Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Гипербола: определение, свойства, построение

Гипербола: определение, свойства, построение


Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек [math]F_1[/math] и [math]F_2[/math] есть величина постоянная [math](2a)[/math], меньшая расстояния [math](2c)[/math] между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы.


Фокальное свойство гиперболы


Точки [math]F_1[/math] и [math]F_2[/math] называются фокусами гиперболы, расстояние [math]2c=F_1F_2[/math] между ними — фокусным расстоянием, середина [math]O[/math] отрезка [math]F_1F_2[/math] — центром гиперболы, число [math]2a[/math] — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, [math]a[/math] — действительной полуосью гиперболы). Отрезки [math]F_1M[/math] и [math]F_2M[/math], соединяющие произвольную точку [math]M[/math] гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки [math]M[/math]. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.


Отношение [math]e=\frac{c}{a}[/math], где [math]c=\sqrt{a^2+b^2}[/math], называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения [math](2a<2c)[/math] следует, что [math]e>1[/math].


Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:


[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.[/math]
(3.50)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр [math]O[/math] гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки [math]F_1[/math] к точке [math]F_2[/math]); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат [math]Oxy[/math] оказалась правой).


Гипербола и фокальное свойство гипербол

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов [math]F_1(-c,0)[/math] и [math]F_2(c,0)[/math]. Для произвольной точки [math]M(x,y)[/math], принадлежащей гиперболе, имеем:


[math]\left||\overrightarrow{F_1M}|-|\overrightarrow{F_2M}|\right|=2a.[/math]

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:


[math]\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a.[/math]

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:


[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\,,[/math]

где [math]b=\sqrt{c^2-a^2}[/math], т.е. выбранная система координат является канонической.


Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.




Директориальное свойство гиперболы


Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии [math]a^2\!\!\not{\phantom{|}}\,c[/math] от нее (рис.3.41,а). При [math]a=0[/math], когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.


Гиперболу с эксцентриситетом [math]e=1[/math] можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки [math]F[/math] (фокуса) к расстоянию до заданной прямой [math]d[/math] (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету [math]e[/math] (директориальное свойство гиперболы). Здесь [math]F[/math] и [math]d[/math] — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.


Директрисы гиперболы и директориальное свойство

В самом деле, например, для фокуса [math]F_2[/math] и директрисы [math]d_2[/math] (рис.3.41,а) условие [math]\frac{r_2}{\rho_2}=e[/math] можно записать в координатной форме:


[math]\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\left(x-\frac{a^2}{c}\right)[/math]

Избавляясь от иррациональности и заменяя [math]e=\frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2[/math], приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса [math]F_1[/math] и директрисы [math]d_1[/math]:


[math]\frac{r_1}{\rho_1}=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{(x+c)^2+y^2}= e\left(x+\frac{a^2}{c} \right).[/math]



Уравнение гиперболы в полярной системе координат


Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат [math]F_2r\varphi[/math] (рис.3.41,б) имеет вид


[math]r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}[/math], где [math]p=\frac{p^2}{a}[/math]фокальный параметр гиперболы.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус [math]F_2[/math] гиперболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке [math]F_2[/math], принадлежащий прямой [math]F_1F_2[/math], но не содержащий точки [math]F_1[/math] (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки [math]M(r,\varphi)[/math], принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем [math]F_1M-r=2a[/math]. Выражаем расстояние между точками [math]M(r,\varphi)[/math] и [math]F_1(2c,\pi)[/math] (см. пункт 2 замечаний 2.8):


[math]F_1M=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi)}=\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.[/math]

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид


[math]\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}-r=2a.[/math]

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:


[math]r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac{c}{a}\cos\varphi\right)r=c^2-a^2.[/math]

Выражаем полярный радиус [math]r[/math] и делаем замены [math]e=\frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=\frac{b^2}{a}[/math]:


[math]r=\frac{c^2-a^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cos\varphi},[/math]

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ([math]e>1[/math] для гиперболы, [math]0\leqslant e<1[/math] для эллипса).




Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы


Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение [math]y=0[/math], находим абсциссы точек пересечения: [math]x=\pm a[/math]. Следовательно, вершины имеют координаты [math](-a,0),\,(a,0)[/math]. Длина отрезка, соединяющего вершины, равна [math]2a[/math]. Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число [math]a[/math] — действительной полуосью гиперболы. Подставляя [math]x=0[/math], получаем [math]y=\pm ib[/math]. Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки [math](0,-b),\,(0,b)[/math], равна [math]2b[/math]. Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число [math]b[/math] — мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.


Замечания 3.10.


1. Прямые [math]x=\pm a,~y=\pm b[/math] ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые [math]y=\pm\frac{b}{a}\,x[/math], содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).


Для равносторонней гиперболы, описываемой уравнением [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1[/math] (т.е. при [math]a=b[/math]), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат [math]Ox'y'[/math] (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид [math]y'=\frac{a^2}{2x'}[/math] (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).


Асимптоты гиперболы и равносторонняя гипербола

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол [math]\varphi=-\frac{\pi}{4}[/math] (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами


[math]\left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x'+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y',\\ y&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x'+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y'\end{aligned}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(x'+y'),\\ y&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(y'-x')\end{aligned}\right.[/math]

Подставляя эти выражения в уравнение [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1[/math] равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем


[math]\frac{\frac{1}{2}(x'+y')^2}{a^2}-\frac{\frac{1}{2}(y'-x')^2}{a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x'\cdot y'=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y'=\frac{a^2}{2\cdot x'}.[/math]

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр — центром симметрии.


Действительно, если точка [math]M(x,y)[/math] принадлежит гиперболе [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]. то и точки [math]M'(x,y)[/math] и [math]M''(-x,y)[/math], симметричные точке [math]M[/math] относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.


Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.


4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах [math]r=\frac{p}{1-e\cos\varphi}[/math] (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси ([math]r=p[/math] при [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math]).


5. Эксцентриситет [math]e[/math] характеризует форму гиперболы. Чем больше [math]e[/math], тем шире ветви гиперболы, а чем ближе [math]e[/math] к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).


Действительно, величина [math]\gamma[/math] угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: [math]\operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}=\frac{b}{2}[/math]. Учитывая, что [math]e=\frac{c}{a}[/math] и [math]c^2=a^2+b^2[/math], получаем


[math]e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{\left(\frac{b}{a}\right)\!}^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}.[/math]

Чем больше [math]e[/math], тем больше угол [math]\gamma[/math]. Для равносторонней гиперболы [math](a=b)[/math] имеем [math]e=\sqrt{2}[/math] и [math]\gamma=\frac{\pi}{2}[/math]. Для [math]e>\sqrt{2}[/math] угол [math]\gamma[/math] тупой, а для [math]1<e<\sqrt{2}[/math] угол [math]\gamma[/math] острый (рис.3.43,а).


Эксцентриситет гиперболы и сопряжённая гипербола

6. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math] и [math]-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] называются сопряженными друг с другом. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы [math]-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).


7. Уравнение [math]\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1[/math] определяет гиперболу с центром в точке [math]O'(x_0,y_0)[/math], оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение [math]-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1[/math] определяет сопряженную гиперболу с центром в точке [math]O'(x_0,y_0)[/math].




Параметрическое уравнение гиперболы


Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид


[math]\begin{cases}x=a\cdot\operatorname{ch}t,\\y=b\cdot\operatorname{sh}t,\end{cases}t\in\mathbb{R},[/math]

где [math]\operatorname{ch}t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}[/math] — гиперболический косинус, a [math]\operatorname{sh}t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}[/math] гиперболический синус.


Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству [math]\operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1[/math].




Построение гиперболы в канонической системе координат

Пример 3.21. Изобразить гиперболу [math]\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1[/math] в канонической системе координат [math]Oxy[/math]. Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.


Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: [math]a=2[/math] — действительная полуось, [math]b=3[/math] — мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами [math]2a=4,~2b=6[/math] с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя [math]x=4[/math] в уравнение гиперболы, получаем


[math]\frac{4^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt{3}.[/math]

Следовательно, точки с координатами [math](4;3\sqrt{3})[/math] и [math](4;-3\sqrt{3})[/math] принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние


[math]2\cdot c=2\cdot\sqrt{a^2+b^2}=2\cdot\sqrt{2^2+3^2}=2\sqrt{13}[/math]

эксцентриситет [math]e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}[/math]; фокальныи параметр [math]p=\frac{b^2}{a}=\frac{3^2}{2}=4,\!5[/math]. Составляем уравнения асимптот [math]y=\pm\frac{b}{a}\,x[/math], то есть [math]y=\pm\frac{3}{2}\,x[/math], и уравнения директрис: [math]x=\pm\frac{a^2}{c}=\frac{4}{\sqrt{13}}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved