Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Функциональные матрицы скалярного аргумента

Функциональные матрицы скалярного аргумента


Функциональной матрицей скалярного аргумента t называется матрица, элементы которой являются функциями независимой переменной t\colon


A(t)=\begin{pmatrix}a_{11}(t)&\cdots&a_{1n}(t)\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}(t)&\cdots&a_{mn}(t)\end{pmatrix}\!.

При фиксированном значении t функциональная матрица становится числовой. Поэтому все операции, введенные для числовых матриц, полностью переносятся на функциональные.


Рассмотрим некоторые понятия математического анализа в применении к функциональным матрицам.


1. Пределом функциональной матрицы A(t) при стремлении переменной t к значению t_0 называется матрица A(t_0), элементами которой служат соответствующие пределы элементов матрицы A(t), если они существуют, т.е.


A(t_0)= \lim\limits_{t\to t_0}A(t)= \begin{pmatrix}\lim\limits_{t\to t_0}a_{11}(t)&\cdots&\lim\limits_{t\to t_0}a_{1n}(t)\\\vdots&\ddots&\vdots\\\lim\limits_{t\to t_0}a_{m1}(t)& \cdots&\lim\limits_{t\to t_0}a_{mn}(t) \end{pmatrix}\!.

Другими словами, предел матрицы определяется "поэлементно" как матрица, составленная из пределов соответствующих элементов.


2. Производной функциональной матрицы A(t) по независимой переменной t называется матрица \frac{dA(t)}{dt} элементами которой служат производные соответствующих элементов матрицы A(t), т.е.


\frac{dA(t)}{dt}= \begin{pmatrix}\dfrac{da_{11}(t)}{dt}&\cdots&\dfrac{da_{1n}(t)}{dt}\\[4pt] \vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{da_{m1}(t)}{dt}&\cdots&\dfrac{da_{mn}(t)}{dt}\end{pmatrix}\!.

Другими словами, производная матрицы определяется "поэлементно" как матрица, составленная из производных соответствующих элементов. В частности, производная столбца x(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)&\cdots&x_n(t)\end{pmatrix}^T есть столбец


\frac{dx(t)}{dt}= \begin{pmatrix}\dfrac{dx_1(t)}{dt}\\[4pt] \vdots\\ \dfrac{dx_n(t)}{dt} \end{pmatrix}\!.

Нетрудно проверить справедливость правил дифференцирования матриц:


1. Производная суммы матриц A(t) и B(t) равна сумме производных этих матриц:


\frac{d}{dt}(A(t)+B(t))= \frac{d}{dt}A(t)+\frac{d}{dt}\,B(t).

2. Постоянный числовой множитель можно вынести за знак дифференцирования:


\frac{d}{dt}(c\cdot A(t))= c\cdot\frac{dA(t)}{dt}\,.

3. Производная произведения матриц A(t) и B(t) находится по формуле


\frac{d}{dt}(A(t)\cdot B(t))=\frac{dA(t)}{dt}\cdot B(t)+ A(t)\cdot\frac{dB(t)}{dt}\,.
В частности,
\begin{gathered}\frac{d[x^T(t)\cdot y(t)]}{dt}= \frac{dx^T(t)}{dt}\cdot y(t)+ x^T(t)\cdot\frac{dy(t)}{dt};\\[5pt] \frac{d[A(t)\cdot x(t)]}{dt}= \frac{dA(t)}{dt}\cdot x(t)+ A(t)\cdot\frac{dx(t)}{dt};\\[5pt] \frac{d}{dt}(C\cdot A(t))= C\cdot\frac{dA(t)}{dt}, \end{gathered}

где x(t),\,y(t) — столбцы одинаковых размеров, A(t),\,C — матрицы соответствующих размеров, причем матрица C числовая.


4. Производная обратной матрицы (если она существует) вычисляется по формуле


\frac{dA^{-1}(t)}{dt}=-A^{-1}(t)\cdot\frac{dA(t)}{dt}\cdot A^{-1}(t).

В самом деле, дифференцируя тождество A^{-1}(t)A(t)=E по правилу 3, получаем


\frac{dA^{-1}(t)}{dt}\,A(t)+A^{-1}(t)\,\frac{dA(t)}{dt}=O,

так как производная постоянной матрицы (E) равна нулевой матрице. Умножая последнее равенство на A^{-1}(t) справа, выражаем искомую производную.


5. Производная определителя квадратной матрицы A(t) (n-го порядка) вычисляется по формуле


\frac{d}{dt}(\det A(t))= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}(t)\cdot \frac{da_{ij}(t)}{dt}= \operatorname{tr}\!\left(A^{+}(t)\cdot\frac{dA(t)}{dt}\right)\!,

где A_{ij}(t) — алгебраическое дополнение элемента a_{ij}(t) матрицы A(t); A^{+}(t) — присоединенная матрица.


Действительно, так как \det{A}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in}, то частная производная \frac{\partial}{\partial a_{ij}}(\det A)=A_{ij}. Поэтому полная производная вычисляется по формуле


\frac{d}{dt}(\det A(t))= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial}{\partial a_{ij}(t)}(\det A(t))\cdot \frac{da_{ij}}{dt}= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}(t)\cdot\frac{da_{ij}(t)}{dt}\,.

3. Определенным интегралом от функциональной матрицы A(t) в пределах от t_0 до t_1 называется матрица \textstyle{\int\limits_{t_0}^{t_1} A(t)\,dt}, элементами которой служат интегралы от соответствующих элементов матрицы A(t)\colon


\int\limits_{t_0}^{t_1}A(t)\,dt= \begin{pmatrix} \int\limits_{t_0}^{t_1}a_{11}(t)\,dt&\cdots&\int\limits_{t_0}^{t_1}a_{1n}(t)\,dt \\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \int\limits_{t_0}^{t_1}a_{m1}(t)\,dt&\cdots&\int\limits_{t_0}^{t_1}a_{mn}(t)\,dt \end{pmatrix}\!,

т.е. интеграл от матрицы определяется "поэлементно".




Пример 6.1. Найти производную произведения матрицы A(t)=\begin{pmatrix}1&1\\1&t \end{pmatrix} на столбец x(t)=\begin{pmatrix}\sin(t)&\cos(t)\end{pmatrix}^T.


Решение. По правилу дифференцирования произведения матриц получаем


\begin{gathered} \frac{d}{dt}(A(t)\cdot x(t))= \frac{dA(t)}{dt}\cdot x(t)+ A(t)\cdot\frac{dx(t)}{dt}=\\[2pt] =\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\sin{t}\\\cos{t}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&1\\1&t\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\cos{t}\\\sin{t}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cos{t}-\sin{t}\\ 2\cos{t}-t\sin{t}\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Сделаем проверку, выполняя дифференцирование после вычисления произведения матриц:


\frac{d}{dt}(A(t)\cdot x(t))= \frac{d}{dt}\!\left[\begin{pmatrix} 1&1\\1&t \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\sin{t}\\\cos{t}\end{pmatrix}\right]= \frac{d}{dt}\! \begin{pmatrix}\sin{t}+\cos{t}\\\sin{t}+t\cos{t}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cos{t}-\sin{t}\\2\cos{t}-t\sin{t}\end{pmatrix}\!.

Как видно, результаты совпадают.




Применение функциональных матриц


Функциональные матрицы применяются, например, для матричной записи систем разностных и дифференциальных уравнений.


Система n линейных разностных (рекуррентных) уравнений с n неизвестными имеет вид


\begin{cases} x_1(k+1)= a_{11}(k)x_1(k)+\ldots+a_{1n}(k)x_n(k)+f_1(k),& x_1(k_0)=x_{10},\\ \quad\vdots& \quad\vdots\\ x_n(k+1)= a_{n1}(k)x_1(k)+\ldots+ a_{nn}(k)x_n(k)+f_n(k),& x_n(k_0)=x_{n0}. \end{cases}

где k — дискретное время, k=k_0,\,k_0+1,\ldots;~k_0 — начальный момент дискретного времени; x_{10},\ldots,x_{n0} — начальные значения переменных x_1(k),\ldots,x_n(k). Используя функциональные и числовые матрицы


x(k)=\begin{pmatrix} x_1(k)\\\vdots\\x_n(k) \end{pmatrix}\!,\quad A(k)=\begin{pmatrix} a_{11}(k)&\cdots&a_{1n}(k)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}(k)&\cdots& a_{nn}(k)\end{pmatrix}\!, \quad f(k)=\begin{pmatrix} f_1(k)\\\vdots\\f_n(k) \end{pmatrix}\!,\quad x_0=\begin{pmatrix} x_{10}\\\vdots\\x_{n0}\end{pmatrix}\!,

систему можно записать в матричной форме:


x(k+1)=A(k)x(k)+f(k),\quad x(k_0)=x_0.

Система n линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с n неизвестными имеет вид


\begin{cases} \dfrac{dx_1(t)}{dt}= a_{11}(t)x_1(t)+\ldots+a_{1n}(t)x_n(t)+f_1(t),& x_1(t_0)=x_{10},\\ \vdots&\phantom{cdots}\cdots\\ \dfrac{dx_n(t)}{dt}= a_{n1}(t)x_1(t)+\ldots+a_{nn}(t)x_n(t)+f_n(t),& x_n(t_0)=x_{n0}, \end{cases}

где t — время, t_0 — начальный момент времени; x_{10},\ldots,x_{n0} — начальные значения переменных x_1(t),\ldots,x_n(t). Используя функциональные и числовые матрицы


x(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\\vdots\\x_n(t) \end{pmatrix}\!,\quad A(t)=\begin{pmatrix} a_{11}(t)&\cdots&a_{1n}(t)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}(t)&\cdots&a_{nn}(t) \end{pmatrix}\!,\quad f(t)=\begin{pmatrix}f_1(t)\\\vdots\\f_n(t)\end{pmatrix}\!,\quad x_0=\begin{pmatrix}x_{10}\\ \vdots\\x_{n0}\end{pmatrix}\!,

систему можно записать в матричной форме:


\frac{dx(t)}{dt}=A(t)x(t)+f(t),\quad x(t_0)=x_0.

Применение матриц не ограничивается записью систем. Решение этих систем уравнений находится с использованием функций от матриц.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved