Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного


Основные понятия функций комплексного переменного


Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области.


Пусть заданы два множества D и G комплексных чисел.


Если каждому значению z\in D ставится в соответствие число w\in G, то говорят, что на множестве D задана функция w=f(z) комплексного переменного, т.е.


f\colon\, \forall z\in D,~ D\subset \mathbb{C}~ \to~ w\in G,~ G\subset \mathbb{C}~ \Leftrightarrow~ w=f(z).

Если записать числа z и w в алгебраической форме: z=x+iy,~ w=u+iv, то замечаем, что действительная u=\operatorname{Re}f(z) и мнимая v=\operatorname{Im}f(z) части функции f(z) являются функциями переменных x и y\colon\, u=u(x,y) и v=v(x,y).


Задание функции w=f(z),~ z\in D эквивалентно заданию на множестве D двух функций u=u(x,y),~ v=v(x,y) двух действительных переменных.


Кроме того, если для числа w записать модуль |w|=\sqrt{u^2+v^2} и аргумент \arg w=\varphi,~ \operatorname{tg}\varphi=\frac{v}{u}для u\ne0 и \varphi=\pm \frac{\pi}{2} при u=0 (\varphi=\frac{\pi}{2} при v>0 и \varphi=-\frac{\pi}{2} при v<0), то получим аналогичное утверждение. Задание функции комплексного переменного w=f(z) равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. Первая из функций определяет модуль функции: |f(z)|= F(x,y)= \sqrt{u^2(x,y)+v^2(x,y)}, вторая — аргумент функции: \arg f(z)=\Phi(x,y), где \operatorname{tg}\Phi(x,y)= \frac{v(x,y)}{u(x,y)} в точках, в которых u(x,y)\ne0;~ \Phi(x,y)=\frac{\pi}{2} при u(x,y)=0,~ v(x,y)>0 и \Phi(x,y)=-\frac{\pi}{2} при u(x,y)=0,~ v(x,y)<0.


Пример 2.1. Найти значение функции f(z)=iz^2-\overline{z} в точках z_1=1+i и z_2=2i.


▼ Решение
\begin{gathered}f(z_1)= i\cdot (1+i)^2- (1-i)= i\cdot 2i-1+i=-3+i;\\[5pt] f(z_2)= i\cdot (2i)^2-(-2i)= -4i+2i=-2i.\end{gathered}

Пример 2.2. Найти \operatorname{Re}f(z),~ \operatorname{Im}f(z), если а) f(z)=z^2; б) f(z)=\frac{z-i}{z+2}.


▼ Решение

a) z^2=(x+iy)^2= x^2-y^2+i2xy~ \Rightarrow~ \operatorname{Re}f(z)=x^2-y^2,~ \operatorname{Im}f(z)=2xy;


б) \frac{z-i}{z+2}= \frac{x+iy-i}{x+iy+2}= \frac{x+i(y-1)}{(x+2)+iy}= \frac{[x+i(y-1)][ x+2)-iy]}{(x+2)^2+y^2}= \frac{x(x+2)+y(y-1)+ i[(y-1)(x+2)-xy]}{(x+2)^2+y^2},.


то есть \operatorname{Re}f(z)= \frac{x^2+y^2+2x-y}{(x+2)^2+y^2},~~ \operatorname{Im}f(z)= \frac{2y-x-2}{(x+2)^2+y^2}.




Отображения на комплексной плоскости


Задание функции комплексного переменного f(z) с областью определения D и областью значений G есть отображение множества D на множество G, f\colon D\to G (рис. 2.1).


Точка w\in G называется образом точки z при отображении w=f(z), точка z\in D — прообразом.


По определению предполагается однозначность отображения, т.е. каждому числу z\in D соответствует единственное значение w\in G, но при этом может оказаться, что точка w является образом двух или более точек z\in D (на рис. 2.1 это точка w_0, так как w_0=f(z_1) и w_0=f(z_2)).


Отображение множеств на комплексной плоскости

Если любое значение w\in G является образом только одной точки z\in D, то отображение называется однолистным в D, в противном случае — неоднолистным. Из определения следует, что однолистное отображение является взаимно однозначным отображением.


Простейшими однолистными (во всей комплексной плоскости) отображениями являются отображения w=z,~ w=\overline{z}. Первое отображает любую область, в том числе и всю комплексную плоскость, на себя, второе — верхнюю полуплоскость на нижнюю, а нижнюю на верхнюю.


Примером неоднолистного в \mathbb{C} отображения является w=z^2. Действительно, различным точкам, например z_1=1 и z_2=-1, соответствует одно значение w=1, а точкам \pm i — одно значение w=-1. Неоднолистным отображением является и w=z^n. Каждой точке w,~ w\ne0,~ w\ne\infty, соответствуют n значений z_{k},~ k=0,1,\ldots,n-1. В силу этого отображение w=z^n при n>1 называют n-листным, а отображение w=z^2 — двулистным.


Из определения получаем и условие однолистности отображения, отображение является однолистным на множестве D, если для любых точек z_1 и z_2, принадлежащих D, равенство f(z_1)= f(z_2) выполняется тогда и только тогда, когда z_1=z_2. Иначе: отображение однолистно на множестве D, если множество не содержит ни одной пары чисел z_1 и z_2, таких, что z_1\ne z_2 и выполняется условие f(z_1)= f(z_2).


Пример 2.3. Найти область однолистности функции w=z^2.


▼ Решение

Во всей комплексной плоскости отображение не является однолистным. Но можно найти множество, где условие однолистности будет выполняться, т.е. множество, которое не содержит двух различных точек z_1 и z_2, для которых f(z_1)=f(z_2).


Рассмотрим две произвольные точки z_1 и z_2 и разность значений функции в них: w_1-w_2= z_1^2-z_2^2= (z_1-z_2)(z_1+z_2). При z_1\ne z_2 равенство w_1=w_2 выполняется, если z_1+z_2=0. Таким образом, отображение w=z^2 будет однолистным в любой области, в которой не лежат одновременно две точки z_1 и z_2, такие, что z_1=-z_2. Эти точки нужно расположить на границе области. Так как указанному условию удовлетворяют точки, симметрично расположенные относительно начала координат, то в качестве границы можно выбрать любую прямую, доходящую через z=0.


Отображение однолистно в любой полуплоскости, границей которой является прямая, проходящая через начало координат, например \operatorname{Im}z>0 или \operatorname{Im}z<0. При этом каждую такую полуплоскость w=z^2 отображает на всю плоскость.


Рассмотрим подробнее отображение области \operatorname{Im}z>0. На границе выберем точки A(-1;0),~ O(0;0),~ B(1;0) (рис. 2.2,с), а обход границы в направлении от A к B. Образами точек A и B на плоскости w является одна точка w=1 (рис. 1.2,б). При этом и левая, и правая полуоси действительной оси отображаются в действительную положительную полуось. Любая область D, принадлежащая верхней полуплоскости, взаимно однозначно отображается на соответствующую область G.


Взаимная однозначность отображения нарушается на границе. Чтобы отображение было взаимно однозначным (однолистным) и на границе, сделаем "разрез" действительной положительной полуоси. Будем считать, что эта полуось состоит из двух "частей" — верхнего "берега" и нижнего "берега" (рис. 2.2,б). Полуось как граница пробегается точкой дважды, скачала по нижнему "берегу" в направлении от точки A к O, потом по верхнему — от O к B.


Функция w=z^2 взаимно однозначно отображает верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.


Также на всю плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси функция w=z^2 отображает и нижнюю полуплоскость (на рис. 2.2,с обход от B к A), только при этом образом точки B будет точка нижнего "берега" разреза (A на рис. 2.2,б). Заметим также, что правая (\operatorname{Re} z>0) и левая (\operatorname{Re}z<0) полуплоскости переходят при отображении w=z^2 в плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси.


В силу указанной особенности отображение является двулистным в D.


Отображение области на комплексной плоскости

Пример 2.4. Исследовать на однолистность отображения: а) w=az+b,~ a\ne0; б) w=\frac{1}{z} ; в) w=z^n.


▼ Решение

а) Отображение однолистно во всей комплексной плоскости, так как для w_1=az_1+b и w_2=az_2+b равенство w_1-w_2=0 выполняется тогда и только тогда, когда z_1=z_2.


б) При z\ne0 для w_1=\frac{1}{z_1} и w_2=\frac{1}{z_2} имеем w_1-w_2=\frac{z_2-z_1}{z_1\cdot z_2}. Поэтому для любых z_1 и z_2 при z_1\ne z_2 получаем w_1\ne w_2 и w_1\ne w_2 только при условии z_1\ne z_2. Отображение однолистно всюду в \mathbb{C}\setminus\{0\}.


в) Во всей плоскости отображение не является однолистным, так как, например, для точек z_1 и z_2=z_1\exp \frac{2\pi i}{n} значения функции совпадают: w_1=z_1^n и w_2=z_1^n\cdot1.


Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей углу наклона \frac{2\pi}{n} с вершиной в начале координат. Каждый такой угол функция w=z^n отображает на всю плоскость с разрезом по лучу [0;+\infty), в частности по действительной положительной полуоси (рис. 2.3).


Однолистное отображение на комплексной плоскости



Обратные и многозначные функции комплексного переменного


Понятие обратной функции для функции комплексного переменного вводится, как и в действительной области.


Пусть задана функция w=f(z),~ f\colon D\to G. Тогда по определению любому числу w из области G соответствует одно или несколько значений z из области D таких, что f(z)=w, т.е. для любого w\in G уравнение f(z)=w имеет решения и области D. В таком случае говорят, что уравнение f(z)=w определяет функцию z=f^{-1}(w), обратную функции w=f(z).


Существование функции, согласно определению, предполагает ее однотипность, т.е. для случая обратной функции — это единственность решения уравнения f(z)=w при всяком фиксированном w из G. Очевидно, в общем случае уравнение определяет неоднозначную функцию.


Достаточным условием однозначности обратной функции является однолистность функции f(z).


Пример 2.5. Найти функции, обратные к следующим однолистным функциям:


a) w=a\cdot z+b,~ a\ne0; б) w=\frac{a}{z},~ a\ne0; в) w=\overline{z}.


▼ Решение

а) Из равенства w=az+b получаем z=\frac{w-b}{a}, или z=a_1w+b_1. Обратная к линейной функции также является линейной, однозначной. Линейная функции взаимно однозначно отображает комплексную плоскость на себя: \mathbb{C}\to \mathbb{C}. Если положить w(\infty)=\infty, то можно говорить о взаимно однозначном отображении расширенной плоскости на себя: \overline{\mathbb{C}}\to \overline{\mathbb{C}}.


б) Из w=\frac{a}{z},~ a\ne0, получаем z=\frac{a}{w}. Функция сама себе обратная, однозначная; осуществляет взаимно однозначное соответствие плоскости с выброшенной точкой z=0 на всю комплексную плоскость. Если положить w(0)=\infty, a w(\infty)=0, то получим отображение f\colon \overline{\mathbb{C}}\to \overline{\mathbb{C}}.


в) Отображение w=\overline{z}, очевидно, однолистное, так как из w_1-w_2= \overline{z}_1-\overline{z}_2, или иначе w_1-w_2= \overline{z_1-z_2}, получаем, что для любых значений z_1 и z_2,~ z_1\ne z_2 значения функции не совпадают, т.е. w_1\ne w_2. Функция z=\overline{w}, обратная к функции w=\overline{z}, является однозначной.




Функции, обратные к неоднолистным. Выделение однозначных ветвей


С неоднозначными функциями приходится встречаться в математическом анализе. Например, уравнение x^2+y^2=1 на множестве |x|<1 определяет двухзначную функцию y=\pm\sqrt{1-x^2}, точнее, две функции: y=-\sqrt{1-x^2} и y=\sqrt{1-x^2}. Геометрически — это две части окружности, верхняя и нижняя полуокружности. Эти функции можно назвать двумя однозначными ветвями функции, определяемой неявно уравнением x^2+y^2=1. Отделение этих функций — выделение однозначных ветвей — здесь не представляет затруднений. Говоря о верхней полуокружности, подразумеваем то решение уравнения x^2+y^2=1, где y>0, поэтому ветвь y=\sqrt{1-x^2} можно выделить, задавая значения функции во внутренней точке промежутка |x|<1, например y(0)=1; говоря о нижней, можем задать y(0)=-1.


Аналогично в комплексной области предполагаем однозначность функции, однако термин "функция" применяем и к случаю неоднозначных отображений.


Примерами неоднозначных отображений являются функции, обратные к неоднолистным. Например, функция w=\sqrt{z}, обратная к функции w=z^2, неоднозначная.


Вопрос о возможности выделения в соответствующих областях однозначных ветвей — однозначных, непрерывных функций и построении таких функций связан с исследованием простейшей многозначной функции w=\operatorname{Arg}z.




Функция аргумента Arg(z)


Функция w=\operatorname{Arg}z является многозначной, что следует из способа введения полярных координат, а именно аргумент числа z~(z\ne0) определяется с точностью до слагаемого, кратного 2\pi.


При перемещении любой точки z~(z\ne0) по произвольной непрерывной кривой аргумент числа z непрерывно изменяется. При этом, если кривая замкнутая, то возможны два случая. В одном случае точка после обхода возвращается в исходное положение с прежним значением аргумента. Так будет для любой кривой, не совершающей обхода вокруг начала координат (рис. 2.4,а). В другом случае аргумент изменяется на 2\pi или (-2\pi) в зависимости от направления обхода, а при n-кратном обходе — на 2kn,~ k=n или k=-n. Это имеет месте в случае, когда точка при перемещении обходит начало координат (рис. 2.4.б).


Аргумент комплексного числа

Аргумент как функция точки будет однозначной функцией в области, которая не содержит кривых, совершающих обход точки z=0. В качестве такой области можно взять плоскость с разрезом по любому лучу, выходящему из начала координат, в частности, с разрезом по действительной отрицательной полуоси — область D_2,\,-\pi<\arg z<\pi; можно выбрать разрез по действительной положительной полуоси — область D_1, где главное значение аргумента определяется равенством 0<\arg z<2\pi (рис. 2.5). Заметим, что аргументы числа, геометрически соответствующего одной и той же точке областей D_1 и D_2, могут быть различны. Например. в области D_1\colon\,\arg(-i)= \frac{3\pi}{2}, а в области D_2\colon\,\arg(-i)=-\frac{\pi}{2}.


Разрез по лучу на комплексной плоскости

Границами каждой из областей D_1 и D_2 являются два "берега" соответствующей полуоси, обход границ на рисунках указан стрелками.


Пример 2.6. Исследовать возможность выделения однозначных ветвей неоднозначной, функции w=\sqrt{z}.


▼ Решение

Функция является неоднозначной как обратная к неоднолистной w=z^2. Её неоднозначность (двузначность), согласно правилу извлечения корня, связана с неоднозначностью аргумента: \sqrt{z}= \sqrt{|z|}\cdot e^{i \left(\frac{\arg z}{2}+ k\pi\right)},~ k=0;1.


Для каждого z~(z\ne0) получаем два значения w, для одного из которых \arg w_1= \frac{1}{2}\arg{z}, для другого \arg w_2= \frac{1}{2}\arg{z}+\pi. При этом в силу равенства e^{i\,\pi}=-1 эти значения функции отличаются только знаком, w_2=w_1\cdot e^{i\pi}, то есть w_1=-w_2. Например, значению z=-1 (точка C в плоскости z на рис. 2.6 и 2.7) соответствуют два значения w\colon\, w=\pm i (точки C в плоскости w на рис. 2.6 и 2.7).


В плоскости с разрезом по лучу [0;+\infty) (D_1 на рис. 2.5) возможно выделение однозначных ветвей аргумента. Можно рассмотреть две функции:


w= \bigl(\sqrt{z}\bigr)_1= \sqrt{|z|}\cdot \exp \frac{i\arg z}{2},\qquad w=\bigl(\sqrt{z} \bigr)_2= \sqrt{|z|}\cdot \exp \frac{i(\arg z+2\pi)}{2},\quad 0<\arg z<2\pi\,.

Первая из них переводит область D_1 — плоскость с разрезом — в область G_1, где \operatorname{Im}w>0 (на рис. 2.6 точка C принадлежит области G_1), так как для \arg w= \frac{1}{2}\arg z имеем неравенство 0<\arg w<\pi.


Положительный обход границ указан стрелками. В точках границы области D_1 однозначность нарушается, но в силу сделанного разреза действительные положительные значения (z=x,~ x>0) рассматриваются дважды: на верхнем "берегу" и на нижнем "берегу". Например, при z=1 это точки A — верхнего "берега" и B — нижнего, а при z=2 точки E — верхнего "берега" и F — нижнего (рис. 2.6). При отображении w=(\sqrt{z})_1 точкам верхнего "берега" соответствуют положительные значения \sqrt{x} (точки A и E), а точкам нижнего — отрицательные (точки B и F).


Разрезы на комплексной плоскости

Вторая функция (\sqrt{z})_2 переводит область D_2 — плоскость с разрезом [0;+\infty) на нижнюю полуплоскость \operatorname{Im}w<0 (рис. 2.7), так как для \arg w=\frac{1}{2}\arg z+\pi имеем неравенство \pi<\arg w<2\pi. На рис. 2.7 точка C принадлежит области G.


Разрезы на комплексной плоскости 2

Граничным точкам верхнего "берега" соответствуют отрицательные значения \sqrt{z} (точка B), а точкам нижнего "берега" — положительные (точка A).




Отображение и разрез плоскости


Из приведенных рассуждений сформулируем следующее утверждение.


Утверждение 2.1. Двузначная функция \sqrt{z} отображает плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси (область D) на верхнюю полуплоскости (область G_1) и нижнюю (область G_2). В области D возможно выделение однозначных ветвей — двух однозначных функций, одна из которых отображает D на G_1, другая — D на G_2. Однозначное отображение всей плоскости (z\ne0)~0<|z|<+\infty невозможно.


Замечание 2.1. Проведение разреза в плоскости позволило получить однозначные функции, с которыми можно производить обычные операции (нахождение значений функции, дифференцирование, интегрирование). Указание определенной ветви осуществляется заданием функции в некоторой точке области. Например, при задании условия \sqrt{-1}=i рассматривается ветвь (\sqrt{z})_1; при условии \sqrt{-1}=-i — ветвь (\sqrt{z})_2 (на рис. 2.6 и 2.7 (см. решение примера 2.6) точка C). Но, с другой стороны, проведение разреза нарушило непрерывность отображения. Нарушенную непрерывность можно восстановить следующим образом. На основе приведенных рассуждений имеем, что значения (\sqrt{z})_1 на верхнем "берегу" границы области D совпадают со значением функции (\sqrt{z})_2 на нижнем "берегу" той же области, и наоборот (точки A и B на рис. 2.6 и 2.7 (см. решение примера 2.6)). Поэтому можно построить следующую модель.


Возьмем два экземпляра (листа) плоскости D (плоскость с разрезом), а именно D_1 и D_2 и "склеим" верхний "берег" разреза D_1 с нижним для D_2, a нижний D_2 — с верхним для D_1. В плоскости (w) при этом получим полную плоскость \overline{C}. Построенная модель называется римановой поверхностью функции w=z^2.


Если в плоскости (z) точка описывает простую замкнутую кривую, обходя начало координат, то в плоскости (w) ей будет соответствовать кривая, совершающая дважды обход вокруг w=0, а на римановой поверхности — простая кривая, по которой точка, взятая, например, на первом листе, перемещается по этому листу, потом по второму и возвращается в исходное положение, совершив один обход. Непрерывность и однозначность отображения соблюдены.


Точка z_0=0, при обходе вокруг которой по замкнутой кривой точка переходит с одного листа на другой, называется точкой ветвления \sqrt{z}. Также точкой ветвления \sqrt{z} является точка z=\infty.


Утверждение 2.2. Функция w=z^2 взаимно однозначно и непрерывно отображает полную плоскость (z\ne0,~ z\ne\infty) на риманову поверхность этой функции. Обратная функция z=\sqrt{w} также взаимно однозначно и непрерывно отображает риманову поверхность функции w=z^2 на полную плоскость (z\ne0,~ z\ne\infty).


Аналогично можно исследовать n-листную функцию e=z^n и обратную к ней w=\sqrt[\LARGE{n}]{z}.




Предел функции комплексного переменного


Число A~(A\in \mathbb{C}) называется пределом функции f(z) в точке z_0, если для любого числа \varepsilon>0 найдется число \delta(\varepsilon) такое, что для z, удовлетворяющих неравенству 0<|z-z_0|<\delta(\varepsilon), выполняется неравенство |f(z)-A|<\varepsilon\colon


\lim_{z\to z_0}f(z)=A~~ \Leftrightarrow~~ \forall \varepsilon>0~ \exists\delta(\varepsilon) \colon\, |f(z)-A|<\varepsilon для z\in O_{\delta}(z_0),~ z\ne z_0.

Геометрически это означает, что для точек из проколотой δ-окрестности точки z_0~(z\in O_{\delta}(z_0),~ z\ne z_0) соответствующие значения функции принадлежат ε-окрестности точки A~(f(z)\in O_{\varepsilon}(A)).


Напомним, что окрестность точки на комплексной плоскости — это круг с центром в этой точке. Так, O_{\varepsilon}(A) или |f(z)-A|<\varepsilon есть круг радиуса \varepsilon с центром в точке A, а проколотая окрестность точки z_0\colon\, O_{\delta}(z_0),~ z\ne z_0 или O_{\delta}(z_0)\setminus z_0, или 0<|z-z_0|<\delta — круг радиуса \delta с центром в точке z_0 за исключением точки z_0.


Если записать числа в алгебраической форме, то нетрудно доказать справедливость следующего утверждения.




Условия существования предела функции комплексного переменного


Утверждение 2.3 (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного).


Для того чтобы в точке z_0 существовал предел функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы в точке (x_0,y_0),~ z_0=x_0+iy_0 существовали пределы двух функций действительных переменных u(x,y),~ v(x,y), где u=\operatorname{Re}f(z),~ v=\operatorname{Im}f(z); при этом имеет место равенство


\lim_{z\to z_0}f(z)= \lim_{\substack{x\to x_0\\ y\to y_0}}u(x,y)+ i\lim_{\substack{x\to x_0\\ y\to y_0}}v(x,y),\quad f(x,y)=u+iv,\quad z_0=x_0+iy_0.

Иначе: \exists \lim_{z\to z_0}f(z)=A~ \Leftrightarrow~ \exists \lim_{z\to z_0}\operatorname{Re}f(z)= \operatorname{Re}A,~ \exists \lim_{z\to z_0}\operatorname{Im}f(z)= \operatorname{Im}A.


Замечания 2.2


1. Из сформулированного критерия следует, что в комплексной области имеют место правила и свойства пределов такие же, как и в действительной области (за исключением, разумеется, свойств, связанных со знаками неравенств).


Например, \lim_{z\to z_0}\bigl(c_1f_1(z)+ c_2f_2(z)\bigr)= c_1\lim_{z\to z_0}f_1(z)+ c_2\lim_{z\to z_0}f_2(z) (при условии, что существуют пределы в правой части равенства).


2. Можно определить понятие предела функции в точке, рассматривая не всю окрестность этой точки, а только некоторое связное множество точек из этой окрестности — предельный переход по множеству:


\lim_{\substack{z\to z_0\\ z\in M}}f(z)=A~ \Leftrightarrow~ \forall \varepsilon>0~ \exists\delta(\varepsilon)\colon\, |f(z)-A|<\varepsilon для z\in \bigl\{M\cap O_{\delta}(z_0)\setminus z_0\bigr\}.

Здесь точки z принадлежат пересечению множества M и проколотой окрестности точки z_0. В частности, это имеет место, если M — множество точек кривой, или M — замкнутое множество M= \overline{D}. Так, на рис. 2.8,а множество M — кривая l, функция f(z) определена на l и \bigl\{M\cap O_{\delta}(z_0) \setminus z_0\bigr\} — дута AB, за исключением точки z_0. На рис. 2.8,б множество M — множество \overline{D}=D\cup C, функция определена в области D (или \overline{D}), \bigl\{M\cap O_{\delta}(z_0)\setminus z_0\bigr\} — заштрихованная часть области D.


Пересечение множеств на комплексной плоскости



Непрерывность в точке функции комплексного переменного


Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке z_0, если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое в этой точке приращение функции, т.е.


\lim_{\Delta z\to0}\bigl(f(z_0+\Delta z)-f(z_0)\bigr)=0.

Это эквивалентно следующему определению: функция f(z) непрерывна в точке z_0, если предел функции в точке равен ее значению в этой точке, т.е.


\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0).

Так как понятие непрерывности определяется через понятие предела, то, учитывая сформулированный выше критерий существования предела функции (утверждение 2.3), нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.


Утверждение 2.4 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Для того чтобы функция f(z) была непрерывна в точке z_0, необходимо и достаточно, чтобы в точке (x_0,y_0),~ (z_0=x_0+iy_0) были непрерывны функции


u=u(x,y),~~ v=v(x,y), где u=\operatorname{Re}f(z),~ v=\operatorname{Im}f(z).

Функция, непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.


Замечание 2.3. Как и в действительной области, справедливы свойства непрерывности в точке для суммы, произведения, частного двух функций, а также свойство непрерывности сложной функции.


▼ Примеры 2.7-2.12

Пример 2.7. Исследовать функцию w=z^n на непрерывность.


Решение. Функция w=z, очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому непрерывными во всей плоскости являются функции w=z^n при любом n, согласно свойству непрерывности произведения.


Пример 2.8. Исследовать на непрерывность многочлен n-й степени P(z), где a_k~(k=0,1,\ldots,n) — любые комплексные числа, если


P(z)=a_nz^n+ a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+\ldots+a_2z^2+a_1z+a_0.

Решение. Функция w=c~(c=\text{const}), очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому, учитывая непрерывность суммы и произведения непрерывных функций и результат примера 2.7, заключаем, что многочлен P(z) есть функция, непрерывная во всей комплексной плоскости.


Пример 2.9. Исследовать на непрерывность рациональную функцию R(z)= \frac{P(z)}{Q(z)}, где P(z) и Q(z) — многочлены.


Решение. Согласно замечанию 2.3 рациональная функция R(z)= \frac{P(z)}{Q(z)} непрерывна во всей комплексной плоскости, за исключением точек, где Q(z)=0.


Пример 2.10. Исследовать на непрерывность функции \overline{z},~ |z|,~ \operatorname{Re}z,~ \operatorname{Im}z.


Решение. Функции \overline{z},~ |z|,~ \operatorname{Re}z,~ \operatorname{Im}z непрерывны во всей комплексной плоскости (всюду в \mathbb{C}), что нетрудно установить, используя утверждение 2.4.


Пример 2.11. Исследовать на непрерывность функции \frac{z^2+1}{2z-1} и \frac{2z-1}{z^2+1}.


Решение. Функция \frac{z^2+1}{2z-1} непрерывна всюду в \mathbb{C}, за исключением точки z=\frac{1}{2}, а функция \frac{2z-1}{z^2+1} — за исключением точек i и -i. Этот вывод следует из решения примера 2.9.


Пример 2.12. Найти пределы функций комплексного переменного:


\lim_{z\to1}\frac{z^2+1}{2z-1},\qquad \lim_{z\to i}\frac{z^2+1}{2z-1},\qquad \lim_{z\to i} \frac{2z-1}{z^2+1}.

Решение. В первых двух случаях в силу непрерывности функций в предельных точках получаем


\lim_{z\to1}\frac{z^2+1}{2z-1}= \frac{1+1}{2\cdot1-1}=2,\qquad \lim_{z\to i}\frac{z^2+1}{2z-1}= \frac{-1+1}{2i-1}=0.

Так как функция f(z)= \frac{z^2+1}{2z-1} является бесконечно малой в точке i, то обратная ей дробь — функция \frac{1}{f(z)}= \frac{2z-1}{z^2+1} бесконечно большая в этой точке. Поэтому \lim_{z\to i}\frac{2z-1}{z^2+1}=+\infty.




Производная функции комплексного переменного


Производная функции комплексного переменного в точке z_0\in\mathbb{C} вводится так же, как и в действительной области, а именно


f'(z_0)= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{\Delta f(z_0)}{\Delta z}\,.
(2.1)

Здесь \Delta z стремится к нулю по любой кривой, по любому направлению.


Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.


Из равенства (2.1) и свойств пределов получаем, что приращение дифференцируемой в точке функции можно записать в виде


\Delta f(z_0)= f'(z_0)\cdot\Delta z+\alpha(z_0,\Delta z)\cdot\Delta z,
(2.2)

где \alpha(z_0,\Delta z) — бесконечно малая при \Delta z\to0.


Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Поэтому равенство (2.2) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке z_0.


Кроме того, из равенства (2.2) следует, что непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости ее в этой точке, т.е. если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved