Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Функция: понятие, определение, графики
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Функция: понятие, определение, график Понятие функции В природе предметы и явления органически связаны между собой, зависят друг от друга. Устойчивые простейшие связи издавна изучались людьми. Знания о них накапливались и формулировались как физические законы. В массе случаев это были указания на то, что разные величины, количественно характеризующие некоторое явление, тесно связаны между собой, полностью обусловливаются одна значением другой. Например, размеры сторон прямоугольника вполне определяют его площадь, объем данного газа при определенной температуре обусловливается его давлением, удлинение данного металлического стержня определяется его температурой и т.п. Подобные закономерности и послужили источником понятия функции. Уже в алгебраической формуле, позволяющей по каждому значению входящих в нее буквенных величин находить значение величины, выражаемой формулой, заложено понятие функции. Приведем примеры функций, заданных формулами. 1. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в покое, а затем начала падать под воздействием силы тяжести. Тогда путь $s$ , пройденный точкой за время выразится формулой $s=\frac{gt^2}{2}$ , где $g$ — ускорение силы тяжести. 2. Из квадрата со стороной $a$ сделана открытая прямоугольная коробка высотой $x$ (рис. 2). Объем $V$ коробки будет вычисляться по формуле $V=x(a-2x)^2.~~~~~~~~~~(2)$ Формула (2) позволяет для каждой высоты $x$ , удовлетворяющей, очевидно, неравенству $0\leqslant x\leqslant\frac{a}{2}$ , найти объем коробки. 3. Пусть в центре круговой конькобежной дорожки врыт столб, и на нем, на высоте $h$ , подвешен фонарь (рис. 3). Освещенность $T$ дорожки, может быть выражена формулой $T=\frac{A\sin\alpha}{h^2+r^2}.~~~~~~~~~~(3)$ где $r$ — радиус дорожки, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{r}$ , $A$ — некоторая величина, характеризующая силу света фонаря. Зная высоту $h$ , мы можем по формуле (3) вычислить $T$ . 4. Корень квадратного уравнения $x^2+px-1=0$ вычисляется по формуле $x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{1+\frac{p^2}{4}}$ . Характерным для формулы вообще и для приведенных выше формул в частности является то, что формула дает возможность по любому наперед заданному значению, которое может принимать одна величина (время $t$ , высота $x$ , высота $h$ столба, коэффициент $p$ уравнения), называемая независимой переменной, вычислять значения другой величины (путь $s$ , объем $V$ , освещенность $T$ , корень $x$ уравнения), которая носит название зависимой переменной или функции от первой величины. Каждая из приведенных формул дает нам пример функции: путь $s$ , пройденный точкой, есть функция времени $t$ ; объем $V$ коробки есть функция ее высоты $x$ ; освещенность $T$ дорожки есть функция высоты $h$ столба; два корня квадратного уравнения суть функции коэффициента $p$ . Следует отметить, что в одних случаях независимая переменная может принимать любые наперед заданные числовые значения, как это имеет место в примере 4, где коэффициент $p$ квадратного уравнения (4), являющийся независимой переменной, может быть произвольным числом. В других случаях независимая переменная принимает любое значение из некоторого заранее определенного множества (совокупности) чисел, как в примере 2, где объем коробки есть функция от его высоты $x$ , которая может принимать любое значение из множества чисел $x$ , удовлетворяющих неравенствам $0\leqslant x\leqslant\frac{a}{2}$ . Точно так же в примере 3 освещенность $T$ дорожки есть функция высоты столба $s$ , которая может теоретически принимать любые значения, удовлетворяющие неравенству $s>0$ , а практически — любые значения $s$ , удовлетворяющие неравенствам $0<s\leqslant H$ , где величина $H$ определяется имеющимися в распоряжении администрации катка техническими возможностями. Приведем еще такие примеры. Формула $y=\sqrt{1-x^2}$ определяет действительную функцию, выражающую соответствие между действительными числами $x$ и $y$ , очевидно, не для всех $x$ , а только для тех из них, которые удовлетворяют неравенствам $-1\leqslant x\leqslant1$ , а формула $y=\lg(1-x^2)$ — для значений $x$ , удовлетворяющих неравенствам $-1<x<1$ . Таким образом, приходится считаться с тем обстоятельством, что конкретные функции могут быть заданными не обязательно для всех возможных числовых значений, а только на некотором множестве числовых значений $x$ , чаще всего заполняющих на оси $x$ -ов некоторый отрезок (с концами или без концов). Мы уже можем сейчас дать такое определение понятия функции, которое принято в математике в настоящее время. Величина $y$ есть функция от (независимой) величины $x$ , если существует закон, в силу которого каждому значению $x$ , принадлежащему к некоторому множеству чисел, соответствует определенное значение $y$ . Множество значений $x$ , фигурирующее в этом определении, называется областью определения функции. Каждое новое понятие часто порождает новую символику. Переход от арифметики к алгебре заключался в возможности построения формул, пригодных для любых числовых данных,— поиски общих решений привели к буквенной символике. Задача анализа есть задача изучения функций — зависимостей одних величин от других; как в алгебре от конкретного числа переходят к произвольным числам — буквам, так и в анализе от конкретных формул мы переходим к произвольным функциям. Фразу " $y$ есть функция от $x$ " будем условно записывать так: $y=f(x).$ Как в алгебре для разных чисел употребляются разные буквы, так и в анализе для обозначения различных зависимостей — функций — употребляются различные обозначения: $y=F(x),\,y=\varphi(x),\,\ldots$ . График функции Одной из наиболее плодотворных и блестящих идей второй половины XVII века является идея связи между понятием функции и геометрическим образом линии. Эта связь может быть осуществлена, например, посредством прямоугольной декартовой системы координат, с которой читатель в самых общих чертах, конечно, уже знаком из курса средней школы. Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат. Это значит, что мы выбираем на этой плоскости две взаимно перпендикулярные прямые (ось абсцисс и ось ординат), на каждой из которых фиксировано положительное направление. Тогда каждой точке $M$ плоскости можно поставить в соответствие два числа $(x,y)$ — её координаты, выражающие в выбранном масштабе соответственно расстояния точки $M$ до оси ординат и до оси абсцисс, взятые с соответствующими знаками. При помощи системы координат функции можно изобразить графически в виде некоторых линий. Пусть дана некоторая функция $y=f(x).~~~~~~~~~~(6)$ Это, как мы знаем, означает, что для каждого заданного $x$ , принадлежащего к области определения данной функции, можно каким-либо способом определить, например, вычислить, соответствующее значение $y$ . Будем придавать $x$ всевозможные числовые значения. Для каждого $x$ по нашему закону (6) определим $y$ и построим в плоскости точку с координатами $x$ и $y$ . Таким образом, над каждой точкой $M'$ оси $x$ -ов (рис. 4) окажется расположенной точка $M$ с координатами $x$ и $y=f(x)$ . Совокупность всех точек $M$ образует некоторую линию, которую будем называть графиком нашей функции $y=f(x)$ . Итак, графиком функции $f(x)$ называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (6). В школе нас знакомили с графиками простейших функций. Так, читатель, вероятно, знает, что функция $y=kx+b$ , где $k$ и $b$ — постоянные числа, графически изображается (рис. 5) прямой линией, образующей с положительным направлением оси $x$ -ов угол $\alpha$ , такой, что $\operatorname{tg}\alpha=k$ , и пересекающей ось $y$ -ов в точке $(0;b)$ . Эта функция носит название линейной функции. Линейные функции встречаются в приложениях особенно часто. Вспомним, что многие физические законы выражаются, и притом достаточно точно, линейными функциями. Например, длина $l$ тела с хорошим приближением рассматривается как линейная функция его температуры $l=l_0+\alpha l_0t,$ где $\alpha$ — коэффициент линейного расширения, $l_0$ — длина тела при $t=0$ . Если $x$ есть время, а $y$ — путь, пройденный за это время точкой, то линейная функция $y=kx+b$ выражает, очевидно, то обстоятельство, что точка движется равномерно со скоростью $k$ ; число же $b$ обозначает расстояние нашей точки от места отсчета пути в момент времени $x_0=0$ . Возможность приближенно считать равномерными различные изменения, хотя бы на малых участках, и простота линейной функции делают ее очень употребительной. В других случаях необходимо применение иных функциональных зависимостей. Вспомним, например, закон Бойля-Мариотта $v=\frac{c}{p},$ где зависимость между $p$ и $\nu$ состоит в обратной пропорциональности этих величин. График такой зависимости представляет собой гиперболу (рис. 6). Сам физический закон Бойля-Мариотта соответствует случаю, когда $p$ и $\nu$ положительны; он описывается ветвью гиперболы, находящейся в первой четверти. Случаи колебательных процессов сопровождаются периодическими движениями, которые в свою очередь описываются обычно тригонометрическими функциями, изменяющимися, как мы знаем, периодически. Например, если вывести из равновесия подвешенную пружину, растянув её в пределах упругости, то её точка $A$ будет совершать вертикальные колебания, выражающиеся довольно точно законом $x=a\cos(pt+\alpha),$ где $x$ — отклонение точки $A$ от положения равновесия, $t$ — время, а числа $a,p$ и $\alpha$ — некоторые постоянные, определяемые материалом, размерами и степенью начального растяжения пружины. Надо иметь в виду, что функция может быть определена в различных областях различными формулами, и это может диктоваться обстоятельствами дела. Например, зависимость $Q=f(t)$ между температурой $t$ одного грамма воды (льда) и количеством $Q$ находящегося в нем тепла, когда $t$ изменяется между $-10^{\circ}$ и $+10^{\circ}$ , есть вполне определенная функция, которую затруднительно выразить единой формулой но двумя формулами эту функцию легко задать. Так как теплоемкость льда равна 0,5, а теплоемкость воды равна 1, то эта функция, если принять условно, что при $-10^{\circ}$ величина $Q=0$ , выражается формулой $Q=0,\!5t+5,$ когда $t$ изменяется в промежутке $-10^{\circ}\leqslant t<10^{\circ}$ и выражается другой формулой $Q=t+85,$ когда $t$ изменяется в промежутке $0^{\circ}<t\leqslant10^{\circ}$ . При $t=0$ эта функция оказывается неопределенной — многозначной; можно для удобства условиться, что при $t=0$ она принимает одно вполне определенное значение, например $f(0)=85$ . График функции $Q=f(t)$ изображен на рис. 7. Мы привели много примеров функций, заданных формулами. Способ задания функции при помощи формул с математической точки зрения является наиболее важным, так как при таком способе имеется наличие наиболее благоприятных условий для исследования свойств функции математическими методами. Однако не нужно думать, что формула есть единственный способ задания функции. Существует много других способов, среди них особое значение имеет график функции, дающий наглядное геометрическое ее изображение. Следующий пример может служить хорошей иллюстрацией этого. Для того, чтобы узнать, как изменяется в течение суток температура воздуха, на метеорологических станциях пользуются прибором, называемым термографом. Термограф состоит из барабана, вращающегося вокруг своей оси при помощи часового механизма, и латунной изогнутой коробки, весьма чувствительной к изменениям температуры. При повышении температуры она разгибается, в результате этого прикрепленное к ней при помощи системы рычажков самопишущее перо поднимается вверх. Наоборот, понижение температуры влечет за собой опускание пера. На барабан навертывается соответствующим образом разграфленная бумажная лента, на которой перо вычерчивает непрерывную линию — график функции $T=f(t)$ , выражающий зависимость между временем и температурой, воздуха. При помощи полученного графика можно без вычислений определять значения температуры $T$ для каждого момента времени $t$ . Приведенный пример показывает, что график сам по себе определяет функцию независимо от того, задана она формулой или нет. Покажем справедливость следующего весьма важного утверждения: каждый непрерывный график может быть представлен некоторой формулой или, как еще принято говорить, аналитическим выражением. Это верно и для многих разрывных графиков. Отметим, что это утверждение, имеющее большое принципиальное значение, было полностью осознано в математике только в середине прошлого века. До того времени математики под термином «функция» понимали только аналитическое выражение (формулу). Но при этом они ошибочно думали, что далеко не всякому непрерывному графику соответствует аналитическое выражение, полагая, что раз уж функция задана формулой, то ее график должен обладать особенно хорошими свойствами сравнительно с другими графиками. Однако в XIX веке было обнаружено, что все непрерывные графики могут быть заданы формулой, более или менее сложной. Этим исключительная роль аналитического выражения как способа определения функции была поколеблена, и в результате сформировалось новое, более гибкое определение понятия функции, которое было дано выше. По этому определению переменная $y$ называется функцией от переменной $x$ , если существует закон, в силу которого каждому значению $x$ из области определения этой функции соответствует вполне определенное значение $y$ , независимо от того, каким способом задан этот закон: формулой, графиком, таблицей или еще каким-либо другим способом. Здесь уместно отметить, что в математической литературе высказанное определение часто связывают с именем математика Дирихле. Стоит подчеркнуть, что это определение было одновременно с Дирихле и независимо от него предложено Н.И. Лобачевским. В заключение предлагаем в качестве упражнения нарисовать графики функций $x^3,~\sqrt{x},~\sin{x},~\sin2x,~\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\!,~\ln{x},~\ln(1+x),~\|x-3\|,~\frac{x+\|x\|}{2}.$ Следует отдать также себе отчет в том, что график функции, удовлетворяющей для всех значений $x$ соотношению $f(-x)=f(x)$ , симметричен относительно оси $y$ -ов (ось ординат), а в случае соотношения $f(-x)=-f(x)$ он симметричен относительно начала координат, т.е. точки $(0;0)$ . Подумайте, как получить график функции $f(\alpha+x)$ , где $\alpha$ — постоянное число, из графика $f(x)$ . Наконец, разберитесь в том, как, пользуясь графиками функций $f(x)$ и $\varphi(x)$ , можно находить значения сложной функции $y=f(\varphi(x))$ . Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Функция: понятие, определение, графики

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Функция: понятие, определение, график

Понятие функции

В природе предметы и явления органически связаны между собой, зависят друг от друга. Устойчивые простейшие связи издавна изучались людьми. Знания о них накапливались и формулировались как физические законы. В массе случаев это были указания на то, что разные величины, количественно характеризующие некоторое явление, тесно связаны между собой, полностью обусловливаются одна значением другой. Например, размеры сторон прямоугольника вполне определяют его площадь, объем данного газа при определенной температуре обусловливается его давлением, удлинение данного металлического стержня определяется его температурой и т.п. Подобные закономерности и послужили источником понятия функции.

Уже в алгебраической формуле, позволяющей по каждому значению входящих в нее буквенных величин находить значение величины, выражаемой формулой, заложено понятие функции. Приведем примеры функций, заданных формулами.

1. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в покое, а затем начала падать под воздействием силы тяжести. Тогда путь $s$ , пройденный точкой за время выразится формулой

$s=\frac{gt^2}{2}$ , где $g$ — ускорение силы тяжести.

2. Из квадрата со стороной $a$ сделана открытая прямоугольная коробка высотой $x$ (рис. 2). Объем $V$ коробки будет вычисляться по формуле

$V=x(a-2x)^2.~~~~~~~~~~(2)$

Формула (2) позволяет для каждой высоты $x$ , удовлетворяющей, очевидно, неравенству $0\leqslant x\leqslant\frac{a}{2}$ , найти объем коробки.

3. Пусть в центре круговой конькобежной дорожки врыт столб, и на нем, на высоте $h$ , подвешен фонарь (рис. 3). Освещенность $T$ дорожки, может быть выражена формулой

$T=\frac{A\sin\alpha}{h^2+r^2}.~~~~~~~~~~(3)$

где $r$ — радиус дорожки, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{h}{r}$ , $A$ — некоторая величина, характеризующая силу света фонаря. Зная высоту $h$ , мы можем по формуле (3) вычислить $T$ .

4. Корень квадратного уравнения $x^2+px-1=0$ вычисляется по формуле $x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{1+\frac{p^2}{4}}$ .

Характерным для формулы вообще и для приведенных выше формул в частности является то, что формула дает возможность по любому наперед заданному значению, которое может принимать одна величина (время $t$ , высота $x$ , высота $h$ столба, коэффициент $p$ уравнения), называемая независимой переменной, вычислять значения другой величины (путь $s$ , объем $V$ , освещенность $T$ , корень $x$ уравнения), которая носит название зависимой переменной или функции от первой величины.

Каждая из приведенных формул дает нам пример функции: путь $s$ , пройденный точкой, есть функция времени $t$ ; объем $V$ коробки есть функция ее высоты $x$ ; освещенность $T$ дорожки есть функция высоты $h$ столба; два корня квадратного уравнения суть функции коэффициента $p$ .

Следует отметить, что в одних случаях независимая переменная может принимать любые наперед заданные числовые значения, как это имеет место в примере 4, где коэффициент $p$ квадратного уравнения (4), являющийся независимой переменной, может быть произвольным числом. В других случаях независимая переменная принимает любое значение из некоторого заранее определенного множества (совокупности) чисел, как в примере 2, где объем коробки есть функция от его высоты $x$ , которая может принимать любое значение из множества чисел $x$ , удовлетворяющих неравенствам $0\leqslant x\leqslant\frac{a}{2}$ . Точно так же в примере 3 освещенность $T$ дорожки есть функция высоты столба $s$ , которая может теоретически принимать любые значения, удовлетворяющие неравенству $s>0$ , а практически — любые значения $s$ , удовлетворяющие неравенствам $0<s\leqslant H$ , где величина $H$ определяется имеющимися в распоряжении администрации катка техническими возможностями.

Приведем еще такие примеры. Формула

$y=\sqrt{1-x^2}$

определяет действительную функцию, выражающую соответствие между действительными числами $x$ и $y$ , очевидно, не для всех $x$ , а только для тех из них, которые удовлетворяют неравенствам $-1\leqslant x\leqslant1$ , а формула $y=\lg(1-x^2)$ — для значений $x$ , удовлетворяющих неравенствам $-1<x<1$ .

Таким образом, приходится считаться с тем обстоятельством, что конкретные функции могут быть заданными не обязательно для всех возможных числовых значений, а только на некотором множестве числовых значений $x$ , чаще всего заполняющих на оси $x$ -ов некоторый отрезок (с концами или без концов).

Мы уже можем сейчас дать такое определение понятия функции, которое принято в математике в настоящее время.

Величина $y$ есть функция от (независимой) величины $x$ , если существует закон, в силу которого каждому значению $x$ , принадлежащему к некоторому множеству чисел, соответствует определенное значение $y$ .

Множество значений $x$ , фигурирующее в этом определении, называется областью определения функции.

Каждое новое понятие часто порождает новую символику. Переход от арифметики к алгебре заключался в возможности построения формул, пригодных для любых числовых данных,— поиски общих решений привели к буквенной символике.

Задача анализа есть задача изучения функций — зависимостей одних величин от других; как в алгебре от конкретного числа переходят к произвольным числам — буквам, так и в анализе от конкретных формул мы переходим к произвольным функциям. Фразу " $y$ есть функция от $x$ " будем условно записывать так:

$y=f(x).$

Как в алгебре для разных чисел употребляются разные буквы, так и в анализе для обозначения различных зависимостей — функций — употребляются различные обозначения: $y=F(x),\,y=\varphi(x),\,\ldots$ .

График функции

Одной из наиболее плодотворных и блестящих идей второй половины XVII века является идея связи между понятием функции и геометрическим образом линии. Эта связь может быть осуществлена, например, посредством прямоугольной декартовой системы координат, с которой читатель в самых общих чертах, конечно, уже знаком из курса средней школы.

Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат. Это значит, что мы выбираем на этой плоскости две взаимно перпендикулярные прямые (ось абсцисс и ось ординат), на каждой из которых фиксировано положительное направление. Тогда каждой точке $M$ плоскости можно поставить в соответствие два числа $(x,y)$ — её координаты, выражающие в выбранном масштабе соответственно расстояния точки $M$ до оси ординат и до оси абсцисс, взятые с соответствующими знаками.

При помощи системы координат функции можно изобразить графически в виде некоторых линий. Пусть дана некоторая функция

$y=f(x).~~~~~~~~~~(6)$

Это, как мы знаем, означает, что для каждого заданного $x$ , принадлежащего к области определения данной функции, можно каким-либо способом определить, например, вычислить, соответствующее значение $y$ . Будем придавать $x$ всевозможные числовые значения. Для каждого $x$ по нашему закону (6) определим $y$ и построим в плоскости точку с координатами $x$ и $y$ . Таким образом, над каждой точкой $M'$ оси $x$ -ов (рис. 4) окажется расположенной точка $M$ с координатами $x$ и $y=f(x)$ . Совокупность всех точек $M$ образует некоторую линию, которую будем называть графиком нашей функции $y=f(x)$ .

Итак, графиком функции $f(x)$ называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (6).

В школе нас знакомили с графиками простейших функций. Так, читатель, вероятно, знает, что функция $y=kx+b$ , где $k$ и $b$ — постоянные числа, графически изображается (рис. 5) прямой линией, образующей с положительным направлением оси $x$ -ов угол $\alpha$ , такой, что $\operatorname{tg}\alpha=k$ , и пересекающей ось $y$ -ов в точке $(0;b)$ . Эта функция носит название линейной функции.

Линейные функции встречаются в приложениях особенно часто. Вспомним, что многие физические законы выражаются, и притом достаточно точно, линейными функциями. Например, длина $l$ тела с хорошим приближением рассматривается как линейная функция его температуры

$l=l_0+\alpha l_0t,$

где $\alpha$ — коэффициент линейного расширения, $l_0$ — длина тела при $t=0$ . Если $x$ есть время, а $y$ — путь, пройденный за это время точкой, то линейная функция $y=kx+b$ выражает, очевидно, то обстоятельство, что точка движется равномерно со скоростью $k$ ; число же $b$ обозначает расстояние нашей точки от места отсчета пути в момент времени $x_0=0$ . Возможность приближенно считать равномерными различные изменения, хотя бы на малых участках, и простота линейной функции делают ее очень употребительной.

В других случаях необходимо применение иных функциональных зависимостей. Вспомним, например, закон Бойля-Мариотта

$v=\frac{c}{p},$

где зависимость между $p$ и $\nu$ состоит в обратной пропорциональности этих величин. График такой зависимости представляет собой гиперболу (рис. 6).

Сам физический закон Бойля-Мариотта соответствует случаю, когда $p$ и $\nu$ положительны; он описывается ветвью гиперболы, находящейся в первой четверти.

Случаи колебательных процессов сопровождаются периодическими движениями, которые в свою очередь описываются обычно тригонометрическими функциями, изменяющимися, как мы знаем, периодически. Например, если вывести из равновесия подвешенную пружину, растянув её в пределах упругости, то её точка $A$ будет совершать вертикальные колебания, выражающиеся довольно точно законом

$x=a\cos(pt+\alpha),$

где $x$ — отклонение точки $A$ от положения равновесия, $t$ — время, а числа $a,p$ и $\alpha$ — некоторые постоянные, определяемые материалом, размерами и степенью начального растяжения пружины.

Надо иметь в виду, что функция может быть определена в различных областях различными формулами, и это может диктоваться обстоятельствами дела. Например, зависимость $Q=f(t)$ между температурой $t$ одного грамма воды (льда) и количеством $Q$ находящегося в нем тепла, когда $t$ изменяется между $-10^{\circ}$ и $+10^{\circ}$ , есть вполне определенная функция, которую затруднительно выразить единой формулой но двумя формулами эту функцию легко задать. Так как теплоемкость льда равна 0,5, а теплоемкость воды равна 1, то эта функция, если принять условно, что при $-10^{\circ}$ величина $Q=0$ , выражается формулой

$Q=0,\!5t+5,$

когда $t$ изменяется в промежутке $-10^{\circ}\leqslant t<10^{\circ}$ и выражается другой формулой

$Q=t+85,$

когда $t$ изменяется в промежутке $0^{\circ}<t\leqslant10^{\circ}$ . При $t=0$ эта функция оказывается неопределенной — многозначной; можно для удобства условиться, что при $t=0$ она принимает одно вполне определенное значение, например $f(0)=85$ . График функции $Q=f(t)$ изображен на рис. 7.

Мы привели много примеров функций, заданных формулами. Способ задания функции при помощи формул с математической точки зрения является наиболее важным, так как при таком способе имеется наличие наиболее благоприятных условий для исследования свойств функции математическими методами.

Однако не нужно думать, что формула есть единственный способ задания функции. Существует много других способов, среди них особое значение имеет график функции, дающий наглядное геометрическое ее изображение. Следующий пример может служить хорошей иллюстрацией этого.

Для того, чтобы узнать, как изменяется в течение суток температура воздуха, на метеорологических станциях пользуются прибором, называемым термографом. Термограф состоит из барабана, вращающегося вокруг своей оси при помощи часового механизма, и латунной изогнутой коробки, весьма чувствительной к изменениям температуры. При повышении температуры она разгибается, в результате этого прикрепленное к ней при помощи системы рычажков самопишущее перо поднимается вверх. Наоборот, понижение температуры влечет за собой опускание пера. На барабан навертывается соответствующим образом разграфленная бумажная лента, на которой перо вычерчивает непрерывную линию — график функции $T=f(t)$ , выражающий зависимость между временем и температурой, воздуха. При помощи полученного графика можно без вычислений определять значения температуры $T$ для каждого момента времени $t$ .

Приведенный пример показывает, что график сам по себе определяет функцию независимо от того, задана она формулой или нет.

Покажем справедливость следующего весьма важного утверждения: каждый непрерывный график может быть представлен некоторой формулой или, как еще принято говорить, аналитическим выражением. Это верно и для многих разрывных графиков.

Отметим, что это утверждение, имеющее большое принципиальное значение, было полностью осознано в математике только в середине прошлого века. До того времени математики под термином «функция» понимали только аналитическое выражение (формулу). Но при этом они ошибочно думали, что далеко не всякому непрерывному графику соответствует аналитическое выражение, полагая, что раз уж функция задана формулой, то ее график должен обладать особенно хорошими свойствами сравнительно с другими графиками.

Однако в XIX веке было обнаружено, что все непрерывные графики могут быть заданы формулой, более или менее сложной. Этим исключительная роль аналитического выражения как способа определения функции была поколеблена, и в результате сформировалось новое, более гибкое определение понятия функции, которое было дано выше. По этому определению переменная $y$ называется функцией от переменной $x$ , если существует закон, в силу которого каждому значению $x$ из области определения этой функции соответствует вполне определенное значение $y$ , независимо от того, каким способом задан этот закон: формулой, графиком, таблицей или еще каким-либо другим способом.

Здесь уместно отметить, что в математической литературе высказанное определение часто связывают с именем математика Дирихле. Стоит подчеркнуть, что это определение было одновременно с Дирихле и независимо от него предложено Н.И. Лобачевским.

В заключение предлагаем в качестве упражнения нарисовать графики функций

$x^3,~\sqrt{x},~\sin{x},~\sin2x,~\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\!,~\ln{x},~\ln(1+x),~|x-3|,~\frac{x+|x|}{2}.$

Следует отдать также себе отчет в том, что график функции, удовлетворяющей для всех значений $x$ соотношению $f(-x)=f(x)$ , симметричен относительно оси $y$ -ов (ось ординат), а в случае соотношения $f(-x)=-f(x)$ он симметричен относительно начала координат, т.е. точки $(0;0)$ .

Подумайте, как получить график функции $f(\alpha+x)$ , где $\alpha$ — постоянное число, из графика $f(x)$ . Наконец, разберитесь в том, как, пользуясь графиками функций $f(x)$ и $\varphi(x)$ , можно находить значения сложной функции $y=f(\varphi(x))$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]