Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Формулы длины дуги регулярной кривой

Формулы длины дуги регулярной кривой


Лемма. Пусть жорданова кривая регулярна и \ell(t) — длина дуги этой кривой, ограниченной точками M(a) и M(b). Тогда функция \ell(t) дифференцируема на отрезке [a;b], причем для всех t имеем:


\ell'(t)= \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,.
(8)

Доказательство. Возьмем любое t\in[a;b] и дадим t приращение \Delta t такое, что t+\Delta t\in[a;b]. Положим для определенности \Delta t>0. Соответствующее приращение функции \ell(t), т. е. \ell(t+\Delta t)-\ell(t), равно длине дуги кривой, ограниченной точками M(t) и M(t+\Delta t). В силу неравенств (6) и (7) пункта 2 имеем:


\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\Delta t\leqslant \Delta\ell\leqslant \sqrt{A^2+B^2}\cdot\Delta t\,,

где \alpha и \beta — наименьшие значения функций \bigl|\varphi'(t)\bigr| и \bigl|\psi'(t)\bigr| на отрезке [t;t+\Delta t], а A и B — наибольшие значения этих функций на том же отрезке. Но тогда


\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\leqslant \frac{\Delta\ell}{\Delta t} \leqslant\sqrt{A^2+B^2}\,.

Перейдем к пределу при \Delta t\to0. В силу непрерывности функций \varphi'(t) и \psi'(t) в точке t получаем, что


\lim_{\Delta t\to0}\alpha= \lim_{\Delta t\to0}A= \varphi'(t),\qquad \lim_{\Delta t\to0}\beta= \lim_{\Delta t\to0}B= \psi'(t),
а потому
\ell'(t)= \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\ell}{\Delta t}= \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,.

Итак, лемма доказана.


Из этой леммы следует, что

d\ell= \ell'(t)\,dt= \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.
(9)

Геометрический смысл формулы дифференциала длины дуги криво

Так как dx=\varphi'(t)\,dt и dy=\psi'(t)\,dt, то формулу (9) можно переписать в виде d\ell=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}.


Геометрический смысл этой формулы ясен из рисунка 50, где \Delta\ell — участок дуги, a d\ell—соответствующий отрезок касательной. Мы будем называть d\ell дифференциалом длины дуги кривой.




Теорема 2. Если жорданова кривая \Gamma\colon \begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases}a\leqslant t\leqslant b. регулярна, то ее длина выражается формулой


\ell(\Gamma)= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.
(10)

Доказательство. Так как \ell'(t)= \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}, то \ell(t) — первообразная для \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}, а тогда \ell(\Gamma) равна разности значений первообразной, т. е.


\ell=\ell(b)-\ell(a)= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.

Теорема доказана.


Полученную формулу можно переписать в следующих видах:


\ell= \int\limits_{a}^{b}d\ell\,,
(10')

\ell= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{x_t^{\prime2}+y_t^{\prime2}}dt\,,
(10")
или
\ell= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\,.
(10"')



Пример 1. Найти длину дуги астроиды \begin{cases}x=a\cos^3t\,,\\ y=a\sin^3t\,, \end{cases}0\leqslant t\leqslant2\pi


Решение. Данная кривая симметрична относительно обеих координатных осей (см. рис. 48), поэтому достаточно найти длину четверти дуги, расположенной в первом квадранте \left(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\right).


Найдем производные: x'_t=-3a\cos^2t\sin{t}\,,~~ y'_t=3a\sin^2t\cos{t}. Вычислить сумму их квадратов:


x_t^{\prime2}+y_t^{\prime2}= 9a^2\cos^2t \sin^2t\,\bigl(\cos^2t+ \sin^2t\bigr)= 9a^2\cos^2t \sin^2t\,.

Учитывая сказанное выше, найдем четверть длины астроиды:


\frac{1}{a}\,\ell= 3a\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin{t}\cos{t}\,dt= \ldots= \left.{3a\cdot \frac{\sin^2t}{2}}\right|_{0}^{\pi/2}= \frac{3}{2}\,a\,.

Длина всей кривой \ell=4\cdot \frac{3}{2}\,a=6a. Она мало отличается от 2\pi a, т. е. от длины окружности, описанной вокруг астроиды.




Частные случаи формулы длины кривой


Рассмотрим некоторые частные случаи общей формулы (10) пункта 3. Если кривая \Gamma задана явным уравнением y=f(x), a \leqslant x \leqslant b, то ее можно представить параметрическими уравнениями


\begin{cases}x=t,\\ y=f(t),\end{cases} a \leqslant t \leqslant b.
В этом случае
\ell(\Gamma)= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{1+\bigl(f'(t)\bigr)^2}\,dt= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx\,.
(11)

Полученную формулу записывают короче в виде


\ell= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{1+y_x^{\prime2}}\,dx\,.
(11')
Значит,
d\ell= \sqrt{1+y_x^{\prime2}}\,dx\,.
(12)



Пример 2. Вычислить длину дуги цепной линии y= \frac{e^x+e^{-x}}{2}, взятой от точки x=0 до точки x=1 (рис. 51).


График цепной линии (гиперболического косинуса)

Решение. Найдём производную y'= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}. Вычислить подкоренное выражение


1+y'^2= 1+ \frac{1}{4}(e^x-e^{-x})^2= \frac{4+e^{2x}-2+ e^{-2x}}{4}= \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2

Длина \ell указанного отрезка цепной линии будет


\ell= \int\limits_{0}^{1} \frac{e^x+e^{-x}}{}\,dx= \left.{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}\right|_{0}^{1}= \frac{e-e^{-1}}{2}\,.



Длина дуги кривой в полярных координатах


Рассмотрим теперь случай, когда кривая \Gamma задана в полярных координатах уравнением \rho=f(\varphi), где \alpha \leqslant \varphi \leqslant \beta, причем функция f(\varphi) на отрезке [\alpha;\beta] имеет непрерывную производную f'(\varphi).


Так как декартовы координаты связаны с полярными координатами точек плоскости соотношениями \begin{cases}x=\rho\cos\varphi\,,\\ y=\rho\sin\varphi\,,\end{cases}, полярное уравнение данной кривой можно записать в виде параметрических уравнений: \begin{cases} x=f(\varphi) \cos\varphi\,,\\ y=f(\varphi) \sin\varphi\,,\end{cases}; отсюда находим:


\begin{cases}x'_{\varphi}= f'(\varphi)\cos\varphi- f(\varphi)\sin\varphi\,;\\ y'_{\varphi}= f'(\varphi)\sin\varphi+ f(\varphi)\cos\varphi\,.\end{cases} Поэтому

\begin{aligned}x'_{\varphi}+y'_{\varphi}&= f'^2(\varphi) \cos^2\varphi- 2f'(\varphi)\cos\varphi\, f(\varphi)\sin\varphi+ f^2(\varphi)\sin^2\varphi+ f'^2(\varphi)\sin^2\varphi\,\,+\\ &\phantom{=\,}+\, 2 f'(\varphi)\sin\varphi\, f(\varphi)\cos\varphi+ f^2(\varphi)\cos^2\varphi=\\ &= f'^2(\varphi)+ f^2(\varphi)= \rho_{\varphi}^{\prime2}+ \rho^2.\end{aligned}

В силу формулы (10) пункта 3 получаем формулу длины дуги кривой в полярных координатах:


\ell= \int\limits_{\alpha}^{\beta}\! \sqrt{\rho_{\varphi}^{\prime2}+ \rho^2}\,d\varphi\,.
(13)



График кардиоиды в полярной системе координат

Пример 3. Вычислить длину кардиоиды \rho=a(1+\cos\varphi).


Решение. Данная функция \rho четная, следовательно, кривая расположена симметрично относительно полярной оси (рис. 52). Поэтому сначала найдем половину длины дуги данной кривой, для которой полярный угол \varphi изменяется от 0 до \pi, после чего удвоим полученный результат:


\begin{aligned}\ell&= 2\int\limits_{0}^{\pi}\! \sqrt{\rho_{\varphi}^{\prime2}+ \rho^2}\,d\varphi=\\ &= 2\int\limits_{0}^{\pi}\! \sqrt{a^2\sin^2\varphi+ a^2(1+\cos\varphi)^2}\,d\varphi=\\ &= 4a\int\limits_{0}^{\pi} \cos \frac{\varphi}{2}\,d\varphi= \left.{8a\sin \frac{\varphi}{2}}\right|_{0}^{\pi}=8a\,.\end{aligned}



Приращение угла и функции в полярной системе координат

Из формулы (13) получаем выражение для дифференциала дуги, заданной полярным уравнением


d\ell= \sqrt{(d\rho)^2+\rho^2(d\varphi)^2}\,.
(14)

Геометрическую иллюстрацию этой формулы дает рисунок 53. На этом рисунке AC —дуга рассматриваемой кривой, AB — дуга окружности с центром в точке O и радиусом \rho, \rho\Delta\varphi — длина дуги AB, Заменяя \rho\Delta\varphi,~ \Delta\rho и \Delta\ell соответственно на \rho d\varphi,~d\rho и d\ell; рассматриваем криволинейный треугольник ABC как прямоугольный с катетами \rho d\varphi и d\varphi и гипотенузой d\ell Тогда


d\ell= \sqrt{(d\rho)^2+\rho^2(d\varphi)^2}\,.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved