Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Гомоморфизмы алгебраических систем

Гомоморфизмы алгебраических систем


Пусть [math]\mathcal{A}=(A,\Omega,\Pi)[/math] и [math]\mathcal{B}=(B,\Omega,\Pi)[/math] — две однотипные алгебраические системы.


Отображение [math]h\colon A\to B[/math] называют гомоморфизмом алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math] в алгебраическую систему [math]\mathcal{B}[/math], если выполняются следующие условия:


1) для любой n-арной операции [math]\omega~(n\geqslant0)[/math] и любых элементов [math]a_1,\ldots,a_n\in A[/math]


[math]h(a_1\ldots a_n\omega)= h(a_1)\ldots h(a_n)\omega\,;[/math]

2) для любого n-арного отношения [math]\pi~(n\geqslant1)[/math] и любых элементов [math]a_1,\ldots,a_n\in A[/math] из того, что [math](a_1,\ldots,a_n)\in\pi[/math], следует, что [math](h(a_1),\ldots,h(a_n))\in\pi[/math].


Мы будем использовать обозначение [math]h\colon \mathcal{A}\to \mathcal{B}[/math] для отображения [math]h[/math], являющегося гомоморфизмом алгебраической системы [math]\mathcal{A}= (A,\Omega, \Pi)[/math] в алгебраическую систему [math]\mathcal{B}= (B,\Omega, \Pi)[/math].


В определении гомоморфизма первое условие, которое можно рассматривать как условие "сохранения операций", означает следующее. Если отображение [math]h[/math] — гомоморфизм, то, вычисляя образ результата применения любой операции [math]\omega\in\Omega[/math] к любому кортежу аргументов из носителя алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math], т.е. образ произвольного элемента [math]a_1\ldots a_n\omega[/math], мы можем сначала определить образ каждого из аргументов и уже к ним, т.е. к элементам [math]h(a_1),\ldots,h(a_n)[/math], на носителе алгебраической системы [math]\mathcal{B}[/math] применить рассматриваемую операцию (точнее, операцию второй алгебраической системы, которая соответствует операции [math]\omega[/math]; напомним, что соответствующие друг другу операции и отношения однотипных алгебраических систем мы договорились обозначать одинаково). Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 4.2.


Гомоморфизм алгебраических систем

Второе условие в определении гомоморфизма выражает "сохранение отношений": если элементы [math]a_1,\ldots,a_n[/math] первой алгебраической системы связаны отношением [math]\rho[/math], т.е. [math](a_1,\ldots,a_n)\in\pi[/math], то их образы [math]h(a_1),\ldots,h(a_n)[/math] при гомоморфизме [math]h[/math] связаны "тем же"* отношением во второй алгебраической системе, т.е. [math](h(a_1),\ldots,h(a_n))\in\pi[/math].


*Точнее, так же обозначенным. Заключая слова "тем же" в кавычки, мы еще раз подчеркиваем условность одинакового обозначения операции и отношений однотипных алгебраических систем.


Заметим сразу, что из того, что [math](h(a_1),\ldots,h(a_n))\in\pi[/math], не следует, вообще говоря, что [math](a_1,\ldots,a_n)\in\pi[/math]. Если же это имеет место, т.е. для всякого n-арного отношения [math]\pi~(n\geqslant1)[/math] и любых [math]a_1,\ldots,a_n\in A~ (a_1,\ldots,a_n)\in\pi[/math] тогда и только тогда, когда [math](h(a_1),\ldots,h(a_n))\in\pi[/math], то такой гомоморфизм называют строгим гомоморфизмом.


Если строгий гомоморфизм алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math] в алгебраическую систему [math]\mathcal{B}[/math] является биекцией [math]A\to B[/math], то его называют изоморфизмом. Из определения изоморфизма следует, что для изоморфизма [math]h\colon \mathcal{A}\to \mathcal{B}[/math] обратное отображение [math]h^{-1}\colon \mathcal{A}\to \mathcal{B}[/math] также является изоморфизмом. В этом случае алгебраические системы [math]\mathcal{A}[/math] и [math]\mathcal{B}[/math] называют изоморфными и пишут [math]\mathcal{A}\cong\mathcal{B}[/math]. Если алгебраические системы интересуют нас лишь со стороны свойств их операций и отношений, то изоморфные алгебраические системы в этом смысле не различимы, и тогда говорят о совпадении алгебраических систем с точностью до изоморфизма.


Если гомоморфизм является инъекцией, то его называют мономорфизмом или вложением. В том случае, когда существует вложение алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math] в алгебраическую систему [math]\mathcal{B}[/math], которое является также строгим гомоморфизмом, то говорят, что первая алгебраическая система изоморфно вкладывается во вторую.


Если гомоморфизм [math]h\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}[/math] является сюръекцией, то его называют эпиморфизмом [math]\mathcal{A}[/math] на [math]\mathcal{B}[/math]. При эпиморфизме носитель алгебраической системы [math]\mathcal{B}[/math] совпадает с образом носителя алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math] при отображении [math]h[/math], то есть [math]B=h(A)[/math]. В этом случае говорят также, что алгебраическая система [math]\mathcal{B}[/math] является гомоморфным образом системы [math]\mathcal{A}[/math] при гомоморфизме [math]h[/math], и записывают это как [math]\mathcal{B}=h(\mathcal{A})[/math].


Гомоморфизм алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math] в себя называют эндоморфизмом алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math]. Эндоморфизм, являющийся изморфизмом, называют автоморфизмом.


Легко доказать следующее утверждение.


Теорема 4.2. Если [math]h\colon \mathcal{A}\to \mathcal{B}[/math] и [math]g\colon \mathcal{B}\to \mathcal{D}[/math] — гомоморфизмы, то композиция [math]h\circ g\colon \mathcal{A}\to \mathcal{D}[/math] — тоже гомоморфизм.


Ранее мы достаточно подробно обсудили понятие гомоморфизма для алгебр — групп и колец. Заметим, что для алгебр любой гомоморфизм является строгим, так как сигнатура алгебры включает только операции и условие 2 в определении гомоморфизма для нее не рассматривается. Приведем некоторые дополнительные примеры гомоморфизмов.




Пример 4.6. а. Рассмотрим левый [math]\mathcal{R}[/math]-модуль [math]\mathcal{M}= \bigl(M,+,\{\omega_{\alpha}\colon\, \alpha\in R\},\bold{0}\bigr)[/math] как алгебраическую систему, сигнатура которой помимо групповой операции сложения и нуля группы [math]\bold{0}[/math] содержит и унарные операции умножения элементов группы на элементы кольца [math]\mathcal{R}[/math] (мощность множества этих операций равна мощности [math]|R|[/math] носителя [math]R[/math] кольца [math]\mathcal{R}[/math]). Гомоморфизм [math]h\colon \mathcal{M}_1\to \mathcal{M}_2[/math] этих [math]\mathcal{R}[/math]-модулей есть такое отображение, что для всех [math]x,y\in M[/math] и всех [math]\alpha\in R[/math] имеем


[math]h(x+y)= h(x)+h(y),\qquad h(\omega_{\alpha}(x))= \omega_{\alpha}(h(x)).[/math]

Используя вместо выражения [math]\omega_{\alpha}(x)[/math] более привычную запись [math]\alpha\circ x[/math], приведенные выше условия представим в виде


[math]h(x+y)= h(x)+h(y),\qquad h(\alpha\circ x)=\alpha\circ h(x).[/math]

В случае линейного пространства над полем отображение, удовлетворяющее этим условиям, есть не что иное, как линейный оператор. Таким образом, линейные операторы суть гомоморфизмы линейных пространств.


б. Для линейного пространства отображение, сопоставляющее каждому вектору [math]\boldsymbol{x}[/math] вектор [math]\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}[/math] для фиксированного ненулевого вектора [math]\boldsymbol{a}[/math], не является линейным оператором и, следовательно, не является гомоморфизмом заданного линейного пространства в себя. Действительно, для любого гомоморфизма модулей (и линейных пространств, в частности) образ нулевого вектора есть нулевой вектор. Здесь же [math]\bold{0}\mapsto a\ne\bold{0}[/math].


в. Пусть [math]\mathcal{A}=(A,\rho)[/math] и [math]\mathcal{B}=(B,\rho)[/math] — .модели с одним бинарным отношением. Отображение [math]h\colon A\to B[/math] будет гомоморфизмом первой модели во вторую, согласно с общим определением, тогда и только тогда, когда для любых [math]x,y\in A[/math] из [math]x\,\rho\,y[/math] следует [math]h(x)\,\rho\,h(y)[/math]. В частности, если [math]\rho[/math] — отношение порядка, то получаем [math]x\leqslant y\Rightarrow h(x)\leqslant h(y)[/math].


Таким образом, гомоморфизмы упорядоченных множеств — это монотонные отображения. На рис. 4.3 в виде диаграмм Хассе изображены четыре упорядоченных множества. Множество [math]B[/math] является гомоморфным образом множества [math]A[/math], но не является его строгим гомоморфным образом; множество [math]C[/math] есть строгий гомоморфный образ множества [math]A[/math]; наконец, множество [math]D[/math] не является гомоморфным образом множества [math]A[/math].


Диаграммы Хассе четырёх упорядоченных множеств



Cвязь между гомоморфизмом и фактор-системой


Установим теперь связь между понятием гомоморфизма и понятием фактор-системы. Доказываемые ниже результаты конкретизируют для алгебраических систем связь между понятием отображения и понятием отношения эквивалентности.


Теорема 4.3. Для любой конгруэнции [math]\rho[/math] на алгебраической системе [math]\mathcal{A}=(A,\Omega,\Pi)[/math] каноническая сюръекция [math]h_{\rho}[/math] множества [math]A[/math] является строгим эпиморфизмом алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math] на ее фактор-систему [math]\mathcal{A}/\rho[/math].


Для канонической сюръекции задается [math]h_{\rho}[/math]. Имеем [math]h_{\rho}(x)= [x]_{\rho][/math] (для произвольного [math]x\in A[/math]). В силу определения конгруэнции для произвольных n-арной операции [math]\omega[/math] и n-арного отношения [math]\pi[/math] и любых [math]a_1,\ldots,a_n\in A[/math], согласно определению операций и отношений на фактор-множестве [math]\mathcal{A}/\rho[/math], имеем


[math]\begin{gathered} h_{\rho}(a_1\ldots a_n\omega)= [a_1\ldots a_n\omega]_{\rho}= [a_1]_{\rho}\ldots[a_n]_{\rho}\omega= h_{\rho}(a_1)\ldots h_{\rho}(a_n)\omega\,,\\[2pt] (a_1, \ldots, a_n)\in\pi\quad \Leftrightarrow\quad ([a_1]_{\rho}\ldots[a_n]_{\rho})\in\pi\,, \end{gathered}[/math]

откуда и следует, что [math]h_{\rho}[/math] — строгий гомоморфизм.




Ввиду теоремы 4.3 каноническую сюръекцию [math]h_{\rho}[/math] (для конгруэнции [math]\rho[/math]) можно назвать каноническим гомоморфизмом алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math].


Справедлива теорема, обратная теореме 4.3.


Теорема 4.4. Для любого строгого гомоморфизма [math]h\colon \mathcal{A}\to \mathcal{B}[/math] отношение [math]\rho_{h}[/math] на носителе [math]A[/math] алгебраической системы [math]\mathcal{A}[/math], определенное так, что [math]x\,\rho_{h}\,y \Leftrightarrow h(x)=h(y)[/math] для любых [math]x,y\in A[/math], является конгруэнцией, причем имеет место изоморфизм [math]h(\mathcal{A})\cong \mathcal{A}/\rho_{h}[/math].


Пусть [math]h\colon \mathcal{A}\to \mathcal{B}[/math] — гомоморфизм, тогда [math]\rho_{h}[/math] — эквивалентность.


Введем отображение [math]i\colon \mathcal{A}/\rho_{h}\to h(A)[/math], полагая [math]i([a]_{\rho_h})= h(a)[/math]. Это действительно отображение, так как эквивалентные элементы множества [math]A[/math] имеют один и тот же образ. Поскольку неэквивалентные элементы имеют разные образы, то [math]i[/math] — инъекция. Очевидно, что [math]i[/math] является сюръекцией. Следовательно, [math]i[/math] — биекция.


Далее, если [math]a_1\,\rho_{h}\,b_1,\,\ldots,\, a_n\,\rho_{h}\,b_n[/math], то


[math]h(a_1\ldots a_n\omega)= h(a_1)\ldots h(a_n)\omega= h(b_1)\ldots h(b_n)\omega= h(b_1\ldots b_n\omega),[/math]

то есть [math]a_1,\ldots,a_n\omega\,\rho_{h}\,b_1\ldotsb_n\omega[/math] для любой n-арной операции [math]\omega[/math]. Точно так же


[math](a_1,\ldots,a_n)\in\pi~ \Rightarrow~ \bigl(h(a_1),\ldots,h(a_n)\bigr)\in\pi~ \Rightarrow~ \bigl(h(b_1),\ldots,h(b_n \bigr)\in\pi~ \Rightarrow~ (b_1,\ldots,b_n)\in\pi\,,[/math]

причем последняя импликация справедлива в силу того, что [math]h[/math] — строгий гомоморфизм.


Итак, [math]\rho_h[/math] — конгруэнция на [math]A[/math]. Остается доказать, что имеет место изоморфизм [math]h(\mathcal{A})\simeq\mathcal{A}/\rho_{h}[/math].


Далее, если [math]\omega\in\Omega^{(n)}[/math], то


[math]\begin{aligned} i\bigl([a_1]_{\rho_h},\ldots, [a_n]_{\rho_h}\omega\bigr)&= i\bigl([a_1\ldots a_n\omega]_{\rho_h}\bigr)= h(a_1\ldots a_n\omega)=\\[2pt] &= h(a_1)\ldots h(a_n)\omega= i\bigl([a_1]_{\rho_h}\bigr)\ldots i\bigl([a_n]_{\rho_h}\bigr)\omega\,,\end{aligned}[/math]
то есть [math]i[/math] "сохраняет" операции.

Рассуждая аналогично, можно доказать, что [math]i[/math] "сохраняет" и отношения как любой гомоморфизм, и, более того, поскольку [math]h[/math] - строгий гомоморфизм, то для любого отношения


[math]\begin{aligned} \bigl(i([a_1]_{\rho_h}),\ldots,i([a_n]_{\rho_h})\bigr)\in\pi~ &\Rightarrow~ \bigl(h(a_1),\ldots,h(a_n)\bigr)\in\pi~ \Rightarrow (a_1,\ldots,a_n)\in\pi~ \Rightarrow\\[2pt] &\Rightarrow~ \bigl([a_1]_{\rho_h},\ldots,[a_n]_{\rho_h}\bigr)\in\pi\,,\end{aligned}[/math]

и, следовательно, [math]i[/math] — изоморфизм [math]\mathcal{A}/\rho_{h}[/math] на [math]h(\mathcal{A})[/math] (и вложение [math]\mathcal{A}/\rho_{h}[/math] в [math]\mathcal{B}[/math]).


Таким образом, любой гомоморфный образ алгебраической системы совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой ее фактор-системой.




Пример 4.7. Требование строгости гомоморфизма в теореме 4.4 является существенным. В примере 4.4.д монотонное отображение [math]f[/math] не определяет конгруэнции на упорядоченном множестве [math]\mathcal{A}[/math], так как не является строгим гомоморфизмом (см. пример 4.6.в).


Из теоремы 4.4 вытекает, что любой строгий гомоморфизм [math]h\colon \mathcal{A}\to \mathcal{B}[/math] можно разложить в композицию канонического гомоморфизма [math]\mathcal{A}[/math] на [math]\mathcal{A}/\rho_h[/math] и мономорфизма [math]\mathcal{A}/\rho_h[/math] в [math]\mathcal{B}[/math] (который будет изоморфизмом [math]\mathcal{A}/\rho_h\cong h(\mathcal{A})[/math]).


Применяя доказанные теоремы 4.3 и 4.4 к частному случаю алгебраических систем — алгебрам, получаем следствие.


Следствие 4.1. 1. Любой гомоморфизм [math]h[/math] алгебры [math]\mathcal{A}=(A,\Omega)[/math] однозначно определяет конгруэнцию [math]\rho_h[/math] на [math]A[/math], такую, что [math]h(\mathcal{A}\cong \mathcal{A}/\rho_h[/math].


2. Любая конгруэнция [math]\rho[/math] на алгебре [math]\mathcal{A}=(A,\Omega)[/math] однозначно определяет некоторый гомоморфизм [math]h_{\rho}[/math] данной алгебры на фактор-алгебру [math]\mathcal{A}/\rho_h[/math].


Применим полученные результаты к теории групп. Докажем, что фактор-группа заданной группы по нормальному делителю совпадает с фактор-алгеброй указанной группы по некоторой конгруэнции.


Прежде всего заметим, что поскольку фактор-алгебра любой группы (по любой конгруэнции) изоморфна некоторому гомоморфному образу этой группы, а гомоморфный образ всякой группы является группой, то фактор-алгебра группы по любой конгруэнции есть группа.


Докажем теперь следующую теорему.


Теорема 4.5. Пусть [math]\mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1})[/math] — произвольная группа и [math]\rho[/math] — конгруэнция на ней. Тогда фактор-группа [math]\mathcal{G}/\rho[/math] совпадает с фактор-группой [math]\mathcal{G}/\mathcal{H}[/math] по некоторому нормальному делителю [math]\mathcal{H}[/math] группы [math]\mathcal{G}[/math].


Рассмотрим канонический гомоморфизм [math]h_{\rho}[/math] группы [math]\mathcal{G}[/math]. Его ядром является множество всех элементов, эквивалентных (по конгруэнции [math]\rho[/math]) единице группы. Но поскольку, согласно теореме 2.19, ядро каждого гомоморфизма групп есть нормальный делитель, то множество [math][\bold{1]_{\rho}[/math] (класс эквивалентности единицы группы) является нормальным делителем (точнее, нормальным делителем будет подгруппа, носителем которой является множество [math][\bold{1}]_{\rho}[/math].). Этот нормальный делитель, обозначаемый далее [math]\mathcal{H}[/math], будучи классом эквивалентности единицы группы [math]\mathcal{G}[/math], является единицей фактор-группы [math]\mathcal{G}/\rho[/math] и фактор-группы [math]\mathcal{G}/\mathcal{H}[/math]. Осталось показать, что произвольный левый смежный класс [math]a[\bold{1}]_{\rho}[/math] совпадает с классом эквивалентности элемента [math]a\in G[/math]. Для всякого элемента [math]y[/math] этого класса имеем [math]y=ax[/math] для некоторого [math]x\rho\bold{1}[/math]. Тогда, так как [math]\rho[/math] - конгруэнция, получим


[math][y]_{\rho}= [ax]_{\rho}= [a]_{\rho}[x]_{\rho}= [a]_{\rho}[\bold{1}]_{\rho}= [a]_{\rho}\,,[/math] откуда [math]a[\bold{1}]_{\rho}= [a]_{\rho}[/math].

Итак, каждый левый смежный класс по нормальному делителю [math]\mathcal{H}[/math] является одновременно классом эквивалентности по исходной конгруэнции [math]\rho[/math], а группы [math]\mathcal{G}/\rho[/math] и [math]\mathcal{G}/\mathcal{H}[/math] совпадают.


Таким образом, имеет место взаимно однозначное соответствие между конгруэнциями на группе и нормальными делителями этой группы, и каждая фактор-группа по конгруэнции является в то же время и фактор-группой по нормальному делителю, и наоборот.


Важным результатом для групп является и следующая теорема.


Теорема 4.6. Ядрами гомоморфизмов групп служат нормальные делители, и только они.


То, что ядро гомоморфизма групп есть нормальный делитель, доказано выше. Наоборот, если [math]\mathcal{H}[/math] — нормальный делитель [math]\mathcal{G}[/math], то отношение [math]\sim_{H}[/math] — конгруэнция, а множество [math]H[/math] — ядро соответствующего канонического гомоморфизма.




В силу установленной связи между фактор-системами и гомоморфизмами можно утверждать, что фактор-алгебра любого кольца по любой конгруэнции на этом кольце является кольцом. Естественно назвать его фактор-кольцом (по заданной конгруэнции).


Пример 4.8. Как уже было показано в примере 4.4.6, отношение [math]=_{k}[/math] есть конгруэнция на кольце целых чисел. Можно доказать, что фактор-кольцо кольца целых чисел по этой конгруэнции изоморфно кольцу [math]\mathbb{Z}_k[/math] вычетов по модулю [math]k[/math], поскольку соответствующий канонический гомоморфизм сопоставляет каждому целому числу [math]m\in\mathbb{Z}[/math] его класс эквивалентности [math][m]=_{k}[/math] и существует естественное, сохраняющее операции взаимно однозначное соответствие между множеством этих классов (т.е. фактор-множеством [math]\mathbb{Z}/=_{(\operatorname{mod}k)}[/math] и множеством [math]\{0,1,\ldots,k-1\}[/math] остатков от деления на [math]k[/math] (см. также пример 2.25).




В заключение докажем три теоремы, которые описывают с точностью до изоморфизма все полугруппы, группы и кольца.


Будем говорить, что полугруппа [math]\mathcal{S}=(S,\cdot)[/math] изоморфно вкладывается в моноид [math]\mathcal{M}=(M,\cdot,1)[/math], если существует мономорфизм [math]\mathcal{S}[/math] в [math]\mathcal{M}[/math], т.е. если образ полугруппы [math]\mathcal{S}[/math] при этом мономорфизме является некоторой подполугруппой (но, вообще говоря, не подмоноидом) моноида [math]\mathcal{M}[/math].


Например, полугруппа [math]((0;1),\cdot)[/math] изоморфно вкладывается в моноид [math]((0;1], \cdot,1)[/math], где операция — обычное умножение чисел.


Теорема 4.7. Любая полугруппа изоморфно вкладывается в некоторый моноид.


Пусть [math]\mathcal{S}=(S,\cdot)[/math] — полугруппа, не являющаяся моноидом (так как иначе она тривиально вкладывается сама в себя). Пусть [math]\{\varepsilon\}[/math] — произвольное одноэлементное множество, не пересекающееся с [math]S[/math]. Определим на множестве [math]S\cup\{\varepsilon\}[/math] операцию [math]\cdot[/math] следующим образом: на [math]S[/math] операция [math]\cdot[/math] совпадает с операцией полугруппы [math]\mathcal{S}[/math], а для каждого [math]a\in S\cup\{\varpsilon\}[/math] она удовлетворяет соотношениям [math]a\cdot \varepsilon= \varepsilon\cdot a=a[/math]. Очевидно, что [math]\mathcal{M}=(S\cup\varepsilon,\cdot,\varepsilon)[/math] — требуемый моноид.


Теорема 4.8. Любой моноид изоморфно вкладывается в симметрический моноид некоторого множества [math]A[/math].


Пусть [math]\mathcal{S}=(S,\cdot,1)[/math] — моноид. Сопоставим каждому [math]a\in S[/math] преобразование [math]f_{a}\colon x\mapsto x\cdot a[/math] (правый сдвиг на [math]a[/math]) множества [math]S[/math]. Отображение [math]a\mapsto f_a[/math] множества [math]S[/math] в множество всех преобразований [math]S[/math] инъективно, поскольку если [math]a\ne b[/math], то [math]f_a(1)\ne f_b(1)[/math] и [math]f_a\ne f_b[/math]. Далее, если [math]c=a\cdot b[/math], то


[math]f_{ab}(x)= x\cdot c=x(ab)= (xa)b= f_{b}(f_{a}(x))= (f_a\circ f_b)(x).[/math]

Итак, [math]a\mapsto f_a[/math] есть мономорфизм [math]\mathcal{S}[/math] в симметрический моноид множества [math]A[/math].




Теорема Кэли


Теорема 4.9 (теорема Кэли). Любая группа изоморфно вкладывается в симметрическую группу некоторого множества А.


Если [math]\mathcal{S}=(S,\cdot,1)[/math] — группа, то введенное в доказательстве теоремы 4.8 преобразование [math]f_a\colon x\mapsto x\cdot a[/math] множества [math]\mathcal{S}[/math] будет уже биекцией. Чтобы это доказать, достаточно построить отображение, обратное [math]f_a[/math]. Действительно, сдвиг [math]f_{a^{-1}}[/math] на [math]a^{-1}[/math] будет отображением, обратным сдвигу на [math]a:[/math]


[math]f_{a^{-1}}(f_a(x))= (x\cdot a)\cdot a^{-1}= x\cdot (a\cdot a^{-1})= x\cdot 1=x\,.[/math]

Точно так же и [math]f_a(f_{a^{-1}}(x))=x[/math]. Из доказанного следует, что множество всех правых сдвигов множества [math]S[/math] образует по операции композиции группу, являющуюся подгруппой симметрической группы множества [math]S[/math].


Из доказательства теоремы 4.8 заключаем, что отображение [math]a\mapsto f_a[/math], сопоставляющее каждому элементу [math]a[/math] множества [math]S[/math] (носителя моноида [math]\mathcal{S}[/math]) сдвиг на [math]a[/math], инъективно и является, более того, мономорфизмом моноида [math]\mathcal{S}[/math] в симметрический моноид множества [math]S[/math]. Но поскольку, как мы только что показали, в том случае, когда моноид [math]\mathcal{S}[/math] является группой, для любого [math]a\in S[/math] выполняется равенство [math]f_{a^{-1}}(x)= f_{a}^{-1}(x)[/math], то данный мономорфизм отображает элемент, обратный к [math]a[/math], в сдвиг, обратный сдвигу [math]f_a[/math]. Тем самым он оказывается уже мономорфизмом группы [math]\mathcal{S}[/math] в группу всех подстановок множества [math]S[/math] (и изоморфизмом на подгруппу всех правых сдвигов множества [math]S[/math]), т.е. изоморфным вложением первой группы во вторую.




Пусть [math]\mathcal{K}=(K,+,\bold{0})[/math] — абелева группа. На множестве [math]\operatorname{End}(\mathcal{K})[/math] всех эндоморфизмов группы [math]\mathcal{K}[/math] можно определить структуру кольца следующим образом. Умножение эндоморфизмов определим как их композицию, а сложение — так, что для любого [math]x\in K[/math] выполнено равенство [math](f+g)(x)=f(x)+g(x)[/math].


Введем также нулевой эндоморфизм [math]O[/math], для всех [math]x[/math] положив [math]O(x)=O[/math], и каждому эндоморфизму [math]f[/math] сопоставим противоположный эндоморфизм [math](-f)[/math], для каждого [math]x[/math] положив [math](-f)(x)=-f(x)[/math].


Можно доказать, что тем самым действительно определено кольцо (проверив все аксиомы кольца). Его называют кольцом эндоморфизмов абелевой группы [math]\mathcal{K}[/math].


Теорема 4.10. Любое кольцо изоморфно вкладывается в кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой группы.


Доказательство этой теоремы проводится по аналогии с доказательствами теорем 4.8 и 4.9. Искомое вложение определяется следующим образом: пусть [math]\mathcal{R}=(R,+,\cdot,\bold{0},1)[/math] — кольцо. Для любого [math]r\in R[/math] положим [math]f_r(x)=x\cdot r[/math]. Тогда отображение [math]r\mapsto f_r[/math] есть требуемое вложение, причем в качестве абелевой группы выступает аддитивная группа кольца [math]\mathcal{R}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved