Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам

Форвардная цена при различии ставок
по кредитам и депозитам


При рассмотрении вопроса определения форвардной цены мы исходили из предположения о том, что ставки по кредитам и депозитам одинаковы. Данный прием позволил представить технику расчета форвардной цены на основе безарбитражного подхода. Были получены формулы для определения теоретической форвардной цены. На примерах было показано, что при расхождении между фактической и теоретической форвардными ценами можно заработать арбитражную прибыль. Поскольку ставки по кредитам и депозитам были равны, то возникала единственная теоретическая форвардная цена, относительно которой рассматривались возможности совершения арбитражной операции. На практике ставки по кредитам выше чем по депозитам. Поэтому для определения возможности совершить арбитражную операцию необходимо рассчитать две форвардные цены -верхнюю [math](F_{\text{v}})[/math] на основе ставки по кредиту и нижнюю [math](F_{\text{n}})[/math] — на основе ставки по депозиту. Если фактическая форвардная цена [math]F_{\phi}[/math] выше верхней теоретической цены или ниже нижней теоретической цены, то существует арбитражная ситуация. Когда фактическая цена находится в диапазоне между теоретическим ценами, то арбитраж невозможен. Поясним сказанное на примере.


Пример 1. Курс акции 100 руб. Ставка без риска по депозиту равна 10%, по кредиту — 15%. Дивиденды по акции не выплачиваются. Определить верхнюю и нижнюю теоретические шестимесячные форвардные цены.


Решение. Форвардная цена акции, по которой не выплачиваются дивиденды, для простого процента рассчитывается по формуле (2.1). Определяем верхнюю теоретическую границу на основе ставки по кредиту:


[math]F_{\text{v}}= 100\cdot \left(1+0,\!15\cdot \frac{6}{12}\right)= 107,\!5[/math] руб.

Определяем нижнюю теоретическую границу на основе ставки по депозиту:


[math]F_{\text{n}}= 100\cdot \left(1+0,\!1\cdot \frac{6}{12}\right)= 105[/math] руб.

Если форвардная цена акции в примере [math]105 \leqslant F_{\phi} \leqslant 107,\!5[/math] руб., арбитраж невозможен. Фактический уровень цены в рамках этого диапазона будет определяться соотношением спроса и предложения на рынке. Если спрос больше предложения, цена приблизится к верхней границе. Если предложение больше, — то к нижней границе. При [math]F_{\phi}<105[/math] руб. последует арбитраж. Инвестор: а) купит более дешевый форвард; б) займет акцию, продаст ее и разместит полученные средства на безрисковом депозите на шесть месяцев под 10%.


При [math]F_{\phi}>110[/math] руб. инвестор:

а) продаст более дорогой форвард;

б) займет 100 руб. под 15% годовых на полгода и купит акцию.


Более удобно сделать вывод о возможности арбитражной операции на основе внутренней ставки доходности форвардного контракта. Она определяется из формулы форвардной цены. Из формулы (2.1) получим:


[math]r= \left(\frac{F}{S}-1\right)\cdot \frac{\text{baza}}{T}\,,[/math]
(2.45)

где [math]r[/math] — внутренняя ставка доходности форвардного контракта для актива, по которому не выплачиваются доходы.


Если она выше ставки по кредитам или ниже ставки по депозитам, то существует возможность получить арбитражную прибыль.


Пример 2. Курс акции 100 руб. Ставка без риска по депозиту равна 10%, по кредиту — 15%. Дивиденды по акции не выплачиваются. Определить возможность совершить арбитражную операцию, если шестимесячная форвардная цена равна: а) 110 руб.; б) 104 руб.


Решение. а) На основе формулы (2.45) внутренняя ставка доходности форвардного контракта составляет:


[math]r=\left(\frac{110}{100}-1\right)\cdot \frac{12}{6}=0,\!2[/math] или [math]20\%[/math].

Внутренняя ставка доходности выше ставки по кредиту, поэтому инвестор сейчас: продает форвард по цене 110 руб., занимает 100 руб. под 15% годовых на полгода и покупает акцию на спотовом рынке, хранит ее полгода. Через шесть месяцев: поставляет акцию по контракту и получает за нее 110 руб., по кредиту отдает сумму:


[math]100\cdot \left(1+ 0,\!15\cdot \frac{6}{12}\right)= 107,\!5[/math] руб.

Прибыль равна: [math]110-107,\!5=2,\!5[/math] руб.


Арбитражной прибылью можно воспользоваться и в момент заключения форвардного контракта. По контракту за акцию инвестору заплатят 110 руб. Дисконтированная стоимость данной величины при заключении контракта составляет:


[math]\frac{110}{1+0,\!15\cdot (6\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}= 102,\!3256[/math] руб.

Инвестор занимает данную сумму на полгода и за 100 руб. покупает акцию. Сумма:


[math]102,\!3256-100=2,\!3256[/math] руб.

составляет арбитражную прибыль. (Она равна дисконтированная стоимости 2,5 руб. прибыли к моменту истечения контракта:


[math]\frac{2,\!5}{1+0,\!15\cdot (6\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}= 2,\!3256[/math] руб.

б) Внутренняя ставка доходности форвардного контракта составляет:


[math]r=\left(\frac{104}{100}-1\right)\cdot \frac{12}{6}=0,\!08[/math] или [math]8\%[/math].

Она ниже ставки по депозиту, поэтому инвестор сейчас: покупает форвард по цене 104 руб., занимает акцию на полгода и продает ее на спотовом рынке за 100 руб., размещает их на шестимесячном депозите под 10% годовых. Через шесть месяцев: получает по депозиту сумму:


[math]100\cdot \left(1+0,\!1\cdot \frac{6}{12}\right)= 105[/math] руб.

платит за акцию по контракту 104 руб. и возвращает ее кредитору. Прибыль равна: [math]105-104=1[/math] руб.


Арбитражной прибылью инвестор может воспользоваться и при заключении форвардного контракта. К моменту его истечения он должен располагать 104 руб. Дисконтированная стоимость этой величины сегодня составляет:


[math]\frac{104}{1+0,\!1\cdot (6\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}= 99,\!0476[/math] руб.

Поэтому именно данную сумму он будет размещать на шестимесячном депозите. От продажи акции он получает 100 руб. В результате, можно сразу воспользоваться суммой:


[math]100-99,\!0476= 0,\!9524[/math] руб.

(Она равна дисконтированной стоимости одного рубля прибыли к моменту истечения контракта:


[math]\frac{1}{1+0,\!1\cdot (6\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}= 0,\!9524[/math] руб.

На основе величины внутренней ставки доходности инвестор может принять решение об инвестировании средств.


Пример 3. Пусть в примере 2 в ситуации (а) вкладчик не имеет доступа к кредиту, но располагает 100 руб., которые хотел бы инвестировать на полгода. Его устраивает доходность 20% годовых. Тогда он купит сейчас акцию на спотовом рынке за 100 руб. и продаст форвардный контракт. Через полгода поставит акцию по контракту за 110 руб. Доходность его операции составит:


[math]\frac{110-100}{100}\cdot 2=0,\!2[/math] или [math]20\%[/math] годовых.

Следует подчеркнуть, что в рамках такой операции эта доходность является для инвестора доходностью без риска.


Пусть в ситуации (б) инвестор не может занять базисный актив, но владеет акцией. Тогда он продаст ее на спотовом рынке, разместит 100 руб. на депозит под 10% на полгода и купит форвард по цене 104 руб. Через полгода он заплатит по контракту 104 руб., получит назад акцию и дополнительно заработает 1 руб.


Для определения возможностей совершения арбитражных операций при расчете форвардных цен необходимо использовать разные ставки по кредитам и депозитам как было показано выше. Для получения еще более точной картины следует также учесть, что спотовая цена актива в каждый данный момент не является единой, а представлена котировками с ценой продавца и ценой покупателя, между которыми имеется некоторый спред. Инвестор может купить актив только по более высокой цене продавца и продать его по более низкой цене покупателя. Поэтому при расчете верхней теоретической границы форвардной цены надо использовать спотовую цену продавца, а нижней границы — цену покупателя.


Пример 4. Котировка акции на спотовом рынке составляет: 100 руб. — цена покупателя, 101 — цена продавца. Ставка без риска по депозиту равна 10%, по кредиту — 15%. Дивиденды по акции не выплачиваются. Определить верхнюю и нижнюю теоретические шестимесячные форвардные цены.


Решение. Форвардная цена акции, по которой не выплачиваются дивиденды, для простого процента рассчитывается по формуле (2.1). Определяем верхнюю теоретическую границу на основе ставки по кредиту и цены продавца:


[math]F_{\text{v}}= 101\cdot \left(1+ 0,\!15\cdot \frac{6}{12}\right)=108,\!58[/math] руб.

Определяем нижнюю теоретическую границу на основе ставки по депозиту и цены покупателя:


[math]F_{\text{n}}= 101\cdot \left(1+ 0,\!1\cdot \frac{6}{12}\right)=105[/math] руб.

При совершении арбитражных операций с валютными форвардными контрактами одновременно одна валюта занимается, а другая размещается на депозите. Поэтому при расчете форвардных цен необходимо учитывать как котировки продавца и покупателя, так и разные ставки по кредитам и депозитам. Верхняя и нижняя теоретические границы соответственно равны:


[math]F_{\text{v}}= S_{\text{ask}}= \frac{1+r_{b}(T\!\!\not{\phantom{|}}\, \text{baza})}{1+r_{i}(T\!\!\not{\phantom{|}}\, \text{baza})}\,,\qquad F_{\text{n}}= S_{\text{bid}}= \frac{1+r_{i}(T\!\!\not{\phantom{|}}\, \text{baza})}{1+r_{b}(T\!\!\not{\phantom{|}}\, \text{baza})}\,,[/math]

где [math]S_{\text{ask}}[/math] — цена продавца; [math]S_{\text{bid}}[/math] — цена покупателя; [math]r_{b}[/math] — ставка по кредиту; [math]r_{i}[/math] — ставка по депозиту; буква [math]f[/math] означает иностранную валюту (или более точно, валюту, курс которой представляется в единицах другой валюты).


Рассмотрим пример.

Пример 5. Спотовая котировка доллара равна: 27,5 руб.(цена покупателя) — 28 руб. (цена продавца). Трехмесячная рублевая ставка по депозиту — 4%, по кредиту — 10%, по доллару — 2% по депозиту, 6% — по кредиту. Определить теоретические верхнюю и нижнюю форвардные цены.


Решение. Верхняя теоретическая граница равна:


[math]F_{\text{v}}= 28\cdot \frac{1+ 0,\!1\cdot (3\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}{1+ 0,\!02\cdot (3\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}= 28,\!5572[/math] руб.

Если фактическая форвардная цена выше, например, 28,8 руб., то арбитражер продаст доллар по форварду за 28,8 руб., возьмет рублевый кредит в размере:


[math]\frac{1\,\text{dollar}}{1+ 0,\!02\cdot (3\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}\cdot 28\,\text{rubley}=27,\!8607[/math] руб.

конвертирует его в доллары по спот курсу: [math]27,\!8607\,\colon 28= 0,\!995[/math] долл.


разместит данную сумму на долларовом депозите: [math]0,\!995\cdot \left(1+ 0,\!02\cdot \frac{3}{12}\right)=1[/math] долл.


Арбитражер уплачивается по контракту 1 долл. и получает 28,8 руб. По рублевому кредиту он отдает:


[math]27,\!8607\cdot \left(1+ 0,\!1\cdot \frac{3}{12}\right)=28,\!5572[/math] руб.

Его прибыль равна: [math]28,\!8-28,\!5572= 0,\!2428[/math] руб.


Если инвестор желает воспользоваться прибылью при заключении контракта, то он возьмет рублевый кредит в размере:


[math]\frac{28,\!8}{1+ 0,\!1\cdot (3\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}=28,\!0976[/math] руб.

Из них: [math]\frac{1\,\text{dollar}}{1+ 0,\!02\cdot (3\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}= 27,\!8607[/math] руб. использует на покупку долларов: [math]27,\!8607\,\colon 28= 0,\!995[/math] долл.


Его прибыль равна: [math]28,\!0976-27,\!8607= 0,\!2369[/math] руб. Нижняя теоретическая граница равна:
[math]F_{\text{n}}= 27,\!5\cdot \frac{1+ 0,\!04\cdot (3\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}{1+ 0,\!06\cdot (3\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}= 27,\!3645[/math] руб.

Если фактическая форвардная цена ниже, например, 27 руб., то арбитражер купит доллар по форварду за 27 руб., возьмет долларовый кредит в размере:


[math]\frac{27}{1+ 0,\!04\cdot (3\!\!\not{\phantom{|}}\,12)\cdot 27,\!5}= 0,\!972[/math] долл.

Конвертирует его в рубли по спот курсу: [math]0,\!9721\cdot 27,\!5 = 26,\!7327[/math] руб.


Разместит данную сумму на рублевом депозите: [math]26,\!7327\cdot \left(1+ 0,\!04\cdot \frac{3}{12}\right)=27[/math] руб.


Уплачивает ее по контракту и получает 1 долл. По долларовому кредиту возвращает:


[math]0,\!9721\cdot \left(1+ 0,\!06\cdot \frac{3}{12}\right)=0,\!9867[/math] долл.

Прибыль равна: [math]1-0,\!9867= 0,\!0133[/math] долл.


Если инвестор желает воспользоваться прибылью при заключении контракта, то он возьмет долларовый кредит в размере:


[math]\frac{1\,\text{dollar}}{1+ 0,\!06\cdot (3\!\!\not{\phantom{|}}\,12)}= 0,\!9852\,\text{dollarov}.[/math]

Для того, чтобы располагать к моменту истечения контракта 27 руб. он конвертирует в рубли сумму:


[math]\frac{27}{1+ 0,\!04\cdot (3\!\!\not{\phantom{|}}\,12)\cdot 27,\!5}= 0,\!972[/math] долл.

Прибыль составит: [math]0,\!9852-0,\!9721= 0,\!0131[/math] долл.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved