Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Интеграл Ньютона-Лейбница
ОглавлениеИнтегральное исчисление

Интеграл Ньютона-Лейбница


Пусть [math]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] и множество [math]X\subset{D_f}[/math] не имеет изолированных точек. Функция [math]F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] называется первообразной (точной первообразной) функции [math]f[/math] на множестве [math]X[/math], если [math]X\subset{D_F}[/math] и [math]\forall{x}\in{X}~~F'(x)=f(x)[/math]. В дальнейшем для всех функций считаем, что множество [math]X[/math] является промежутком из [math]D_f[/math], содержащим более одной точки.


Если [math]F[/math] — первообразная функции [math]f[/math] на множестве [math]X[/math], то [math]\forall{C}\in\mathbb{R}[/math] функция [math]F+C[/math] также является первообразной для [math]f[/math] на множестве [math]X[/math], поэтому первообразная определена неоднозначно и специального обозначения не имеет.


Составим таблицу первообразных для некоторых функций на области их определения, воспользовавшись таблицей производных.


Таблица первообразных (интегралов)

Множество [math]X\subset\mathbb{R}[/math] называется связным, если его любые две точки [math]A[/math] и [math]B[/math] можно соединить отрезком [math]AB\subset{X}[/math]. В дальнейшем считаем, что множество [math]X[/math] содержится в области определения рассматриваемой функции и является связным множеством.


Теорема 1. Пусть [math]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math]. Если [math]\forall{x}\in{X}~f'(x)=0[/math], то [math]f[/math] является постоянной на [math]X[/math].


Теорема 2. Пусть [math]F_1[/math] и [math]F_2[/math] первообразные функции [math]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] на множестве [math]X[/math]. Тогда существует такая постоянная [math]C\in\mathbb{R}[/math], что [math]\forall{x}\in{X}~F_2=F_1+C[/math].


Функция [math]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] называется интегрируемой в смысле Ньютона-Лейбница на множестве [math]X[/math], если она имеет первообразную на этом множестве. При этом [math]\forall{a}\in{X}[/math]


[math]{\left(F(x)=\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt\right)\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\Bigl(F(a)=0\wedge\forall{x}\in{X}~F'(x)=f(x)\Bigl).}[/math]

Функция [math]F[/math] называется интегралом Ньютона-Лейбница с фиксированным нижним пределом интегрирования [math]a[/math] и переменным верхним пределом [math]x[/math]. Её значение в точке [math]b\in{X}~(F(X))[/math] называется называется определённым интегралом Ньютона-Лейбница и обозначается [math]\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt[/math], [math]t[/math] — переменная интегрирования, от выбора которой величина интеграла не зависит.


Теорема 3 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция [math]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] интегрируема в смысле Ньютона-Лейбница на [math]X[/math] и [math]\Phi[/math] — её первообразная, то [math]\forall(a\in{X},b\in{X})[/math] интеграл [math]\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt[/math] существует, определён однозначно и имеет место формула Ньютона-Лейбница:


[math]\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt=\Phi(b)-\Phi(a)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Bigl.{\Phi(t)}\Bigl|_{t=a}^{t=b}\,.[/math]

Теорема 4. Если функция [math]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] интегрируема в смысле Ньютона-Лейбница, то выполняются равенства


[math]\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt=-\int\limits_{b}^{a}f(t)\,dt~\forall(a\in{X},b\in{X})[/math]

– перестановка пределов интегрирования;

[math]\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt=\int\limits_{a}^{c}f(t)\,dt+\int\limits_{c}^{b}f(t)\,dt,~\{a,b,c\}\subset{X}[/math]

– аддитивность интеграла относительно его пределов;

[math]\frac{d}{dx}\!\left(\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt\right)=f(x)~\forall(a\in{X},x\in{X}),[/math]

[math]\frac{d}{dx}\!\left(\int\limits_{x}^{a}f(t)\,dt\right)=-f(x)~\forall(a\in{X},x\in{X})[/math]

– дифференцирование интеграла Ньютона-Лейбница по верхнему и нижнему пределах интегрирования.

Теорема 5 (линейность интеграла). Если функции [math]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] и [math]g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] интегрируемы в смысле Ньютона-Лейбница на множестве [math]X[/math], то [math]\forall(\lambda\in\mathbb{R},\mu\in\matbb{R})[/math] функция [math](\lambda{f}+\mu{g})[/math] также интегрируема на [math]X[/math] и выполняется равенство


[math]\int\limits_{a}^{b}(\lambda{f}+\mu{g})\,dt=\lambda\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt+\mu\int\limits_{a}^{b}g(t)\,dt.[/math]

Теорема 6 (замена переменной). Пусть [math]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] и [math]\varphi\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math]. Если [math]\varphi[/math] дифференцируема в каждой точке [math]x\in{X}\subset{D_{f\circ\varphi}}[/math], а функция [math]f|_{\varphi(X)}[/math] интегрируема в смысле Ньютона-Лейбница, то функция [math](f\circ\varphi)\cdot\varphi'[/math] также интегрируема и [math]\forall({a}\in{X},b\in{X})[/math] справедливо равенство


[math]\int\limits_{a}^{b}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(u)\,du.[/math]

Теорема 7 (интегрирование по частям). Пусть функции [math]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] и [math]g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] дифференцируемы в каждой точки множества [math]X[/math] и функция [math]f'\cdot{g}[/math] интегрируема в смысле Ньютона-Лейбница на [math]X[/math]. Тогда функция [math]f\cdot{g'}[/math] также интегрируема на [math]X[/math] и [math]\forall(a\in{X},b\in{X})[/math] справедлива формула


[math]\int\limits_{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=\Bigl.{f(t)g(t)}\Bigl|_{t=a}^{t=b}\,-\int\limits_{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt,[/math]

которая называется формулой интегрирования по частям.



Методы интегрирования (нахождения первообразных) элементарных функций


1. Алгебраический многочлен [math]P(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_kx^k[/math] интегрируется непосредственно по таблице первообразных:


[math]\int\limits_{x_0}^{x}P(t)\,dt=\sum_{k=0}^{n}\int\limits_{x_0}^{x}a_kx^k\,dt=\sum_{k=0}^{n}\frac{a_k(x^{k+1}-x_{0}^{k+1})}{k+1}.[/math]

2. Каждую правильную рациональную дробь [math]\frac{P(t)}{Q(t)}[/math], где [math]P(t),Q(t)[/math] — многочлены, можно представить в виде суммы простых дробей:


[math]\frac{P(t)}{Q(t)}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac{A_{j}^{(i)}}{(t-t_i)^j}+\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{\beta_i}\frac{M_{j}^{(i)}+N_{j}^{(i)}}{(t^2+p_it+q_i)^j}[/math]

и, таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию четырёх типов элементарных дробей:

[math]{\frac{A}{t-a},~\frac{A}{(t-a)^n},~\frac{Bt+C}{t^2+pt+q},~\frac{B+C}{(t^2+pt+q)^n}~~(n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}).}[/math]

3. Остроградский М. предложил метод нахождение суммы рациональных слагаемых, которая называется рациональной частью первообразной правильной рациональной дроби [math]f=\frac{P}{Q}[/math]. Пусть [math]Q_1[/math] — НОД многочленов [math]Q[/math] и [math]Q'[/math], [math]Q=Q_1\cdot{Q_2}[/math], [math]P_1[/math] и [math]P_2[/math] — многочлены с неопределёнными коэффициентами, каждый из которых имеет формально степень на единицу меньше степени многочленов [math]Q_1[/math] и [math]Q_2[/math] соответственно. Метод Отсроградского приводит к тождеству [math]\frac{P}{Q}=\left(\frac{P_1}{Q_1}\right)\!{'}+\frac{P_2}{Q_2}[/math], которое сводит поиск первообразной функции [math]f[/math] к анологичной, но более простой задаче для функции [math]\frac{P_2}{Q_2}[/math].


4. Композицию отображений [math]t\mapsto(\sin{t},\cos{t}),t\in\mathbb{R}[/math] и рациональной функции [math](u,v)\mapsto\mathcal{R}(u,v)~\forall(u,v)\in{D_{\mathcal{R}}\subset\mathbb{R}^2[/math] назовём функцией, рациональной относительно синуса и косинуса. Её значение в каждой точке [math]t[/math] обозначим через [math]\mathcal{R}(\sin{t},\cos{t})[/math]. Замена переменной [math]\operatorname{tg}\frac{t}{2}=y[/math] называется универсальной тригонометрической подстановкой. Поскольку


[math]\sin{t}=\frac{2y}{1+y^2},~~\cos{t}=\frac{1-y^2}{1+y^2},~~dt=\frac{2\,dy}{1+y^2},[/math]

то универсальная подстановка приводит к интегрированию рациональной функции. Принимая во внимание, что [math]\left(\operatorname{tg}\frac{t}{2}\right)\!{'}=\frac{1}{2\cos^2\frac{t}{2}}[/math], указанной подстановкой можно пользоваться на промежутках, не содержащих нулей функции [math]t\mapsto\cos\frac{t}{2}[/math], если речь идёт о нахождении точной первообразной.

5. В отдельных случаях, а именно, когда


[math]\begin{gathered}\mathcal{R}(\sin{t},-\cos{t})=-\mathcal{R}(\sin{t},\cos{t}),\hfill\\\mathcal{R}(-\sin{t},\cos{t})=-\mathcal{R}(\sin{t},\cos{t}),\hfill\\\mathcal{R}(-\sin{t},-\cos{t})=\mathcal{R}(\sin{t},\cos{t}),\end{gathered}[/math]

применяют соответственно подстановки:

[math]\sin{t}=y,~~~\cos{t}=y,~~~\operatorname{tg}t=y.[/math]

6. При интегрировании композиций отображений


[math]{t\mapsto\left(t,\left(\frac{at+b}{ct+d}\right)^{\tfrac{m_1}{n_1}},\ldots,\left(\frac{at+b}{ct+d}\right)^{\tfrac{m_i}{n_i}}\right)\!\!\left(\left|\!\begin{array}{*{20}{c}}{a}&{b}\\{c}&{d}\\\end{array}\!\right|,\left\{\frac{m_1}{n_1},\ldots,\frac{m_i}{n_i}\right\}\subset{Q}\right)}[/math]

и рациональной функции [math](u,u_1,\ldots,u_i)\mapsto\mathcal{R}(u,u_1,\ldots,u_i)[/math] подстановка [math]\frac{at+b}{ct+d}=y^k[/math], где [math]k[/math] — общий знаменатель дробей [math]\frac{m_1}{n_1},\ldots,\frac{m_i}{n_i}[/math], приводит к интегрированию рациональной функции.

7. При интегрировании дифференциальных биномов, то есть функций вида [math]t\mapsto{t^r}(a+bt^q)^p,\{a,b\}\subset{Q}[/math], П. Чебышев доказал, что только в трёх случаях первообразная может быть выражена через элементарные функции. Укажем эти случаи вместе с подстановками, приводящими к интегрированию рациональных функций:


1) [math]t=y^\lambda[/math], если [math]p\in\mathbb{Z}[/math]. Здесь [math]\lambda[/math] — общий знаменатель дробей [math]r[/math] и [math]q[/math];


2) [math]a+bt=y^\nu[/math], если [math]\frac{r+1}{q}\in\mathbb{Z}[/math]. Здесь [math]\nu[/math] — знаменатель дроби [math]p[/math];


3) [math]at^{-1}+b=y^\nu[/math], если [math]p+\frac{r+1}{q}\in\mathbb{Z}[/math]. Здесь [math]\nu[/math] — знаменатель дроби [math]p[/math].


8. Композиция отображений [math]t\mapsto\Bigl(t,\sqrt{at^2+bt+c}\Bigl)[/math] и рациональной функции [math](u,v)\mapsto\mathcal{R}(u,v)[/math] рационализируется с помощью подстановок Эйлера:


1) [math]\sqrt{at^2+bt+c}=\pm\sqrt{at}+y[/math], если [math]a>0[/math];


2) [math]\sqrt{at^2+bt+c}=\pm\sqrt{c}+yt[/math], если [math]c>0[/math];


3) [math]\sqrt{at^2+bt+c}=y(t-t_1)[/math], где [math]t_1[/math] — действительный корень уравнения [math]at^2+bt+c=0[/math].


9. Иногда подстановок Эйлера, приводящих зачастую к сложным вычислениям, можно избежать. Так, для интеграла вида


[math]I(t)=\int\limits_{x_0}^{x}\frac{P_n(t)}{\sqrt{at^2+bt+C}}\,dt,[/math]

где [math]P_n(t)[/math] — многочлен степени [math]n[/math], имеет место равенство

[math]I(t)=Q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\int\frac{dt}{\sqrt{at^2+bt+c}},[/math]

где [math]Q_{n-1}(x)[/math] — многочлен [math](n-1)[/math]-ой степени с неопределёнными коэффициентами, [math]\lambda[/math] — постоянная (тоже неопределённый коэффициент).
Дифференцируя это равенство, получим тождество

[math]P_n(x)=Q'_{n-1}(x)(ax^2+bx+c)+\left(ax+\frac{b}{2}\right)\!Q_{n-1}(x)+\lambda.[/math]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях [math]x[/math], получим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов.


Функция [math]F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] называется первообразной в широком смысле функции [math]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math] на множестве [math]X\subset{D_f}[/math], если [math]F[/math] непрерывна и имеет производную [math]F'[/math], равную [math]f[/math] во всех точках множества [math]X[/math], за исключением не более счётной его части.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved