Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Функционалы, зависящие от нескольких функций

Функционалы, зависящие от нескольких функций


Рассмотренный нами простейший функционал вариационного исчисления – уравнение Эйлера — зависел лишь от одной функции. В приложениях с такого рода функционалами приходится встречаться в тех случаях, когда изучаемый объект (или его поведение) определяется лишь одной функциональной зависимостью. Например, линия на плоскости определяется зависимостью ординаты ее точки от абсциссы, движение материальной точки вдоль оси определяется зависимостью ее координаты от времени и т. п.


Не менее часто приходится встречаться с объектами, которые уже не могут быть определены столь просто. Чтобы задать линию в пространстве, необходимо указать две функциональные зависимости двух ее координат от третьей. Движение точки в пространстве определяется зависимостью трех ее координат от времени и т. д. Изучение таких более сложных объектов приводит к вариационным задачам с несколькими изменяющимися функциями.


Мы ограничимся случаем, когда функционал зависит от двух функций [math]y(x)[/math] и [math]z(x)[/math], так как случай большего числа функций ничем в принципе от него не отличается.


Поставим следующую задачу. Допустимые к сравнению пары функций [math]y(x)[/math] и [math]z(x)[/math] определим условиями:


1) функции


[math]y=y(x), \quad z=z(x)~~~~~~~~(18)[/math]

— непрерывно дифференцируемы на отрезке [math][x_1;x_2][/math];

2) на концах отрезка эти функции принимают заданные значения


[math]\begin{array}{*{20}c}y(x_1)=y_1,&y(x_2)=y_2;\\z(x_1)=z_1,&z(x_2)=z_2.\end{array}~~~~~~~~~~(18)[/math]

Среди всевозможных пар функций [math]y(x)[/math] и [math]z(x)[/math] нужно найти ту, которой отвечает наименьшее значение интеграла


[math]I(y,z)=\int\limits_{x_1}^{x_2}F(x,y,z,y',z')\,dx.~~~~~~~~~(20)[/math]

В трехмерном пространстве [math]x,y,z[/math] каждой паре допустимых функций будет отвечать линия [math]l[/math], определяемая уравнениями (18) и проходящая через точки [math]M_1(x_1,y_1,z_1)[/math] и [math]M_2(x_2,y_2,z_2)[/math].


Нам нужно найти минимум интеграла (20) на множестве всех таких линий.


Предположим, что пара функций, доставляющая минимум интегралу (20), существует, и назовем эти функции [math]y(x)[/math] и [math]z(x)[/math]. Наряду с ними мы рассмотрим другую пару функций


[math]\overline{y}=y+\alpha\eta(x), \quad \overline{z}=z+\alpha\zeta(x),[/math]

где [math]\eta(x)[/math] и [math]\zeta(x)[/math] — любые непрерывно дифференцируемые функции, обращающиеся в нуль на концах [math]x_1,\,x_2[/math] отрезка; [math]\overline{y},\,\overline{z}[/math] также будут допустимы, и при [math]\alpha=0[/math] они совпадут с функциями [math]y,\,z[/math]. Подставим их в (20)

[math]I(\overline{y},\overline{z})=\int\limits_{x_1}^{x_2}F(x,y+\alpha\eta,z+\alpha\zeta,y'+\alpha\eta',z'+\alpha\zeta')\,dx=\Phi(x).[/math]

Полученный интеграл будет функцией от [math]\alpha[/math]. Так как при [math]\alpha=0[/math] функции [math]\overline{y}[/math] и [math]\overline{z}[/math] совпадут с [math]y[/math] и [math]z[/math], то функция [math]\Phi(\alpha)[/math] должна иметь минимум при [math]\alpha=0[/math]. В точке же минимума производная [math]\Phi[/math] обращается в нуль: [math]\Phi'(0)=0[/math].


Вычисление производной дает


[math]\int\limits_{x_1}^{x_2}\Bigl(F'_y\cdot\eta+F'_z\cdot\zeta+F'_{y'}\cdot\eta'+F'_{z'}\cdot\zeta'\Bigl)dx,[/math]

или, если члены с [math]\eta'[/math] и [math]\zeta'[/math] проинтегрировать по частям,

[math]\int\limits_{x_1}^{x_2}\!\left[\!\left(F'_y-\frac{d}{dx}F'_{y'}\right)\!\eta(x)+\left(F'_z-\frac{d}{dx}F'_{z'}\right)\!\zeta(x)\right]dx=0.[/math]

Последнее равенство должно выполняться для любых двух непрерывно дифференцируемых функций [math]\eta(x)[/math] и [math]\zeta(x)[/math], обращающихся в нуль на концах отрезка. Отсюда, на основании леммы, доказанной несколькими страницами раньше, легко можно заключить, что должны быть выполнены два условия


[math]\begin{gathered}F'_y-\frac{d}{dx}F'_{y'}=0,\hfill\\[3pt] F'_z-\frac{d}{dx}F'_{z'}=0.\hfill\end{gathered}~~~~~~~~~(21)[/math]

Итак, если функции [math]y,z[/math] доставляют интегралу (20) минимум, они должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений Эйлера (21).


Такое заключение вновь позволяет вариационную задачу о минимуме интеграла (20) заменить граничной проблемой теории дифференциальных уравнений: на отрезке [math][x_1,x_2][/math] нужно найти решение [math]y,z[/math] системы дифференциальных уравнений (21), удовлетворяющее граничным условиям (19).


Как и в прежнем случае, это открывает один из возможных путей для решения поставленной минимальной задачи.


В качестве примера приложения эйлеровой системы (21) рассмотрим вариационный принцип Остроградского–Гамильтона в ньютоновой механике. Ограничимся простейшей формой этого принципа.


Возьмем материальное тело массы т и будем считать, что размерами и формой тела мы можем пренебрегать и принимать его за материальную точку.


Допустим, что из положения [math]M_1(x_1,y_1,z_1)[/math], которое точка занимает в момент времени [math]t_1[/math] она к моменту времени [math]t_2[/math] переместилась в положение [math]M_2(x_2,y_2,z_2)[/math]. Предположим, что движение было подчинено законам механики Ньютона и происходило под действием силы [math]F(x,y,z,t)[/math], зависящей от положения точки и времени [math]t[/math] и имеющей потенциальную функцию [math]U(x,y,z,t)[/math]. Последнее означает следующее: составляющие [math]F'_x,F'_y,F'_z[/math] силы [math]\mathbf{F}[/math] по осям координат будут частными производными от некоторой функции [math]U[/math] по соответствующим координатам


[math]F'_x=\frac{\partial U}{\partial x}, \quad F'_y=\frac{\partial U}{\partial y}, \quad F'_z=\frac{\partial U}{\partial z}.[/math]

Движение считаем свободным, не подчиненным никаким ограничивающим связям. Для принципа Остроградского–Гамильтона это несущественно: на механическую систему могут быть наложены любые, даже нестационарные связи, лишь бы они были голономными, т. е. могли быть записаны в форме уравнений, не содержащих производных от координат по времени.


Уравнения движения Ньютона будут


[math]m\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{\partial U}{\partial x}, \quad m\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{\partial U}{\partial y}, \quad m\frac{d^2z}{dt^2}=\frac{\partial U}{\partial z}.[/math]

Следуя законам механики Ньютона, точка совершит перемещение вполне определенным способом. Наряду с "ньютоновским движением" точки мы будем рассматривать другие ее движения, которые коротко будем называть «допустимыми». Их мы определим двумя требованиями: в момент времени [math]t_1[/math] точка занимает положение [math]M_1[/math] и в момент [math]t_2[/math] — положение [math]M_2[/math].


Как можно отличить "ньютоновское движение" точки от всякого другого "допустимого" ее движения? Такую возможность и дает принцип Остроградского-Гамильтона.


Введем кинетическую энергию точки


[math]T=\frac{1}{2}m(x'^2+y'^2+z'^2).[/math]

и составим так называемый интеграл действия

[math]I=\int\limits_{t_1}^{t_2}(T+U)\,dt.[/math]

Содержание принципа таково: "ньютоновское движение" точки отличается от всякого ее "допустимого" движения тем, что оно доставляет интегралу действия стационарное значение.


Интеграл действия [math]I[/math] зависит от трех функций: [math]x(t),~y(t),~z(t)[/math].


Так как во всех сравниваемых движениях начальное и конечное положения точки одинаковы, граничные значения этих функций являются закрепленными. Мы имеем здесь вариационную задачу с тремя варьируемыми функциями, имеющими фиксированные значения на концах промежутка [math][t_1;t_2][/math].


Выше мы условились говорить, что интеграл (17) имеет стационарное значение на некоторой линии, если она является интегральной линией уравнения Эйлера. В нашей задаче интегрируемая функция


[math]F=T+U=\frac{1}{2}m(x'^2+y'^2+z'^2)+U(x,y,z,t)[/math]

зависит от трех функций и для стационарного значения интеграла должна выполняться система трех дифференциальных уравнений

[math]\begin{aligned} F'_x &-\frac{d}{dt}\,F'_{x'}=0,\\[2pt] F'_y &-\frac{d}{dt}\,F'_{y'}=0,\\[2pt] F'_z &-\frac{d}{dt}\,F'_{z'}=0. \end{aligned}[/math]

Так как [math]F'_x=\frac{\partial U}{\partial x},\,F'_{x'}=mx',\,\ldots[/math], то система уравнений Эйлера будет совпадать с уравнениями движения в механике Ньютона. Этим справедливость высказанного принципа установлена.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved