Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда

Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда


Форвардную цену акции можно определить, воспользовавшись вместо абсолютной величины дивиденда ставкой дивиденда. Получим соответствующую формулу. В рассуждениях используем простой процент, сделаем допущение о делимости акции на части.


Имеется два портфеля [math]A[/math] и [math]B[/math]. Портфель [math]A[/math] состоит из одного длинного форвардного контракта на акцию, который стоит [math]f[/math], и суммы денег равной приведенной стоимости цены поставки [math]\frac{K}{1+r(T/\text{baza})}[/math], где [math]K[/math] — цена поставки акции, [math]r[/math] — ставка без риска, [math]T[/math] — время действия контракта. Сумма денег [math]\frac{K}{1+r(T/\text{baza})}[/math] инвестируется под процент [math]r[/math] на время [math]T[/math]. В портфель [math]B[/math] входит акция в количестве [math]\frac{S}{1+q(T/\text{baza})}[/math], где [math]S[/math] — цена спот акции, [math]q[/math] — ставка дивиденда. Дивиденд выплачивается на акцию непосредственно перед истечением времени действия контракта и реинвестируется в акцию.


По прошествии времени [math]T[/math] портфель [math]A[/math] состоит из одной акции, поскольку величина [math]\frac{K}{1+r(T/\text{baza})}[/math] за время [math]T[/math] выросла до суммы [math]K[/math]. Она была уплачена за акцию по форвардному контракту.


В портфель [math]B[/math] также входит одна акция, поскольку на акцию был выплачен дивиденд по ставке [math]q[/math] и реинвестирован в акцию. Таким образом, стоимости портфелей [math]A[/math] и [math]B[/math] равны в конце периода [math]T[/math]. Следовательно, в начале периода [math]T[/math] их стоимости также должны быть равны, чтобы исключить возможность совершения арбитражной операции. Поэтому можно записать:


[math]f+\frac{K}{1+r(T/\text{baza})}= \frac{S}{1+q(T/\text{baza})}\,.[/math]

Поскольку в момент заключения контракта [math]f=0[/math] и [math]K=F[/math], то:


[math]F=S\cdot \frac{1+r\cdot(T/\text{baza})}{1+q\cdot(T/\text{baza})}\,.[/math]
(2.23)

В приведенном доказательстве у читателя может возникнуть вопрос, почему в портфель [math]B[/math] в конце периода [math]T[/math] обязательно будет входить одна акция, поскольку за период действия контракта ее цена изменялась не только в результате накопления дивидендной составляющей, но также и в связи со спекулятивным изменением курса? Для ответа на этот вопрос важно не забывать, что в каждый данный момент времени ставка дивиденда рассчитывается относительно текущей цены акции. Поэтому не важно, как будет изменяться ее цена в силу спекулятивной динамики рынка. На основе ставки дивиденда дивиденд будет рассчитан относительно текущей цены акции в момент его выплаты. Инвестировав данную сумму в акцию, мы получим в портфеле [math]B[/math] одну единицу акции. В общем виде отмеченный результат можно показать следующем образом. В начальный момент акция входит в портфель [math]B[/math] в количестве:


[math]\frac{1~\text{aktsiya}}{1+q(T/\text{baza})}\,.[/math]

Начисление дивиденда в конце периода [math]T[/math] на текущую цену акции и реинвестирование его в акцию дает результат:


[math]\frac{1~\text{aktsiya}}{1+q\cdot(T/\text{baza})}\cdot\! \left( 1+q\cdot \frac{T}{\text{baza}}\right)=1~\text{aktsiya}.[/math]

Другими словами, в результате спекулятивного изменения курса акции ее пропорция в портфеле [math]B[/math] остается неизменной. Выплата дивиденда по ставке [math]q[/math] от текущей цены акции позволяет докупить ее в количестве, дополняющем ее в портфеле до одной целой акции. Проиллюстрируем данный результат на цифровом примере.




Пример 3. Курс акции равен 100 руб., ставка дивиденда 20% годовых, дивиденд выплачивается через шесть месяцев. Акция входит в портфель на сумму:


[math]\frac{100}{1+0,\!2\cdot(6/12)}\approx90,\!9091[/math] руб.

Соответственно в пропорции от одной акции это составляет 0,909091 единиц. Пусть за полгода цена акции спекулятивно выросла на 20%, т.е. до 120 руб. Тогда стоимость портфеля увеличилась до:


[math]90,\!9091\cdot1,\!2=109,\!091[/math] руб.

Стоимость портфеля увеличилась только благодаря росту курса акции, поэтому ее уд. вес в портфеле остался неизменным, т.е. он по-прежнему соответствует 0,909091 единицам.


На сумму акции в портфеле был выплачен дивиденд в размере: [math]109,\!091\cdot 0,\!2\cdot \frac{6}{12}= 10,\!9091[/math] руб. Эта сумма реинвестируется в акцию: [math]109,\!091+10,\!9091=120[/math] руб.


Стоимость акции в данный момент равна 120 руб., стоимость портфеля также составляет 120 руб. Следовательно, в портфель входит одна единица акции.


В формуле (2.23) дивиденд выплачивался в конце действия контракта. Если он выплачивается в некоторый момент времени t в ходе действия контракта, то формула (2.23) примет вид:


[math]F=S\cdot\frac{1+r\cdot(T/\text{baza})}{1+q\cdot(t/\text{baza})}\,.[/math]
(2.24)

Получим данную формулу, сравнивая как и выше портфели [math]A[/math] и [math]B[/math]. Портфель [math]A[/math] состоит из одного длинного форвардного контракта на акцию, который стоит /, и суммы денег равной приведенной стоимости цены поставки [math]\frac{K}{1+ r(T/\text{baza})}[/math]. Сумма денег [math]\frac{K}{1+r(T/\text{baza})}[/math] инвестируется под процент [math]r[/math] на время [math]T[/math]. В портфель [math]B[/math] входит акция в количестве [math]\frac{S}{1+q(t/\text{baza})}[/math]. Дивиденд выплачивается на акцию в момент [math]t[/math].


По прошествии времени [math]T[/math] портфель [math]A[/math] состоит из одной акции, поскольку величина [math]\frac{K}{1+r(T/\text{baza})}[/math] за время [math]T[/math] выросла до суммы [math]K[/math]. Она была уплачена за акцию по форвардному контракту.


В портфель [math]B[/math] также входит одна акция, поскольку в момент [math]t[/math] от текущей цены на акцию был выплачен дивиденд по ставке [math]q[/math] и реинвестирован в акцию. (В дальнейшем в течение времени [math](T-t)[/math] в портфеле [math]B[/math] находилась одна акция.) Таким образом, стоимости портфелей [math]A[/math] и [math]B[/math] равны в конце периода [math]T[/math]. Следовательно, в начале периода [math]T[/math] их стоимости также должны быть равны, чтобы исключить возможность совершения арбитражной операции. Отсюда следует формула (2.24).


Каким образом корректно определить ставку дивиденда, чтобы использовать ее в формулах (2.23) и (2.24). Для этого можно приравнять формулы (2.23) и (2.24) к формуле (2.16) и выразить из полученного равенства [math]q[/math]. Приравняем формулы (2.24) и (2.16):


[math](S-D)\cdot\! \left(1+r\cdot\frac{T}{\text{baza}}\right)= S\cdot\frac{1+r\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}}{1+q\cdot \dfrac{t}{\text{baza}}}[/math]. Отсюда: [math]S-D=\frac{S}{1+q\cdot\dfrac{S}{\text{baza}}}[/math], или

[math]q=\frac{D}{S-D}\cdot\frac{\text{baza}}{t}\,.[/math]
(2.25)

Поскольку [math]D=\frac{\text{div}}{1+r(t/\text{baza})}[/math], то окончательно можем записать:


[math]q=\frac{\text{div}:[1+r\cdot(t/\text{baza})]}{S-\text{div}:[1+r\cdot(t/\text{baza})]}\cdot\frac{\text{baza}}{t}\,.[/math]

Рассчитаем ставку дивиденда для примера 2 на основе формулы (2.25):


[math]q=\frac{9,\!38}{100-9,\!38}\cdot\frac{12}{4}\approx0,\!3105[/math] или [math]31,\!05\%[/math]

Рассчитаем шестимесячную форвардную цену из примера 2 с помощью формулы (2.24):


[math]F=100\cdot \frac{1+0,\!2\cdot\dfrac{6}{12}}{1+0,\!3105\cdot \dfrac{4}{12}}\approx99,\!68[/math] руб.

Для случая непрерывного процента аналогом формулы (2.23) является формула:


[math]F=S\cdot\exp[(r-q)\cdot T],[/math]
(2.26)

где [math]q[/math] — непрерывно начисляемая ставка дивиденда.


С теоретической точки зрения непрерывно начисляемая ставка дивиденда означает, что дивиденд начисляется и постоянно реинвестируется. Если инвестор знает величину ставки дивиденда в расчете на год, то по формуле (2.3) он сможет пересчитать ее в непрерывно начисляемую ставку дивиденда. Докажем формулу (2.26) в общем виде.


Имеются два портфеля [math]A[/math] и [math]B[/math]. В портфель [math]A[/math] входит длинный форвардный контракт на покупку акции и сумма денег равная дисконтированной стоимости цены поставки [math]K\exp(-rT)[/math]. Данная сумма денег инвестируется под непрерывно начисляемый процент на период [math]T[/math]. В портфель [math]B[/math] входит акция в количестве [math]S\exp(-qT)[/math], где [math]S[/math] — цена слот акции, [math]\exp(-qT)[/math] — количество единиц акции в портфеле. Мы предполагаем, что акцию можно дробить. В конце периода [math]T[/math] в портфель [math]A[/math] входит одна акция, так как величина [math]K\exp(-rT)[/math] выросла до суммы [math]K[/math], и она была уплачена по контракту. В портфель [math]B[/math] также входит одна акция. На акцию за время [math]T[/math] непрерывно начислялся дивиденд и реинвестировался в бумагу. Стоимости портфелей равны в конце периода [math]T[/math]. Следовательно, они должны быть равны и в начале периода, чтобы арбитраж был невозможен. Поэтому можно записать:


[math]f+K\cdot\exp(-r\cdot T)= S\cdot\exp(-q\cdot T).[/math]
(2.27)

Поскольку в момент заключения контракта [math]f=0[/math], а [math]K=F[/math], то [math]F\exp(-rT)=S\exp(-qT)[/math] или [math]F=S\exp[(r-q)T][/math].


В приведенном доказательстве у читателя также может возникнуть вопрос, почему в портфель [math]B[/math] в конце периода [math]T[/math] обязательно будет входить одна акция? Вновь следует помнить, что в каждый данный момент времени на основе ставки дивиденда величина дивиденда рассчитывается от текущей цены акции, и на эту сумму она докупается по текущей цене. Поэтому не важно, как будет изменяться ее цена в силу спекулятивной динамики рынка. В общем виде отмеченный результат можно показать следующем образом. В начальный момент акция входит в портфель [math]B[/math] в количестве:


[math]1~\text{aktsiya}\cdot\exp(-q\cdot T).[/math]

За период действия контракта начисление и реинвестирование дивиденда на текущую цену дает результат:


[math]1~\text{aktsiya}\cdot\exp(-q\cdot T)\cdot\exp(q\cdot T)=1~\text{aktsiya}.[/math]

Проиллюстрируем сказанное также на цифровом дискретном примере.




Пример 4. В начальный момент времени цена спот акции равна 100 руб., непрерывно начисляемая ставка дивиденда составляет 20% годовых. Рассматриваемый период времени равен полгода, т.е. 0,5. Акция входит в портфель на сумму:


[math]100\cdot\exp(-0,\!2\cdot0,\!5)\approx 90,\!48374[/math] руб.

Соответственно в пропорции от одной акции это составляет 0,9048374 единиц.


Пусть прошел период времени равный 0,1 года и цена акции спекулятивно выросла на 10%. Тогда стоимость портфеля составила:


[math]90,\!48374\cdot\exp(0,\!1\cdot0,\!1)\approx 91,\!39312[/math] руб.

Стоимость портфеля выросла только за счет роста курсовой стоимости акции, поэтому пропорция акции в портфеле, считая от единицы, осталась прежней, т.е. новой стоимости портфеля 91,39312 руб. соответствует по-прежнему 0,9048374 единицы акции.


В этот момент на акцию выплачивается дивиденд за время 0,1 года и реинвестируется в акцию по текущей цене. С учетом этого новая стоимость портфеля равна:


[math]91,\!39312\cdot\exp(0,\!2\cdot0,\!1)\approx 93,\!23938[/math] руб.

Так как акцию докупили на сумму выплаченных дивидендов, то ее удельный вес в портфеле вырос. Найдем его на основе следующей пропорции:


91,39312 – 0,9048374 Отсюда: 93^3938 – 0,9048374 б

Таким образом, стоимость портфеля в сумме 93,23938 руб. соответствует 0,923116 единицам акции.


Прошло еще время 0,2 года, и курс акции спекулятивно вырос на 20%. Стоимость портфеля составила:


[math]93,\!23938\cdot\exp(0,\!2\cdot0,\!2)\approx 97,\!04455[/math] руб.

Так как стоимость портфеля выросла только за счет роста курсовой стоимости акции, то ее уд. вес в портфеле остался прежним, т.е. новой стоимости портфеля 97,04455 руб. соответствует по-прежнему 0,923116 единицы акции. В этот момент на акцию выплачивается дивиденд за время 0,2 года и реинвестируется в нее по текущей цене. С учетом этого новая стоимость портфеля равна:


[math]97,\!04455\cdot\exp(0,\!2\cdot0,\!2)\approx 101,\!055[/math] руб.

Акцию докупили на сумму выплаченных дивидендов, поэтому ее уд. вес в портфеле вырос. Найдем его на основе следующей пропорции: 101,005 – х Отсюда: 97,04455


Таким образом, стоимость портфеля в сумме 101,005 руб. соответствует 0,960789 единицам акции.


Прошло еще время 0,2 года, и курс акции спекулятивно упал на 10%. Стоимость портфеля составила:


[math]101,\!055\cdot\exp(0,\!1\cdot0,\!2)\approx 99,\!00498[/math] руб.

Стоимость портфеля уменьшилась только за счет снижения курсовой стоимости акции, поэтому ее уд. вес в портфеле остался прежним, т.е. стоимости портфеля 99,00498 руб. соответствует по-прежнему 0,960789 единицы акции. В этот момент на акцию выплачивается дивиденд за время 0,2 года и реинвестируется в нее по текущей цене. С учетом этого стоимость портфеля равна:


[math]99,\!00498\cdot\exp(-0,\!1\cdot0,\!2)\approx 103,\!0455[/math] руб.

Так как акцию докупили на сумму выплаченных дивидендов, то ее удельный вес в портфеле вырос. Найдем его на основе следующей пропорции: 103,0455 – х. Отсюда: 99,00498.


Таким образом, по завершении периода времени [math]T=0,\!5[/math] года в портфель входит одна акция. Данный результат не зависит от того, как спекулятивно изменялся ее курс за прошедшее время.


Для того, чтобы корректно определить ставку дивиденда для формулы (2.26), приравняем ее к формуле (2.22):


[math](S-D)\exp(rT)=S\exp[(r-q)T][/math] или [math]\exp(qT)= \frac{S\exp(rT)}{(S-D)\exp(rT)}[/math] или [math]q=\frac{1}{T}\ln\frac{S}{S-D}[/math].

Для расчета форвардной цены акции можно использовать формулы на основе приведенной стоимости дивиденда и ставки дивиденда. Какую из них применять в каком случае? Если рассматривается небольшой период времени, в рамках которого можно относительно точно прогнозировать абсолютную величину будущего дивиденда, то целесообразнее остановиться на формуле с приведенной стоимостью дивиденда. Для долгосрочного периода лучше использовать формулу на основе ставки дивиденда, поскольку обычно она является величиной постоянной или изменяется не сильно для многих компаний. Поэтому она может точнее поддаваться прогнозу, чем величина дивиденда.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved