Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Группы, кольца, поля в математике

Группы, кольца, поля в математике


Группа: определение и примеры групп


Множество G с алгебраической операцией \ast называется группой, если выполняются следующие условия:


1) операция \ast в G ассоциативна: a\ast(b\ast c)=(a\ast b)\ast c~ \forall a,b\in G;

2) в G существует нейтральный элемент \theta\colon\, a\ast\theta=\theta\ast a=a~ \forall a\in G;

3) для каждого элемента a\in G существует обратный ему элемент a^{-1}\in G\colon\, a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta.


Если операция \ast коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.


Относительно операции сложения группами являются множества \mathbb{Z},~ \mathbb{Q},~ \mathbb{R}. Относительно операции умножения группами являются множества \mathbb{Q}\setminus\{0\} и R\setminus\{0\} отличных от нуля рациональных и действительных чисел, поскольку для нуля не существует обратного элемента. Все эти группы коммутативные.


В группах по сложению нейтральный элемент \theta называют нулевым (или просто нулем), а обратный элемент a^{-1} — противоположным (-a). В группах по умножению нейтральный элемент \theta называют единичным (или просто единицей) и обозначают e, для обратного элемента a^{-1} название и обозначение сохраняется.




Пример В.4. Доказать, что множество \{0\}, состоящее из одного числа нуль, образует коммутативную группу по сложению.


Решение. Действительно, операция сложения определена на указанном множестве, так как 0+0=0. Из этого равенства следует, что этот единственный элемент множества служит нулевым (нейтральным) элементом, а также противоположным (обратным) для себя. Ассоциативность сложения очевидна: (0+0)+0=0+(0+0). Следовательно, все (три) условия в определении группы выполняются. Учитывая коммутативность сложения, заключаем, что рассматриваемое множество — коммутативная группа.


Пример В.5. Доказать, что множество \{+1,-1\}, состоящее из двух чисел, образует коммутативную группу по умножению.


Решение. Действительно, операция умножения определена на указанном множестве, так как


(+1)\cdot(+1)=+1,\qquad (+1)\cdot(-1)=(-1)\cdot(+1)=-1,\qquad (-1)\cdot(-1)=+1.
(B.1)

Следовательно, произведение элементов есть элемент того же множества. Ассоциативность умножения очевидна. Из равенств (В.1) следует, что существует единичный элемент e=+1. Кроме того, каждый элемент имеет обратный: (+1)^{-1}=+1, (-1)^{-1}=-1. Таким образом, все (три) условия в определении группы выполняются. Из (В.1) следует, что умножение коммутативно, поэтому данная группа коммутативная.




Кольцо


Множество K, на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение (\cdot), называется кольцом, если выполняются следующие условия:


1) относительно операции сложения множество K — коммутативная группа, т.е.


а) операция сложения коммутативна: a+b=b+a~ \forall a,b\in K;

б) операция сложения ассоциативна: a+(b+c)=(a+b)+c~ \forall a,b,c\in K;

в) существует нулевой элемент \theta\colon\, a+\theta=\theta+a=a~ \forall a\in K;

г) для каждого элемента a\in K существует противоположный ему элемент (-a)\in K\colon\, a+(-a)=(-a)+a=\theta;


2) операция умножения в множестве K ассоциативна:


a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\qquad \forall a\in K\,,\quad \forall b\in K\,,\quad \forall c\in K\,;

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:


(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,\quad c\cdot(a+b)=c\cdot a+c\cdot b\qquad \forall a\in K\,,\quad \forall b\in K\,,\quad \forall c\in K\,;

Если операция умножения коммутативна: a\cdot b=b\cdot a, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент e\colon\,a\cdot e=e\cdot a=a, то говорят, что кольцо K — есть кольцо с единицей.


Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Примеры других колец, в том числе и некоммутативных, встретятся в дальнейшем. Как видим, кольцо — это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.


Рассмотрим подробнее законы дистрибутивности. Пусть на множестве K заданы две операции \oplus и \otimes. Операция \otimes называется дистрибутивной слева относительно операции \oplus, если для любых a,\,b,\,c из K справедливо равенство:


c\otimes \bigl(a\oplus b\bigr)= \bigl(c\otimes a\bigr)\oplus \bigl(c\otimes b\bigr),

и дистрибутивной справа относительно операции \otimes, если для любых a,\,b,\,c из K справедливо равенство:


\bigl(a\oplus b\bigr)\otimes c=\bigl(a\otimes c\bigr)\oplus \bigl(b\otimes c\bigr).

Если операция \otimes коммутативна, то дистрибутивность слева операции \otimes относительно операции \oplus влечет дистрибутивность справа, так как


\bigl(a\oplus b\bigr)\otimes c= c\otimes \bigl(a\oplus b\bigr)= \bigl(c\otimes a\bigr)\oplus \bigl(c\otimes b\bigr)= \bigl(a\otimes c\bigr)\oplus \bigl(b\otimes c\bigr).

В этом случае говорят, что операция \otimes дистрибутивна относительно операции \oplus. Например, операция умножения чисел дистрибутивна (слева и справа) относительно операции сложения чисел. Следующий пример показывает, что имеются операции с "односторонней" дистрибутивностью.




Пример В.6. Рассмотрим множество \mathbb{R}^{+} положительных действительных чисел. На этом множестве определим две операции: умножения (\times b) и возведения в положительную степень (a\uparrow b=a^b). Доказать, что операция \uparrow возведения в степень дистрибутивна справа относительно умножения, но не дистрибутивна слева.


Решение. В самом деле, для любых положительных действительных чисел a,\,b,\,c справедливы равенства


(a\cdot b) \uparrow c= (a\cdot b)^c= a^c\cdot b^c= \bigl(a\uparrow c\bigr)\cdot \bigl(b\uparrow c\bigr).

Следовательно, операция \uparrow дистрибутивна справа относительно операции умножения чисел. Дистрибутивность \uparrow слева относительно умножения опровергается примером


2\uparrow (3\cdot 2)= 2^{3\cdot2}= 2^6= 64\ne 32=2^3\cdot2^2= \bigl(2\uparrow 3\bigr)\cdot \bigl(2\uparrow 2\bigr).



Пример В.7. Доказать, что множество чисел вида, где m и n — целые числа, является кольцом:


m+n\cdot\sqrt{2}\,.
(B.2)

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.2) имеют тоже самое представление:


\begin{aligned}\bigl(m_1+n_1\cdot\sqrt{2}\bigr)+ \bigl(m_2+n_2\cdot\sqrt{2}\bigr)&= \bigl(m_1+m_2\bigr)+ \bigl(n_1+n_1\bigr)\cdot\sqrt{2}\,;\\ \bigl(m_1+n_1\cdot\sqrt{2}\bigr)\cdot \bigl(m_2+n_2\cdot\sqrt{2}\bigr)&= \bigl(m_1\cdot m_2+2n_1\cdot n_2\bigr)+ \bigl(m_1\cdot n_2+m_2\cdot n_1\bigr)\cdot\sqrt{2}\,.\end{aligned}

Числа (m_1+m_2),~ (n_1+n_2),~ (m_1m_2+2n_1n_2),~ (m_1n_2+m_2n_1), очевидно, целые для любых целых m_1,\,m_2,\,n_1,\,n_2. Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число \theta=0+0\sqrt{2}. Для каждого числа m+n\sqrt{2}l противоположным элементом является число (-m)+(-n)\sqrt{2}, так как


\big(m+n\cdot\sqrt{2}\bigr)+ \bigl((-m)+(-n)\sqrt{2}\bigr)= (m-m)+(n-n)\cdot\sqrt{2}= 0+0\cdot\sqrt{2}\,.

Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.




Поле: определение и примеры полей


Множество \Pi, на котором заданы две операции: сложение (+) и умножение (\cdot), называется полем, если выполняются следующие условия:


1) \Pi — коммутативное кольцо с единицей e\ne\theta;

2) для каждого элемента a\in\Pi, отличного от нулевого (a\ne\theta), существует обратный элемент a^{-1}\in\Pi\colon\, a\cdot a^{-1}=e.


Как видим, полеэто множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.


Пример В.8. На множестве M_3=\{0,1,2\} трех целых чисел определим две операции:


1) "сложение по модулю 3" — остаток от деления суммы a+b на 3 (обозначим через \overset{3}{a+b});

2) "умножение по модулю 3" — остаток от деления произведения ab на 3 (обозначим через \overset{3}{a\cdot b}).


Доказать, что множество M_3 является полем относительно введенных операций.


Решение. В этом примере остаток от деления целого числа a на 3 будем обозначать через \{a\}_3. Напомним простые свойства деления целых чисел с остатком:


– остаток от деления на 3 суммы не изменится, если слагаемое (или не сколько слагаемых) заменить его остатком при делении на 3:


\{a+b\}_3=\bigl\{a+\{b\}_3\bigr\}_3;

– остаток от деления на 3 произведения не изменится, если множитель (или несколько множителей) заменить его остатком при делении на 3:


\{a\cdot b\}_3=\bigl\{a\cdot\{b\}_3\bigr\}_3.

Рассматриваемые в примере операции "сложения по модулю 3" и "умножения по модулю 3" можно представить в виде


\overset{3}{a+b}= \{a+b\}_3 и \overset{3}{a\cdot b}= \{a\cdot b\}_3

а указанные свойства остатков записать так \overset{3}{a+b}= \overset{3}{a+\{b\}_3},~ \overset{3}{a\cdot b}= \overset{3}{a\cdot\{b\}_3}.


Перейдем теперь к решению задачи. Отметим, что введенные операции \overset{3}{a+b} и \overset{3}{a\cdot b} определены на M_3. Составим таблицы "сложения по модулю 3" и "умножения по модулю 3" (рис.В.2). Как видим, результаты этих операций принадлежат M_3. Следовательно, операции действительно определены на M_3.


Таблица "сложения по модулю" \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a\setminus b &0&1&2\\\hline 0&0&1&2\\\hline 1&1&2&0\\\hline 2&2&0&1 \\\hline\end{array}. Таблица "умножения по модулю" \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a\setminus b &0&1&2\\\hline 0&0&0&0\\\hline 1&0&1&2\\\hline 2&0&2&1 \\\hline\end{array}.


Покажем, что множество M_3 является коммутативным кольцом с единицей. В самом деле, операция "сложения по модулю 3" коммутативна и ассоциативна. Это следует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Действительно, из равенства a+b=b+a следует, что


\overset{3}{a+b}= \{a+b\}_3= \{b+a\}_3= \overset{3}{b+a}\,.

Коммутативность доказана. Заметим, впрочем, что коммутативность "сложения по модулю 3" видна непосредственно по таблице (см. рис.В.2): слагаемые a и b в таблице можно поменять местами, при этом таблица не изменится.


Из равенства a+(b+c)=(a+b)+c следует, что


a\,\overset{3}{+}\bigl(\overset{3}{b+c}\bigr)= \bigl\{a+\{b+c\}_3\bigr\}_3= \{a+b+c\}_3= \bigl\{\{a+b\}_3+c\bigr\}_3= \bigl(\overset{3}{a+b}\bigr)\overset{3}{+}\,c\,.

Ассоциативность "сложения по модулю 3" доказана.


Нулевым элементом \theta служит число 0. По таблице "сложения по модулю 3" определяем, что для каждого элемента a из M_3 имеется противоположный элемент (-a)\colon\, (-0)=0;~ (-1)=2;~ (-2)=1. Действительно, по таблице "сложения по модулю 3" получаем


0\,\overset{3}{+}\,(-0)= \overset{3}{0+0}=0;\qquad 1\,\overset{3}{+}\,(-1)= \overset{3}{1+2}=0;\qquad 2\,\overset{3}{+}\,(-2)= \overset{3}{2+1}=0;

Итак, множество M_3 относительно операции "сложения по модулю 3" является коммутативной группой.


Операция "умножение по модулю 3" ассоциативна и коммутативна, что следует из ассоциативности и коммутативности умножения целых чисел, а также свойств остатков:


\begin{gathered}a\,\overset{3}{\cdot}\bigl(b\,\overset{3}{\cdot}\,c\bigr)= \bigl\{a\cdot\{b\cdot c\}_3\bigr\}_3= \{a\cdot b\cdot c\}_3= \bigl\{\{a\cdot b\}_3\cdot c\bigr\}_3= \bigl(a\, \overset{3}{\cdot}\, b\bigr) \overset{3}{\cdot}\,c\\[2pt] a\,\overset{3}{\cdot}\,b= \{a\cdot b\}_3= \{b\cdot a\}_3=b \,\overset{3}{\cdot}\,a.\end{gathered}

Проверим дистрибутивность:


a\,\overset{3}{\cdot}\,\bigl(\overset{3}{b+c}\bigr)= \bigl\{a\cdot\{b+c\}_3\bigr\}_3= \bigl\{a\cdot(b+ c)\bigr\}_3= \bigl\{a\cdot b+a\cdot c\bigr\}_3= \bigl\{\{a\cdot b\}_3+\{a\cdot c\}_3\bigr\}_3= \bigl(\overset{3}{a\cdot b}\bigr) \overset{3}{+}\, \bigl(\overset{3}{a\cdot c}\bigr).

Следовательно, операция "умножения по модулю 3" дистрибутивна слева относительно операции "сложения по модулю 3". Дистрибутивность справа можно не проверять, так как обе операции коммутативны.


Единичным элементом служит число 1 (что видно по таблице "умножения по модулю 3"). Следовательно, M_3 — коммутативное кольцо с единицей.


Осталось показать существование обратных элементов. Для любого a\in M_3, отличного от нуля, существует обратный элемент a^{-1}\colon\, 1^{-1}=1; 2^{-1}=2. В самом деле, по таблице "умножения по модулю 3" 1\,\overset{3}{\cdot}\,1^{-1}= 1\,\overset{3}{\cdot}\,1 =1 и 2\,\overset{3}{\cdot}\,2^{-1}= 2\,\overset{3}{\cdot}\,2 =1. Таким образом, множество M_3 с введенными операциями является полем.


Замечание В.2. Можно доказать, что числовое множество M_p=\{0,1,2,\ldots,p-1\} с операциями "сложения по модулю p" и "умножения по модулю p" является полем для любого простого числа p.




Пример В.9. Доказать, что множество чисел вида, где p и q — рациональные числа, является полем:


p+q\cdot\sqrt{2}\,.
(B.3))

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.З) имеют тоже самое представление:


\begin{aligned}\bigl(p_1+q_1\cdot\sqrt{2}\bigr)+ \bigl(p_2+q_2\cdot\sqrt{2}\bigr)&= (p_1+p_2)+(q_1+q_2)\sqrt{2}\,;\\ \bigl(p_1+q_1\cdot\sqrt{2}\bigr)\cdot \bigl(p_2+ q_2\cdot\sqrt{2} \bigr)&= (p_1p_2+ 2q_1q_2)+ (p_1q_2+p_2q_1)\sqrt{2}\,.\end{aligned}

Числа (p_1+p_2),~ (q_1+q_2),~ (p_1p_2+2q_1q_2),~ (p_1q_2+p_2q_1) очевидно, рациональные для любых рациональных p_1,\,p_2,\,q_1,\,q_2. Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число \theta=0+ 0\sqrt{2}. Для каждого числа p+q\sqrt{2} противоположным элементом является число (-p)+(-q)\sqrt{2}, так как


\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)+ \bigl((-p)+(-q)\sqrt{2}\bigr)= (p-p)+(q-q)\sqrt{2}=0+0\sqrt{2}\,.

Единичным элементом служит число e=1+0\sqrt{2}. В самом деле, для любого числа p+q\sqrt{2} имеет место равенство:


\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)\cdot \bigl(1+0\sqrt{2}\bigr)= \bigr(1+0\sqrt{2}\bigl)\cdot \bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)= p+q\sqrt{2}\,.

Таким образом, рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей (e\ne\theta). Осталось показать, что любое число p+q\sqrt{2}, отличное от нулевого элемента \theta=0+0\sqrt{2}, имеет обратный. В самом деле, учитывая, что


\frac{1}{p+q\sqrt{2}}= \frac{p-q\sqrt{2}}{(p+q\sqrt{2})\cdot (p-q\sqrt{2})}= \frac{p}{p^2-2q^2}-\frac{q}{p^2-2q^2}\cdot\sqrt{2}\,,

определим обратный элемент равенством \bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)^{-1}= \frac{p}{p^2-2q^2}-\frac{q\sqrt{2}}{p^2-2q^2}. Тогда


\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)^{-1}= \bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)^{-1}\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)= \bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)\left(\frac{p}{p^2-2q^2}-\frac{q\sqrt{2}}{p^2-2q^2}\right)= 1+0\sqrt{2}=e\,.

Заметим, что знаменатель p^2-2q^2 отличен от нуля для любых рациональных чисел p и q, не равных нулю одновременно. Действительно, равенство p^2=2q^2 равносильно равенству |p|=|q|\sqrt{2}, а это означает, что \sqrt{2} — рациональное число. Поскольку число \sqrt{2} — иррациональное, значит p^2-2q^2\ne0, т.е. обратный элемент существует для любого p+q\sqrt{2}\ne\theta.


Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved