Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Функциональные матрицы скалярного аргумента
ОглавлениеЛинейная алгебра

Функциональные матрицы скалярного аргумента


Функциональной матрицей скалярного аргумента [math]t[/math] называется матрица, элементы которой являются функциями независимой переменной [math]t:[/math]


[math]A(t)=\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\cdots&a_{1n}(t)\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}(t)&\cdots&a_{mn}(t)\end{pmatrix}\!.[/math]

При фиксированном значении [math]t[/math] функциональная матрица становится числовой. Поэтому все операции, введенные для числовых матриц, полностью переносятся на функциональные.


Рассмотрим некоторые понятия математического анализа в применении к функциональным матрицам.


1. Пределом функциональной матрицы [math]A(t)[/math] при стремлении переменной [math]t[/math] к значению [math]t_0[/math] называется матрица [math]A(t_0)[/math], элементами которой служат соответствующие пределы элементов матрицы [math]A(t)[/math], если они существуют, т.е.


[math]A(t_0)= \lim\limits_{t\to t_0}A(t)= \begin{pmatrix}\lim\limits_{t\to t_0}a_{11}(t)&\cdots&\lim\limits_{t\to t_0}a_{1n}(t)\\\vdots&\ddots&\vdots\\\lim\limits_{t\to t_0}a_{m1}(t)& \cdots&\lim\limits_{t\to t_0}a_{mn}(t) \end{pmatrix}\!.[/math]

Другими словами, предел матрицы определяется "поэлементно" как матрица, составленная из пределов соответствующих элементов.


2. Производной функциональной матрицы [math]A(t)[/math] по независимой переменной [math]t[/math] называется матрица [math]\frac{dA(t)}{dt}[/math] элементами которой служат производные соответствующих элементов матрицы [math]A(t)[/math], т.е.


[math]\frac{dA(t)}{dt}= \begin{pmatrix}\dfrac{da_{11}(t)}{dt}&\cdots&\dfrac{da_{1n}(t)}{dt}\\[4pt] \vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{da_{m1}(t)}{dt}&\cdots&\dfrac{da_{mn}(t)}{dt}\end{pmatrix}\!.[/math]

Другими словами, производная матрицы определяется "поэлементно" как матрица, составленная из производных соответствующих элементов. В частности, производная столбца [math]x(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)&\cdots&x_n(t)\end{pmatrix}^T[/math] есть столбец


[math]\frac{dx(t)}{dt}= \begin{pmatrix}\dfrac{dx_1(t)}{dt}\\[4pt] \vdots\\ \dfrac{dx_n(t)}{dt} \end{pmatrix}\!.[/math]

Нетрудно проверить справедливость правил дифференцирования матриц:


1. Производная суммы матриц [math]A(t)[/math] и [math]B(t)[/math] равна сумме производных этих матриц:


[math]\frac{d}{dt}(A(t)+B(t))= \frac{d}{dt}A(t)+\frac{d}{dt}\,B(t).[/math]

2. Постоянный числовой множитель можно вынести за знак дифференцирования:


[math]\frac{d}{dt}(c\cdot A(t))= c\cdot\frac{dA(t)}{dt}\,.[/math]

3. Производная произведения матриц [math]A(t)[/math] и [math]B(t)[/math] находится по формуле


[math]\frac{d}{dt}(A(t)\cdot B(t))=\frac{dA(t)}{dt}\cdot B(t)+ A(t)\cdot\frac{dB(t)}{dt}\,.[/math]
В частности,
[math]\begin{gathered}\frac{d[x^T(t)\cdot y(t)]}{dt}= \frac{dx^T(t)}{dt}\cdot y(t)+ x^T(t)\cdot\frac{dy(t)}{dt};\\[5pt] \frac{d[A(t)\cdot x(t)]}{dt}= \frac{dA(t)}{dt}\cdot x(t)+ A(t)\cdot\frac{dx(t)}{dt};\\[5pt] \frac{d}{dt}(C\cdot A(t))= C\cdot\frac{dA(t)}{dt}, \end{gathered}[/math]

где [math]x(t),\,y(t)[/math] — столбцы одинаковых размеров, [math]A(t),\,C[/math] — матрицы соответствующих размеров, причем матрица [math]C[/math] числовая.


4. Производная обратной матрицы (если она существует) вычисляется по формуле


[math]\frac{dA^{-1}(t)}{dt}=-A^{-1}(t)\cdot\frac{dA(t)}{dt}\cdot A^{-1}(t).[/math]

В самом деле, дифференцируя тождество [math]A^{-1}(t)A(t)=E[/math] по правилу 3, получаем


[math]\frac{dA^{-1}(t)}{dt}\,A(t)+A^{-1}(t)\,\frac{dA(t)}{dt}=O,[/math]

так как производная постоянной матрицы [math](E)[/math] равна нулевой матрице. Умножая последнее равенство на [math]A^{-1}(t)[/math] справа, выражаем искомую производную.

5. Производная определителя квадратной матрицы [math]A(t)[/math] (n-го порядка) вычисляется по формуле


[math]\frac{d}{dt}(\det A(t))= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}(t)\cdot \frac{da_{ij}(t)}{dt}= \operatorname{tr}\!\left(A^{+}(t)\cdot\frac{dA(t)}{dt}\right)\!,[/math]

где [math]A_{ij}(t)[/math] — алгебраическое дополнение элемента [math]a_{ij}(t)[/math] матрицы [math]A(t)[/math]; [math]A^{+}(t)[/math] — присоединенная матрица.


Действительно, так как [math]\det{A}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in}[/math], то частная производная [math]\frac{\partial}{\partial a_{ij}}(\det A)=A_{ij}[/math]. Поэтому полная производная вычисляется по формуле


[math]\frac{d}{dt}(\det A(t))= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial}{\partial a_{ij}(t)}(\det A(t))\cdot \frac{da_{ij}}{dt}= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}(t)\cdot\frac{da_{ij}(t)}{dt}\,.[/math]

3. Определенным интегралом от функциональной матрицы [math]A(t)[/math] в пределах от [math]t_0[/math] до [math]t_1[/math] называется матрица [math]\textstyle{\int\limits_{t_0}^{t_1} A(t)\,dt}[/math], элементами которой служат интегралы от соответствующих элементов матрицы [math]A(t):[/math]


[math]\int\limits_{t_0}^{t_1}A(t)\,dt= \begin{pmatrix} \int\limits_{t_0}^{t_1}a_{11}(t)\,dt&\cdots&\int\limits_{t_0}^{t_1}a_{1n}(t)\,dt \\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \int\limits_{t_0}^{t_1}a_{m1}(t)\,dt&\cdots&\int\limits_{t_0}^{t_1}a_{mn}(t)\,dt \end{pmatrix}\!,[/math]

т.е. интеграл от матрицы определяется "поэлементно".



Пример 6.1. Найти производную произведения матрицы [math]A(t)=\begin{pmatrix}1&1\\1&t \end{pmatrix}[/math] на столбец [math]x(t)=\begin{pmatrix}\sin(t)&\cos(t)\end{pmatrix}^T[/math].


Решение. По правилу дифференцирования произведения матриц получаем


[math]\begin{gathered} \frac{d}{dt}(A(t)\cdot x(t))= \frac{dA(t)}{dt}\cdot x(t)+ A(t)\cdot\frac{dx(t)}{dt}=\\[2pt] =\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\sin{t}\\\cos{t}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&1\\1&t\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\cos{t}\\\sin{t}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cos{t}-\sin{t}\\ 2\cos{t}-t\sin{t}\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Сделаем проверку, выполняя дифференцирование после вычисления произведения матриц:


[math]\frac{d}{dt}(A(t)\cdot x(t))= \frac{d}{dt}\!\left[\begin{pmatrix} 1&1\\1&t \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\sin{t}\\\cos{t}\end{pmatrix}\right]= \frac{d}{dt}\! \begin{pmatrix}\sin{t}+\cos{t}\\\sin{t}+t\cos{t}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cos{t}-\sin{t}\\2\cos{t}-t\sin{t}\end{pmatrix}\!.[/math]

Как видно, результаты совпадают.




Применение функциональных матриц


Функциональные матрицы применяются, например, для матричной записи систем разностных и дифференциальных уравнений.


Система [math]n[/math] линейных разностных (рекуррентных) уравнений с [math]n[/math] неизвестными имеет вид


[math]\begin{cases} x_1(k+1)= a_{11}(k}x_1(k)+\ldots+a_{1n}(k}x_n(k)+f_1(k),& x_1(k_0)=x_{10},\\ \vdots& \phantom{\cdots}\cdots\\ x_n(k+1)= a_{n1}(k}x_1(k)+\ldots+ a_{nn}(k}x_n(k)+f_n(k),& x_n(k_0)=x_{n0}. \end{cases}[/math]

где [math]k[/math] — дискретное время, [math]k=k_0,\,k_0+1,\ldots;~k_0[/math] — начальный момент дискретного времени; [math]x_{10},\ldots,x_{n0}[/math] — начальные значения переменных [math]x_1(k),\ldots,x_n(k)[/math]. Используя функциональные и числовые матрицы


[math]x(k)=\begin{pmatrix} x_1(k)\\\vdots\\x_n(k) \end{pmatrix}\!,\quad A(k)=\begin{pmatrix} a_{11}(k)&\cdots&a_{1n}(k)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}(k)&\cdots& a_{nn}(k)\end{pmatrix}\!, \quad f(k)=\begin{pmatrix} f_1(k)\\\vdots\\f_n(k) \end{pmatrix}\!,\quad x_0=\begin{pmatrix} x_{10}\\\vdots\\x_{n0}\end{pmatrix}\!,[/math]

систему можно записать в матричной форме:

[math]x(k+1)=A(k)x(k)+f(k),\quad x(k_0)=x_0.[/math]

Система [math]n[/math] линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с [math]n[/math] неизвестными имеет вид


[math]\begin{cases} \dfrac{dx_1(t)}{dt}= a_{11}(t)x_1(t)+\ldots+a_{1n}(t)x_n(t)+f_1(t),& x_1(t_0)=x_{10},\\ \vdots&\phantom{cdots}\cdots\\ \dfrac{dx_n(t)}{dt}= a_{n1}(t)x_1(t)+\ldots+a_{nn}(t)x_n(t)+f_n(t),& x_n(t_0)=x_{n0}, \end{cases}[/math]

где [math]t[/math] — время, [math]t_0[/math] — начальный момент времени; [math]x_{10},\ldots,x_{n0}[/math] — начальные значения переменных [math]x_1(t),\ldots,x_n(t)[/math]. Используя функциональные и числовые матрицы


[math]x(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\\vdots\\x_n(t) \end{pmatrix}\!,\quad A(t)=\begin{pmatrix} a_{11}(t)&\cdots&a_{1n}(t)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}(t)&\cdots&a_{nn}(t) \end{pmatrix}\!,\quad f(t)=\begin{pmatrix}f_1(t)\\\vdots\\f_n(t)\end{pmatrix}\!,\quad x_0=\begin{pmatrix}x_{10}\\ \vdots\\x_{n0}\end{pmatrix}\!,[/math]

систему можно записать в матричной форме:

[math]\frac{dx(t)}{dt}=A(t)x(t)+f(t),\quad x(t_0)=x_0.[/math]

Применение матриц не ограничивается записью систем. Решение этих систем уравнений находится с использованием функций от матриц.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved