Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Формулы и суперпозиции булевых функций
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Формулы и суперпозиции булевых функций Табличный способ задания булевой функции не является эффективным. Им практически нельзя воспользоваться при большом числе переменных. Помимо этого способа существует способ представления булевых функций в виде формул. Этот способ аналогичен аналитическому способу задания функций действительного переменного. Как известно, в математическом анализе мы исходили из определенного множества элементарных функций и строили из них сложные функции, записывая их в виде формул, например: $y=\sin \operatorname{tg}x\,,$ $y=\ln\cos{x}\,,$ $y=\exp(-\cos(x+ \operatorname{tg}x))$ и т.п. Аналогично обстоит дело для булевых функций, но только вместо элементарных функций математического анализа мы используем элементарные булевы функции — главным образом, те функции от одной и от двух переменных, которые мы определили ранее. Но в отличие от математического анализа в теории булевых функций ставится задача представления любой булевой функции такой формулой, которая содержала бы строго определенное конечное множество элементарных булевых функций. Эти функции назовем пока условно "базисными функциями". Множества таких базисных функций могут быть разными, но, так или иначе, мы хотим иметь нечто вроде функционального базиса (или множества таких базисов), через элементы которого можно было бы выразить любую булеву функцию. Аналогичная задача не может быть решена для функций действительного переменого. Для булевых же функций задача оказывается разрешимой, и это обусловлено прежде всего тем, что булева функция является конечной функцией. Чтобы математически точно сформулировать и решить поставленную выше задачу, нам необходимо уточнить понятие формулы. В анализе, поскольку там не возникала задача подобного рода, мы могли ограничиться интуитивной идеей формулы как некоего способа представления функции. В теории булевых функций мы хотим доказывать утверждения вида "любая булева функция может быть представлена формулой над заданным множеством базисных функций $F$ ". Но тогда нам нужно дать математическое определение "формулы над заданным множеством базисных функций $F$ ", а также уточнить, что значит "булева функция представлена некоторой формулой". Кроме того, формулы обретают "самостоятельную жизнь" еще и потому, что одну и ту же булеву функцию можно представить, вообще говоря, разными формулами (как над одним и тем же базисом, так и над разными базисами). Тогда необходимо иметь механизм эквивалентного преобразования формул, т.е. перехода от заданной формулы, представляющей некоторую булеву функцию, к новой, скажем, более простой формуле, которая представляет ту же самую функцию. Определение формулы основано на понятии сложной функции, или суперпозиции. Пусть булева функция $f$ есть функция от $n$ переменных, а булевы функции $g_1,\ldots,g_n$ — произвольные (и не обязательно различные) функции от одного и того же числа переменных, которое обозначим $m$ . Определим функцию $f(g_1,\ldots,g_n)$ называемую суперпозицией функций $f,g_1,\ldots,g_n$ так, что для любого $\widetilde{\alpha}=\mathbb{B}^m$ имеет место равенство $f(g_1,\ldots,g_n)(\widetilde{\alpha})= f\bigl(g_1(\widetilde{\alpha}),\ldots, g_n(\widetilde{\alpha})\bigr).$ Таким образом, суперпозиция $f(g_1,\ldots,g_n)$ есть не что иное, как композиция булевых операторов $g\circ f$ , где булев оператор $g$ задается семейством координатных функций $g_i,~i=\overline{1,n}$ . Для суперпозиции $f(g_1,\ldots,g_n)$ используется также обозначение $\mathcal{S}(f,g_1,\ldots,g_n)$ . Предположение о том, что все функции $g_i,~i=\overline{1,n}$ , — функции от одного и того же числа переменных, не ограничивает общности, поскольку, как было показано ранее, любое конечное множество булевых функции всегда можно рассматривать как множество функций от одного и того же числа переменных. Замечание 6.4. Обратим внимание на то, что в общем случае "уравнивание" числа переменных функций $g_i,~i=\overline{1,n}$ , связано с добавлением фиктивных переменных, а его, как известно, можно осуществлять разными способами. Поэтому суперпозиция $f(g_1,\ldots,g_n)$ , вообще говоря, определена однозначно лишь с точностью до равенства булевых функций согласно определению 6.2. Пусть дано некоторое множество булевых функций $F$ . Тогда формулой над множеством $F$ мы считаем любую константу из $F$ (если она там есть) и любое булево переменное. Далее, если известно, что $\Phi_1,\ldots,\Phi_n~(n\geqslant1)$ — формулы над множеством $F$ , а $f$ — функция из $F$ от $n$ переменных, то выражение $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)$ есть формула над множеством $F$ . Никаких других формул над множеством $F$ , кроме определенных выше, не существует. Замечание 6.5. 1. Строго говоря, в формуле $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)$ фигурирует не сама булева функция из множества $F$ , а ее обозначение, т.е. индивидная константа с областью значений $\mathcal{P}_2$ . Но мы, чтобы не усложнять терминологию, будем отождествлять обозначения базисных функций, т.е. функции из заданного множества $F$ , с самими базисными функциями. 2. Обычно предполагают, что рассматриваются переменные из некоторого заранее фиксированного (и не более чем счетного) множества переменных $X$ . Пример 6.6. а. Пусть $F=\{\lor,\cdot,\overline{\phantom{A}}\}$ . Это множество, состоящее из функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, называют стандартным базисом. Формулами над стандартным базисом будет любое переменное: $x,y,\ldots,x_1,\ldots,x_n$ и т.д. Далее, из переменных $x,y$ как формул и функции $\lor$ можно построить новую формулу, например $\lor(x,y)$ или $\cdot(x,y)$ . Эти формулы, однако, естественно записывать несколько иначе. Поскольку каждая булева функция от двух переменных (каковы, в частности, дизъюнкция и конъюнкция) является одновременно бинарной операцией на множестве $\mathbb{B}=\{0;1\}$ , то формулы с такими функциями обычно записывают в "инфиксной форме", т.е. как $(x\lor y),\,(x\cdot y)$ и т.п. Аналогично для отрицания используют запись $\overline{x}$ , а не $\overline{\phantom{x}}(x)$ . Кроме того, в формулах над стандартным базисом, во-первых, опускают скобки, используя ассоциативность булевых операций $\lor$ и $\cdot$ , то есть вместо $((x\lor y)\lor z)$ пишут $(x\lor y\lor z)$ ; во-вторых, опускают, как правило, внешние скобки, записывая формулу, аналогичную последней, просто как $x\lor y\lor z$ ; в-третьих, используют соглашение о "старшинстве" (или о приоритете) операций, полагая, что самый высокий приоритет имеет операция отрицания (т.е. она всегда выполняется перед конъюнкцией и дизъюнкцией), затем идет конъюнкция и после нее — дизъюнкция. С учетом сказанного формула $\bigl(\overline{x\lor y}\lor ((y\cdot z)\cdot u)\bigr)$ может быть переписана так: $\overline{x\lor y}\lor y\cdot z\cdot u\,.$ (6.6) Согласно определению формулы, можно представить процесс построения формулы (6.6) следующим образом. Из переменных $x,y$ и функции $\lor$ строим формулу $\Phi_1=(x\lor y)$ , затем из нее и функции отрицания получаем формулу $\Phi_2=\overline{\Phi}_1$ , т.е. формулу $\overline{x\lor y}$ . Далее из переменных $y,z$ и функции $\cdot()$ строим формулу $(y\cdot z)$ , а из нее, переменного $u$ и опять функции $\cdot()$ — формулу $\Phi_3=(y\cdot z)\cdot u$ , которую записываем как $y\cdot z\cdot u$ . И наконец, из формул $\Phi_2,\,\Phi_3$ и функции $\lor$ строим формулу $\Phi_2\lor\Phi_3$ , т.е. формулу (6.6). Описанный процесс можно наглядно изобразить в виде ориентированного дерева (рис. 6.3). Листья этого дерева помечены переменными или константами формулы, а каждый узел, не являющийся листом, — одной из функций из множества $F$ (на рисунке эти узлы изображены в виде кружочков, внутри которых указано имя функции). б. Рассмотрим множество булевых функций $\{\oplus,\cdot,1\}$ , которое называют базисом Жегалкина. При записи формул над базисом Жегалкина используют те же принципы, что и при записи формул над стандартным базисом. Приоритет операции конъюнкции считается выше приоритета операции сложения по модулю 2. Так как последняя ассоциативна, то при записи формул с этой операцией соответствующим образом опускают скобки. Так, формулами над базисом Жегалкина будут: $xy\oplus x\oplus y,\qquad x\oplus 1,\qquad xyz\oplus xy\oplus xz\oplus yz\oplus x\oplus y\oplus z\oplus 1.$ Процесс построения первых двух формул изображен в виде деревьев на рис. 6.4. в. Пусть множество базисных функций $F$ состоит из единственной функции $\mid$ (штрих Шеффера). Как бинарная операция, эта функция не ассоциативна, т.е. булева функция $(x\|y)\|z$ не равна булевой функции $x\|(y\|z)$ . Поэтому при записи формул над множеством $\{\mid\}$ следует заботиться о расстановке скобок. Примеры формул над множеством $\{\mid\}:$ $(x\|x)\|(y\|y),\qquad (x\|y)\|(x\|y),\qquad (x\|x)\|(x\|x).$ Внешние скобки мы опускаем и в этом случае. Дерево, показывающее процесс построения первой из записанных выше формул, изображено на рис. 6.5. Мы будем использовать запись $\Phi(x_1,\ldots,x_n)$ , указывая тем самым, что формула $\Phi$ содержит переменные $x_1,\ldots,x_n$ , и только их. Множество переменных формулы $\Phi$ будем обозначать через $Var(\Phi)$ . Нам понадобится также понятие подформулы. Из определения и рассмотренных примеров следует, что процесс построения формулы есть процесс определения некоторой сложной булевой функции, т.е. суперпозиции. Формула "собирается" из "элементарных формул", т.е. переменных и базисных функций, так, что на каждом шаге из уже полученных формул строится новая, более сложная формула. Естественно назвать эти "промежуточные" формулы подформулами рассматриваемой формулы. Так, в примере б.б.а формулы $\Phi_1,\,\Phi_2,\,Phi_3$ (и, конечно, переменные и базисные функции) — это подформулы формулы (6.6). Строго понятие подформулы может быть введено следующим образом. Пусть $\Psi$ — формула над $F$ . Если $\Psi\in F$ или $\Psi$ есть переменное, то ее единственной подформулой является она сама. Если $\Psi$ имеет вид $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)$ , где $f$ — функция из $F$ от $n$ переменных, а $\Phi_i,~i=\overline{1,n}$ , суть формулы над $F$ , то подформулами формулы $\Psi$ будут: 1) все формулы $\Psi_i$ ; 2) для каждого $i=\overline{1,n}$ все подформулы формулы $\Psi_i$ . В дереве, изображающем процесс построения формулы, каждое поддерево, все листья которого являются также и листьями всего дерева, определяет некоторую подформулу. Каждому набору значений переменных, входящих в заданную формулу, можно определенным образом сопоставить значение этой формулы. Вычисление этого значения в точности соответствует процессу построения формулы из подформул (в конечном счете из переменных и базисных функций). Пример 6.7. Полагая в формуле (6.6) $x=1,~y=0,~z=u=1$ , получим значение формулы (6.6), равное $\overline{1\lor 0}\lor 0\cdot 1\cdot 1=0.$ Таким образом, по каждому набору значений переменных формулы можно по определенному алгоритму вычислить значение формулы. Это значит, что каждая формула определяет (или представляет) некоторую булеву функцию. Введем понятие функции, представляемой формулой над множеством $F$ . Мы полагаем, что: 1) любая константа из $F$ представляет саму себя; 2) любое переменное $x$ из $X$ представляет проектирующую функцию $x$ (точнее, любую из множества равных между собой проектирующих функций существенного переменного $x$ , см. замечание 6.3); 3) если формулы $\Phi_1,\ldots,\Phi_n$ над множеством $F$ представляют соответственно функции $g_1,\ldots,g_n$ , a $f$ — функция из $F$ от $n$ переменных $(n\geqslant1)$ , то формула $f(\Phi_1,\ldots, \Phi_n)$ представляет суперпозицию функций $f(g_1,\ldots,g_n)$ ; 4) других булевых функций, представляемых формулами над множеством $F$ , кроме тех, которые могут быть получены согласно пунктам 1-3 данного определения, не существует. Функцию, представляемую некоторой формулой над множеством $F$ , называют суперпозицией над множеством $F$ . Таким образом, суперпозиция над множеством F — это любая суперпозиция функций вида $f(g_1,\ldots,g_n)$ , где $f\in F$ , а каждая из функций $g_1,\ldots,g_n$ есть либо элемент $F$ , либо переменное (точнее, проектирующая функция), либо некоторая суперпозиция над $F$ . Множество всех суперпозиций над $F$ будем обозначать $[ F]$ и называть замыканием множества $F$ булевых функций. Понятия формулы и суперпозиции взаимно предполагают друг друга. Суперпозиция над множеством $F$ есть некоторая сложная функция, которая определенным образом построена из базисных функций — функций фиксированного множества $F$ (и проектирующих функций). Само "строение" суперпозиции, т.е. то, из каких именно базисных функций и в какой последовательности образуется результирующая сложная функция (суперпозиция), и есть формула. Если булева функция $f(x_1,\ldots,x_n)$ представляется формулой $\Phi(x_1,\ldots, x_n)$ , то будем писать $f(x_1,\ldots,x_n)= \Phi(x_1,\ldots,x_n)$ , или, короче, $f=\Phi(x_1,\ldots,x_n)$ . Определение 6.3. Множество булевых функций $F$ называют: 1) замкнутым, если любая формула над $F$ представляет некоторую функцию из $F$ ; 2) полным, если любая булева функция может быть представлена некоторой формулой над $F$ . Определение 6.3 равносильно следующему (на "языке суперпозиций"): множество $F$ функций замкнуто, если каждая суперпозиция над $F$ есть функция из $F$ , то есть $[ F]=F$ , и полно, если всякая булева функция есть некоторая суперпозиция над $F$ , то есть $[ F]=\mathcal{P}_2$ . Замечание 6.6. Можно заметить, что определение формулы и суперпозиции над заданным множеством булевых функций похоже на определение Ω-замыкания множества в алгебрах. Эти определения, равно как и основанные на них определения замкнутости и полноты множеств булевых функций, могут быть переведены полностью на алгебраический язык. Тогда замкнутое множество булевых функций, согласно определению 6.3, окажется не чем иным, как замкнутым подмножеством некоторой алгебры булевых функций, а полное множество булевых функций — системой образующих этой алгебры. Однако при попытке чисто алгебраической интерпретации определения 6.3 возникают некоторые технические трудности, обсуждение которых выходит за рамки этого курса. Пример 6.8. Для каждой из определенных в 6.1 функций от двух переменных мы можем записать следующие формулы над стандартным базисом: $\begin{aligned}x_1\oplus x_2&= x_1\cdot \overline{x}_2\lor \overline{x}_1x_2,\\ x_1\to x_2&= \overline{x}_1\lor x_2,\\ x_1\sim x_2&= (\overline{x}_1\lor x_1)\cdot (\overline{x}_2\lor x_1),\\ x_1\mid x_2&=\overline{x_1\cdot x_2},\\ x_1\downarrow x_2&=\overline{x_1\lor x_2}. \end{aligned}$ Если мы пополним стандартный базис функцией $\to$ (импликацией), то формула для эквивалентности примет вид $x_1\sim x_2= (x_1\to x_2)\cdot (x_2\to x_1).$ Тот факт, что одна и та же функция (в данном случае эквивалентность) может быть представлена по крайней мере двумя разными формулами над одним и тем же множеством, а именно над $\{\lor, \cdot,\overline{\phantom{A}},\to\}$ , показывает, что соответствие между формулами над фиксированным множеством и представляемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Эта ситуация до некоторой степени аналогична разложению по базису векторов конечномерного линейного пространства. Формула, представляющая некоторую булеву функцию, выражает "разложение" этой функции по фиксированному "функциональному базису". Одна и та же функция может иметь несколько таких разложений. В отличие от линейной алгебры в этом случае возникает ситуация, когда возможны различные разложения заданной функции по одному и тому же базису. Например, формулы $\overline{x\lor y}$ и $\overline{x}\cdot\overline{y}$ над стандартным базисом представляют одну и ту же функцию. Назовем эквивалентными формулы, которые представляют равные функции. Эквивалентным (или тождественным) преобразованием формулы $\Phi$ называют переход (по определенным правилам) к любой формуле $\Psi$ , эквивалентной формуле $\Phi$ . Необходимо сделать несколько замечаний относительно правил, согласно которым осуществляются эквивалентные преобразования формул. Введем понятие тождества. Тождеством (над множеством $F\subseteq\mathcal{P}_2$ ) называют выражение $\Phi(x_1,\ldots,x_n)= \Psi(y_1,\ldots,y_m),$ (6.7) где формулы $\Phi$ и $\Psi$ — эквивалентные формулы над $F$ . Формула $\Phi$ называется при этом левой, а формула $\Psi$ — правой частью тождества (6.7). Левая и правая части тождества представляют равные булевы функции. Поэтому пересечение множеств переменных $Var(\Phi)=\{x_1,\ldots,x_n \}$ и $Var(\Psi)= \{y_1,\ldots, y_m\}$ должно содержать все существенные переменные функций /(#1,...,жп) и g(yi,...,ym), представляемых формулами $\Phi$ и $\Psi$ соответственно. В частности, если это пересечение пусто, то обе функции равны некоторой константе. Пример 6.9. В тождествах $x\lor \overline{x}=y \overline{y},~ x\lor \overline{x}=1$ пересечение множеств переменных в левых и правых частях пусто, причем во втором тождестве правая часть вообще не содержит переменных. В тождестве $(x\lor y)\cdot (z\lor \overline{z})= x\lor y\lor v\cdot \overline{v}$ указанное пересечение равно $\{x,y\}$ . Все записанные в примере 6.8 выражения являются тождествами над множеством $\{\lor,\cdot, \overline{\phantom{A}},\oplus, \to, \sim,\mid,\downarrow\}$ , причем во всех этих тождествах множества переменных в левой и правой частях тождества совпадают. Такого же рода тождества — аксиомы булевой алгебры* (кроме тождеств $x\lor \overline{x}=1$ и $x\land \overline{x}=0$ ) и вытекающие из них тождества (подобные, например, законам де Моргана). *Поскольку все переменные, фигурирующие в этих тождествах, есть булевы переменные, то речь здесь идет об аксиомах булевой алгебры применительно к частному случаю — двухэлементной булевой алгебре $\mathbb{B}$ . Правила тождественных преобразований булевых функций Без доказательства сформулируем следующие правила тождественных преобразований. Теорема 6.1. 1. Если в тождестве (6.7) некоторые переменные заменить произвольными формулами (над множеством $F$ ), то тождество сохранится, т.е. полученные в результате такой замены новые формулы останутся эквивалентными. 2. Если в формуле $\Phi$ произвольную ее подформулу заменить любой эквивалентной ей, то получится формула, эквивалентная формуле $\Phi$ . Чтобы использовать сформулированные в теореме 6.1 правила, нужно фиксировать какую-то систему исходных тождеств. Тогда возникает вопрос: можно ли утверждать, что при надлежащем выборе исходных тождеств с помощью правил 1 и 2, сформулированных в теореме 6.1, можно из формулы $\Phi$ получить эквивалентную ей формулу $\Psi$ , каковы бы ни были эти формулы, или, говоря неформально, любые ли две эквивалентные формулы над заданным множеством $F$ можно "трансформировать" друг в друга, используя фиксированную систему основных тождеств над $F$ и правила, сформулированные в теореме 6.1? Рассмотрение этого вопроса выходит за рамки данного курса. Ответ на него зависит от того, какое множество булевых функций $F$ и какая система исходных тождеств над $F$ выбраны. Отметим, что для стандартного базиса ответ на вопрос положителен, причем в качестве исходных тождеств используются аксиомы булевой алгебры. В свете изложенного может быть поставлена задача поиска наиболее простой (в определенном смысле) формулы, среди всех эквивалентных между собой формул, представляющих данную булеву функцию. Решение этой задачи для некоторого класса формул над стандартным базисом будет рассмотрено в одной из последующих лекций. Понятие формулы позволяет также взглянуть по-новому на логическую интерпретацию булевой функции. В силу установленного в 6.2 взаимно однозначного соответствия между логическими связками $\lor,\land, \lnot, \Rightarrow,\Leftrightarrow$ и булевыми функциями $\lor, \cdot, \overline{\phantom{A}},\to,\sim$ любому сложному высказыванию, составленному из некоторых "простых" высказываний с использованием указанных выше логических связок, однозначно сопоставляется формула над множеством $L=\{\lor, \cdot, \overline{\phantom{A}}, \to,\sim\}$ , т.е. каждому простому высказыванию сопоставляется булево переменное (так что разным высказываниям сопоставляются и разные переменные), а связки $\lor,\land, \lnot, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ заменяются соответствующими функциями из множества $L$ . Тогда, например, высказыванию $(P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)$ (читается: "если $P$ , то $Q$ , и если $Q$ , то $P$ ") будет сопоставлена формула $(x\to y)\cdot (y\to x)$ . Таким образом, с логической точки зрения формула над множеством $L$ есть высказывание. Поскольку мы имеем возможность вычислять значения формул и проводить их эквивалентные преобразования (используя, в частности, аксиомы булевой алгебры), мы получаем алгебраический аппарат для упрощения сложных высказываний (путем эквивалентных преобразований) и вычисления их истинностных значений. Но тогда возникают вопросы: как практически построить для любой наперед заданной булевой функции представляющую ее формулу над фиксированным множеством базисных функций $F$ ? Каковы условия полноты множества $F$ ? Далее мы рассмотрим вопрос о представлении любой булевой функции над стандартным базисом и вопрос о поиске минимальной (в уточняемом ниже смысле), наиболее простой формулы над стандартным базисом, представляющей данную функцию. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Формулы и суперпозиции булевых функций

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Формулы и суперпозиции булевых функций

Табличный способ задания булевой функции не является эффективным. Им практически нельзя воспользоваться при большом числе переменных. Помимо этого способа существует способ представления булевых функций в виде формул. Этот способ аналогичен аналитическому способу задания функций действительного переменного.

Как известно, в математическом анализе мы исходили из определенного множества элементарных функций и строили из них сложные функции, записывая их в виде формул, например: $y=\sin \operatorname{tg}x\,,$ $y=\ln\cos{x}\,,$ $y=\exp(-\cos(x+ \operatorname{tg}x))$ и т.п. Аналогично обстоит дело для булевых функций, но только вместо элементарных функций математического анализа мы используем элементарные булевы функции — главным образом, те функции от одной и от двух переменных, которые мы определили ранее.

Но в отличие от математического анализа в теории булевых функций ставится задача представления любой булевой функции такой формулой, которая содержала бы строго определенное конечное множество элементарных булевых функций. Эти функции назовем пока условно "базисными функциями". Множества таких базисных функций могут быть разными, но, так или иначе, мы хотим иметь нечто вроде функционального базиса (или множества таких базисов), через элементы которого можно было бы выразить любую булеву функцию. Аналогичная задача не может быть решена для функций действительного переменого. Для булевых же функций задача оказывается разрешимой, и это обусловлено прежде всего тем, что булева функция является конечной функцией.

Чтобы математически точно сформулировать и решить поставленную выше задачу, нам необходимо уточнить понятие формулы. В анализе, поскольку там не возникала задача подобного рода, мы могли ограничиться интуитивной идеей формулы как некоего способа представления функции. В теории булевых функций мы хотим доказывать утверждения вида "любая булева функция может быть представлена формулой над заданным множеством базисных функций $F$ ". Но тогда нам нужно дать математическое определение "формулы над заданным множеством базисных функций $F$ ", а также уточнить, что значит "булева функция представлена некоторой формулой". Кроме того, формулы обретают "самостоятельную жизнь" еще и потому, что одну и ту же булеву функцию можно представить, вообще говоря, разными формулами (как над одним и тем же базисом, так и над разными базисами). Тогда необходимо иметь механизм эквивалентного преобразования формул, т.е. перехода от заданной формулы, представляющей некоторую булеву функцию, к новой, скажем, более простой формуле, которая представляет ту же самую функцию.

Определение формулы основано на понятии сложной функции, или суперпозиции.

Пусть булева функция $f$ есть функция от $n$ переменных, а булевы функции $g_1,\ldots,g_n$ — произвольные (и не обязательно различные) функции от одного и того же числа переменных, которое обозначим $m$ .

Определим функцию $f(g_1,\ldots,g_n)$ называемую суперпозицией функций $f,g_1,\ldots,g_n$ так, что для любого $\widetilde{\alpha}=\mathbb{B}^m$ имеет место равенство

$f(g_1,\ldots,g_n)(\widetilde{\alpha})= f\bigl(g_1(\widetilde{\alpha}),\ldots, g_n(\widetilde{\alpha})\bigr).$

Таким образом, суперпозиция $f(g_1,\ldots,g_n)$ есть не что иное, как композиция булевых операторов $g\circ f$ , где булев оператор $g$ задается семейством координатных функций $g_i,~i=\overline{1,n}$ .

Для суперпозиции $f(g_1,\ldots,g_n)$ используется также обозначение $\mathcal{S}(f,g_1,\ldots,g_n)$ . Предположение о том, что все функции $g_i,~i=\overline{1,n}$ , — функции от одного и того же числа переменных, не ограничивает общности, поскольку, как было показано ранее, любое конечное множество булевых функции всегда можно рассматривать как множество функций от одного и того же числа переменных.

Замечание 6.4. Обратим внимание на то, что в общем случае "уравнивание" числа переменных функций $g_i,~i=\overline{1,n}$ , связано с добавлением фиктивных переменных, а его, как известно, можно осуществлять разными способами. Поэтому суперпозиция $f(g_1,\ldots,g_n)$ , вообще говоря, определена однозначно лишь с точностью до равенства булевых функций согласно определению 6.2.

Пусть дано некоторое множество булевых функций $F$ . Тогда формулой над множеством $F$ мы считаем любую константу из $F$ (если она там есть) и любое булево переменное. Далее, если известно, что $\Phi_1,\ldots,\Phi_n~(n\geqslant1)$ — формулы над множеством $F$ , а $f$ — функция из $F$ от $n$ переменных, то выражение $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)$ есть формула над множеством $F$ . Никаких других формул над множеством $F$ , кроме определенных выше, не существует.

Замечание 6.5. 1. Строго говоря, в формуле $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)$ фигурирует не сама булева функция из множества $F$ , а ее обозначение, т.е. индивидная константа с областью значений $\mathcal{P}_2$ . Но мы, чтобы не усложнять терминологию, будем отождествлять обозначения базисных функций, т.е. функции из заданного множества $F$ , с самими базисными функциями.

2. Обычно предполагают, что рассматриваются переменные из некоторого заранее фиксированного (и не более чем счетного) множества переменных $X$ .

Пример 6.6. а. Пусть $F=\{\lor,\cdot,\overline{\phantom{A}}\}$ . Это множество, состоящее из функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, называют стандартным базисом. Формулами над стандартным базисом будет любое переменное: $x,y,\ldots,x_1,\ldots,x_n$ и т.д. Далее, из переменных $x,y$ как формул и функции $\lor$ можно построить новую формулу, например $\lor(x,y)$ или $\cdot(x,y)$ . Эти формулы, однако, естественно записывать несколько иначе. Поскольку каждая булева функция от двух переменных (каковы, в частности, дизъюнкция и конъюнкция) является одновременно бинарной операцией на множестве $\mathbb{B}=\{0;1\}$ , то формулы с такими функциями обычно записывают в "инфиксной форме", т.е. как $(x\lor y),\,(x\cdot y)$ и т.п. Аналогично для отрицания используют запись $\overline{x}$ , а не $\overline{\phantom{x}}(x)$ .

Кроме того, в формулах над стандартным базисом, во-первых, опускают скобки, используя ассоциативность булевых операций $\lor$ и $\cdot$ , то есть вместо $((x\lor y)\lor z)$ пишут $(x\lor y\lor z)$ ; во-вторых, опускают, как правило, внешние скобки, записывая формулу, аналогичную последней, просто как $x\lor y\lor z$ ; в-третьих, используют соглашение о "старшинстве" (или о приоритете) операций, полагая, что самый высокий приоритет имеет операция отрицания (т.е. она всегда выполняется перед конъюнкцией и дизъюнкцией), затем идет конъюнкция и после нее — дизъюнкция.

С учетом сказанного формула $\bigl(\overline{x\lor y}\lor ((y\cdot z)\cdot u)\bigr)$ может быть переписана так:

$\overline{x\lor y}\lor y\cdot z\cdot u\,.$

(6.6)

Согласно определению формулы, можно представить процесс построения формулы (6.6) следующим образом. Из переменных $x,y$ и функции $\lor$ строим формулу $\Phi_1=(x\lor y)$ , затем из нее и функции отрицания получаем формулу $\Phi_2=\overline{\Phi}_1$ , т.е. формулу $\overline{x\lor y}$ . Далее из переменных $y,z$ и функции $\cdot()$ строим формулу $(y\cdot z)$ , а из нее, переменного $u$ и опять функции $\cdot()$ — формулу $\Phi_3=(y\cdot z)\cdot u$ , которую записываем как $y\cdot z\cdot u$ . И наконец, из формул $\Phi_2,\,\Phi_3$ и функции $\lor$ строим формулу $\Phi_2\lor\Phi_3$ , т.е. формулу (6.6).

Описанный процесс можно наглядно изобразить в виде ориентированного дерева (рис. 6.3). Листья этого дерева помечены переменными или константами формулы, а каждый узел, не являющийся листом, — одной из функций из множества $F$ (на рисунке эти узлы изображены в виде кружочков, внутри которых указано имя функции).

Процесс построения формулы в виде ориентированного дерева

б. Рассмотрим множество булевых функций $\{\oplus,\cdot,1\}$ , которое называют базисом Жегалкина. При записи формул над базисом Жегалкина используют те же принципы, что и при записи формул над стандартным базисом. Приоритет операции конъюнкции считается выше приоритета операции сложения по модулю 2. Так как последняя ассоциативна, то при записи формул с этой операцией соответствующим образом опускают скобки. Так, формулами над базисом Жегалкина будут:

$xy\oplus x\oplus y,\qquad x\oplus 1,\qquad xyz\oplus xy\oplus xz\oplus yz\oplus x\oplus y\oplus z\oplus 1.$

Процесс построения первых двух формул изображен в виде деревьев на рис. 6.4.

Процесс построения двух формул в виде деревьев

в. Пусть множество базисных функций $F$ состоит из единственной функции $\mid$ (штрих Шеффера). Как бинарная операция, эта функция не ассоциативна, т.е. булева функция $(x|y)|z$ не равна булевой функции $x|(y|z)$ . Поэтому при записи формул над множеством $\{\mid\}$ следует заботиться о расстановке скобок. Примеры формул над множеством $\{\mid\}:$

$(x|x)|(y|y),\qquad (x|y)|(x|y),\qquad (x|x)|(x|x).$

Внешние скобки мы опускаем и в этом случае. Дерево, показывающее процесс построения первой из записанных выше формул, изображено на рис. 6.5.

Дерево, показывающее процесс построения формулы

Мы будем использовать запись $\Phi(x_1,\ldots,x_n)$ , указывая тем самым, что формула $\Phi$ содержит переменные $x_1,\ldots,x_n$ , и только их. Множество переменных формулы $\Phi$ будем обозначать через $Var(\Phi)$ .

Нам понадобится также понятие подформулы.

Из определения и рассмотренных примеров следует, что процесс построения формулы есть процесс определения некоторой сложной булевой функции, т.е. суперпозиции. Формула "собирается" из "элементарных формул", т.е. переменных и базисных функций, так, что на каждом шаге из уже полученных формул строится новая, более сложная формула. Естественно назвать эти "промежуточные" формулы подформулами рассматриваемой формулы. Так, в примере б.б.а формулы $\Phi_1,\,\Phi_2,\,Phi_3$ (и, конечно, переменные и базисные функции) — это подформулы формулы (6.6).

Строго понятие подформулы может быть введено следующим образом. Пусть $\Psi$ — формула над $F$ . Если $\Psi\in F$ или $\Psi$ есть переменное, то ее единственной подформулой является она сама. Если $\Psi$ имеет вид $f(\Phi_1,\ldots,\Phi_n)$ , где $f$ — функция из $F$ от $n$ переменных, а $\Phi_i,~i=\overline{1,n}$ , суть формулы над $F$ , то подформулами формулы $\Psi$ будут:

1) все формулы $\Psi_i$ ;
2) для каждого $i=\overline{1,n}$ все подформулы формулы $\Psi_i$ .

В дереве, изображающем процесс построения формулы, каждое поддерево, все листья которого являются также и листьями всего дерева, определяет некоторую подформулу.

Каждому набору значений переменных, входящих в заданную формулу, можно определенным образом сопоставить значение этой формулы. Вычисление этого значения в точности соответствует процессу построения формулы из подформул (в конечном счете из переменных и базисных функций).

Пример 6.7. Полагая в формуле (6.6) $x=1,~y=0,~z=u=1$ , получим значение формулы (6.6), равное

$\overline{1\lor 0}\lor 0\cdot 1\cdot 1=0.$

Таким образом, по каждому набору значений переменных формулы можно по определенному алгоритму вычислить значение формулы. Это значит, что каждая формула определяет (или представляет) некоторую булеву функцию. Введем понятие функции, представляемой формулой над множеством $F$ . Мы полагаем, что:

1) любая константа из $F$ представляет саму себя;

2) любое переменное $x$ из $X$ представляет проектирующую функцию $x$ (точнее, любую из множества равных между собой проектирующих функций существенного переменного $x$ , см. замечание 6.3);

3) если формулы $\Phi_1,\ldots,\Phi_n$ над множеством $F$ представляют соответственно функции $g_1,\ldots,g_n$ , a $f$ — функция из $F$ от $n$ переменных $(n\geqslant1)$ , то формула $f(\Phi_1,\ldots, \Phi_n)$ представляет суперпозицию функций $f(g_1,\ldots,g_n)$ ;

4) других булевых функций, представляемых формулами над множеством $F$ , кроме тех, которые могут быть получены согласно пунктам 1-3 данного определения, не существует.

Функцию, представляемую некоторой формулой над множеством $F$ , называют суперпозицией над множеством $F$ . Таким образом, суперпозиция над множеством F — это любая суперпозиция функций вида $f(g_1,\ldots,g_n)$ , где $f\in F$ , а каждая из функций $g_1,\ldots,g_n$ есть либо элемент $F$ , либо переменное (точнее, проектирующая функция), либо некоторая суперпозиция над $F$ . Множество всех суперпозиций над $F$ будем обозначать $[ F]$ и называть замыканием множества $F$ булевых функций.

Понятия формулы и суперпозиции взаимно предполагают друг друга. Суперпозиция над множеством $F$ есть некоторая сложная функция, которая определенным образом построена из базисных функций — функций фиксированного множества $F$ (и проектирующих функций). Само "строение" суперпозиции, т.е. то, из каких именно базисных функций и в какой последовательности образуется результирующая сложная функция (суперпозиция), и есть формула.

Если булева функция $f(x_1,\ldots,x_n)$ представляется формулой $\Phi(x_1,\ldots, x_n)$ , то будем писать $f(x_1,\ldots,x_n)= \Phi(x_1,\ldots,x_n)$ , или, короче, $f=\Phi(x_1,\ldots,x_n)$ .

Определение 6.3. Множество булевых функций $F$ называют:

1) замкнутым, если любая формула над $F$ представляет некоторую функцию из $F$ ;
2) полным, если любая булева функция может быть представлена некоторой формулой над $F$ .

Определение 6.3 равносильно следующему (на "языке суперпозиций"): множество $F$ функций замкнуто, если каждая суперпозиция над $F$ есть функция из $F$ , то есть $[ F]=F$ , и полно, если всякая булева функция есть некоторая суперпозиция над $F$ , то есть $[ F]=\mathcal{P}_2$ .

Замечание 6.6. Можно заметить, что определение формулы и суперпозиции над заданным множеством булевых функций похоже на определение Ω-замыкания множества в алгебрах. Эти определения, равно как и основанные на них определения замкнутости и полноты множеств булевых функций, могут быть переведены полностью на алгебраический язык. Тогда замкнутое множество булевых функций, согласно определению 6.3, окажется не чем иным, как замкнутым подмножеством некоторой алгебры булевых функций, а полное множество булевых функций — системой образующих этой алгебры. Однако при попытке чисто алгебраической интерпретации определения 6.3 возникают некоторые технические трудности, обсуждение которых выходит за рамки этого курса.

Пример 6.8. Для каждой из определенных в 6.1 функций от двух переменных мы можем записать следующие формулы над стандартным базисом:

$\begin{aligned}x_1\oplus x_2&= x_1\cdot \overline{x}_2\lor \overline{x}_1x_2,\\ x_1\to x_2&= \overline{x}_1\lor x_2,\\ x_1\sim x_2&= (\overline{x}_1\lor x_1)\cdot (\overline{x}_2\lor x_1),\\ x_1\mid x_2&=\overline{x_1\cdot x_2},\\ x_1\downarrow x_2&=\overline{x_1\lor x_2}. \end{aligned}$

Если мы пополним стандартный базис функцией $\to$ (импликацией), то формула для эквивалентности примет вид

$x_1\sim x_2= (x_1\to x_2)\cdot (x_2\to x_1).$

Тот факт, что одна и та же функция (в данном случае эквивалентность) может быть представлена по крайней мере двумя разными формулами над одним и тем же множеством, а именно над $\{\lor, \cdot,\overline{\phantom{A}},\to\}$ , показывает, что соответствие между формулами над фиксированным множеством и представляемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Эта ситуация до некоторой степени аналогична разложению по базису векторов конечномерного линейного пространства. Формула, представляющая некоторую булеву функцию, выражает "разложение" этой функции по фиксированному "функциональному базису". Одна и та же функция может иметь несколько таких разложений. В отличие от линейной алгебры в этом случае возникает ситуация, когда возможны различные разложения заданной функции по одному и тому же базису. Например, формулы $\overline{x\lor y}$ и $\overline{x}\cdot\overline{y}$ над стандартным базисом представляют одну и ту же функцию.

Назовем эквивалентными формулы, которые представляют равные функции. Эквивалентным (или тождественным) преобразованием формулы $\Phi$ называют переход (по определенным правилам) к любой формуле $\Psi$ , эквивалентной формуле $\Phi$ . Необходимо сделать несколько замечаний относительно правил, согласно которым осуществляются эквивалентные преобразования формул.

Введем понятие тождества. Тождеством (над множеством $F\subseteq\mathcal{P}_2$ ) называют выражение

$\Phi(x_1,\ldots,x_n)= \Psi(y_1,\ldots,y_m),$

(6.7)

где формулы $\Phi$ и $\Psi$ — эквивалентные формулы над $F$ . Формула $\Phi$ называется при этом левой, а формула $\Psi$ — правой частью тождества (6.7).

Левая и правая части тождества представляют равные булевы функции. Поэтому пересечение множеств переменных $Var(\Phi)=\{x_1,\ldots,x_n \}$ и $Var(\Psi)= \{y_1,\ldots, y_m\}$ должно содержать все существенные переменные функций /(#1,...,жп) и g(yi,...,ym), представляемых формулами $\Phi$ и $\Psi$ соответственно. В частности, если это пересечение пусто, то обе функции равны некоторой константе.

Пример 6.9. В тождествах $x\lor \overline{x}=y \overline{y},~ x\lor \overline{x}=1$ пересечение множеств переменных в левых и правых частях пусто, причем во втором тождестве правая часть вообще не содержит переменных. В тождестве $(x\lor y)\cdot (z\lor \overline{z})= x\lor y\lor v\cdot \overline{v}$ указанное пересечение равно $\{x,y\}$ .

Все записанные в примере 6.8 выражения являются тождествами над множеством $\{\lor,\cdot, \overline{\phantom{A}},\oplus, \to, \sim,\mid,\downarrow\}$ , причем во всех этих тождествах множества переменных в левой и правой частях тождества совпадают. Такого же рода тождества — аксиомы булевой алгебры* (кроме тождеств $x\lor \overline{x}=1$ и $x\land \overline{x}=0$ ) и вытекающие из них тождества (подобные, например, законам де Моргана).

*Поскольку все переменные, фигурирующие в этих тождествах, есть булевы переменные, то речь здесь идет об аксиомах булевой алгебры применительно к частному случаю — двухэлементной булевой алгебре $\mathbb{B}$ .

Правила тождественных преобразований булевых функций

Без доказательства сформулируем следующие правила тождественных преобразований.

Теорема 6.1. 1. Если в тождестве (6.7) некоторые переменные заменить произвольными формулами (над множеством $F$ ), то тождество сохранится, т.е. полученные в результате такой замены новые формулы останутся эквивалентными. 2. Если в формуле $\Phi$ произвольную ее подформулу заменить любой эквивалентной ей, то получится формула, эквивалентная формуле $\Phi$ .

Чтобы использовать сформулированные в теореме 6.1 правила, нужно фиксировать какую-то систему исходных тождеств. Тогда возникает вопрос: можно ли утверждать, что при надлежащем выборе исходных тождеств с помощью правил 1 и 2, сформулированных в теореме 6.1, можно из формулы $\Phi$ получить эквивалентную ей формулу $\Psi$ , каковы бы ни были эти формулы, или, говоря неформально, любые ли две эквивалентные формулы над заданным множеством $F$ можно "трансформировать" друг в друга, используя фиксированную систему основных тождеств над $F$ и правила, сформулированные в теореме 6.1?

Рассмотрение этого вопроса выходит за рамки данного курса. Ответ на него зависит от того, какое множество булевых функций $F$ и какая система исходных тождеств над $F$ выбраны. Отметим, что для стандартного базиса ответ на вопрос положителен, причем в качестве исходных тождеств используются аксиомы булевой алгебры.

В свете изложенного может быть поставлена задача поиска наиболее простой (в определенном смысле) формулы, среди всех эквивалентных между собой формул, представляющих данную булеву функцию. Решение этой задачи для некоторого класса формул над стандартным базисом будет рассмотрено в одной из последующих лекций.

Понятие формулы позволяет также взглянуть по-новому на логическую интерпретацию булевой функции. В силу установленного в 6.2 взаимно однозначного соответствия между логическими связками $\lor,\land, \lnot, \Rightarrow,\Leftrightarrow$ и булевыми функциями $\lor, \cdot, \overline{\phantom{A}},\to,\sim$ любому сложному высказыванию, составленному из некоторых "простых" высказываний с использованием указанных выше логических связок, однозначно сопоставляется формула над множеством $L=\{\lor, \cdot, \overline{\phantom{A}}, \to,\sim\}$ , т.е. каждому простому высказыванию сопоставляется булево переменное (так что разным высказываниям сопоставляются и разные переменные), а связки $\lor,\land, \lnot, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ заменяются соответствующими функциями из множества $L$ . Тогда, например, высказыванию $(P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)$ (читается: "если $P$ , то $Q$ , и если $Q$ , то $P$ ") будет сопоставлена формула $(x\to y)\cdot (y\to x)$ .

Таким образом, с логической точки зрения формула над множеством $L$ есть высказывание. Поскольку мы имеем возможность вычислять значения формул и проводить их эквивалентные преобразования (используя, в частности, аксиомы булевой алгебры), мы получаем алгебраический аппарат для упрощения сложных высказываний (путем эквивалентных преобразований) и вычисления их истинностных значений.

Но тогда возникают вопросы: как практически построить для любой наперед заданной булевой функции представляющую ее формулу над фиксированным множеством базисных функций $F$ ? Каковы условия полноты множества $F$ ?

Далее мы рассмотрим вопрос о представлении любой булевой функции над стандартным базисом и вопрос о поиске минимальной (в уточняемом ниже смысле), наиболее простой формулы над стандартным базисом, представляющей данную функцию.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]