Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Группоиды, полугруппы, группы

Группоиды, полугруппы, группы


Рассмотрим алгебры, сигнатуры которых состоят из одной. бинарной операции. Эту операцию будем обозначать точкой (\,\cdot\,) и условно называть в этом случае умножением.


Группоидом называют любую алгебру \mathcal{G}=(G,\cdot), сигнатура которой состоит из одной бинарной операции. В группоиде на бинарную операцию нет никаких ограничений.


Группоид (G,\cdot) называют полугруппой, если его операция ассоциативна, т.е. для любых элементов a,\,b,\,c носителя G выполняется равенство


a\cdot (b\cdot c)= (a\cdot b)\cdot c\,.

Пример 2.6. а. Множество V_3 свободных векторов вместе с операцией векторного умножения является группоидом, но не полугруппой, так как векторное умножение не ассоциативно.


б. Множество натуральных чисел вместе с операцией возведения в степень также будет только группоидом, так как (a^b)^c\ne a^{(b^c)}.


в. Множество 2^A всех подмножеств множества A вместе с операцией \setminus (разность множеств) тоже только группоид, поскольку указанная операция не ассоциативна.


г. Множество натуральных чисел \mathbb{N} вместе с операцией сложения будет полугруппой.




Группоид \mathcal{G}=(G,\cdot) называют моноидом, если его операция ассоциативна и относительно операции существует нейтральный элемент. Его называют нейтральным элементом моноида \mathcal{G} или единицей моноида и обозначают \bold{1}.


Таким образом, моноид \mathcal{G}=(G,\cdot) есть полугруппа, в которой для любого а имеют место равенства a\cdot\bold{1}=\bold{1}\cdot a=a, где \bold{1} — нейтральный элемент (единица) моноида.


Поскольку нейтральный элемент относительно любой бинарной операции является единственным, мы можем рассматривать моноид как алгебру (G,\cdot,\bold{1}, сигнатура которой состоит из двух операций: бинарной операции {}\cdot{} (умножение) и нульарной операции \bold{1} (нейтрального элемента). Введение \bold{1} в сигнатуру моноида удобно тем, что зачастую при рассмотрении конкретных примеров моноидов целесообразно явно указать нейтральный элемент относительно его операции. Например, алгебра (2^{A\times A},\circ,\operatorname{id}A) есть моноид всех бинарных отношений на множестве A с операцией композиции бинарных отношений, в котором нейтральным элементом является диагональ множества A.


Среди полугрупп выделяют полугруппы с коммутативной операцией — коммутативные полугруппы.




Пример 2.7. а. Множество всех бинарных отношений на произвольном множестве A с операцией композиции отношений будет моноидом, нейтральным элементом которого служит диагональ множества A, поскольку для любых бинарных отношений \rho,\tau и \sigma на множестве A имеют место равенства


\rho\circ (\tau\circ\sigma)= (\rho\circ\tau)\circ\sigma и \operatorname{id}A\circ\rho= \rho\circ\operatorname{A}=\rho..

б. Множество всех отображений некоторого множества A в себя по операции композиции отображений есть моноид.


Напомним, что композиция отображений снова есть отображение и операция композиции имеет нейтральный элемент: тождественное отображение A на себя. Поскольку любое отображение множества A в себя можно рассматривать как бинарное отношение на этом множестве, а композицию отображений — как частный случай композиции отношений, требуемые свойства операции композиции отображений выполняются (см. пример 2.7.а). При этом тождественному отображению соответствует диагональ \operatorname{id}A множества A. Этот моноид называют часто симметрическим моноидом или симметрической полугруппой множества A.


в. Алгебра (\mathbb{N}_0,+), где носитель — множество \mathbb{N}_0 неотрицательных целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции сложения, есть коммутативный моноид, в котором нейтральный элемент — это число 0. Действительно, сумма двух натуральных чисел есть натуральное число, операция сложения ассоциативна, коммутативна и для любого натурального числа n имеет место равенство n+0=n.


Обратим внимание на то, что свойства нейтральных элементов и нулей ассоциируются со свойствами чисел 1 и 0 относительно операций умножения и сложения чисел.


г. Алгебра (\mathbb{Z},\cdot), у которой носителем является множество целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции умножения, есть коммутативный моноид. Нейтральным элементом этого моноида является число 1.


д. Пусть A — конечное множество, а A^n — множество кортежей длины n. На множестве всех кортежей A^{+}= \mathop{\cup}\limits_{n\geqslant1}A^n определим операцию соединения (конкатенации) кортежей следующим образом:


(a_1,\ldots,a_m)\cdot (b_1,\ldots,b_k)= (a_1,\ldots,a_m,\, b_1,\ldots,b_k).

Можно видеть, что введенная операция ассоциативна, но не имеет нейтрального элемента. Таким образом, построена полугруппа, но не моноид.


Чтобы превратить эту полугруппу в моноид, расширим носитель полугруппы, введя понятие нулевой декартовой степени A^0 произвольного множества A. Под A^0 понимают одноэлементное множество \{\lambda\}, единственный элемент которого называют пустым кортежем. Такое определение множества A^0 объясняется следующим: мощность положительной декартовой степени A^n конечного множества равна |A|^n. При n=0 должно быть |A^0|=|A|^0=1, откуда заключаем, что A^0 — одноэлементное множество.


Обозначив A^{\ast}=A^{0}\cup A^{+}, по определению для любого x\in A^{\ast} полагаем x\cdot\lambda= \lambda\cdot x=x. В результате получим алгебру (A^{\ast},\cdot), являющуюся моноидом, с нейтральным элементом \lambda. Его называют свободным моноидом, порожденным множеством A.




Полурешетка в абстрактной алгебре


Полугруппу, операция которой коммутативна и идемпотентна, называют полурешеткой.


Пример 2.8. а. Алгебры (2^A,\cup),\, (2^A,\cap) (для произвольного фиксированного множества A) являются полурешетками, поскольку операции \cup и \cap ассоциативны, коммутативны и идемпотентны.


б. Алгебра (\mathbb{N},\operatorname{lcm}), где \operatorname{lcm} — операция вычисления наименьшего общего кратного двух чисел, является полурешеткой. Покажем, что указанная операция ассоциативна. Рассмотрим произвольные натуральные числа m,\,n и l. Каждое из этих чисел можно разложить на произведение простых чисел и представить в виде


m=p_1^{\alpha_1}\cdot \ldots\cdot p_k^{\alpha_k},\qquad n=p_1^{\beta_1}\cdot \ldots\cdot p_k^{\beta_k},\qquad l=p_1^{\gamma_1}\cdot \ldots\cdot p_k^{\gamma_k},

где набор простых чисел p_1,\ldots,p_k выбран одинаковым для всех трех чисел, а некоторые из показателей \alpha_i,\,\beta_i и \gamma_i,~ i=\overline{1,k} могут быть равными нулю. Тогда для чисел тип имеем


\operatorname{lcm}(n,m)= p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}\cdot \ldots\cdot p_{k}^{\max(\alpha_k, \beta_k)}.

Таким образом, ассоциативность операции \operatorname{lcm} сводится к ассоциативности операции max вычисления наибольшего из двух натуральных чисел. Ассоциативность последней вытекает из очевидного тождества \max(a,\max(b,c))= \max(\max(a,b),c), верного для любых чисел a,\,b и c.


Поскольку \operatorname{lcm}(n,m)= \operatorname{lcm}(m,n), операция \operatorname{lcm} коммутативна, а так как для любого натурального числа справедливо равенство \operatorname{lcm}(n.n)=n, то операция идемпотентна.


в. Алгебра (\mathbb{N},\gcd), где \gcd — операция вычисления наибольшего общего делителя двух целых чисел, также является полурешеткой.




Способы задания группы как алгебры


Группоид \mathcal{G}=(G,\cdot) называют группой, если операция ассоциативна, существует нейтральный элемент (единица) \bold{1} относительно умножения и для каждого x\in G существует такой элемент x'\in G, называемый обратным к x, что x\cdot x'=x'\cdot x=\bold{1}.


Таким образом, группа — это алгебра \mathcal{G}=(G,\cdot), в которой для всех a,b,c\in G выполняется равенство a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c, существует единственный элемент \bold{1}\in G, такой, что a\cdot\bold{1}= \bold{1}\cdot a=a для любого a\in G, и для каждого a\in G существует такой элемент a', что a\cdot a'=a'\cdot a=\bold{1}. Короче говоря, группа — это моноид, в котором для каждого элемента существует обратный элемент.


Отметим, что задать группу как алгебру можно несколькими способами в зависимости от состава операций, включенных в сигнатуру.


Во-первых, в сигнатуру может быть включена единственная бинарная операция. В этом случае пишут \mathcal{G}=(G,\cdot), а все свойства операции описывают дополнительно.


Во-вторых, в сигнатуру может быть включена нульарная операция — нейтральный элемент группы. В этом случае пишут \mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1}) и дополнительно указывают существование обратного элемента относительно бинарной операции для всех элементов носителя.


Третий способ задания группы как алгебры вытекает из следующей теоремы.


Теорема 2.1. В любой группе \mathcal{G}=(G,\cdot) для каждого a\in G элемент, обратный к a, единственный.


Пусть в группе (G,\cdot) с единицей \bold{1} для некоторого a существуют два элемента a' и a'', обратных к a. Тогда a'=a'\cdot\bold{1} в силу свойства единицы. Так как \bold{1}=a\cdot a'', то a'=a'\cdot (a\cdot a''). Используя ассоциативность и учитывая, что a' — элемент, обратный к а, получим


a'\cdot (a\cdot a'')= (a'\cdot  a)\cdot a''= \bold{1}\cdot a''=a''.



Единственность для каждого элемента a обратного элемента a' группы \mathcal{G} позволяет обозначать его как a^{-1} и операцию \phantom{A}^{-1}\colon a\mapsto a^{-1} вычисления (или взятия) обратного элемента ввести в сигнатуру группы. Таким образом, группу можно рассматривать и как алгебру \mathcal{G}=(G,\cdot,\phantom{A}^{-1},\bold{1}), сигнатура которой состоит из бинарной операции умножения, унарной операции взятия обратного элемента и нульарной операции — единицы группы (нейтрального элемента).


В дальнейшем в зависимости от контекста будем использовать все указанные варианты задания группы.


Среди групп также выделяют те, бинарная операция в которых коммутативна, — коммутативные (абелевы) группы. В коммутативных полугруппах и группах бинарную операцию часто обозначают знаком {}+ и называют сложением.


Уместно здесь рассмотреть вопрос о двух формах записи бинарной операции группы. В аддитивной записи операции ее обозначают знаком {}+, нейтральный элемент — знаком \bold{0}, а элемент, обратный к a относительно операции {}+, записывают в виде -a, называя его при этом противоположным к a.


В мультипликативной записи операцию обозначают знаком \cdot, нейтральный элемент — знаком \bold{1}, а элемент, обратный к a, записывают в виде a^{-1}. В этом случае бинарную операцию группы часто называют умножением (также умножением группы или групповым умножением), а элемент a\cdot b, как правило записываемый в виде ab, — произведением элементов a и b.


В алгебраической литературе сложилась такая традиция, что аддитивная запись используется преимущественно для коммутативных групп. Поскольку одним из самых простых, распространенных и вместе с тем важных примеров коммутативной группы служит аддитивная группа целых чисел, то обозначения и термины для произвольной аддитивно записываемой коммутативной группы "скопированы" с терминов для группы (\mathbb{Z},+,0). Аналогично мультипликативная запись произвольной группы " позаимствована" у мультипликативных групп рациональных и вещественных чисел.




Пример 2.9. а. Алгебра (\mathbb{Z},+) — коммутативная группа, поскольку на множестве целых чисел операция сложения ассоциативна и коммутативна, число 0 есть нейтральный элемент, и для каждого целого числа n существует обратный по сложению элемент, а именно число -n, противоположное n. Рассматриваемую группу называют аддитивной группой целых чисел.


б. Множество всех биекций некоторого множества A на себя с операцией композиции отображений есть группа.


Это следует из того, что композиция двух биекций есть биекция, операция композиции ассоциативна, ее нейтральный элемент — тождественное отображение \operatorname{id}A — есть биекция, для всякой биекций f\colon A\to A отображение f^{-1}, обратное биекций f, определено, является биекцией и выполнены равенства


f\circ f^{-1}= f^{-1}\circ f= \operatorname{id}A\,.

Эту группу называют симметрической группой множества A, а в том случае, когда множество A конечно, — группой подстановок множества A. Если множество A состоит из n элементов, группу подстановок этого множества называют также симметрической группой степени n или группой подстановок n-й степени и обозначают S_n (см. пример 2.10).


в. Алгебры (\mathbb{Q}\setminus \{0\},\cdot) и (\mathbb{R}\setminus \{0\}, \cdot) есть коммутативные группы. Их называют мультипликативной группой рациональных чисел и мультипликативной группой действительных чисел соответственно. В каждой из них число 1 есть нейтральный элемент (единица) группы, а обратный к числу x по операции умножения элемент x^{-1} есть число x^{-1}=1/x.


г. Для произвольно фиксированного множества A рассмотрим алгебру (2^A,\triangle), где \triangle — операция вычисления симметрической разности множеств. Операция \triangle ассоциативна и коммутативна. Для любого X\subseteq A имеем X\,\triangle\,\varnothing=X. Кроме того, X=Y тогда и только тогда, когда X\,\triangle\,Y=\varnothing. Поэтому алгебра (2^A,\triangle) является абелевой группой, в которой каждый элемент обратен сам себе, а нейтральный элемент — пустое множество.


д. Рассмотрим алгебру \mathbb{Z}_{k}^{+}=(\{0,1,\ldots,k-1\},\oplus_k), в которой операция \oplus_k (сложения по модулю k) определяется так: для любых двух m и n число m\oplus_{k}n, называемое суммой чисел m и n по модулю k, равно остатку от деления арифметической суммы m+n на k. Можно проверить, что эта алгебра является коммутативной группой. Ее называют аддитивной группой вычетов по модулю k. Нейтральным элементом служит число 0, а обратным к числу n будет k-n, поскольку n\oplus_{k}(k-n)=0.


е. Множество всех невырожденных (т.е. имеющих ненулевой определитель) числовых квадратных матриц порядка n с операцией умножения матриц является группой. Действительно, произведение двух невырожденных матриц снова есть невырожденная матрица; единичная матрица порядка n невырожденная, и матрица, обратная к невырожденной, также является невырожденной. Эту группу будем обозначать \mathcal{M}_n.





Из рассмотренных четырех видов алгебр — группоида, полугруппы, моноида и группы — последняя обладает наиболее интересными свойствами. Изучим более подробно операцию вычисления обратного элемента.


Теорема 2.2. Пусть \mathcal{G}=(G,\cdot) — группа. Для любых элементов a,b\in G верны тождества


(a\cdot b)^{-1}= b^{-1}\cdot a^{-1},\qquad (a^{-1})^{-1}=a\,.

В силу ассоциативности умножения группы имеем


(a\cdot b)\cdot (b^{-1}\cdot a^{-1})= \bigl((a\cdot b)\cdot b^{-1}\bigr)\cdot a^{-1}.

Используя еще раз ассоциативность, определение элемента, обратного к данному, и свойства единицы, получим


\bigl((a\cdot b)\cdot b^{-1}\bigr)\cdot a^{-1}= a\cdot (b\cdot b^{-1})\cdot a^{-1}= a\cdot a^{-1}= \bold{1}\,.

Итак, (a\cdot b)\cdot (b^{-1}\cdot a^{-1})=\bold{1}. Точно так же доказывается, что (b^{-1}\cdot a^{-1})(a\cdot b)=\bold{1}. Поэтому элемент b^{-1}\cdot a^{-1} является обратным к элементу a\cdot b. Согласно теореме 2.1, обратный элемент единственный, и поэтому (a\cdot b)^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}. Второе из доказываемых равенств следует непосредственно из определения элемента, обратного к данному. Действительно, определение элемента a^{-1}, обратного к a, равенством a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=\bold{1} можно рассматривать как определение (a^{-1})^{-1} — обратного элемента к a^{-1}, которым является, согласно этим равенствам, элемент a. В силу теоремы 2.1 он единственный, то есть a=(a^{-1})^{-1}.


Таким образом, мы установили, что элемент, обратный к произведению a\cdot b, равен b^{-1}\cdot a^{-1}, а элемент, обратный к элементу, обратному к a, равен a.




Теорема 2.3. В любой группе \mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1}) справедливы левый и правый законы сокращения: если a\cdot x=a\cdot y, то x=y, и если x\cdot a=y\cdot a, то x=y.


Пусть a\cdot x=a\cdot y. Умножая обе части этого равенства слева на элемент a^{-1}, получаем


a^{-1}\cdot (a\cdot x)= a^{-1}\cdot (a\cdot y).

В силу ассоциативности групповой операции последнее равенство можно записать так:


(a^{-1}\cdot a)\cdot x= (a^{-1}\cdot a)\cdot y\,.

Поскольку a^{-1}\cdot a=\bold{1}, то \bold{1}\cdot x=\bold{1}\cdot y, откуда x=y. Тем самым доказан левый закон сокращения. Аналогично доказывается и правый закон.




Пусть \mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1}) — группа, a и b — фиксированные элементы G. Рассмотрим задачу решения уравнений


a\cdot x=b,
(2.1)

x\cdot a=b
(2.2)

в группе \mathcal{G}, т.е. поиска всех таких элементов x\in G, для которых уравнение (2.1) (или (2.2)) превращается в тождество.


Теорема 2.4. В любой группе \mathcal{G} уравнения вида (2.1) и (2.2) имеют решения, и притом единственные.


Покажем, что x=a^{-1}\cdot b есть решение (2.1). Действительно, a\cdot (a^{-1}\cdot b)= (a\cdot a^{-1}\cdot b)=b.


Докажем единственность решения. Пусть для фиксированных a и b и некоторого x выполнено равенство a\cdot x=b. В группе для любого a существует и однозначно определен элемент a^{-1}, обратный к a. Умножив на него обе части равенства, получим a^{-1}\cdot (a\cdot x)= a^{-1}\cdot b. В силу ассоциативности преобразуем последнее равенство к виду (a^{-1}\cdot a)\cdot x=a^{-1}\cdot b. Поскольку a^{-1}\cdot a=\bold{1}, то \bold{1}\cdot x=a^{-1}\cdot b, откуда x=a^{-1}\cdot b. Это решение единственное в силу единственности обратного элемента.


Аналогично из x\cdot a=b получаем x=b\cdot a^{-1}, и это решение также единственное.




Замечание. При использовании аддитивной записи операции для коммутативной группы \mathcal{G}=(G,+,\bold{0}) оба написанных выше уравнения сводятся к одному:


a+x=b\,,

а его решение есть x=b+(-a). Правую часть этого равенства в коммутативной группе называют разностью элементов b и a и обозначают b-a. Саму же операцию, сопоставляющую упорядоченной паре (a,b) разность b-a, называют операцией вычитания. С учетом введенных обозначений решение уравнения в коммутативной группе можно записать так: x=b-a.


В случае коммутативной группы при употреблении для бинарной операции мультипликативной записи решения обоих уравнений имеют вид x=b\cdot a^{-1}. Выражение b\cdot a^{-1} в коммутативной группе называют частным от деления b на a и обозначают \tfrac{b}{a} (или b/a), а саму операцию называют операцией деления. Решение уравнения в этом случае записывают в виде x=\tfrac{b}{a} (или x=b/a).




Пример 2.10. Рассмотрим группу подстановок n-й степени S_n всех биекций n-элементного множества \{1,2,\ldots,n\}. Произвольную биекцию \sigma из S_n обычно записывают в виде


\begin{pmatrix}1&2& \cdots &n\\ \alpha_1& \alpha_2& \cdots& \alpha_n \end{pmatrix}\!,

обозначая тем самым, что образ 1 (при отображении \sigma) есть \alpha_1, образ 2 есть \alpha_2,\ldots образ n есть \alpha_n. Биекцию множества \{1,\ldots,n\} на себя называют подстановкой этого множества. Подстановку, которая отображает \alpha_1 в \alpha_2, \alpha_2 в \alpha_3,\ldots,, \alpha_{k-1} в \alpha_{k}, а \alpha_{k} в \alpha_{1}, где 1\leqslant \alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_k \leqslant n и все \alpha_j попарно различны, а все элементы, отличные от \alpha_1,\ldots,\alpha_k, отображаются сами в себя, называют циклом длины k и записывают ее в виде (\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_k). Например, подстановку из группы S_4


\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix} можно записать в виде \begin{pmatrix}1&3&4\end{pmatrix}.

Цикл длины 2 называют транспозицией. Транспозиция представляет такое отображение множества \{1,\ldots,n\} в себя, при котором два элемента меняются местами, а остальные остаются на своих местах. Так, полная запись транспозиции (3~~4) в S_4 будет иметь вид


\begin{pmatrix}1&2&3&4\\ 1&2&4&3\end{pmatrix}\!.

Подстановка, обратная подстановке \begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\ \alpha_1& \alpha_2& \cdots& \alpha_n \end{pmatrix}, есть подстановка, которая отображает \alpha_1 в 1, \alpha_2 в 2, \ldots~ \alpha_n в n. Отметим, что при записи обратной подстановки элементы первой строки тем не менее записываются в обычном порядке: 1,\ldots,n.


В группе S_3 решим следующее уравнение:


\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&1\end{pmatrix}\! \circ X\circ\! \begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix}\!.

Умножив обе части уравнения слева на


\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}, получим X\circ\! \begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&1&3\end{pmatrix}.

Далее, умножив полученное уравнение справа на


\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} окончательно получим X=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&3 \end{pmatrix}.



Степень элемента в полугруппе


В полугруппе в общем случае законы сокращения и разрешимость уравнений типа (2.1) и (2.2) могут не иметь места. Например, в полугруппе квадратных матриц фиксированного порядка с операцией умножения матриц из матричного равенства AX=AY, вообще говоря, не следует, что X=Y. Это можно утверждать лишь при дополнительном предположении, что \det{A}\ne0. Можно доказать, что в свободном моноиде, порожденном некоторым конечным множеством, оба закона сокращения справедливы, но никаких обратных элементов не существует.


В полугруппе можно умножать любой элемент a сам на себя, причем в силу ассоциативности операции полугруппы элемент \overbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}^{n~\text{times}} определен однозначно. Этот элемент называют n-й степенью элемента a и обозначают a^n. При этом


a^1=a,\quad a^n=a\cdot a^{n-1},\quad n=2,3,\ldots

В моноиде вводят также нулевую степень элемента, полагая a^0=\bold{1}.


Если (A,\cdot,\bold{1}) — группа, то можно ввести и отрицательные степени элемента согласно равенству


a^{-n}=(a^{-1})^n,\quad n=1,2,\ldots

Без доказательства сформулируем утверждения о свойствах степеней.




Теорема 2.5. Для любой полугруппы a^m\cdot a^n= a^{m+n},~ (a^m)^n= a^{mn}~ (m,n\in \mathbb{N}).


Теорема 2.6. Для любой группы a^{-n}=(a^n)^{-1},~ a^m\cdot a^n=a^{m+n},~ (a^m)^n=a^{nm}~ (m,n\in \mathbb{Z}).


Определение 2.4. Полугруппу (в частности, группу) (A,\cdot) называют циклической, если существует такой элемент a, что любой элемент x полугруппы является некоторой (целой) степенью элемента a. Элемент a называют образующим элементом полугруппы (группы).


Пример 2.11. а. Полугруппа (\mathbb{N}_0,+,0) циклическая, с образующим элементом 1. При аддитивной записи бинарной операции возведение элемента a в положительную степень n есть сумма n этих элементов, и это записывают n\cdot a (или na, без знака умножения).


б. Группа (\mathbb{Z},+,0) также циклическая. Для нее образующими элементами могут быть 1 и –1. Рассмотрим элемент 1. Тогда


\begin{gathered}0\cdot1=0,\quad 1= \underbrace{1+\ldots+1}_{n~ \text{times}}= n~(n>0), \quad (-1)\cdot1=-1,\\ (-n)\cdot1= n\cdot(-1)= \underbrace{(-1)+\ldots+(-1)}_{n~ \text{times}}=-n~ (n>0). \end{gathered}

Если в качестве образующего взять элемент –1, то 0\cdot(-1)=0, отрицательные целые числа получаются как положительные "степени" –1, а положительные — как отрицательные "степени" –1. Например, (-2)\cdot(-1)=2,~ 4\cdot (-1)=-4.


в. Группа (\mathbb{Z}_3,\oplus_3,0) вычетов по модулю 3 циклическая, причем любой ее ненулевой элемент является образующим.


Действительно, для 1 имеем 1\oplus_31=2,~ 1\oplus_3 1\oplus_3 1=0, а для 2 получим


2^2=2\oplus_3 2=1,\qquad 2\oplus_3 2\oplus_3 2=0.



Строение конечных циклических групп


Изучим подробнее строение конечных циклических групп, используя мультипликативную запись бинарной операции. Напомним, что конечная алгебра {конечная группа, в частности) — это алгебра, носитель которой — конечное множество.


Порядком конечной группы называют количество элементов в этой группе.


Так, например, аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k. Симметрическая группа степени n, т.е. группа подстановок S_n, имеет порядок n!. Мультипликативная группа вычетов по модулю p, где p — простое число, имеет порядок p-1.


Порядок элемента а циклической группы — это наименьшее положительное n, такое, что a^n=\bold{1}.


Теорема 2.7. Порядок образующего элемента конечной циклической группы равен порядку самой группы.


Пусть \mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1}) — конечная циклическая группа с образующим элементом a и n>0 — порядок этого элемента.


Тогда все степени a^0=\bold{1}, a^1=a,\ldots,a^{n-1} попарно различны. Действительно, если


a^k=a^l,~ 0<l<k<n, то a^{k-l}= a^{k+(-l)}= a^ka^l= a^la^{-l}= a^{l-l}= \bold{1}.

Поскольку k-l<n, получено противоречие с выбором n как порядка элемента a (ибо найдена степень, меньшая n, при возведении в которую элемента a получится единица).


Осталось доказать, что любая степень элемента a принадлежит множеству \{\bold{1},a, \ldots, a^{n-1}\}. Для любого целого m существуют также целые n,k, такие, что m=kn+q, где q — целое и 0\leqslant q<n. Тогда


a^m= a^{kn+q}= a^{kn}\cdot a^q= \bold{1}\cdot a^q= a^q\in \{\bold{1},a, \ldots, a^{n-1}\}.

Поскольку каждый элемент группы \mathcal{G} есть некоторая степень элемента a, то G=\{\bold{1},a, \ldots, a^{n-1}\} и порядок группы равен n.


Из доказанной теоремы следует, что в бесконечной циклической группе не существует такого n>0, что для образующего элемента a группы выполняется равенство a^n=\bold{1}.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved