Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Гиперболоиды

Гиперболоиды


Определение гиперболоида


Однополостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] каноническим уравнением


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.[/math]
(4.48)

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] каноническим уравнением


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1.[/math]
(4.49)

В уравнениях (4.48), (4.49) [math]a,b,c[/math] — положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем [math]a\geqslant b[/math].


Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки [math](\pm a,0,0),[/math] [math](0,\pm b,0)[/math] однополостного гиперболоида (4.48) и две точки [math](0,0,\pm c)[/math] двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям [math]Ox,\,Oy[/math], называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат [math]Oz[/math], — продольной осью гиперболоидов. Числа [math]a,\,b,\,c[/math], равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.




Плоские сечения однополостного гиперболоида


Подставляя [math]z=0[/math] в уравнение (4.48), получаем уравнение [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью [math]Oxy[/math]. Это уравнение в плоскости [math]Oxy[/math] определяет эллипс, который называется горловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например, при [math]x=0[/math] получаем главную гиперболу [math]\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{z^2}=1[/math], а при [math]y=0[/math] — главную гиперболу [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1[/math]


Рассмотрим теперь сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости [math]Oxy[/math]. Подставляя [math]z=h[/math], где [math]h[/math] — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2}.[/math]

При любом значении параметра [math]h[/math] уравнение определяет эллипс [math]\frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1[/math] с полуосями [math]a'=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}},[/math] [math]b'=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}},[/math]. Следовательно, сечение однополостного гиперболоида плоскостью [math]z=h[/math] представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — на главных гиперболах. Среди всех эллипсов, получающихся в сечениях плоскостями [math]z=h[/math] при различных значениях параметра [math]h[/math], горловой эллипс (при [math]h=0[/math]) является эллипсом с наименьшими полуосями.


Таким образом, однополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.42,а)


Однополостный гиперболоид вращения и его сечения



Плоские сечения двуполостного гиперболоида


Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями [math]Oyz[/math] и [math]Oxz[/math] представляют собой гиперболы (главные гиперболы).


Рассмотрим теперь сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости [math]Oxy[/math]. Подставляя [math]z=h[/math], где [math]h[/math] — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.49), получаем


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2}-1.[/math]

При [math]|h|<c[/math] уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость [math]z=h[/math] не пересекает двуполостный гиперболоид. При [math]h=\pm c[/math] уравнение имеет нулевое решение [math]x=y=0[/math]. Следовательно, плоскости [math]z=\pm c[/math] касаются двуполостного гиперболоида в его вершинах [math](0,0,\pm c)[/math]. При [math]|h|>c[/math] получаем уравнение эллипса [math]\frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1[/math] с полуосями [math]a'=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1},[/math] [math]b'=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}[/math]. Следовательно, сечение двуполостного гиперболоида плоскостью [math]z=h[/math] при [math]|h|>c[/math] представляет собой эллипс с центром на оси аппликат, вершины которого лежат на главных гиперболах.


Таким образом, двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,а).




Гиперболоиды вращения


Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны [math](a=b)[/math], называется гиперболоидом вращения. Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями [math]z=h[/math] (для двуполостного гиперболоида при [math]|h|>c[/math]) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси [math]Oz[/math] гиперболу [math]\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1[/math] (рис.4.42,б) или сопряженную гиперболу [math]\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1[/math] (рис.4.43,б) соответственно. Заметим, что уравнение последней можно записать в форме [math]-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/math].


Гиперболоид, у которого поперечные оси различны [math](a\ne b)[/math], называется трехосным (или общим).


Двуполостный гиперболоид вращения и его сечения



Замечания 4.9


1. Плоскости х [math]x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c[/math] определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед, вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,в). Две грани [math](z=\pm c)[/math] параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах.


2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя [math]x=\pm a[/math] в уравнение (4.48), получаем уравнение [math]\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0[/math] двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).


3. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,в). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендикулярной).


4. Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси — осями симметрии гиперболоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии гиперболоида.


В самом деле, если точка [math]M(x,y,z)[/math] принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами [math](\pm x,\pm y,\pm z)[/math] при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved