Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Гомоморфизмы и изоморфизмы колец

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец


Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и полей.


Пусть [math]\mathcal{R}_1= (R_1,+,\cdot, \bold{0}, \bold{1})[/math] и [math]\mathcal{R}_2= (R_2,+, \cdot, \bold{0}, \bold{1})[/math] — кольца.


Определение 2.9. Отображение [math]f\colon R_1\to R_2[/math] называют гомоморфизмом колец (кольца [math]\mathcal{R}_1[/math] в кольцо [math]\mathcal{R}_2[/math]), если


[math]f(x+y)= f(x)+f(y),\qquad f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)[/math]

для любых [math]x,y\in R_1[/math], т.е. образ суммы и произведения любых двух элементов кольца [math]\mathcal{R}_1[/math] при отображении [math]f[/math] равен соответственно сумме и произведению их образов в кольце [math]\mathcal{R}_1[/math].


Если отображение [math]f[/math] сюръективно (соответственно биективно), то его называют эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом) колец (кольца [math]\mathcal{R}_1[/math] на кольцо [math]\mathcal{R}_2[/math]).


Пример 2.25. Рассмотрим [math]\mathcal{R}_1= (\mathbb{Z},+,\cdot, \bold{0}, \bold{1})[/math] — кольцо целых чисел — и [math]\mathbb{Z}_k= (\mathbb{Z}_k, \oplus_{k}, \odot_{k},0,1)[/math] — кольцо вычетов по модулю [math]k[/math]. Зададим отображение [math]f\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_k[/math] так: для всякого целого [math]m[/math] образ [math]f(m)[/math] равен остатку от деления га на [math]k[/math]. Ранее мы уже доказали (см. пример 2.21), что для любых целых [math]m[/math] и [math]n[/math] имеет место равенство [math]f(m+n)= f(m)\oplus_{k}f(n)[/math]. Рассуждая аналогично, можно показать, что для любых целых [math]m[/math] и [math]n[/math] также верно равенство [math]f(m\cdot n)= f(m) \odot_{k} f(n)[/math]. С учетом того что отображение [math]f[/math] сюръективно, приходим к выводу, что оно является гомоморфизмом кольца целых чисел на кольцо [math]\mathbb{Z}_k[/math] вычетов по модулю [math]k[/math].




Теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец


Без доказательства сформулируем некоторые теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец (и полей). Все эти утверждения могут быть доказаны по аналогии с соответствующими теоремами о гомоморфизмах и изоморфизмах групп.


Теорема 2.20. Пусть [math]\mathcal{R}_1[/math] и [math]\mathcal{R}_2[/math] — произвольные кольца. Если [math]f\colon \mathcal{R}_1\to \mathcal{R}_2[/math] — гомоморфизм, то


1) образ нуля кольца [math]\mathcal{R}_1[/math] при отображении [math]f[/math] есть нуль кольца [math]\mathcal{R}_2[/math], то есть [math]f(0)=0[/math];


2) образ единицы кольца [math]\mathcal{R}_1[/math] при отображении [math]f[/math] есть единица кольца [math]\mathcal{R}_2[/math], то есть [math]f(1)=1[/math];


3) для всякого элемента [math]x[/math] кольца [math]\mathcal{R}_1[/math] образ элемента, противоположного элементу [math]x[/math], равен элементу, противоположному образу элемента [math]x[/math], то есть [math]f(-x)=-f(x)[/math];


4) если кольца [math]\mathcal{R}_1[/math] и [math]\mathcal{R}_2[/math] являются полями, то для всякого элемента [math]x[/math] кольца [math]\mathcal{R}_1[/math] образ элемента, обратного к элементу [math]x[/math] по умножению, равен элементу, обратному к образу элемента [math]x[/math], то есть [math]f(x^{-1})=[f(x)]^{-1}[/math].


Теорема 2.21. Если [math]f[/math] — гомоморфизм кольца [math]\mathcal{R}[/math] в кольцо [math]\mathcal{K}[/math], а [math]g[/math] — гомоморфизм кольца [math]\mathcal{K}[/math] в кольцо [math]\mathcal{L}[/math], то композиция отображений [math]f\circ g[/math] есть гомоморфизм кольца [math]\mathcal{R}[/math] в кольцо [math]\mathcal{L}[/math].


Теорема 2.22. Если [math]f\colon \mathcal{R}_1\to \mathcal{R}_2[/math] — изоморфизм кольца [math]\mathcal{R}_1[/math] на кольцо [math]\mathcal{R}_2[/math], то отображение [math]f^{-1}[/math] есть изоморфизм кольца [math]\mathcal{R}_2[/math] на кольцо [math]\mathcal{R}_1[/math].




Как и в случае групп, определяются понятия гомоморфного образа кольца и изоморфных колец. А именно кольцо [math]\mathcal{K}[/math] называют гомоморфным образом кольца [math]\mathcal{R}[/math], если существует гомоморфизм кольца [math]\mathcal{R}[/math] на кольцо [math]\mathcal{K}[/math]. Два кольца [math]\mathcal{R}[/math] и [math]\mathcal{K}[/math] называют изоморфными и пишут [math]\mathcal{R}\cong \mathcal{K}[/math], если существует изоморфизм одного из них на другой.


Так, например, кольцо вычетов по модулю [math]k[/math] есть гомоморфный образ кольца целых чисел при гомоморфизме, задаваемом отображением, которое каждому целому [math]m[/math] сопоставляет остаток от деления [math]m[/math] на [math]k[/math].




Пример изоморфизма полей


Рассмотрим один интересный пример изоморфизма полей.


Пример 2.26. Так же как и в примере 2.22, поставим в соответствие комплексному числу [math]a+bi[/math] матрицу [math]f(a+bi)= \begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}[/math]. Получим отображение [math]f[/math], которое, как уже было доказано, является инъекцией, причем [math]f(0)= f(0+0\cdot i)= \bold{0}[/math], где [math]\bold{0}[/math] — нулевая матрица. Заметим, что, поскольку определитель матрицы указанного вида равен [math]a^2+b^2[/math], среди всех таких матриц только нулевая будет иметь нулевой определитель.


Далее, легко проверить, что множество таких матриц замкнуто относительно операций сложения и умножения матриц, содержит (как уже было отмечено) нулевую и единичную матрицы, а также вместе с каждой матрицей [math]A[/math] матрицу [math](-A)[/math] и вместе с каждой ненулевой матрицей обратную к ней матрицу. Это значит, что множество матриц вида [math]\begin{pmatrix} a&b\\ -b&a\end{pmatrix}\!,~ a,b\in \mathbb{R}[/math], с операциями сложения и умножения матриц образует поле. Обозначим его [math]\mathcal{M}_2^{(a,b)}[/math].


Из примера 2.22 следует, что мультипликативная группа поля комплексных чисел изоморфна мультипликативной группе поля [math]\mathcal{M}_2^{(a,b)}[/math]. Так как


[math]\begin{aligned}f \bigl[(a+bi)+(b+di)\bigr]&= f\bigl[(a+c)+(b+d)i\bigr]= \begin{pmatrix} a+c&b+d\\ -b-d&a+c \end{pmatrix}=\\ &= \begin{pmatrix}a&b\\-b&a \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}c&d\\ -d&c\end{pmatrix}= f(a+bi)+f(c+di), \end{aligned}[/math]

то и аддитивная группа поля комплексных чисел изоморфна аддитивной группе поля [math]\mathcal{M}_2^{(a,b)}[/math]. Итак, мы получаем, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц [math]\mathcal{M}_2^{(a,b)}[/math]. Этот изоморфизм лежит в основе матричного представления алгебры комплексных чисел, что имеет значение для компьютерных реализаций этой алгебры.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved