Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Функции от матриц
ОглавлениеЛинейная алгебра

Функции от матриц


Пусть [math]A[/math] — числовая квадратная матрица и [math]f(\lambda)[/math] — скалярная функция переменной [math]\lambda[/math]. В этом разделе понятие функции распространяется на матричные значения аргумента. Если [math]f(\lambda)[/math] — многочлен, то задача нахождения многочлена [math]f(A)[/math], получающегося при подстановке матрицы [math]A[/math] вместо переменной [math]\lambda[/math], была решена ранее. Требуется определить, что следует понимать под выражением [math]f(A)[/math] для достаточно произвольной функции [math]f(\lambda)[/math]. Разумеется, что определение функции от матрицы, когда функция является многочленом, должно совпадать с определением многочлена от матрицы.


Функции, определенные на спектре матрицы


Напомним, что спектром квадратной матрицы [math]A[/math] называется совокупность всех ее собственных значений (корней характеристического многочлена). Все собственные значения являются также корнями минимального многочлена (см. свойство 3 минимального многочлена):


[math]\mu_A(\lambda)= (\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdot(\lambda-\lambda_2)^{m_2}\cdot \ldots\cdot (\lambda-\lambda_k)^{m_k},[/math]
(7.54)

где [math]\lambda_1[/math] — корень кратности [math]m_1[/math], [math]\lambda_2[/math] — корень кратности [math]m_2[/math] и т.д. Степень [math]\nu[/math] минимального многочлена не превосходит порядка [math]n[/math] матрицы [math]A:[/math] [math]\nu=m_1+ m_2+\ldots+m_k\leqslant n[/math].


Говорят, что скалярная функция [math]f(\lambda)[/math] переменной [math]\lambda[/math] определена на спектре матрицы [math]A[/math], если для функции [math]f(\lambda)[/math] определены значения


[math]f(\lambda_i),\quad f'(\lambda_i),\quad \ldots,\quad f^{(m_i-1)}(\lambda_i),~ i=1,2,\ldots,k.[/math]
(7.55)

т.е. функция [math]f(\lambda)[/math] определена в окрестности каждой точки [math]\lambda=\lambda_i~(i=1,\ldots,k)[/math] вместе со своими производными до указанного порядка. Совокупность (7.55) значений функции и ее производных будем обозначать [math]f(\Lambda_A)[/math].


Две функции [math]f(\lambda)[/math] и [math]g(\lambda)[/math] называются равными на спектре матрицы [math]A[/math], если


[math]f(\lambda_i)=g(\lambda_i),\,~f'(\lambda_i)= g'(\lambda_i),\,~\ldots,\,~ f^{(m_i-1)}(\lambda_i)= g^{(m_i-1)}(\lambda_i),~ i=1,2,\ldots,k.[/math]
(7.56)

Эти равенства будем записывать в форме [math]f(\Lambda_A)=g(\Lambda_A)[/math].




Теорема 7.10 (основное свойство многочленов от матриц). Если [math]f(\lambda)[/math] и [math]g(\lambda)[/math] — многочлены, то


[math]f(\Lambda_A)=g(\Lambda_A) \quad \Leftrightarrow\quad f(A)=g(A),[/math]
(7.57)

т.е. многочлены, равные на спектре матрицы, имеют равные матричные значения, и наоборот, если равны матричные значения многочленов, то равны их значения на спектре матрицы. Другими словами, значения [math]f(\Lambda_A)[/math] многочлена на спектре матрицы полностью определяют его значение [math]f(A)[/math] от матрицы [math]A[/math].


В самом деле, пусть [math]f(A)=g(A)[/math], тогда разность [math]d(\lambda)= f(\lambda)-g(\lambda)[/math] является аннулирующим многочленом: [math]d(A)=O[/math]. Разделим его на минимальный многочлен [math]d(\lambda)=p(\lambda)\cdot\mu_A(\lambda)[/math] (свойство 1 в разд.7.2.4). Из (7.54) следует, что число [math]\lambda_i[/math] является корнем многочлена [math]d(\lambda)[/math], причем его кратность больше или равна [math]m_i[/math]. Тогда:


[math]d(\lambda_i)=0,\quad d'(\lambda_i)=0,\quad\ldots, \quad d^{(m_i-1)}(\lambda_i),\quad i=1,2,\ldots,k,[/math]

что равносильно (7.56). Следовательно, [math]f(\Lambda_A)=g(\Lambda_A)[/math]. Достаточность доказана. Для доказательства необходимости нужно все рассуждения провести в обратном порядке, либо вернуться ко второму способу нахождения многочлена от матрицы: в системе (7.46), которая позволяет найти коэффициенты искомого многочлена, левые части уравнений являются значениями многочлена [math]f(\lambda)[/math] на спектре матрицы [math]A[/math].




Определение и свойства функций от матриц


Основное свойство (7.57), справедливое для многочленов, переносится на произвольные функции и фактически берется за основу определения функции от матрицы.


Пусть [math]f(A)[/math] — произвольная функция, определенная на спектре матрицы [math]A[/math]. Значение [math]f(A)[/math] функции [math]f(\lambda)[/math] от матрицы [math]A[/math] определяется равенством


[math]f(A)=g(A),[/math]
(7.58)

где [math]g(A)[/math] — любой многочлен, принимающий на спектре матрицы [math]A[/math] те же значения, что [math]f(\lambda) \colon[/math] [math]f(\Lambda_A)=g(\Lambda_A)[/math].


Поскольку функции от матриц определяются через многочлены, то на них переносятся свойства многочленов от матриц.


1. Функции от подобных матриц подобны.


2. Функция от блочно-диагональной матрицы является блочно- диагональной матрицей, т.е. если матрица [math]A[/math] имеет вид [math]A=\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_k)[/math], где [math]A_1,\ldots,A_k[/math] некоторые квадратные матрицы, то


[math]f(A)=\operatorname{diag}\Bigl(f(A_1),f(A_2),\ldots,f(A_k)\Bigr).[/math]

3. Функция [math]f(\lambda)[/math] от жордановой клетки [math]J_r(\lambda_0)[/math] имеет вид


[math]f\bigl(J_r(\lambda_0)\bigr)= \begin{pmatrix} f(\lambda_0)& \dfrac{1}{1!}f'(\lambda_0)&\cdots&\dfrac{1}{(r-1)!}f^{(r-1)}(\lambda_0)\\[8pt] 0&f(\lambda_0)& \cdots&\dfrac{1}{(r-2)!}f^{(r-2)}(\lambda_0)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&f(\lambda_0) \end{pmatrix}\!.[/math]
(7.59)

Это верхняя треугольная матрица r-го порядка, на главной диагонали которой стоят значения функции [math]f(\lambda)[/math] в точке [math]\lambda_0[/math], над диагональю — значения первой производной в этой же точке и т.д., т.е. коэффициенты формулы Тейлора для функции [math]f(\lambda)[/math].




Способы нахождения функций от матриц


Из определения функции от матрицы следует, что первый и второй способы нахождения многочлена от матрицы, пригодны и для любой функции, определенной на спектре матрицы. Поэтому они могут считаться первым и вторым способами нахождения функции от матрицы. Далее излагается третий (интерполяционный) способ решения этой же задачи.


Пример 7.21. Найти функцию [math]f(\lambda)= e^{\lambda}[/math] от матрицы [math]A=\begin{pmatrix}4&4\\ -1&0 \end{pmatrix}[/math].


Решение. Первый способ. 1. Жорданова форма [math]J_A[/math] и преобразующая матрица [math]S[/math] были найдены в примере 7.15:


[math]J_A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2 \end{pmatrix}\!,\qquad S=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0 \end{pmatrix}\!,\qquad S^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&2 \end{pmatrix}\!.[/math]

2. Жорданова форма [math]J_A[/math] состоит из одной жордановой клетки [math]J_A=J_2(2)[/math] 2-го порядка, соответствующей собственному значению [math]\lambda=2[/math]. Найдем значение функции [math]f(2)=e^2[/math] и ее производной [math]f'(2)=e^2[/math]. Запишем функцию от жордановой формы (7.59):


[math]f(J_A)=\begin{pmatrix} e^2&e^2\\ 0&e^2\end{pmatrix}= e^2\cdot\! \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\!.[/math]

3. Найдем функцию от матрицы [math]A:[/math]


[math]f(A)=e^A=S\cdot f(J_A)\cdot S^{-1}= \begin{pmatrix} 2&1\\ -1&0 \end{pmatrix}\!\cdot e^2\cdot\! \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&2 \end{pmatrix}= e^2\cdot\! \begin{pmatrix} 3&4\\ -1&-1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Второй способ. 1. Минимальный многочлен матрицы А найден в примере 7.18: [math]\mu_A(\lambda)=e_2(\lambda)=(\lambda-2)^2[/math]. Степень v минимального многочлена равна 2. Значит, многочлен (7.44) линейный: [math]r(\lambda)=r_1 \lambda+r_0[/math].


2. Для двойного корня [math]\lambda=\lambda_1=2~(m_1=2)[/math] составляем уравнения (7.46):


[math]\begin{cases}f(2)= r(2),\\f'(2)= r'(2),\end{cases} \Rightarrow\quad \begin{cases}e^2=r_1\cdot2+r_0,\\ e^2=r_1.\end{cases}[/math]

3. Решая систему, получаем [math]r_1=e^2,~ r_0=-e^2[/math] и [math]r(\lambda)=e^2 \lambda-e^2[/math].


4. Находим функцию от матрицы [math]A:[/math]


[math]f(A)=e^A=r(A)= e^2\cdot\! \begin{pmatrix}4&4\\ -1&0\end{pmatrix}- e^2\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}= e^2\cdot\! \begin{pmatrix}3&4\\ -1&-1 \end{pmatrix}\!.[/math]

Полученные разными способами результаты, разумеется, совпадают.




Интерполяционный способ нахождения функции от матрицы


Рассмотрим сначала частный случай, когда все корни минимального многочлена простые: [math]\textstyle{\mu_A(\lambda)= \prod\limits_{i=1}^{\nu}(\lambda-\lambda_i)}[/math] . В этом случае значения функции на спектре матрицы [math]A[/math] — это совокупность значений функции [math]f(\lambda)[/math] в точках [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_{\nu}:[/math] [math]f(\Lambda)=\{f(\lambda_1),f(\lambda_2),\ldots,f(\lambda_{\nu})\}[/math]. Обозначим через [math]r(\lambda)[/math] интерполяционный многочлен Лагранжа:


[math]r(\lambda)=\sum_{i=1}^{\nu}\frac{(\lambda-\lambda_1)\cdot\ldots \cdot(\lambda- \lambda_{i-1})\cdot (\lambda-\lambda_{i+1})\cdot \ldots\cdot(\lambda-\lambda_{\nu})}{(\lambda_i- \lambda_1)\cdot\ldots \cdot(\lambda_i-\lambda_{i-1})\cdot (\lambda_i-\lambda_{i+1})\cdot \ldots\cdot (\lambda_i-\lambda_{\nu})}\cdot f(\lambda_i),[/math]
(7.60)

для которого [math]r(\lambda_i)= f(\lambda_i),~ i=1,2,\ldots,\nu[/math]. Тогда


[math]f(A)= r(A)=\sum_{i=1}^{\nu}\frac{(A-\lambda_1E)\cdot\ldots \cdot(A- \lambda_{i-1}E)\cdot (A-\lambda_{i+1}E)\cdot \ldots\cdot(A-\lambda_{\nu}E)}{(\lambda_i- \lambda_1)\cdot\ldots \cdot(\lambda_i-\lambda_{i-1})\cdot (\lambda_i-\lambda_{i+1})\cdot \ldots\cdot (\lambda_i-\lambda_{\nu})}\cdot f(\lambda_i).[/math]

Таким образом, для нахождения функции [math]f(\lambda)[/math] от матрицы [math]A[/math] в случае простых корней минимального многочлена, нужно выполнить следующие действия.


1. Найти минимальный многочлен [math]\mu_A(\lambda)[/math] одним из способов, рассмотренных ранее. Убедиться в том, что все корни [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_v[/math] минимального многочлена простые.


2. Вычислить значения [math]f(\lambda_1),f(\lambda_2), \ldots,f(\lambda_v)[/math] функции на спектре матрицы [math]A[/math] и составить по формуле (7.60) интерполяционный многочлен Лагранжа [math]r(\lambda)[/math].


3. Найти значение функции от матрицы [math]f(A)=r(A)[/math].




Пример 7.22. Найти функцию [math]f(\lambda)=e^{\lambda}[/math] от матрицы [math]C=\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}[/math].


Решение. Интерполяционный способ (случай простых корней). 1. Минимальный многочлен найден в примере 7.12: [math]\mu_C(\lambda)=\lambda(\lambda-3)[/math]. Все его корни [math]\lambda_1=0,[/math] [math]\lambda_2=3[/math] простые.


2. Находим значения функции на спектре матрицы [math]f(0)=1,~f(3)=e^3[/math]. Составляем по формуле (7.60) интерполяционный многочлен Лагранжа:


[math]r(\lambda)=\frac{\lambda-3}{0-3}\cdot1+ \frac{\lambda-0}{3-0}\cdot e^3=\frac{e^3-1}{3}\cdot\lambda+1.[/math]

3. Находим функцию от матрицы [math]C:[/math]


[math]f(C)=e^C=r(C)= \frac{e^3-1}{3}\cdot\! \begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}= \frac{1}{3}\cdot\! \begin{pmatrix} e^3+2& e^3-1& e^3-1\\ e^3-1& e^3+2& e^3-1\\ e^3-1& e^3-1& e^3+2 \end{pmatrix}\!.[/math]



Рассмотрим общий случай, когда минимальный многочлен (7.54)


[math]\nu_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{m_2} \cdot\ldots\cdot (\lambda-\lambda_k)^{m_k}[/math]

имеет кратные корни: [math]\lambda_1[/math] — корень кратности от [math]m_1[/math], [math]\lambda_2[/math] — корень кратности [math]m_2[/math] и т.д. Степень [math]\nu[/math] минимального многочлена не превосходит порядка [math]n[/math] матрицы [math]A:[/math] [math]\nu=m_1+m_2+\ldots+m_k\leqslant n[/math].


Многочлен [math]r(\lambda)[/math] степени меньшей, чем [math]\nu[/math], удовлетворяющий условиям:


[math]f(\lambda_i)=r(\lambda_i),~~ f'(\lambda_i)=r'(\lambda_i),~~ \ldots,~~ f^{(m_i-1)}(\lambda_i)=r^{(m_i-1)}(\lambda_i),~~i=1,2,\ldots,k,[/math]

называется интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции [math]f(\lambda)[/math], определенной на спектре матрицы [math]A[/math].


Многочлен Лагранжа-Сильвестра однозначно определяется значениями функции на спектре матрицы и находится по формуле:


[math]r(\lambda)= \sum_{i=1}^{k}\Bigl[r_{i\,0}+ r_{i\,1}(\lambda-\lambda_i)+ \ldots+ r_{i\,m_i-1}(\lambda-\lambda_i)^{m_i-1}\Bigr]\cdot\psi_i(\lambda),[/math]
(7.61)

где [math]\psi_i(\lambda)[/math] — многочлен, равный отношению минимального многочлена и соответствующего элементарного делителя: [math]\psi_i(\lambda)= \frac{\mu_A(\lambda)}{(\lambda-\lambda_i)^{m_i}}[/math], а выражение в квадратных скобках равно сумме первых от, членов разложения функции [math]\frac{f(\lambda)}{\psi_i(\lambda)}[/math] по формуле Тейлора, то есть


[math]r_{ij}=\frac{1}{j!}\cdot\! \left.{\frac{d^j}{d \lambda^j}}\! \left[\frac{f(\lambda)}{\psi_i(\lambda)}\right]}\!\right|_{\lambda=\lambda_i},\quad j=0,1,\ldots, m_i-1;~i=1,2,\ldots,k[/math]



Замечания 7.10.


1. Если минимальный многочлен имеет один корень (кратности [math]\nu[/math]): [math]\mu_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{\mu}[/math] то многочлен Лагранжа-Сильвестра совпадает с многочленом Тейлора. Действительно, в этом случае [math]k=1,[/math] [math]m_1=\nu,[/math] [math]\psi_1(\lambda)=1[/math] , поэтому формула (7.61) принимает вид


[math]r(\lambda)= f(\lambda_i)+ \frac{1}{1!}\cdot f'(\lambda_1)\cdot (\lambda-\lambda_1)+\ldots +\frac{1}{(\nu-1)!}\cdot f^{(\nu-1)}(\lambda_1)\cdot(\lambda-\lambda_1)^{\nu-1},[/math]

что совпадает с первыми [math]\nu[/math] членами ряда Тейлора.

2. Если все корни минимального многочлена простые: [math]\textstyle{\mu_A(\lambda)}= \prod\limits_{i=1}^{k}(\lambda-\lambda_i)[/math], тогда


[math]\nu=k,\quad m_1=m_2=\ldots=m_k=1,\quad \psi_i(\lambda)= (\lambda-\lambda_1)\cdot\ldots \cdot(\lambda-\lambda_{i-1})\cdot (\lambda-\lambda_{i+1})\cdot \ldots\cdot(\lambda-\lambda_k),[/math]

поэтому формула (7.61) принимает вид (7.60), т.е. многочлен Лагранжа-Сильвестра совпадает с многочленом Лагранжа.

Для нахождения функции [math]f(x)[/math] от матрицы [math]A[/math] при наличии кратных корней минимального многочлена нужно выполнить следующие действия.


1. Найти минимальный многочлен матрицы [math]A[/math] одним из способов, рассмотренных ранее:


[math]\mu_A(\lambda)= (\lambda-\lambda_1)^{m_1}\cdot (\lambda-\lambda_2)^{m_2}\cdot \ldots\cdot (\lambda-\lambda_k)^{m_k}[/math]

2. Для каждого корня [math]\lambda_i[/math] кратности [math]m_i~(i=1,2,\ldots,k)[/math] найти многочлен [math]\psi_i(\lambda)= \frac{\mu_A(\lambda)}{(\lambda-\lambda_i)^{m_i}}[/math] и вычислить коэффициенты [math]r_{ij}[/math] разложения функции [math]\frac{f(\lambda)}{\psi_i(\lambda)}[/math] в точке [math]\lambda_i[/math] по формуле Тейлора:


[math]r_{ij}=\frac{1}{j!}\cdot\! \left.{\frac{d^j}{d\lambda^j}\! \left[\frac{f(\lambda)}{\psi_i(\lambda)}\right]}\right|_{\lambda=\lambda_i},\quad j=0,1,\ldots,m_i-1;~~ i=1,2,\ldots,k.[/math]

3. Составить по формуле (7.61) интерполяционный многочлен [math]r(\lambda)[/math] Лагранжа-Сильвестра.


4. Найти значение функции от матрицы [math]f(A)=r(A)[/math].




Пример 7.23. Найти функцию [math]f(\lambda)=e^{\lambda}[/math] от матрицы [math]D= \begin{pmatrix} -2&5&-3\\ -2&5&-3\\ 1&-1&0 \end{pmatrix}[/math].


Решение. Интерполяционный способ (случай кратных корней). 1. Минимальный многочлен найден в примере7.15: [math]\mu_D(\lambda)=e_3(\lambda)= \lambda^2(\lambda-3)[/math]. Корень [math]\lambda_1=0[/math] — двойной, а [math]\lambda_2=3[/math] — простой, т.е. количество различных корней [math]k=2[/math], кратности корней [math]m_1=2,~m_2=1[/math].


2. Для двойного корня [math]\lambda_1=0[/math] находим многочлен [math]\psi_1(\lambda)= \frac{\mu_D(\lambda)}{(\lambda-0)^2}=\lambda-3[/math] и соответствующие коэффициенты


[math]\left.{r_{1\,0}=\frac{e^{\lambda}}{\lambda-3}}\right|_{\lambda=0}=-\frac{1}{3}\,;\quad \left.{r_{1\,1}= \frac{1}{1!}\cdot \frac{d}{d\lambda} \frac{e^{\lambda}}{\lambda-3}}\right|_{\lambda=0}= \left.{\frac{e^{\lambda}(\lambda-3)-e^{\lambda}}{(\lambda-3)^2}}\right|_{\lambda=0}= -\frac{4}{9}\,.[/math]

Для простого корня [math]\lambda_2=3[/math] находим многочлен [math]\psi_2(\lambda)= \frac{\mu_D(\lambda)}{\lambda-3}=\lambda^2[/math] и коэффициент [math]\left.{r_{2\,0}=\frac{e^{\lambda}}{\lambda}}\right|_{\lambda=3}= \frac{e^3}{9}[/math].


3. Составляем по формуле (7.61) интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра:


[math]r(\lambda)= \Bigl[r_{1\,0}+r_{1\,1}(\lambda-\lambda_1)\Bigr]\psi_1(\lambda)+ r_{2\,0}\psi_2(\lambda)= \left(-\frac{1}{3}-\frac{4}{9}\lambda\right)\!(\lambda-3)+ \frac{e^3}{9}\lambda^2= \frac{e^3-4}{9}\lambda^2+\lambda+1.[/math]

4. Находим функцию от матрицы [math]D:[/math]


[math]\begin{aligned}f(D)&=e^D=\frac{e^3-4}{9}\,D^2+D+E= \frac{e^3-4}{9}\cdot\! \begin{pmatrix}-9&18&-9\\ -9&18&-9\\ 0&0&0 \end{pmatrix}+\\[2pt] &+ \begin{pmatrix}-2&5&-3\\ -2&5&-3\\ 1&-1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3-e^3&2e^3-3&1-e^3\\ 2-e^3&2e^3-2&1-e^3\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/math]

Проверим полученный результат, используя первый способ нахождения функции от матрицы.


1. В примере 7.15 были найдены жорданова форма матрицы [math]D[/math] и преобразующая матрица [math]S:[/math]


[math]J_D=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\!;\quad S=\frac{1}{9}\! \begin{pmatrix}3&5&9\\ 3&2&9\\ 3&-1&0\end{pmatrix}\!;\quad S^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-1&3\\ 3&-3&0\\ -1&2&-1\end{pmatrix}\!.[/math]

2. Жорданова форма [math]J_D[/math] состоит из двух жордановых клеток 2-го и 1-го порядков [math]J_D=\operatorname{diag}\Bigl(J_2(0),\,J_1(3)\Bigr)[/math], соответствующих собственным значениям [math]\lambda=0[/math] и [math]\lambda=3[/math]. Найдем значения функции на спектре матрицы: [math]f(0)=1,[/math] [math]f'(0)=1[/math] и [math]f(3)=e^3[/math]. Запишем функцию от жордановой формы


[math]f(J_D) =\operatorname{diag}\Bigl(J_2(0),\,J_1(3)\Bigr)= \begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&e^3 \end{pmatrix}\!.[/math]

Найдем функцию от матрицы [math]D:[/math]


[math]f(D)=e^D=S\,f(J_D)\,S^{-1}= \frac{1}{9}\!\begin{pmatrix} 3&5&9\\ 3&2&9\\ 3&-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&e^3 \end{pmatrix}\! \cdot\! \begin{pmatrix} 1&-1&3\\ 3&-3&0\\ -1&2&-1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3-e^3& 2e^3-3&1-e^3\\ 2-e^3&2e^3-2&1-e^3\\ 1&-1&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Результаты, полученные разными способами, совпадают.




Свойства функций от матриц


Многие свойства функций скалярного аргумента распространяются на функции от матриц. Рассмотрим некоторые из них.


1. Если функция [math]f(\lambda)[/math] разлагается в степенной ряд


[math]f(\lambda)=\sum_{k=0}^{\infty}c_k(\lambda-\lambda_0)^k,[/math]
(7.62)

сходящийся в круге [math]|\lambda-\lambda_0|<R[/math], то для любой матрицы [math]A[/math], собственные значения которой лежат внутри круга сходимости, справедливо разложение


[math]f(A)=\sum_{k=0}^{\infty}c_k(A-\lambda_0E)^k.[/math]
(7.63)

Здесь предел последовательности матриц (частичных сумм ряда) понимается поэлементно, как совокупность пределов элементов матрицы. Напомним, что [math](A-\lambda_0E)^0=E[/math].


В самом деле, степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости. Поэтому функция [math]f(\lambda)[/math] определена на спектре любой матрицы, собственные значения которой лежат внутри круга сходимости.


Из свойства 1 следуют, например, разложения в ряд (7.62) при [math]c_k= \left.{\frac{1}{k!} \frac{d^kf(\lambda)}{d\lambda^k}} \right|_{\lambda=\lambda_0},~ \lambda_0=0:[/math]


[math]\begin{aligned} e^A&= E+ \frac{1}{1!}\,A+ \frac{1}{2!}\,A^2+\ldots+ \frac{1}{k!}\,A^k+\ldots\,;\\[5pt] \cos{A}&= E- \frac{1}{2!}\,A+\frac{1}{4!}\,A^2+ \ldots+ \frac{(-1)^k}{(2k)!}\,A^{2k}+\ldots\,;\\[5pt] \sin{A}&= \frac{1}{1!}\,A-\frac{1}{3!}\,A^3+ \ldots+ \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,A^{2k+1}+\ldots\,.\end{aligned}[/math]

справедливые для любой квадратной матрицы [math]A[/math].

2. Если функция [math]f(\lambda)[/math] разлагается в степенной ряд, а собственные значения функциональной матрицы [math]At[/math] при всех [math]t[/math] лежат внутри круга сходимости этого ряда, то определена сложная функция [math]f(At)[/math], производная которой находится по формуле:


[math]\frac{df(At)}{dt}=A\cdot\frac{df(At)}{d \lambda}\,.[/math]

В самом деле, подставим в ряд (7.62) вместо [math]\lambda[/math] матрицу [math]At:[/math]


[math]f(At)=\sum_{k=0}^{\infty}c_k(At-\lambda_0E)^k.[/math]

Найдем производную этой матричной функции. Учитывая, что многочлены от одной и той же матрицы перестановочны, по правилу 3 дифференцирования произведения матриц получаем


[math]\begin{aligned}\frac{d(At-\lambda_0E)^2}{dt}&= \frac{d(At-\lambda_0E)}{dt}\cdot ( At-\lambda_0E)+ (At-\lambda_0E)\cdot \frac{d(At-\lambda_0E)}{dt}=\\[2pt] &= A(At-\lambda_0E)+( At-\lambda_0E)A= 2A(At-\lambda_0E),\\[5pt] \frac{d(At-\lambda_0E)^3}{dt}&= \frac{d(At- \lambda_0E)^2}{dt} \cdot(At-\lambda_0E)+ (At-\lambda_0E)^2\cdot \frac{d(At-\lambda_0E)}{dt}=\\[2pt] &=2A(At-\lambda_0E)^2+ (At-\lambda_0E)^2A= 3A(At-\lambda_0E)^2~\ldots \end{aligned}[/math]

то есть [math]\frac{d(At-\lambda_0E)^k}{dt}= kA(At-\lambda_0E)^{k-1}[/math]. Поэтому [math]\frac{df(At)}{dt}=A\cdot \sum_{k=1}^{\infty} kc_k(At-\lambda_0E)^{k-1}.[/math].


Сравнивая полученный ряд с производной [math]\frac{df(\lambda)}{dt}= \sum_{k=1}^{\infty} kc_k(At-\lambda_0E)^{k-1}[/math] ряда (7.62) при подстановке вместо [math]\lambda[/math] матрицы [math]At[/math], приходим к доказываемому равенству.




Пример 7.24. Используя разложение в степенной ряд, найти матричную функцию


[math]f(D)=e^D,[/math] где [math]D=\begin{pmatrix} -2&5&-3\\ -2&5&-3\\ 1&-1&0 \end{pmatrix}\!.[/math]

Решение. Запишем степенной ряд (7.63)


[math]\begin{gathered} e^D=E+\frac{1}{1!}\,D+ \frac{1}{2!}\,D^2+ \ldots+ \frac{1}{k!}\, D^k+\ldots= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-2&5&-3\\ -2&5&-3\\ 1&-1&0\end{pmatrix}+\\[2pt] \frac{9}{2!}\! \begin{pmatrix} -1&2&-1\\ -1&2&-1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}+ \frac{27}{3!}\! \begin{pmatrix}-1&2&-1\\ -1&2&-1\\ 0&0&0\end{pmatrix}+\ldots+ \frac{3^k}{k!}\! \begin{pmatrix} -1&2&-1\\ -1&2&-1\\ 0&0&0\end{pmatrix}+\ldots=\\[2pt] =\begin{pmatrix} -1&5&-3\\ -2&6&-3\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-1&2&-1\\ -1&2&-1\\ 0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\dfrac{9}{2!}+ \dfrac{27}{3!}+\ldots+ \dfrac{3^k}{k!}+\ldots\end{pmatrix}\!.\end{gathered}[/math]

Учитывая разложение [math]e^3=1+\frac{3}{1!}+\frac{9}{2!}+\ldots+\frac{3^k}{k!}+\ldots[/math], получаем


[math]e^D=\begin{pmatrix}-1&5&-3\\ -2&6&-3\\ 1&-1&1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -1&2&-1\\ -1&2&-1\\ 0&0&0\end{pmatrix}\!\cdot(e^3-4)= \begin{pmatrix} 3-e^3&2e^3-3&1-e^3\\ 2-e^3&2e^3-2&1-e^3\\ 1&-1&1\end{pmatrix}\!.[/math]

Результат совпадает с полученным в примере 7.23.




Применение функций от матриц для решения систем дифференциальных уравнений


Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами


[math]\begin{cases} \dfrac{dx_1(t)}{dt}= a_{11}x_1(t)+ a_{12}x_2(t)+ \ldots+ a_{1n}x_n(t)+f_1(t),\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \dfrac{dx_n(t)}{dt}= a_{n1}x_1(t)+ a_{n2}x_2(t)+ \ldots+a_{nn}x_n(t)+f_n(t). \end{cases}[/math]
(7.64)

где [math]a_{ij}[/math] — коэффициенты системы, [math]f_i(t)[/math] — заданные, a [math]x_i(t)[/math] — неизвестные функции аргумента [math]t\in[t_0;+\infty)[/math]. При описании непрерывных динамических систем аргумент [math]t[/math] обозначает время.


Систему (7.64) можно записать в матричном виде:


[math]\frac{dx(t)}{dt}=A\cdot x(t)+f(t),[/math]
(7.65)

где [math]A[/math] — квадратная матрица n-го порядка, [math]f(t)=\begin{pmatrix} f_1(t)&\cdots&f_n(t)\end{pmatrix}^T[/math] — столбец заданных функций, a [math]x(t)=\begin{pmatrix} x_1(t)&\cdots&x_n(t)\end{pmatrix}^T[/math] — столбец неизвестных.


Решением системы (7.65) называют столбец [math]x(t)=\begin{pmatrix} x_1(t)& \cdots& x_n(t) \end{pmatrix}^T[/math] дифференцируемых функций, при подстановке которых в (7.65) получаются верные равенства, тождественно выполняющиеся при [math]t\in[t_0;+\infty)[/math].


Поставим задачу нахождения решения системы (7.65), удовлетворяющего начальным условиям


[math]x(t_0)=x_0,[/math]
(7.66)

где [math]x_0=\begin{pmatrix} x_{10}&\cdots& x_{n0}\end{pmatrix}^T[/math] — заданный столбец.


Как известно, решение системы (7.65) с начальными условиями (7.66) имеет вид:


[math]x(t)=\exp[A(t-t_0)]\cdot x_0\int\limits_{t_0}^{t}\exp[A(t-\tau)]\cdot r(\tau)\,d\tau\,.[/math]
(7.67)

В самом деле, найдем производную функции (7.67). Применяя правило Лейбница


[math]\frac{d}{dt}\int\limits_{u(t)}^{v(t)}f(t,\tau)\,d\tau= \int\limits_{u(t)}^{v(t)}\frac{\partial f(t,\tau)}{\partial t}\,d\tau+ f(t,v(t))\,\frac{dv}{dt}- f(t,u(t))\,\frac{du}{dt}[/math]

и свойство 2 функций от матриц, получаем

[math]\frac{dx(t)}{dt}= A\cdot \exp[A(t-t_0)]\cdot x_0+ \int\limits_{t_0}^{t} A\exp[A(t-\tau)] f(\tau)\,d\tau+ f(t)= A\cdot x(t)+f(t),[/math]

т.е. [math]x(t)[/math] является решением системы (7.65). При [math]t=t_0[/math] формула (7.67) дает [math]x(t_0)=e^{O}x_0=Ex_0=x_0[/math], где [math]O[/math] — нулевая, а [math]E[/math] — единичная матрицы. Равенство [math]e^{O}=E[/math] следует, например, из разложения в ряд функции [math]e^{A}[/math]. Следовательно, решение (7.67) удовлетворяет и начальным условиям (7.66).


Поэтому для нахождения решения нужно выполнить следующие действия.


1. Найти выражение для функции [math]e^{At}[/math] одним из способов, рассмотренных ранее.

2. Записать искомое решение по формуле (7.67).




Замечания 7.11.


1. Нахождение функции [math]f(\lambda)[/math] от функциональной матрицы [math]At[/math] облегчается, если учитывать, что собственные значения [math]\lambda_i(t)[/math] матрицы [math]At[/math] пропорциональны собственным значениям [math]\lambda_i[/math] матрицы [math]A\colon\,\lambda_1(t)=t\,\lambda_i[/math]. Действительно, характеристический многочлен матрицы [math]At[/math] имеет вид


[math]\begin{aligned} \Delta_{At}(\lambda)= \det(At-\lambda E)&= \det\!\left[(tE)\! \left(A- \frac{\lambda}{t}\,E\right)\right]= \det(tE)\cdot \det\!\left(A-\frac{\lambda}{t}\,E\right)=\\[2pt] &=t^n\cdot \det\!\left(A-\frac{\lambda}{t}\,E\right)= t^n\cdot \Delta_{A}\!\left(\frac{\lambda}{t}\right)\!. \end{aligned}[/math]

Поэтому, если число [math]\lambda_i[/math] — корень характеристического многочлена матрицы [math]A\colon\,\Delta_{A}(\lambda_i)=0[/math], то число [math]\lambda=t\,\lambda_i[/math] — корень многочлена [math]\Delta_{At}(\lambda)[/math], причем той же кратности. Такая же связь между корнями минимальных многочленов [math]\mu_{A}(\lambda)[/math] и [math]\mu_{At} (\lambda)[/math]: если [math]\lambda_i[/math] — корень минимального многочлена [math]\mu_{A} (\lambda)[/math], то [math]\lambda=t\,\lambda_i[/math] — корень минимального многочлена [math]\mu_{At}(\lambda)[/math].


2. Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [math]a_nx^{(n)}(t)+ \ldots+a_1x'(t)+a_0x(t)=b_0(t)[/math] сводится к решению системы вида (7.64), получающейся после замены [math]x_1(t)=x(t),[/math] [math]x_2(t)=x'(t),\,\ldots,[/math] [math]x_n(t)=x^{(n-1)}(t)[/math].


3. Для нахождения функции [math]\exp[A(t-\tau)][/math] можно использовать следующий способ. Найти [math]n[/math] линейно независимых решений [math]\varphi_1(t),\ldots, \varphi_n(t)[/math] однородной системы [math]\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)[/math] и составить из этих столбцов фундаментальную матрицу [math]\varphi(t)= \begin{pmatrix} \varphi_1(t)&\cdots &\varphi_n(t)\end{pmatrix}[/math] системы (7.65). В силу линейной независимости столбцов [math]\varphi_1(t),\ldots, \varphi_n(t)[/math] определитель фундаментальной матрицы (определитель Вронского) отличен от нуля: [math]\det\varphi(t)\ne0[/math] для [math]t\geqslant t_0[/math]. Поэтому определена обратная матрица [math]\varphi^{-1}(t)[/math]. Функция [math]\exp[A(t-\tau)][/math] (называемая матрицей Коши, или переходной матрицей) может быть найдена по формуле


[math]\exp[A(t-\tau)]= \varphi(t)\cdot \varphi^{-1}(\tau).[/math]



Пример 7.25. Найти решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям [math]x_1(0)=1,[/math] [math]x_2(0)=2[/math], матричным способом:


[math]\begin{cases} \dfrac{dx_1(t)}{dt}= 4x_1(t)+4x_2(t)+4,\\[8pt] \dfrac{dx_2(t)}{dt}=-x_1(t)-2. \end{cases}[/math]

Решение. 1. Составим матрицу [math]A[/math] коэффициентов системы: [math]A=\begin{pmatrix} 4&4\\-1&0\end{pmatrix}[/math] и функцию [math]f(t)=\begin{pmatrix} 4\\-2 \end{pmatrix}[/math]. Найдем выражение для функции [math]e^{\lambda}[/math] от матрицы [math]\lambda=At[/math] (т.е. функции [math]e^{At}[/math]), используя второй способ нахождения функции от матрицы. Минимальный многочлен [math]\mu_A(\lambda)=(\lambda-2)^2[/math] матрицы [math]A[/math] был найден в примере 7.18. Согласно пункту 1 замечаний 7.11, минимальный многочлен матрицы [math]At[/math] имеет вид [math]\mu_{At}(\lambda)=(\lambda-2t)^2[/math]. Степень [math]\nu[/math] минимального многочлена равна 2. Значит, многочлен (7.44) линейный: [math]r(\lambda)=r_1\lambda+r_0[/math]. Для двойного корня [math]\lambda=\lambda_1=2t[/math] [math](m_1=2)[/math] составляем уравнения (7.46) (см. пример 7.21): [math]\begin{cases} e^{2t}= r_1\cdot2t+r_0,\\ e^{2t}=r_1.\end{cases}[/math]


Решая систему, получаем [math]r_1=e^{2t},~r_0=e^{2t}(1-2t)[/math] и [math]r(\lambda)= e^{2t}\lambda+ e^{2t}(1-2t)[/math]. Находим функцию [math]e^{\lambda}[/math] от матрицы [math]AT:[/math]


[math]e^{At}= r(At)= r_1At+r_0E= e^{2t}\cdot\! \begin{pmatrix}4&4\\-1&0 \end{pmatrix}\!\cdot t+e^{2t}()\cdot\! \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}= e^{2t}\cdot\! \begin{pmatrix} 1+2t&4t\\ -t&1-2t\end{pmatrix}\!.[/math]

По формуле (7.67) записываем искомое решение [math](t_0=0)\colon[/math]


[math]\begin{aligned} x(t)&= e^{2t}\! \begin{pmatrix}1+2t&4t\\ -t&1-2t \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+ \int\limits_{0}^{t}e^{2(t-\tau)}\! \begin{pmatrix} 1+2(t-\tau)& 4(t-\tau)\\ -(t-\tau)&1-2(t-\tau) \end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\!d\tau=\\ &=e^{2t}\! \begin{pmatrix}1+10t\\2-5t\end{pmatrix}+ \int\limits_{0}^{t}e^{2(t-\tau)}\! \begin{pmatrix} 4\\-2 \end{pmatrix}\!d\tau= e^{2t}\! \begin{pmatrix}1+10t\\2-5t\end{pmatrix}- \frac{1}{2}\! \begin{pmatrix} 4\\-2\end{pmatrix}\!\cdot \Bigl.{e^{2(t-\tau)}}\Bigr|_{\tau=0}^{\tau=t}=\\[2pt] &= e^{2t}\! \begin{pmatrix}1+10t\\2-5t\end{pmatrix}- \frac{1}{2}\! \begin{pmatrix} 4\\-2 \end{pmatrix}\! \cdot(1-e^{2t})= e^{2t}\! \begin{pmatrix} 3+10t\\ 1-5t\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved