Формулы длины дуги регулярной кривой
Лемма. Пусть жорданова кривая регулярна и — длина дуги этой кривой, ограниченной точками и . Тогда функция дифференцируема на отрезке , причем для всех имеем:
(8)
Доказательство. Возьмем любое и дадим приращение такое, что . Положим для определенности . Соответствующее приращение функции , т. е. , равно длине дуги кривой, ограниченной точками и . В силу неравенств (6) и (7) пункта 2 имеем:
где и — наименьшие значения функций и на отрезке , а и — наибольшие значения этих функций на том же отрезке. Но тогда
Перейдем к пределу при . В силу непрерывности функций и в точке получаем, что а потому
Итак, лемма доказана.
Из этой леммы следует, что (9)
Так как и , то формулу (9) можно переписать в виде .
Геометрический смысл этой формулы ясен из рисунка 50, где — участок дуги, a —соответствующий отрезок касательной. Мы будем называть дифференциалом длины дуги кривой.
Теорема 2. Если жорданова кривая . регулярна, то ее длина выражается формулой
(10)
Доказательство. Так как , то — первообразная для , а тогда равна разности значений первообразной, т. е.
Теорема доказана.
Полученную формулу можно переписать в следующих видах:
(10')
(10") или
(10"')
Пример 1. Найти длину дуги астроиды
Решение. Данная кривая симметрична относительно обеих координатных осей (см. рис. 48), поэтому достаточно найти длину четверти дуги, расположенной в первом квадранте .
Найдем производные: . Вычислить сумму их квадратов:
Учитывая сказанное выше, найдем четверть длины астроиды:
Длина всей кривой . Она мало отличается от , т. е. от длины окружности, описанной вокруг астроиды.
Частные случаи формулы длины кривой
Рассмотрим некоторые частные случаи общей формулы (10) пункта 3. Если кривая задана явным уравнением , то ее можно представить параметрическими уравнениями В этом случае
(11)
Полученную формулу записывают короче в виде
(11') Значит,
(12)
Пример 2. Вычислить длину дуги цепной линии , взятой от точки до точки (рис. 51).
Решение. Найдём производную . Вычислить подкоренное выражение
Длина указанного отрезка цепной линии будет
Длина дуги кривой в полярных координатах
Рассмотрим теперь случай, когда кривая задана в полярных координатах уравнением , где , причем функция на отрезке имеет непрерывную производную .
Так как декартовы координаты связаны с полярными координатами точек плоскости соотношениями , полярное уравнение данной кривой можно записать в виде параметрических уравнений: ; отсюда находим:
Поэтому
В силу формулы (10) пункта 3 получаем формулу длины дуги кривой в полярных координатах:
(13)
Пример 3. Вычислить длину кардиоиды .
Решение. Данная функция четная, следовательно, кривая расположена симметрично относительно полярной оси (рис. 52). Поэтому сначала найдем половину длины дуги данной кривой, для которой полярный угол изменяется от до , после чего удвоим полученный результат:
Из формулы (13) получаем выражение для дифференциала дуги, заданной полярным уравнением
(14)
Геометрическую иллюстрацию этой формулы дает рисунок 53. На этом рисунке —дуга рассматриваемой кривой, — дуга окружности с центром в точке и радиусом , — длина дуги , Заменяя и соответственно на и ; рассматриваем криволинейный треугольник как прямоугольный с катетами и и гипотенузой Тогда
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|