Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Группы, кольца, поля в математике

Группы, кольца, поля в математике


Группа: определение и примеры групп


Множество [math]G[/math] с алгебраической операцией [math]\ast[/math] называется группой, если выполняются следующие условия:


1) операция [math]\ast[/math] в [math]G[/math] ассоциативна: [math]a\ast(b\ast c)=(a\ast b)\ast c~ \forall a,b\in G[/math];

2) в [math]G[/math] существует нейтральный элемент [math]\theta\colon\, a\ast\theta=\theta\ast a=a~ \forall a\in G[/math];

3) для каждого элемента [math]a\in G[/math] существует обратный ему элемент [math]a^{-1}\in G\colon\, a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta[/math].


Если операция [math]\ast[/math] коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.


Относительно операции сложения группами являются множества [math]\mathbb{Z},~ \mathbb{Q},~ \mathbb{R}[/math]. Относительно операции умножения группами являются множества [math]\mathbb{Q}\setminus\{0\}[/math] и [math]R\setminus\{0\}[/math] отличных от нуля рациональных и действительных чисел, поскольку для нуля не существует обратного элемента. Все эти группы коммутативные.


В группах по сложению нейтральный элемент [math]\theta[/math] называют нулевым (или просто нулем), а обратный элемент [math]a^{-1}[/math] — противоположным [math](-a)[/math]. В группах по умножению нейтральный элемент [math]\theta[/math] называют единичным (или просто единицей) и обозначают [math]e[/math], для обратного элемента [math]a^{-1}[/math] название и обозначение сохраняется.




Пример В.4. Доказать, что множество [math]\{0\}[/math], состоящее из одного числа нуль, образует коммутативную группу по сложению.


Решение. Действительно, операция сложения определена на указанном множестве, так как [math]0+0=0[/math]. Из этого равенства следует, что этот единственный элемент множества служит нулевым (нейтральным) элементом, а также противоположным (обратным) для себя. Ассоциативность сложения очевидна: [math](0+0)+0=0+(0+0)[/math]. Следовательно, все (три) условия в определении группы выполняются. Учитывая коммутативность сложения, заключаем, что рассматриваемое множество — коммутативная группа.


Пример В.5. Доказать, что множество [math]\{+1,-1\}[/math], состоящее из двух чисел, образует коммутативную группу по умножению.


Решение. Действительно, операция умножения определена на указанном множестве, так как


[math](+1)\cdot(+1)=+1,\qquad (+1)\cdot(-1)=(-1)\cdot(+1)=-1,\qquad (-1)\cdot(-1)=+1.[/math]
(B.1)

Следовательно, произведение элементов есть элемент того же множества. Ассоциативность умножения очевидна. Из равенств (В.1) следует, что существует единичный элемент [math]e=+1[/math]. Кроме того, каждый элемент имеет обратный: [math](+1)^{-1}=+1,[/math] [math](-1)^{-1}=-1[/math]. Таким образом, все (три) условия в определении группы выполняются. Из (В.1) следует, что умножение коммутативно, поэтому данная группа коммутативная.




Кольцо


Множество [math]K[/math], на котором заданы две операции — сложение [math](+)[/math] и умножение [math](\cdot)[/math], называется кольцом, если выполняются следующие условия:


1) относительно операции сложения множество [math]K[/math] — коммутативная группа, т.е.


а) операция сложения коммутативна: [math]a+b=b+a~ \forall a,b\in K[/math];

б) операция сложения ассоциативна: [math]a+(b+c)=(a+b)+c~ \forall a,b,c\in K[/math];

в) существует нулевой элемент [math]\theta\colon\, a+\theta=\theta+a=a~ \forall a\in K[/math];

г) для каждого элемента [math]a\in K[/math] существует противоположный ему элемент [math](-a)\in K\colon\, a+(-a)=(-a)+a=\theta[/math];


2) операция умножения в множестве [math]K[/math] ассоциативна:


[math]a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\qquad \forall a\in K\,,\quad \forall b\in K\,,\quad \forall c\in K\,;[/math]

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:


[math](a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,\quad c\cdot(a+b)=c\cdot a+c\cdot b\qquad \forall a\in K\,,\quad \forall b\in K\,,\quad \forall c\in K\,;[/math]

Если операция умножения коммутативна: [math]a\cdot b=b\cdot a[/math], то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент [math]e\colon\,a\cdot e=e\cdot a=a[/math], то говорят, что кольцо [math]K[/math] — есть кольцо с единицей.


Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Примеры других колец, в том числе и некоммутативных, встретятся в дальнейшем. Как видим, кольцо — это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.


Рассмотрим подробнее законы дистрибутивности. Пусть на множестве [math]K[/math] заданы две операции [math]\oplus[/math] и [math]\otimes[/math]. Операция [math]\otimes[/math] называется дистрибутивной слева относительно операции [math]\oplus[/math], если для любых [math]a,\,b,\,c[/math] из [math]K[/math] справедливо равенство:


[math]c\otimes \bigl(a\oplus b\bigr)= \bigl(c\otimes a\bigr)\oplus \bigl(c\otimes b\bigr),[/math]

и дистрибутивной справа относительно операции [math]\otimes[/math], если для любых [math]a,\,b,\,c[/math] из [math]K[/math] справедливо равенство:


[math]\bigl(a\oplus b\bigr)\otimes c=\bigl(a\otimes c\bigr)\oplus \bigl(b\otimes c\bigr).[/math]

Если операция [math]\otimes[/math] коммутативна, то дистрибутивность слева операции [math]\otimes[/math] относительно операции [math]\oplus[/math] влечет дистрибутивность справа, так как


[math]\bigl(a\oplus b\bigr)\otimes c= c\otimes \bigl(a\oplus b\bigr)= \bigl(c\otimes a\bigr)\oplus \bigl(c\otimes b\bigr)= \bigl(a\otimes c\bigr)\oplus \bigl(b\otimes c\bigr).[/math]

В этом случае говорят, что операция [math]\otimes[/math] дистрибутивна относительно операции [math]\oplus[/math]. Например, операция умножения чисел дистрибутивна (слева и справа) относительно операции сложения чисел. Следующий пример показывает, что имеются операции с "односторонней" дистрибутивностью.




Пример В.6. Рассмотрим множество [math]\mathbb{R}^{+}[/math] положительных действительных чисел. На этом множестве определим две операции: умножения [math](\times b)[/math] и возведения в положительную степень [math](a\uparrow b=a^b)[/math]. Доказать, что операция [math]\uparrow[/math] возведения в степень дистрибутивна справа относительно умножения, но не дистрибутивна слева.


Решение. В самом деле, для любых положительных действительных чисел [math]a,\,b,\,c[/math] справедливы равенства


[math](a\cdot b) \uparrow c= (a\cdot b)^c= a^c\cdot b^c= \bigl(a\uparrow c\bigr)\cdot \bigl(b\uparrow c\bigr).[/math]

Следовательно, операция [math]\uparrow[/math] дистрибутивна справа относительно операции умножения чисел. Дистрибутивность [math]\uparrow[/math] слева относительно умножения опровергается примером


[math]2\uparrow (3\cdot 2)= 2^{3\cdot2}= 2^6= 64\ne 32=2^3\cdot2^2= \bigl(2\uparrow 3\bigr)\cdot \bigl(2\uparrow 2\bigr).[/math]



Пример В.7. Доказать, что множество чисел вида, где [math]m[/math] и [math]n[/math] — целые числа, является кольцом:


[math]m+n\cdot\sqrt{2}\,.[/math]
(B.2)

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.2) имеют тоже самое представление:


[math]\begin{aligned}\bigl(m_1+n_1\cdot\sqrt{2}\bigr)+ \bigl(m_2+n_2\cdot\sqrt{2}\bigr)&= \bigl(m_1+m_2\bigr)+ \bigl(n_1+n_1\bigr)\cdot\sqrt{2}\,;\\ \bigl(m_1+n_1\cdot\sqrt{2}\bigr)\cdot \bigl(m_2+n_2\cdot\sqrt{2}\bigr)&= \bigl(m_1\cdot m_2+2n_1\cdot n_2\bigr)+ \bigl(m_1\cdot n_2+m_2\cdot n_1\bigr)\cdot\sqrt{2}\,.\end{aligned}[/math]

Числа [math](m_1+m_2),~ (n_1+n_2),~ (m_1m_2+2n_1n_2),~ (m_1n_2+m_2n_1)[/math], очевидно, целые для любых целых [math]m_1,\,m_2,\,n_1,\,n_2[/math]. Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число [math]\theta=0+0\sqrt{2}[/math]. Для каждого числа [math]m+n\sqrt{2}[/math]l противоположным элементом является число [math](-m)+(-n)\sqrt{2}[/math], так как


[math]\big(m+n\cdot\sqrt{2}\bigr)+ \bigl((-m)+(-n)\sqrt{2}\bigr)= (m-m)+(n-n)\cdot\sqrt{2}= 0+0\cdot\sqrt{2}\,.[/math]

Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.




Поле: определение и примеры полей


Множество [math]\Pi[/math], на котором заданы две операции: сложение [math](+)[/math] и умножение [math](\cdot)[/math], называется полем, если выполняются следующие условия:


1) [math]\Pi[/math] — коммутативное кольцо с единицей [math]e\ne\theta[/math];

2) для каждого элемента [math]a\in\Pi[/math], отличного от нулевого [math](a\ne\theta)[/math], существует обратный элемент [math]a^{-1}\in\Pi\colon\, a\cdot a^{-1}=e[/math].


Как видим, полеэто множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.


Пример В.8. На множестве [math]M_3=\{0,1,2\}[/math] трех целых чисел определим две операции:


1) "сложение по модулю 3" — остаток от деления суммы [math]a+b[/math] на 3 (обозначим через [math]\overset{3}{a+b}[/math]);

2) "умножение по модулю 3" — остаток от деления произведения [math]ab[/math] на 3 (обозначим через [math]\overset{3}{a\cdot b}[/math]).


Доказать, что множество [math]M_3[/math] является полем относительно введенных операций.


Решение. В этом примере остаток от деления целого числа [math]a[/math] на 3 будем обозначать через [math]\{a\}_a[/math]. Напомним простые свойства деления целых чисел с остатком:


– остаток от деления на 3 суммы не изменится, если слагаемое (или не сколько слагаемых) заменить его остатком при делении на 3:


[math]\{a+b\}_3=\bigl\{a+\{b\}_3\bigr\}_3;[/math]

– остаток от деления на 3 произведения не изменится, если множитель (или несколько множителей) заменить его остатком при делении на 3:


[math]\{a\cdot b\}_3=\bigl\{a\cdot\{b\}_3\bigr\}_3.[/math]

Рассматриваемые в примере операции "сложения по модулю 3" и "умножения по модулю 3" можно представить в виде


[math]\overset{3}{a+b}= \{a+b\}_3[/math] и [math]\overset{3}{a\cdot b}= \{a\cdot b\}_3[/math]

а указанные свойства остатков записать так [math]\overset{3}{a+b}= \overset{3}{a+\{b\}_3},~ \overset{3}{a\cdot b}= \overset{3}{a\cdot\{b\}_3}[/math].


Перейдем теперь к решению задачи. Отметим, что введенные операции [math]\overset{3}{a+b}[/math] и [math]\overset{3}{a\cdot b}[/math] определены на [math]M_3[/math]. Составим таблицы "сложения по модулю 3" и "умножения по модулю 3" (рис.В.2). Как видим, результаты этих операций принадлежат [math]M_3[/math]. Следовательно, операции действительно определены на [math]M_3[/math].


Таблица "сложения по модулю" [math]\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a\setminus b &0&1&2\\\hline 0&0&1&2\\\hline 1&1&2&0\\\hline 2&2&0&1 \\\hline\end{array}[/math]. Таблица "умножения по модулю" [math]\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a\setminus b &0&1&2\\\hline 0&0&0&0\\\hline 1&0&1&2\\\hline 2&0&2&1 \\\hline\end{array}[/math].


Покажем, что множество [math]M_3[/math] является коммутативным кольцом с единицей. В самом деле, операция "сложения по модулю 3" коммутативна и ассоциативна. Это следует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Действительно, из равенства [math]a+b=b+a[/math] следует, что


[math]\overset{3}{a+b}= \{a+b\}_3= \{b+a\}_3= \overset{3}{b+a}\,.[/math]

Коммутативность доказана. Заметим, впрочем, что коммутативность "сложения по модулю 3" видна непосредственно по таблице (см. рис.В.2): слагаемые [math]a[/math] и [math]b[/math] в таблице можно поменять местами, при этом таблица не изменится.


Из равенства [math]a+(b+c)=(a+b)+c[/math] следует, что


[math]a\,\overset{3}{+}\bigl(\overset{3}{b+c}\bigr)= \bigl\{a+\{b+c\}_3\bigr\}_3= \{a+b+c\}_3= \bigl\{\{a+b\}_3+c\bigr\}_3= \bigl(\overset{3}{a+b}\bigr)\overset{3}{+}\,c\,.[/math]

Ассоциативность "сложения по модулю 3" доказана.


Нулевым элементом [math]\theta[/math] служит число 0. По таблице "сложения по модулю 3" определяем, что для каждого элемента [math]a[/math] из [math]M_3[/math] имеется противоположный элемент [math](-a)\colon\, (-0)=0;~ (-1)=2;~ (-2)=1[/math]. Действительно, по таблице "сложения по модулю 3" получаем


[math]0\,\overset{3}{+}\,(-0)= \overset{3}{0+0}=0;\qquad 1\,\overset{3}{+}\,(-1)= \overset{3}{1+2}=0;\qquad 2\,\overset{3}{+}\,(-2)= \overset{3}{2+1}=0;[/math]

Итак, множество [math]M_3[/math] относительно операции "сложения по модулю 3" является коммутативной группой.


Операция "умножение по модулю 3" ассоциативна и коммутативна, что следует из ассоциативности и коммутативности умножения целых чисел, а также свойств остатков:


[math]\begin{gathered}a\,\overset{3}{\cdot}\bigl(b\,\overset{3}{\cdot}\,c\bigr)= \bigl\{a\cdot\{b\cdot c\}_3\bigr\}_3= \{a\cdot b\cdot c\}_3= \bigl\{\{a\cdot b\}_3\cdot c\bigr\}_3= \bigl(a\, \overset{3}{\cdot}\, b\bigr) \overset{3}{\cdot}\,c\\[2pt] a\,\overset{3}{\cdot}\,b= \{a\cdot b\}_3= \{b\cdot a\}_3=b \,\overset{3}{\cdot}\,a.\end{gathered}[/math]

Проверим дистрибутивность:


[math]a\,\overset{3}{\cdot}\,\bigl(\overset{3}{b+c}\bigr)= \bigl\{a\cdot\{b+c\}_3\bigr\}_3= \bigl\{a\cdot(b+ c)\bigr\}_3= \bigl\{a\cdot b+a\cdot c\bigr\}_3= \bigl\{\{a\cdot b\}_3+\{a\cdot c\}_3\bigr\}_3= \bigl(\overset{3}{a\cdot b}\bigr) \overset{3}{+}\, \bigl(\overset{3}{a\cdot c}\bigr).[/math]

Следовательно, операция "умножения по модулю 3" дистрибутивна слева относительно операции "сложения по модулю 3". Дистрибутивность справа можно не проверять, так как обе операции коммутативны.


Единичным элементом служит число 1 (что видно по таблице "умножения по модулю 3"). Следовательно, [math]M_3[/math] — коммутативное кольцо с единицей.


Осталось показать существование обратных элементов. Для любого [math]a\in M_3[/math], отличного от нуля, существует обратный элемент [math]a^{-1}\colon\, 1^{-1}=1[/math]; [math]2^{-1}=2[/math]. В самом деле, по таблице "умножения по модулю 3" [math]1\,\overset{3}{\cdot}\,1^{-1}= 1\,\overset{3}{\cdot}\,1 =1[/math] и [math]2\,\overset{3}{\cdot}\,2^{-1}= 2\,\overset{3}{\cdot}\,2 =1[/math]. Таким образом, множество [math]M_3[/math] с введенными операциями является полем.


Замечание В.2. Можно доказать, что числовое множество [math]M_p=\{0,1,2,\ldots,p-1\}[/math] с операциями "сложения по модулю [math]p[/math]" и "умножения по модулю [math]p[/math]" является полем для любого простого числа [math]p[/math].




Пример В.9. Доказать, что множество чисел вида, где [math]p[/math] и [math]q[/math] — рациональные числа, является полем:


[math]p+q\cdot\sqrt{2}\,.[/math]
(B.3))

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.З) имеют тоже самое представление:


[math]\begin{aligned}\bigl(p_1+q_1\cdot\sqrt{2}\bigr)+ \bigl(p_2+q_2\cdot\sqrt{2}\bigr)&= (p_1+p_2)+(q_1+q_2)\sqrt{2}\,;\\ \bigl(p_1+q_1\cdot\sqrt{2}\bigr)\cdot \bigl(p_2+ q_2\cdot\sqrt{2} \bigr)&= (p_1p_2+ 2q_1q_2)+ (p_1q_2+p_2q_1)\sqrt{2}\,.\end{aligned}[/math]

Числа [math](p_1+p_2),~ (q_1+q_2),~ (p_1p_2+2q_1q_2),~ (p_1q_2+p_2q_1)[/math] очевидно, рациональные для любых рациональных [math]p_1,\,p_2,\,q_1,\,q_2[/math]. Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число [math]\theta=0+ 0\sqrt{2}[/math]. Для каждого числа [math]p+q\sqrt{2}[/math] противоположным элементом является число [math](-p)+(-q)\sqrt{2}[/math], так как


[math]\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)+ \bigl((-p)+(-q)\sqrt{2}\bigr)= (p-p)+(q-q)\sqrt{2}=0+0\sqrt{2}\,.[/math]

Единичным элементом служит число [math]e=1+0\sqrt{2}[/math]. В самом деле, для любого числа [math]p+q\sqrt{2}[/math] имеет место равенство:


[math]\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)\cdot \bigl(1+0\sqrt{2}\bigr)= \bigr(1+0\sqrt{2}\bigl)\cdot \bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)= p+q\sqrt{2}\,.[/math]

Таким образом, рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей [math](e\ne\theta)[/math]. Осталось показать, что любое число [math]p+q\sqrt{2}[/math], отличное от нулевого элемента [math]\theta=0+0\sqrt{2}[/math], имеет обратный. В самом деле, учитывая, что


[math]\frac{1}{p+q\sqrt{2}}= \frac{p-q\sqrt{2}}{(p+q\sqrt{2})\cdot (p-q\sqrt{2})}= \frac{p}{p^2-2q^2}-\frac{q}{p^2-2q^2}\cdot\sqrt{2}\,,[/math]

определим обратный элемент равенством [math]\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)^{-1}= \frac{p}{p^2-2q^2}-\frac{q\sqrt{2}}{p^2-2q^2}[/math]. Тогда


[math]\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)^{-1}= \bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)^{-1}\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)= \bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)\left(\frac{p}{p^2-2q^2}-\frac{q\sqrt{2}}{p^2-2q^2}\right)= 1+0\sqrt{2}=e\,.[/math]

Заметим, что знаменатель [math]p^2-2q^2[/math] отличен от нуля для любых рациональных чисел [math]p[/math] и [math]q[/math], не равных нулю одновременно. Действительно, равенство [math]p^2=2q^2[/math] равносильно равенству [math]|p|=|q|\sqrt{2}[/math], а это означает, что [math]\sqrt{2}[/math] — рациональное число. Поскольку число [math]\sqrt{2}[/math] — иррациональное, значит [math]p^2-2q^2\ne0[/math], т.е. обратный элемент существует для любого [math]p+q\sqrt{2}\ne\theta[/math].


Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved