Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного


Основные понятия функций комплексного переменного


Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области.


Пусть заданы два множества [math]D[/math] и [math]G[/math] комплексных чисел.


Если каждому значению [math]z\in D[/math] ставится в соответствие число [math]w\in G[/math], то говорят, что на множестве [math]D[/math] задана функция [math]w=f(z)[/math] комплексного переменного, т.е.


[math]f\colon\, \forall z\in D,~ D\subset \mathbb{C}~ \to~ w\in G,~ G\subset \mathbb{C}~ \Leftrightarrow~ w=f(z).[/math]

Если записать числа [math]z[/math] и [math]w[/math] в алгебраической форме: [math]z=x+iy,~ w=u+iv[/math], то замечаем, что действительная [math]u=\operatorname{Re}f(z)[/math] и мнимая [math]v=\operatorname{Im}f(z)[/math] части функции [math]f(z)[/math] являются функциями переменных [math]x[/math] и [math]y\colon\, u=u(x,y)[/math] и [math]v=v(x,y)[/math].


Задание функции [math]w=f(z),~ z\in D[/math] эквивалентно заданию на множестве [math]D[/math] двух функций [math]u=u(x,y),~ v=v(x,y)[/math] двух действительных переменных.


Кроме того, если для числа [math]w[/math] записать модуль [math]|w|=\sqrt{u^2+v^2}[/math] и аргумент [math]\arg w=\varphi,~ \operatorname{tg}\varphi=\frac{v}{u}[/math]для [math]u\ne0[/math] и [math]\varphi=\pm \frac{\pi}{2}[/math] при [math]u=0[/math] ([math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math] при [math]v>0[/math] и [math]\varphi=-\frac{\pi}{2}[/math] при [math]v<0[/math]), то получим аналогичное утверждение. Задание функции комплексного переменного [math]w=f(z)[/math] равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. Первая из функций определяет модуль функции: [math]|f(z)|= F(x,y)= \sqrt{u^2(x,y)+v^2(x,y)}[/math], вторая — аргумент функции: [math]\arg f(z)=\Phi(x,y)[/math], где [math]\operatorname{tg}\Phi(x,y)= \frac{v(x,y)}{u(x,y)}[/math] в точках, в которых [math]u(x,y)\ne0;~ \Phi(x,y)=\frac{\pi}{2}[/math] при [math]u(x,y)=0,~ v(x,y)>0[/math] и [math]\Phi(x,y)=-\frac{\pi}{2}[/math] при [math]u(x,y)=0,~ v(x,y)<0[/math].


Пример 2.1. Найти значение функции [math]f(z)=iz^2-\overline{z}[/math] в точках [math]z_1=1+i[/math] и [math]z_2=2i[/math].


▼ Решение
[math]\begin{gathered}f(z_1)= i\cdot (1+i)^2- (1-i)= i\cdot 2i-1+i=-3+i;\\[5pt] f(z_2)= i\cdot (2i)^2-(-2i)= -4i+2i=-2i.\end{gathered}[/math]

Пример 2.2. Найти [math]\operatorname{Re}f(z),~ \operatorname{Im}f(z)[/math], если а) [math]f(z)=z^2[/math]; б) [math]f(z)=\frac{z-i}{z+2}[/math].


▼ Решение

a) [math]z^2=(x+iy)^2= x^2-y^2+i2xy~ \Rightarrow~ \operatorname{Re}f(z)=x^2-y^2,~ \operatorname{Im}f(z)=2xy[/math];


б) [math]\frac{z-i}{z+2}= \frac{x+iy-i}{x+iy+2}= \frac{x+i(y-1)}{(x+2)+iy}= \frac{[x+i(y-1)][ x+2)-iy]}{(x+2)^2+y^2}= \frac{x(x+2)+y(y-1)+ i[(y-1)(x+2)-xy]}{(x+2)^2+y^2},[/math].


то есть [math]\operatorname{Re}f(z)= \frac{x^2+y^2+2x-y}{(x+2)^2+y^2},~~ \operatorname{Im}f(z)= \frac{2y-x-2}{(x+2)^2+y^2}[/math].




Отображения на комплексной плоскости


Задание функции комплексного переменного [math]f(z)[/math] с областью определения [math]D[/math] и областью значений [math]G[/math] есть отображение множества [math]D[/math] на множество [math]G[/math], [math]f\colon D\to G[/math] (рис. 2.1).


Точка [math]w\in G[/math] называется образом точки [math]z[/math] при отображении [math]w=f(z)[/math], точка [math]z\in D[/math] — прообразом.


По определению предполагается однозначность отображения, т.е. каждому числу [math]z\in D[/math] соответствует единственное значение [math]w\in G[/math], но при этом может оказаться, что точка [math]w[/math] является образом двух или более точек [math]z\in D[/math] (на рис. 2.1 это точка [math]w_0[/math], так как [math]w_0=f(z_1)[/math] и [math]w_0=f(z_2)[/math]).


Если любое значение [math]w\in G[/math] является образом только одной точки [math]z\in D[/math], то отображение называется однолистным в [math]D[/math], в противном случае — неоднолистным. Из определения следует, что однолистное отображение является взаимно однозначным отображением.


Простейшими однолистными (во всей комплексной плоскости) отображениями являются отображения [math]w=z,~ w=\overline{z}[/math]. Первое отображает любую область, в том числе и всю комплексную плоскость, на себя, второе — верхнюю полуплоскость на нижнюю, а нижнюю на верхнюю.


Примером неоднолистного в [math]\mathbb{C}[/math] отображения является [math]w=z^2[/math]. Действительно, различным точкам, например [math]z_1=1[/math] и [math]z_2=-1[/math], соответствует одно значение [math]w=1[/math], а точкам [math]\pm i[/math] — одно значение [math]w=-1[/math]. Неоднолистным отображением является и [math]w=z^n[/math]. Каждой точке [math]w,~ w\ne0,~ w\ne\infty[/math], соответствуют [math]n[/math] значений [math]z_{k},~ k=0,1,\ldots,n-1[/math]. В силу этого отображение [math]w=z^n[/math] при [math]n>1[/math] называют n-листным, а отображение [math]w=z^2[/math] — двулистным.


Из определения получаем и условие однолистности отображения, отображение является однолистным на множестве [math]D[/math], если для любых точек [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math], принадлежащих [math]D[/math], равенство [math]f(z_1)= f(z_2)[/math] выполняется тогда и только тогда, когда [math]z_1=z_2[/math]. Иначе: отображение однолистно на множестве [math]D[/math], если множество не содержит ни одной пары чисел [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math], таких, что [math]z_1\ne z_2[/math] и выполняется условие [math]f(z_1)= f(z_2)[/math].


Пример 2.3. Найти область однолистности функции [math]w=z^2[/math].


▼ Решение

Во всей комплексной плоскости отображение не является однолистным. Но можно найти множество, где условие однолистности будет выполняться, т.е. множество, которое не содержит двух различных точек [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math], для которых [math]f(z_1)=f(z_2)[/math].


Рассмотрим две произвольные точки [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] и разность значений функции в них: [math]w_1-w_2= z_1^2-z_2^2= (z_1-z_2)(z_1+z_2)[/math]. При [math]z_1\ne z_2[/math] равенство [math]w_1=w_2[/math] выполняется, если [math]z_1+z_2=0[/math]. Таким образом, отображение [math]w=z^2[/math] будет однолистным в любой области, в которой не лежат одновременно две точки [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math], такие, что [math]z_1=-z_2[/math]. Эти точки нужно расположить на границе области. Так как указанному условию удовлетворяют точки, симметрично расположенные относительно начала координат, то в качестве границы можно выбрать любую прямую, доходящую через [math]z=0[/math].


Отображение однолистно в любой полуплоскости, границей которой является прямая, проходящая через начало координат, например [math]\operatorname{Im}z>0[/math] или [math]\operatorname{Im}z<0[/math]. При этом каждую такую полуплоскость [math]w=z^2[/math] отображает на всю плоскость.


Рассмотрим подробнее отображение области [math]\operatorname{Im}z>0[/math]. На границе выберем точки [math]A(-1;0),~ O(0;0),~ B(1;0)[/math] (рис. 2.2,с), а обход границы в направлении от [math]A[/math] к [math]B[/math]. Образами точек [math]A[/math] и [math]B[/math] на плоскости w является одна точка [math]w=1[/math] (рис. 1.2,6). При этом и левая, и правая полуоси действительной оси отображаются в действительную положительную полуось. Любая область [math]D[/math], принадлежащая верхней полуплоскости, взаимно однозначно отображается на соответствующую область [math]G[/math].


Взаимная однозначность отображения нарушается на границе. Чтобы отображение было взаимно однозначным (однолистным) и на границе, сделаем "разрез" действительной положительной полуоси. Будем считать, что эта полуось состоит из двух "частей" — верхнего "берега" и нижнего "берега" (рис. 2.2,6). Полуось как граница пробегается точкой дважды, скачала по нижнему "берегу" в направлении от точки [math]A[/math] к [math]O[/math], потом по верхнему — от [math]O[/math] к [math]B[/math].


Функция [math]w=z^2[/math] взаимно однозначно отображает верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.


Также на всю плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси функция [math]w=z^2[/math] отображает и нижнюю полуплоскость (на рис. 2.2,с обход от [math]B[/math] к [math]A[/math]), только при этом образом точки [math]B[/math] будет точка нижнего "берега" разреза ([math]A[/math] на рис. 2.2,6). Заметим также, что правая [math](\operatorname{Re} z>0)[/math] и левая [math](\operatorname{Re}z<0)[/math] полуплоскости переходят при отображении [math]w=z^2[/math] в плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси.


В силу указанной особенности отображение является двулистным в [math]D[/math].


Пример 2.4. Исследовать на однолистность отображения: а) [math]w=az+b,~ a\ne0[/math]; б) [math]w=\frac{1}{z}[/math] ; в) [math]w=z^n[/math].


▼ Решение

а) Отображение однолистно во всей комплексной плоскости, так как для [math]w_1=az_1+b[/math] и [math]w_2=az_2+b[/math] равенство [math]w_1-w_2=0[/math] выполняется тогда и только тогда, когда [math]z_1=z_2[/math].


б) При [math]z\ne0[/math] для [math]w_1=\frac{1}{z_1}[/math] и [math]w_2=\frac{1}{z_2}[/math] имеем [math]w_1-w_2=\frac{z_2-z_1}{z_1\cdot z_2}[/math]. Поэтому для любых [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] при [math]z_1\ne z_2[/math] получаем [math]w_1\ne w_2[/math] и [math]w_1\ne w_2[/math] только при условии [math]z_1\ne z_2[/math]. Отображение однолистно всюду в [math]\mathbb{C}\setminus\{0\}[/math].


в) Во всей плоскости отображение не является однолистным, так как, например, для точек [math]z_1[/math] и [math]z_2=z_1\exp \frac{2\pi i}{n}[/math] значения функции совпадают: [math]w_1=z_1^n[/math] и [math]w_2=z_1^n\cdot1[/math].


Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей углу наклона [math]\frac{2\pi}{n}[/math] с вершиной в начале координат. Каждый такой угол функция [math]w=z^n[/math] отображает на всю плоскость с разрезом по лучу [math][0;+\infty)[/math], в частности по действительной положительной полуоси (рис. 2.3).




Обратные и многозначные функции комплексного переменного


Понятие обратной функции для функции комплексного переменного вводится, как и в действительной области.


Пусть задана функция [math]w=f(z),~ f\colon D\to G[/math]. Тогда по определению любому числу [math]w[/math] из области [math]G[/math] соответствует одно или несколько значений [math]z[/math] из области [math]D[/math] таких, что [math]f(z)=w[/math], т.е. для любого [math]w\in G[/math] уравнение [math]f(z)=w[/math] имеет решения и области [math]D[/math]. В таком случае говорят, что уравнение [math]f(z)=w[/math] определяет функцию [math]z=f^{-1}(w)[/math], обратную функции [math]w=f(z)[/math].


Существование функции, согласно определению, предполагает ее однотипность, т.е. для случая обратной функции — это единственность решения уравнения [math]f(z)=w[/math] при всяком фиксированном [math]w[/math] из [math]G[/math]. Очевидно, в общем случае уравнение определяет неоднозначную функцию.


Достаточным условием однозначности обратной функции является однолистность функции [math]f(z)[/math].


Пример 2.5. Найти функции, обратные к следующим однолистным функциям:


a) [math]w=a\cdot z+b,~ a\ne0[/math]; б) [math]w=\frac{a}{z},~ a\ne0[/math]; в) [math]w=\overline{z}[/math].


▼ Решение

а) Из равенства [math]w=az+b[/math] получаем [math]z=\frac{w-b}{a}[/math], или [math]z=a_1w+b_1[/math]. Обратная к линейной функции также является линейной, однозначной. Линейная функции взаимно однозначно отображает комплексную плоскость на себя: [math]\mathbb{C}\to \mathbb{C}[/math]. Если положить [math]w(\infty)=\infty[/math], то можно говорить о взаимно однозначном отображении расширенной плоскости на себя: [math]\overline{\mathbb{C}}\to \overline{\mathbb{C}}[/math].


б) Из [math]w=\frac{a}{z},~ a\ne0[/math], получаем [math]z=\frac{a}{w}[/math]. Функция сама себе обратная, однозначная; осуществляет взаимно однозначное соответствие плоскости с выброшенной точкой [math]z=0[/math] на всю комплексную плоскость. Если положить [math]w(0)=\infty[/math], a [math]w(\infty)=0[/math], то получим отображение [math]f\colon \overline{\mathbb{C}}\to \overline{\mathbb{C}}[/math].


в) Отображение [math]w=\overline{z}[/math], очевидно, однолистное, так как из [math]w_1-w_2= \overline{z}_1-\overline{z}_2[/math], или иначе [math]w_1-w_2= \overline{z_1-z_2}[/math], получаем, что для любых значений [math]z_1[/math] и [math]z_2,~ z_1\ne z_2[/math] значения функции не совпадают, т.е. [math]w_1\ne w_2[/math]. Функция [math]z=\overline{w}[/math], обратная к функции [math]w=\overline{z}[/math], является однозначной.




Функции, обратные к неоднолистным. Выделение однозначных ветвей


С неоднозначными функциями приходится встречаться в математическом анализе. Например, уравнение [math]x^2+y^2=1[/math] на множестве [math]|x|<1[/math] определяет двухзначную функцию [math]y=\pm\sqrt{1-x^2}[/math], точнее, две функции: [math]y=-\sqrt{1-x^2}[/math] и [math]y=\sqrt{1-x^2}[/math]. Геометрически — это две части окружности, верхняя и нижняя полуокружности. Эти функции можно назвать двумя однозначными ветвями функции, определяемой неявно уравнением [math]x^2+y^2=1[/math]. Отделение этих функций — выделение однозначных ветвей — здесь не представляет затруднений. Говоря о верхней полуокружности, подразумеваем то решение уравнения [math]x^2+y^2=1[/math], где [math]y>0[/math], поэтому ветвь [math]y=\sqrt{1-x^2}[/math] можно выделить, задавая значения функции во внутренней точке промежутка [math]|x|<1[/math], например [math]y(0)=1[/math]; говоря о нижней, можем задать [math]y(0)=-1[/math].


Аналогично в комплексной области предполагаем однозначность функции, однако термин "функция" применяем и к случаю неоднозначных отображений.


Примерами неоднозначных отображений являются функции, обратные к неоднолистным. Например, функция [math]w=\sqrt{z}[/math], обратная к функции [math]w=z^2[/math], неоднозначная.


Вопрос о возможности выделения в соответствующих областях однозначных ветвей — однозначных, непрерывных функций и построении таких функций связан с исследованием простейшей многозначной функции [math]w=\operatorname{Arg}z[/math].




Функция аргумента Arg(z)


Функция [math]w=\operatorname{Arg}z[/math] является многозначной, что следует из способа введения полярных координат, а именно аргумент числа [math]z~(z\ne0)[/math] определяется с точностью до слагаемого, кратного [math]2\pi[/math].


При перемещении любой точки [math]z~(z\ne0)[/math] по произвольной непрерывной кривой аргумент числа [math]z[/math] непрерывно изменяется. При этом, если кривая замкнутая, то возможны два случая. В одном случае точка после обхода возвращается в исходное положение с прежним значением аргумента. Так будет для любой кривой, не совершающей обхода вокруг начала координат (рис. 2.4,а). В другом случае аргумент изменяется на [math]2\pi[/math] или [math](-2\pi)[/math] в зависимости от направления обхода, а при n-кратном обходе — на [math]2kn,~ k=n[/math] или [math]k=-n[/math]. Это имеет месте в случае, когда точка при перемещении обходит начало координат (рис. 2.4.б).


Аргумент как функция точки будет однозначной функцией в области, которая не содержит кривых, совершающих обход точки [math]z=0[/math]. В качестве такой области можно взять плоскость с разрезом по любому лучу, выходящему из начала координат, в частности, с разрезом по действительной отрицательной полуоси — область [math]D_2,\,-\pi<\arg z<\pi[/math]; можно выбрать разрез по действительной положительной полуоси — область [math]D_1[/math], где главное значение аргумента определяется равенством [math]0<\arg z<2\pi[/math] (рис. 2.5). Заметим, что аргументы числа, геометрически соответствующего одной и той же точке областей [math]D_1[/math] и [math]D_2[/math], могут быть различны. Например. в области [math]D_1\colon\,\arg(-i)= \frac{3\pi}{2}[/math], а в области [math]D_2\colon\,\arg(-i)=-\frac{\pi}{2}[/math].


Границами каждой из областей [math]D_1[/math] и [math]D_2[/math] являются два "берега" соответствующей полуоси, обход границ на рисунках указан стрелками.


Пример 2.6. Исследовать возможность выделения однозначных ветвей неоднозначной, функции [math]w=\sqrt{z}[/math].


▼ Решение

Функция является неоднозначной как обратная к неоднолистной [math]w=z^2[/math]. Её неоднозначность (двузначность), согласно правилу извлечения корня, связана с неоднозначностью аргумента: [math]\sqrt{z}= \sqrt{|z|}\cdot e^{i \left(\frac{\arg z}{2}+ k\pi\right)},~ k=0;1[/math].


Для каждого [math]z~(z\ne0)[/math] получаем два значения [math]w[/math], для одного из которых [math]\arg w_1= \frac{1}{2}\arg{z}[/math], для другого [math]\arg w_2= \frac{1}{2}\arg{z}+\pi[/math]. При этом в силу равенства [math]e^{i\,\pi}=-1[/math] эти значения функции отличаются только знаком, [math]w_2=w_1\cdot e^{i\pi}[/math], то есть [math]w_1=-w_2[/math]. Например, значению [math]z=-1[/math] (точка [math]C[/math] в плоскости [math]z[/math] на рис. 2.6 и 2.7) соответствуют два значения [math]w\colon\, w=\pm i[/math] (точки [math]C[/math] в плоскости w на рис. 2.6 и 2.7).


В плоскости с разрезом по лучу [math][0;+\infty)[/math] ([math]D_1[/math] на рис. 2.5) возможно выделение однозначных ветвей аргумента. Можно рассмотреть две функции:


[math]w= \bigl(\sqrt{z}\bigr)_1= \sqrt{|z|}\cdot \exp \frac{i\arg z}{2},\qquad w=\bigl(\sqrt{z} \bigr)_2= \sqrt{|z|}\cdot \exp \frac{i(\arg z+2\pi)}{2},\quad 0<\arg z<2\pi\,.[/math]

Первая из них переводит область [math]D_1[/math] — плоскость с разрезом — в область [math]G_1[/math], где [math]\operatorname{Im}w>0[/math] (на рис. 2.6 точка [math]C[/math] принадлежит области [math]G_1[/math]), так как для [math]\arg w= \frac{1}{2}\arg z[/math] имеем неравенство [math]0<\arg w<\pi[/math].


Положительный обход границ указан стрелками. В точках границы области [math]D_1[/math] однозначность нарушается, но в силу сделанного разреза действительные положительные значения [math](z=x,~ x>0)[/math] рассматриваются дважды: на верхнем "берегу" и на нижнем "берегу". Например, при [math]z=1[/math] это точки [math]A[/math] — верхнего "берега" и [math]B[/math] — нижнего, а при [math]z=2[/math] точки [math]E[/math] — верхнего "берега" и [math]F[/math] — нижнего (рис. 2.6). При отображении [math]w=(\sqrt{z})_1[/math] точкам верхнего "берега" соответствуют положительные значения [math]\sqrt{x}[/math] (точки [math]A[/math] и [math]E[/math]), а точкам нижнего — отрицательные (точки [math]B[/math] и [math]F[/math]).


Вторая функция [math](\sqrt{z})_2[/math] переводит область [math]D_2[/math] — плоскость с разрезом [math][0;+\infty)[/math] на нижнюю полуплоскость [math]\operatorname{Im}w<0[/math] (рис. 2.7), так как для [math]\arg w=\frac{1}{2}\arg z+\pi[/math] имеем неравенство [math]\pi<\arg w<2\pi[/math]. На рис. 2.7 точка [math]C[/math] принадлежит области [math]G[/math].


Граничным точкам верхнего "берега" соответствуют отрицательные значения [math]\sqrt{z}[/math] (точка [math]B[/math]), а точкам нижнего "берега" — положительные (точка [math]A[/math]).




Отображение и разрез плоскости


Из приведенных рассуждений сформулируем следующее утверждение.


Утверждение 2.1. Двузначная функция [math]\sqrt{z}[/math] отображает плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси (область [math]D[/math]) на верхнюю полуплоскости (область [math]G_1[/math]) и нижнюю (область [math]G_2[/math]). В области [math]D[/math] возможно выделение однозначных ветвей — двух однозначных функций, одна из которых отображает [math]D[/math] на [math]G_1[/math], другая — [math]D[/math] на [math]G_2[/math]. Однозначное отображение всей плоскости [math](z\ne0)~0<|z|<+\infty[/math] невозможно.


Замечание 2.1. Проведение разреза в плоскости позволило получить однозначные функции, с которыми можно производить обычные операции (нахождение значений функции, дифференцирование, интегрирование). Указание определенной ветви осуществляется заданием функции в некоторой точке области. Например, при задании условия [math]\sqrt{-1}=i[/math] рассматривается ветвь [math](\sqrt{z})_1[/math]; при условии [math]\sqrt{-1}=-i[/math] — ветвь [math](\sqrt{z})_2[/math] (на рис. 2.6 и 2.7 точка [math]C[/math]). Но, с другой стороны, проведение разреза нарушило непрерывность отображения. Нарушенную непрерывность можно восстановить следующим образом. На основе приведенных рассуждений имеем, что значения [math](\sqrt{z})_1[/math] на верхнем "берегу" границы области [math]D[/math] совпадают со значением функции [math](\sqrt{z})_2[/math] на нижнем "берегу" той же области, и наоборот (точки [math]A[/math] и [math]B[/math] на рис. 2.6 и 2.7). Поэтому можно построить следующую модель.


Возьмем два экземпляра (листа) плоскости [math]D[/math] (плоскость с разрезом), а именно [math]D_1[/math] и [math]D_2[/math] и "склеим" верхний "берег" разреза [math]D_1[/math] с нижним для [math]D_2[/math], a нижний [math]D_2[/math] — с верхним для [math]D_1[/math]. В плоскости [math](w)[/math] при этом получим полную плоскость [math]\overline{C}[/math]. Построенная модель называется римановой поверхностью функции [math]w=z^2[/math].


Если в плоскости [math](z)[/math] точка описывает простую замкнутую кривую, обходя начало координат, то в плоскости [math](w)[/math] ей будет соответствовать кривая, совершающая дважды обход вокруг [math]w=0[/math], а на римановой поверхности — простая кривая, по которой точка, взятая, например, на первом листе, перемещается по этому листу, потом по второму и возвращается в исходное положение, совершив один обход. Непрерывность и однозначность отображения соблюдены.


Точка [math]z_0=0[/math], при обходе вокруг которой по замкнутой кривой точка переходит с одного листа на другой, называется точкой ветвления [math]\sqrt{z}[/math]. Также точкой ветвления [math]\sqrt{z}[/math] является точка [math]z=\infty[/math].


Утверждение 2.2. Функция [math]w=z^2[/math] взаимно однозначно и непрерывно отображает полную плоскость [math](z\ne0,~ z\ne\infty)[/math] на риманову поверхность этой функции. Обратная функция [math]z=\sqrt{w}[/math] также взаимно однозначно и непрерывно отображает риманову поверхность функции [math]w=z^2[/math] на полную плоскость [math](z\ne0,~ z\ne\infty)[/math].


Аналогично можно исследовать n-листную функцию [math]e=z^n[/math] и обратную к ней [math]w=\sqrt[n]{z}[/math].




Предел функции комплексного переменного


Число [math]A~(A\in \mathbb{C})[/math] называется пределом функции [math]f(z)[/math] в точке [math]z_0[/math], если для любого числа [math]\varepsilon>0[/math] найдется число [math]\delta(\varepsilon)[/math] такое, что для [math]z[/math], удовлетворяющих неравенству [math]0<|z-z_0|<\delta(\varepsilon)[/math], выполняется неравенство [math]|f(z)-A|<\varepsilon\colon[/math]


[math]\lim_{z\to z_0}f(z)=A~~ \Leftrightarrow~~ \forall \varepsilon>0~ \exists\delta(\varepsilon) \colon\, |f(z)-A|<\varepsilon[/math] для [math]z\in O_{\delta}(z_0),~ z\ne z_0[/math].

Геометрически это означает, что для точек из проколотой δ-окрестности точки [math]z_0~(z\in O_{\delta}(z_0),~ z\ne z_0)[/math] соответствующие значения функции принадлежат ε-окрестности точки [math]A~(f(z)\in O_{\varepsilon}(A))[/math].


Напомним, что окрестность точки на комплексной плоскости — это круг с центром в этой точке. Так, [math]O_{\varepsilon}(A)[/math] или [math]|f(z)-A|<\varepsilon[/math] есть круг радиуса [math]\varepsilon[/math] с центром в точке [math]A[/math], а проколотая окрестность точки [math]z_0\colon\, O_{\delta}(z_0),~ z\ne z_0[/math] или [math]O_{\delta}(z_0)\setminus z_0[/math], или [math]0<|z-z_0|<\delta[/math] — круг радиуса [math]\delta[/math] с центром в точке [math]z_0[/math] за исключением точки [math]z_0[/math].


Если записать числа в алгебраической форме, то нетрудно доказать справедливость следующего утверждения.




Условия существования предела функции комплексного переменного


Утверждение 2.3 (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного).


Для того чтобы в точке [math]z_0[/math] существовал предел функции [math]f(z)[/math], необходимо и достаточно, чтобы в точке [math](x_0,y_0),~ z_0=x_0+iy_0[/math] существовали пределы двух функций действительных переменных [math]u(x,y),~ v(x,y)[/math], где [math]u=\operatorname{Re}f(z),~ v=\operatorname{Im}f(z)[/math]; при этом имеет место равенство


[math]\lim_{z\to z_0}f(z)= \lim_{\substack{x\to x_0\\ y\to y_0}}u(x,y)+ i\lim_{\substack{x\to x_0\\ y\to y_0}}v(x,y),\quad f(x,y)=u+iv,\quad z_0=x_0+iy_0.[/math]

Иначе: [math]\exists \lim_{z\to z_0}f(z)=A~ \Leftrightarrow~ \exists \lim_{z\to z_0}\operatorname{Re}f(z)= \operatorname{Re}A,~ \exists \lim_{z\to z_0}\operatorname{Im}f(z)= \operatorname{Im}A[/math].


Замечания 2.2


1. Из сформулированного критерия следует, что в комплексной области имеют место правила и свойства пределов такие же, как и в действительной области (за исключением, разумеется, свойств, связанных со знаками неравенств).


Например, [math]\lim_{z\to z_0}\bigl(c_1f_1(z)+ c_2f_2(z)\bigr)= c_1\lim_{z\to z_0}f_1(z)+ c_2\lim_{z\to z_0}f_2(z)[/math] (при условии, что существуют пределы в правой части равенства).


2. Можно определить понятие предела функции в точке, рассматривая не всю окрестность этой точки, а только некоторое связное множество точек из этой окрестности — предельный переход по множеству:


[math]\lim_{\substack{z\to z_0\\ z\in M}}f(z)=A~ \Leftrightarrow~ \forall \varepsilon>0~ \exists\delta(\varepsilon)\colon\, |f(z)-A|<\varepsilon[/math] для [math]z\in \bigl\{M\cap O_{\delta}(z_0)\setminus z_0\bigr\}[/math].

Здесь точки [math]z[/math] принадлежат пересечению множества [math]M[/math] и проколотой окрестности точки [math]z_0[/math]. В частности, это имеет место, если [math]M[/math] — множество точек кривой, или [math]M[/math] — замкнутое множество [math]M= \overline{D}[/math]. Так, на рис. 2.8,а множество [math]M[/math] — кривая [math]l[/math], функция [math]f(z)[/math] определена на [math]l[/math] и [math]\bigl\{M\cap O_{\delta}(z_0) \setminus z_0\bigr\}[/math] — дута [math]AB[/math], за исключением точки [math]z_0[/math]. На рис. 2.8,б множество [math]M[/math] — множество [math]\overline{D}=D\cup C[/math], функция определена в области [math]D[/math] (или [math]\overline{D}[/math]), [math]\bigl\{M\cap O_{\delta}(z_0)\setminus z_0\bigr\}[/math] — заштрихованная часть области [math]D[/math].




Непрерывность в точке функции комплексного переменного


Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке [math]z_0[/math], если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое в этой точке приращение функции, т.е.


[math]\lim_{\Delta z\to0}\bigl(f(z_0+\Delta z)-f(z_0)\bigr)=0.[/math]

Это эквивалентно следующему определению: функция [math]f(z)[/math] непрерывна в точке [math]z_0[/math], если предел функции в точке равен ее значению в этой точке, т.е.


[math]\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0).[/math]

Так как понятие непрерывности определяется через понятие предела, то, учитывая сформулированный выше критерий существования предела функции (утверждение 2.3), нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.


Утверждение 2.4 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Для того чтобы функция [math]f(z)[/math] была непрерывна в точке [math]z_0[/math], необходимо и достаточно, чтобы в точке [math](x_0,y_0),~ (z_0=x_0+iy_0)[/math] были непрерывны функции


[math]u=u(x,y),~~ v=v(x,y)[/math], где [math]u=\operatorname{Re}f(z),~ v=\operatorname{Im}f(z)[/math].

Функция, непрерывная в каждой точке области [math]D[/math], называется непрерывной в этой области.


Замечание 2.3. Как и в действительной области, справедливы свойства непрерывности в точке для суммы, произведения, частного двух функций, а также свойство непрерывности сложной функции.


▼ Примеры 2.7-2.12

Пример 2.7. Исследовать функцию [math]w=z^n[/math] на непрерывность.


Решение. Функция [math]w=z[/math], очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому непрерывными во всей плоскости являются функции [math]w=z^n[/math] при любом [math]n[/math], согласно свойству непрерывности произведения.


Пример 2.8. Исследовать на непрерывность многочлен n-й степени [math]P(z)[/math], где [math]a_k~(k=0,1,\ldots,n)[/math] — любые комплексные числа, если


[math]P(z)=a_nz^n+ a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+\ldots+a_2z^2+a_1z+a_0.[/math]

Решение. Функция [math]w=c~(c=\text{const})[/math], очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому, учитывая непрерывность суммы и произведения непрерывных функций и результат примера 2.7, заключаем, что многочлен [math]P(z)[/math] есть функция, непрерывная во всей комплексной плоскости.


Пример 2.9. Исследовать на непрерывность рациональную функцию [math]R(z)= \frac{P(z)}{Q(z)}[/math], где [math]P(z)[/math] и [math]Q(z)[/math] — многочлены.


Решение. Согласно замечанию 2.3 рациональная функция [math]R(z)= \frac{P(z)}{Q(z)}[/math] непрерывна во всей комплексной плоскости, за исключением точек, где [math]Q(z)=0[/math].


Пример 2.10. Исследовать на непрерывность функции [math]\overline{z},~ |z|,~ \operatorname{Re}z,~ \operatorname{Im}z[/math].


Решение. Функции [math]\overline{z},~ |z|,~ \operatorname{Re}z,~ \operatorname{Im}z[/math] непрерывны во всей комплексной плоскости (всюду в [math]\mathbb{C}[/math]), что нетрудно установить, используя утверждение 2.4.


Пример 2.11. Исследовать на непрерывность функции [math]\frac{z^2+1}{2z-1}[/math] и [math]\frac{2z-1}{z^2+1}[/math].


Решение. Функция [math]\frac{z^2+1}{2z-1}[/math] непрерывна всюду в [math]\mathbb{C}[/math], за исключением точки [math]z=\frac{1}{2}[/math], а функция [math]\frac{2z-1}{z^2+1}[/math] — за исключением точек [math]i[/math] и [math]-i[/math]. Этот вывод следует из решения примера 2.9.


Пример 2.12. Найти пределы функций комплексного переменного:


[math]\lim_{z\to1}\frac{z^2+1}{2z-1},\qquad \lim_{z\to i}\frac{z^2+1}{2z-1},\qquad \lim_{z\to i} \frac{2z-1}{z^2+1}.[/math]

Решение. В первых двух случаях в силу непрерывности функций в предельных точках получаем


[math]\lim_{z\to1}\frac{z^2+1}{2z-1}= \frac{1+1}{2\cdot1-1}=2,\qquad \lim_{z\to i}\frac{z^2+1}{2z-1}= \frac{-1+1}{2i-1}=0.[/math]

Так как функция [math]f(z)= \frac{z^2+1}{2z-1}[/math] является бесконечно малой в точке [math]i[/math], то обратная ей дробь — функция [math]\frac{1}{f(z)}= \frac{2z-1}{z^2+1}[/math] бесконечно большая в этой точке. Поэтому [math]\lim_{z\to i}\frac{2z-1}{z^2+1}=+\infty[/math].




Производная функции комплексного переменного


Производная функции комплексного переменного в точке [math]z_0\in\mathbb{C}[/math] вводится так же, как и в действительной области, а именно


[math]f'(z_0)= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{\Delta f(z_0)}{\Delta z}\,.[/math]
(2.1)

Здесь [math]\Delta z[/math] стремится к нулю по любой кривой, по любому направлению.


Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.


Из равенства (2.1) и свойств пределов получаем, что приращение дифференцируемой в точке функции можно записать в виде


[math]\Delta f(z_0)= f'(z_0)\cdot\Delta z+\alpha(z_0,\Delta z)\cdot\Delta z,[/math]
(2.2)

где [math]\alpha(z_0,\Delta z)[/math] — бесконечно малая при [math]\Delta z\to0[/math].


Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Поэтому равенство (2.2) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке [math]z_0[/math].


Кроме того, из равенства (2.2) следует, что непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости ее в этой точке, т.е. если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved