силу теоремы о существовании определенного интеграла интеграл \int\limits_{1}^{x} \frac{dt}{t} существует при всех x>0.


б) Логарифмическая функция дифференцируема, и ее производная в любой точке x>0 равна \frac{1}{x}:


\bigl(\ln{x}\bigr)'= \frac{1}{x}\,,\quad x>0.

В самом деле, функция y=\frac{1}{t} непрерывна при t>0, а потому в силу теоремы о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом имеем:


\bigl(\ln{x}\bigr)'= \Biggl(\int\limits_{1}^{x} \frac{dt}{t}\Biggr)'= \frac{1}{x}\,.

Поскольку всякая дифференцируемая функция непрерывна, то логарифмическая функция непрерывна при x>0.


в) Логарифмическая функция строго возрастает при x>0. В самом деле, если x>0, то \frac{1}{x}>0, т. е. производная функции y=\ln{x} положительна. Следовательно, эта функция строго возрастает.


г) Так как \ln{1}= \int\limits_{1}^{1}\frac{dt}{t}=0 и логарифмическая функция строго возрастает, то \ln{x}>0 при x>0 и \ln{x}<0 при x<1.


д) Если x_1>0 и x_2>0, то выполняется равенство


\ln\bigl(x_1\cdot x_2\bigr)= \ln{x_1}+\ln{x_2}\,.
(1)

В самом деле, имеем: \ln(x_1\cdot x_2)= \int\limits_{1}^{x_1 \cdot x_2}\frac{dt}{t}= \int\limits_{1}^{x_1}\frac{dt}{t} + \int\limits_{x_1}^{x_1\cdot x_2}\frac{dt}{t}.


Сделаем во втором интеграле подстановку t=x_1z. Когда t меняется от x_1 до x_1x_2, переменная z изменяется от 1 до x_2. Поэтому \int\limits_{x_1}^{x_1x_2}\frac{dt}{t}= \int\limits_{1}^{x_1}\frac{dz}{z}. Значит,


\ln\bigl(x_1\cdot x_2\bigr)= \int\limits_{1}^{x_1\cdot x_2}\frac{dt}{t}= \int\limits_{1}^{x_1} \frac{dt}{t} + \int\limits_{1}^{x_2}\frac{dz}{z}= \ln{x_1}+ \ln{x_2}\,.
(2)

Методом математической индукции можно доказать справедливость равенства (1) для любого конечного множества положительных чисел x_1,x_2,\ldots,x_n:


\ln\bigl(x_1\cdot x_2\cdot \ldots\cdot x_n\bigr)= \ln x_1+\ln x_2+ \ldots+ \ln x_n\,.
(2)

е) Если x_1>0 и x_2>0, то выполняется равенство


\ln\frac{x_1}{x_2}= \ln x_1-ln x_2\,.
(3)

В самом деле, из равенства (1) следует, что \ln\frac{x_1}{x_2}+\ln x_2= \ln\frac{x_1\cdot x_2}{x_2}= \ln x_1 откуда без труда получается требуемое равенство (3).


ж) Если x>0 и n — натуральное число, то


\ln x^n= n\ln{x}\,.
(4)
Это легко следует из равенства (2).

з) Логарифмическая функция стремится к +\infty, когда x\to+\infty, и к -\infty, когда x\to+0


\lim_{x\to+\infty}\ln{x}=+\infty;\qquad \lim_{x\to+0}\ln{x}=-\infty.
(5)

В самом деле, возьмем любое число q>1. Тогда \ln q^n=n\ln q. Поскольку \ln q>0 при q>1, то


\lim_{n\to+\infty}\ln q^n= \lim_{n\to+\infty}n\ln q=+\infty.

Это показывает, что строго возрастающая функция y=\ln{x} может принимать сколь угодно большие значения, и потому \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty. Так как


\lim_{x\to+0}\ln{x}= -\lim_{x\to+0}\ln\frac{1}{x}\,,, а \lim_{x\to+0} \ln\frac{1}{x}= \lim_{t\to+\infty}\ln{t}= +\infty, то \lim_{x\to+0}\ln{x}= -\infty.

Из непрерывности логарифмической функции и равенств (5) следует, что множество ее значений совпадает с множеством \mathbb{R} всех действительных чисел. В частности, найдется значение аргумента, при котором эта функция равна единице. Обозначим это значение буквой е. Таким образом, теперь число е определяется равенством \ln{e}=1.


и) Справедливо равенство \lim_{x\to0} \bigl(1+ x\bigr)^{1/x}=e. В самом деле, в силу непрерывности функции y=\ln{x} имеем:


\ln\lim_{x\to0}\bigl(1+x\bigr)^{1/x}= \lim_{x\to0}\ln\bigl(1+x\bigr)^{1/x}, но \ln\bigl(1+x\bigr)^{1/x}= \frac{1}{x}\ln(1+x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.

Так как \ln1=0, то


\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}= \lim_{x\to0}\frac{ln(1+x)-\ln1}{x}= \bigl(\ln(1+x)\bigr)'_{x=0}= \left.{\frac{1}{1+x}}\right|_{x=0}=1.

Значит, и \ln\lim_{x\to0}\bigl(1+x\bigr)^{1/x}=1, то есть \lim_{x\to0} \bigl(1+x\bigr)^{1/x}=e.


При описанном выше построении теории логарифмической функции мы определяем показательную функцию как обратную логарифмической (существование обратной функции следует из того, что функция y=\ln{x} строго возрастает и непрерывна на промежутке (0;+\infty). Свойства показательной функции при этом выводятся из соответствующих свойств логарифмической функции.


Наконец, определим степень с любым показателем \alpha, положив при x>0\colon~ x^{\alpha}= e^{\alpha\ln{x}}.


Из свойств логарифмической и показательной функций следует, что при x>0 и \alpha=\frac{m}{n} имеем:


\bigr(x^{m/n}\bigr)^n= \exp^n\!\left(\frac{m}{n}\ln x\right)= e^{m\ln x}= x^m.

Поэтому x^{m/n}=\sqrt[\LARGE{n}]{x^m}. Это показывает, что данное определение степени совпадает с обычным.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved