Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Группоиды, полугруппы, группы | |
---|---|
Онлайн-сервисы
Нахождение НОД и НОК
Разложение числа на простые множители
Сравнения по модулю
Операции над множествами
Операции над векторами
Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис
Чертёж треугольника по координатам вершин
Решение треугольника
Решение Пирамиды
Построение Пирамиды по координатам вершин
Чертёж многоугольника по координатам вершин
Решение систем методом Крамера и Матричным
Онлайн построение графика кривой 2-го порядка
Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам
МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики
Онлайн число, сумма и дата прописью
Алгоритмы JavaScript
Алгоритмы поиска
Алгоритмы сортировки
Уникальные элементы массива
Объединение, пересечение и разность массивов
НОД и НОК
Операции над матрицами
Дата прописью
Введение в анализ
Функции: понятие, определение, графики
Непрерывность функции
Исследование функции и построение графика
Теория множеств
Множества: понятие, определение, примеры
Точечные множества
Замкнутые и открытые множества
Мера множества
Группы, кольца, поля в математике
Поле комплексных чисел
Кольцо многочленов
Основная теорема алгебры и ее следствия
Математическая логика
Алгебра высказываний
Аксиоматика и логические рассуждения
Методы доказательств теорем
Алгебра высказываний и операции над ними
Формулы алгебры высказываний
Тавтологии алгебры высказываний
Логическая равносильность формул
Нормальные формы для формул высказываний
Логическое следование формул
Приложение алгебры высказываний для теорем
Дедуктивные и индуктивные умозаключения
Решение логических задач
Принцип полной дизъюнкции
Булевы функции
Множества, отношения и функции в логике
Булевы функции от одного и двух аргументов
Булевы функции от n аргументов
Системы булевых функций
Применение булевых функций к релейно-контактным схемам
Релейно-контактные схемы в ЭВМ
Практическое применение булевых функций
Теория формального
Формализованное исчисление высказываний
Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний
Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний
Логика предикатов
Логика предикатов
Логические операции над предикатами
Кванторные операции над предикатами
Формулы логики предикатов
Тавтологии логики предикатов
Преобразования формул и следование их предикатов
Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул
Применение логики предикатов в математике
Строение математических теорем
Аристотелева силлогистика и методы рассуждений
Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
Метод полной математической индукции
Необходимые и достаточные условия
Логика предикатов и алгебра множеств
Формализованное исчисление предикатов
Неформальные и формаль-ные аксиоматические теории
Неформальные аксиоматические теории
Свойства аксиоматических теорий
Формальные аксиоматические теории
Формализация теории аристотелевых силлогизмов
Свойства формализованного исчисления предикатов
Формальные теории первого порядка
Формализация математической теории
Теория алгоритмов
Интуитивное представление об алгоритмах
Машины Тьюринга и тезис
Рекурсивные функции
Нормальные алгоритмы Маркова
Разрешимость и перечислимость множеств
Неразрешимые алгоритмические проблемы
Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики
Математическая логика и компьютеры
Дискретная математика
Множества и отношения
Теория множеств: понятия и определения
Операции над множествами
Кортеж и декартово произведение множеств
Соответствия и бинарные отношения на множествах
Операции над соответствиями на множествах
Семейства множеств
Специальные свойства бинарных отношений
Отношения эквивалентности на множестве
Упорядоченные множества
Теорема о неподвижной точке
Мощность множества
Парадокс Рассела
Метод характеристических функций
Группы и кольца
Алгебраические структуры и операции
Группоиды, полугруппы, группы
Кольца, тела, поля
Области целостности в теории колец
Модули и линейные пространства
Подгруппы и подкольца
Теорема Лагранжа о порядке конечной группы
Гомоморфизмы групп и нормальные делители
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Алгебра кватернионов
Полукольца и булевы алгебры
Полукольца: определение, аксиомы, примеры
Замкнутые полукольца
Полукольца и системы линейных уравнений
Булевы алгебры и полукольца
Решетки и полурешетки
Алгебраические системы
Алгебраические системы: модели и алгебры
Подсистемы алгебраических систем
Конгруэнции и фактор-системы
Гомоморфизмы алгебраических систем
Прямые произведения алгебраических систем
Конечные булевы алгебры
Многосортные алгебры
Теория графов
Теория графов: основные понятия и определения
Способы представления графов
Неориентированные и ориентированные деревья
Остовное дерево и алгоритм Краскала
Методы систематического обхода вершин графа
Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах
Задача о путях во взвешенных ориентированных графах
Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов
Топологическая сортировка вершин графа
Элементы цикломатики в теории графов
Булева алгебра и функции
Булевы функции и булев куб
Таблицы булевых функций и булев оператор
Равенство булевых функций. Фиктивные переменные
Формулы и суперпозиции булевых функций
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Построение минимальных ДНФ
Теорема Поста и классы
Критерий Поста
Схемы из функциональных элементов
Конечные автоматы и регулярные языки
Конечные автоматы и регулярные языки
Алфавит, слово, язык в программировании
Порождающие грамматики (грамматики Хомского)
Классификация грамматик и языков
Регулярные языки и регулярные выражения
Конечные автоматы
Допустимость языка конечным автоматом
Теорема Клини
Детерминизация конечных автоматов
Минимизация конечных автоматов
Лемма о разрастании для регулярных языков
Обоснование алгоритма детерминизации автоматов
Конечные автоматы с выходом
Морфизмы и конечные подстановки
Машины Тьюринга
Контекстно-свободные языки
Контекстно-свободные языки и грамматики
Приведенная форма КС-грамматики
Лемма о разрастании для КС-языков
Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью)
Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике
Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату
Алгебраические свойства КС-языков
Основное свойство суперпозиции КС-языков
Пересечение контекстно-свободных языков
Методы синтаксического анализа КС-языков
Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики
Семантика формальных языков
Принцип индукции по неподвижной точке
Графовое представление МП-автоматов
Интегральное исчисление
Неопределённый и определённый
Неопределенный и определенный интегралы
Свойства интегралов
Интегрирование по частям
Интегрирование методом замены переменной
Интегрирование различных рациональных функций
Интегрирование различных иррациональных функций
Интегрирование различных тригонометрических функций
Определенный интеграл и его основные свойства
Необходимое и достаточное условие интегрируемости
Теоремы существования первообразной
Свойства определенных интегралов
Несобственные интегралы
Интегральное определение логарифмической функции
Приложения интегралов
Вычисление площадей плоских фигур
Площади фигур в различных координатах
Вычисление объемов тел с помощью интегралов
Объём тела вращения
Вычисление длин дуг кривых
Формулы длины дуги регулярной кривой
Кривизна плоской кривой
Площадь поверхности вращения тела
Интегралы в физике
Статические моменты и координаты центра тяжести
Теоремы Гульдина–Паппа
Вычисление моментов инерции
Другие приложения интегралов в физике
Основные интегралы
Вариационное исчисление
Примеры вариационных задач
Дифференциальное уравнение Эйлера
Функционалы, зависящие от нескольких функций
Задача о минимуме кратного интеграла
Финансовый анализ
Анализ эффективности
Критерии и показатели эффективности предприятия
Методы анализа эффективности деятельности
Факторный анализ прибыли от операционной деятельности
Анализ безубыточности предприятия
Операционный рычаг и эффект финансового рычага
Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов
Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала
Анализ распределения прибыли предприятия
Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности
Анализ устойчивости
Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность
Характеристика типов финансовой устойчивости
Рыночная активность
Финансовый анализ рыночной активности
Методика анализа рыночной активности
Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию
Инвестиционная деятельность
Инвестиции: экономическая сущность и классификация
Государственное регулирование инвестиционной деятельности
Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения
Инвестиции в основные фонды
Оценка состояния основных фондов
Амортизация основных фондов
Капитальное строительство в инвестиционном процессе
Планирование инвестиций в форме капитальных вложений
Экономическая эффективность инвестиций
Финансирование капитальных вложений
Кредитование капитальных вложений
Кредитоспособность
Финансирование и кредитование затрат
Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации
Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации
Инвестиционное строительное проектирование
Анализ инвестиций
Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия
Задачи финансового анализа инвестиций предприятия
Учет фактора времени в инвестиционной деятельности
Аннуитет и финансовая рента в инвестициях
Учет фактора инфляции при инвестировании
Оценка фактора риска инвестиционного проекта
Методы оценки эффективности инвестиций
Показатели эффективности инвестиционного проекта
Стоимость компании
Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО)
Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности
Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании
Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости
Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия
Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций
Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций
Доходный подход к оценке стоимости компании и акций
Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции
Метод капитализации прибыли
Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций
Форвардные контракты
Форвардный контракт и цена
Форвардная цена акции на бирже
Цена форвардного контракта инвестора
Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда
Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда
Форвардная цена валюты на рынке форекс
Форвардный валютный курс и инфляция на рынке
Форвардная цена товара и спотовый рынок
Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам
Синтетический форвардный контракт на акции и валюту
Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей
Зависимые и независимые случайные события
Повторные независимые испытания
Формула Бернулли
Одномерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Функции случайных величин
Законы распределения целочисленных случайных величин
Законы распределения непрерывных случайных величин
Предельные теоремы теории вероятностей
Закон больших чисел и предельные теоремы
Вероятностные закономерности
Математическая статистика
Элементы математической статистики
Выборочный метод
Оценки параметров генеральной совокупности
Статистические гипотезы
Критерии согласия
Теоретические и эмпирические частоты
Теория очередей (СМО)
Определение системы массового обслуживания
Уравнения Колмогорова
Предельные вероятности состояний
Определение СМО с отказами
Определение СМО с ожиданием (очередью)
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра
Метрические понятия и аксиомы геометрии
Равенство и подобие геометрических фигур
Бинарные отношения
Вектор, его направление и длина
Линейные операции над векторами
Линейная зависимость и независимость векторов
Отношение коллинеарных векторов
Проекции векторов на прямую и на плоскость
Угол между векторами
Ортогональные проекции векторов
Координата вектора на прямой и базис
Координаты вектора на плоскости и базис
Координаты вектора в пространстве и базис
Операции над векторами в координатной форме
Ортогональный и ортонормированный базисы
Cкалярное произведение векторов и его свойства
Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Векторное произведение векторов и его свойства
Смешанное произведение векторов и его свойства
Ориентированные площади и объемы
Двойное векторное произведение и его свойства
Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур
Применение произведений векторов при решении геометрических задач
Применение векторной алгебры в механике
Системы координат
Прямоугольные координаты
Преобразования прямоугольных координат
Полярная система координат
Цилиндрическая система координат
Сферические координаты
Аффинные координаты
Аффинные преобразования координат
Аффинные преобразования плоскости
Примеры аффинных преобразований плоскости
Аффинные преобразования пространства
Многомерное координатное пространство
Линейные и аффинные подпространства
Скалярное произведение n-мерных векторов
Преобразования систем координат
Геометрия на плоскости
Алгебраические линии на плоскости
Общие уравнения геометрических мест точек
Алгебраические уравнения линий на плоскости
Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору
Уравнения прямой, проходящей через две точки
Уравнения прямой с угловым коэффициентом
Взаимное расположение прямых
Примеры задач с прямыми на плоскости
Системы неравенств с двумя неизвестными
Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
Линии 2-го порядка
Канонические уравнения линий второго порядка
Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду
Эллипс
Гипербола
Парабола
Квадратичные неравенства с двумя неизвестными
Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты линий
Классификация линий 2-го порядка по инвариантам
Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам
Геометрия в пространстве
Способы задания ГМТ в пространстве
Алгебраические уравнения поверхностей
Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам
Уравнения плоскости, проходящей через три точки
Взаимное расположение плоскостей
Типовые задачи с плоскостями
Уравнения прямых в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Типовые задачи с прямыми в пространстве
Поверхности 2-го порядка
Канонические уравнения поверхностей
Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду
Поверхности второго порядка
Эллипсоиды
Гиперболоиды
Конусы
Параболоиды
Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты поверхностей
Линейная алгебра
Матрицы и операции
Линейные операции над матрицами
Умножение матриц
Возведение матриц в степень
Многочлены от матриц
Транспонирование и сопряжение матриц
Блочные матрицы
Произведение и сумма матриц Кронекера
Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
Элементарные преобразования матриц
Определители
Определители матриц и их основные свойства
Формула полного разложения определителя
Формула Лапласа полного разложения определителя
Определитель произведения матриц
Методы вычисления определителей
Ранг матрицы
Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы
Ранг матрицы и базисный минор матрицы
Методы вычисления ранга матрицы
Ранг системы столбцов (строк)
Обратная матрица
Обратные матрицы и их свойства
Ортогональные и унитарные матрицы
Способы нахождения обратной матрицы
Матричные уравнения
Односторонние обратные матрицы
Скелетное разложение матрицы
Полуобратная матрица
Псевдообратная матрица
Системы уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Структура общего решения системы уравнений
Решение систем с помощью полуобратных матриц
Псевдорешения системы линейных уравнений
Функциональные матрицы
Функциональные матрицы скалярного аргумента
Производные матриц по векторному аргументу
Линейные и квадратичные формы и их преобразования
Приведение форм к каноническому виду
Закон инерции вещественных квадратичных форм
Знакоопределенность форм вещественных квадратичных
Формы и исследование функций на экстремум
Многочленные матрицы
Многочленные матрицы (лямбда-матрицы)
Операции над лямбда-матрицами
Простые преобразования многочленных матриц
Инвариантные множители многочленной матрицы
Функции от матриц
Собственные векторы и значения матрицы
Подобие числовых матриц
Характеристический многочлен матрицы
Минимальный многочлен матрицы
Теорема Гамильтона-Кэли
Жорданова форма матрицы
Приведение матрицы к жордановой форме
Многочлены от матриц
Применение многочленов от матриц
Функции от матриц
Линейные пространства
Линейные пространства: определение и примеры
Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов
Размерность и базис линейного пространства
Преобразования координат в линейном пространстве
Изоморфизм линейных пространств
Подпространства
Подпространства линейного пространства
Пересечение и сумма подпространств
Способы описания подпространств
Нахождение дополнения и суммы подпространств
Нахождение пересечения подпространств
Линейные отображения
Линейные многообразия
Линейные отображения
Матрица линейного отображения
Ядро и образ линейного отображения
Линейные операторы
Линейные операторы (преобразования)
Инвариантные подпространства
Собственные векторы и значения оператора
Свойства собственных векторов операторов
Канонический вид линейного оператора
Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду
Евклидовы пространства
Евклидовы пространства
Ортогональные векторы евклидова пространства
Ортогональный базис евклидова пространства
Ортонормированный базис евклидова пространства
Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве
Задача о перпендикуляре
Матрица и определитель Грама и его свойства
Линейные преобразования евклидовых пространств
Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства
Сопряженные операторы евклидова пространства
Самосопряженные операторы евклидова пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
Унитарные пространства и их линейные преобразования
Комплексный анализ
Комплексные числа
Комплексные числа в алгебраической форме
Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
Множества на комплексной плоскости
Последовательности и ряды комплексных чисел
Комплексные функции
Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная
Элементарные функции комплексного переменного
Дифференцирование функций комплексного переменного
Аналитические функции и их свойства
Конформные отображения
Функциональные ряды в комплексной области
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного
Функциональные ряды и последовательности
Степенные ряды и их свойства
Разложение функций в степенные ряды
Нули аналитических функций
Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням
Особые точки, Вычеты
Изолированные особые точки функций и полюсы
Вычеты и их применение
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Вычеты и расположение нулей многочлена
Операционное исчисление
Дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка
Основные понятия и определения ДУ
Метод изоклин для ДУ 1-го порядка
Метод последовательных приближений
ДУ с разделяющимися переменными
Однородные ДУ
Линейные ДУ 1-го порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли
ДУ в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
ДУ, не разрешенные относительно производной
Дифференциальное уравнение Риккати
Составление ДУ семейств линий
Задачи на траектории
Особые решения ДУ
ДУ высших порядков
Понятия и определения ДУ высших порядков
ДУ, допускающие понижение порядка
Линейная независимость функций
Определители Вронского и Грама
Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Задача Коши и Уравнение Эйлера
Линейные ДУ с переменными коэффициентами
Метод Лагранжа решения ДУ
Краевые задачи для ДУ высших порядков
Разложение решения ДУ в степенной ряд
Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд
Нахождение периодических решений ДУ
Асимптотическое интегрирование ДУ
Системы ДУ
Системы ДУ: понятия и определения
Сведение системы ДУ к одному уравнению
Нахождение интегрируемых комбинаций
Интегрирование однородных линейных систем ДУ
Методы интегрирования неоднородных систем ДУ
Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем
Теория устойчивости
Численные методы
Методы алгебры
Численные методы линейной алгебры
Численные методы решения СЛАУ
Итерационный метод Шульца обратной матрицы
Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы
Методы решения нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Методы теории приближений
Методы приближения сеточных функций
Методы функциональной интерполяции
Методы интегрально-дифференциальной интерполяции
Методы интегрального сглаживания
Методы интерполяции и сглаживания сплайнами
Методы численного дифференцирования и интегрирования
Методы численного дифференцирования
Методы численного интегрирования
Методы решения обыкновенных ДУ
Численные методы решения задачи Коши
Разностные схемы для решения задачи Коши
Составные схемы для решения задачи Коши
Экстраполяционные методы решения задачи Коши
Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши
Численные методы решения краевых задач
Методы решения ДУ в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными
Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка
Численные методы решения уравнений в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными
|
Группоиды, полугруппы, группыРассмотрим алгебры, сигнатуры которых состоят из одной. бинарной операции. Эту операцию будем обозначать точкой и условно называть в этом случае умножением. Группоидом называют любую алгебру , сигнатура которой состоит из одной бинарной операции. В группоиде на бинарную операцию нет никаких ограничений. Группоид называют полугруппой, если его операция ассоциативна, т.е. для любых элементов носителя выполняется равенство Пример 2.6. а. Множество свободных векторов вместе с операцией векторного умножения является группоидом, но не полугруппой, так как векторное умножение не ассоциативно. б. Множество натуральных чисел вместе с операцией возведения в степень также будет только группоидом, так как . в. Множество всех подмножеств множества вместе с операцией (разность множеств) тоже только группоид, поскольку указанная операция не ассоциативна. г. Множество натуральных чисел вместе с операцией сложения будет полугруппой. Группоид называют моноидом, если его операция ассоциативна и относительно операции существует нейтральный элемент. Его называют нейтральным элементом моноида или единицей моноида и обозначают . Таким образом, моноид есть полугруппа, в которой для любого а имеют место равенства , где — нейтральный элемент (единица) моноида. Поскольку нейтральный элемент относительно любой бинарной операции является единственным, мы можем рассматривать моноид как алгебру , сигнатура которой состоит из двух операций: бинарной операции (умножение) и нульарной операции (нейтрального элемента). Введение в сигнатуру моноида удобно тем, что зачастую при рассмотрении конкретных примеров моноидов целесообразно явно указать нейтральный элемент относительно его операции. Например, алгебра есть моноид всех бинарных отношений на множестве с операцией композиции бинарных отношений, в котором нейтральным элементом является диагональ множества . Среди полугрупп выделяют полугруппы с коммутативной операцией — коммутативные полугруппы. Пример 2.7. а. Множество всех бинарных отношений на произвольном множестве с операцией композиции отношений будет моноидом, нейтральным элементом которого служит диагональ множества , поскольку для любых бинарных отношений и на множестве имеют место равенства и . б. Множество всех отображений некоторого множества в себя по операции композиции отображений есть моноид. Напомним, что композиция отображений снова есть отображение и операция композиции имеет нейтральный элемент: тождественное отображение на себя. Поскольку любое отображение множества в себя можно рассматривать как бинарное отношение на этом множестве, а композицию отображений — как частный случай композиции отношений, требуемые свойства операции композиции отображений выполняются (см. пример 2.7.а). При этом тождественному отображению соответствует диагональ множества . Этот моноид называют часто симметрическим моноидом или симметрической полугруппой множества . в. Алгебра , где носитель — множество неотрицательных целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции сложения, есть коммутативный моноид, в котором нейтральный элемент — это число 0. Действительно, сумма двух натуральных чисел есть натуральное число, операция сложения ассоциативна, коммутативна и для любого натурального числа имеет место равенство . Обратим внимание на то, что свойства нейтральных элементов и нулей ассоциируются со свойствами чисел 1 и 0 относительно операций умножения и сложения чисел. г. Алгебра , у которой носителем является множество целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции умножения, есть коммутативный моноид. Нейтральным элементом этого моноида является число 1. д. Пусть — конечное множество, а — множество кортежей длины . На множестве всех кортежей определим операцию соединения (конкатенации) кортежей следующим образом: Можно видеть, что введенная операция ассоциативна, но не имеет нейтрального элемента. Таким образом, построена полугруппа, но не моноид. Чтобы превратить эту полугруппу в моноид, расширим носитель полугруппы, введя понятие нулевой декартовой степени произвольного множества . Под понимают одноэлементное множество , единственный элемент которого называют пустым кортежем. Такое определение множества объясняется следующим: мощность положительной декартовой степени конечного множества равна . При должно быть , откуда заключаем, что — одноэлементное множество. Обозначив , по определению для любого полагаем . В результате получим алгебру , являющуюся моноидом, с нейтральным элементом . Его называют свободным моноидом, порожденным множеством . Полурешетка в абстрактной алгебреПолугруппу, операция которой коммутативна и идемпотентна, называют полурешеткой. Пример 2.8. а. Алгебры (для произвольного фиксированного множества ) являются полурешетками, поскольку операции и ассоциативны, коммутативны и идемпотентны. б. Алгебра , где — операция вычисления наименьшего общего кратного двух чисел, является полурешеткой. Покажем, что указанная операция ассоциативна. Рассмотрим произвольные натуральные числа и . Каждое из этих чисел можно разложить на произведение простых чисел и представить в виде где набор простых чисел выбран одинаковым для всех трех чисел, а некоторые из показателей и могут быть равными нулю. Тогда для чисел тип имеем Таким образом, ассоциативность операции сводится к ассоциативности операции max вычисления наибольшего из двух натуральных чисел. Ассоциативность последней вытекает из очевидного тождества , верного для любых чисел и . Поскольку , операция коммутативна, а так как для любого натурального числа справедливо равенство , то операция идемпотентна. в. Алгебра , где — операция вычисления наибольшего общего делителя двух целых чисел, также является полурешеткой. Способы задания группы как алгебрыГруппоид называют группой, если операция ассоциативна, существует нейтральный элемент (единица) относительно умножения и для каждого существует такой элемент , называемый обратным к , что . Таким образом, группа — это алгебра , в которой для всех выполняется равенство , существует единственный элемент , такой, что для любого , и для каждого существует такой элемент , что . Короче говоря, группа — это моноид, в котором для каждого элемента существует обратный элемент. Отметим, что задать группу как алгебру можно несколькими способами в зависимости от состава операций, включенных в сигнатуру. Во-первых, в сигнатуру может быть включена единственная бинарная операция. В этом случае пишут , а все свойства операции описывают дополнительно. Во-вторых, в сигнатуру может быть включена нульарная операция — нейтральный элемент группы. В этом случае пишут и дополнительно указывают существование обратного элемента относительно бинарной операции для всех элементов носителя. Третий способ задания группы как алгебры вытекает из следующей теоремы. Теорема 2.1. В любой группе для каждого элемент, обратный к , единственный. Пусть в группе с единицей для некоторого существуют два элемента и , обратных к . Тогда в силу свойства единицы. Так как , то . Используя ассоциативность и учитывая, что — элемент, обратный к а, получим Единственность для каждого элемента обратного элемента группы позволяет обозначать его как и операцию вычисления (или взятия) обратного элемента ввести в сигнатуру группы. Таким образом, группу можно рассматривать и как алгебру , сигнатура которой состоит из бинарной операции умножения, унарной операции взятия обратного элемента и нульарной операции — единицы группы (нейтрального элемента). В дальнейшем в зависимости от контекста будем использовать все указанные варианты задания группы. Среди групп также выделяют те, бинарная операция в которых коммутативна, — коммутативные (абелевы) группы. В коммутативных полугруппах и группах бинарную операцию часто обозначают знаком и называют сложением. Уместно здесь рассмотреть вопрос о двух формах записи бинарной операции группы. В аддитивной записи операции ее обозначают знаком , нейтральный элемент — знаком , а элемент, обратный к относительно операции , записывают в виде , называя его при этом противоположным к . В мультипликативной записи операцию обозначают знаком , нейтральный элемент — знаком , а элемент, обратный к , записывают в виде . В этом случае бинарную операцию группы часто называют умножением (также умножением группы или групповым умножением), а элемент , как правило записываемый в виде , — произведением элементов и . В алгебраической литературе сложилась такая традиция, что аддитивная запись используется преимущественно для коммутативных групп. Поскольку одним из самых простых, распространенных и вместе с тем важных примеров коммутативной группы служит аддитивная группа целых чисел, то обозначения и термины для произвольной аддитивно записываемой коммутативной группы "скопированы" с терминов для группы . Аналогично мультипликативная запись произвольной группы " позаимствована" у мультипликативных групп рациональных и вещественных чисел. Пример 2.9. а. Алгебра — коммутативная группа, поскольку на множестве целых чисел операция сложения ассоциативна и коммутативна, число 0 есть нейтральный элемент, и для каждого целого числа существует обратный по сложению элемент, а именно число , противоположное . Рассматриваемую группу называют аддитивной группой целых чисел. б. Множество всех биекций некоторого множества на себя с операцией композиции отображений есть группа. Это следует из того, что композиция двух биекций есть биекция, операция композиции ассоциативна, ее нейтральный элемент — тождественное отображение — есть биекция, для всякой биекций отображение , обратное биекций , определено, является биекцией и выполнены равенства Эту группу называют симметрической группой множества , а в том случае, когда множество конечно, — группой подстановок множества . Если множество состоит из элементов, группу подстановок этого множества называют также симметрической группой степени или группой подстановок n-й степени и обозначают (см. пример 2.10). в. Алгебры и есть коммутативные группы. Их называют мультипликативной группой рациональных чисел и мультипликативной группой действительных чисел соответственно. В каждой из них число 1 есть нейтральный элемент (единица) группы, а обратный к числу по операции умножения элемент есть число . г. Для произвольно фиксированного множества рассмотрим алгебру , где — операция вычисления симметрической разности множеств. Операция ассоциативна и коммутативна. Для любого имеем . Кроме того, тогда и только тогда, когда . Поэтому алгебра является абелевой группой, в которой каждый элемент обратен сам себе, а нейтральный элемент — пустое множество. д. Рассмотрим алгебру , в которой операция (сложения по модулю ) определяется так: для любых двух и число , называемое суммой чисел и по модулю , равно остатку от деления арифметической суммы на . Можно проверить, что эта алгебра является коммутативной группой. Ее называют аддитивной группой вычетов по модулю . Нейтральным элементом служит число 0, а обратным к числу будет , поскольку . е. Множество всех невырожденных (т.е. имеющих ненулевой определитель) числовых квадратных матриц порядка с операцией умножения матриц является группой. Действительно, произведение двух невырожденных матриц снова есть невырожденная матрица; единичная матрица порядка невырожденная, и матрица, обратная к невырожденной, также является невырожденной. Эту группу будем обозначать . Из рассмотренных четырех видов алгебр — группоида, полугруппы, моноида и группы — последняя обладает наиболее интересными свойствами. Изучим более подробно операцию вычисления обратного элемента. Теорема 2.2. Пусть — группа. Для любых элементов верны тождества В силу ассоциативности умножения группы имеем Используя еще раз ассоциативность, определение элемента, обратного к данному, и свойства единицы, получим Итак, . Точно так же доказывается, что . Поэтому элемент является обратным к элементу . Согласно теореме 2.1, обратный элемент единственный, и поэтому . Второе из доказываемых равенств следует непосредственно из определения элемента, обратного к данному. Действительно, определение элемента , обратного к , равенством можно рассматривать как определение — обратного элемента к , которым является, согласно этим равенствам, элемент . В силу теоремы 2.1 он единственный, то есть . Таким образом, мы установили, что элемент, обратный к произведению , равен , а элемент, обратный к элементу, обратному к , равен . Теорема 2.3. В любой группе справедливы левый и правый законы сокращения: если , то , и если , то . Пусть . Умножая обе части этого равенства слева на элемент , получаем В силу ассоциативности групповой операции последнее равенство можно записать так: Поскольку , то , откуда . Тем самым доказан левый закон сокращения. Аналогично доказывается и правый закон. Пусть — группа, и — фиксированные элементы . Рассмотрим задачу решения уравнений (2.1) (2.2) в группе , т.е. поиска всех таких элементов , для которых уравнение (2.1) (или (2.2)) превращается в тождество. Теорема 2.4. В любой группе уравнения вида (2.1) и (2.2) имеют решения, и притом единственные. Покажем, что есть решение (2.1). Действительно, . Докажем единственность решения. Пусть для фиксированных и и некоторого выполнено равенство . В группе для любого существует и однозначно определен элемент , обратный к . Умножив на него обе части равенства, получим . В силу ассоциативности преобразуем последнее равенство к виду . Поскольку , то , откуда . Это решение единственное в силу единственности обратного элемента. Аналогично из получаем , и это решение также единственное. Замечание. При использовании аддитивной записи операции для коммутативной группы оба написанных выше уравнения сводятся к одному: а его решение есть . Правую часть этого равенства в коммутативной группе называют разностью элементов и и обозначают . Саму же операцию, сопоставляющую упорядоченной паре разность , называют операцией вычитания. С учетом введенных обозначений решение уравнения в коммутативной группе можно записать так: . В случае коммутативной группы при употреблении для бинарной операции мультипликативной записи решения обоих уравнений имеют вид . Выражение в коммутативной группе называют частным от деления на и обозначают (или ), а саму операцию называют операцией деления. Решение уравнения в этом случае записывают в виде (или ). Пример 2.10. Рассмотрим группу подстановок n-й степени всех биекций n-элементного множества . Произвольную биекцию из обычно записывают в виде обозначая тем самым, что образ 1 (при отображении ) есть , образ 2 есть образ есть . Биекцию множества на себя называют подстановкой этого множества. Подстановку, которая отображает в , в , в , а в , где и все попарно различны, а все элементы, отличные от , отображаются сами в себя, называют циклом длины и записывают ее в виде . Например, подстановку из группы можно записать в виде . Цикл длины 2 называют транспозицией. Транспозиция представляет такое отображение множества в себя, при котором два элемента меняются местами, а остальные остаются на своих местах. Так, полная запись транспозиции в будет иметь вид Подстановка, обратная подстановке , есть подстановка, которая отображает в 1, в 2, в . Отметим, что при записи обратной подстановки элементы первой строки тем не менее записываются в обычном порядке: . В группе решим следующее уравнение: Умножив обе части уравнения слева на , получим . Далее, умножив полученное уравнение справа на окончательно получим . Степень элемента в полугруппеВ полугруппе в общем случае законы сокращения и разрешимость уравнений типа (2.1) и (2.2) могут не иметь места. Например, в полугруппе квадратных матриц фиксированного порядка с операцией умножения матриц из матричного равенства , вообще говоря, не следует, что . Это можно утверждать лишь при дополнительном предположении, что . Можно доказать, что в свободном моноиде, порожденном некоторым конечным множеством, оба закона сокращения справедливы, но никаких обратных элементов не существует. В полугруппе можно умножать любой элемент сам на себя, причем в силу ассоциативности операции полугруппы элемент определен однозначно. Этот элемент называют n-й степенью элемента и обозначают . При этом В моноиде вводят также нулевую степень элемента, полагая . Если — группа, то можно ввести и отрицательные степени элемента согласно равенству Без доказательства сформулируем утверждения о свойствах степеней. Теорема 2.5. Для любой полугруппы . Теорема 2.6. Для любой группы . Определение 2.4. Полугруппу (в частности, группу) называют циклической, если существует такой элемент , что любой элемент полугруппы является некоторой (целой) степенью элемента . Элемент называют образующим элементом полугруппы (группы). Пример 2.11. а. Полугруппа циклическая, с образующим элементом 1. При аддитивной записи бинарной операции возведение элемента в положительную степень есть сумма этих элементов, и это записывают (или , без знака умножения). б. Группа также циклическая. Для нее образующими элементами могут быть 1 и –1. Рассмотрим элемент 1. Тогда Если в качестве образующего взять элемент –1, то , отрицательные целые числа получаются как положительные "степени" –1, а положительные — как отрицательные "степени" –1. Например, . в. Группа вычетов по модулю 3 циклическая, причем любой ее ненулевой элемент является образующим. Действительно, для 1 имеем , а для 2 получим Строение конечных циклических группИзучим подробнее строение конечных циклических групп, используя мультипликативную запись бинарной операции. Напомним, что конечная алгебра {конечная группа, в частности) — это алгебра, носитель которой — конечное множество. Порядком конечной группы называют количество элементов в этой группе. Так, например, аддитивная группа вычетов по модулю имеет порядок . Симметрическая группа степени , т.е. группа подстановок , имеет порядок !. Мультипликативная группа вычетов по модулю , где — простое число, имеет порядок . Порядок элемента а циклической группы — это наименьшее положительное , такое, что . Теорема 2.7. Порядок образующего элемента конечной циклической группы равен порядку самой группы. Пусть — конечная циклическая группа с образующим элементом и — порядок этого элемента. Тогда все степени попарно различны. Действительно, если , то . Поскольку , получено противоречие с выбором как порядка элемента (ибо найдена степень, меньшая , при возведении в которую элемента получится единица). Осталось доказать, что любая степень элемента принадлежит множеству . Для любого целого существуют также целые , такие, что , где — целое и . Тогда Поскольку каждый элемент группы есть некоторая степень элемента , то и порядок группы равен . Из доказанной теоремы следует, что в бесконечной циклической группе не существует такого , что для образующего элемента группы выполняется равенство .
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |