Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Интеграл Римана

Интеграл Римана


Определение интеграла Римана


Пусть [a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R}. Сумма \textstyle{S_p(f,\xi_p)=\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)(x_{k+1}-x_k)}, где n\in\mathbb{N},~a=x_0 \leqslant \xi_0 \leqslant x_1 \leqslant \xi_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant \xi_{n-1} \leqslant x_n=b, называется интегральной суммой Римана. При этом множество точек P=P_{[a,b]}-\{x_k \mid k=\overline{0,n}\} разбиением сегмента [a,b], а множество \xi_P=\{\xi_k \mid k=\overline{0,n-1}\} — совокупностью промежуточных точек. Обозначим через \|P\|=\max_{0 \leqslant k \leqslant n-1}\Delta x_k, где \Delta x_k = x_{k+1}-x_k, норму (или диаметр) разбиения P.


Число I\in\mathbb{R} называется интегралом Римана функции [a,b]\mathop{\to}^f\mathbb{R}, если


\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0 \colon \forall(P_{[a,b]},\xi_P)~\|P\|<\delta~\Rightarrow~|I-S_P(f,\xi_P)|<\varepsilon.

Сама функция f при этом называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b], а класс всех таких функций будем обозначать символом \mathbb{R}_{[a,b]}. Очевидно, что если f\in\mathbb{R}_{[a,b]}, то она ограничена на этом сегменте.


Верхней и нижней интегральными суммами Дарбу ограниченной функции [a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R}, соответствующими разбиению P=P_{[a,b]}, называются соответственно суммы:


\overline{S}_P(f)=\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k,~~\underline{S}_P(f)=\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k,, где M_k=\sup_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x),~~m_k=\inf_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)

Верхним и нижним интегралами Дарбу ограниченной функции [a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R} называются соответственно числа:


\overline{\int}f\,dx=\inf_{P_{[a,b]}}\overline{S}_P(f),~~\underline{\int}f\,dx=\sup_{P_{[a,b]}}\underline{S}_P(f).

Функция f называется интегрируемой в смысле Дарбу на сегменте [a,b], если \textstyle{\overline{\int}f\,dx=\underline{\int}f\,dx}, а общее значение верхнего и нижнего интегралов называется интегралом Дарбу функции f на сегменте [a,b].


Теорема 1. Если интеграл Римана и определённый интеграл Ньютона-Лейбница функции [a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R} существуют одновременно, то они равны друг другу.


Теорема 2. Для ограниченной функции [a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R} интегралы Римана и Дарбу эквивалентны, то есть они существуют или не существуют одновременно, а в случае существования их значения совпадают.


Для интеграла Римана (Дарбу) используют то же обозначение, что и для интеграла Ньютона-Лейбница \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx.


Множество X\subset\mathbb{R} имеет лебегову (жорданову) меру 0, если \forall\varepsilon>0 существует такое счётное (конечное) покрытие множества X семейством интегралов \{(\alpha_i,\beta_i) \mid i\in\mathbb{N}\}~(\{(\alpha_i,\beta_i) \mid i=\overline{1,n}\}), что


\forall n_1\in\mathbb{N}~\sum_{k=1}^{n_1}(\beta_k-\alpha_k)<\varepsilon~\left(\sum_{k=1}^{n}(\beta_k-\alpha_k)<\varepsilon \right). При этом будем писать \mu_L(X)=0~(\mu_G(X)=0).

Теорема 3. Пусть [a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R} ограниченная функция и E\subset[a,b] — множество точек разрыва. Функция f интегрируема по Риману на [a,b] тогда и только тогда, когда E — множество лебеговой меры 0.


Пусть f\in\mathbb{R}_{[a,b]} и \forall x\in[a,b]~\Phi(x)=\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt. Тогда имеют место следующие свойства.


Теорема 4 (основная теорема интегрального исчисления). Функция \Phi дифференцируема в каждой точке x\in[a,b], в которой f непрерывна в этих точках


\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt\right)=f(x).

Теорема 5 (основная формула интегрального исчисления). Если множество точек разрыва функции f = не более чем счётно, то функция \Phi является первообразной в широком смысле для f и имеет место формула Ньютона-Лейбница


\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\Bigl.{\Phi(x)}\Bigl|_{x=a}^{x=b}=\Phi(b)-\Phi(a).

Пусть [a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R},~f \in C([a,b]) и функции [\alpha,\beta]\mathop{\to}^{\varphi}\mathbb{R},~[\alpha,\beta]\mathop{\to}^{\psi}\mathbb{R} дифференцируемы на [\alpha,\beta],~E_{\varphi} \subset D_f,~E_{\psi} \subset D_f. Тогда


\frac{d}{dx}\!\left(\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,dt\right)=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x).

Пусть f \in C([a,b]),[a,b]\subset[A,B],[\alpha,\beta]\mathop{\to}^{\varphi}\mathbb{R} — дифференцируемая функция и \varphi'\in\mathbb{R}_{[a,b]},E_{\varphi} \subset D_{f},\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b. Тогда имеет место равенство


\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\int\limits_{\alpha}^{\beta}((f \circ \varphi)\cdot\varphi')(t)\,dt,

которое называется формулой замены переменной в интеграле Римана.


Пусть [a,b]\mathop{\to}^{f}\mathbb{R},~[a,b]\mathop{\to}^{g}\mathbb{R} — дифференцируемые функции, f' \cdot g=\mathbb{R}_{[a,b]}. Тогда f \cdot g'=\mathbb{R}_{[a,b]} и выполняется равенство


\int\limits_{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\Bigl.{f(x)g(x)}\Bigl|_{x=a}^{x=b}-\int\limits_{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx,

которое называется формулой интегрирования по частям.


Пусть E \subset X. Функция \chi_{E}\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} называется характеристической функцией множества E, если


\chi_{E}(x)=\begin{cases}1,&x \in E,\\0,&x \in X \setminus E.\end{cases}

Если E\subset[a,b],~f\colon[a,b]\to\mathbb{R} — ограниченная функция и f \cdot \chi_{E}\in\mathbb{R}_{[a,b]}, то определим интеграл Римана от функции f на множестве E как


\int\limits_{E}f(x)\,dx\mathop{=}\limits^{\operatorname{def}}\int\limits_{a}^{b}(f\cdot\chi_{E})(x)\,dx.

Пусть E\subset[a,b],~f \colon E\to\mathbb{R} — ограниченная функция. Рассмотрим продолжение F этой функции на весь сегмент [a,b], где


F(x)=\begin{cases}f(x),&x \in E,\\0,&x\in[a,b]\setminus E.\end{cases}

Если F\in\mathbb{R}_{[a,b]}, то определим


\int\limits_{E}f(x)\,dx\mathop{=}\limits^{\operatorname{def}}\int\limits_{a}^{b}F(x)\,dx.

Точка x_0 в упорядоченном пространстве \Omega=(M,\leqslant) называется граничной точкой (точкой границы) множества X \subset M, если любая окрестность этой точки содержит как точки множества X, так и точки множества CX. Совокупность всех граничных точек множества X называется границей этого множества и обозначается \Gamma(X).


Если граница \Gamma(X) ограниченного множество E\in\mathbb{R} имеет лебегову меру 0, то это множество называется измеримым по Жордану, а интеграл


\int\limits_{E}dx=\int\limits_{a}^{b}\chi_{{}_E}(x)\,dx

называется мерой Жордана множества E и обозначается \mu_{{}_G}(E), где [a,b] — произвольный сегмент, содержащий множество E.




Применение интеграла Римана


Применение интеграла Римана чаще всего проводится по одной и той же схеме, к которой приводят рассуждение геометрического или физического характера.


Функцию X\mathop{\to}\limits^{F}\mathbb{R}, где X=\{[\alpha,\beta] \mid a\leqslant\alpha\leqslant\beta\leqslant b\} (a,b – фиксированные числа из \mathbb{R}) называют функцией промежутка, определённой на [a,b]. Функция промежутка [\alpha,\beta] \to F([\alpha,\beta]) называется аддитивной функцией промежутка (АФП), если \forall\gamma\in[\alpha,beta] выполняется равенство F([\alpha,\beta])=F([\alpha,\gamma])+F([\gamma,\beta]).


Теорема 1 (связь АФП с интегралом Римана). Если для АФП [\alpha,\beta] \to F([\alpha,\beta]) существует такая интегрируемая по Риману функция [a,b]\mathop{\to}\limits^{f}\mathbb{R}, что \forall(\alpha[a,b],\beta\in[a,b],\alpha<\beta) выполняются соотношения


(\beta-\alpha)\inf_{x\in[\alpha,\beta]}f(x) \leqslant F([\alpha,\beta]) \leqslant (\beta-\alpha)\sup_{x\in[\alpha,\beta]}f(x), то F([a,b])=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx.

Эта теорема даёт возможность свести задачи вычисления площади плоской фигуры, объёма тела вращения, длины дуги кривой, статических моментов и моментов инерции кривых относительно фиксированных прямых, а также ряд других задач геометрического или физического содержания к задаче интегрирования соответствующих функций по Риману.


Поскольку применение обычного интеграла Римана (или, как ещё говорят, однократного интеграла) для вычисления различных моментов, координат центра тяжести и т.п. представляется нерациональным, то ниже приведём только схемы и методы вычисления геометрических величин, которые достаточно просто и рационально находить именно с использованием интеграла Римана.


1. Площадь криволинейной трапеции. Если функция [a,b]\mathop{\to}\limits^{f}\mathbb{R}^{+} непрерывна на отрезке [a,b], то криволинейной трапецией \Phi называется множество


\Phi=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid a \leqslant x \leqslant b,0 \leqslant y \leqslant f(x)\}

и площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле


S=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx.

2. Площадь криволинейного сектора. Криволинейным сектором в полярной системе координат называется множество


\Phi=\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \leqslant r \leqslant \rho(\varphi),\varphi_1\leqslant\varphi\leqslant\varphi_2\},

где функция [\varphi_1,\varphi_2]\mathop{\to}\limits^{\rho}\mathbb{R}^{+} непрерывна на [\varphi_1,\varphi_2]..


Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле


S=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\rho^2(\varphi)\,d\varphi.

3. Объём тела вращения. Если криволинейная трапеция \Phi=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid a \leqslant x \leqslant b,0 \leqslant y \leqslant f(x)\}, где f\in C([a,b]), вращается вокруг оси Ox, то объём V образованного тела вращения вычисляется по формуле


V=\pi\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx.

4. Объём тела по известным поперечным сечениям. Если для некоторого тела T известны площади всех его поперечных сечений вдоль некоторой числовой прямой Ox, которые задаются непрерывной функцией [a,b]\mathop{\to}\limits^{S}\mathbb{R}^{+}, то объём данного тела находится по формуле


V=\int\limits_{a}^{b}S(x)\,dx.

5. Длина дуги гладкой кривой. Множество \gamma\subset\mathbb{R}^2 называется простой гладкой кривой (траекторией), если существует отображение


\varphi=(\varphi_1,\varphi_2)\colon[a,b]\to\gamma, где \{\varphi_1,\varphi_2\}\subset C^{(1)}([a,b]) и (\varphi'_1(t))^2+(\varphi'_2(t))^2\ne0~\forall t\in[a,b].

При этом отображение \varphi называется параметрическим изображением кривой \gamma, Длина L этой кривой может быть найдена по формуле


L=\int\limits_{a}^{b}\!\sqrt{(\varphi'_1(t))^2+(\varphi'_2(t))^2}\,dt.

Если \varphi(x)=(x,f(x)),~x\in[a,b], то последняя формула приобретает вид


L=\int\limits_{a}^{b}\!\sqrt{(1+(f'(x))^2}\,dx.

Если же кривая задана в полярных координатах (x,y)=(r(\varphi)\cos\varphi,r(\varphi)\sin\varphi),~\varphi_1\leqslant\varphi\leqslant\varphi_2, то её длина вычисляется по формуле


L=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\sqrt{r^2(\varphi)+(r'(\varphi))^2}\,d\varphi.

6. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой заданной параметрически x=\varphi_1(t),y=\varphi_2(t), осью абсцисс Ox и прямыми x=a и x=b, равна


S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\varphi_2(t)\varphi'_1(t)\,dt,

где t_1 и t_2 определяются из уравнений a=\varphi_1(t_1),~b=\varphi_1(t_2) и \varphi_2(t)\geqslant0 при t_1\leqslant t\leqslant t_2.


7. Объем тела, полученный вращением криволинейной трапеции \Phi=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid a\leqslant x\leqslant b,~0\leqslant y\leqslant f(x)\} вокруг оси ординат Oy, равен


V=2\pi\int\limits_a^b xf(x)\,dx.

8. Объем тела, полученный вращением сектора \Phi=\bigl\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2\mid 0\leqslant r\leqslant \rho(\varphi), \, \varphi_1\leqslant\varphi\leqslant\varphi_2\bigr\} вокруг полярной оси, равен


V=\frac{2\pi}{3}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\rho^3(\varphi)\sin\varphi\,d\varphi.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved