Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Интеграл Лебега
ОглавлениеИнтегральное исчисление

Интеграл Лебега


Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа — интеграл Лебега.


Понятие интеграла Лебега


Чтобы понять принцип устройства этого интеграла, рассмотрим следующий пример. Пусть имеется большое количество монет различного достоинства и требуется сосчитать общую сумму денег, заключенную в этих монетах. Это можно сделать двумя способами. Можно откладывать монеты подряд и прибавлять стоимость каждой новой монеты к общей стоимости всех ранее отложенных. Однако можно поступить и иначе: сложить монеты стопочками так, чтобы в каждой стопочке были монеты одного достоинства, затем сосчитать число монет в каждой стопочке, умножить это число на стоимость соответствующей монеты, а затем сложить полученные числа. Первый способ счета денег соответствует процессу интегрирования Римана, а второй — процессу интегрирования Лебега.


Переходя от монет к функциям, мы можем сказать, что для вычисления интеграла Римана производится деление на мелкие части области задания функции (оси абсцисс, рис. 1а), а для вычисления интеграла Лебега производится деление области значений функции (оси ординат, рис. 1б). Последний принцип применялся практически задолго до Лебега при вычислении интегралов от функций, имеющих колебательный характер, однако Лебег впервые развил его во всей общности и дал его строгое обоснование при помощи теории меры.


Рассмотрим, как связаны между собою мера множеств и интеграл Лебега. Пусть [math]E[/math] — какое-либо измеримое множество, расположенное та некотором отрезке [math][a,b][/math]. Построим функцию [math]\varphi(x)[/math] равную 1 для [math]x[/math], принадлежащих [math]E[/math], и равную 0 для [math]x[/math], не принадлежащих [math]E[/math]. Иными словами, зададим функцию


[math]\varphi(x)=\begin{cases}1,&\text{if}\quad x\in E;\\0,&\text{if}\quad x\notin E.\end{cases}[/math]

Функцию [math]\varphi(x)[/math] принято называть характеристической функцией множества [math]E[/math]. Рассмотрим интеграл


[math]I=\int\limits_{a}^{b}\varphi(x)\,dx.[/math]

Мы уже привыкли считать, что интеграл равен площади фигуры [math]D[/math], ограниченной осью абсцисс, прямыми [math]x=a,~x=b[/math] и кривой [math]y=\varphi(x)[/math]. Так как в данном случае "высота" фигуры [math]D[/math] отлична от нуля и равна 1 для точек [math]x\in E[/math] и только для этих точек, то (согласно формуле, площадь равна длине, умноженной на ширину) её площадь должна быть численно равна длине (мере) множества [math]E[/math]. Итак, [math]I[/math] должно быть равно мере множества [math]E[/math]


[math]I=\mu E.~~~~~~~~~(1)[/math]

Именно так и определяет Лебег интеграл от функции [math]\varphi(x)[/math].

Мы должны твердо уяснить себе, что равенство (1) является определением интеграла [math]\int\limits_{a}^{b}\varphi(x)\,dx[/math] как интеграла Лебега. Может случиться, что интеграл [math]I[/math] не будет существовать в том смысле, как это понималось для интеграла Римана, т. е. как предел интегральных сумм. Даже если это последнее имеет место, интеграл [math]I[/math] как интеграл Лебега существует и равен [math]\mu E[/math].


В качестве примера подсчитаем интеграл от функции Дирихле [math]\Phi(x)[/math], равной 0 в рациональных точках отрезка [0, 1] и равной 1 в иррациональных точках этого отрезка. Так как, согласно (5), мера множества иррациональных точек отрезка [0, 1] равна 1, то интеграл Лебега [math]\int\limits_{0}^{1}\Phi(x)\,dx[/math] равен 1. Нетрудно проверить, что интеграл Римана от этой функции не существует.


Пусть теперь [math]f(x)[/math] — произвольная ограниченная измеримая функция, заданная на отрезке [math][a,b][/math]. Покажем, что всякую такую функцию можно сколь угодно точно представить в виде линейной комбинации характеристических функций множеств. Чтобы убедиться в этом, разобьем отрезок оси ординат между нижней и верхней гранями значений функции [math]A[/math] и [math]B[/math] точками [math]y_0=A[/math], [math]y_1,\ldots,y_n=B[/math] на отрезки длины меньшей [math]\varepsilon[/math], где [math]\varepsilon[/math] — произвольное фиксированное положительное число. Далее, если в точке [math]x\in[a,b][/math]


[math]y_i\leqslant f(x)<y_{i+1}\quad(i=0,1,\ldots,n-1),[/math] то положим в этой точке [math]\varphi(x)=y_i,[/math]

а если в точке [math]x[/math] [math]f(x)=y_n=B,[/math] то положим [math]\varphi(x)=y_n.[/math]

Построение функции [math]\varphi(x)[/math] показано на рис. 2. Согласно построению функции [math]\varphi(x)[/math], в любой точке отрезка [math][a,b][/math]


[math]|f(x)-\varphi(x)|<\varepsilon.[/math]

Кроме того, так как функция [math]\varphi(x)[/math] принимает лишь конечное число значений [math]y_0,y_1,\ldots,y_n[/math], то её можно записать в виде


[math]\varphi(x)=y_0\cdot\varphi_0(x)+y_1\cdot\varphi_1(x)+\cdots+y_n\cdot\varphi_n(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\cdot\varphi_i(x),~~~~~~~~(2)[/math]

где [math]\varphi_i(x)[/math] — характеристическая функция того множества, где [math]\varphi(x)y_i[/math], т. е. [math]y_i\leqslant f(x)<y_{i+1}[/math] (в каждой точке [math]x\in[a,b][/math] лишь одно слагаемое в правой части формулы (2) отлично от нуля!).



Определение интеграла Лебега


Переходим к определению интеграла Лебега от произвольной ограниченной измеримой функции. Так как функция [math]\varphi(x)[/math] мало отличается от функции [math]f(x)[/math], то в качестве приближенного значения интеграла от функции [math]f(x)[/math] можно принять интеграл от функции [math]\varphi(x)[/math]. Но, замечая, что функции [math]\varphi_i(x)[/math] являются характеристическими функциями множеств, и пользуясь формально обычными правилами вычисления интеграла, получаем


[math]\begin{aligned} \int\limits_{a}^{b}\varphi(x)\,dx&=\int\limits_{a}^{b}\Bigl(y_0\varphi_0(x)+y_1\varphi_1(x)+\cdots+y_n\varphi_n(x)\Bigl)dx=\\ &=y_0\int\limits_{a}^{b}\varphi_0(x)\,dx+y_1\int\limits_{a}^{b}\varphi_1(x)\,dx+\cdots+y_n\int\limits_{a}^{b}\varphi_n(x)\,dx=\\ &=y_0\mu\mathcal{E}_0+y_1\mu\mathcal{E}_1+\cdots+y_n\mu\mathcal{E}_n. \end{aligned}[/math]

где [math]\mu\mathcal{E}_i[/math] есть мера множества [math]\mathcal{E}_i[/math] тех [math]x[/math], для которых выполняется неравенство [math]y_i\leqslant f(x)<y_{i+1}[/math].

Итак, приближенным значением интеграла Лебега от функции [math]f(x)[/math] является интегральная сумма Лебега


[math]S=y_0\mu\mathcal{E}_0+y_1\mu\mathcal{E}_1+\cdots+y_n\mu\mathcal{E}_n=\sum_{i=0}^{n}y_i\mu\mathcal{E}_i.[/math]

В соответствии с этим интеграл Лебега определяется как предел интегральных сумм Лебега [math]S[/math], когда


[math]\max_{x\in\mathbb{R}}|y_{i+1}-y_i|\to0,[/math]

что соответствует равномерной сходимости функций [math]\varphi(x)[/math] к функции [math]f(x)[/math].

Можно показать, что интегральные суммы Лебега имеют предел для любой ограниченной измеримой функции, т. е. любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу. Интеграл Лебега можно также распространить на некоторые классы неограниченных измеримых функций, но мы не будем этим заниматься.




Свойства интеграла Лебега


Интеграл Лебега обладает всеми хорошими свойствами обычного интеграла, именно, интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и т. д. Однако интеграл Лебега обладает еще одним замечательным свойством, которым обычный интеграл не обладает : если измеримые функции [math]f_n(x)[/math] ограничены в совокупности:


[math]|f_n(x)|<K[/math]

для любого [math]n[/math] и любого [math]x[/math] из отрезка [math][a,b][/math] и последовательность [math]\{f_n(x)\}[/math] сходится почти всюду к функции [math]f(x)[/math], то

[math]\int\limits_{a}^{b}f_n(x)\,dx\to\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx.[/math]

Иными словами, интеграл Лебега допускает безотказный переход к пределу. Именно это свойство интеграла Лебега делает его весьма удобным, а часто и неизбежным инструментом во многих исследованиях. В частности, интеграл Лебега совершенно необходим в теории тригонометрических рядов, в теории функциональных пространств и других разделах математики.


Приведем пример. Пусть [math]f(x)[/math] — периодическая функция с периодом [math]2\pi[/math] и


[math]\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}\Bigl)[/math] — ее ряд Фурье.

Если, например, функция [math]f(x)[/math] непрерывна, то, как нетрудно показать,


[math]\frac{1}{\pi}\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n^2+b_n^2\Bigl).~~~~~~~~~(3)[/math]

Это тождество носит название равенства Парсеваля.

Рассмотрим такой вопрос: для какого класса периодических функций справедливо равенство Парсеваля (3)? Ответ на этот вопрос гласит: равенство Парсеваля (3) выполняется в том и только в том случае, если функция [math]f(x)[/math] измерима на отрезке [math][0;2\pi][/math] и функция [math]f^2(x)[/math] интегрируема по Лебегу на этом отрезке.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved