Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Форвардная цена акции на бирже

Форвардная цена акции на бирже


Рассмотрим вопрос определения форвардной цены акции (актива), по которому не выплачиваются доходы, на примере акции. На акцию в течение периода действия контракта дивиденды не выплачиваются.


Инвестор хотел бы владеть через шесть месяцев акцией компании [math]A[/math]. Он может получить ее двумя способами: купить сегодня на спотовом рынке и держать полгода, или купить шестимесячный форвардный контракт. Тогда через полгода ему будет поставлена акция. Возникает вопрос, какой должна быть форвардная цена? Она должна быть такой, чтобы с финансовой точки зрения оба варианта действий для инвестора были одинаковыми, т.е. он должен быть безразличен в выборе первого или второго варианта. Как создать такое безразличие? Если инвестор купит акцию по форвардному контракту, то сегодня он может разместить под ставку без риска на шестимесячном депозите сумму денег равную спотовой цене акции. Через полгода по депозиту он получит сумму денег равную спот-цене акции плюс начисленные на нее проценты. Поэтому, если в качестве форвардной цены акции в контракте записать данную сумму, то инвестор будет безразличен в выборе первого или второго вариантов действий. С финансовой точки зрения они для него одинаковые, поскольку и в первом и во втором случае в начальный момент времени от него требуется сумма денег равная спотовой цене акции. На основе приведенных рассуждений можно записать общий алгоритм определения форвардной цены. Она равна цене спот базисного актива плюс безрисковый процент на цену спот за период действия контракта. Представим формулу определения форвардной цены в общем виде:


[math]F=S\cdot\!\left(1+r\cdot \frac{T}{\text{baza}}\right)\!,[/math]
(2.1)

где [math]F[/math] — форвардная цена акции; [math]S[/math] — спотовая цена акции; [math]r[/math] — ставка без риска; [math]T[/math] — период времени до истечения форвардного контракта; [math]\text{baza}[/math] — финансовый год.


Пример. В момент заключения форвардного контракта цена спот акции равна 100 руб., ставка без риска 10%. Определить шестимесячную форвардную цену.


Решение: [math]F=100\cdot\!\left(1+0,\!1\cdot\frac{6}{12}\right)=105[/math] руб.


Рассчитанная в примере цена называется теоретической форвардной ценой. Она должна быть именно такой, иначе откроется возможность совершить арбитражную операцию и заработать прибыль без риска. Покажем это на цифрах.


Допустим, фактическая форвардная цена на рынке ниже теоретической и равна 103 руб. Тогда арбитражер сегодня покупает форвардный контракт по цене 103 руб., так как он стоит дешевле, чем должен стоить. Купив контракт, он обязуется купить акцию через шесть месяцев, поэтому сейчас акцию надо продать по спотовой сделке. В связи с этим он занимает акцию у брокера и продает ее на i потовом рынке за 100 руб., и размещает их на шестимесячном безрисковом депозите под 10%. Через полгода он получает от инвестирования 100 руб. сумму в 105 руб., уплачивает по контракту за акцию 103 руб. и возвращает ее брокеру. Прибыль арбитражера равна: [math]105-103=2[/math] руб.


Таким образом, если фактическая форвардная цена окажется ниже теоретической, то арбитражеры своими действиями сразу же вернут ее к 105 руб., так как начнут активно покупать форвардные контракты.


Выше мы упростили ситуацию, допустив возможность занять акцию без процентов. Это условие можно опустить, если на рынке имеется достаточное количество лиц, владеющих акциями данной компании. В этом случае при возникновении на рынке шестимесячной форвардной цены в 103 руб. владелец акции сразу же: а) купит форвардный контракт; б) продаст акцию на спотовом рынке за 100 руб.; б) разместит полученные средства на безрисковом депозите на полгода под 10%.


Через шесть месяцев он:


а) получит по депозиту 105 руб.;


б) уплатит по контракту 103 руб. и вернет себе акцию.


Таким образом, он по-прежнему будет владеть акцией, но дополнительно получит еще доход в размере 2 руб. за счет совершенной операции. В результате таких действий фактическая форвардная цена быстро вернется к ее теоретическому уровню.


Пусть владельцы акций не оказывают своими действиями влияния на формирование форвардной цены, и для совершения арбитражной операции арбитражеру необходимо уплатить брокеру за акцию проценты. В такой ситуации характер и последовательность действий арбитражера останутся прежними. Единственное, что может измениться, — это уровень форвардной цены. Она должна быть такой, чтобы за счет разницы между теоретической и фактической ценами арбитражер смог покрыть проценты за кредит и получить прибыль. Допустим, в нашем примере процент брокера за кредит по акции составляет 2 руб. Тогда арбитражная операция будет возможна, если фактическая форвардная цена окажется ниже 103 руб. Если же процент брокера за кредит меньше 2 руб., например, равен 1,5 руб., то инвестор совершит операцию, уплатив брокеру данную сумму за кредит по акции. В этом случае его прибыль составит 0,5 руб.


Допустим теперь, что фактическая форвардная цена выше теоретической и равна 107 руб. Тогда арбитражер сегодня продает форвардный контракт по цене 107 руб., занимает 100 руб. под 10% на полгода, покупает на них акцию и хранит ее.


Через шесть месяцев он поставляет по контракту акцию за 107 руб., возвращает кредит в сумме 105 руб. Его прибыль равна:


[math]107-105=2[/math] руб.

Таким образом, если фактическая цена окажется выше теоретической, то арбитражеры быстро восстановят их равенство своими операциями, активно продавая форвардные контракты.


В рассмотренном примере в первом случае арбитражер покупал контракт по 103 руб., осуществлял короткую продажу акции на спотовом рынке и размещал 100 руб. на шестимесячном депозите. Финансовый результат он получал к моменту истечения контракта. Может пи арбитражер воспользоваться будущей прибылью сразу же, т.е. в момент начала осуществления арбитражной операции, и в каком объеме? Ответ на этот вопрос является утвердительным. Сумма денег, которую можно использовать сразу, равна дисконтированной стоимости будущей арбитражной прибыли. В примере арбитражная прибыль составила 2 руб. Поэтому в момент заключения контракта можно воспользоваться суммой:


[math]\frac{2}{1+0,\!1\cdot(6/12)}=\frac{2}{1+0,\!1\cdot0,\!5}\approx1,\!9[/math] руб.

Таким образом, из 100 руб., которые арбитражер получит от продажи акции на спотовом рынке, он может сразу израсходовать 1,9 руб. Оставшуюся сумму:


[math]100-1,\!9=98,\!1[/math] руб.

им разместит на депозите. К моменту окончания действия контракта помучит по депозиту:


[math]98,\!1\cdot\! \left(1+0,\!1\cdot\frac{6}{12}\right)=98,\!1\cdot\bigl(1+0,\!1\cdot0,\!5\bigr)\approx103[/math] руб.

Купит акцию по контракту и вернет его брокеру.


Чтобы определить сумму арбитражной прибыли на момент начала операции, можно рассуждать следующим образом. К моменту окончания контракта арбитражер должен располагать суммой в 103 руб., чтобы уплатить их по контракту. Следовательно, в начале операции надо разместить на депозите сумму равную дисконтированной стоимости данной величины:


[math]\frac{103}{1+0,\!1\cdot(6/12)}=\frac{103}{1+0,\!1\cdot0,\!5}\approx98,\!1[/math] руб.

От короткой продажи акции арбитражер получает 100 руб. Поэтому из этой суммы он 98,1 руб. разместит на депозите, а:


[math]100-98,\!1=1,\!9[/math] руб.

может использовать сразу в качестве арбитражной прибыли.


В рассмотренном примере во втором случае арбитражер продавал контракт по 107 руб., занимал 100 руб. на шесть месяцев и покупал акцию на спотовом рынке. Финансовый результат он получал к моменту истечения контракта. Может ли арбитражер воспользоваться будущей прибылью сразу же, т.е. в момент начала осуществления арбитражной операции, и в каком объеме? Ответ также является утвердительным. Сумма денег, которую можно использовать сразу, равна дисконтированной стоимости будущей арбитражной прибыли, т.е. вновь:


[math]\frac{2}{1+0,\!1\cdot(6/12)}=\frac{2}{1+0,\!1\cdot0,\!5}\approx1,\!9[/math] руб.

Чтобы получить данную сумму в момент заключения контракта, арбитражер должен действовать следующим образом. Через полгода за акцию контрагент уплатит ему 107 руб. по контракту. Поэтому сегодня он может взять шестимесячный кредит в размере:


[math]\frac{107}{1+0,\!1\cdot(6/12)}=\frac{107}{1+0,\!1\cdot0,\!5}\approx101,\!9[/math] руб.

(107 руб. составят сумму долга с процентами.) Из этой суммы за 100 руб. он покупает на спотовом рынке акцию. Оставшиеся:


[math]101,\!9-100=1,\!9[/math] руб.

составляют его прибыль. Через полгода арбитражер поставляет по контракту акцию за 107 руб. и возвращает данные средства в погашение кредита.


Формулу (2.1) можно использовать для определения форвардной цены бескупонных облигаций.


Пример. Цена спот краткосрочной облигации равна 85%, ставка без риска — 10%. Определить форвардную цену облигации с поставкой через месяц. Она равна:


[math]F=85\cdot\! \left(1+0,\!1\cdot\frac{1}{12}\right)\approx 85\cdot\! \left(1+0,\!1\cdot0,\!0833\right)=85,\!71\%.[/math]

Форвардную цену бескупонной облигации можно также определить дисконтированием номинала под форвардную процентную ставку, а именно:


[math]F=\frac{100}{1+r_{\varphi}\cdot\dfrac{T}{\text{baza}}}[/math], где [math]r_{\varphi}[/math] — форвардная ставка для периода [math]T[/math].

Пример. Государственная краткосрочная облигация погашается через 90 дней. 30-дневная форвардная ставка без риска через 60 дней равна 10% годовых, финансовый год составляет 365 дней. Определить 60-дневную форвардную цену бескупонной облигации. Она равна:


[math]F=\frac{100}{1+0,\!1\cdot(30/365)}\approx99,\!18\%[/math]

На рынке производных инструментов в формулах активно используется непрерывно начисляемый процент. Это, в первую очередь, связано с определением вероятностной модели доходности актива. Оказывается, что более приближенной к реальности вероятностной моделью доходности актива является модель, использующая в качестве случайной переменной не простую доходность, а непрерывно начисляемую доходность. Запишем формулу (2.1) с использованием непрерывно начисляемого процента:


[math]F=S\cdot e^{r\cdot T}=S\cdot\exp(r\cdot T),[/math]
(2.2)

где [math]r[/math] — непрерывно начисляемая ставка без риска; [math]T[/math] — время действия контракта в годах.


На практике доходность обычно задается как простой процент в расчете на год. Для пересчета его в эквивалентный непрерывно начисляемый процент служит следующая формула:


[math]r_{H}=m\cdot\ln\!\left(1+\frac{r}{m}\righ)\!,[/math]
(2.3)

где [math]r_{H}[/math] — непрерывно начисляемый процент; [math]r[/math] — простой процент; [math]m[/math] — частота начисления простого процента в рамках года. Соответственно, определить простой процент на основе непрерывно начисляемого можно по формуле:


[math]r=m\cdot\! \left(\exp\frac{r_{H}}{m}-1\right)\!.[/math]
(2.4)

Приведем пример на использование формулы (2.2).


Пример. Цена спот акции 100 руб., трехмесячная ставка без риска на основе простого процента равна 10% годовых. Определить трехмесячную форвардную цену с помощью формулы (2.2).


Решение. Определяем эквивалентный непрерывно начисляемый процент;


[math]r_H=4\cdot\ln\!\left(1+\frac{0,\!1}{4}\right)\approx0,\!09877[/math], или [math]9,\!877\%[/math].

Трехмесячный период, представленный в годах, составляет: [math]3/12=0,\!25[/math] года. Форвардная цена равна: [math]F=100\exp(1,\!09877\cdot0,\!25)\approx102,\!25[/math].


Докажем формулы (2.1) и (2.2) на основе подхода, не допускающего получения арбитражной прибыли. Доказательство проведем для случая непрерывно начисляемого процента.


Имеется два портфеля: [math]A[/math] и [math]B[/math]. Портфель [math]A[/math] состоит из одного длинного форвардного контракта на акцию, который стоит [math]f[/math], и суммы денег равной приведенной стоимости цены поставки [math]K\exp(-rT)[/math], где [math]K[/math] — цена поставки акции, г непрерывно начисляемая ставка без риска, [math]T[/math] — время действия контракта. Сумма денег [math]K\exp(-rT)[/math] инвестируется под процент [math]r[/math] на время [math]T[/math]. В портфель [math]B[/math] входит одна акция, цена спот которой равна [math]S[/math].


По прошествии времени [math]T[/math] портфель [math]B[/math] состоит из одной акции. И портфель [math]A[/math] также входит одна акция, поскольку величина [math]K\exp(-rT)[/math] и время [math]T[/math] выросла до суммы [math]K[/math]. Она была уплачена за акцию по форвардному контракту. Таким образом, стоимости портфелей [math]A[/math] и [math]B[/math] ровны в конце периода [math]T[/math]. Следовательно, в начале периода [math]T[/math] их стоимости также должны быть равны, чтобы исключить возможность совершения арбитражной операции. Поэтому можно записать:


[math]f+K\cdot \exp(-r\cdot T)=S.[/math]
(2.5)

Поскольку в момент заключения контракта его стоимость [math](f)[/math] равна нулю, а цена поставки равна форвардной цене [math](K=F)[/math], то


[math]F\cdot\exp(-r\cdot T)=S[/math], или [math]F=S\cdot\exp(r\cdot T)[/math].

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved