Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Интеграл Ньютона-Лейбница

Интеграл Ньютона-Лейбница


Пусть f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} и множество X\subset{D_f} не имеет изолированных точек. Функция F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} называется первообразной (точной первообразной) функции f на множестве X, если X\subset{D_F} и \forall{x}\in{X}~~F'(x)=f(x). В дальнейшем для всех функций считаем, что множество X является промежутком из D_f, содержащим более одной точки.


Если F — первообразная функции f на множестве X, то \forall{C}\in\mathbb{R} функция F+C также является первообразной для f на множестве X, поэтому первообразная определена неоднозначно и специального обозначения не имеет.


Составим таблицу первообразных для некоторых функций на области их определения, воспользовавшись таблицей производных.


Таблица первообразных (интегралов)

Множество X\subset\mathbb{R} называется связным, если его любые две точки A и B можно соединить отрезком AB\subset{X}. В дальнейшем считаем, что множество X содержится в области определения рассматриваемой функции и является связным множеством.


Теорема 1. Пусть f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}. Если \forall{x}\in{X}~f'(x)=0, то f является постоянной на X.


Теорема 2. Пусть F_1 и F_2 первообразные функции f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} на множестве X. Тогда существует такая постоянная C\in\mathbb{R}, что \forall{x}\in{X}~F_2=F_1+C.


Функция f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} называется интегрируемой в смысле Ньютона-Лейбница на множестве X, если она имеет первообразную на этом множестве. При этом \forall{a}\in{X}


{\left(F(x)=\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt\right)\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\Bigl(F(a)=0\wedge\forall{x}\in{X}~F'(x)=f(x)\Bigl).}

Функция F называется интегралом Ньютона-Лейбница с фиксированным нижним пределом интегрирования a и переменным верхним пределом x. Её значение в точке b\in{X}~(F(X)) называется называется определённым интегралом Ньютона-Лейбница и обозначается \textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt}, t — переменная интегрирования, от выбора которой величина интеграла не зависит.


Теорема 3 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} интегрируема в смысле Ньютона-Лейбница на X и \Phi — её первообразная, то \forall(a\in{X},b\in{X}) интеграл \textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt} существует, определён однозначно и имеет место формула Ньютона-Лейбница:


\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt=\Phi(b)-\Phi(a)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Bigl.{\Phi(t)}\Bigl|_{t=a}^{t=b}\,.

Теорема 4. Если функция f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} интегрируема в смысле Ньютона-Лейбница, то выполняются равенства


\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt=-\int\limits_{b}^{a}f(t)\,dt~\forall(a\in{X},b\in{X})

– перестановка пределов интегрирования;


\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt=\int\limits_{a}^{c}f(t)\,dt+\int\limits_{c}^{b}f(t)\,dt,~\{a,b,c\}\subset{X}

– аддитивность интеграла относительно его пределов;


\frac{d}{dx}\!\left(\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt\right)=f(x)~\forall(a\in{X},x\in{X}),

\frac{d}{dx}\!\left(\int\limits_{x}^{a}f(t)\,dt\right)=-f(x)~\forall(a\in{X},x\in{X})

– дифференцирование интеграла Ньютона-Лейбница по верхнему и нижнему пределах интегрирования.


Теорема 5 (линейность интеграла). Если функции f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} и g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} интегрируемы в смысле Ньютона-Лейбница на множестве X, то \forall(\lambda\in\mathbb{R},\mu\in\mathbb{R}) функция (\lambda{f}+\mu{g}) также интегрируема на X и выполняется равенство


\int\limits_{a}^{b}(\lambda{f}+\mu{g})\,dt=\lambda\int\limits_{a}^{b}f(t)\,dt+\mu\int\limits_{a}^{b}g(t)\,dt.

Теорема 6 (замена переменной). Пусть f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} и \varphi\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}. Если \varphi дифференцируема в каждой точке x\in{X}\subset{D_{f\circ\varphi}}, а функция f|_{\varphi(X)} интегрируема в смысле Ньютона-Лейбница, то функция (f\circ\varphi)\cdot\varphi' также интегрируема и \forall({a}\in{X},b\in{X}) справедливо равенство


\int\limits_{a}^{b}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(u)\,du.

Теорема 7 (интегрирование по частям). Пусть функции f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} и g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} дифференцируемы в каждой точки множества X и функция f'\cdot{g} интегрируема в смысле Ньютона-Лейбница на X. Тогда функция f\cdot{g'} также интегрируема на X и \forall(a\in{X},b\in{X}) справедлива формула


\int\limits_{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=\Bigl.{f(t)g(t)}\Bigl|_{t=a}^{t=b}\,-\int\limits_{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt,

которая называется формулой интегрирования по частям.




Методы интегрирования (нахождения первообразных) элементарных функций


1. Алгебраический многочлен \textstyle{P(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_kx^k} интегрируется непосредственно по таблице первообразных:


\int\limits_{x_0}^{x}P(t)\,dt=\sum_{k=0}^{n}\int\limits_{x_0}^{x}a_kx^k\,dt=\sum_{k=0}^{n}\frac{a_k(x^{k+1}-x_{0}^{k+1})}{k+1}.

2. Каждую правильную рациональную дробь \frac{P(t)}{Q(t)}, где P(t),Q(t) — многочлены, можно представить в виде суммы простых дробей:


\frac{P(t)}{Q(t)}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac{A_{j}^{(i)}}{(t-t_i)^j}+\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{\beta_i}\frac{M_{j}^{(i)}+N_{j}^{(i)}}{(t^2+p_it+q_i)^j}

и, таким образом, интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию четырёх типов элементарных дробей:


{\frac{A}{t-a},~\frac{A}{(t-a)^n},~\frac{Bt+C}{t^2+pt+q},~\frac{B+C}{(t^2+pt+q)^n}~~(n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}).}

3. Остроградский М. предложил метод нахождение суммы рациональных слагаемых, которая называется рациональной частью первообразной правильной рациональной дроби f=\frac{P}{Q}. Пусть Q_1 — НОД многочленов Q и Q', Q=Q_1\cdot{Q_2}, P_1 и P_2 — многочлены с неопределёнными коэффициентами, каждый из которых имеет формально степень на единицу меньше степени многочленов Q_1 и Q_2 соответственно. Метод Отсроградского приводит к тождеству \frac{P}{Q}=\left(\frac{P_1}{Q_1}\right)\!{'}+\frac{P_2}{Q_2}, которое сводит поиск первообразной функции f к анологичной, но более простой задаче для функции \frac{P_2}{Q_2}.


4. Композицию отображений t\mapsto(\sin{t},\cos{t}),t\in\mathbb{R} и рациональной функции (u,v)\mapsto\mathcal{R}(u,v)~\forall(u,v)\in{D_{\mathcal{R}}}\subset\mathbb{R}^2 назовём функцией, рациональной относительно синуса и косинуса. Её значение в каждой точке t обозначим через \mathcal{R}(\sin{t},\cos{t}). Замена переменной \operatorname{tg}\frac{t}{2}=y называется универсальной тригонометрической подстановкой. Поскольку


\sin{t}=\frac{2y}{1+y^2},~~\cos{t}=\frac{1-y^2}{1+y^2},~~dt=\frac{2\,dy}{1+y^2},

то универсальная подстановка приводит к интегрированию рациональной функции. Принимая во внимание, что \left(\operatorname{tg}\frac{t}{2}\right)\!{'}=\frac{1}{2\cos^2\frac{t}{2}}, указанной подстановкой можно пользоваться на промежутках, не содержащих нулей функции t\mapsto\cos\frac{t}{2}, если речь идёт о нахождении точной первообразной.


5. В отдельных случаях, а именно, когда


\begin{gathered}\mathcal{R}(\sin{t},-\cos{t})=-\mathcal{R}(\sin{t},\cos{t}),\hfill\\\mathcal{R}(-\sin{t},\cos{t})=-\mathcal{R}(\sin{t},\cos{t}),\hfill\\\mathcal{R}(-\sin{t},-\cos{t})=\mathcal{R}(\sin{t},\cos{t}),\end{gathered}

применяют соответственно подстановки:


\sin{t}=y,~~~\cos{t}=y,~~~\operatorname{tg}t=y.

6. При интегрировании композиций отображений


{t\mapsto\left(t,\left(\frac{at+b}{ct+d}\right)^{\tfrac{m_1}{n_1}},\ldots,\left(\frac{at+b}{ct+d}\right)^{\tfrac{m_i}{n_i}}\right)\!\!\left(\left|\!\begin{array}{*{20}{c}}{a}&{b}\\{c}&{d}\\\end{array}\!\right|,\left\{\frac{m_1}{n_1},\ldots,\frac{m_i}{n_i}\right\}\subset{Q}\right)}

и рациональной функции (u,u_1,\ldots,u_i)\mapsto\mathcal{R}(u,u_1,\ldots,u_i) подстановка \frac{at+b}{ct+d}=y^k, где k — общий знаменатель дробей \frac{m_1}{n_1},\ldots,\frac{m_i}{n_i}, приводит к интегрированию рациональной функции.


7. При интегрировании дифференциальных биномов, то есть функций вида t\mapsto{t^r}(a+bt^q)^p,\{a,b\}\subset{Q}, П. Чебышев доказал, что только в трёх случаях первообразная может быть выражена через элементарные функции. Укажем эти случаи вместе с подстановками, приводящими к интегрированию рациональных функций:


1) t=y^\lambda, если p\in\mathbb{Z}. Здесь \lambda — общий знаменатель дробей r и q;


2) a+bt=y^\nu, если \frac{r+1}{q}\in\mathbb{Z}. Здесь \nu — знаменатель дроби p;


3) at^{-1}+b=y^\nu, если p+\frac{r+1}{q}\in\mathbb{Z}. Здесь \nu — знаменатель дроби p.


8. Композиция отображений t\mapsto\Bigl(t,\sqrt{at^2+bt+c}\Bigl) и рациональной функции (u,v)\mapsto\mathcal{R}(u,v) рационализируется с помощью подстановок Эйлера:


1) \sqrt{at^2+bt+c}=\pm\sqrt{at}+y, если a>0;


2) \sqrt{at^2+bt+c}=\pm\sqrt{c}+yt, если c>0;


3) \sqrt{at^2+bt+c}=y(t-t_1), где t_1 — действительный корень уравнения at^2+bt+c=0.


9. Иногда подстановок Эйлера, приводящих зачастую к сложным вычислениям, можно избежать. Так, для интеграла вида


I(t)=\int\limits_{x_0}^{x}\frac{P_n(t)}{\sqrt{at^2+bt+C}}\,dt,

где P_n(t) — многочлен степени n, имеет место равенство


I(t)=Q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\int\frac{dt}{\sqrt{at^2+bt+c}},

где Q_{n-1}(x) — многочлен (n-1)-ой степени с неопределёнными коэффициентами, \lambda — постоянная (тоже неопределённый коэффициент).


Дифференцируя это равенство, получим тождество


P_n(x)=Q'_{n-1}(x)(ax^2+bx+c)+\left(ax+\frac{b}{2}\right)\!Q_{n-1}(x)+\lambda.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов.


Функция F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} называется первообразной в широком смысле функции f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} на множестве X\subset{D_f}, если F непрерывна и имеет производную F', равную f во всех точках множества X, за исключением не более счётной его части.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved