Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Гиперболоиды: однополостный и двуполостный

Гиперболоиды: однополостный и двуполостный


Определение гиперболоида


Однополостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением


\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.
(4.48)

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением


\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1.
(4.49)

В уравнениях (4.48), (4.49) a,b,c — положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем a\geqslant b.


Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) однополостного гиперболоида (4.48) и две точки (0,0,\pm c) двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям Ox,\,Oy, называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат Oz, — продольной осью гиперболоидов. Числа a,\,b,\,c, равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.




Плоские сечения однополостного гиперболоида


Подставляя z=0 в уравнение (4.48), получаем уравнение \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью Oxy. Это уравнение в плоскости Oxy определяет эллипс, который называется горловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например, при x=0 получаем главную гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{z^2}=1, а при y=0 — главную гиперболу \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1


Рассмотрим теперь сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Подставляя z=h, где h — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем


\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2}.

При любом значении параметра h уравнение определяет эллипс \frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1 с полуосями a'=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}, b'=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}},. Следовательно, сечение однополостного гиперболоида плоскостью z=h представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — на главных гиперболах. Среди всех эллипсов, получающихся в сечениях плоскостями z=h при различных значениях параметра h, горловой эллипс (при h=0) является эллипсом с наименьшими полуосями.


Таким образом, однополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.42,а)


Однополостный гиперболоид вращения и его сечения



Плоские сечения двуполостного гиперболоида


Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями Oyz и Oxz представляют собой гиперболы (главные гиперболы).


Рассмотрим теперь сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Подставляя z=h, где h — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.49), получаем


\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2}-1.

При |h|<c уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость z=h не пересекает двуполостный гиперболоид. При h=\pm c уравнение имеет нулевое решение x=y=0. Следовательно, плоскости z=\pm c касаются двуполостного гиперболоида в его вершинах (0,0,\pm c). При |h|>c получаем уравнение эллипса \frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1 с полуосями a'=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}, b'=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}. Следовательно, сечение двуполостного гиперболоида плоскостью z=h при |h|>c представляет собой эллипс с центром на оси аппликат, вершины которого лежат на главных гиперболах.


Таким образом, двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,а).




Гиперболоиды вращения


Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны (a=b), называется гиперболоидом вращения. Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями z=h (для двуполостного гиперболоида при |h|>c) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси Oz гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 (рис.4.42,б) или сопряженную гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 (рис.4.43,б) соответственно. Заметим, что уравнение последней можно записать в форме -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.


Гиперболоид, у которого поперечные оси различны (a\ne b), называется трехосным (или общим).


Двуполостный гиперболоид вращения и его сечения



Замечания 4.9


1. Плоскости x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед, вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,в). Две грани (z=\pm c) параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах.


2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя x=\pm a в уравнение (4.48), получаем уравнение \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).


3. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,в). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендикулярной).


4. Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси — осями симметрии гиперболоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии гиперболоида.


В самом деле, если точка M(x,y,z) принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами (\pm x,\pm y,\pm z) при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно.

Перейти на форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved