Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Формулы длины дуги регулярной кривой

Формулы длины дуги регулярной кривой


Лемма. Пусть жорданова кривая регулярна и [math]\ell(t)[/math] — длина дуги этой кривой, ограниченной точками [math]M(a)[/math] и [math]M(b)[/math]. Тогда функция [math]\ell(t)[/math] дифференцируема на отрезке [math][a;b][/math], причем для всех [math]t[/math] имеем:


[math]\ell'(t)= \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,.[/math]
(8)

Доказательство. Возьмем любое [math]t\in[a;b][/math] и дадим [math]t[/math] приращение [math]\Delta t[/math] такое, что [math]t+\Delta t\in[a;b][/math]. Положим для определенности [math]\Delta t>0[/math]. Соответствующее приращение функции [math]\ell(t)[/math], т. е. [math]\ell(t+\Delta t)-\ell(t)[/math], равно длине дуги кривой, ограниченной точками [math]M(t)[/math] и [math]M(t+\Delta t)[/math]. В силу неравенств (6) и (7) пункта 2 имеем:


[math]\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\Delta t\leqslant \Delta\ell\leqslant \sqrt{A^2+B^2}\cdot\Delta t\,,[/math]

где [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] — наименьшие значения функций [math]\bigl|\varphi'(t)\bigr|[/math] и [math]\bigl|\psi'(t)\bigr|[/math] на отрезке [math][t;t+\Delta t][/math], а [math]A[/math] и [math]B[/math] — наибольшие значения этих функций на том же отрезке. Но тогда


[math]\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\leqslant \frac{\Delta\ell}{\Delta t} \leqslant\sqrt{A^2+B^2}\,.[/math]

Перейдем к пределу при [math]\Delta t\to0[/math]. В силу непрерывности функций [math]\varphi'(t)[/math] и [math]\psi'(t)[/math] в точке [math]t[/math] получаем, что


[math]\lim_{\Delta t\to0}\alpha= \lim_{\Delta t\to0}A= \varphi'(t),\qquad \lim_{\Delta t\to0}\beta= \lim_{\Delta t\to0}B= \psi'(t),[/math]
а потому
[math]\ell'(t)= \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\ell}{\Delta t}= \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,.[/math]

Итак, лемма доказана.


Из этой леммы следует, что

[math]d\ell= \ell'(t)\,dt= \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.[/math]
(9)

Геометрический смысл формулы дифференциала длины дуги криво

Так как [math]dx=\varphi'(t)\,dt[/math] и [math]dy=\psi'(t)\,dt[/math], то формулу (9) можно переписать в виде [math]d\ell=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}[/math].


Геометрический смысл этой формулы ясен из рисунка 50, где [math]\Delta\ell[/math] — участок дуги, a [math]d\ell[/math]—соответствующий отрезок касательной. Мы будем называть [math]d\ell[/math] дифференциалом длины дуги кривой.




Теорема 2. Если жорданова кривая [math]\Gamma\colon \begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases}a\leqslant t\leqslant b[/math]. регулярна, то ее длина выражается формулой


[math]\ell(\Gamma)= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.[/math]
(10)

Доказательство. Так как [math]\ell'(t)= \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}[/math], то [math]\ell(t)[/math] — первообразная для [math]\sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}[/math], а тогда [math]\ell(\Gamma)[/math] равна разности значений первообразной, т. е.


[math]\ell=\ell(b)-\ell(a)= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{\bigl(\varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.[/math]

Теорема доказана.


Полученную формулу можно переписать в следующих видах:


[math]\ell= \int\limits_{a}^{b}d\ell\,,[/math]
(10')

[math]\ell= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{x'_t^2+y'_t^2}dt\,,[/math]
(10")
или
[math]\ell= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\,.[/math]
(10"')



Пример 1. Найти длину дуги астроиды [math]\begin{cases}x=a\cos^3t\,,\\ y=a\sin^3t\,, \end{cases}0\leqslant t\leqslant2\pi[/math]


Решение. Данная кривая симметрична относительно обеих координатных осей (см. рис. 48), поэтому достаточно найти длину четверти дуги, расположенной в первом квадранте [math]\left(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\right)[/math].


Найдем производные: [math]x'_t=-3a\cos^2t\sin{t}\,,~~ y'_t=3a\sin^2t\cos{t}[/math]. Вычислить сумму их квадратов:


[math]x'_t^2+y'_t^2= 9a^2\cos^2t \sin^2t\,\bigl(\cos^2t+ \sin^2t\bigr)= 9a^2\cos^2t \sin^2t\,.[/math]

Учитывая сказанное выше, найдем четверть длины астроиды:


[math]\frac{1}{a}\,\ell= 3a\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin{t}\cos{t}\,dt= \ldots= \left.{3a\cdot \frac{\sin^2t}{2}}\right|_{0}^{\pi/2}= \frac{3}{2}\,a\,.[/math]

Длина всей кривой [math]\ell=4\cdot \frac{3}{2}\,a=6a[/math]. Она мало отличается от [math]2\pi a[/math], т. е. от длины окружности, описанной вокруг астроиды.




Частные случаи формулы длины кривой


Рассмотрим некоторые частные случаи общей формулы (10) пункта 3. Если кривая [math]\Gamma[/math] задана явным уравнением [math]y=f(x),[/math] [math]a \leqslant x \leqslant b[/math], то ее можно представить параметрическими уравнениями


[math]\begin{cases}x=t,\\ y=f(t),\end{cases} a \leqslant t \leqslant b.[/math]
В этом случае
[math]\ell(\Gamma)= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{1+\bigl(f'(t)\bigr)^2}\,dt= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx\,.[/math]
(11)

Полученную формулу записывают короче в виде


[math]\ell= \int\limits_{a}^{b}\! \sqrt{1+y'_x^2}\,dx\,.[/math]
(11')
Значит,
[math]d\ell= \sqrt{1+y'_x^2}\,dx\,.[/math]
(12)



Пример 2. Вычислить длину дуги цепной линии [math]y= \frac{e^x+e^{-x}}{2}[/math], взятой от точки [math]x=0[/math] до точки [math]x=1[/math] (рис. 51).


График цепной линии (гиперболического косинуса)

Решение. Найдём производную [math]y'= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}[/math]. Вычислить подкоренное выражение


[math]1+y'^2= 1+ \frac{1}{4}(e^x-e^{-x})^2= \frac{4+e^{2x}-2+ e^{-2x}}{4}= \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2[/math]

Длина [math]\ell[/math] указанного отрезка цепной линии будет


[math]\ell= \int\limits_{0}^{1} \frac{e^x+e^{-x}}{}\,dx= \left.{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}\right|_{0}^{1}= \frac{e-e^{-1}}{2}\,.[/math]



Длина дуги кривой в полярных координатах


Рассмотрим теперь случай, когда кривая [math]\Gamma[/math] задана в полярных координатах уравнением [math]\rho=f(\varphi)[/math], где [math]\alpha \leqslant \varphi \leqslant \beta[/math], причем функция [math]f(\varphi)[/math] на отрезке [math][\alpha;\beta][/math] имеет непрерывную производную [math]f'(\varphi)[/math].


Так как декартовы координаты связаны с полярными координатами точек плоскости соотношениями [math]\begin{cases}x=\rho\cos\varphi\,,\\ y=\rho\sin\varphi\,,\end{cases}[/math], полярное уравнение данной кривой можно записать в виде параметрических уравнений: [math]\begin{cases} x=f(\varphi) \cos\varphi\,,\\ y=f(\varphi) \sin\varphi\,,\end{cases}[/math]; отсюда находим:


[math]\begin{cases}x'_{\varphi}= f'(\varphi)\cos\varphi- f(\varphi)\sin\varphi\,;\\ y'_{\varphi}= f'(\varphi)\sin\varphi+ f(\varphi)\cos\varphi\,.\end{cases}[/math] Поэтому

[math]\begin{aligned}x'_{\varphi}+y'_{\varphi}&= f'^2(\varphi) \cos^2\varphi- 2f'(\varphi)\cos\varphi\, f(\varphi)\sin\varphi+ f^2(\varphi)\sin^2\varphi+ f'^2(\varphi)\sin^2\varphi\,\,+\\ &\phantom{=\,}+\, 2 f'(\varphi)\sin\varphi\, f(\varphi)\cos\varphi+ f^2(\varphi)\cos^2\varphi=\\ &= f'^2(\varphi)+ f^2(\varphi)= \rho'_{\varphi}^2+ \rho^2.\end{aligned}[/math]

В силу формулы (10) пункта 3 получаем формулу длины дуги кривой в полярных координатах:


[math]\ell= \int\limits_{\alpha}^{\beta}\! \sqrt{\rho'_{\varphi}^2+ \rho^2}\,d\varphi\,.[/math]
(13)



График кардиоиды в полярной системе координат

Пример 3. Вычислить длину кардиоиды [math]\rho=a(1+\cos\varphi)[/math].


Решение. Данная функция [math]\rho[/math] четная, следовательно, кривая расположена симметрично относительно полярной оси (рис. 52). Поэтому сначала найдем половину длины дуги данной кривой, для которой полярный угол [math]\varphi[/math] изменяется от [math]0[/math] до [math]\pi[/math], после чего удвоим полученный результат:


[math]\begin{aligned}\ell&= 2\int\limits_{0}^{\pi}\! \sqrt{\rho'_{\varphi}^2+ \rho^2}\,d\varphi=\\ &= 2\int\limits_{0}^{\pi}\! \sqrt{a^2\sin^2\varphi+ a^2(1+\cos\varphi)^2}\,d\varphi=\\ &= 4a\int\limits_{0}^{\pi} \cos \frac{\varphi}{2}\,d\varphi= \left.{8a\sin \frac{\varphi}{2}}\right|_{0}^{\pi}=8a\,.\end{aligned}[/math]



Приращение угла и функции в полярной системе координат

Из формулы (13) получаем выражение для дифференциала дуги, заданной полярным уравнением


[math]d\ell= \sqrt{(d\rho)^2+\rho^2(d\varphi)^2}\,.[/math]
(14)

Геометрическую иллюстрацию этой формулы дает рисунок 53. На этом рисунке [math]AC[/math] —дуга рассматриваемой кривой, [math]AB[/math] — дуга окружности с центром в точке [math]O[/math] и радиусом [math]\rho[/math], [math]\rho\Delta\varphi[/math] — длина дуги [math]AB[/math], Заменяя [math]\rho\Delta\varphi,~ \Delta\rho[/math] и [math]\Delta\ell[/math] соответственно на [math]\rho d\varphi,~d\rho[/math] и [math]d\ell[/math]; рассматриваем криволинейный треугольник [math]ABC[/math] как прямоугольный с катетами [math]\rho d\varphi[/math] и [math]d\varphi[/math] и гипотенузой [math]d\ell[/math] Тогда


[math]d\ell= \sqrt{(d\rho)^2+\rho^2(d\varphi)^2}\,.[/math]

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved