Интеграл Римана
Определение интеграла Римана
Пусть Сумма , где называется интегральной суммой Римана. При этом множество точек разбиением сегмента а множество — совокупностью промежуточных точек. Обозначим через где норму (или диаметр) разбиения .
Число называется интегралом Римана функции , если
Сама функция при этом называется интегрируемой по Риману на сегменте а класс всех таких функций будем обозначать символом Очевидно, что если то она ограничена на этом сегменте.
Верхней и нижней интегральными суммами Дарбу ограниченной функции , соответствующими разбиению называются соответственно суммы:
, где
Верхним и нижним интегралами Дарбу ограниченной функции называются соответственно числа:
Функция называется интегрируемой в смысле Дарбу на сегменте если , а общее значение верхнего и нижнего интегралов называется интегралом Дарбу функции на сегменте .
Теорема 1. Если интеграл Римана и определённый интеграл Ньютона-Лейбница функции существуют одновременно, то они равны друг другу.
Теорема 2. Для ограниченной функции интегралы Римана и Дарбу эквивалентны, то есть они существуют или не существуют одновременно, а в случае существования их значения совпадают.
Для интеграла Римана (Дарбу) используют то же обозначение, что и для интеграла Ньютона-Лейбница
Множество имеет лебегову (жорданову) меру 0, если существует такое счётное (конечное) покрытие множества семейством интегралов , что
При этом будем писать
Теорема 3. Пусть ограниченная функция и — множество точек разрыва. Функция интегрируема по Риману на тогда и только тогда, когда — множество лебеговой меры 0.
Пусть и . Тогда имеют место следующие свойства.
Теорема 4 (основная теорема интегрального исчисления). Функция дифференцируема в каждой точке , в которой непрерывна в этих точках
Теорема 5 (основная формула интегрального исчисления). Если множество точек разрыва функции = не более чем счётно, то функция является первообразной в широком смысле для и имеет место формула Ньютона-Лейбница
Пусть и функции дифференцируемы на Тогда
Пусть — дифференцируемая функция и Тогда имеет место равенство
которое называется формулой замены переменной в интеграле Римана.
Пусть — дифференцируемые функции, Тогда и выполняется равенство
которое называется формулой интегрирования по частям.
Пусть . Функция называется характеристической функцией множества , если
Если — ограниченная функция и то определим интеграл Римана от функции на множестве как
Пусть — ограниченная функция. Рассмотрим продолжение этой функции на весь сегмент , где
Если , то определим
Точка в упорядоченном пространстве называется граничной точкой (точкой границы) множества , если любая окрестность этой точки содержит как точки множества , так и точки множества . Совокупность всех граничных точек множества называется границей этого множества и обозначается .
Если граница ограниченного множество имеет лебегову меру 0, то это множество называется измеримым по Жордану, а интеграл
называется мерой Жордана множества и обозначается где — произвольный сегмент, содержащий множество .
Применение интеграла Римана
Применение интеграла Римана чаще всего проводится по одной и той же схеме, к которой приводят рассуждение геометрического или физического характера.
Функцию , где ( – фиксированные числа из ) называют функцией промежутка, определённой на Функция промежутка называется аддитивной функцией промежутка (АФП), если выполняется равенство .
Теорема 1 (связь АФП с интегралом Римана). Если для АФП существует такая интегрируемая по Риману функция что выполняются соотношения
то
Эта теорема даёт возможность свести задачи вычисления площади плоской фигуры, объёма тела вращения, длины дуги кривой, статических моментов и моментов инерции кривых относительно фиксированных прямых, а также ряд других задач геометрического или физического содержания к задаче интегрирования соответствующих функций по Риману.
Поскольку применение обычного интеграла Римана (или, как ещё говорят, однократного интеграла) для вычисления различных моментов, координат центра тяжести и т.п. представляется нерациональным, то ниже приведём только схемы и методы вычисления геометрических величин, которые достаточно просто и рационально находить именно с использованием интеграла Римана.
1. Площадь криволинейной трапеции. Если функция непрерывна на отрезке , то криволинейной трапецией называется множество
и площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
2. Площадь криволинейного сектора. Криволинейным сектором в полярной системе координат называется множество
где функция непрерывна на .
Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле
3. Объём тела вращения. Если криволинейная трапеция где , вращается вокруг оси , то объём образованного тела вращения вычисляется по формуле
4. Объём тела по известным поперечным сечениям. Если для некоторого тела известны площади всех его поперечных сечений вдоль некоторой числовой прямой , которые задаются непрерывной функцией , то объём данного тела находится по формуле
5. Длина дуги гладкой кривой. Множество называется простой гладкой кривой (траекторией), если существует отображение
При этом отображение называется параметрическим изображением кривой , Длина этой кривой может быть найдена по формуле
Если то последняя формула приобретает вид
Если же кривая задана в полярных координатах , то её длина вычисляется по формуле
6. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой заданной параметрически , осью абсцисс и прямыми и , равна
где и определяются из уравнений и при .
7. Объем тела, полученный вращением криволинейной трапеции вокруг оси ординат , равен
8. Объем тела, полученный вращением сектора вокруг полярной оси, равен
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|