Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Интеграл Римана
ОглавлениеИнтегральное исчисление

Интеграл Римана


Определение интеграла Римана


Пусть [math][a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R}.[/math] Сумма [math]S_p(f,\xi_p)=\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)(x_{k+1}-x_k),[/math] где [math]n\in\mathbb{N},~a=x_0 \leqslant \xi_0 \leqslant x_1 \leqslant \xi_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant \xi_{n-1} \leqslant x_n=b,[/math] называется интегральной суммой Римана. При этом множество точек [math]P=P_{[a,b]}-\{x_k \mid k=\overline{0,n}\}[/math] разбиением сегмента [math][a,b],[/math] а множество [math]\xi_P=\{\xi_k \mid k=\overline{0,n-1}\}[/math] — совокупностью промежуточных точек. Обозначим через [math]\|P\|=\max_{0 \leqslant k \leqslant n-1}\Delta x_k,[/math] где [math]\Delta x_k = x_{k+1}-x_k,[/math] норму (или диаметр) разбиения [math]P[/math].


Число [math]I\in\mathbb{R}[/math] называется интегралом Римана функции [math][a,b]\mathop{\to}^f\mathbb{R},[/math] если


[math]\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0 \colon \forall(P_{[a,b]},\xi_P)~\|P\|<\delta~\Rightarrow~|I-S_P(f,\xi_P)|<\varepsilon.[/math]

Сама функция [math]f[/math] при этом называется интегрируемой по Риману на сегменте [math][a,b],[/math] а класс всех таких функций будем обозначать символом [math]\mathbb{R}_{[a,b]}.[/math] Очевидно, что если [math]f\in\mathbb{R}_{[a,b]},[/math] то она ограничена на этом сегменте.


Верхней и нижней интегральными суммами Дарбу ограниченной функции [math][a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R},[/math] соответствующими разбиению [math]P=P_{[a,b]},[/math] называются соответственно суммы:


[math]\overline{S}_P(f)=\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k,~~\underline{S}_P(f)=\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k,[/math], где [math]M_k=\sup_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x),~~m_k=\inf_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)[/math]

Верхним и нижним интегралами Дарбу ограниченной функции [math][a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R}[/math] называются соответственно числа:


[math]\overline{\int}f\,dx=\inf_{P_{[a,b]}}\overline{S}_P(f),~~\underline{\int}f\,dx=\sup_{P_{[a,b]}}\underline{S}_P(f).[/math]

Функция [math]f[/math] называется интегрируемой в смысле Дарбу на сегменте [math][a,b],[/math] если [math]\overline{\int}f\,dx=\underline{\int}f\,dx,[/math] а общее значение верхнего и нижнего интегралов называется интегралом Дарбу функции [math]f[/math] на сегменте [math][a,b].[/math]


Теорема 1. Если интеграл Римана и определённый интеграл Ньютона-Лейбница функции [math][a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R}[/math] существуют одновременно, то они равны друг другу.


Теорема 2. Для ограниченной функции [math][a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R}[/math] интегралы Римана и Дарбу эквивалентны, то есть они существуют или не существуют одновременно, а в случае существования их значения совпадают.


Для интеграла Римана (Дарбу) используют то же обозначение, что и для интеграла Ньютона-Лейбница [math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx.[/math]


Множество [math]X\subset\mathbb{R}[/math] имеет лебегову (жорданову) меру 0, если [math]\forall\varepsilon>0[/math] существует такое счётное (конечное) покрытие множества [math]X[/math] семейством интегралов [math]\{(\alpha_i,\beta_i) \mid i\in\mathbb{N}\}~(\{(\alpha_i,\beta_i) \mid i=\overline{1,n}\}),[/math] что


[math]\forall n_1\in\mathbb{N}~\sum_{k=1}^{n_1}(\beta_k-\alpha_k)<\varepsilon~\left(\sum_{k=1}^{n}(\beta_k-\alpha_k)<\varepsilon \right).[/math] При этом будем писать [math]\mu_L(X)=0~(\mu_G(X)=0).[/math]

Теорема 3. Пусть [math][a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R}[/math] ограниченная функция и [math]E\subset[a,b][/math] — множество точек разрыва. Функция [math]f[/math] интегрируема по Риману на [math][a,b][/math] тогда и только тогда, когда [math]E[/math] — множество лебеговой меры 0.


Пусть [math]f\in\mathbb{R}_{[a,b]}[/math] и [math]\forall x\in[a,b]~\Phi(x)=\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt[/math]. Тогда имеют место следующие свойства.


Теорема 4 (основная теорема интегрального исчисления). Функция [math]\Phi[/math] дифференцируема в каждой точке [math]x\in[a,b][/math], в которой [math]f[/math] непрерывна в этих точках


[math]\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt\right)=f(x).[/math]

Теорема 5 (основная формула интегрального исчисления). Если множество точек разрыва функции [math]f[/math] = не более чем счётно, то функция [math]\Phi[/math] является первообразной в широком смысле для [math]f[/math] и имеет место формула Ньютона-Лейбница


[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\Bigl.{\Phi(x)}\Bigl|_{x=a}^{x=b}=\Phi(b)-\Phi(a).[/math]

Пусть [math][a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R},~f \in C([a,b])[/math] и функции [math][\alpha,\beta]\mathop{\to}^{\varphi}\mathbb{R},~[\alpha,\beta]\mathop{\to}^{\psi}\mathbb{R}[/math] дифференцируемы на [math][\alpha,\beta],~E_{\varphi} \subset D_f,~E_{\psi} \subset D_f.[/math] Тогда


[math]\frac{d}{dx}\!\left(\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,dt\right)=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x).[/math]

Пусть [math]f \in C([a,b]),[a,b]\subset[A,B],[\alpha,\beta]\mathop{\to}^{\varphi}\mathbb{R}[/math] — дифференцируемая функция и [math]\varphi'\in\mathbb{R}_{[a,b]},E_{\varphi} \subset D_{f},\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b.[/math] Тогда имеет место равенство


[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\int\limits_{\alpha}^{\beta}((f \circ \varphi)\cdot\varphi')(t)\,dt,[/math]

которое называется формулой замены переменной в интеграле Римана.

Пусть [math][a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R},~[a,b]\mathop{\to}^{g}\mathbb{R}[/math] — дифференцируемые функции, [math]f' \cdot g=\mathbb{R}_{[a,b]}.[/math] Тогда [math]f \cdot g'=\mathbb{R}_{[a,b]}[/math] и выполняется равенство


[math]\int\limits_{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\Bigl.{f(x)g(x)}\Bigl|_{x=a}^{x=b}-\int\limits_{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx,[/math]

которое называется формулой интегрирования по частям.

Пусть [math]E \subset X.[/math] Функция [math]\chi_{{}_E}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] называется характеристической функцией множества [math]E,[/math] если


[math]\chi_{{}_E}(x)=\begin{cases}1,&x \in E,\\0,&x \in X \setminus E.\end{cases}[/math]

Если [math]E\subset[a,b],~f\colon[a,b]\to\mathbb{R}[/math] — ограниченная функция и [math]f \cdot \chi_{{}_E}\in\mathbb{R}_{[a,b]},[/math] то определим интеграл Римана от функции [math]f[/math] на множестве [math]E[/math] как


[math]\int\limits_{E}f(x)\,dx\mathop{=}\limits^{\operatorname{def}}\int\limits_{a}^{b}(f\cdot\chi_{{}_E})(x)\,dx.[/math]

Пусть [math]E\subset[a,b],~f \colon E\to\mathbb{R}[/math] — ограниченная функция. Рассмотрим продолжение [math]F[/math] этой функции на весь сегмент [math][a,b],[/math] где


[math]F(x)=\begin{cases}f(x),&x \in E,\\0,&x\in[a,b]\setminus E.\end{cases}[/math]

Если [math]F\in\matnbb{R}_{[a,b]},[/math] то определим


[math]\int\limits_{E}f(x)\,dx\mathop{=}\limits^{\operatorname{def}}\int\limits_{a}^{b}F(x)\,dx.[/math]

Точка [math]x_0[/math] в упорядоченном пространстве [math]\Omega=(M,\leqslant)[/math] называется граничной точкой (точкой границы) множества [math]X \subset M,[/math] если любая окрестность этой точки содержит как точки множества [math]X,[/math] так и точки множества [math]CX.[/math] Совокупность всех граничных точек множества [math]X[/math] называется границей этого множества и обозначается [math]\Gamma(X).[/math]


Если граница [math]\Gamma(X)[/math] ограниченного множество [math]E\in\mathbb{R}[/math] имеет лебегову меру 0, то это множество называется измеримым по Жордану, а интеграл


[math]\int\limits_{E}dx=\int\limits_{a}^{b}\chi_{{}_E}(x)\,dx[/math]

называется мерой Жордана множества [math]E[/math] и обозначается [math]\mu_{{}_G}(E),[/math] где [math][a,b][/math] — произвольный сегмент, содержащий множество [math]E.[/math]



Применение интеграла Римана


Применение интеграла Римана чаще всего проводится по одной и той же схеме, к которой приводят рассуждение геометрического или физического характера.


Функцию [math]X\mathop{\to}\limits^{F}\mathbb{R},[/math] где [math]X=\{[\alpha,\beta] \mid a\leqslant\alpha\leqslant\beta\leqslant b\}[/math] ([math]a,b[/math] – фиксированные числа из [math]\mathbb{R}[/math]) называют функцией промежутка, определённой на [math][a,b].[/math] Функция промежутка [math][\alpha,\beta] \to F([\alpha,\beta])[/math] называется аддитивной функцией промежутка (АФП), если [math]\forall\gamma\in[\alpha,beta][/math] выполняется равенство [math]F([\alpha,\beta])=F([\alpha,\gamma])+F([\gamma,\beta]).[/math]


Теорема 1 (связь АФП с интегралом Римана). Если для АФП [math][\alpha,\beta] \to F([\alpha,\beta])[/math] существует такая интегрируемая по Риману функция [math][a,b]\mathop{\to}\limits^{f}\mathbb{R},[/math] что [math]\forall(\alpha[a,b],\beta\in[a,b],\alpha<\beta)[/math] выполняются соотношения


[math](\beta-\alpha)\inf_{x\in[\alpha,\beta]}f(x) \leqslant F([\alpha,\beta]) \leqslant (\beta-\alpha)\sup_{x\in[\alpha,\beta]}f(x),[/math] то [math]F([a,b])=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx.[/math]

Эта теорема даёт возможность свести задачи вычисления площади плоской фигуры, объёма тела вращения, длины дуги кривой, статических моментов и моментов инерции кривых относительно фиксированных прямых, а также ряд других задач геометрического или физического содержания к задаче интегрирования соответствующих функций по Риману.


Поскольку применение обычного интеграла Римана (или, как ещё говорят, однократного интеграла) для вычисления различных моментов, координат центра тяжести и т.п. представляется нерациональным, то ниже приведём только схемы и методы вычисления геометрических величин, которые достаточно просто и рационально находить именно с использованием интеграла Римана.


1. Площадь криволинейной трапеции. Если функция [math][a,b]\mathop{\to}\limits^{f}\mathbb{R}^{+}[/math] непрерывна на отрезке [math][a,b],[/math] то криволинейной трапецией [math]\Phi[/math] называется множество


[math]\Phi=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid a \leqslant x \leqslant b,0 \leqslant y \leqslant f(x)\}[/math]

и площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

[math]S=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx.[/math]

2. Площадь криволинейного сектора. Криволинейным сектором в полярной системе координат называется множество


[math]\Phi=\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \leqslant r \leqslant \rho(\varphi),\varphi_1\leqslant\varphi\leqslant\varphi_2\},[/math]

где функция [math][\varphi_1,\varphi_2]\mathop{\to}\limits^{\rho}\mathbb{R}^{+}[/math] непрерывна на [math][\varphi_1,\varphi_2].[/math].

Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле


[math]S=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\rho^2(\varphi)\,d\varphi.[/math]

3. Объём тела вращения. Если криволинейная трапеция [math]\Phi=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid a \leqslant x \leqslant b,0 \leqslant y \leqslant f(x)\},[/math] где [math]f\in C([a,b]),[/math] вращается вокруг оси [math]Ox,[/math] то объём [math]V[/math] образованного тела вращения вычисляется по формуле


[math]V=\pi\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx.[/math]

4. Объём тела по известным поперечным сечениям. Если для некоторого тела [math]T[/math] известны площади всех его поперечных сечений вдоль некоторой числовой прямой [math]Ox,[/math] которые задаются непрерывной функцией [math][a,b]\mathop{\to}\limits^{S}\mathbb{R}^{+},[/math] то объём данного тела находится по формуле


[math]V=\int\limits_{a}^{b}S(x)\,dx.[/math]

5. Длина дуги гладкой кривой. Множество [math]\gamma\subset\mathbb{R}^2[/math] называется простой гладкой кривой (траекторией), если существует отображение


[math]\varphi=(\varphi_1,\varphi_2)\colon[a,b]\to\gamma,[/math] где [math]\{\varphi_1,\varphi_2\}\subset C^{(1)}([a,b])[/math] и [math](\varphi'_1(t))^2+(\varphi'_2(t))^2\ne0~\forall t\in[a,b].[/math]

При этом отображение [math]\varphi[/math] называется параметрическим изображением кривой [math]\gamma.[/math] Длина [math]L[/math] этой кривой может быть найдена по формуле


[math]L=\int\limits_{a}^{b}\!\sqrt{(\varphi'_1(t))^2+(\varphi'_2(t))^2}\,dt.[/math]

Если [math]\varphi(x)=(x,f(x)),~x\in[a,b],[/math] то последняя формула приобретает вид


[math]L=\int\limits_{a}^{b}\!\sqrt{(1+(f'(x))^2}\,dx.[/math]

Если же кривая задана в полярных координатах [math](x,y)=(r(\varphi)\cos\varphi,r(\varphi)\sin\varphi),~\varphi_1\leqslant\varphi\leqslant\varphi_2,[/math] то её длина вычисляется по формуле


[math]L=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\sqrt{r^2(\varphi)+(r'(\varphi))^2}\,d\varphi.[/math]

6. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой заданной параметрически [math]x=\varphi_1(t),y=\varphi_2(t)[/math], осью абсцисс [math]Ox[/math] и прямыми [math]x=a[/math] и [math]x=b[/math], равна


[math]S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\varphi_2(t)\varphi'_1(t)\,dt,[/math]

где [math]t_1[/math] и [math]t_2[/math] определяются из уравнений [math]a=\varphi_1(t_1),~b=\varphi_1(t_2)[/math] и [math]\varphi_2(t)\geqslant0[/math] при [math]t_1\leqslant t\leqslant t_2[/math].

7. Объем тела, полученный вращением криволинейной трапеции [math]\Phi=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid a\leqslant x\leqslant b,~0\leqslant y\leqslant f(x)\}[/math] вокруг оси ординат [math]Oy[/math], равен


[math]V=2\pi\int\limits_a^b xf(x)\,dx.[/math]

8. Объем тела, полученный вращением сектора [math]\Phi=\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2\mid 0\leqslant r\leqslant \rho(\varphi), \, \varphi_1\leqslant\varphi\leqslant\varphi_2\}[/math] вокруг полярной оси, равен


[math]V=\frac{2\pi}{3}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\rho^3(\varphi)\sin\varphi\,d\varphi.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved