Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и полей.
Пусть и — кольца.
Определение 2.9. Отображение называют гомоморфизмом колец (кольца в кольцо ), если
для любых , т.е. образ суммы и произведения любых двух элементов кольца при отображении равен соответственно сумме и произведению их образов в кольце .
Если отображение сюръективно (соответственно биективно), то его называют эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом) колец (кольца на кольцо ).
Пример 2.25. Рассмотрим — кольцо целых чисел — и — кольцо вычетов по модулю . Зададим отображение так: для всякого целого образ равен остатку от деления га на . Ранее мы уже доказали (см. пример 2.21), что для любых целых и имеет место равенство . Рассуждая аналогично, можно показать, что для любых целых и также верно равенство . С учетом того что отображение сюръективно, приходим к выводу, что оно является гомоморфизмом кольца целых чисел на кольцо вычетов по модулю .
Теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец
Без доказательства сформулируем некоторые теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец (и полей). Все эти утверждения могут быть доказаны по аналогии с соответствующими теоремами о гомоморфизмах и изоморфизмах групп.
Теорема 2.20. Пусть и — произвольные кольца. Если — гомоморфизм, то
1) образ нуля кольца при отображении есть нуль кольца , то есть ;
2) образ единицы кольца при отображении есть единица кольца , то есть ;
3) для всякого элемента кольца образ элемента, противоположного элементу , равен элементу, противоположному образу элемента , то есть ;
4) если кольца и являются полями, то для всякого элемента кольца образ элемента, обратного к элементу по умножению, равен элементу, обратному к образу элемента , то есть .
Теорема 2.21. Если — гомоморфизм кольца в кольцо , а — гомоморфизм кольца в кольцо , то композиция отображений есть гомоморфизм кольца в кольцо .
Теорема 2.22. Если — изоморфизм кольца на кольцо , то отображение есть изоморфизм кольца на кольцо .
Как и в случае групп, определяются понятия гомоморфного образа кольца и изоморфных колец. А именно кольцо называют гомоморфным образом кольца , если существует гомоморфизм кольца на кольцо . Два кольца и называют изоморфными и пишут , если существует изоморфизм одного из них на другой.
Так, например, кольцо вычетов по модулю есть гомоморфный образ кольца целых чисел при гомоморфизме, задаваемом отображением, которое каждому целому сопоставляет остаток от деления на .
Пример изоморфизма полей
Рассмотрим один интересный пример изоморфизма полей.
Пример 2.26. Так же как и в примере 2.22, поставим в соответствие комплексному числу матрицу . Получим отображение , которое, как уже было доказано, является инъекцией, причем , где — нулевая матрица. Заметим, что, поскольку определитель матрицы указанного вида равен , среди всех таких матриц только нулевая будет иметь нулевой определитель.
Далее, легко проверить, что множество таких матриц замкнуто относительно операций сложения и умножения матриц, содержит (как уже было отмечено) нулевую и единичную матрицы, а также вместе с каждой матрицей матрицу и вместе с каждой ненулевой матрицей обратную к ней матрицу. Это значит, что множество матриц вида , с операциями сложения и умножения матриц образует поле. Обозначим его .
Из примера 2.22 следует, что мультипликативная группа поля комплексных чисел изоморфна мультипликативной группе поля . Так как
то и аддитивная группа поля комплексных чисел изоморфна аддитивной группе поля . Итак, мы получаем, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц . Этот изоморфизм лежит в основе матричного представления алгебры комплексных чисел, что имеет значение для компьютерных реализаций этой алгебры.
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|