Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Формулы алгебры высказываний
Онлайн-сервисы Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью Алгоритмы JavaScript Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью Введение в анализ Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика Теория множеств Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия Математическая логика Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции Булевы функции Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций Теория формального Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний Логика предикатов Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов Неформальные и формаль- ные аксиоматические теории Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории Теория алгоритмов Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики Математическая логика и компьютеры Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект Дискретная математика Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций Группы и кольца Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов Полукольца и булевы алгебры Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки Алгебраические системы Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры Теория графов Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов Булева алгебра и функции Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов Конечные автоматы и регулярные языки Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга Контекстно-свободные языки Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов Интегральное исчисление Неопределённый и определённый Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции Приложения интегралов Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела Интегралы в физике Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике Основные интегралы Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега Вариационное исчисление Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла Финансовый анализ Анализ эффективности Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности Анализ устойчивости Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости Рыночная активность Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию Инвестиционная деятельность Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование Анализ инвестиций Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта Стоимость компании Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций Форвардные контракты Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту Теория вероятностей Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности Математическая статистика Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты Теория очередей (СМО) Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью) Аналитическая геометрия Векторная алгебра Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике Системы координат Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат Геометрия на плоскости Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Линии 2-го порядка Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты линий Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам Геометрия в пространстве Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве Поверхности 2-го порядка Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций Инварианты поверхностей Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам Линейная алгебра Матрицы и операции Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц Определители Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей Ранг матрицы Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк) Обратная матрица Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений Функциональные матрицы Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум Многочленные матрицы Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы Функции от матриц Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств Подпространства Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств Линейные отображения Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения Линейные операторы Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду Евклидовы пространства Евклидовы пространства Ортогональные векторы евклидова пространства Ортогональный базис евклидова пространства Ортонормированный базис евклидова пространства Ортогональные дополнения в евклидовом пространстве Задача о перпендикуляре Матрица и определитель Грама и его свойства Линейные преобразования евклидовых пространств Канонический вид ортогонального оператора евклидова пространства Сопряженные операторы евклидова пространства Самосопряженные операторы евклидова пространства Приведение квадратичной формы к главным осям Унитарные пространства и их линейные преобразования Комплексный анализ Комплексные числа Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексные функции Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного Функциональные ряды в комплексной области Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням Особые точки, Вычеты Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена Операционное исчисление Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства Дифференциальные уравнения ДУ первого порядка Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ ДУ высших порядков Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ Системы ДУ Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем Теория устойчивости Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной Численные методы Методы алгебры Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений Методы теории приближений Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования Методы решения обыкновенных ДУ Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач Методы решения ДУ в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными	Формулы алгебры высказываний Построение сложных высказываний С помощью логических операций, рассмотренных в предыдущей лекции, из простейших высказываний можно строить высказывания более сложные. Например, из высказываний $A_2,A_3,A_7$ можно построить такое высказывание: "Если Саратов находится на берегу Невы и все люди смертны, то А.С. Пушкин — великий русский математик". Построенное высказывание символически записывается так: $(A_2\land A_3)\to A_7$ . Конечно, оно звучит несколько странно, поскольку соединяет в себе столь разнородные понятия, которые обычно существуют раздельно друг от друга. Но нас, еще раз подчеркиваем, интересует не содержание этого высказывания, а его логическое значение. Оно может быть определено, исходя из логических значений исходных высказываний $A_2,A_3,A_7$ и той схемы, по которой из исходных высказываний построено сложное высказывание. Так как $\lambda(A_2)=0,$ $\lambda(A_3)=1,$ $\lambda(A_7)=0$ , то, используя соотношения (1.4), (1.2) и определения 1.7, 1.3, находим: $\begin{aligned}\lambda\bigl[(A_2\land A_3)\to A_7\bigr]&= \lambda(A_2\to A_3)\to \lambda(A_7)=\\ &=\bigl(\lambda(A_2)\land \lambda(A_3)\bigr)\to \lambda(A_7)=\\ &=(0\land1)\to0= 0\to0=1\end{aligned}$ Итак, высказывание $(A_2\land A_3)\to A_7$ истинно. Для конструирования данного сложного высказывания из простейших высказываний $A_2,\,A_3$ и $A_7$ нужно применить операцию конъюнкции к первым двум высказываниям, а затем к полученному высказыванию и к третьему исходному высказыванию применить операцию импликации. Это словесное описание схемы конструирования данного сложного высказывания можно заменить описанием символическим: $(X\land Y)\to Z$ , где $X,Y,Z$ — некоторые символы (переменные), вместо которых можно подставить любые конкретные высказывания. Такая схема конструирования составного высказывания может быть применена к различным конкретным высказываниям, а не только к высказываниям $A_2,A_3,A_7$ . Например, по этой схеме" из высказываний $A_4,A_8,A_5$ построим высказывание "Если Сократ — человек и снег — белый, то $7<4$ ". Находим его логическое значение: $\begin{aligned}\lambda\bigl[(A_4\land A_6)\to A_5\bigr]&= \lambda(A_4\land A_8)\to \lambda(A_5)=\\ &=\bigl(\lambda(A_4)\land \lambda(A_8)\bigr)\to \lambda(A_5)=\\ &=(1\land1)\to0= 1\to0=0.\end{aligned}$ Таким образом, та же самая схема построения составного высказывания привела к ложному высказыванию. Однако ввиду разнородности понятий, которыми оперируют исходные высказывания $A_4,A_8,A_5$ , трудно на интуитивной основе судить об истинности высказывания $(A_4\land A_8)\to A_5$ . По рассматриваемой схеме построено и следующее высказывание: "Если 100 делится на 5 и 100 делится на 2, то 100 делится на 10". Формальное вычисление логического значения данного высказывания показывает, что оно истинно, с чем вполне согласуются наши интуитивные представления об этом высказывании. Итак, символическая запись $(X\land Y)\to Z$ является своего рода формулой. Конечно, более привычны формулы типа $S=\pi r^2$ (формула площади круга), $E=mgh$ (формула потенциальной энергии тела) и им подобные. Тем не менее выражение $(X\land Y)\to Z$ также можно считать формулой — формулой схемы конструирования составных высказываний из более простых. Понятие формулы алгебры высказываний В формулу $(X\land Y)\to Z$ вместо переменных $X,Y,Z$ можно подставлять конкретные высказывания, после чего вся формула будет превращаться в некоторое составное высказывание. Переменные, вместо которых можно подставлять высказывания, т.е. переменные, пробегающие множество высказываний, называют пропозициональными переменными, или высказывательными переменными, или переменными высказываниями. Будем обозначать пропозициональные переменные заглавными буквами латинского алфавита $P,Q,R,S,X,Y,Z$ или такими же буквами с индексами $P_1,P_2,\ldots,\qquad Q_1,Q_2,\ldots,\quad X_1,X_2,\ldots,\quad, Y_1,Y_2,\ldots$ Теперь дадим точное определение формулы алгебры высказываний. Определение 2.1 1. Каждая отдельно взятая пропозициональная переменная есть формула алгебры высказываний. 2. Если $F_1$ и $F_2$ — формулы алгебры высказываний, то выражения также являются формулами алгебры высказываний: $\lnot F_1,\quad F_1\land F_2,\quad F_1\lor F_2,\quad F_1\to F_2,\quad F_1\leftrightarrow F_2.$ 3. Никаких других формул алгебры высказываний, кроме получающихся согласно пунктам 1 и 2, нет. Определения такого типа называются индуктивными. В них имеются прямые пункты (в данном случае п. 1 и п. 2), где задаются объекты, которые в дальнейшем именуются определяемым термином (в данном случае — формулами алгебры высказываний), и косвенный пункт (в данном случае п. 3), в котором говорится, что такие объекты исчерпываются объектами, заданными в прямых пунктах. Среди прямых пунктов имеются базисные пункты (в данном случае п. 1), где указываются некоторые конкретные объекты, именуемые в дальнейшем определяемым термином, и индуктивные пункты (в данном случае п. 2), где даются правила получения определяемых объектов, в частности из объектов, перечисленных в базисных пунктах. В данной лекции формулы алгебры высказываний будем называть просто формулами. Есть и другие названия для понятия формулы: правильно построенная формула или правильно построенное выражение, но они представляются менее предпочтительными. Само определение формулы, носящее индуктивный характер, на первых порах кажется непривычным. Определения такого типа вам ранее не встречались. Лучшее понимание этого определения наступит, когда вы научитесь применять его для определения того, является или не является формулой последовательность символов (слово), составленная из пропозициональных переменных, символов логических операций и скобок. К этому полезно добавить следующее. Для каждой формулы должна существовать конечная последовательность всех ее подформул, т.е. такая конечная последовательность, которая начинается с входящих в данную формулу пропозициональных переменных, заканчивается самой этой формулой, и каждый член этой последовательности, не являющийся пропозициональной переменной, есть либо отрицание уже имеющегося члена этой последовательности, либо получается из двух уже имеющихся членов этой последовательности их соединением с помощью одного из знаков $\land,~ \lor,~ \to,~ \leftrightarrow$ и заключением полученного выражения в скобки. Такую последовательность всех подформул данной формулы иногда называют порождающей последовательностью для данной формулы. Наличие такой последовательности у логического выражения служит критерием того, что выражение является формулой. Это свойство отличает формулы. Приведем примеры формул. На основании п. 1 определения 2.1 формулами будут пропозициональные переменные: $P,Q,R,X,Y,Z;\quad P_1,P_2,\ldots,\quad Q_1,Q_2,\ldots,\quad X_1,X_2,\ldots$ Далее на основании п. 2 того же определения из этих формул построим следующие: $\lnot P,~ \lnot Q,~ \lnot X,~ \lnot Y,\lnot Z,\quad P\lor R,~ X\land Y,~ X\to Z,~ Q\leftrightarrow R,~ Y\lor Z\,.$ Из построенных формул также на основании п. 2 строим еще более сложные формулы: $\lnot P\land \lnot Q,~ P\land \lnot P, (X\land Y)\to Z,~ (X\to Z)\land (Y\lor Z),~ (P\lor R)\to (Q\leftrightarrow R),~ (X\to Z)\to Y.$ Ясно, что процесс построения все более сложных формул может продолжаться безгранично. Приведем примеры выражений, не являющихся формулами. Это в каком-то смысле нелепые выражения. К примеру, выражение $(XY)\to Z$ было бы формулой на основании п. 2 определения 2.1, если бы формулами были выражения $(XY)$ и $Z$ . Выражение $Z$ есть пропозициональная переменная и потому на основании п. 1 определения 2.1 является формулой. Рассмотрим выражение $(XY)$ . Оно было бы формулой, если бы между формулами $X$ и $Y$ стоял один из знаков логических связок. Но такого знака нет. Следовательно, выражение $(XY)$ не формула, и исходное выражение $(XY)\to Z$ формулой также не является. Таким образом, индуктивный характер определения 2.1 дает возможность эффективно решать для каждого выражения, является оно формулой алгебры высказываний или нет. Вот еще примеры выражений, не являющихся формулами (убедитесь в этом самостоятельно): $(P\lnot Q)\land (P\to\lnot R),\quad P\land Q\lor R,\quad (X\to)\land Z,\quad (X\lor\lnot Y)\to (\lnot X\land\lnot Y)$ То, что последнее выражение не является формулой, может сначала вызвать недоумение. Но после сопоставления его с п. 2 определения 2.1 отмечаем, что в последнем выражении недостает внешних скобок для того, чтобы считать его формулой. Действительно, если бы мы сочли данное выражение формулой, то на основании п. 2 формулой было бы и выражение $(X\lor\lnot Y)\to (\lnot X\land\lnot Y)\leftrightarrow Z$ . Но оно бессмысленно, потому что неопределенно: неизвестно, какую операцию нужно выполнять первой, импликацию или эквивалентность. А от этого, как можно проверить (проверьте!), будет зависеть логическое значение составного высказывания (см. п. 3), получающегося из последнего выражения, если его превратить в формулу указанием последовательности действий и придать пропозициональным переменным $X,Y$ и $Z$ конкретные значения (высказывания). Если бы в исходном выражении стояли внешние скобки, т.е. если бы оно было формулой $(X\lor\lnot Y)\to(\lnot X\land\lnot Y)$ , то проделанное в предыдущем абзаце построение привело бы к формуле $((X\lor\lnot Y)\to(\lnot X\land\lnot Y))\leftrightarrow Z$ . Итак, требование внешних скобок у формулы не является излишним формализмом. Тем не менее внешние скобки придают формуле громоздкость и, если данная формула не входит составной частью в более сложную формулу, не несут никакой информации и смысловой нагрузки. Поэтому внешние скобки в окончательно записанной формуле договариваются опускать. Например, формулу $((X\land Y)\to Z)$ будем записывать в виде $(X\land Y)\to Z$ , а вместо формулы $((X\lor\lnot Y)\to(\lnot X\land\lnot Y))$ будем писать $(X\lor\lnot Y)\to(\lnot X\land\lnot Y)$ . Но если данная формула должна будет войти составной частью в более сложную формулу, то сначала заключаем ее во внешние скобки и только потом отправляем в процедуру построения новой формулы. Логическое значение составного высказывания Если в формулу алгебры высказываний $F(X_1,X_2, \ldots,X_n)$ вместо пропозициональных переменных $X_1,X_2, \ldots,X_n$ подставить конкретные высказывания $A_1, A_2, \ldots, A_n$ соответственно, то получится некоторое новое составное высказывание $F(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ . Оно называется конкретизацией формулы $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ на выборе высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ . Как определить логическое значение $\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)$ полученного составного высказывания, если известны логические значения $\lambda(A_1),\lambda(A_2),\ldots,\lambda(A_n)$ исходных высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ ? Прежде чем сформулировать в следующей теореме ответ на поставленный вопрос, введем одно понятие. Ранее отмечалось, что только логические значения высказываний, а не их содержание рассматриваются в алгебре высказываний. Это дает возможность несколько упростить обозначения и терминологию. Так, каждое ложное высказывание можно рассматривать как элемент 0, а каждое истинное — как элемент 1 двухэлементного множества $\{0;1\}$ , и писать вместо $\lambda(P)=0$ или $\lambda(P)=1$ лишь только $P=0$ или $P=1$ соответственно. Далее, если формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ при подстановке вместо ее пропозициональных переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ с логическими значениями $\lambda(A_1)=\alpha_1,\lambda(A_2)=\alpha_2,\ldots,\lambda(A_n)=\alpha_n$ превращается в высказывание $F(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ с логическим значением $\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)=\alpha$ , то будем говорить, что формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ принимает значение а, если ее переменные $X_1,X_2,\ldots,X_n$ принимают значения $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ соответственно, и писать $X_1=\alpha_1,X_2=\alpha_2,\ldots,X_n=\alpha_n$ и $F(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=\alpha$ , где $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\in\{0;1\}$ . Для нахождения значения $F(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ нужно подставить в формулу $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ вместо пропозициональных переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ значения $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ соответственно и в полученном выражении последовательно проделать все действия с нулями и единицами, предписываемые правилами таблиц из определений 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, 1.9. В результате получим 0 или 1. Полученное значение будем обозначать $F(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ и называть значением данной формулы $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ на данном наборе нулей и единиц $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ . Например, вычислим значение формулы $F(X_1,X_2,X_3)\equiv (X_1\to\lnot X_2)\land\bigl(X_2\leftrightarrow (X_1\lor\lnot X_3)\bigr)$ на наборе $0,\,1,\,1:$ $\begin{aligned}F(0,1,1)&= (0\to\lnot1)\land \bigl(1\leftrightarrow(0\lor\lnot 1)\bigr)=\\ &=(0\to0)\land \bigl(1\leftrightarrow(0\lor0)\bigr)=\\ &=1\land(1\leftrightarrow0)= 1\land0=0.\end{aligned}$ Теорема 2.2. Логическое значение составного высказывания $F(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ равно значению формулы $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ на наборе $\lambda(A_1),\lambda(A_2),\ldots,\lambda(A_n)$ логических значений составляющих высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , т.е. $\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)= F\bigl(\lambda(A_1), \lambda(A_2), \ldots, \lambda(A_n)\bigr).$ Доказательство. Докажем утверждение методом полной математической индукции по числу символов логических операций, входящих в формулу $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ . Если формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ содержит 0 символов логических операций, то она представляет собой просто пропозициональную переменную, скажем, $X_1$ , т.е. $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)\equiv X_1$ (знак $\equiv$ обозначает абсолютную тождественность двух формул, графическую одинаковость левой и правой частей). Тогда доказываемое соотношение сводится к тривиальному равенству: $\lambda(A_1)=\lambda(A_1)$ . Если формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ содержит лишь один символ логической операции, то она является одной из следующих формул: $\lnot X_1,\quad X_1\land X_2,\quad X_1\lor X_2,\quad X_1\to X_2,\quad X_1\leftrightarrow X_2.$ В этих случаях доказываемое равенство есть одно из равенств (1.1)–(1.5). Предположим теперь, что утверждающееся в теореме равенство верно для всех формул алгебры высказываний, содержащих не более к символов логических операций. Докажем, что оно верно для формулы $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ , содержащей $k+1$ символов логических операций. На основании определения 2.1 формула $F$ имеет один из следующих видов: $\lnot F_1,\quad F_1\land F_2,\quad F_1\lor F_2,\quad F_1\to F_2,\quad F_1\leftrightarrow F_2.$ где $F_1$ и $F_2$ — некоторые формулы, каждая из которых содержит уже не более к символов логических операций. Нужно провести доказательство для всех пяти случаев. Но в силу принципиальной идентичности этих доказательств проделаем его, например, для случая $F\equiv F_1\land F_2$ . Вычисляем: $\begin{aligned}\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)&= \lambda\bigl(F_1(A_1,A_2,\ldots,A_n)\land F_2(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)=\\ &=\lambda\bigl(F_1(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)\land \lambda \bigl(F_2(A_1, A_2,\ldots,A_n)\bigr)=\\ &= F_1\bigl(\lambda(A_1), \lambda(A_2), \ldots, \lambda(A_n))\bigr)\land F_2\bigl(\lambda(A_1), \lambda(A_2), \ldots, \lambda(A_n))\bigr)=\\ &=F_1\bigl(\lambda(A_1), \lambda(A_2), \ldots, \lambda(A_n)\bigr).\end{aligned}$ В проделанных вычислениях второе равенство основано на определении 1.3 логической операции конъюнкции. Третье равенство основано на предположении индукции о том, что для формул $F_1$ и $F_2$ соотношение теоремы выполняется. Наконец четвертое равенство записано на основании того, что $F\equiv F_1\land F_2$ . Аналогичным образом соотношение теоремы доказывается и во всех остальных случаях конструирования формулы $F$ из формул $F_1$ и $F_2$ . Следовательно, утверждение теоремы верно для любой формулы $F$ алгебры высказываний. Итак, здесь необходимо понять, что логическое значение составного высказывания по существу является значением некоторого (логического) выражения при некотором наборе конкретных значений всех входящих в него (пропозициональных) переменных. При этом пропозициональные переменные могут принимать значения 0 или 1, само выражение принимает значение 0 или 1, и вычисляется это значение (в силу теоремы 2.2) посредством применения к значениям 0 и 1 предписываемых данным выражением логических действий. Логические действия над величинами 0 и 1 выполняются по правилам, определяемым таблицами истинности этих действий (операций) — отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности. Таким образом, мы фактически начинаем иметь дело с некой новой (логической) алгеброй, или алгеброй логики, которая как бы "параллельна" привычной школьной алгебре. Сравним компоненты этих двух алгебр с помощью следующей таблицы: Аналогия со школьной алгеброй будет продолжена при рассмотрении равносильных преобразований в алгебре логики. Составление таблиц истинности для формул На основании теоремы 2.2 можно для данной формулы $F$ алгебры высказываний найти логические значения всех тех высказываний, в которые формула превращается при подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных различных конкретных высказываний. При этом говорят о логическом значении самой формулы и о логических значениях ее пропозициональных переменных. При нахождении логических значений формулы, соответствующих всевозможным наборам значений ее пропозициональных переменных, удобной формой записи является табличная форма. Рассмотрим примеры. Пример 2.3. Составим таблицу истинности для формулы $(X\to Y)\lor(Y\to X)$ . В первых двух столбцах таблицы выпишем всевозможные пары логических значений, которые могут принимать пропозициональные переменные $X$ и $Y$ (точнее, те высказывания, которые могут быть подставлены в формулу вместо пропозициональных переменных $X$ и $Y$ ). В последующих столбцах выписываем логические значения формул $X\to Y,~ Y\to X$ и $(X\to Y)\lor(Y\to X)$ , образующих так называемую порождающую последовательность для данной формулы. Руководствуемся при этом определениями логических операций импликации и дизъюнкции. В результате получаем таблицу: $\begin{array}{\|c\|c\|\|c\|c\|\|c\|}\hline \lambda(X)& \lambda(Y)& \lambda(X\to Y)& \lambda(Y\to X)& \lambda\bigl((X\to Y)\lor(Y\to X)\bigr)\\\hline 0&0&1&1&1\\\hline 0&1&1&0&1\\\hline 1&0&0&1&1\\\hline 1&1&1&1&1\\\hline \end{array}$ Первые два столбца и последний столбец составленной таблицы задают соответствия между логическими значениями исходных высказываний и логическим значением составного высказывания, получаемого по данной формуле. Эти три столбца и образуют таблицу истинности данной формулы. Остальные два столбца (для логических значений $\lambda(X\to Y)$ и $\lambda(Y\to X)$ носят вспомогательный, промежуточный характер. Пример 2.4. Составим таблицу истинности для формулы $F(P,Q,R)\equiv (P\land Q)\to(P\leftrightarrow\lnot R)$ . Она содержит три пропозициональные переменные, для которых имеются точно восемь различных наборов значений истинности. Таблица истинности для рассматриваемой формулы вместе с промежуточными столбцами выглядит следующим образом: $\begin{array}{\|c\|c\|c\|\|c\|c\|c\|c\|}\hline \lambda(P)& \lambda(Q)& \lambda(R)& \lambda(P\land Q)& \lambda(\lnot R)& \lambda(P\leftrightarrow\lnot R)& \lambda(F) \\\hline 0&0&0&0&1&0&1\\\hline 0&0&1&0&0&1&1\\\hline 0&1&0&0&1&0&1\\\hline 0&1&1&0&0&1&1\\\hline 1&0&0&0&1&1&1\\\hline 1&0&1&0&0&0&1\\\hline 1&1&0&1&1&1&1\\\hline \end{array}$ Таблицу истинности формулы можно составлять в сокращенном виде. Пример 2.5. Составим, например, такую таблицу для формулы: $(X\land\lnot Y)\leftrightarrow(\lnot X\lor Y)$ (внешние скобки у формулы, согласно договоренности, опущены). В первой строке таблицы выпишем данную формулу. Под переменными $X$ и $Y$ выписываем всевозможные наборы их логических значений. Далее столбец под первым знаком $\lnot$ заполним логическими значениями формулы $\lnot Y$ , исходя из соответствующих значений переменной $Y$ , а столбец под знаком $\land$ — логическими значениями формулы $X\land\lnot Y$ , исходя из соответствующих логических значений формул $X$ и $\lnot Y$ . Затем заполняем столбец под вторым знаком $\lnot$ значениями формулы $\lnot X$ и столбец под знаком $\lor$ — значениями формулы $\lnot X\lor Y$ . Наконец заполняем столбец под знаком $\leftrightarrow$ логическими значениями данной формулы. В итоге получаем $\begin{array}{\|ccc\|c\|ccc\|}\hline (X& \land& \lnot Y)& \leftrightarrow& (\lnot X& \lor& Y)\\\hline 0&0&1&\boldsymbol{0}&1&1&0\\ 0&0&0&\boldsymbol{0}&1&1&1\\ 1&1&1&\boldsymbol{0}&0&0&0\\ 1&0&0&\boldsymbol{0}&0&1&1\\\hline \end{array}$ Выделенные жирным шрифтом табулированные значения представляют собой столбец логических значений данной формулы. Практика составления довольно большого числа таблиц истинности есть наилучший способ прочно запомнить определения логических связок (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности) и довести до автоматизма выдачу значений любой из этих операций. Это знание необходимо для решения более содержательных задач алгебры высказываний. Классификация формул алгебры высказываний Формулы алгебры высказываний подразделяются на следующие типы: выполнимые, тавтологии, опровержимые и тождественно ложные. Формула алгебры высказываний $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ называется выполнимой, если некоторая ее конкретизация является истинным высказыванием, т.е. существуют такие конкретные высказывания $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , которые, будучи подставленными в эту формулу вместо переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ соответственно, превращают ее в истинное высказывание. Таким образом, $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ выполнима, если существуют такие конкретные высказывания $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , что $\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . Выполнимой формулой является, в частности, формула, рассмотренная в примере 2.4. Она превращается в истинное высказывание, если, например, вместо пропозициональных переменных $P,Q,R$ подставить ложные высказывания. Выполнима также формула $(X\land Y)\to Z$ , конкретизация которой рассмотрена в начале этой лекции. Формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ называется тавтологией, или тождественно истинной, если она превращается в истинное высказывание при всякой подстановке вместо переменных конкретных высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , т.е. если $\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)=1$ для любых высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ . Формула из примера 2.3 является тавтологией. Для обозначения тавтологии используется знак $\vDash$ , который ставится перед формулой, являющейся тавтологией. Таким образом, запись $\vDash F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ означает, что формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ является тавтологией. В частности, для указанного примера можем записать $\vDash (X\to Y)\lor(Y\to X)$ . Формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ называется опровержимой, если существуют такие конкретные высказывания $A_1,A_2, \ldots,A_n$ , которые превращают данную формулу в ложное высказывание $F(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ , т.е. $\lambda(A_1,A_2,\ldots,A_n)=0$ . Другими словами, опровержимые формулы — это формулы, не являющиеся тавтологиями. Опровержимой является формула, рассмотренная в примере 2.4. Она обращается в ложное высказывание лишь тогда, когда вместо всех переменных $P,Q,R$ подставлены истинные высказывания. Формула $(X\land Y)\to Z$ также опровержима. Наконец, формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ называется тождественно ложной, или противоречием, если $\lambda\bigl(A_1,A_2,\ldots,A_n\bigr)=0$ для любых конкретных высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ . Другими словами, тождественно ложные формулы — это такие формулы, которые не являются выполнимыми. При решении задач на классификацию формул полезно отказаться от механического составления таблиц истинности и научиться решать их методом анализа структуры формулы и нахождения тех отдельных наборов значений переменных, в случае которых формула принимает определяющее значение. Мышление и математическая логика В заключение следует отметить, что мы приступили к фундаментальному процессу исследования математическими методами такой сферы, как область человеческого мышления. Начало процессу математизации логики положено математизацией языка. Фактически построена своеобразная знаковая система (символический язык логики высказываний), с помощью которой можно попытаться отразить человеческую мысль и проследить оформление мыслительного процесса. Этот язык основывается на алфавите, состоящем из следующих символов: 1) пропозициональных букв: $P,Q,R,\ldots$ ; 2) символов логических операций: $\lnot,~ \land,~ \lor,~ \to,~ \leftrightarrow$ ; 3) технических знаков: $(,)$ . Словами построенного языка являются формулы логики высказываний. Предложения обычного (русского) языка могут быть "переведены" на символический язык логики высказываний, где они представляются формулами логики высказываний. Следует иметь в виду, что при таком переводе сохраняются логическое содержание, логическая структура предложения, но, конечно же, теряются его языковая красота и психологические оттенки. Формула представляет собой формальную последовательность знаков, составленную по строгим правилам, нарушение которых недопустимо. Такой перевод высказывания естественного языка на символический язык называется его формализацией. В частности, перевод высказывания на символический язык логики высказываний есть его формализация в рамках символической логики высказываний. Получаемая формула показывает способ соединения простых высказываний в составное при помощи логических союзов. Она представляет как бы в "чистом виде" логическую структуру составного высказывания. Формула логики высказываний сама по себе не имеет никакого содержания. В частности, она не является ни истинной, ни ложной. Она превращается в высказывание, истинное или ложное, при всякой подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных любых конкретных высказываний. Такой процесс подстановки называется интерпретацией данной формулы алгебры высказываний. Таким образом, имеются два взаимно-обратных процесса (две процедуры): формализация и интерпретация. Если имеется формула $F$ и высказывание $A$ есть результат ее интерпретации, то сама формула $F$ будет формализацией высказывания $A$ . Обратно, если имеется высказывание $A$ и формула $F$ есть его формализация, то высказывание $A$ будет одной из интерпретаций формулы $F$ . Итак, формализация — это переход от высказывания естественного языка к формуле логики высказываний, а интерпретация — переход от формулы логики высказываний к высказыванию естественного языка. Таблица истинности или таблица значений формулы логики высказываний — это таблица, которая указывает логическое значение формулы при любой ее интерпретации. Осознание этих понятий исключительно важно на данном этапе, поскольку они являются ключевыми для изучения в дальнейшем более глубоких разделов математической логики. На данном этапе делается первый шаг на пути формализации — важнейшего метода математической логики. Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Формулы алгебры высказываний

Онлайн-сервисы

Нахождение НОД и НОК Разложение числа на простые множители Сравнения по модулю Операции над множествами Операции над векторами Разложение вектора по базису. Доказательство, что векторы образуют базис Чертёж треугольника по координатам вершин Решение треугольника Решение Пирамиды Построение Пирамиды по координатам вершин Чертёж многоугольника по координатам вершин Решение систем методом Крамера и Матричным Онлайн построение графика кривой 2-го порядка Определение вида кривой или поверхности 2-го порядка по инвариантам МНК и регрессионный анализ Онлайн + графики Онлайн число, сумма и дата прописью

Алгоритмы JavaScript

Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки Уникальные элементы массива Объединение, пересечение и разность массивов НОД и НОК Операции над матрицами Дата прописью

Введение в анализ

Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика

Теория множеств

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия

Математическая логика

Алгебра высказываний

Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции

Булевы функции

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций

Теория формального

Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний

Логика предикатов

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов

Неформальные и формаль-
ные аксиоматические теории

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории

Теория алгоритмов

Интуитивное представление об алгоритмах Машины Тьюринга и тезис Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики

Математическая логика и компьютеры

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект

Дискретная математика

Множества и отношения

Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций

Группы и кольца

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов

Полукольца и булевы алгебры

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки

Алгебраические системы

Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры

Теория графов

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов

Булева алгебра и функции

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов

Конечные автоматы и регулярные языки

Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики (грамматики Хомского) Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга

Контекстно-свободные языки

Контекстно-свободные языки и грамматики Приведенная форма КС-грамматики Лемма о разрастании для КС-языков Магазинные автоматы (автомат с магазинной памятью) Алгоритм построения МП-автомата по КС-грамматике Алгоритм построения КС-грамматики по МП-автомату Алгебраические свойства КС-языков Основное свойство суперпозиции КС-языков Пересечение контекстно-свободных языков Методы синтаксического анализа КС-языков Восходящий синтаксический анализ и LR(k)-грамматики Семантика формальных языков Принцип индукции по неподвижной точке Графовое представление МП-автоматов

Интегральное исчисление

Неопределённый и определённый

Неопределенный и определенный интегралы Свойства интегралов Интегрирование по частям Интегрирование методом замены переменной Интегрирование различных рациональных функций Интегрирование различных иррациональных функций Интегрирование различных тригонометрических функций Определенный интеграл и его основные свойства Необходимое и достаточное условие интегрируемости Теоремы существования первообразной Свойства определенных интегралов Несобственные интегралы Интегральное определение логарифмической функции

Приложения интегралов

Вычисление площадей плоских фигур Площади фигур в различных координатах Вычисление объемов тел с помощью интегралов Объём тела вращения Вычисление длин дуг кривых Формулы длины дуги регулярной кривой Кривизна плоской кривой Площадь поверхности вращения тела

Интегралы в физике

Статические моменты и координаты центра тяжести Теоремы Гульдина–Паппа Вычисление моментов инерции Другие приложения интегралов в физике

Основные интегралы

Интеграл Ньютона-Лейбница Интеграл Римана Интеграл Лебега

Вариационное исчисление

Примеры вариационных задач Дифференциальное уравнение Эйлера Функционалы, зависящие от нескольких функций Задача о минимуме кратного интеграла

Финансовый анализ

Анализ эффективности

Критерии и показатели эффективности предприятия Методы анализа эффективности деятельности Факторный анализ прибыли от операционной деятельности Анализ безубыточности предприятия Операционный рычаг и эффект финансового рычага Анализ и оценка состава, структуры и динамики доходов и расходов Анализ рентабельности и резервов устойчивого роста капитала Анализ распределения прибыли предприятия Анализ и оценка чувствительности показателей эффективности

Анализ устойчивости

Финансовая устойчивость и долгосрочная платежеспособность Характеристика типов финансовой устойчивости

Рыночная активность

Финансовый анализ рыночной активности Методика анализа рыночной активности Анализ и оценка дивидендного дохода на одну акцию

Инвестиционная деятельность

Инвестиции: экономическая сущность и классификация Государственное регулирование инвестиционной деятельности Источники финансовых ресурсов на капитальные вложения Инвестиции в основные фонды Оценка состояния основных фондов Амортизация основных фондов Капитальное строительство в инвестиционном процессе Планирование инвестиций в форме капитальных вложений Экономическая эффективность инвестиций Финансирование капитальных вложений Кредитование капитальных вложений Кредитоспособность Финансирование и кредитование затрат Финансирование и кредитование инвестиционной деятельности потребительской кооперации Финансирование и кредитование капитальных вложений потребительской кооперации Инвестиционное строительное проектирование

Анализ инвестиций

Инвестиции и инвестиционная деятельность предприятия Задачи финансового анализа инвестиций предприятия Учет фактора времени в инвестиционной деятельности Аннуитет и финансовая рента в инвестициях Учет фактора инфляции при инвестировании Оценка фактора риска инвестиционного проекта Методы оценки эффективности инвестиций Показатели эффективности инвестиционного проекта

Стоимость компании

Концепция построения международных стандартов финансовой отчетности (МСФО) Экономическое содержание международных стандартов финансовой отчётности Цели и принципы оценки стоимости акций и активов компании Оценка акций и активов предприятия по справедливой стоимости Методы оценки справедливой стоимости акций предприятия Затратный подход к оценки стоимости компаний и акций Сравнительный подход к оценки стоимости предприятий и акций Доходный подход к оценке стоимости компании и акций Выбор ставки дисконтирования при инвестировании в акции Метод капитализации прибыли Сравнение подходов к оценке стоимости компаний и пакетов акций

Форвардные контракты

Форвардный контракт и цена Форвардная цена акции на бирже Цена форвардного контракта инвестора Форвардная цена акции с учетом величины дивиденда Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда Форвардная цена валюты на рынке форекс Форвардный валютный курс и инфляция на рынке Форвардная цена товара и спотовый рынок Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам Синтетический форвардный контракт на акции и валюту

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей Зависимые и независимые случайные события Повторные независимые испытания Формула Бернулли Одномерные случайные величины Многомерные случайные величины Функции случайных величин Законы распределения целочисленных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и предельные теоремы Вероятностные закономерности

Математическая статистика

Элементы математической статистики Выборочный метод Оценки параметров генеральной совокупности Статистические гипотезы Критерии согласия Теоретические и эмпирические частоты

Теория очередей (СМО)

Определение системы массового обслуживания Уравнения Колмогорова Предельные вероятности состояний Определение СМО с отказами Определение СМО с ожиданием (очередью)

Аналитическая геометрия

Векторная алгебра

Метрические понятия и аксиомы геометрии Равенство и подобие геометрических фигур Бинарные отношения Вектор, его направление и длина Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов Отношение коллинеарных векторов Проекции векторов на прямую и на плоскость Угол между векторами Ортогональные проекции векторов Координата вектора на прямой и базис Координаты вектора на плоскости и базис Координаты вектора в пространстве и базис Операции над векторами в координатной форме Ортогональный и ортонормированный базисы Cкалярное произведение векторов и его свойства Выражение скалярного произведения через координаты векторов Векторное произведение векторов и его свойства Смешанное произведение векторов и его свойства Ориентированные площади и объемы Двойное векторное произведение и его свойства Применение векторов в задачах на аффинные свойства фигур Применение произведений векторов при решении геометрических задач Применение векторной алгебры в механике

Системы координат

Прямоугольные координаты Преобразования прямоугольных координат Полярная система координат Цилиндрическая система координат Сферические координаты Аффинные координаты Аффинные преобразования координат Аффинные преобразования плоскости Примеры аффинных преобразований плоскости Аффинные преобразования пространства Многомерное координатное пространство Линейные и аффинные подпространства Скалярное произведение n-мерных векторов Преобразования систем координат

Геометрия на плоскости

Алгебраические линии на плоскости Общие уравнения геометрических мест точек Алгебраические уравнения линий на плоскости Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору Уравнения прямой, проходящей через две точки Уравнения прямой с угловым коэффициентом Взаимное расположение прямых Примеры задач с прямыми на плоскости Системы неравенств с двумя неизвестными Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Линии 2-го порядка

Канонические уравнения линий второго порядка Порядок приведения уравнения линии к каноническому виду Эллипс Гипербола Парабола Квадратичные неравенства с двумя неизвестными Применение линий 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты линий

Классификация линий 2-го порядка по инвариантам Приведение уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Геометрия в пространстве

Способы задания ГМТ в пространстве Алгебраические уравнения поверхностей Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам Уравнения плоскости, проходящей через три точки Взаимное расположение плоскостей Типовые задачи с плоскостями Уравнения прямых в пространстве Взаимное расположение прямых в пространстве Типовые задачи с прямыми в пространстве

Поверхности 2-го порядка

Канонические уравнения поверхностей Порядок приведения уравнения поверхности к каноническому виду Поверхности второго порядка Эллипсоиды Гиперболоиды Конусы Параболоиды Применение поверхностей 1-го и 2-го порядков в задачах на экстремум функций

Инварианты поверхностей

Классификация поверхностей 2-го порядка по инвариантам Квадратичные неравенства с тремя неизвестными Приведение уравнения поверхности к канониче-скому виду по инвариантам

Линейная алгебра

Матрицы и операции

Линейные операции над матрицами Умножение матриц Возведение матриц в степень Многочлены от матриц Транспонирование и сопряжение матриц Блочные матрицы Произведение и сумма матриц Кронекера Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду Элементарные преобразования матриц

Определители

Определители матриц и их основные свойства Формула полного разложения определителя Формула Лапласа полного разложения определителя Определитель произведения матриц Методы вычисления определителей

Ранг матрицы

Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы Ранг матрицы и базисный минор матрицы Методы вычисления ранга матрицы Ранг системы столбцов (строк)

Обратная матрица

Обратные матрицы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы Способы нахождения обратной матрицы Матричные уравнения Односторонние обратные матрицы Скелетное разложение матрицы Полуобратная матрица Псевдообратная матрица

Системы уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Структура общего решения системы уравнений Решение систем с помощью полуобратных матриц Псевдорешения системы линейных уравнений

Функциональные матрицы

Функциональные матрицы скалярного аргумента Производные матриц по векторному аргументу Линейные и квадратичные формы и их преобразования Приведение форм к каноническому виду Закон инерции вещественных квадратичных форм Знакоопределенность форм вещественных квадратичных Формы и исследование функций на экстремум

Многочленные матрицы

Многочленные матрицы (лямбда-матрицы) Операции над лямбда-матрицами Простые преобразования многочленных матриц Инвариантные множители многочленной матрицы

Функции от матриц

Собственные векторы и значения матрицы Подобие числовых матриц Характеристический многочлен матрицы Минимальный многочлен матрицы Теорема Гамильтона-Кэли Жорданова форма матрицы Приведение матрицы к жордановой форме Многочлены от матриц Применение многочленов от матриц Функции от матриц

Линейные пространства

Линейные пространства: определение и примеры Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов Размерность и базис линейного пространства Преобразования координат в линейном пространстве Изоморфизм линейных пространств

Подпространства

Подпространства линейного пространства Пересечение и сумма подпространств Способы описания подпространств Нахождение дополнения и суммы подпространств Нахождение пересечения подпространств

Линейные отображения

Линейные многообразия Линейные отображения Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения

Линейные операторы

Линейные операторы (преобразования) Инвариантные подпространства Собственные векторы и значения оператора Свойства собственных векторов операторов Канонический вид линейного оператора Методика приведения линейного преобразования к каноническому виду

Евклидовы пространства

Комплексный анализ

Комплексные числа

Комплексные числа в алгебраической форме Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Множества на комплексной плоскости Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексные функции

Функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и производная Элементарные функции комплексного переменного Дифференцирование функций комплексного переменного Аналитические функции и их свойства Конформные отображения
и их свойства Интегрирование функций комплексного переменного

Функциональные ряды в комплексной области

Функциональные ряды и последовательности Степенные ряды и их свойства Разложение функций в степенные ряды Нули аналитических функций Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Особые точки, Вычеты

Изолированные особые точки функций и полюсы Вычеты и их применение Вычисление интегралов с помощью вычетов Вычеты и расположение нулей многочлена

Операционное исчисление

Преобразование Лапласа и его свойства Решение ДУ операционным методом Анализ выходных процессов линейных стационарных систем Z-преобразование и его свойства

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка

Основные понятия и определения ДУ Метод изоклин для ДУ 1-го порядка Метод последовательных приближений ДУ с разделяющимися переменными Однородные ДУ Линейные ДУ 1-го порядка Дифференциальное уравнение Бернулли ДУ в полных дифференциалах Интегрирующий множитель ДУ, не разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение Риккати Составление ДУ семейств линий Задачи на траектории Особые решения ДУ

ДУ высших порядков

Понятия и определения ДУ высших порядков ДУ, допускающие понижение порядка Линейная независимость функций Определители Вронского и Грама Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения Задача Коши и Уравнение Эйлера Линейные ДУ с переменными коэффициентами Метод Лагранжа решения ДУ Краевые задачи для ДУ высших порядков Разложение решения ДУ в степенной ряд Разложение решения ДУ в обобщенный степенной ряд Нахождение периодических решений ДУ Асимптотическое интегрирование ДУ

Системы ДУ

Системы ДУ: понятия и определения Сведение системы ДУ к одному уравнению Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование однородных линейных систем ДУ Методы интегрирования неоднородных систем ДУ Преобразование Лапласа и решение ДУ и систем

Теория устойчивости

Устойчивость решений ДУ по Ляпунову Простейшие типы точек покоя Метод функций Ляпунова Устойчивость решений ДУ по первому приближению Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова ДУ с малым параметром при производной

Численные методы

Методы алгебры

Численные методы линейной алгебры Численные методы решения СЛАУ Итерационный метод Шульца обратной матрицы Методы решения задач о собственных значениях и векторах матрицы Методы решения нелинейных уравнений Методы решения систем нелинейных уравнений

Методы теории приближений

Методы приближения сеточных функций Методы функциональной интерполяции Методы интегрально-дифференциальной интерполяции Методы интегрального сглаживания Методы интерполяции и сглаживания сплайнами Методы численного дифференцирования и интегрирования Методы численного дифференцирования Методы численного интегрирования

Методы решения обыкновенных ДУ

Численные методы решения задачи Коши Разностные схемы для решения задачи Коши Составные схемы для решения задачи Коши Экстраполяционные методы решения задачи Коши Непрерывно-дискретные методы решения задачи Коши Численные методы решения краевых задач

Методы решения ДУ в частных производных

Численные методы решения уравнений математической физики с двумя переменными Принципы построения разностных схем для уравнений в частных производных Разностные схемы решения уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка Численные методы решения уравнений в частных производных Численные методы решения уравнений математической физики с тремя переменными

Формулы алгебры высказываний

Построение сложных высказываний

С помощью логических операций, рассмотренных в предыдущей лекции, из простейших высказываний можно строить высказывания более сложные. Например, из высказываний $A_2,A_3,A_7$ можно построить такое высказывание: "Если Саратов находится на берегу Невы и все люди смертны, то А.С. Пушкин — великий русский математик". Построенное высказывание символически записывается так: $(A_2\land A_3)\to A_7$ . Конечно, оно звучит несколько странно, поскольку соединяет в себе столь разнородные понятия, которые обычно существуют раздельно друг от друга. Но нас, еще раз подчеркиваем, интересует не содержание этого высказывания, а его логическое значение. Оно может быть определено, исходя из логических значений исходных высказываний $A_2,A_3,A_7$ и той схемы, по которой из исходных высказываний построено сложное высказывание. Так как $\lambda(A_2)=0,$ $\lambda(A_3)=1,$ $\lambda(A_7)=0$ , то, используя соотношения (1.4), (1.2) и определения 1.7, 1.3, находим:

$\begin{aligned}\lambda\bigl[(A_2\land A_3)\to A_7\bigr]&= \lambda(A_2\to A_3)\to \lambda(A_7)=\\ &=\bigl(\lambda(A_2)\land \lambda(A_3)\bigr)\to \lambda(A_7)=\\ &=(0\land1)\to0= 0\to0=1\end{aligned}$

Итак, высказывание $(A_2\land A_3)\to A_7$ истинно.

Для конструирования данного сложного высказывания из простейших высказываний $A_2,\,A_3$ и $A_7$ нужно применить операцию конъюнкции к первым двум высказываниям, а затем к полученному высказыванию и к третьему исходному высказыванию применить операцию импликации. Это словесное описание схемы конструирования данного сложного высказывания можно заменить описанием символическим: $(X\land Y)\to Z$ , где $X,Y,Z$ — некоторые символы (переменные), вместо которых можно подставить любые конкретные высказывания. Такая схема конструирования составного высказывания может быть применена к различным конкретным высказываниям, а не только к высказываниям $A_2,A_3,A_7$ . Например, по этой схеме" из высказываний $A_4,A_8,A_5$ построим высказывание "Если Сократ — человек и снег — белый, то $7<4$ ". Находим его логическое значение:

$\begin{aligned}\lambda\bigl[(A_4\land A_6)\to A_5\bigr]&= \lambda(A_4\land A_8)\to \lambda(A_5)=\\ &=\bigl(\lambda(A_4)\land \lambda(A_8)\bigr)\to \lambda(A_5)=\\ &=(1\land1)\to0= 1\to0=0.\end{aligned}$

Таким образом, та же самая схема построения составного высказывания привела к ложному высказыванию. Однако ввиду разнородности понятий, которыми оперируют исходные высказывания $A_4,A_8,A_5$ , трудно на интуитивной основе судить об истинности высказывания $(A_4\land A_8)\to A_5$ .

По рассматриваемой схеме построено и следующее высказывание: "Если 100 делится на 5 и 100 делится на 2, то 100 делится на 10". Формальное вычисление логического значения данного высказывания показывает, что оно истинно, с чем вполне согласуются наши интуитивные представления об этом высказывании.

Итак, символическая запись $(X\land Y)\to Z$ является своего рода формулой. Конечно, более привычны формулы типа $S=\pi r^2$ (формула площади круга), $E=mgh$ (формула потенциальной энергии тела) и им подобные. Тем не менее выражение $(X\land Y)\to Z$ также можно считать формулой — формулой схемы конструирования составных высказываний из более простых.

Понятие формулы алгебры высказываний

В формулу $(X\land Y)\to Z$ вместо переменных $X,Y,Z$ можно подставлять конкретные высказывания, после чего вся формула будет превращаться в некоторое составное высказывание. Переменные, вместо которых можно подставлять высказывания, т.е. переменные, пробегающие множество высказываний, называют пропозициональными переменными, или высказывательными переменными, или переменными высказываниями. Будем обозначать пропозициональные переменные заглавными буквами латинского алфавита $P,Q,R,S,X,Y,Z$ или такими же буквами с индексами

$P_1,P_2,\ldots,\qquad Q_1,Q_2,\ldots,\quad X_1,X_2,\ldots,\quad, Y_1,Y_2,\ldots$

Теперь дадим точное определение формулы алгебры высказываний.

Определение 2.1

1. Каждая отдельно взятая пропозициональная переменная есть формула алгебры высказываний.

2. Если $F_1$ и $F_2$ — формулы алгебры высказываний, то выражения также являются формулами алгебры высказываний:

$\lnot F_1,\quad F_1\land F_2,\quad F_1\lor F_2,\quad F_1\to F_2,\quad F_1\leftrightarrow F_2.$

3. Никаких других формул алгебры высказываний, кроме получающихся согласно пунктам 1 и 2, нет.

Определения такого типа называются индуктивными. В них имеются прямые пункты (в данном случае п. 1 и п. 2), где задаются объекты, которые в дальнейшем именуются определяемым термином (в данном случае — формулами алгебры высказываний), и косвенный пункт (в данном случае п. 3), в котором говорится, что такие объекты исчерпываются объектами, заданными в прямых пунктах. Среди прямых пунктов имеются базисные пункты (в данном случае п. 1), где указываются некоторые конкретные объекты, именуемые в дальнейшем определяемым термином, и индуктивные пункты (в данном случае п. 2), где даются правила получения определяемых объектов, в частности из объектов, перечисленных в базисных пунктах.

В данной лекции формулы алгебры высказываний будем называть просто формулами. Есть и другие названия для понятия формулы: правильно построенная формула или правильно построенное выражение, но они представляются менее предпочтительными. Само определение формулы, носящее индуктивный характер, на первых порах кажется непривычным. Определения такого типа вам ранее не встречались. Лучшее понимание этого определения наступит, когда вы научитесь применять его для определения того, является или не является формулой последовательность символов (слово), составленная из пропозициональных переменных, символов логических операций и скобок.

К этому полезно добавить следующее. Для каждой формулы должна существовать конечная последовательность всех ее подформул, т.е. такая конечная последовательность, которая начинается с входящих в данную формулу пропозициональных переменных, заканчивается самой этой формулой, и каждый член этой последовательности, не являющийся пропозициональной переменной, есть либо отрицание уже имеющегося члена этой последовательности, либо получается из двух уже имеющихся членов этой последовательности их соединением с помощью одного из знаков $\land,~ \lor,~ \to,~ \leftrightarrow$ и заключением полученного выражения в скобки. Такую последовательность всех подформул данной формулы иногда называют порождающей последовательностью для данной формулы. Наличие такой последовательности у логического выражения служит критерием того, что выражение является формулой. Это свойство отличает формулы.

Приведем примеры формул. На основании п. 1 определения 2.1 формулами будут пропозициональные переменные:

$P,Q,R,X,Y,Z;\quad P_1,P_2,\ldots,\quad Q_1,Q_2,\ldots,\quad X_1,X_2,\ldots$

Далее на основании п. 2 того же определения из этих формул построим следующие:

$\lnot P,~ \lnot Q,~ \lnot X,~ \lnot Y,\lnot Z,\quad P\lor R,~ X\land Y,~ X\to Z,~ Q\leftrightarrow R,~ Y\lor Z\,.$

Из построенных формул также на основании п. 2 строим еще более сложные формулы:

$\lnot P\land \lnot Q,~ P\land \lnot P, (X\land Y)\to Z,~ (X\to Z)\land (Y\lor Z),~ (P\lor R)\to (Q\leftrightarrow R),~ (X\to Z)\to Y.$

Ясно, что процесс построения все более сложных формул может продолжаться безгранично.

Приведем примеры выражений, не являющихся формулами. Это в каком-то смысле нелепые выражения. К примеру, выражение $(XY)\to Z$ было бы формулой на основании п. 2 определения 2.1, если бы формулами были выражения $(XY)$ и $Z$ . Выражение $Z$ есть пропозициональная переменная и потому на основании п. 1 определения 2.1 является формулой. Рассмотрим выражение $(XY)$ . Оно было бы формулой, если бы между формулами $X$ и $Y$ стоял один из знаков логических связок. Но такого знака нет. Следовательно, выражение $(XY)$ не формула, и исходное выражение $(XY)\to Z$ формулой также не является.

Таким образом, индуктивный характер определения 2.1 дает возможность эффективно решать для каждого выражения, является оно формулой алгебры высказываний или нет.

Вот еще примеры выражений, не являющихся формулами (убедитесь в этом самостоятельно):

$(P\lnot Q)\land (P\to\lnot R),\quad P\land Q\lor R,\quad (X\to)\land Z,\quad (X\lor\lnot Y)\to (\lnot X\land\lnot Y)$

То, что последнее выражение не является формулой, может сначала вызвать недоумение. Но после сопоставления его с п. 2 определения 2.1 отмечаем, что в последнем выражении недостает внешних скобок для того, чтобы считать его формулой. Действительно, если бы мы сочли данное выражение формулой, то на основании п. 2 формулой было бы и выражение $(X\lor\lnot Y)\to (\lnot X\land\lnot Y)\leftrightarrow Z$ . Но оно бессмысленно, потому что неопределенно: неизвестно, какую операцию нужно выполнять первой, импликацию или эквивалентность. А от этого, как можно проверить (проверьте!), будет зависеть логическое значение составного высказывания (см. п. 3), получающегося из последнего выражения, если его превратить в формулу указанием последовательности действий и придать пропозициональным переменным $X,Y$ и $Z$ конкретные значения (высказывания). Если бы в исходном выражении стояли внешние скобки, т.е. если бы оно было формулой $(X\lor\lnot Y)\to(\lnot X\land\lnot Y)$ , то проделанное в предыдущем абзаце построение привело бы к формуле $((X\lor\lnot Y)\to(\lnot X\land\lnot Y))\leftrightarrow Z$ .

Итак, требование внешних скобок у формулы не является излишним формализмом. Тем не менее внешние скобки придают формуле громоздкость и, если данная формула не входит составной частью в более сложную формулу, не несут никакой информации и смысловой нагрузки. Поэтому внешние скобки в окончательно записанной формуле договариваются опускать. Например, формулу $((X\land Y)\to Z)$ будем записывать в виде $(X\land Y)\to Z$ , а вместо формулы $((X\lor\lnot Y)\to(\lnot X\land\lnot Y))$ будем писать $(X\lor\lnot Y)\to(\lnot X\land\lnot Y)$ . Но если данная формула должна будет войти составной частью в более сложную формулу, то сначала заключаем ее во внешние скобки и только потом отправляем в процедуру построения новой формулы.

Логическое значение составного высказывания

Если в формулу алгебры высказываний $F(X_1,X_2, \ldots,X_n)$ вместо пропозициональных переменных $X_1,X_2, \ldots,X_n$ подставить конкретные высказывания $A_1, A_2, \ldots, A_n$ соответственно, то получится некоторое новое составное высказывание $F(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ . Оно называется конкретизацией формулы $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ на выборе высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ . Как определить логическое значение $\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)$ полученного составного высказывания, если известны логические значения $\lambda(A_1),\lambda(A_2),\ldots,\lambda(A_n)$ исходных высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ ?

Прежде чем сформулировать в следующей теореме ответ на поставленный вопрос, введем одно понятие. Ранее отмечалось, что только логические значения высказываний, а не их содержание рассматриваются в алгебре высказываний. Это дает возможность несколько упростить обозначения и терминологию. Так, каждое ложное высказывание можно рассматривать как элемент 0, а каждое истинное — как элемент 1 двухэлементного множества $\{0;1\}$ , и писать вместо $\lambda(P)=0$ или $\lambda(P)=1$ лишь только $P=0$ или $P=1$ соответственно. Далее, если формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ при подстановке вместо ее пропозициональных переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ с логическими значениями $\lambda(A_1)=\alpha_1,\lambda(A_2)=\alpha_2,\ldots,\lambda(A_n)=\alpha_n$ превращается в высказывание $F(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ с логическим значением $\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)=\alpha$ , то будем говорить, что формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ принимает значение а, если ее переменные $X_1,X_2,\ldots,X_n$ принимают значения $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ соответственно, и писать $X_1=\alpha_1,X_2=\alpha_2,\ldots,X_n=\alpha_n$ и $F(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)=\alpha$ , где $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\in\{0;1\}$ . Для нахождения значения $F(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ нужно подставить в формулу $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ вместо пропозициональных переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ значения $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ соответственно и в полученном выражении последовательно проделать все действия с нулями и единицами, предписываемые правилами таблиц из определений 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, 1.9. В результате получим 0 или 1. Полученное значение будем обозначать $F(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ и называть значением данной формулы $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ на данном наборе нулей и единиц $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ . Например, вычислим значение формулы

$F(X_1,X_2,X_3)\equiv (X_1\to\lnot X_2)\land\bigl(X_2\leftrightarrow (X_1\lor\lnot X_3)\bigr)$ на наборе $0,\,1,\,1:$

$\begin{aligned}F(0,1,1)&= (0\to\lnot1)\land \bigl(1\leftrightarrow(0\lor\lnot 1)\bigr)=\\ &=(0\to0)\land \bigl(1\leftrightarrow(0\lor0)\bigr)=\\ &=1\land(1\leftrightarrow0)= 1\land0=0.\end{aligned}$

Теорема 2.2. Логическое значение составного высказывания $F(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ равно значению формулы $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ на наборе $\lambda(A_1),\lambda(A_2),\ldots,\lambda(A_n)$ логических значений составляющих высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , т.е.

$\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)= F\bigl(\lambda(A_1), \lambda(A_2), \ldots, \lambda(A_n)\bigr).$

Доказательство. Докажем утверждение методом полной математической индукции по числу символов логических операций, входящих в формулу $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ .

Если формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ содержит 0 символов логических операций, то она представляет собой просто пропозициональную переменную, скажем, $X_1$ , т.е. $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)\equiv X_1$ (знак $\equiv$ обозначает абсолютную тождественность двух формул, графическую одинаковость левой и правой частей). Тогда доказываемое соотношение сводится к тривиальному равенству: $\lambda(A_1)=\lambda(A_1)$ .

Если формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ содержит лишь один символ логической операции, то она является одной из следующих формул:

$\lnot X_1,\quad X_1\land X_2,\quad X_1\lor X_2,\quad X_1\to X_2,\quad X_1\leftrightarrow X_2.$

В этих случаях доказываемое равенство есть одно из равенств (1.1)–(1.5).

Предположим теперь, что утверждающееся в теореме равенство верно для всех формул алгебры высказываний, содержащих не более к символов логических операций. Докажем, что оно верно для формулы $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ , содержащей $k+1$ символов логических операций. На основании определения 2.1 формула $F$ имеет один из следующих видов:

$\lnot F_1,\quad F_1\land F_2,\quad F_1\lor F_2,\quad F_1\to F_2,\quad F_1\leftrightarrow F_2.$

где $F_1$ и $F_2$ — некоторые формулы, каждая из которых содержит уже не более к символов логических операций. Нужно провести доказательство для всех пяти случаев. Но в силу принципиальной идентичности этих доказательств проделаем его, например, для случая $F\equiv F_1\land F_2$ . Вычисляем:

$\begin{aligned}\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)&= \lambda\bigl(F_1(A_1,A_2,\ldots,A_n)\land F_2(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)=\\ &=\lambda\bigl(F_1(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)\land \lambda \bigl(F_2(A_1, A_2,\ldots,A_n)\bigr)=\\ &= F_1\bigl(\lambda(A_1), \lambda(A_2), \ldots, \lambda(A_n))\bigr)\land F_2\bigl(\lambda(A_1), \lambda(A_2), \ldots, \lambda(A_n))\bigr)=\\ &=F_1\bigl(\lambda(A_1), \lambda(A_2), \ldots, \lambda(A_n)\bigr).\end{aligned}$

В проделанных вычислениях второе равенство основано на определении 1.3 логической операции конъюнкции. Третье равенство основано на предположении индукции о том, что для формул $F_1$ и $F_2$ соотношение теоремы выполняется. Наконец четвертое равенство записано на основании того, что $F\equiv F_1\land F_2$ .

Аналогичным образом соотношение теоремы доказывается и во всех остальных случаях конструирования формулы $F$ из формул $F_1$ и $F_2$ .

Следовательно, утверждение теоремы верно для любой формулы $F$ алгебры высказываний.

Итак, здесь необходимо понять, что логическое значение составного высказывания по существу является значением некоторого (логического) выражения при некотором наборе конкретных значений всех входящих в него (пропозициональных) переменных. При этом пропозициональные переменные могут принимать значения 0 или 1, само выражение принимает значение 0 или 1, и вычисляется это значение (в силу теоремы 2.2) посредством применения к значениям 0 и 1 предписываемых данным выражением логических действий. Логические действия над величинами 0 и 1 выполняются по правилам, определяемым таблицами истинности этих действий (операций) — отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности. Таким образом, мы фактически начинаем иметь дело с некой новой (логической) алгеброй, или алгеброй логики, которая как бы "параллельна" привычной школьной алгебре. Сравним компоненты этих двух алгебр с помощью следующей таблицы:

Аналогия со школьной алгеброй будет продолжена при рассмотрении равносильных преобразований в алгебре логики.

Составление таблиц истинности для формул

На основании теоремы 2.2 можно для данной формулы $F$ алгебры высказываний найти логические значения всех тех высказываний, в которые формула превращается при подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных различных конкретных высказываний. При этом говорят о логическом значении самой формулы и о логических значениях ее пропозициональных переменных. При нахождении логических значений формулы, соответствующих всевозможным наборам значений ее пропозициональных переменных, удобной формой записи является табличная форма. Рассмотрим примеры.

Пример 2.3. Составим таблицу истинности для формулы $(X\to Y)\lor(Y\to X)$ . В первых двух столбцах таблицы выпишем всевозможные пары логических значений, которые могут принимать пропозициональные переменные $X$ и $Y$ (точнее, те высказывания, которые могут быть подставлены в формулу вместо пропозициональных переменных $X$ и $Y$ ). В последующих столбцах выписываем логические значения формул $X\to Y,~ Y\to X$ и $(X\to Y)\lor(Y\to X)$ , образующих так называемую порождающую последовательность для данной формулы. Руководствуемся при этом определениями логических операций импликации и дизъюнкции. В результате получаем таблицу:

$\begin{array}{|c|c||c|c||c|}\hline \lambda(X)& \lambda(Y)& \lambda(X\to Y)& \lambda(Y\to X)& \lambda\bigl((X\to Y)\lor(Y\to X)\bigr)\\\hline 0&0&1&1&1\\\hline 0&1&1&0&1\\\hline 1&0&0&1&1\\\hline 1&1&1&1&1\\\hline \end{array}$

Первые два столбца и последний столбец составленной таблицы задают соответствия между логическими значениями исходных высказываний и логическим значением составного высказывания, получаемого по данной формуле. Эти три столбца и образуют таблицу истинности данной формулы. Остальные два столбца (для логических значений $\lambda(X\to Y)$ и $\lambda(Y\to X)$ носят вспомогательный, промежуточный характер.

Пример 2.4. Составим таблицу истинности для формулы $F(P,Q,R)\equiv (P\land Q)\to(P\leftrightarrow\lnot R)$ . Она содержит три пропозициональные переменные, для которых имеются точно восемь различных наборов значений истинности. Таблица истинности для рассматриваемой формулы вместе с промежуточными столбцами выглядит следующим образом:

$\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|}\hline \lambda(P)& \lambda(Q)& \lambda(R)& \lambda(P\land Q)& \lambda(\lnot R)& \lambda(P\leftrightarrow\lnot R)& \lambda(F) \\\hline 0&0&0&0&1&0&1\\\hline 0&0&1&0&0&1&1\\\hline 0&1&0&0&1&0&1\\\hline 0&1&1&0&0&1&1\\\hline 1&0&0&0&1&1&1\\\hline 1&0&1&0&0&0&1\\\hline 1&1&0&1&1&1&1\\\hline \end{array}$

Таблицу истинности формулы можно составлять в сокращенном виде.

Пример 2.5. Составим, например, такую таблицу для формулы: $(X\land\lnot Y)\leftrightarrow(\lnot X\lor Y)$ (внешние скобки у формулы, согласно договоренности, опущены). В первой строке таблицы выпишем данную формулу. Под переменными $X$ и $Y$ выписываем всевозможные наборы их логических значений. Далее столбец под первым знаком $\lnot$ заполним логическими значениями формулы $\lnot Y$ , исходя из соответствующих значений переменной $Y$ , а столбец под знаком $\land$ — логическими значениями формулы $X\land\lnot Y$ , исходя из соответствующих логических значений формул $X$ и $\lnot Y$ . Затем заполняем столбец под вторым знаком $\lnot$ значениями формулы $\lnot X$ и столбец под знаком $\lor$ — значениями формулы $\lnot X\lor Y$ . Наконец заполняем столбец под знаком $\leftrightarrow$ логическими значениями данной формулы. В итоге получаем

$\begin{array}{|ccc|c|ccc|}\hline (X& \land& \lnot Y)& \leftrightarrow& (\lnot X& \lor& Y)\\\hline 0&0&1&\boldsymbol{0}&1&1&0\\ 0&0&0&\boldsymbol{0}&1&1&1\\ 1&1&1&\boldsymbol{0}&0&0&0\\ 1&0&0&\boldsymbol{0}&0&1&1\\\hline \end{array}$

Выделенные жирным шрифтом табулированные значения представляют собой столбец логических значений данной формулы.

Практика составления довольно большого числа таблиц истинности есть наилучший способ прочно запомнить определения логических связок (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности) и довести до автоматизма выдачу значений любой из этих операций. Это знание необходимо для решения более содержательных задач алгебры высказываний.

Классификация формул алгебры высказываний

Формулы алгебры высказываний подразделяются на следующие типы: выполнимые, тавтологии, опровержимые и тождественно ложные.

Формула алгебры высказываний $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ называется выполнимой, если некоторая ее конкретизация является истинным высказыванием, т.е. существуют такие конкретные высказывания $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , которые, будучи подставленными в эту формулу вместо переменных $X_1,X_2,\ldots,X_n$ соответственно, превращают ее в истинное высказывание. Таким образом, $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ выполнима, если существуют такие конкретные высказывания $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , что $\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)=1$ . Выполнимой формулой является, в частности, формула, рассмотренная в примере 2.4. Она превращается в истинное высказывание, если, например, вместо пропозициональных переменных $P,Q,R$ подставить ложные высказывания. Выполнима также формула $(X\land Y)\to Z$ , конкретизация которой рассмотрена в начале этой лекции.

Формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ называется тавтологией, или тождественно истинной, если она превращается в истинное высказывание при всякой подстановке вместо переменных конкретных высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ , т.е. если $\lambda\bigl(F(A_1,A_2,\ldots,A_n)\bigr)=1$ для любых высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ . Формула из примера 2.3 является тавтологией. Для обозначения тавтологии используется знак $\vDash$ , который ставится перед формулой, являющейся тавтологией. Таким образом, запись $\vDash F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ означает, что формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ является тавтологией. В частности, для указанного примера можем записать $\vDash (X\to Y)\lor(Y\to X)$ .

Формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ называется опровержимой, если существуют такие конкретные высказывания $A_1,A_2, \ldots,A_n$ , которые превращают данную формулу в ложное высказывание $F(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ , т.е. $\lambda(A_1,A_2,\ldots,A_n)=0$ . Другими словами, опровержимые формулы — это формулы, не являющиеся тавтологиями. Опровержимой является формула, рассмотренная в примере 2.4. Она обращается в ложное высказывание лишь тогда, когда вместо всех переменных $P,Q,R$ подставлены истинные высказывания. Формула $(X\land Y)\to Z$ также опровержима.

Наконец, формула $F(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ называется тождественно ложной, или противоречием, если $\lambda\bigl(A_1,A_2,\ldots,A_n\bigr)=0$ для любых конкретных высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_n$ . Другими словами, тождественно ложные формулы — это такие формулы, которые не являются выполнимыми.

При решении задач на классификацию формул полезно отказаться от механического составления таблиц истинности и научиться решать их методом анализа структуры формулы и нахождения тех отдельных наборов значений переменных, в случае которых формула принимает определяющее значение.

Мышление и математическая логика

В заключение следует отметить, что мы приступили к фундаментальному процессу исследования математическими методами такой сферы, как область человеческого мышления. Начало процессу математизации логики положено математизацией языка. Фактически построена своеобразная знаковая система (символический язык логики высказываний), с помощью которой можно попытаться отразить человеческую мысль и проследить оформление мыслительного процесса. Этот язык основывается на алфавите, состоящем из следующих символов:

1) пропозициональных букв: $P,Q,R,\ldots$ ;
2) символов логических операций: $\lnot,~ \land,~ \lor,~ \to,~ \leftrightarrow$ ;
3) технических знаков: $(,)$ .

Словами построенного языка являются формулы логики высказываний. Предложения обычного (русского) языка могут быть "переведены" на символический язык логики высказываний, где они представляются формулами логики высказываний. Следует иметь в виду, что при таком переводе сохраняются логическое содержание, логическая структура предложения, но, конечно же, теряются его языковая красота и психологические оттенки. Формула представляет собой формальную последовательность знаков, составленную по строгим правилам, нарушение которых недопустимо. Такой перевод высказывания естественного языка на символический язык называется его формализацией. В частности, перевод высказывания на символический язык логики высказываний есть его формализация в рамках символической логики высказываний. Получаемая формула показывает способ соединения простых высказываний в составное при помощи логических союзов. Она представляет как бы в "чистом виде" логическую структуру составного высказывания.

Формула логики высказываний сама по себе не имеет никакого содержания. В частности, она не является ни истинной, ни ложной. Она превращается в высказывание, истинное или ложное, при всякой подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных любых конкретных высказываний. Такой процесс подстановки называется интерпретацией данной формулы алгебры высказываний.

Таким образом, имеются два взаимно-обратных процесса (две процедуры): формализация и интерпретация. Если имеется формула $F$ и высказывание $A$ есть результат ее интерпретации, то сама формула $F$ будет формализацией высказывания $A$ . Обратно, если имеется высказывание $A$ и формула $F$ есть его формализация, то высказывание $A$ будет одной из интерпретаций формулы $F$ . Итак, формализация — это переход от высказывания естественного языка к формуле логики высказываний, а интерпретация — переход от формулы логики высказываний к высказыванию естественного языка. Таблица истинности или таблица значений формулы логики высказываний — это таблица, которая указывает логическое значение формулы при любой ее интерпретации.

Осознание этих понятий исключительно важно на данном этапе, поскольку они являются ключевыми для изучения в дальнейшем более глубоких разделов математической логики. На данном этапе делается первый шаг на пути формализации — важнейшего метода математической логики.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]