Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Гомоморфизмы групп и нормальные делители

Гомоморфизмы групп и нормальные делители


Пусть заданы группы [math]\mathcal{G}_1=(G_1,\cdot,\bold{1})[/math] и [math]\mathcal{G}_2= (G_2,\cdot,\bold{1})[/math]. Отображение [math]f\colon G_1\to G_2[/math] называют гомоморфизмом группы [math]\mathcal{G}_1[/math] в группу [math]\mathcal{G}_2[/math] (гомоморфизмом групп), если для любых [math]x,y\in G_1[/math] выполняется равенство [math]f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)[/math], т.е. образ произведения любых двух элементов группы [math]\mathcal{G}_1[/math] при отображении [math]f[/math] равен произведению их образов в группе [math]\mathcal{G}_2[/math].


Если отображение [math]f[/math] сюръективно (биективно), то его называют эпиморфизмом (изоморфизмом) групп. В этом случае говорят также об эпиморфизме (изоморфизме) группы [math]\mathcal{G}_1[/math] на группу [math]\mathcal{G}_2[/math].


Замечание 2.5. Мы обозначили операции групп [math]\mathcal{G}_1[/math] и [math]\mathcal{G}_2[/math] одинаково, как это обычно и делается для однотипных алгебр, хотя, конечно, это разные операции разных групп.


Пример 2.21. Пусть [math]\mathcal{G}_1=(\mathbb{Z},+,0)[/math] — аддитивная группа целых чисел, а [math]\mathcal{G}_2=\mathbb{Z}_{k}^{+}[/math] — аддитивная группа вычетов по модулю [math]k[/math].


Зададим отображение [math]f[/math] так: для всякого целого га образ [math]f(m)[/math] равен остатку от деления [math]m[/math] на [math]k[/math]. Можно проверить, что для любых целых [math]m[/math] и [math]n[/math] имеет место равенство [math]f(m+n)= f(m)\oplus_{m}f(n)[/math], т.е. для целых чисел остаток от деления суммы на [math]k[/math] равен сумме по модулю [math]k[/math] остатков от деления на [math]k[/math] каждого слагаемого.


Следовательно, данное отображение есть гомоморфизм группы [math]\mathcal{G}_1[/math] в группу [math]\mathcal{G}_2[/math]. Далее, поскольку любое целое число от 0 до [math]k-1[/math] есть остаток от деления на [math]k[/math] какого-то числа, то отображение [math]f[/math] является и эпиморфизмом группы [math]\mathcal{G}_1[/math] на группу [math]\mathcal{G}_2[/math].


Теорема 2.14. Пусть [math]\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2[/math] — произвольные группы. Если [math]f\colon\mathcal{G}_1\to \mathcal{G}_2[/math] — гомоморфизм, то:


1) образом единицы (нейтрального элемента) группы [math]\mathcal{G}_1[/math] при отображении [math]f[/math] является единица группы [math]\mathcal{G}_2[/math], то есть [math]f(\bold{1})= \bold{1}[/math];


2) для всякого элемента [math]x[/math] группы [math]\mathcal{G}_1[/math] образом элемента [math]x^{-1}[/math] является элемент [math][f(x)]^{-1}[/math], обратный элементу [math]f(x)[/math], то есть [math]f(x^{-1})= [f(x)]^{-1}[/math].


Согласно определению гомоморфизма, для произвольного [math]x\in G_1[/math] имеем [math]f(x)\cdot f(\bold{1})= f(x\cdot\bold{1})[/math]. Далее, [math]f(x\cdot\bold{1})=f(x)[/math], то есть [math]f(x)\cdot f(\bold{1})=f(x)[/math]. Следовательно, [math]f(\bold{1})= (f(x))^{-1}\cdot f(x)= \bold{1}[/math], то есть [math]f(\bold{1})=\bold{1}[/math].


Докажем второе утверждение теоремы. Используя определение гомоморфизма и уже доказанное первое утверждение теоремы, получаем


[math]f(x^{-1})\cdot f(x)= f(x^{-1}\cdot x)= f(\bold{1})= \bold{1}[/math], то есть [math]f(x^{-1})= [f(x)]^{-1}[/math].



Множество [math]f(G_1)[/math] — образ носителя группы [math]\mathcal{G}_1[/math] при гомоморфизме [math]f[/math] — замкнуто относительно умножения группы [math]\mathcal{G}_2[/math]. Действительно, если [math]g_2,g'_2\in f(\mathcal{G}_1)[/math], то существуют такие [math]g_1,g'_1\in \mathcal{G}_1[/math], что [math]f(g_1)=g_2[/math] и [math]f(g'_1)=g'_2[/math]. Тогда


[math]g_2g'_2= f(g_1)f(g'_1)= f(g_1g'_1)\in f(\mathcal{G}_1).[/math]

Из теоремы 2.14 следует, что [math]f(\mathcal{G}_1)[/math] содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом обратный к нему элемент. Это значит, что можно определить подгруппу группы [math]\mathcal{G}_2[/math] носителем которой будет множество [math]f(\mathcal{G}_1)[/math]. Эту группу называют гомоморфным образом группы [math]\mathcal{G}_1[/math] при гомоморфизме [math]f[/math].


Группу [math]\mathcal{K}[/math] называют просто гомоморфным образом группы [math]\mathcal{G}[/math], если существует гомоморфизм группы [math]\mathcal{G}[/math] на группу [math]\mathcal{K}[/math]. Так, группа [math]\mathbb{Z}_{k}^{\ast}[/math] при любом [math]k>1[/math] является гомоморфным образом аддитивной группы целых чисел (см. пример 2.21).




Пример 2.22. Рассмотрим мультипликативную группу [math](\mathbb{C}\setminus\{0\}, \cdot,1)[/math] комплексных чисел с обычной операцией умножения комплексных чисел. Легко понять, что эта группа не что иное, как мультипликативная группа поля комплексных чисел.


Рассмотрим также группу [math]\mathcal{M}_2[/math] невырожденных квадратных матриц второго порядка с операцией умножения матриц (см. пример 2.9.е).


Определим отображение [math]f[/math] множества [math]\mathbb{C}[/math] комплексных чисел в множество квадратных матриц второго порядка, положив для произвольного ненулевого комплексного числа [math]a+bi[/math], что


[math]f(a+bi)= \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\!.[/math]

Покажем, что [math]f[/math] — гомоморфизм групп. С одной стороны,


[math]f\bigl[(a+bi)\cdot (c+di)\bigr]= f\bigl[(ac-bd)+i(ad+bc)\bigr]= \begin{pmatrix}ac-bd& ad+bc\\ -ad-bc& ac-bd \end{pmatrix}\!.[/math]
С другой стороны,
[math]f(a+bi)\cdot f(c+di)= \begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} c&d\\ -d&c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ac-bd& ad+bc\\ -ad-bc& ac-bd \end{pmatrix}\!.[/math]
Следовательно,
[math]f\bigl[(a+bi)\cdot (c+di)\bigr]= f(a+bi)\cdot f(c+di).[/math]

Таким образом, отображение [math]f[/math] — гомоморфизм групп, а гомоморфный образ мультипликативной группы комплексных чисел при [math]f[/math] — это подгруппа [math]\mathcal{K}[/math] группы матриц [math]\mathcal{M}_2[/math], состоящая из матриц вида [math]\begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}[/math]. Здесь мы учли, что любая матрица вида [math]\begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}[/math] является образом некоторого комплексного числа (а именно [math]a+bi[/math]) при отображении [math]f[/math]. Группа [math]\mathcal{K}[/math] — собственная подгруппа группы [math]\mathcal{M}_2[/math].




Важное свойство гомоморфизмов групп


Сформулируем без доказательства одно важное свойство гомоморфизмов групп.


Теорема 2.15. Если [math]f[/math] — гомоморфизм группы [math]\mathcal{G}[/math] в группу [math]\mathcal{K}[/math], а [math]g[/math] — гомоморфизм группы [math]\mathcal{K}[/math] в группу [math]\mathcal{L}[/math], то композиция отображений [math]f\circ g[/math] есть гомоморфизм группы [math]\mathcal{G}[/math] в группу [math]\mathcal{L}[/math].


Рассмотрим некоторые свойства изоморфизмов групп.


Теорема 2.16. Если [math]f\colon\mathcal{G}_1\to \mathcal{G}_2[/math] — изоморфизм группы [math]\mathcal{G}_1[/math] на группу [math]\mathcal{G}_2[/math], то отображение [math]f^{-1}[/math], обратное к отображению [math]f[/math], есть изоморфизм группы [math]\mathcal{G}_2[/math] на группу [math]\mathcal{G}_1[/math].


Пусть [math]x[/math] и [math]y[/math] — произвольные элементы группы [math]\mathcal{G}_2[/math], пусть также [math]x=f(u)[/math], а [math]y=f(v)[/math], где [math]u[/math] и [math]{v}[/math] — элементы группы [math]\mathcal{G}_1[/math]. Тогда


[math]f^{-1}(xy)= f^{-1}\bigl(f(u)f(v)\bigr)= f^{-1}(f(uv))= uv= f^{-1}(x)f^{-1}(y),[/math]

т.е. отображение [math]f^{-1}[/math] — гомоморфизм второй группы в первую. Но так как отображение, обратное к биекции, есть биекция, то [math]f^{-1}[/math] — изоморфизм группы [math]\mathcal{G}_2[/math] на группу [math]\mathcal{G}_1[/math].




Группы [math]\mathcal{G}[/math] и [math]\mathcal{K}[/math] называют изоморфными, если существует изоморфизм одной из них на другую. При этом используют обозначение [math]\mathcal{G}\cong \mathcal{K}[/math].


Изоморфные группы с точки зрения их алгебраических свойств совершенно одинаковы, хотя их элементы могут иметь различную природу. Вернемся в этой связи к примеру 2.22. Легко убедиться в том, что определенное там отображение [math]f[/math] множества комплексных чисел на множество квадратных матриц специального вида является биекцией. Следовательно, мультипликативная группа комплексных чисел и группа матриц указанного вида с операцией умножения матриц изоморфны, хотя элементы этих групп на первый взгляд не имеют между собой ничего общего.


Определение 2.8. Ядром гомоморфизма [math]f[/math] группы [math]\mathcal{G}[/math] в группу [math]\mathcal{K}[/math] называют прообраз [math]\ker f[/math] единицы группы [math]\mathcal{G}[/math] при гомоморфизме [math]f:[/math]


[math]\ker f=f^{-1}(\bold{1})\subset G\,.[/math]

Пример 2.23. Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на [math]k[/math].


Теорема 2.17. Ядро [math]\ker f[/math] гомоморфизма [math]f\colon\mathcal{G}\to \mathcal{K}[/math] есть подгруппа группы [math]\mathcal{G}[/math].


Нужно убедиться в том, что множество [math]\ker f[/math] замкнуто относительно умножения группы [math]\mathcal{G}[/math], содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент.


Если [math]a,b\in\ker f[/math], то есть [math]f(a)=f(b)=\bold{1}[/math], то [math]f(ab)= f(a)f(b)= \bold{1}[/math] и [math]ab\in\ker f[/math]. Ясно, что [math]\bold{1}\in\ker f[/math], так как [math]f(\bold{1})=\bold{1}[/math] (см. теорему 2.14). Если [math]a\in\ker f[/math], то


[math]f(a^{-1})= [f(a)]^{-1}= \bold{1}^{-1}= \bold{1}[/math], то есть [math]a^{-1}\in\ker f[/math].



Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных [math]k[/math].


Подгруппа [math]\mathcal{H}[/math] группы [math]\mathcal{G}[/math] называется нормальной подгруппой (нормальным делителем) группы [math]\mathcal{G}[/math], если [math]aH=Ha[/math] для любого [math]a\in G[/math].


В коммутативной группе, как было отмечено выше, [math]aH=Ha[/math]. Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем.


Пусть [math]\mathcal{H}=(H,\cdot,\bold{1})[/math] — подгруппа группы [math]\mathcal{G}= (G,\cdot, \bold{1})[/math]. Для фиксированных элементов [math]a,b\in G[/math] через [math]aHb[/math] обозначим множество всех произведений вида [math]ahb[/math], где [math]h\in H[/math]. В силу ассоциативности групповой операции это обозначение корректно.




Теорема 2.18. Подгруппа [math]\mathcal{H}=(H,\cdot,\bold{1})[/math] является нормальным делителем группы [math]\mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1})[/math] тогда и только тогда, когда [math]aHa^{-1}\subseteq H[/math] для любого [math]a\in G[/math].


Если [math]\mathcal{H}[/math] — нормальный делитель, то для любого [math]a\in G[/math] имеем [math]aH=Ha[/math], т.е. для любого [math]h\in H[/math] найдется такое [math]h_1\in H[/math], что [math]ah=h_1a[/math]. Пусть элемент [math]x\in aHa^{-1}[/math], то есть [math]x=aha^{-1}[/math] для некоторого [math]h\in H[/math]. Так как [math]ah=h_1a[/math], то [math]x=h_1aa^{-1}=h_1\in H[/math] и поэтому [math]aHa^{-1}\subseteq H[/math].


Обратно, если [math]aHa^{-1}\subseteq H[/math], то любой элемент [math]x=aha^{-1}[/math], где [math]h\in H[/math], принадлежит и множеству [math]H[/math], то есть [math]aha^{-1}= h_1[/math] для некоторого [math]h_1\in H[/math]. Отсюда, умножая последнее равенство на [math]a[/math] справа, получим [math]ah=h_1a[/math], т.е. элемент [math]ah[/math] из левого смежного класса [math]aH[/math] принадлежит и правому смежному классу [math]Ha[/math]. Итак, [math]aH\subseteq Ha[/math].


Теперь возьмем для произвольного [math]a\in G[/math] обратный к [math]a[/math] элемент [math]a^{-1}[/math] и для него запишем включение [math]a^{-1}Ha\subseteq H[/math] (напомним, что ([math](a^{-1})^{-1}=a[/math]). Рассуждая как и выше, получим, что для некоторых [math]h,h_1\in H[/math] имеет место равенство [math]a^{-1}h=h_1a^{-1}[/math], то есть [math]ha=ah_1[/math] и [math]Ha \subseteq aH[/math]. Итак, [math]aH=Ha[/math] и [math]\mathcal{H}[/math] — нормальный делитель.




Связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма


Оказывается, существует связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из первых лекций связь между понятиями отображения и класса эквивалентности.


Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма [math]f[/math] группы [math]\mathcal{G}[/math] в группу [math]\mathcal{K}[/math] является нормальным делителем группы [math]\mathcal{G}[/math].


Для любого [math]y\in\ker f[/math] и любого [math]a\in G[/math] имеем


[math]f(aya^{-1})= f(a)f(y)f(a^{-1})= f(a)\cdot\bold{0}\cdot f(a^{-1})= f(a) f(a^{-1})= \bold{1}\,.[/math]

Это значит, что для любого [math]a\in G[/math] выполняется соотношение [math]a(\ker f)a^{-1}\subseteq\ker f[/math], а, согласно теореме 2.18, [math]\ker f[/math] — нормальный делитель.




Пусть [math]\mathcal{H}=(H,\cdot,\bold{1})[/math] — нормальный делитель группы [math]\mathcal{G}= (G,\cdot,\bold{1})[/math]. Рассмотрим множество всех левых смежных классов [math]\{aH\colon\,a\in G\}[/math]. Это будет не что иное, как фактор-множество множества [math]G[/math] по определенному выше (см. теорему 2.11) отношению эквивалентности [math]\sim_{H}[/math].


Введем операцию умножения на множестве всех левых смежных классов следующим образом: произведением [math]aH\cdot bH[/math] классов [math]aH[/math] и [math]bH[/math] назовем класс [math]abH[/math].


Это определение корректно, так как множество [math]aH\cdot bH[/math], т.е. множество всех произведений вида [math]ahbh_1[/math] для различных [math]h,h_1\in H[/math], в силу того что [math]Hb=bH[/math] для всякого [math]b\in G[/math], совпадает с левым смежным классом [math]abH[/math]. Действительно, поскольку [math]hb=bh'[/math] для некоторого [math]h'\in H[/math], то [math]ahbh_1=abh'h_1\in abH[/math].


Теперь рассмотрим некоторый [math]a\in abH[/math], т.е. [math]x=abh[/math] для некоторого [math]h\in H_1[/math]. Поскольку [math]bh=h'b[/math] для некоторого [math]h'\in H[/math], то [math]x=ah'b= ah'b\bold{1}\in aHbH[/math]. Следовательно, [math]aH\cdot bH=abH[/math].


Можно далее легко показать, что для каждого [math]a\in G[/math] имеют место


[math]aH\cdot H=H\cdot aH=aH[/math] и [math]aH\cdot a^{-1}H= a^{-1}H\cdot aH=H[/math].

Тем самым определена группа, носителем которой является фактор-множество [math]G/\sim_{H}[/math] множества [math]G[/math] по отношению эквивалентности [math]\sim_{H}[/math] с операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы [math]\mathcal{H}[/math], а обратным к левому смежному классу [math]aH[/math] будет левый смежный класс [math]a^{-1}H[/math]. Эту группу называют фактор-группой группы [math]\mathcal{G}[/math] по нормальному делителю [math]\mathcal{H}[/math] и обозначают [math]\mathcal{G}/ \mathcal{H}[/math]. Можно указать естественный гомоморфизм [math]f[/math] группы [math]\mathcal{H}[/math] в фактор-группу [math]\mathcal{G}/\mathcal{H}[/math], который вводится согласно правилу: [math](\forall c\in G)(f(x)=xH)[/math]. Так как [math]xH\cdot yH= xyH[/math], то для любых [math]x,y\in G[/math] имеем


[math]f(x\cdot y)= xyH= xH\cdot yH= f(x)\cdot f(y)[/math]

и [math]f[/math] — действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы [math]\mathcal{G}[/math] в фактор-группу [math]\mathcal{G}/\mathcal{H}[/math].




Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу [math]\mathbb{R}= (\mathbb{R},+,0)[/math] действительных чисел. Эта группа коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруппа будет нормальным делителем. Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел [math]\mathbb{Z}= (\mathbb{Z},+,0)[/math] (аддитивная группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: [math]\mathbb{R}[/math] и [math]\mathbb{Z}[/math] соответственно.)


Выясним смысл отношения эквивалентности [math]\sim_{\mathbb{Z}}[/math], определяемого через равенство левых смежных классов, по подгруппе [math]\mathbb{Z}[/math] в этом случае.


Равенство левых смежных классов [math]a+\mathbb{Z}= b+\mathbb{Z}[/math] означает, что для любого целого [math]m[/math] найдется такое целое [math]n[/math], что [math]a+m=b+n[/math], то есть [math]a-b=n-m\in \mathbb{Z}[/math]. Обратно, если разность [math]a-b[/math] есть целое число, т.е. [math]a-b=n\in \mathbb{Z}[/math], то [math]a+\mathbb{Z}= (b+n)+\mathbb{Z}= b+\mathbb{Z}[/math]. Итак, [math]a\sim_{\mathbb{Z}}b[/math] тогда и только тогда, когда [math]a-b\in \mathbb{Z}[/math], или, иначе говоря, действительные числа [math]a[/math] и [math]b[/math] эквивалентны по [math]\sim_{\mathbb{Z}}[/math] тогда и только тогда, когда их дробные части равны.


Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа [math]\mathbb{R}/\mathbb{Z}[/math] группы [math]\mathbb{R}[/math] по нормальному делителю [math]\mathbb{Z}[/math] строится так: сумма классов [math]a+\mathbb{Z}[/math] и [math]b+\mathbb{Z}[/math] равна классу [math](a+b)+\mathbb{Z}[/math]. Вводя обозначение [math]a+\mathbb{Z}=[a][/math], получаем [math][a]+[ b ]=[a+b][/math]. При этом [math][0]=\mathbb{Z}[/math] (т.е. единица фактор-группы — это смежный класс нуля — множество всех целых чисел), причем [math]-[a]=[-a]=(-a)+\mathbb{Z}[/math]. Обратим внимание на то, что смежный класс числа [math]a[/math] однозначно определяется его дробной частью [math]<x>[/math] (см. пример 1.14.6), то есть [math][x]=[<x>][/math]. Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: [math]x\mapsto[x][/math].


б. Рассмотрим теперь аддитивную группу действительных чисел по модулю 1, т.е. группу [math]\mathbf{S}^1=([0;1),\oplus_{1},0)[/math], заданную на полуинтервале [math][0;1)[/math], сложение в которой определяется так: [math]x\oplus_{1}y=<x+y>[/math] (дробная часть суммы [math]x+y[/math]). Другими словами,


[math]x\oplus_{1}y= \begin{cases}x+y,& \text{if}\quad x+y \leqslant 1;\\ x+y-1,& \text{if}\quad x+y \geqslant 1.\end{cases}[/math]

Докажем, что группа [math]\mathbf{S}^1[/math] изоморфна фактор-группе [math]\mathbb{R}/ \mathbb{Z}[/math], то есть [math]\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong\mathbf{S}^1[/math].


Зададим отображение [math]\varphi[/math] множества [math]\{[a]\colon\, a\in \mathbb{R}\}[/math] смежных классов в полуинтервал [math][0;1)[/math] так, что [math]\varphi([x])=<x>[/math]. Поскольку [math][x]=[<x>][/math], то [math]\varphi[/math] — биекция и, кроме того,


[math]\varphi\bigl([x]+[y]\bigr)= \varphi\bigl([x+y]\bigr)= <x+y>= <<x>+<y>>= <x>\oplus_{1}<y>= \varphi([x])\oplus_{1}\varphi([y]).[/math]

Это значит, что [math]\varphi[/math] — изоморфизм [math]\mathbb{R}/ \mathbb{Z}[/math] на [math]\mathbf{S}^1[/math].


Группу [math]\mathbf{S}^1[/math] можно воспринимать как "наглядный образ" фактор-группы [math]\mathbb{R}/ \mathbb{Z}[/math]. Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллизуется в виде группы с носителем [math][0;1)[/math] и операцией сложения неотрицательных действительных чисел, строго меньших единицы, с отбрасыванием в результате целой части. Здесь хорошо видна "польза" понятия изоморфизма. То, что само по себе не очень наглядно, становится наглядным через свой изоморфный образ.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved