Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Гомоморфизмы групп и нормальные делители

Гомоморфизмы групп и нормальные делители


Пусть заданы группы \mathcal{G}_1=(G_1,\cdot,\bold{1}) и \mathcal{G}_2= (G_2,\cdot,\bold{1}). Отображение f\colon G_1\to G_2 называют гомоморфизмом группы \mathcal{G}_1 в группу \mathcal{G}_2 (гомоморфизмом групп), если для любых x,y\in G_1 выполняется равенство f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y), т.е. образ произведения любых двух элементов группы \mathcal{G}_1 при отображении f равен произведению их образов в группе \mathcal{G}_2.


Если отображение f сюръективно (биективно), то его называют эпиморфизмом (изоморфизмом) групп. В этом случае говорят также об эпиморфизме (изоморфизме) группы \mathcal{G}_1 на группу \mathcal{G}_2.


Замечание 2.5. Мы обозначили операции групп \mathcal{G}_1 и \mathcal{G}_2 одинаково, как это обычно и делается для однотипных алгебр, хотя, конечно, это разные операции разных групп.


Пример 2.21. Пусть \mathcal{G}_1=(\mathbb{Z},+,0) — аддитивная группа целых чисел, а \mathcal{G}_2=\mathbb{Z}_{k}^{+} — аддитивная группа вычетов по модулю k.


Зададим отображение f так: для всякого целого га образ f(m) равен остатку от деления m на k. Можно проверить, что для любых целых m и n имеет место равенство f(m+n)= f(m)\oplus_{m}f(n), т.е. для целых чисел остаток от деления суммы на k равен сумме по модулю k остатков от деления на k каждого слагаемого.


Следовательно, данное отображение есть гомоморфизм группы \mathcal{G}_1 в группу \mathcal{G}_2. Далее, поскольку любое целое число от 0 до k-1 есть остаток от деления на k какого-то числа, то отображение f является и эпиморфизмом группы \mathcal{G}_1 на группу \mathcal{G}_2.


Теорема 2.14. Пусть \mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2 — произвольные группы. Если f\colon\mathcal{G}_1\to \mathcal{G}_2 — гомоморфизм, то:


1) образом единицы (нейтрального элемента) группы \mathcal{G}_1 при отображении f является единица группы \mathcal{G}_2, то есть f(\bold{1})= \bold{1};


2) для всякого элемента x группы \mathcal{G}_1 образом элемента x^{-1} является элемент [f(x)]^{-1}, обратный элементу f(x), то есть f(x^{-1})= [f(x)]^{-1}.


Согласно определению гомоморфизма, для произвольного x\in G_1 имеем f(x)\cdot f(\bold{1})= f(x\cdot\bold{1}). Далее, f(x\cdot\bold{1})=f(x), то есть f(x)\cdot f(\bold{1})=f(x). Следовательно, f(\bold{1})= (f(x))^{-1}\cdot f(x)= \bold{1}, то есть f(\bold{1})=\bold{1}.


Докажем второе утверждение теоремы. Используя определение гомоморфизма и уже доказанное первое утверждение теоремы, получаем


f(x^{-1})\cdot f(x)= f(x^{-1}\cdot x)= f(\bold{1})= \bold{1}, то есть f(x^{-1})= [f(x)]^{-1}.



Множество f(G_1) — образ носителя группы \mathcal{G}_1 при гомоморфизме f — замкнуто относительно умножения группы \mathcal{G}_2. Действительно, если g_2,g'_2\in f(\mathcal{G}_1), то существуют такие g_1,g'_1\in \mathcal{G}_1, что f(g_1)=g_2 и f(g'_1)=g'_2. Тогда


g_2g'_2= f(g_1)f(g'_1)= f(g_1g'_1)\in f(\mathcal{G}_1).

Из теоремы 2.14 следует, что f(\mathcal{G}_1) содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом обратный к нему элемент. Это значит, что можно определить подгруппу группы \mathcal{G}_2 носителем которой будет множество f(\mathcal{G}_1). Эту группу называют гомоморфным образом группы \mathcal{G}_1 при гомоморфизме f.


Группу \mathcal{K} называют просто гомоморфным образом группы \mathcal{G}, если существует гомоморфизм группы \mathcal{G} на группу \mathcal{K}. Так, группа \mathbb{Z}_{k}^{\ast} при любом k>1 является гомоморфным образом аддитивной группы целых чисел (см. пример 2.21).




Пример 2.22. Рассмотрим мультипликативную группу (\mathbb{C}\setminus\{0\}, \cdot,1) комплексных чисел с обычной операцией умножения комплексных чисел. Легко понять, что эта группа не что иное, как мультипликативная группа поля комплексных чисел.


Рассмотрим также группу \mathcal{M}_2 невырожденных квадратных матриц второго порядка с операцией умножения матриц (см. пример 2.9.е).


Определим отображение f множества \mathbb{C} комплексных чисел в множество квадратных матриц второго порядка, положив для произвольного ненулевого комплексного числа a+bi, что


f(a+bi)= \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\!.

Покажем, что f — гомоморфизм групп. С одной стороны,


f\bigl[(a+bi)\cdot (c+di)\bigr]= f\bigl[(ac-bd)+i(ad+bc)\bigr]= \begin{pmatrix}ac-bd& ad+bc\\ -ad-bc& ac-bd \end{pmatrix}\!.
С другой стороны,
f(a+bi)\cdot f(c+di)= \begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} c&d\\ -d&c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ac-bd& ad+bc\\ -ad-bc& ac-bd \end{pmatrix}\!.
Следовательно,
f\bigl[(a+bi)\cdot (c+di)\bigr]= f(a+bi)\cdot f(c+di).

Таким образом, отображение f — гомоморфизм групп, а гомоморфный образ мультипликативной группы комплексных чисел при f — это подгруппа \mathcal{K} группы матриц \mathcal{M}_2, состоящая из матриц вида \begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}. Здесь мы учли, что любая матрица вида \begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix} является образом некоторого комплексного числа (а именно a+bi) при отображении f. Группа \mathcal{K} — собственная подгруппа группы \mathcal{M}_2.




Важное свойство гомоморфизмов групп


Сформулируем без доказательства одно важное свойство гомоморфизмов групп.


Теорема 2.15. Если f — гомоморфизм группы \mathcal{G} в группу \mathcal{K}, а g — гомоморфизм группы \mathcal{K} в группу \mathcal{L}, то композиция отображений f\circ g есть гомоморфизм группы \mathcal{G} в группу \mathcal{L}.


Рассмотрим некоторые свойства изоморфизмов групп.


Теорема 2.16. Если f\colon\mathcal{G}_1\to \mathcal{G}_2 — изоморфизм группы \mathcal{G}_1 на группу \mathcal{G}_2, то отображение f^{-1}, обратное к отображению f, есть изоморфизм группы \mathcal{G}_2 на группу \mathcal{G}_1.


Пусть x и y — произвольные элементы группы \mathcal{G}_2, пусть также x=f(u), а y=f(v), где u и {v} — элементы группы \mathcal{G}_1. Тогда


f^{-1}(xy)= f^{-1}\bigl(f(u)f(v)\bigr)= f^{-1}(f(uv))= uv= f^{-1}(x)f^{-1}(y),

т.е. отображение f^{-1} — гомоморфизм второй группы в первую. Но так как отображение, обратное к биекции, есть биекция, то f^{-1} — изоморфизм группы \mathcal{G}_2 на группу \mathcal{G}_1.




Группы \mathcal{G} и \mathcal{K} называют изоморфными, если существует изоморфизм одной из них на другую. При этом используют обозначение \mathcal{G}\cong \mathcal{K}.


Изоморфные группы с точки зрения их алгебраических свойств совершенно одинаковы, хотя их элементы могут иметь различную природу. Вернемся в этой связи к примеру 2.22. Легко убедиться в том, что определенное там отображение f множества комплексных чисел на множество квадратных матриц специального вида является биекцией. Следовательно, мультипликативная группа комплексных чисел и группа матриц указанного вида с операцией умножения матриц изоморфны, хотя элементы этих групп на первый взгляд не имеют между собой ничего общего.


Определение 2.8. Ядром гомоморфизма f группы \mathcal{G} в группу \mathcal{K} называют прообраз \ker f единицы группы \mathcal{G} при гомоморфизме f:


\ker f=f^{-1}(\bold{1})\subset G\,.

Пример 2.23. Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на k.


Теорема 2.17. Ядро \ker f гомоморфизма f\colon\mathcal{G}\to \mathcal{K} есть подгруппа группы \mathcal{G}.


Нужно убедиться в том, что множество \ker f замкнуто относительно умножения группы \mathcal{G}, содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент.


Если a,b\in\ker f, то есть f(a)=f(b)=\bold{1}, то f(ab)= f(a)f(b)= \bold{1} и ab\in\ker f. Ясно, что \bold{1}\in\ker f, так как f(\bold{1})=\bold{1} (см. теорему 2.14). Если a\in\ker f, то


f(a^{-1})= [f(a)]^{-1}= \bold{1}^{-1}= \bold{1}, то есть a^{-1}\in\ker f.



Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных k.


Подгруппа \mathcal{H} группы \mathcal{G} называется нормальной подгруппой (нормальным делителем) группы \mathcal{G}, если aH=Ha для любого a\in G.


В коммутативной группе, как было отмечено выше, aH=Ha. Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем.


Пусть \mathcal{H}=(H,\cdot,\bold{1}) — подгруппа группы \mathcal{G}= (G,\cdot, \bold{1}). Для фиксированных элементов a,b\in G через aHb обозначим множество всех произведений вида ahb, где h\in H. В силу ассоциативности групповой операции это обозначение корректно.




Теорема 2.18. Подгруппа \mathcal{H}=(H,\cdot,\bold{1}) является нормальным делителем группы \mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1}) тогда и только тогда, когда aHa^{-1}\subseteq H для любого a\in G.


Если \mathcal{H} — нормальный делитель, то для любого a\in G имеем aH=Ha, т.е. для любого h\in H найдется такое h_1\in H, что ah=h_1a. Пусть элемент x\in aHa^{-1}, то есть x=aha^{-1} для некоторого h\in H. Так как ah=h_1a, то x=h_1aa^{-1}=h_1\in H и поэтому aHa^{-1}\subseteq H.


Обратно, если aHa^{-1}\subseteq H, то любой элемент x=aha^{-1}, где h\in H, принадлежит и множеству H, то есть aha^{-1}= h_1 для некоторого h_1\in H. Отсюда, умножая последнее равенство на a справа, получим ah=h_1a, т.е. элемент ah из левого смежного класса aH принадлежит и правому смежному классу Ha. Итак, aH\subseteq Ha.


Теперь возьмем для произвольного a\in G обратный к a элемент a^{-1} и для него запишем включение a^{-1}Ha\subseteq H (напомним, что ((a^{-1})^{-1}=a). Рассуждая как и выше, получим, что для некоторых h,h_1\in H имеет место равенство a^{-1}h=h_1a^{-1}, то есть ha=ah_1 и Ha \subseteq aH. Итак, aH=Ha и \mathcal{H} — нормальный делитель.




Связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма


Оказывается, существует связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из первых лекций связь между понятиями отображения и класса эквивалентности.


Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма f группы \mathcal{G} в группу \mathcal{K} является нормальным делителем группы \mathcal{G}.


Для любого y\in\ker f и любого a\in G имеем


f(aya^{-1})= f(a)f(y)f(a^{-1})= f(a)\cdot\bold{0}\cdot f(a^{-1})= f(a) f(a^{-1})= \bold{1}\,.

Это значит, что для любого a\in G выполняется соотношение a(\ker f)a^{-1}\subseteq\ker f, а, согласно теореме 2.18, \ker f — нормальный делитель.




Пусть \mathcal{H}=(H,\cdot,\bold{1}) — нормальный делитель группы \mathcal{G}= (G,\cdot,\bold{1}). Рассмотрим множество всех левых смежных классов \{aH\colon\,a\in G\}. Это будет не что иное, как фактор-множество множества G по определенному выше (см. теорему 2.11) отношению эквивалентности \sim_{H}.


Введем операцию умножения на множестве всех левых смежных классов следующим образом: произведением aH\cdot bH классов aH и bH назовем класс abH.


Это определение корректно, так как множество aH\cdot bH, т.е. множество всех произведений вида ahbh_1 для различных h,h_1\in H, в силу того что Hb=bH для всякого b\in G, совпадает с левым смежным классом abH. Действительно, поскольку hb=bh' для некоторого h'\in H, то ahbh_1=abh'h_1\in abH.


Теперь рассмотрим некоторый a\in abH, т.е. x=abh для некоторого h\in H_1. Поскольку bh=h'b для некоторого h'\in H, то x=ah'b= ah'b\bold{1}\in aHbH. Следовательно, aH\cdot bH=abH.


Можно далее легко показать, что для каждого a\in G имеют место


aH\cdot H=H\cdot aH=aH и aH\cdot a^{-1}H= a^{-1}H\cdot aH=H.

Тем самым определена группа, носителем которой является фактор-множество G/\sim_{H} множества G по отношению эквивалентности \sim_{H} с операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы \mathcal{H}, а обратным к левому смежному классу aH будет левый смежный класс a^{-1}H. Эту группу называют фактор-группой группы \mathcal{G} по нормальному делителю \mathcal{H} и обозначают \mathcal{G}/ \mathcal{H}. Можно указать естественный гомоморфизм f группы \mathcal{H} в фактор-группу \mathcal{G}/\mathcal{H}, который вводится согласно правилу: (\forall c\in G)(f(x)=xH). Так как xH\cdot yH= xyH, то для любых x,y\in G имеем


f(x\cdot y)= xyH= xH\cdot yH= f(x)\cdot f(y)

и f — действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы \mathcal{G} в фактор-группу \mathcal{G}/\mathcal{H}.




Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу \mathbb{R}= (\mathbb{R},+,0) действительных чисел. Эта группа коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруппа будет нормальным делителем. Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел \mathbb{Z}= (\mathbb{Z},+,0) (аддитивная группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: \mathbb{R} и \mathbb{Z} соответственно.)


Выясним смысл отношения эквивалентности \sim_{\mathbb{Z}}, определяемого через равенство левых смежных классов, по подгруппе \mathbb{Z} в этом случае.


Равенство левых смежных классов a+\mathbb{Z}= b+\mathbb{Z} означает, что для любого целого m найдется такое целое n, что a+m=b+n, то есть a-b=n-m\in \mathbb{Z}. Обратно, если разность a-b есть целое число, т.е. a-b=n\in \mathbb{Z}, то a+\mathbb{Z}= (b+n)+\mathbb{Z}= b+\mathbb{Z}. Итак, a\sim_{\mathbb{Z}}b тогда и только тогда, когда a-b\in \mathbb{Z}, или, иначе говоря, действительные числа a и b эквивалентны по \sim_{\mathbb{Z}} тогда и только тогда, когда их дробные части равны.


Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа \mathbb{R}/\mathbb{Z} группы \mathbb{R} по нормальному делителю \mathbb{Z} строится так: сумма классов a+\mathbb{Z} и b+\mathbb{Z} равна классу (a+b)+\mathbb{Z}. Вводя обозначение a+\mathbb{Z}=[a], получаем [a]+[ b ]=[a+b]. При этом [0]=\mathbb{Z} (т.е. единица фактор-группы — это смежный класс нуля — множество всех целых чисел), причем -[a]=[-a]=(-a)+\mathbb{Z}. Обратим внимание на то, что смежный класс числа a однозначно определяется его дробной частью <x> (см. пример 1.14.6), то есть [x]=[<x>]. Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: x\mapsto[x].


б. Рассмотрим теперь аддитивную группу действительных чисел по модулю 1, т.е. группу \mathbf{S}^1=([0;1),\oplus_{1},0), заданную на полуинтервале [0;1), сложение в которой определяется так: x\oplus_{1}y=<x+y> (дробная часть суммы x+y). Другими словами,


x\oplus_{1}y= \begin{cases}x+y,& \text{if}\quad x+y \leqslant 1;\\ x+y-1,& \text{if}\quad x+y \geqslant 1.\end{cases}

Докажем, что группа \mathbf{S}^1 изоморфна фактор-группе \mathbb{R}/ \mathbb{Z}, то есть \mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong\mathbf{S}^1.


Зададим отображение \varphi множества \{[a]\colon\, a\in \mathbb{R}\} смежных классов в полуинтервал [0;1) так, что \varphi([x])=<x>. Поскольку [x]=[<x>], то \varphi — биекция и, кроме того,


\varphi\bigl([x]+[y]\bigr)= \varphi\bigl([x+y]\bigr)= <x+y>= <<x>+<y>>= <x>\oplus_{1}<y>= \varphi([x])\oplus_{1}\varphi([y]).

Это значит, что \varphi — изоморфизм \mathbb{R}/ \mathbb{Z} на \mathbf{S}^1.


Группу \mathbf{S}^1 можно воспринимать как "наглядный образ" фактор-группы \mathbb{R}/ \mathbb{Z}. Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллизуется в виде группы с носителем [0;1) и операцией сложения неотрицательных действительных чисел, строго меньших единицы, с отбрасыванием в результате целой части. Здесь хорошо видна "польза" понятия изоморфизма. То, что само по себе не очень наглядно, становится наглядным через свой изоморфный образ.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved