Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Функциональные последовательности и ряды в комплексной области

Функциональные последовательности и ряды
в комплексной области


Основные понятия, связанные с функциональными последовательностями и рядами в комплексной области, вводятся так же, как и в действительной.


Определение функциональной последовательности


1. Рассмотрим функции [math]f_1(z),f_2(z),\ldots,f_n(z)[/math], определенные на некотором множестве [math]M[/math]. Для любой точки [math]z_0[/math] этого множества [math](z_0\in M)[/math] получаем последовательность комплексных чисел [math]\{c_n\},~n=1,2\ldots[/math], где [math]c_n=f_n(z_0)[/math]. Если последовательность [math]\{c_n\}[/math] сходится, т.е. существует предел последовательности [math]\lim_{n\to\infty}c_n=A[/math], или, что то же самое, [math]\lim_{n\to\infty}f_n(z_0)=A[/math], то говорят, что функциональная последовательность [math]\{f_n(z_0)\}[/math] сходится в точке [math]z_0[/math].


Множество точек [math]z[/math], для которых существует предел последовательности [math]\bigl\{f_n(z)\bigr\}_{n\in\mathbb{N}}[/math], называется областью сходимости функциональной последовательности (область [math]D[/math]).


Пределом функциональной последовательности является функция, которая называется предельной функцией последовательности: [math]\lim_{n\to\infty}f_n(z)=f(z),~z\in D[/math], что можно записать, учитывая определение сходимости числовой последовательности, следующим образом:


[math]\lim_{n\to\infty}f_n(z)=f(z),~z\in D \quad \Leftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0\quad \exists N(\varepsilon,z)\colon\, \bigl|f_n(z)-f(z)\bigr|<\varepsilon[/math] для [math]n>N(\varepsilon,z),~z\in D[/math].

Заметим, что в отличие от числовой последовательности (см. соответствующее определение) номер [math]N[/math] зависит не только от [math]\varepsilon[/math], но и от [math]z[/math].


Это естественно, так как для каждого фиксированного [math]z\in D[/math] получает определенная числовая последовательность и для нее номер [math]N[/math], начиная с которого выполняется соответствующее неравенство, свой при одном и том же выбранном значении [math]\varepsilon[/math]. Для различных значений [math]z_k\in D[/math] получаем различные [math]N(\varepsilon,z_k)[/math], т.е. последовательность номеров [math]N_k,~k=1,2,\ldots[/math].




Равномерная сходимость функциональной последовательности


2. Если последовательность [math]N_k,~k=1,2,\ldots[/math] ограничена, т.е. существует [math]N=N(\varepsilon)[/math], такое, что [math]N_k<N[/math] для любого [math]k[/math], то говорят, что функциональная последовательность [math]f_n(z)[/math] сходится к [math]f(z)[/math] на множестве [math]D[/math] равномерно, что обозначается [math]f_n(z)\Rightarrow f(z)[/math]. Таким образом,


[math]f_n(z)\Rightarrow f(z),~z\in D\quad \Leftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0\quad \exists N(\varepsilon)\colon\, \bigl|f_n(z)-f(z)\bigr|<\varepsilon[/math] для [math]n>N(\varepsilon)[/math] и [math]\forall z\in D[/math].



Функциональный ряд в комплексной области


3. Ряд, членами которого являются функции комплексного переменного [math]u_n(z),~ n=1,2,\ldots[/math], определенные на некотором множестве [math]M[/math] комплексной плоскости, называется функциональным рядом в комплексной плоскости и обозначается


[math]\sum_{n=1}^{\infty}u_n(z).[/math]
(3.1)

4. Последовательность [math]\bigl\{S_n(z)\bigr\}_{n\in\mathbb{N}}[/math], где [math]S_n(z)= \sum_{k=1}^{n}u_k(z)[/math], называется последовательностью частичных сумм ряда (3.1), где [math]S_1(z)= u_1(z),S_2(z)=u_1(z)+u_2(z),\ldots[/math] — частичные суммы.


5. Ряд (3.1) называется сходящимся ни множестве [math]D[/math], если на множестве [math]D[/math] сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует предел этой последовательности, который называется суммой ряда [math]S(z)\colon[/math]


[math]\lim_{n\to\infty}S_n(z)=S(z),~ z\in D;\qquad \sum_{n=1}^{\infty}u_n(z)=S(z),~ z\in D.[/math]
(3.2)



Область сходимости и равномерная сходимость рядов


6. Множество точек [math]z\in D[/math], для которых сходится ряд, называется областью сходимости ряда (3.1). Очевидно, для суммы [math]S(z)[/math] ряда в области сходимости [math]D[/math] справедливо неравенство


[math]\bigl|S_n(z)-S(z)\bigr|<\varepsilon\quad \text{for}\quad n>N(\varepsilon,z),~ z\in D.[/math]
(3.3)

7. Ряд (3.1) называется равномерно сходящимся на множестве [math]D[/math], если на этом множестве равномерно сходится последовательность [math]\{S_n(z)\}[/math], то есть


[math]\bigl|S_n(z)-S(z)\bigr|<\varepsilon\quad \text{for}\quad n>N(\varepsilon),~ \forall z\in D.[/math]
(3.4)

Равномерно сходящиеся ряды (и последовательности) непрерывных функций комплексной переменной, как и аналогичные ряды в действительной области, обладают свойствами конечных сумм, в частности сумма такого ряда является функцией, непрерывной на множестве, где ряд сходится равномерно. Кроме того, ряд можно почленно интегрировать. Это означает, что полученный ряд, т.е. ряд, членами которого являются интегралы от членов данного ряда, сходится и его сумма равна интегралу от суммы данного ряда:


[math]\sum_{n=1}^{\infty}\int u_n(z)\,dz= \int \sum_{n=1}^{\infty}u_n(z)\,dz= \int S(z)\,dz\,.[/math]
(3.5)



Признак Вейерштрасса и равномерная сходимость


8. Для исследования функционального ряда на равномерную сходимость и нахождения области его равномерной сходимости можно использовать, как и в действительной области, достаточный признак равномерной сходимости.


Теорема 3.1 (признак Вейерштрасса). Если ряд (3.1) на множестве [math]D[/math] мажорируется сходящимся числовым рядом с положительными членами, то он сходится на [math]D[/math] равномерно, т.е. из условия


[math]\bigl|u_n(z)\bigr|<c_n,~ n>k,~ k\geqslant1,~ z\in D;\qquad \sum_{n=1}^{\infty}c_n~ \text{shoditsya},~c_n>0[/math]
(3.6)

следует равномерная сходимость ряда (3.1) на множестве [math]D[/math].


9. Для равномерно сходящихся рядов аналитических функций справедливы отмеченные выше свойства непрерывности суммы ряда и почленного интегрирования. Кроме того, имеет место свойство, связанное с почленным дифференцированием ряда.




Теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций


Теорема 3.2 (теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций). Если ряд (3.1) аналитических в области [math]D[/math] функций [math]u_n(z)[/math] равномерно сходится внутри [math]D[/math], т.е. на любом замкнутом подмножестве [math]\overline{B}\subset D[/math], то сумма [math]S(z)[/math] ряда аналитична в [math]D[/math]; ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, причем ряд, членами которого являются производные [math]u_n^{(k)}(z)[/math], равномерно сходится на любом [math]\overline{B}\subset D[/math], и сумма такого ряда равна производной [math]S^{(k)}(z)[/math] от суммы исходного ряда, т.е.


[math]\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}^{(k)}(z)= S_{n}^{(k)}(z),\quad k\in \mathbb{N}.[/math]
(3.7)



Нахождение области сходимости рядов


Так как по определению ряд (3.1) сходится в точке [math]z_0[/math], если сходится числовой ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}u_n(z_0)[/math], то для нахождения всех таких точек, т.е. области сходимости ряда, можно использовать известные признаки сходимости числовых рядов (признаки абсолютной сводимости). Так, можно найти пределы:


[math]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}\right|=\bigl|f(z)\bigr|,\qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|u_n(z)\bigr|}= \bigl|f(z)\bigr|.[/math]
(3.8)

Согласно признакам Даламбера (в первом случае) и Коши (во втором случае) область [math]D[/math] абсолютной сходимости ряда образуют те точки [math]z[/math], для которых [math]|f(z)|<1[/math].


Граничные точки, т.е. точки, для которых выполняется равенство [math]|f(z)|<1[/math], могут быть как точками абсолютной или условной сходимости, так и точками расходимости.




Примеры исследования сходимости рядов с комплексными членами


Пример 3.1. Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:


а) [math]\sum_{n=1}^{\infty}z^n[/math]; б) [math]\frac{z^n}{2^n}[/math]; в) [math]\sum_{n=1}^{\infty} n!z^n[/math]; г) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}[/math].


▼ Решение

Все ряды, очевидно, сходятся в точке [math]z=0[/math], так как [math]\lim_{n\to\infty}S_n(0)=0[/math]. Исследуем их сходимость в других точках. Для первых двух рядов используем признак Коши (найдем [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n(z)|}=|f(z)|[/math]), а для других — признак Даламбера (найдем [math]\lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}\right|= |f(z)|[/math]).


а) Имеем [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|z|^n}=|z|[/math]; неравенство [math]|z|<1[/math] определяет область сходимости ряда. Границей области является окружность [math]|z|<1[/math] или, в комплексной форме, [math]z=e^{i\varphi},~ 0\leqslant\varphi<2\pi[/math]. Для точек границы получаем числовые ряды вида [math]\sum_{n=1}^{\infty}e^{in\varphi}[/math], или [math]\sum_{n=1}^{\infty} \cos n\varphi+ i \sum_{n=1}^{\infty}\sin n\varphi[/math], очевидно, расходящиеся, так как пределы [math]\lim_{n\to\infty}\cos n\varphi[/math] и [math]\lim_{n\to\infty}\sin n\varphi[/math] не существуют. Область сходимости ряда — круг [math]|z|<1[/math].


б) [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{z^n}{2^n}\right|}= \frac{|z|}{2}<1[/math]. Неравенство [math]|z|<2[/math] определяет область сходимости ряда. В точках границы, уравнение которой [math]z=2e^{i\varphi}[/math], получаем расходящиеся ряды. Область сходимости ряда — круг [math]|z|<2[/math].


в) [math]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!z^{n+1}}{n!z^n}\right|= |z| \lim_{n\to\infty}(n+1)=\infty[/math] для любого [math]z\ne0[/math]. Ряд сходится только в одной точке [math]z=0[/math].


г) [math]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{z^{n+1}n!}{(n+1)!z^n}\right|= |z|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}= 0<1[/math] для любого [math]z\ne0[/math]. Ряд сходится всюду, во всей комплексной плоскости [math]\mathbb{C}[/math].


Пример 3.2. Исследовать сходимость комплексных функциональных рядов:


а) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{z^n}[/math]; б) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{z^n}[/math]; в) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!z^n}[/math]; г) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{z^n}[/math].


▼ Решение

В отличие от предыдущего примера точка [math]z=0[/math], очевидно, не входит в область сходимости этих рядов. Сходимость в других точках исследуем, как в предыдущем примере.


a) [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{z^n}\right|}=\frac{1}{|z|}[/math]; область сходимости [math]|z|>1[/math] — внешность круга с центром в точке [math]z=0[/math] и радиусом 1. На границе круга ряд расходится.


б) [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2^n}{z^n}\right|}=\frac{2}{|z|}[/math]; область сходимости [math]z>2[/math] — внешность круга с центром в точке [math]z=0[/math] и радиусом 2. На границе круга ряд расходится.


в) [math]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n!z^n}{(n+1)!z^{n+1}}\right|= \frac{1}{|z|} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1}=0<1[/math] при любом [math]z\ne0[/math]. Ряд сходится всюду, кроме точки [math]z=0~(\mathbb{C}\setminus0)[/math].


г) [math]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!z^n}{z^{n+1}n!}\right|= \frac{1}{|z|}\lim_{n\to\infty}(n+1)= \infty[/math]. Ряд расходится всюду.


Пример 3.3. Найти области сходимости рядов: а) [math]\sum_{n=1}^{\infty}3^n(z-i)^n[/math]; б) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n^2}(z+i)^n}[/math].


▼ Решение

Используем для решения радикальный признак Коши: [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n(z)|}= |f(z)|[/math]


a) [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|3^n(z-i)^n|}= 3|z-i|[/math]; область сходимости находим из неравенства [math]3|z-i|<1[/math], получаем [math]|z-i|<\frac{1}{3}[/math] — круг с центром в точке [math]z=i[/math] и радиусом [math]\frac{1}{3}[/math].


б) [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{|z+i|^n2^{n^2}}}= \frac{1}{|z+i|} \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^n}=0<1[/math] при любом [math]z\ne i[/math]. Следовательно, областью сходимости ряда является вся плоскость с выколотой точкой [math]z=-i[/math]. При решении использован известный из курса математического анализа предел [math]\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1[/math].


Пример 3.4. Исследовать сходимость комплексного ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2^n}{z^n}+ \frac{z^n}{3^n}\right)[/math].


▼ Решение

Общий член данного ряда имеет вид [math]u_n(z)= \frac{2^n}{z^n}+ \frac{z^n}{3^n}[/math], то есть


[math]u_1(z)= \frac{2}{z}+\frac{z}{3}=\frac{6+z^2}{3z},\quad u_2(z)= \frac{4}{z^2}+ \frac{z^2}{9}= \frac{36+z^4}{9z^2},\quad \ldots[/math]

Рассмотрим два вспомогательных ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{z^n}[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{3^n}[/math], найдем их области сходимости. Первый ряд сходится в области [math]|z|>2[/math], второй — в круге [math]|z|<3[/math] (см. п. "б" примеров 3.1 и 3.2). Пересечение областей сходимости рядов образует кольцо [math]2<|z|<3[/math]. В любой точке этого кольца сходятся оба ряда, т.е. сходятся соответствующие числовые ряды. По свойствам числовых рядов сходящиеся ряды можно складывать, общий член полученного при сложении ряда равен сумме общих членов рядов — слагаемых. В данном случае, складывая два ряда, сходящиеся при любом [math]z[/math], принадлежащем кольцу [math]2<|z|<3[/math], получим ряд с общим членом [math]\left(\frac{2^n}{z^n}+ \frac{z^n}{3^n}\right)[/math]. Следовательно, исходный функциональный ряд сходится в кольце [math]2<|z|<3[/math].


Пример 3.5. Найти область сходимости ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z-2i}{z+i}\right)^n[/math].


▼ Решение

Находим предел [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n(z)|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{z-2i}{z+i}\right|^n|}= \left|\frac{z-2i}{z+i}\right|[/math]. Область сходимости определяем из неравенства [math]\left|\frac{z-2i}{z+i}\right|<1[/math], то есть [math]|z-2i|<|z+i|[/math]. Границей множества является линия, комплексное уравнение которой [math]|z-2i|= |z+i|[/math]. Геометрически — это прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего точки [math]z=2i[/math] и [math]z=-i[/math] перпендикулярно этому отрезку. Уравнение этой линии [math]y=\frac{1}{2}[/math], то есть [math]\operatorname{Im}z= \frac{1}{2}[/math]. Эта линия разделяет плоскость на две части: [math]\operatorname{Im}z>\frac{1}{2}[/math] и [math]\operatorname{Im}z<\frac{1}{2}[/math]. Областью сходимости ряда будет Imz > —, так как, например, для точки [math]z=i[/math], принадлежащей этой области, неравенство [math]|z-2i|< |z+i|[/math] выполняется.


Пример 3.6. Доказать, что ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{3^n}[/math] сходится равномерно в круге [math]|z|<1[/math].


▼ Решение

Для точек [math]z[/math], удовлетворяющих неравенству [math]|z|<1[/math], выполняется неравенство [math]\left|\frac{z^n}{3^n}\right|<\frac{1}{3^n}[/math], т.е. функциональный ряд в круге [math]|z|<1[/math] мажорируется числовым рядом [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}[/math]. Так как ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n[/math] сходится, то по признаку Вейерштрасса данный функциональный ряд в круге [math]|z|<1[/math] сходится равномерно.


Заметим, что, очевидно, ряд сходится равномерно и в большей области, а именно в любой области [math]\overline{B}[/math] вида [math]|z|\leqslant r,~ 0<r<3[/math], так как мажорируется в этой области сходящимся числовым рядом: [math]\left|\frac{z}{3}\right|^n \leqslant \left(\frac{r}{3} \right)^n=q^n[/math], а при [math]q<1[/math] ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}q^n[/math] сходящийся. Как отмечено выше, в таком случае говорят, что ряд сходится равномерно внутри круга [math]|z|<3[/math].


Пример 3.7. Найти область равномерной сходимости ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{nz}}{n^2}[/math].


▼ Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса. Поскольку числовой ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math] сходится, то область равномерной сходимости данного ряда будут составлять те [math]z[/math], для которых справедливо неравенство [math]|e^{nz}|<1[/math], так как при этом справедливо неравенство [math]\left|\frac{e^{nz}}{n^2} \right|<\frac{1}{n^2}[/math]. Учитывая равенство [math]|e^z|=e^{\operatorname{Re}z}[/math], получаем [math]|e^{nz}|=e^{nx}[/math]. Для нахождения области равномерной сходимости нужно рассмотреть неравенство [math]e^{nx}<1[/math], которое, очевидно, выполняется при любых отрицательных значениях [math]x[/math]. Поэтому областью равномерной сходимости данного ряда является множество [math]\operatorname{Re}z<0[/math] — левая полуплоскость, или любое множество вида [math]\operatorname{Re}z\leqslant a,~ a<0[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved