Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Форвардная цена валюты на рынке форекс

Форвардная цена валюты на рынке форекс


Форвардная цена валюты на форекс основана на так называемом паритете процентных ставок, который говорит о том, что инвестор должен получать одинаковый доход от размещения средств под процент без риска как в национальной, так и иностранной валюте. В противном случае возникнет возможность получить арбитражную прибыль.


Допустим, что курс спот рубля к доллару (прямая котировка) равен 1 долл.= S руб., ставка без риска по рублевому депозиту составляет [math]r[/math], по долларовому — [math]r_1[/math]. Инвестор планирует разместить средства на депозите на время [math]T[/math]. Перед ним два варианта. Во-первых, разместить сумму [math]S[/math] на рублевом депозите и получить по завершении периода [math]T[/math] средства в размере:


[math]S\cdot\! \left(1+r\cdot\frac{T}{\text{baza}}\right)[/math] руб.

Во-вторых, конвертировать сумму [math]S[/math] в 1 долл., разместить его под ставку [math]r_1[/math], на период [math]T[/math] и по его завершении конвертировать полученные средства в сумме:


[math]\left(1+r_1\cdot\frac{T}{\text{baza}}\right)[/math] долл. в рубли по некоторому форвардному курсу [math]F[/math].

Оба варианта должны принести инвестору одинаковый результат. В противном случае возникнет возможность совершить арбитражную операцию. Поэтому можно записать, что:


[math]S\cdot\! \left(1+r\cdot\frac{T}{\text{baza}}\right)=F\cdot\! \left(1+r_1\cdot\frac{T}{\text{baza}}\right)\!.[/math]
Отсюда:
[math]F=S\cdot\frac{1+ r\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}}{1+ r_1\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}}\,.[/math]
(2.30)



Пример. Курс доллара равен 30 руб., трехмесячная ставка без риска по рублям — 10%, по долларам — 5%. Определить трехмесячный форвардный курс.


Он составляет: [math]F=30\cdot\frac{1+0,\!1\cdot(3/12)}{1+0,\!05\cdot(3/12)}\approx30,\!37[/math] руб.


Если фактический форвардный курс в примере отличен от рассчитанной величины, можно получить арбитражную прибыль. Рассмотрим действия арбитражера.


I. Фактический форвардный курс равен 30,20 руб. Тогда арбитражер покупает контракт, так как доллар стоит дешевле, чем должен стоить. Купив контракт, он обязался купить доллар через три месяца, поэтому сейчас его необходимо продать. Для этого арбитражер занимает один доллар под 5% на три месяца и продает его, т.е. конвертирует по спот курсу в 30 руб., размещает 30 руб. на трехмесячном депозите под 10%.


Через три месяца по рублевому депозиту арбитражер получает: [math]30\cdot\!\left(1+ 0,\!1\cdot \frac{3}{12}\right)=30,\!75[/math] руб.


По форвардному контракту конвертирует 30,75 руб. в [math]30,\!75:30,\!2=1,\!0182[/math] долл.


По кредиту отдает сумму: [math]1\cdot\!\left(1+0,\!03\cdot\frac{3}{12}\right)=1,\!0125[/math] долл. Его прибыль равна: [math]1,\!0182-1,\!0125=0,\!0057[/math] долл.


II. Фактический форвардный курс составляет 30,60 руб. Тогда арбитражер продает контракт, так как доллар стоит дороже, чем должен стоить. Продажа контракта означает, что ему придется через три месяца продать доллар, поэтому сейчас его надо купить. Для этого он занимает 30 руб. на три месяца под 10% и конвертирует их по спот курсу в 1 долл., размещает 1 долл. на трехмесячном депозите под 5%.


Через три месяца арбитражер по долларовому депозиту получает: [math]1\cdot\!\left(1+ 0,!05\cdot \frac{3}{12}\right)=1,\!0125[/math] долл. По форвардному контракту конвертирует 1,0125 долл. в [math]1,\!0125-30,\!60=30,\!98[/math] руб. По рублевому кредиту отдает: [math]30\!\left(1+ 0,\!1\cdot \frac{3}{12}\right)=30,\!75[/math] руб. Его прибыль равна: [math]30,\!98-30,\!75=0,\!23[/math] руб.

Выше мы привели примеры совершения арбитражных операций. Однако для осуществления их на практике необходимо точно рассчитать количество рублей или долларов, которые следует занимать, чтобы не выйти за рамки контрактной суммы, поскольку она представляет собой некоторую фиксированную величину, например, 100 тыс. долл., 500 тыс. долл. и т.д.


Рассмотрим первый вариант, когда арбитражер покупал контракт и занимал доллар, чтобы его продать. Расчет сделаем для контракта номиналом в один доллар. На практике необходимо занять не один доллар, а меньшую сумму. Ее можно найти на основе следующих рассуждений. Арбитражер купил контракт с ценой поставки 30,20 руб. Таким образом, к моменту истечения контракта он должен располагать ровно данной суммой. Он получит к этому моменту 30,20 руб. за счет того, что в начале арбитражной операции займет некоторую сумму в долларах, конвертирует ее в рубли по спот курсу и разместит на рублевом депозите до момента истечения контракта. Поэтому сумму, которую арбитражеру необходимо занять в долларах, можно получить, рассуждая в обратной последовательности действий от момента истечения контракта. Таким образом, необходимо дисконтировать 30,20 руб. под ставку 10% на три месяца и конвертировать полученную сумму в доллары по спот курсу, а именно:


[math]\frac{30,\!2}{\left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)\!\cdot30}\approx0,\!982114[/math] долл.

0,982114 долл. является той суммой, которую необходимо занять арбитражеру. Далее он конвертирует ее в рубли по спот курсу:


[math]0,\!982114-30=29,\!46341[/math] руб. Размещает рубли на депозите под 10%: [math]29,\!46341\cdot\!\left(1+0,\!1\cdot\frac{3}{12}\right)=30,\!2[/math] руб.

Через три месяца арбитражер уплачивает по контракту 30,20 руб. и получает 1 долл. По долларовому кредиту возвращает сумму:


[math]0,\!982114\cdot\! \left(1+0,\!1\cdot\frac{3}{12}\right)\approx0,\!99439[/math] долл.

Арбитражная прибыль равна: [math]1-0,\!99439 = 0,\!0056[/math] долл. Она получается к моменту истечения контракта. Однако арбитражер может воспользоваться прибылью и при его заключении. По контракту через три месяца ему поставят 1 долл. Дисконтированная стоимость 1 долл. сегодня равна:


[math]\frac{1\,\text{doll.}}{1+0,\!05\cdot(3/12)}\approx0,\!987654~\text{doll.}[/math]

Поэтому арбитражер занимает на три месяца данную сумму. В то же время, чтобы получить к моменту истечения контракта 30,2 руб., ему сегодня необходимо располагать:


[math]\dfrac{30,\!2}{\left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)\!\cdot30}\approx0,!982114[/math] долл.

Поэтому разницу: [math]0,\!987654-0,\!982114=0,\!00554[/math] долл. он сразу получает в качестве прибыли.


Рассмотрим второй вариант, когда арбитражер продавал контракт и занимал 30 руб., чтобы купить доллар. На практике необходимо занять не 30 руб., а меньшую сумму. Ее можно найти на основе следующих рассуждений. К моменту истечения контракта арбитражер должен располагать 1 долл. Он получается за счет того, что в начале операции арбитражер занимает некоторую сумму в рублях, конвертирует ее по спот курсу в доллары и размещает их на долларовом депозите. Поэтому сумму, которую арбитражеру необходимо занять в рублях, можно получить, рассуждая в обратной последовательности действии от момента истечения контракта. Таким образом, необходимо дисконтировать 1 долл. под ставку 5% на три месяца и конвертировать полученную сумму в рубли по спот курсу, а именно:


[math]\dfrac{1\,\text{doll.}}{1+0,\!05\cdot\dfrac{3}{12}}\cdot30\,\text{rub.}\approx 29,\!62963\,\text{rub.}[/math]

29,62963 руб. является той суммой, которую необходимо занять арбитражеру. Далее он конвертирует ее в доллары по спот курсу:


[math]\dfrac{29,\!62963}{30}\approx0,\!987654[/math] долл. Размещает доллары на депозите под 5%: [math]0,\!987654\cdot\! \left(1+0,\!05\cdot\dfrac{3}{12}\right)\approx1[/math] долл.

Через три месяца поставляет по контракту 1 дол. и получает 30,60 руб. По рублевому кредиту должен вернуть:


[math]29,\!62963\cdot\! \left(1+0,\!1\cdot\dfrac{3}{12}\right)\approx30,\!37[/math] руб. Его прибыль равна: [math]30,\!60-30,\!37=0,\!23[/math] руб.

Она получается к моменту истечения контракта. Однако арбитражер может воспользоваться прибылью и при его заключении. По контракту через три месяца ему заплатят 30,60 руб. Дисконтированная стоимость этой величины сегодня равна:


[math]\dfrac{30,\!6}{1+0,\!1\cdot(3/12)}\approx29,\!85366[/math] руб.

Поэтому арбитражер занимает на три месяца данную сумму. В то же время, чтобы получить к моменту истечения контракта 1 долл., ему сегодня необходимо располагать:


[math]\dfrac{1\,\text{doll.}}{1+0,\!05\cdot\dfrac{3}{12}}\cdot30\,\text{rub.}\approx 29,\!62963\,\text{rub.}[/math]

Поэтому разницу: [math]29,\!85366-29,\!62963=0,\!22403[/math] руб. он сразу получает в качестве прибыли.


Как следует из формулы (2.30), если ставка без риска для иностранной валюты больше ставки без риска для национальной валюты, то для более отдаленных периодов времени форвардная цена будет понижаться. Если же [math]r>r_f[/math], она будет возрастать.


Форвардный контракт на валюту можно рассматривать как контракт на акцию, для которой известна ставка непрерывно начисляемого дивиденда. Ставкой дивиденда является ставка без риска для иностранной валюты. Поэтому форвардную цену с использованием непрерывно начисляемых процентов можно определить на основе формулы (2.26), заменив величину [math]q[/math] на [math]r_f[/math]:


[math]F=S\cdot\exp[(r-r_f)\cdot T],[/math]
(2.31)

где [math]r[/math] — непрерывно начисляемая ставка без риска по национальной валюте; [math]r_f[/math] — непрерывно начисляемая ставка без риска по иностранной валюте.


Докажем формулу (2.31). Имеется два портфеля — [math]A[/math] и [math]B[/math]. В портфель [math]A[/math] входит один длинный форвардный контракт на покупку единицы иностранной валюты и сумма денег равная дисконтированной стоимости цены поставки [math]K\exp(-rT)[/math]. Она инвестируется на период [math]T[/math] под ставку [math]r[/math]. Портфель [math]B[/math] содержит дисконтированную стоимость единицы иностранной валюты [math]S\exp(-r_fT)[/math] (т.е. по текущему спотовому курсу [math]S[/math] покупается иностранная валюта в количестве дисконтированной стоимости ее одной единицы). Она инвестируется под ставку [math]r_f[/math] на период [math]T[/math].


По завершении периода [math]T[/math] портфель [math]A[/math] состоит из единицы иностранной валюты, так как сумма [math]K[/math] была обменена по контракту на иностранную валюту. В портфель [math]B[/math] также входит единица иностранной валюты. Поскольку стоимости портфелей равны в конце периода [math]T[/math], они должны быть одинаковы и в начале этого периода, чтобы невозможно было получить арбитражную прибыль. Поэтому можно записать:


[math]f+K\cdot\exp(-r\cdot T)=S\cdot\exp(-r_f\cdot T).[/math]
(2.32)

В момент заключения контракта [math]f=0[/math] и [math]K=F[/math]. Тогда из формулы (2.32) следует:


[math]F\cdot\exp(-r\cdot T)=S\cdot\exp(-r_f\cdot T)[/math], или [math]F=S\cdot\exp[(r-r_f)\cdot T].[/math].

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved