Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Гомоморфизмы и изоморфизмы колец

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец


Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и полей.


Пусть \mathcal{R}_1= (R_1,+,\cdot, \bold{0}, \bold{1}) и \mathcal{R}_2= (R_2,+, \cdot, \bold{0}, \bold{1}) — кольца.


Определение 2.9. Отображение f\colon R_1\to R_2 называют гомоморфизмом колец (кольца \mathcal{R}_1 в кольцо \mathcal{R}_2), если


f(x+y)= f(x)+f(y),\qquad f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)

для любых x,y\in R_1, т.е. образ суммы и произведения любых двух элементов кольца \mathcal{R}_1 при отображении f равен соответственно сумме и произведению их образов в кольце \mathcal{R}_1.


Если отображение f сюръективно (соответственно биективно), то его называют эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом) колец (кольца \mathcal{R}_1 на кольцо \mathcal{R}_2).


Пример 2.25. Рассмотрим \mathcal{R}_1= (\mathbb{Z},+,\cdot, \bold{0}, \bold{1}) — кольцо целых чисел — и \mathbb{Z}_k= (\mathbb{Z}_k, \oplus_{k}, \odot_{k},0,1) — кольцо вычетов по модулю k. Зададим отображение f\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_k так: для всякого целого m образ f(m) равен остатку от деления га на k. Ранее мы уже доказали (см. пример 2.21), что для любых целых m и n имеет место равенство f(m+n)= f(m)\oplus_{k}f(n). Рассуждая аналогично, можно показать, что для любых целых m и n также верно равенство f(m\cdot n)= f(m) \odot_{k} f(n). С учетом того что отображение f сюръективно, приходим к выводу, что оно является гомоморфизмом кольца целых чисел на кольцо \mathbb{Z}_k вычетов по модулю k.




Теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец


Без доказательства сформулируем некоторые теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец (и полей). Все эти утверждения могут быть доказаны по аналогии с соответствующими теоремами о гомоморфизмах и изоморфизмах групп.


Теорема 2.20. Пусть \mathcal{R}_1 и \mathcal{R}_2 — произвольные кольца. Если f\colon \mathcal{R}_1\to \mathcal{R}_2 — гомоморфизм, то


1) образ нуля кольца \mathcal{R}_1 при отображении f есть нуль кольца \mathcal{R}_2, то есть f(0)=0;


2) образ единицы кольца \mathcal{R}_1 при отображении f есть единица кольца \mathcal{R}_2, то есть f(1)=1;


3) для всякого элемента x кольца \mathcal{R}_1 образ элемента, противоположного элементу x, равен элементу, противоположному образу элемента x, то есть f(-x)=-f(x);


4) если кольца \mathcal{R}_1 и \mathcal{R}_2 являются полями, то для всякого элемента x кольца \mathcal{R}_1 образ элемента, обратного к элементу x по умножению, равен элементу, обратному к образу элемента x, то есть f(x^{-1})=[f(x)]^{-1}.


Теорема 2.21. Если f — гомоморфизм кольца \mathcal{R} в кольцо \mathcal{K}, а g — гомоморфизм кольца \mathcal{K} в кольцо \mathcal{L}, то композиция отображений f\circ g есть гомоморфизм кольца \mathcal{R} в кольцо \mathcal{L}.


Теорема 2.22. Если f\colon \mathcal{R}_1\to \mathcal{R}_2 — изоморфизм кольца \mathcal{R}_1 на кольцо \mathcal{R}_2, то отображение f^{-1} есть изоморфизм кольца \mathcal{R}_2 на кольцо \mathcal{R}_1.




Как и в случае групп, определяются понятия гомоморфного образа кольца и изоморфных колец. А именно кольцо \mathcal{K} называют гомоморфным образом кольца \mathcal{R}, если существует гомоморфизм кольца \mathcal{R} на кольцо \mathcal{K}. Два кольца \mathcal{R} и \mathcal{K} называют изоморфными и пишут \mathcal{R}\cong \mathcal{K}, если существует изоморфизм одного из них на другой.


Так, например, кольцо вычетов по модулю k есть гомоморфный образ кольца целых чисел при гомоморфизме, задаваемом отображением, которое каждому целому m сопоставляет остаток от деления m на k.




Пример изоморфизма полей


Рассмотрим один интересный пример изоморфизма полей.


Пример 2.26. Так же как и в примере 2.22, поставим в соответствие комплексному числу a+bi матрицу f(a+bi)= \begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}. Получим отображение f, которое, как уже было доказано, является инъекцией, причем f(0)= f(0+0\cdot i)= \bold{0}, где \bold{0} — нулевая матрица. Заметим, что, поскольку определитель матрицы указанного вида равен a^2+b^2, среди всех таких матриц только нулевая будет иметь нулевой определитель.


Далее, легко проверить, что множество таких матриц замкнуто относительно операций сложения и умножения матриц, содержит (как уже было отмечено) нулевую и единичную матрицы, а также вместе с каждой матрицей A матрицу (-A) и вместе с каждой ненулевой матрицей обратную к ней матрицу. Это значит, что множество матриц вида \begin{pmatrix} a&b\\ -b&a\end{pmatrix}\!,~ a,b\in \mathbb{R}, с операциями сложения и умножения матриц образует поле. Обозначим его \mathcal{M}_2^{(a,b)}.


Из примера 2.22 следует, что мультипликативная группа поля комплексных чисел изоморфна мультипликативной группе поля \mathcal{M}_2^{(a,b)}. Так как


\begin{aligned}f \bigl[(a+bi)+(b+di)\bigr]&= f\bigl[(a+c)+(b+d)i\bigr]= \begin{pmatrix} a+c&b+d\\ -b-d&a+c \end{pmatrix}=\\ &= \begin{pmatrix}a&b\\-b&a \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}c&d\\ -d&c\end{pmatrix}= f(a+bi)+f(c+di), \end{aligned}

то и аддитивная группа поля комплексных чисел изоморфна аддитивной группе поля \mathcal{M}_2^{(a,b)}. Итак, мы получаем, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц \mathcal{M}_2^{(a,b)}. Этот изоморфизм лежит в основе матричного представления алгебры комплексных чисел, что имеет значение для компьютерных реализаций этой алгебры.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved