Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Функции: понятие, определение, графики
ОглавлениеВведение в анализ

Функции: понятие, определение, графики


Понятие функции


В природе предметы и явления органически связаны между собой, зависят друг от друга. Устойчивые простейшие связи издавна изучались людьми. Знания о них накапливались и формулировались как физические законы. В массе случаев это были указания на то, что разные величины, количественно характеризующие некоторое явление, тесно связаны между собой, полностью обусловливаются одна значением другой. Например, размеры сторон прямоугольника вполне определяют его площадь, объем данного газа при определенной температуре обусловливается его давлением, удлинение данного металлического стержня определяется его температурой и т. п. Подобные закономерности и послужили источником понятия функции.


Уже в алгебраической формуле, позволяющей по каждому значению входящих в нее буквенных величин находить значение величины, выражаемой формулой, заложено понятие функции. Приведем примеры функций, заданных формулами.


1. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в покое, а затем начала падать под воздействием силы тяжести. Тогда путь [math]s[/math], пройденный точкой за время выразится формулой


[math]s=\frac{gt^2}{2}[/math], где [math]g[/math] — ускорение силы тяжести.

2. Из квадрата со стороной [math]a[/math] сделана открытая прямоугольная коробка высотой [math]x[/math] (рис. 2). Объем [math]V[/math] коробки будет вычисляться по формуле


[math]V=x(a-2x)^2.~~~~~~~~~~(2)[/math]

Формула (2) позволяет для каждой высоты [math]x[/math], удовлетворяющей, очевидно, неравенству [math]0\leqslant x\leqslant\frac{a}{2}[/math], найти объем коробки.


3. Пусть в центре круговой конькобежной дорожки врыт столб, и на нем, на высоте [math]h[/math], подвешен фонарь (рис. 3). Освещенность [math]T[/math] дорожки, может быть выражена формулой


[math]T=\frac{A\sin\alpha}{h^2+r^2}.~~~~~~~~~~(3)[/math]

где [math]r[/math] — радиус дорожки, [math]\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{r}[/math], [math]A[/math] — некоторая величина, характеризующая силу света фонаря. Зная высоту [math]h[/math], мы можем по формуле (3) вычислить [math]T[/math].

4. Корень квадратного уравнения [math]x^2+px-1=0[/math] вычисляется по формуле [math]x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{1+\frac{p^2}{4}}[/math].


Характерным для формулы вообще и для приведенных выше формул в частности является то, что формула дает возможность по любому наперед заданному значению, которое может принимать одна величина (время [math]t[/math], высота [math]x[/math], высота [math]h[/math] столба, коэффициент [math]p[/math] уравнения), называемая независимой переменной, вычислять значения другой величиы (путь [math]s[/math], объем [math]V[/math], освещенность [math]T[/math], корень [math]x[/math] уравнения), которая носит название зависимой переменной или функции от первой величины.


Каждая из приведенных формул дает нам пример функции: путь [math]s[/math], пройденный точкой, есть функция времени [math]t[/math]; объем [math]V[/math] коробки есть функция ее высоты [math]x[/math]; освещенность [math]T[/math] дорожки есть функция высоты [math]h[/math] столба; два корня квадратного уравнения суть функции коэффициента [math]p[/math].


Следует отметить, что в одних случаях независимая переменная может принимать любые наперед заданные числовые значения, как это имеет место в примере 4, где коэффициент [math]p[/math] квадратного уравнения (4), являющийся независимой переменной, может быть произвольным числом. В других случаях независимая переменная принимает любое значение из некоторого заранее определенного множества (совокупности) чисел, как в примере 2, где объем коробки есть функция от его высоты [math]x[/math], которая может принимать любое значение из множества чисел [math]x[/math], удовлетворяющих неравенствам [math]0\leqslant x\leqslant\frac{a}{2}[/math]. Точно так же в примере 3 освещенность [math]T[/math] дорожки есть функция высоты столба [math]s[/math], которая может теоретически принимать любые значения, удовлетворяющие неравенству [math]s>0[/math], а практически — любые значения [math]s[/math], удовлетворяющие неравенствам [math]0<s\leqslant H[/math], где величина [math]H[/math] определяется имеющимися в распоряжении администрации катка техническими возможностями.


Приведем еще такие примеры. Формула


[math]y=\sqrt{1-x^2}[/math]

определяет действительную функцию, выражающую соответствие между действительными числами [math]x[/math] и [math]y[/math], очевидно, не для всех [math]x[/math], а только для тех из них, которые удовлетворяют неравенствам [math]-1\leqslant x\leqslant1[/math], а формула [math]y=\lg(1-x^2)[/math] — для значений [math]x[/math], удовлетворяющих неравенствам [math]-1<x<1[/math].

Таким образом, приходится считаться с тем обстоятельством, что конкретные функции могут быть заданными не обязательно для всех возможных числовых значений, а только на некотором множестве числовых значений [math]x[/math], чаще всего заполняющих на оси [math]x[/math]-ов некоторый отрезок (с концами или без концов).


Мы уже можем сейчас дать такое определение понятия функции, которое принято в математике в настоящее время.


Величина [math]y[/math] есть функция от (независимой) величины [math]x[/math], если существует закон, в силу которого каждому значению [math]x[/math], принадлежащему к некоторому множеству чисел, соответствует определенное значение [math]y[/math].


Множество значений [math]x[/math], фигурирующее в этом определении, называется областью определения функции.


Каждое новое понятие часто порождает новую символику. Переход от арифметики к алгебре заключался в возможности построения формул, пригодных для любых числовых данных,— поиски общих решений привели к буквенной символике.


Задача анализа есть задача изучения функций — зависимостей одних величин от других; как в алгебре от конкретного числа переходят к произвольным числам — буквам, так и в анализе от конкретных формул мы переходим к произвольным функциям. Фразу "[math]y[/math] есть функция от [math]x[/math]" будем условно записывать так:


[math]y=f(x).[/math]

Как в алгебре для разных чисел употребляются разные буквы, так и в анализе для обозначения различных зависимостей — функций — употребляются различные обозначения: [math]y=F(x),\,y=\varphi(x),\,\ldots[/math].




График функции


Одной из наиболее плодотворных и блестящих идей второй половины XVII века является идея связи между понятием функции и геометрическим образом линии. Эта связь может быть осуществлена, например, посредством прямоугольной декартовой системы координат, с которой читатель в самых общих чертах, конечно, уже знаком из курса средней школы.


Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат. Это значит, что мы выбираем на этой плоскости две взаимно перпендикулярные прямые (ось абсцисс и ось ординат), на каждой из которых фиксировано положительное направление. Тогда каждой точке [math]M[/math] плоскости можно поставить в соответствие два числа [math](x,y)[/math] — её координаты, выражающие в выбранном масштабе соответственно расстояния точки [math]M[/math] до оси ординат и до оси абсцисс, взятые с соответствующими знаками.


При помощи системы координат функции можно изобразить графически в виде некоторых линий. Пусть дана некоторая функция


[math]y=f(x).~~~~~~~~~~(6)[/math]

Это, как мы знаем, означает, что для каждого заданного [math]x[/math], принадлежащего к области определения данной функции, можно каким-либо способом определить, например, вычислить, соответствующее значение [math]y[/math]. Будем придавать [math]x[/math] всевозможные числовые значения. Для каждого [math]x[/math] по нашему закону (6) определим [math]y[/math] и построим в плоскости точку с координатами [math]x[/math] и [math]y[/math]. Таким образом, над каждой точкой [math]M'[/math] оси [math]x[/math]-ов (рис. 4) окажется расположенной точка [math]M[/math] с координатами [math]x[/math] и [math]y=f(x)[/math]. Совокупность всех точек [math]M[/math] образует некоторую линию, которую будем называть графиком нашей функции [math]y=f(x)[/math].


Итак, графиком функции [math]f(x)[/math] называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (6).


В школе нас знакомили с графиками простейших функций. Так, читатель, вероятно, знает, что функция [math]y=kx+b[/math], где [math]k[/math] и [math]b[/math] — постоянные числа, графически изображается (рис. 5) прямой линией, образующей с положительным направлением оси [math]x[/math]-ов угол [math]\alpha[/math], такой, что [math]\operatorname{tg}\alpha=k[/math], и пересекающей ось [math]y[/math]-ов в точке [math](0;b)[/math]. Эта функция носит название линейной функции.


Линейные функции встречаются в приложениях особенно часто. Вспомним, что многие физические законы выражаются, и притом достаточно точно, линейными функциями. Например, длина [math]l[/math] тела с хорошим приближением рассматривается как линейная функция его температуры


[math]l=l_0+\alpha l_0t,[/math]

где [math]\alpha[/math] — коэффициент линейного расширения, [math]l_0[/math] — длина тела при [math]t=0[/math]. Если [math]x[/math] есть время, а [math]y[/math] — путь, пройденный за это время точкой, то линейная функция [math]y=kx+b[/math] выражает, очевидно, то обстоятельство, что точка движется равномерно со скоростью [math]k[/math]; число же [math]b[/math] обозначает расстояние нашей точки от места отсчета пути в момент времени [math]x_0=0[/math]. Возможность приближенно считать равномерными различные изменения, хотя бы на малых участках, и простота линейной функции делают ее очень употребительной.

В других случаях необходимо применение иных функциональных зависимостей. Вспомним, например, закон Бойля-Мариотта


[math]v=\frac{c}{p},[/math]

где зависимость между [math]p[/math] и [math]\nu[/math] состоит в обратной пропорциональности этих величин. График такой зависимости представляет собой гиперболу (рис. 6).


Сам физический закон Бойля-Мариотта соответствует случаю, когда [math]p[/math] и [math]\nu[/math] положительны; он описывается ветвью гиперболы, находящейся в первой четверти.


Случаи колебательных процессов сопровождаются периодическими движениями, которые в свою очередь описываются обычно тригонометрическими функциями, изменяющимися, как мы знаем, периодически. Например, если вывести из равновесия подвешенную пружину, растянув её в пределах упругости, то её точка [math]A[/math] будет совершать вертикальные колебания, выражающиеся довольно точно законом


[math]x=a\cos(pt+\alpha),[/math]

где [math]x[/math] — отклонение точки [math]A[/math] от положения равновесия, [math]t[/math] — время, а числа [math]a,p[/math] и [math]\alpha[/math] — некоторые постоянные, определяемые материалом, размерами и степенью начального растяжения пружины.

Надо иметь в виду, что функция может быть определена в различных областях различными формулами, и это может диктоваться обстоятельствами дела. Например, зависимость [math]Q=f(t)[/math] между температурой [math]t[/math] одного грамма воды (льда) и количеством [math]Q[/math] находящегося в нем тепла, когда [math]t[/math] изменяется между [math]-10^{\circ}[/math] и [math]+10^{\circ}[/math], есть вполне определенная функция, которую затруднительно выразить единой формулой но двумя формулами эту функцию легко задать. Так как теплоемкость льда равна 0,5, а теплоемкость воды равна 1, то эта функция, если принять условно, что при [math]-10^{\circ}[/math] величина [math]Q=0[/math], выражается формулой


[math]Q=0,\!5t+5,[/math]

когда [math]t[/math] изменяется в промежутке [math]-10^{\circ}\leqslant t<10^{\circ}[/math] и выражается другой формулой

[math]Q=t+85,[/math]

когда [math]t[/math] изменяется в промежутке [math]0^{\circ}<t\leqslant10^{\circ}[/math]. При [math]t=0[/math] эта функция оказывается неопределенной — многозначной; можно для удобства условиться, что при [math]t=0[/math] она принимает одно вполне определенное значение, например [math]f(0)=85[/math]. График функции [math]Q=f(t)[/math] изображен на рис. 7.


Мы привели много примеров функций, заданных формулами. Способ задания функции при помощи формул с математической точки зрения является наиболее важным, так как при таком способе имеется наличие наиболее благоприятных условий для исследования свойств функции математическими методами.


Однако не нужно думать, что формула есть единственный способ задания функции. Существует много других способов, среди них особое значение имеет график функции, дающий наглядное геометрическое ее изображение. Следующий пример может служить хорошей иллюстрацией этого.


Для того, чтобы узнать, как изменяется в течение суток температура воздуха, на метеорологических станциях пользуются прибором, называемым термографом. Термограф состоит из барабана, вращающегося вокруг своей оси при помощи часового механизма, и латунной изогнутой коробки, весьма чувствительной к изменениям температуры. При повышении температуры она разгибается, в результате этого прикрепленное к ней при помощи системы рычажков самопишущее перо поднимается вверх. Наоборот, понижение температуры влечет за собой опускание пера. На барабан навертывается соответствующим образом разграфленная бумажная лента, на которой перо вычерчивает непрерывную линию — график функции [math]T=f(t)[/math], выражающий зависимость между временем и температурой, воздуха. При помощи полученного графика можно без вычислений определять значения температуры [math]T[/math] для каждого момента времени [math]t[/math].


Приведенный пример показывает, что график сам по себе определяет функцию независимо от того, задана она формулой или нет.


Покажем справедливость следующего весьма важного утверждения: каждый непрерывный график может быть представлен некоторой формулой или, как еще принято говорить, аналитическим выражением. Это верно и для многих разрывных графиков.


Отметим, что это утверждение, имеющее большое принципиальное значение, было полностью осознано в математике только в середине прошлого века. До того времени математики под термином «функция» понимали только аналитическое выражение (формулу). Но при этом они ошибочно думали, что далеко не всякому непрерывному графику соответствует аналитическое выражение, полагая, что раз уж функция задана формулой, то ее график должен обладать особенно хорошими свойствами сравнительно с другими графиками.


Однако в XIX веке было обнаружено, что все непрерывные графики могут быть заданы формулой, более или менее сложной. Этим исключительная роль аналитического выражения как способа определения функции была поколеблена, и в результате сформировалось новое, более гибкое определение понятия функции, которое было дано выше. По этому определению переменная [math]y[/math] называется функцией от переменной [math]x[/math], если существует закон, в силу которого каждому значению [math]x[/math] из области определения этой функции соответствует вполне определенное значение [math]y[/math], независимо от того, каким способом задан этот закон: формулой, графиком, таблицей или еще каким-либо другим способом.


Здесь уместно отметить, что в математической литературе высказанное определение часто связывают с именем математика Дирихле. Стоит подчеркнуть, что это определение было одновременно с Дирихле и независимо от него предложено Н. И. Лобачевским.


В заключение предлагаем в качестве упражнения нарисовать графики функций


[math]x^3,~\sqrt{x},~\sin{x},~\sin2x,~\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\!,~\ln{x},~\ln(1+x),~|x-3|,~\frac{x+|x|}{2}.[/math]

Следует отдать также себе отчет в том, что график функции, удовлетворяющей для всех значений [math]x[/math] соотношению


[math]f(-x)=f(x),[/math]

симметричен относительно оси [math]y[/math]-ов, а в случае соотношения

[math]f(-x)=-f(x)[/math]

он симметричен относительно начала координат. Подумайте, как получить график функции [math]f(\alpha+x)[/math], где [math]\alpha[/math] — постоянное число, из графика [math]f(x)[/math]. Наконец, разберитесь в том, как, пользуясь графиками функций [math]f(x)[/math] и [math]\varphi(x)[/math], можно находить значения сложной функции [math]y=f(\varphi(x))[/math].

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved