Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Функции комплексного переменного | |
---|---|
Онлайн-сервисы
Нахождение НОД и НОК
Разложение числа на простые множители
Сравнения по модулю
Операции над множествами
Операции над векторами
Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис
Чертёж треугольника по координатам вершин
Решение треугольника
Решение Пирамиды
Построение Пирамиды по координатам вершин
Чертёж многоугольника по координатам вершин
Решение систем методом Крамера и Матричным
Онлайн построение графика кривой 2-го порядка
Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам
МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики
Онлайн число, сумма и дата прописью
Алгоритмы JavaScript
Алгоритмы поиска
Алгоритмы сортировки
Уникальные элементы массива
Объединение, пересечение и разность массивов
НОД и НОК
Операции над матрицами
Дата прописью
Введение в анализ
Функции: понятие, определение, графики
Непрерывность функции
Исследование функции и построение графика
Теория множеств
Множества: понятие, определение, примеры
Точечные множества
Замкнутые и открытые множества
Мера множества
Группы, кольца, поля в математике
Поле комплексных чисел
Кольцо многочленов
Основная теорема алгебры и ее следствия
Математическая логика
Алгебра высказываний
Аксиоматика и логические рассуждения
Методы доказательств теорем
Алгебра высказываний и операции над ними
Формулы алгебры высказываний
Тавтологии алгебры высказываний
Логическая равносильность формул
Нормальные формы для формул высказываний
Логическое следование формул
Приложение алгебры высказываний для теорем
Дедуктивные и индуктивные умозаключения
Решение логических задач
Принцип полной дизъюнкции
Булевы функции
Множества, отношения и функции в логике
Булевы функции от одного и двух аргументов
Булевы функции от n аргументов
Системы булевых функций
Применение булевых функций к релейно-контактным схемам
Релейно-контактные схемы в ЭВМ
Практическое применение булевых функций
Теория формального
Формализованное исчисление высказываний
Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний
Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний
Логика предикатов
Логика предикатов
Логические операции над предикатами
Кванторные операции над предикатами
Формулы логики предикатов
Тавтологии логики предикатов
Преобразования формул и следование их предикатов
Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул
Применение логики предикатов в математике
Строение математических теорем
Аристотелева силлогистика и методы рассуждений
Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме
Метод полной математической индукции
Необходимые и достаточные условия
Логика предикатов и алгебра множеств
Формализованное исчисление предикатов
Неформальные и формаль-ные аксиоматические теории
Неформальные аксиоматические теории
Свойства аксиоматических теорий
Формальные аксиоматические теории
Формализация теории аристотелевых силлогизмов
Свойства формализованного исчисления предикатов
Формальные теории первого порядка
Формализация математической теории
Теория алгоритмов
Интуитивное представление об алгоритмах
Машины Тьюринга и тезис
Рекурсивные функции
Нормальные алгоритмы Маркова
Разрешимость и перечислимость множеств
Неразрешимые алгоритмические проблемы
Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики
Математическая логика и компьютеры
Дискретная математика
Множества и отношения
Теория множеств: понятия и определения
Операции над множествами
Кортеж и декартово произведение множеств
Соответствия и бинарные отношения на множествах
Операции над соответствиями на множествах
Семейства множеств
Специальные свойства бинарных отношений
Отношения эквивалентности на множестве
Упорядоченные множества
Теорема о неподвижной точке
Мощность множества
Парадокс Рассела
Метод характеристических функций
Группы и кольца
Алгебраические структуры и операции
Группоиды, полугруппы, группы
Кольца, тела, поля
Области целостности в теории колец
Модули и линейные пространства
Подгруппы и подкольца
Теорема Лагранжа о порядке конечной группы
Гомоморфизмы групп и нормальные делители
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Алгебра кватернионов
Полукольца и булевы алгебры
Полукольца: определение, аксиомы, примеры
Замкнутые полукольца
Полукольца и системы линейных уравнений
Булевы алгебры и полукольца
Решетки и полурешетки
Алгебраические системы
Алгебраические системы: модели и алгебры
Подсистемы алгебраических систем
Конгруэнции и фактор-системы
Гомоморфизмы алгебраических систем
Прямые произведения алгебраических систем
Конечные булевы алгебры
Многосортные алгебры
Теория графов
Теория графов: основные понятия и определения
Способы представления графов
Неориентированные и ориентированные деревья
Остовное дерево и алгоритм Краскала
Методы систематического обхода вершин графа
Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах
Задача о путях во взвешенных ориентированных графах
Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов
Топологическая сортировка вершин графа
Элементы цикломатики в теории графов
Булева алгебра и функции
Булевы функции и булев куб
Таблицы булевых функций и булев оператор
Равенство булевых функций. Фиктивные переменные
Формулы и суперпозиции булевых функций
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Построение минимальных ДНФ
Теорема Поста и классы
Критерий Поста
Схемы из функциональных элементов
Конечные автоматы и регулярные языки
Конечные автоматы и регулярные языки
Алфавит, слово, язык в программировании
Порождающие грамматики (грамматики Хомского)
Классификация грамматик и языков
Регулярные языки и регулярные выражения
Конечные автоматы
Допустимость языка конечным автоматом
Теорема Клини
Детерминизация конечных автоматов
Минимизация конечных автоматов
Лемма о разрастании для регулярных языков
Обоснование алгоритма детерминизации автоматов
Конечные автоматы с выходом
Морфизмы и конечные подстановки
Машины Тьюринга
Контекстно-свободные языки
Контекстно-свободные языки и грамматики
Приведенная форма КС-грамматики
Лемма о разрастании для КС-языков
Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью)
Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике
Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату
Алгебраические свойства КС-языков
Основное свойство суперпозиции КС-языков
Пересечение контекстно-свободных языков
Методы синтаксического анализа КС-языков
Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики
Семантика формальных языков
Принцип индукции по неподвижной точке
Графовое представление МП-автоматов
Интегральное исчисление
Неопределённый и определённый
Неопределенный и определенный интегралы
Свойства интегралов
Интегрирование по частям
Интегрирование методом замены переменной
Интегрирование различных рациональных функций
Интегрирование различных иррациональных функций
Интегрирование различных тригонометрических функций
Определенный интеграл и его основные свойства
Необходимое и достаточное условие интегрируемости
Теоремы существования первообразной
Свойства определенных интегралов
Несобственные интегралы
Интегральное определение логарифмической функции
Приложения интегралов
Вычисление площадей плоских фигур
Площади фигур в различных координатах
Вычисление объемов тел с помощью интегралов
Объём тела вращения
Вычисление длин дуг кривых
Формулы длины дуги регулярной кривой
Кривизна плоской кривой
Площадь поверхности вращения тела
Интегралы в физике
Статические моменты и координаты центра тяжести
Теоремы Гульдина–Паппа
Вычисление моментов инерции
Другие приложения интегралов в физике
Основные интегралы
Вариационное исчисление
Примеры вариационных задач
Дифференциальное уравнение Эйлера
Функционалы, зависящие от нескольких функций
Задача о минимуме кратного интеграла
Финансовый анализ
Анализ эффективности
Критерии и показатели эффективности предприятия
Методы анализа эффективности деятельности
Факторный анализ прибыли от операционной деятельности
Анализ безубыточности предприятия
Операционный рычаг и эффект финансового рычага
Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов
Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала
Анализ распределения прибыли предприятия
Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности
Анализ устойчивости
Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность
Характеристика типов финансовой устойчивости
Рыночная активность
Финансовый анализ рыночной активности
Методика анализа рыночной активности
Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию
Инвестиционная деятельность
Инвестиции: экономическая сущность и классификация
Государственное регулирование инвестиционной деятельности
Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения
Инвестиции в основные фонды
Оценка состояния основных фондов
Амортизация основных фондов
Капитальное строительство в инвестиционном процессе
Планирование инвестиций в форме капитальных вложений
Экономическая эффективность инвестиций
Финансирование капитальных вложений
Кредитование капитальных вложений
Кредитоспособность
Финансирование и кредитование затрат
Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации
Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации
Инвестиционное строительное проектирование
Анализ инвестиций
Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия
Задачи финансового анализа инвестиций предприятия
Учет фактора времени в инвестиционной деятельности
Аннуитет и финансовая рента в инвестициях
Учет фактора инфляции при инвестировании
Оценка фактора риска инвестиционного проекта
Методы оценки эффективности инвестиций
Показатели эффективности инвестиционного проекта
Стоимость компании
Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО)
Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности
Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании
Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости
Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия
Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций
Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций
Доходный подход к оценке стоимости компании и акций
Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции
Метод капитализации прибыли
Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций
Форвардные контракты
Форвардный контракт и цена
Форвардная цена акции на бирже
Цена форвардного контракта инвестора
Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда
Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда
Форвардная цена валюты на рынке форекс
Форвардный валютный курс и инфляция на рынке
Форвардная цена товара и спотовый рынок
Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам
Синтетический форвардный контракт на акции и валюту
Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей
Зависимые и независимые случайные события
Повторные независимые испытания
Формула Бернулли
Одномерные случайные величины
Многомерные случайные величины
Функции случайных величин
Законы распределения целочисленных случайных величин
Законы распределения непрерывных случайных величин
Предельные теоремы теории вероятностей
Закон больших чисел и предельные теоремы
Вероятностные закономерности
Математическая статистика
Элементы математической статистики
Выборочный метод
Оценки параметров генеральной совокупности
Статистические гипотезы
Критерии согласия
Теоретические и эмпирические частоты
Теория очередей (СМО)
Определение системы массового обслуживания
Уравнения Колмогорова
Предельные вероятности состояний
Определение СМО с отказами
Определение СМО с ожиданием (очередью)
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра
Метрические понятия и аксиомы геометрии
Равенство и подобие геометрических фигур
Бинарные отношения
Вектор, его направление и длина
Линейные операции над векторами
Линейная зависимость и независимость векторов
Отношение коллинеарных векторов
Проекции векторов на прямую и на плоскость
Угол между векторами
Ортогональные проекции векторов
Координата вектора на прямой и базис
Координаты вектора на плоскости и базис
Координаты вектора в пространстве и базис
Операции над векторами в координатной форме
Ортогональный и ортонормированный базисы
Cкалярное произведение векторов и его свойства
Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Векторное произведение векторов и его свойства
Смешанное произведение векторов и его свойства
Ориентированные площади и объемы
Двойное векторное произведение и его свойства
Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур
Применение произведений векторов при решении геометрических задач
Применение векторной алгебры в механике
Системы координат
Прямоугольные координаты
Преобразования прямоугольных координат
Полярная система координат
Цилиндрическая система координат
Сферические координаты
Аффинные координаты
Аффинные преобразования координат
Аффинные преобразования плоскости
Примеры аффинных преобразований плоскости
Аффинные преобразования пространства
Многомерное координатное пространство
Линейные и аффинные подпространства
Скалярное произведение n-мерных векторов
Преобразования систем координат
Геометрия на плоскости
Алгебраические линии на плоскости
Общие уравнения геометрических мест точек
Алгебраические уравнения линий на плоскости
Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору
Уравнения прямой, проходящей через две точки
Уравнения прямой с угловым коэффициентом
Взаимное расположение прямых
Примеры задач с прямыми на плоскости
Системы неравенств с двумя неизвестными
Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
Линии 2-го порядка
Канонические уравнения линий второго порядка
Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду
Эллипс
Гипербола
Парабола
Квадратичные неравенства с двумя неизвестными
Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты линий
Классификация линий 2-го порядка по инвариантам
Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам
Геометрия в пространстве
Способы задания ГМТ в пространстве
Алгебраические уравнения поверхностей
Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам
Уравнения плоскости, проходящей через три точки
Взаимное расположение плоскостей
Типовые задачи с плоскостями
Уравнения прямых в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Типовые задачи с прямыми в пространстве
Поверхности 2-го порядка
Канонические уравнения поверхностей
Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду
Поверхности второго порядка
Эллипсоиды
Гиперболоиды
Конусы
Параболоиды
Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций
Инварианты поверхностей
Линейная алгебра
Матрицы и операции
Линейные операции над матрицами
Умножение матриц
Возведение матриц в степень
Многочлены от матриц
Транспонирование и сопряжение матриц
Блочные матрицы
Произведение и сумма матриц Кронекера
Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
Элементарные преобразования матриц
Определители
Определители матриц и их основные свойства
Формула полного разложения определителя
Формула Лапласа полного разложения определителя
Определитель произведения матриц
Методы вычисления определителей
Ранг матрицы
Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы
Ранг матрицы и базисный минор матрицы
Методы вычисления ранга матрицы
Ранг системы столбцов (строк)
Обратная матрица
Обратные матрицы и их свойства
Ортогональные и унитарные матрицы
Способы нахождения обратной матрицы
Матричные уравнения
Односторонние обратные матрицы
Скелетное разложение матрицы
Полуобратная матрица
Псевдообратная матрица
Системы уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Структура общего решения системы уравнений
Решение систем с помощью полуобратных матриц
Псевдорешения системы линейных уравнений
Функциональные матрицы
Функциональные матрицы скалярного аргумента
Производные матриц по векторному аргументу
Линейные и квадратичные формы и их преобразования
Приведение форм к каноническому виду
Закон инерции вещественных квадратичных форм
Знакоопределенность форм вещественных квадратичных
Формы и исследование функций на экстремум
Многочленные матрицы
Многочленные матрицы (лямбда-матрицы)
Операции над лямбда-матрицами
Простые преобразования многочленных матриц
Инвариантные множители многочленной матрицы
Функции от матриц
Собственные векторы и значения матрицы
Подобие числовых матриц
Характеристический многочлен матрицы
Минимальный многочлен матрицы
Теорема Гамильтона-Кэли
Жорданова форма матрицы
Приведение матрицы к жордановой форме
Многочлены от матриц
Применение многочленов от матриц
Функции от матриц
Линейные пространства
Линейные пространства: определение и примеры
Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов
Размерность и базис линейного пространства
Преобразования координат в линейном пространстве
Изоморфизм линейных пространств
Подпространства
Подпространства линейного пространства
Пересечение и сумма подпространств
Способы описания подпространств
Нахождение дополнения и суммы подпространств
Нахождение пересечения подпространств
Линейные отображения
Линейные многообразия
Линейные отображения
Матрица линейного отображения
Ядро и образ линейного отображения
Линейные операторы
Линейные операторы (преобразования)
Инвариантные подпространства
Собственные векторы и значения оператора
Свойства собственных векторов операторов
Канонический вид линейного оператора
Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду
Евклидовы пространства
Евклидовы пространства
Ортогональные векторы евклидова пространства
Ортогональный базис евклидова пространства
Ортонормированный базис евклидова пространства
Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве
Задача о перпендикуляре
Матрица и определитель Грама и его свойства
Линейные преобразования евклидовых пространств
Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства
Сопряженные операторы евклидова пространства
Самосопряженные операторы евклидова пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
Унитарные пространства и их линейные преобразования
Комплексный анализ
Комплексные числа
Комплексные числа в алгебраической форме
Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
Множества на комплексной плоскости
Последовательности и ряды комплексных чисел
Комплексные функции
Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная
Элементарные функции комплексного переменного
Дифференцирование функций комплексного переменного
Аналитические функции и их свойства
Конформные отображения
Функциональные ряды в комплексной области
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного
Функциональные ряды и последовательности
Степенные ряды и их свойства
Разложение функций в степенные ряды
Нули аналитических функций
Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням
Особые точки, Вычеты
Изолированные особые точки функций и полюсы
Вычеты и их применение
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Вычеты и расположение нулей многочлена
Операционное исчисление
Дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка
Основные понятия и определения ДУ
Метод изоклин для ДУ 1-го порядка
Метод последовательных приближений
ДУ с разделяющимися переменными
Однородные ДУ
Линейные ДУ 1-го порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли
ДУ в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
ДУ, не разрешенные относительно производной
Дифференциальное уравнение Риккати
Составление ДУ семейств линий
Задачи на траектории
Особые решения ДУ
ДУ высших порядков
Понятия и определения ДУ высших порядков
ДУ, допускающие понижение порядка
Линейная независимость функций
Определители Вронского и Грама
Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
Задача Коши и Уравнение Эйлера
Линейные ДУ с переменными коэффициентами
Метод Лагранжа решения ДУ
Краевые задачи для ДУ высших порядков
Разложение решения ДУ в степенной ряд
Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд
Нахождение периодических решений ДУ
Асимптотическое интегрирование ДУ
Системы ДУ
Системы ДУ: понятия и определения
Сведение системы ДУ к одному уравнению
Нахождение интегрируемых комбинаций
Интегрирование однородных линейных систем ДУ
Методы интегрирования неоднородных систем ДУ
Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем
Теория устойчивости
Численные методы
Методы алгебры
Численные методы линейной алгебры
Численные методы решения СЛАУ
Итерационный метод Шульца обратной матрицы
Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы
Методы решения нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Методы теории приближений
Методы приближения сеточных функций
Методы функциональной интерполяции
Методы интегрально-дифференциальной интерполяции
Методы интегрального сглаживания
Методы интерполяции и сглаживания сплайнами
Методы численного дифференцирования и интегрирования
Методы численного дифференцирования
Методы численного интегрирования
Методы решения обыкновенных ДУ
Численные методы решения задачи Коши
Разностные схемы для решения задачи Коши
Составные схемы для решения задачи Коши
Экстраполяционные методы решения задачи Коши
Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши
Численные методы решения краевых задач
Методы решения ДУ в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными
Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка
Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка
Численные методы решения уравнений в частных производных
Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными
|
Функции комплексного переменногоОсновные понятия функций комплексного переменногоОсновные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества и комплексных чисел. Если каждому значению ставится в соответствие число , то говорят, что на множестве задана функция комплексного переменного, т.е. Если записать числа и в алгебраической форме: , то замечаем, что действительная и мнимая части функции являются функциями переменных и и . Задание функции эквивалентно заданию на множестве двух функций двух действительных переменных. Кроме того, если для числа записать модуль и аргумент для и при ( при и при ), то получим аналогичное утверждение. Задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. Первая из функций определяет модуль функции: , вторая — аргумент функции: , где в точках, в которых при и при . Пример 2.1. Найти значение функции в точках и . РешениеПример 2.2. Найти , если а) ; б) . Решениеa) ; б) . то есть . Отображения на комплексной плоскостиЗадание функции комплексного переменного с областью определения и областью значений есть отображение множества на множество , (рис. 2.1). Точка называется образом точки при отображении , точка — прообразом. По определению предполагается однозначность отображения, т.е. каждому числу соответствует единственное значение , но при этом может оказаться, что точка является образом двух или более точек (на рис. 2.1 это точка , так как и ). Если любое значение является образом только одной точки , то отображение называется однолистным в , в противном случае — неоднолистным. Из определения следует, что однолистное отображение является взаимно однозначным отображением. Простейшими однолистными (во всей комплексной плоскости) отображениями являются отображения . Первое отображает любую область, в том числе и всю комплексную плоскость, на себя, второе — верхнюю полуплоскость на нижнюю, а нижнюю на верхнюю. Примером неоднолистного в отображения является . Действительно, различным точкам, например и , соответствует одно значение , а точкам — одно значение . Неоднолистным отображением является и . Каждой точке , соответствуют значений . В силу этого отображение при называют n-листным, а отображение — двулистным. Из определения получаем и условие однолистности отображения, отображение является однолистным на множестве , если для любых точек и , принадлежащих , равенство выполняется тогда и только тогда, когда . Иначе: отображение однолистно на множестве , если множество не содержит ни одной пары чисел и , таких, что и выполняется условие . Пример 2.3. Найти область однолистности функции . РешениеВо всей комплексной плоскости отображение не является однолистным. Но можно найти множество, где условие однолистности будет выполняться, т.е. множество, которое не содержит двух различных точек и , для которых . Рассмотрим две произвольные точки и и разность значений функции в них: . При равенство выполняется, если . Таким образом, отображение будет однолистным в любой области, в которой не лежат одновременно две точки и , такие, что . Эти точки нужно расположить на границе области. Так как указанному условию удовлетворяют точки, симметрично расположенные относительно начала координат, то в качестве границы можно выбрать любую прямую, доходящую через . Отображение однолистно в любой полуплоскости, границей которой является прямая, проходящая через начало координат, например или . При этом каждую такую полуплоскость отображает на всю плоскость. Рассмотрим подробнее отображение области . На границе выберем точки (рис. 2.2,с), а обход границы в направлении от к . Образами точек и на плоскости w является одна точка (рис. 1.2,б). При этом и левая, и правая полуоси действительной оси отображаются в действительную положительную полуось. Любая область , принадлежащая верхней полуплоскости, взаимно однозначно отображается на соответствующую область . Взаимная однозначность отображения нарушается на границе. Чтобы отображение было взаимно однозначным (однолистным) и на границе, сделаем "разрез" действительной положительной полуоси. Будем считать, что эта полуось состоит из двух "частей" — верхнего "берега" и нижнего "берега" (рис. 2.2,б). Полуось как граница пробегается точкой дважды, скачала по нижнему "берегу" в направлении от точки к , потом по верхнему — от к . Функция взаимно однозначно отображает верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси. Также на всю плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси функция отображает и нижнюю полуплоскость (на рис. 2.2,с обход от к ), только при этом образом точки будет точка нижнего "берега" разреза ( на рис. 2.2,б). Заметим также, что правая и левая полуплоскости переходят при отображении в плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси. В силу указанной особенности отображение является двулистным в . Пример 2.4. Исследовать на однолистность отображения: а) ; б) ; в) . Решениеа) Отображение однолистно во всей комплексной плоскости, так как для и равенство выполняется тогда и только тогда, когда . б) При для и имеем . Поэтому для любых и при получаем и только при условии . Отображение однолистно всюду в . в) Во всей плоскости отображение не является однолистным, так как, например, для точек и значения функции совпадают: и . Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей углу наклона с вершиной в начале координат. Каждый такой угол функция отображает на всю плоскость с разрезом по лучу , в частности по действительной положительной полуоси (рис. 2.3). Обратные и многозначные функции комплексного переменногоПонятие обратной функции для функции комплексного переменного вводится, как и в действительной области. Пусть задана функция . Тогда по определению любому числу из области соответствует одно или несколько значений из области таких, что , т.е. для любого уравнение имеет решения и области . В таком случае говорят, что уравнение определяет функцию , обратную функции . Существование функции, согласно определению, предполагает ее однотипность, т.е. для случая обратной функции — это единственность решения уравнения при всяком фиксированном из . Очевидно, в общем случае уравнение определяет неоднозначную функцию. Достаточным условием однозначности обратной функции является однолистность функции . Пример 2.5. Найти функции, обратные к следующим однолистным функциям: a) ; б) ; в) . Решениеа) Из равенства получаем , или . Обратная к линейной функции также является линейной, однозначной. Линейная функции взаимно однозначно отображает комплексную плоскость на себя: . Если положить , то можно говорить о взаимно однозначном отображении расширенной плоскости на себя: . б) Из , получаем . Функция сама себе обратная, однозначная; осуществляет взаимно однозначное соответствие плоскости с выброшенной точкой на всю комплексную плоскость. Если положить , a , то получим отображение . в) Отображение , очевидно, однолистное, так как из , или иначе , получаем, что для любых значений и значения функции не совпадают, т.е. . Функция , обратная к функции , является однозначной. Функции, обратные к неоднолистным. Выделение однозначных ветвейС неоднозначными функциями приходится встречаться в математическом анализе. Например, уравнение на множестве определяет двухзначную функцию , точнее, две функции: и . Геометрически — это две части окружности, верхняя и нижняя полуокружности. Эти функции можно назвать двумя однозначными ветвями функции, определяемой неявно уравнением . Отделение этих функций — выделение однозначных ветвей — здесь не представляет затруднений. Говоря о верхней полуокружности, подразумеваем то решение уравнения , где , поэтому ветвь можно выделить, задавая значения функции во внутренней точке промежутка , например ; говоря о нижней, можем задать . Аналогично в комплексной области предполагаем однозначность функции, однако термин "функция" применяем и к случаю неоднозначных отображений. Примерами неоднозначных отображений являются функции, обратные к неоднолистным. Например, функция , обратная к функции , неоднозначная. Вопрос о возможности выделения в соответствующих областях однозначных ветвей — однозначных, непрерывных функций и построении таких функций связан с исследованием простейшей многозначной функции . Функция аргумента Arg(z)Функция является многозначной, что следует из способа введения полярных координат, а именно аргумент числа определяется с точностью до слагаемого, кратного . При перемещении любой точки по произвольной непрерывной кривой аргумент числа непрерывно изменяется. При этом, если кривая замкнутая, то возможны два случая. В одном случае точка после обхода возвращается в исходное положение с прежним значением аргумента. Так будет для любой кривой, не совершающей обхода вокруг начала координат (рис. 2.4,а). В другом случае аргумент изменяется на или в зависимости от направления обхода, а при n-кратном обходе — на или . Это имеет месте в случае, когда точка при перемещении обходит начало координат (рис. 2.4.б). Аргумент как функция точки будет однозначной функцией в области, которая не содержит кривых, совершающих обход точки . В качестве такой области можно взять плоскость с разрезом по любому лучу, выходящему из начала координат, в частности, с разрезом по действительной отрицательной полуоси — область ; можно выбрать разрез по действительной положительной полуоси — область , где главное значение аргумента определяется равенством (рис. 2.5). Заметим, что аргументы числа, геометрически соответствующего одной и той же точке областей и , могут быть различны. Например. в области , а в области . Границами каждой из областей и являются два "берега" соответствующей полуоси, обход границ на рисунках указан стрелками. Пример 2.6. Исследовать возможность выделения однозначных ветвей неоднозначной, функции . РешениеФункция является неоднозначной как обратная к неоднолистной . Её неоднозначность (двузначность), согласно правилу извлечения корня, связана с неоднозначностью аргумента: . Для каждого получаем два значения , для одного из которых , для другого . При этом в силу равенства эти значения функции отличаются только знаком, , то есть . Например, значению (точка в плоскости на рис. 2.6 и 2.7) соответствуют два значения (точки в плоскости w на рис. 2.6 и 2.7). В плоскости с разрезом по лучу ( на рис. 2.5) возможно выделение однозначных ветвей аргумента. Можно рассмотреть две функции: Первая из них переводит область — плоскость с разрезом — в область , где (на рис. 2.6 точка принадлежит области ), так как для имеем неравенство . Положительный обход границ указан стрелками. В точках границы области однозначность нарушается, но в силу сделанного разреза действительные положительные значения рассматриваются дважды: на верхнем "берегу" и на нижнем "берегу". Например, при это точки — верхнего "берега" и — нижнего, а при точки — верхнего "берега" и — нижнего (рис. 2.6). При отображении точкам верхнего "берега" соответствуют положительные значения (точки и ), а точкам нижнего — отрицательные (точки и ). Вторая функция переводит область — плоскость с разрезом на нижнюю полуплоскость (рис. 2.7), так как для имеем неравенство . На рис. 2.7 точка принадлежит области . Граничным точкам верхнего "берега" соответствуют отрицательные значения (точка ), а точкам нижнего "берега" — положительные (точка ). Отображение и разрез плоскостиИз приведенных рассуждений сформулируем следующее утверждение. Утверждение 2.1. Двузначная функция отображает плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси (область ) на верхнюю полуплоскости (область ) и нижнюю (область ). В области возможно выделение однозначных ветвей — двух однозначных функций, одна из которых отображает на , другая — на . Однозначное отображение всей плоскости невозможно. Замечание 2.1. Проведение разреза в плоскости позволило получить однозначные функции, с которыми можно производить обычные операции (нахождение значений функции, дифференцирование, интегрирование). Указание определенной ветви осуществляется заданием функции в некоторой точке области. Например, при задании условия рассматривается ветвь ; при условии — ветвь (на рис. 2.6 и 2.7 (см. решение примера 2.6) точка ). Но, с другой стороны, проведение разреза нарушило непрерывность отображения. Нарушенную непрерывность можно восстановить следующим образом. На основе приведенных рассуждений имеем, что значения на верхнем "берегу" границы области совпадают со значением функции на нижнем "берегу" той же области, и наоборот (точки и на рис. 2.6 и 2.7 (см. решение примера 2.6)). Поэтому можно построить следующую модель. Возьмем два экземпляра (листа) плоскости (плоскость с разрезом), а именно и и "склеим" верхний "берег" разреза с нижним для , a нижний — с верхним для . В плоскости при этом получим полную плоскость . Построенная модель называется римановой поверхностью функции . Если в плоскости точка описывает простую замкнутую кривую, обходя начало координат, то в плоскости ей будет соответствовать кривая, совершающая дважды обход вокруг , а на римановой поверхности — простая кривая, по которой точка, взятая, например, на первом листе, перемещается по этому листу, потом по второму и возвращается в исходное положение, совершив один обход. Непрерывность и однозначность отображения соблюдены. Точка , при обходе вокруг которой по замкнутой кривой точка переходит с одного листа на другой, называется точкой ветвления . Также точкой ветвления является точка . Утверждение 2.2. Функция взаимно однозначно и непрерывно отображает полную плоскость на риманову поверхность этой функции. Обратная функция также взаимно однозначно и непрерывно отображает риманову поверхность функции на полную плоскость . Аналогично можно исследовать n-листную функцию и обратную к ней . Предел функции комплексного переменногоЧисло называется пределом функции в точке , если для любого числа найдется число такое, что для , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство для . Геометрически это означает, что для точек из проколотой δ-окрестности точки соответствующие значения функции принадлежат ε-окрестности точки . Напомним, что окрестность точки на комплексной плоскости — это круг с центром в этой точке. Так, или есть круг радиуса с центром в точке , а проколотая окрестность точки или , или — круг радиуса с центром в точке за исключением точки . Если записать числа в алгебраической форме, то нетрудно доказать справедливость следующего утверждения. Условия существования предела функции комплексного переменногоУтверждение 2.3 (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного). Для того чтобы в точке существовал предел функции , необходимо и достаточно, чтобы в точке существовали пределы двух функций действительных переменных , где ; при этом имеет место равенство Иначе: . Замечания 2.2 1. Из сформулированного критерия следует, что в комплексной области имеют место правила и свойства пределов такие же, как и в действительной области (за исключением, разумеется, свойств, связанных со знаками неравенств). Например, (при условии, что существуют пределы в правой части равенства). 2. Можно определить понятие предела функции в точке, рассматривая не всю окрестность этой точки, а только некоторое связное множество точек из этой окрестности — предельный переход по множеству: для . Здесь точки принадлежат пересечению множества и проколотой окрестности точки . В частности, это имеет место, если — множество точек кривой, или — замкнутое множество . Так, на рис. 2.8,а множество — кривая , функция определена на и — дута , за исключением точки . На рис. 2.8,б множество — множество , функция определена в области (или ), — заштрихованная часть области . Непрерывность в точке функции комплексного переменногоФункция комплексного переменного называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое в этой точке приращение функции, т.е. Это эквивалентно следующему определению: функция непрерывна в точке , если предел функции в точке равен ее значению в этой точке, т.е. Так как понятие непрерывности определяется через понятие предела, то, учитывая сформулированный выше критерий существования предела функции (утверждение 2.3), нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения. Утверждение 2.4 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Для того чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы в точке были непрерывны функции , где . Функция, непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области. Замечание 2.3. Как и в действительной области, справедливы свойства непрерывности в точке для суммы, произведения, частного двух функций, а также свойство непрерывности сложной функции. ▼ Примеры 2.7-2.12
Производная функции комплексного переменногоПроизводная функции комплексного переменного в точке вводится так же, как и в действительной области, а именно (2.1) Здесь стремится к нулю по любой кривой, по любому направлению. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области. Из равенства (2.1) и свойств пределов получаем, что приращение дифференцируемой в точке функции можно записать в виде (2.2) где — бесконечно малая при . Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Поэтому равенство (2.2) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке . Кроме того, из равенства (2.2) следует, что непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости ее в этой точке, т.е. если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |