Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Форвардная цена акции с учетом абсолютной величины дивиденда

Форвардная цена акции с учетом абсолютной величины дивиденда


Рассмотрим вопрос определения форвардной цены актива, по которому выплачиваются доходы, на примере акции. На акцию в течение периода действия контракта выплачивается дивиденд. Предполагается, что участникам рынка известна величина дивиденда.


Приобретая контракт, инвестор не получит дивиденд, а также тот процент, который можно начислить на дивиденд до момента окончания срока действия контракта. Эти условия необходимо учесть при определении форвардной цены.


Рассмотрим вначале простой случай: дивиденд выплачивается перед самым моментом истечения контракта. Тогда инвестор не получает только дивиденд. Форвардная цена равна:


[math]F=S\cdot\!\left(1+ r\cdot\frac{T}{\text{baza}}\right)-\operatorname{div},[/math]
(2.13)

где [math]T[/math] — период действия контракта; [math]\operatorname{div}[/math] — дивиденд.


Пример 1. Цена спот акции 100 руб., ставка без риска — 10%, дивиденд — 2 руб., выплачивается через полгода. Определить шестимесячную форвардную цену. Она равна:


[math]F=100\cdot\! \left(1+0,\!1\cdot\frac{6}{12}\right)-2=105-2=103[/math] руб.

Следующий случай предполагает, что дивиденд выплачивается в некоторый момент времени [math](t_1)[/math] в период действия контракта (см. рис. 2.3). Тогда покупатель контракта не получит не только дивиденд, но и проценты от его реинвестирования до момента истечения срока действия контракта [math](t_2)[/math], т. е. за период времени [math](t_2-t_1)[/math]. В этом случае формула (2.13) принимает вид:


[math]F=S\cdot\!\left(1+r_2\cdot\frac{t_2}{\text{baza}}\right)- \operatorname{div}\! \left(1+r_{2,1}\cdot\frac{t_2-t_1}{\text{baza}}\right)\!,[/math]
(2.14)

где [math]r_2[/math] — ставка без риска для периода времени [math]t_2[/math]; [math]r_{2,1}[/math] — форвардная ставка без риска для периода [math](t_2-t_1)[/math]; [math]t_2[/math] — период действия контракта.


В формуле (2.14) вместо абсолютной величины дивиденда можно воспользоваться значением его приведенной стоимости к моменту заключения форвардного контракта. Она равна:


[math]D=\dfrac{\operatorname{div}}{1+r_1\cdot\dfrac{t_1}{\text{baza}}}\,,[/math]
(2.15)

где [math]D[/math] — приведенная стоимость дивиденда; [math]r_1[/math] — ставка без риска для периода [math]t_1[/math].


Тогда можно сказать, что покупатель контракта не получает доход от инвестирования приведенной стоимости дивиденда на весь период действия контракта, и формула (2.14) примет вид:


[math]F=(S-D)\cdot\! \left(1+r_2\cdot\frac{t_2}{\text{baza}}\right)\!,[/math]
(2.16)

где [math]t_2[/math] — период действия контракта; [math]r_2[/math] — ставка без риска для периода [math]t_2[/math].


Формула (2.16) получается из формулы (2.14), подстановкой в нее значения дивиденда из формулы (2.15), а именно:


[math]\begin{aligned} F&=S\cdot\!\left(1+ r_2\cdot\frac{t_2}{\text{baza}}\right)- \operatorname{div}\! \left(1+r_{2,1}\cdot \frac{t_2-t_1}{\text{baza}}\right)=\\[2pt] &=S\cdot\!\left(1+ r_2\cdot\frac{t_2}{\text{baza}}\right)- D\cdot\! \left(1+ r_1\cdot \frac{t_1}{\text{baza}}\right)\!\cdot\! \left(1+r_{2,1}\cdot \frac{t_2-t_1}{\text{baza}}\right)\!.\end{aligned}[/math]
(2.17)

В выражении (2.17)


[math]\left(1+r_1\cdot\frac{t_1}{\text{baza}}\right)\!\cdot\! \left(1+r_{2,1}\cdot \frac{t_2-t_1}{\text{baza}}\right)= 1+r_2\cdot\frac{t_2}{\text{baza}}\,.[/math]
(2.18)

Поэтому:


[math]F=S\cdot\! left(1+r_2\cdot \frac{t_2}{\text{baza}}\right)- D\cdot\!\left(1+r_2\cdot \frac{t_2}{\text{baza}}\right)= (S-D)\cdot\! \left(1+r_2\cdot \frac{t_2}{\text{baza}}\right)\!.[/math]
(2.19)

Пример 2. Цена акции 100 руб., через четыре месяца на акцию выплачивается дивиденд в размере 10 руб. Определить шестимесячную форвардную цену акции, если ставка без риска на шесть месяцев равна 20% годовых, на четыре месяца — 19,8% годовых.


Решение. Приведенная стоимость дивиденда к моменту заключения контракта равна:


[math]D=\dfrac{10}{1+0,\!198\cdot\dfrac{4}{12}}\approx \frac{10}{1,\!066}\approx9,\!38[/math] руб.

Шестимесячная форвардная цена акции составляет: [math](100-9,\!38)\! \left( 1+0,\!2\cdot\frac{6}{12}\right)\approx99,\!68[/math] руб.


Если фактическая форвардная цена в примере не равна полученному теоретическому значению, то арбитражеры заработают прибыль без риска и восстановят единство цен. Проиллюстрируем это на цифрах.


I. Фактическая шестимесячная форвардная цена составляет 99 руб. Тогда арбитражер: а) покупает форвардный контракт, так как он стоит дешевле, чем должен стоить; б) занимает акцию и продает ее на енотовом рынке за 100 руб.; в) из 100 руб. сумму равную дисконтированной стоимости дивиденда, т. е. 9,38 руб., размещает на депозит под 19,8% на четыре месяца; г) оставшуюся сумму в 90,62 руб. размещает на шестимесячном депозите под 20%.


Через четыре месяца по депозиту он получит 10 руб. и отдаст их в качестве дивиденда кредитору (поскольку на акцию выплачивается дивиденд в 10 руб., то арбитражер должен отдать данную сумму кредитору);


Через полгода арбитражер: а) получает по депозиту: [math]90,\!62\! \left( 1+0,\!2\cdot\frac{6}{12}\right)\approx99,\!68[/math] руб.;


б) уплачивает за акцию по контракту 99 руб. и возвращает ее кредитору. Его прибыль равна: [math]99,\!68-99=0,\!68[/math] руб.


68 копеек арбитражер получит к моменту истечения действия контракта. Если он заинтересован в использовании прибыли в момент начала операции, то он может сразу же воспользоваться суммой в размере дисконтированной стоимости 68 копеек:


[math]\frac{0,\!68}{1+0,\!2\cdot(6/12)}=0,\!62[/math] руб.

Тогда на шестимесячном депозите он разместит сумму: [math]90,\!62-0,\!62=90[/math] руб.


Через шесть месяцев получит: [math]90\!\left(1+0,\!2\cdot\frac{6}{12}\right)=99[/math] руб. и уплатит их за акцию по контракту.


Определить величину арбитражной прибыли на начало операции можно еще следующим образом. Через полгода арбитражер должен располагать 99 руб. Их дисконтированная стоимость равна:


[math]\dfrac{99}{1+0,\!2\cdot\dfrac{6}{12}}=90[/math] руб.

Поэтому из оставшейся суммы в 90,62 руб. он 90 руб. размещает на депозите, а 0,62 руб. оставляет в качестве прибыли.


II. Фактическая форвардная цена акции составляет 100 руб. Тогда арбитражер: а) продает контракт, так как он стоит дороже, чем должен стоить; б) занимает 100 руб. и покупает акцию; (из 100 руб. он занял 9,38 руб. на четыре месяца под 19,8%; оставшуюся сумму в 90,62 руб. занял на шесть месяцев под 20%.)


Через четыре месяца арбитражер получает по акции дивиденд и возвращает первую часть кредита.


Через полгода он: а) поставляет акцию по контракту и получает 100 руб.; б) из данной суммы возвращает кредит в размере:


[math]90,\!62\cdot\! \left(1+0,\!2\cdot\dfrac{6}{12}\right)=99,\!68[/math] руб. Его прибыль равна: [math]100-99,\!68=0,\!32[/math] руб.

Инвестор может воспользоваться арбитражной прибылью и в начале действия контракта. Она равна дисконтированной стоимости рассчитанной прибыли к моменту его окончания:


[math]\dfrac{0,\!32}{1+0,\!2\cdot\dfrac{6}{12}}=0,\!29[/math] руб.

Чтобы рассчитать данную сумму, можно рассуждать следующим образом. По истечении контракта инвестору будет уплачено за акцию 100 руб. Поэтому в момент его заключения по второй сумме на шесть месяцев надо занять не 90,62 руб., а:


[math]\dfrac{100}{1+0,\!2\cdot\dfrac{6}{12}}=90,\!91[/math] руб.

Из них вместе с первой суммой он использует для покупки акции 90,62 руб. Разница: [math]90,\!91-90,\!62=0,\!29[/math] руб. составляет его арбитражную прибыль.


На акцию в течение действия контракта дивиденды могут выплачиваться несколько раз. В этом случае формула (2.14) примет вид:


[math]F=S\cdot\! \left(1+r_T\cdot\frac{T}{\text{baza}}\right)- \sum_{i=1}^{n} \text{div}_i\cdot\! \left(1+r_{T,t_i}\cdot\dfrac{T-t_i}{\text{baza}}\right)\!,[/math]
(2.20)

где [math]T[/math] — период действия контракта; [math]n[/math] — количество выплачиваемых дивидендов в течение действия контракта; [math]\text{div}_i[/math] — i-й дивиденд, выплачиваемый в течение действия контракта; [math]r_T[/math] — ставка без риска для периода [math]T[/math]; [math]r_{T,t_i}[/math] — форвардная ставка для периода времени с момента выплаты i-го дивиденда до момента окончания действия контракта.


Формула (2.16) соответственно примет вид:


[math]F=\Biggl(S-\sum_{i=1}^{n}D_i\Biggr)\cdot \Biggl(1+ r_{{}_T}\cdot \frac{T}{\text{baza}}\Biggr),[/math]
(2.21)

где [math]D_i[/math] — приведенная стоимость i-го дивиденда к началу действия контракта.


Рассмотренные выше формулы применимы и для процентных инструментов. В таком случае вместо дивиденда учитывается купон, выплачиваемый на базисный актив.


С учетом непрерывно начисляемого процента формулы (2.16) и (2.21) примут вид:


[math]F=(S-D)\cdot\exp(r\cdot T)\quad \text{and}\quad F=\Biggl(S-\sum_{i=1}^{n}D_i \Biggr)\cdot\exp(r\cdot T),[/math]
(2.22)

где [math]r[/math] — непрерывно начисляемый процент без риска для периода [math]T[/math]; [math]T[/math] — время действия форвардного контракта.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved