Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Формальные аксиоматические теории

Формальные аксиоматические теории


Обоснование формализации


Вспоминая рассмотренные ранее аксиоматические теории (натуральных чисел, геометрии, множеств) и еще раз анализируя их, мы должны отметить, что при всей их строгости они все же не являются вполне абстрактными, или, как говорят, формальными. Все они абстрактны в том смысле, что предметами их изучения могут быть объекты абсолютно произвольной природы (числа, точки, прямые, множества и т.д.). И это несомненно значительный шаг на пути формализации математической теории. Но возможен и следующий шаг на пути абстрагирования от привычного нам неформального (или, как говорят, содержательного) понимания компонентов математической теории. Имея дело с формальными (произвольной природы) объектами, мы применяли к ним не формальную, а содержательную логику, рассуждали не формальным, а неким общечеловеческим образом, считая всем известным и понятным смысл слов: "из утверждения [math]A[/math] следует утверждение [math]B[/math]" или "утверждение [math]A[/math] противоречит (несовместимо, исключает) утверждению [math]B[/math]". Так вот, следующий шаг на пути формализации математических теорий состоит в формализации мыслительных процессов, процессов построения умозаключений при построении математической теории, т.е. в слиянии математической теории и математической логики.


Этот шаг впервые был сделан в работах Д. Гильберта и его школы, когда был разработан так называемый метод формализма в основаниях математики. В рамках этого направления была достигнута следующая стадия уточнения понятия аксиоматической теории, а именно выработано понятие формальной аксиоматической теории или формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представлять сами математические теории как точные математические объекты и строить общую теорию, или метатеорию, таких теорий.


Программа формализации была выдвинута Д. Гильбертом с целью доказательства непротиворечивости математики точными математическими методами. Она предусматривала уточнение понятия доказательства, чтобы эти доказательства могли стать объектами точной математической теории — теории доказательств. Чтобы сделать такое возможным, доказательствам придается единая, точная и вполне определенная форма в рамках формальной аксиоматической теории, или формальной системы. Процесс формализации доказательства состоит в том, что утверждения теории заменяются конечными последовательностями определенных знаков, а логические способы заключения — формальными правилами образования новых формально представленных высказываний из уже доказанных.


Будут рассмотрены вопросы, связанные с формальными аксиоматическими теориями, или формальными системами. Этот раздел будет центральным для понимания роли математической логики в математических теориях. Фундаментальная теорема Гёделя о существовании модели у всякого синтаксически непротиворечивого множества формул узкого исчисления предикатов, доказываемая во втором параграфе, устанавливает исключительно важную взаимосвязь между свойствами формальной выводимости и содержательной истинности: непротиворечивый формальный вывод не может противоречить содержанию неформальной теории. Следствия из этой теоремы (теоремы полноты, компактности, Лёвенгейма–Сколема) углубляют понимание взаимосвязей между формальным и содержательным. С разной степенью подробности рассматриваются подходы к формализации тех математических теорий, которые лежат в основаниях школьного курса математики — теории равенств, теории множеств, числовых систем, математического анализа, геометрии.


Многие математики, а также представители других наук высказывают серьезные сомнения в том, стоит ли формализовать (даже если это в принципе и возможно) математические (и иные) теории, считая, что плоды формализации не оправдывают усилий, ценой которых она достигается. С помощью материала настоящей главы хотелось бы показать такие подходы к математическим теориям, истоки которых находятся в школьном курсе математики, которые осуществляет современная математическая наука с помощью математической логики. В настоящее время только формализованный подход к математическим теориям позволяет так формулировать многие важные проблемы о них, что попытки решения этих проблем можно рассматривать всерьез.




О формальных аксиоматических теориях


Аксиоматический метод, рассмотренный ранее, является как бы формой организации математической науки, способом исследования тех или иных математических объектов. Неформальные аксиоматические теории наполнены теоретико-множественным содержанием, понятие выводимости в них довольно расплывчато и в значительной мере опирается на здравый смысл. Дальнейший шаг на пути изучения аксиоматических теорий состоит в отходе этих теорий от содержательности, в строгой формализации понятия правила вывода и в превращении самих теорий в объекты математического исследования.


В рассматриваемом материале приводится описание самого понятия формальной системы, а также рассматриваются тесно с ним связанные понятия, такие, как теоремы и метатеоремы формальной теории, интерпретации и модели формальной теории, семантическая выводимость.


Об истории идеи формальной аксиоматической теории. Нет сомнения в том, что истоки понятия формальной аксиоматической теории восходят к грандиозной мечте величайшего математика XVII — начала XVIII вв. Готфрида Вильгельма Лейбница "идеи заменить вычислениями". Лейбниц жил во времена, когда обычные для нас обозначения современной математики еще только предлагались в трудах математиков того времени. Свой вклад в этот процесс внес и Лейбниц, изобретя значки для дифференциалов, интеграла и т.п. Лейбниц глубоко осознавал, что беспримерный взлет новой математики существенно основывался на освобождении от размышлений о содержательном значении математических знаков и на возможности производить вычисления с этими содержательными значениями в самом подлинном смысле этого слова. Время Лейбница было эпохой, когда аксиоматическая геометрия древних греков, идущая от Аристотеля и Евклида, переживала новый расцвет. Ее методологическая схема


аксиома — доказательство — теорема — определение — доказательство — теорема —…

выходила за рамки геометрии и математики и оказывала влияние на новые области философии и естествознания.


Лейбницу принадлежит мысль так сформулировать правила математического доказательства, чтобы при их применении уже не потребовались рассуждения о содержательном смысле математических выражений. Нужно создать calculus ratiocinator, т. е. исчисление, в котором естественные, содержательные доказательства были бы заменены формальными вычислениями и тем самым стали бы предметом математики. Такое исчисление, разумеется, предполагает символику, в которой были бы представлены аксиомы, теоремы и определения математики. Такая символика и была целью лейбницевского языка формул, знаменитой characteristica universalis. Но, увы, даже для такого гения, как Лейбниц, еще не время было создавать современную математическую логику и современные аксиоматические теории. Формальный язык, в котором все вопросы можно было бы решать вычислением, согласно лейбницевскому лозунгу calculemus, остался мечтой.


Важнейший шаг в направлении, указанном Лейбницем, был сделан в XX в. Гильбертом, который, работая над аксиоматическим построением евклидовой геометрии, развил следующую идею формализации математики. Предложения математики, равно как и законы логики, записываются при помощи особой символики в виде формул, без всякого участия словесных выражений. Процессы логического мышления заменяются манипуляциями с такого рода формулами по строго очерченным правилам, причем из уже построенных формул разрешается чисто механически, по точно указанным рецептам, составлять новые формулы, и это заменяет сознательные умозаключения, выводящие из одного предложения другое.


Таким образом, и математическое, и логическое содержание исследуемого отдела математики предстает пред нами в виде цепи формул. Эта цепь начинается с формул, изображающих математические и логические аксиомы, и может быть неограниченно продолжаема путем механического составления новых формул. При этом нет необходимости помнить, какое математическое содержание записано под видом той или иной формулы; нас интересует лишь формула сама по себе как вполне конкретная и обозримая конечная комбинация знаков. Тогда, в частности, проблема непротиворечивости будет состоять в том, чтобы доказать, что в этой цепи формул не может появиться формула, изображающая противоречие.


Появились работы Дедекинда и Кантора, которые сводили всю математику к теории множеств, работы Буля, Пеано, Пирса, Шредера, которые вводили начало математической символики для законов мышления, работа Фреге, пытавшегося свести всю математику к логике. Эти работы внушили безграничную веру в мощь формализации. Высокой степени точности формализация математического языка в рамках современных логических исчислений достигла в работах первоклассных математиков XX в. Рассела, Уайтхеда, Гильберта, Барнайса, Гёделя, Чёрча, А. А. Маркова, А. И. Мальцева и др. Поэтому сегодня уже можно говорить о математическом языке как о части математики, о языке как об одном из предметов, исследуемых математикой, и спорить о реализуемости мечты Лейбница.


Мощное развитие логики и логического языка привело к созданию новой области математики — оснований математики, предметом изучения которой стало строение математических утверждений и математических теорий и которая поставила своей целью ответить на вопросы типа: "Как должна быть построена теория, чтобы в ней не возникло противоречий?", "Какими качествами должны обладать методы доказательства, чтобы считаться достаточно строгими? " и т.д. Одной из фундаментальных идей, на которые опираются исследования по основаниям математики, является идея формализации математических теорий, т.е. последовательного проведения аксиоматического метода построения теорий.




Понятие формальной аксиоматической теории


Формализация аксиоматической теории состоит в том, что аксиомы рассматриваются как формальные последовательности символов (выражения) некоторого алфавита, а методы доказательств — как методы получения одних выражений из других с помощью операций над символами. При этом не допускается пользоваться какими-либо предположениями об объектах теории, кроме тех, которые сформулированы явно в аксиомах. Такой подход гарантирует четкость исходных утверждений и однозначность выводов. Но может создаться впечатление, что осмысленность и истинность в формализованной теории не играют никакой роли. Внешне это так. Тем не менее в действительности и аксиомы, и правила вывода стремятся выбирать таким образом, чтобы построенной с их помощью формальной теории можно было придать содержательный смысл.


Определение 28.1. Формальная аксиоматическая теория Г считается определенной, если выполнены следующие условия:


1) задан алфавит теории [math]T[/math], представляющий собой некоторое счетное множество символов. Конечные последовательности символов алфавита теории [math]T[/math] называются словами или выражениями теории [math]T[/math];


2) имеется подмножество выражений теории [math]T[/math], называемых формулами теории [math]T[/math] (обычно имеется эффективная процедура, позволяющая по данному выражению определить, является ли оно формулой);


3) выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами теории [math]T[/math] (обычно имеется эффективная процедура, позволяющая по данной формуле определить, является ли она аксиомой);


4) имеется конечное множество [math]R_1,\ldots,R_n[/math] отношений между формулами, называемых правилами вывода. При этом для каждого [math]R_i~(1 \leqslant I \leqslant n)[/math] существует целое положительное [math]j[/math], такое, что для каждого множества, состоящего из [math]j[/math] формул, и для каждой формулы [math]F[/math] эффективно решается вопрос о том, находятся ли данные [math]j[/math] формул в отношении [math]R_i[/math] с формулой [math]F[/math], и если да, то [math]F[/math] называется непосредственным следствием данных [math]j[/math] формул по правилу [math]R_i[/math].


Построенное ранее формализованное исчисление высказываний может служить примером формальной аксиоматической теории. Алфавит состоит из символов: [math]X_1,X_2,\ldots,X_n,\ldots,\lnot,\to,(\,,)[/math]. Определено понятие формулы (см. определение 2.1). Из множества всех формул выделено множество всех аксиом (они определяются схемами аксиом [math]\mathsf{(A1)-(A3)}[/math]). Наконец, единственным отношением [math]R[/math], называемым правилом вывода, является тернарное отношение, в которое входят такие тройки формул [math]F,G,H[/math], что средняя формула [math]G[/math] имеет вид [math]F\to H[/math]. Таким образом, формула [math]H[/math] называется непосредственным следствием формул [math]F[/math] и [math]F\to H[/math]. Это правило вывода было названо правилом заключения, или modus ponens (МР).




Определение 28.2. Выводом в формальной аксиоматической теории [math]T[/math] называется веякая последовательность [math]B_1,\ldots,B_n[/math] формул этой теории, такая, что для любого [math]i~(1 \leqslant i \leqslant n)[/math] формула [math]B_i[/math] есть либо аксиома теории [math]T[/math], либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула [math]F[/math] теории [math]T[/math] называется теоремой этой теории, если существует вывод в [math]T[/math], последней формулой которого является F; такой вывод называется выводом (или доказательством) формулы [math]F[/math].


В примере 15.2 был приведен вывод формулы [math]F\to F[/math] в формализованном исчислении высказываний, т.е. доказательство того, что эта формула есть теорема данной формальной теории.


Далее, аналогично соответствующему понятию в формализованном исчислении высказываний (см. определение 15.1) определяется понятие вывода формулы [math]F_m[/math] из множества формул [math]\Gamma[/math] в формальной аксиоматической теории [math]T[/math] и устанавливаются простейшие свойства этого понятия (см. теорему 15.3).


Вторым примером формальной аксиоматической теории может служить формализованное исчисление предикатов.


Итак, формальная аксиоматическая теория отличается от неформальной (содержательной), во-первых, тем, что она имеет дело с выражениями, составленными из символов некоторого алфавита, лишенных какого бы то ни было содержательного смысла, а во-вторых, расплывчатое понятие логического умозаключения, на основании которого мы выводили из одних содержательных утверждений другие, теперь заменено четким понятием отношения между выражениями из символов. Таким образом, развитие формальной аксиоматической теории есть процесс оперирования с формальными символами на основе четких формальных правил. Раз так, то такой процесс может быть поручен электронно-вычислительной машине, что сделано в отношении, например, формализованного исчисления высказываний и некоторых других формальных аксиоматических теорий.




Язык и метаязык, теоремы и метатеоремы формальной теории


Описание формальных аксиоматических теорий ведется на некотором общепонятном языке, например на русском. Такой язык по отношению к языку формальной теории называется метаязыком. Он используется для формулировок утверждений о формальной теории. Язык же формальной теории (символы алфавита, слова) используется для формулировок высказываний внутри самой формальной теории и называется предметным языком (или языком-объектом). Используя метаязык, можем изучать формальную аксиоматическую теорию как бы извне, можем формулировать и доказывать те или иные свойства формальной теории — свойства ее теорем, доказательств, ее самой. Причем при доказательстве этих свойств должны использоваться общепонятные и бесспорные средства обычной логики. В результате получаем набор теорем о формальной теории, устанавливающих те или иные ее свойства. Такие теоремы называются метатеоремами. Различие между теоремами и метатеоремами в рассмотренных формальных теориях не всегда проводилось явно, но его непременно нужно иметь в виду. Например, если удалось построить вывод формулы [math]G[/math] из формул [math]F_1,\ldots,F_m[/math], то высказывание "[math]F_1,\ldots,F_m\vdash G[/math]" является метатеоремой. В частности, теорема о дедукции, производные правила вывода в ФИВ и ФИП, а также теоремы о непротиворечивости, полноте (или неполноте), разрешимости тех или иных формальных теорий являются метатеоремами по отношению к этим теориям. В частности, утверждение "Теория групп непротиворечива" есть утверждение на метаязыке о формальной теории групп, т.е. является метатеоремой. Напротив, утверждение


[math](\forall x)(\forall y)(\forall z)(x\ast y=x\ast z\to y=z)[/math]

есть высказывание самой теории групп, записанное на предметном языке, т.е. теорема.




Интерпретации и модели формальной теории


Обычно теории (и не только формальные) создаются для того, чтобы описать те или иные явления окружающего мира. Поэтому ценность всякой теории в конечном счете определяется тем, насколько хорошо справляется теория с этой задачей, т. е. насколько предоставляемое ею описание адекватно описываемому явлению, участвующим в нем объектам и связям между ними. Теория (и в особенности математическая теория), созданная для описания одних объектов, нередко оказывается применимой и для описания других. Поэтому один из первых для любой теории вопросов — это вопрос о том, для описания каких объектов пригодна данная теория.


Применительно к формальным аксиоматическим теориям проблема адекватности такой формальной аксиоматической теории первого порядка сигнатуры о и описываемых ею объектов представляет собой чисто математическую задачу о соответствии между множеством теорем этой теории, построенном как формальное исчисление, и содержательно построенной теорией, рассматриваемой как множество объектов с операциями и отношениями на нем (т. е. как алгебраическая система), или моделью формальной аксиоматической теории.


Придадим точный математический смысл интуитивно осознаваемым понятиям интерпретации и модели формальной теории. Пусть задана сигнатура


[math]\sigma=\bigl\{c_0,c_1,\ldots,\, f_0^{n_0},f_1^{n_1},\ldots,\, P_0^{m_0}, P_1^{m_1}, \ldots\bigr\}[/math]

т.е. [math]c_0,c_1,\ldots[/math] — символы предметных или индивидных констант (символы выделенных элементов), [math]f_0^{n_0},f_1^{n_1},\ldots[/math] — функциональные буквы, [math]P_0^{m_0}, P_1^{m_1}, \ldots[/math] — предикатные буквы. При этом верхние индексы предикатных и функциональных букв указывают число аргументов предиката или функции соответственно, которые могут быть подставлены вместо этих букв. Дадим интерпретацию каждому символу этой сигнатуры. Для этого выберем некоторое множество [math]M[/math] и однозначно сопоставим каждой m-местной предикатной букве [math]P_i[/math] m-арное отношение [math]P_i^M[/math] на [math]M[/math] (т. е. интерпретируем букву [math]P_i[/math] как конкретное отношение [math]P_i^M[/math] на конкретном множестве), каждой n-местной функциональной букве [math]f_j[/math] сопоставим n-арную операцию (n-местную функцию) [math]f_j^M[/math] на [math]M[/math], каждой предметной константе [math]c_k[/math] — элемент [math]c_k^M[/math] из [math]M[/math]. Постоянные термы (не содержащие предметных переменных) при таком определении также отобразятся на элементы из М. Таким образом, мы приходим к алгебраической системе


[math]\mathbf{M}=\bigl\langle M;~ c_0^M,c_1^M,\ldots,\, f_0^{M},f_1^{M},\ldots,\, P_0^{M}, P_1^{M}\bigr\rangle,[/math]

которая и представляет собой интерпретацию формальной теории данной сигнатуры [math]\sigma[/math].


Всякая замкнутая (т.е. не содержащая свободных предметных переменных) формула формальной теории (узкого исчисления предикатов) сигнатуры [math]\sigma[/math] при этой интерпретации превращается в высказывание об элементах из [math]M[/math], отношениях и функциях на [math]M[/math], которое может быть истинным или ложным. Открытая формула превращается в некоторое отношение (предикат) на [math]M[/math]. Открытая формула [math]F[/math] называется выполнимой в данной интерпретации [math]\mathbf{M}[/math], если существует такая подстановка а предметных констант, при которой она превращается в истинное высказывание. Запись: [math]\mathbf{M}\vDash_{\sigma}F[/math]. Открытая формула [math]F[/math] называется истинной в данной интерпретации [math]\mathbf{M}[/math]; или говорят, что [math]F[/math] выполняется в [math]\mathbf{M}[/math], если она превращается в истинное высказывание при любой подстановке констант. Этот факт записывают так: [math]\mathbf{M}\vDash F[/math] и говорят, что интерпретация (алгебраическая система) [math]\mathbf{M}[/math] является моделью формулы [math]F[/math]. Формула, истинная во всех интерпретациях, называется общезначимой, или тавтологией. Запись: [math]\vDash F[/math]. Интерпретация (алгебраическая система) [math]\mathbf{M}[/math] называется моделью (для) множества формул [math]\Phi[/math], если любая формула из [math]\Phi[/math] истинна в данной интерпретации. Запись: [math]\mathbf{M}\vDash\Phi[/math]. Интерпретация [math]M[/math] называется моделью теории [math]T[/math], если она является моделью множества всех теорем теории [math]T[/math], т. е. если всякая формула, доказуемая (выводимая) в [math]T[/math], истинна в данной интерпретации. Для множества [math]\Phi[/math] формул обозначим через [math]\mathbf{M}(\Phi)[/math] совокупность (класс) всех моделей этого множества формул.


Существо формального подхода состоит в том, что в символы теории (даже самые привычные) не вкладывается никакого смысла, пока не введена интерпретация этих символов. В то же время никакая интерпретация не относится к числу средств самого исчисления: она позволяет осмыслить формулы исчисления, но не участвует в формальном выводе теорем. О формальных свойствах самого исчисления, его формул и их формальных преобразований принято говорить как о синтаксисе исчисления; свойства исчисления, выражаемые в терминах его интерпретаций, — это семантика исчисления. В частности, если формула [math]F[/math] выводима в формальной теории из множества формул [math]\Phi\colon\Phi\vdash F[/math], то говорят, что [math]F[/math] синтаксически выводима из [math]\Phi[/math]. Имеется также понятие и семантической выводимости [math]F[/math] из [math]\Phi[/math], связанное с интерпретациями.




Семантическая выводимость


Вообще под семантикой в математической логике понимается исследование интерпретаций формальных аксиоматических теорий, изучение смысла и значения конструкций формализованного языка теории, способов понимания его логических связок и формул. Семантика рассматривает возможности точного описания и формального определения таких содержательных понятий, как "истина", "определимость", "обозначение". В несколько более узком смысле под семантикой формализованного языка понимают систему соглашений, определяющих понимание формул языка, задающих условия истинности этих формул. Построение четкой семантики достаточно сложных формализованных языков (например, типа языков аксиоматической теории множеств) является трудной проблемой. Это связано с тем, что процесс абстрагирования в математике является весьма сложным и многоступенчатым. Построение формальных языков и теорий — абстрагирование весьма высокого уровня. В его ходе используются глубокие и неочевидные абстракции, в результате чего объем объектов исследования, способы обращения с этими объектами и способы доказательства утверждений относительно таких объектов становятся весьма неопределенными. Часто семантические понятия для некоторого языка могут быть точно сформулированы в рамках более богатого языка, играющего для первого роль метаязыка. Именно такую ситуацию мы имеем для формул языка первого порядка, определяя для них семантические понятия истинности, выводимости и т.п.: мы привлекаем для этого алгебраические системы, описываемые на языке теории множеств. Этот последний и играет в данном случае роль метаязыка для формальной теории первого порядка.


Будем говорить, что формула [math]F[/math] семантически выводима из множества формул [math]\Phi[/math], и писать [math]\Phi :=F[/math], если в каждой интерпретации, в которой истинны все формулы из [math]\Phi[/math], истинна и формула [math]F[/math], т.е. если каждая модель множества формул [math]\Phi[/math] будет также и моделью формулы [math]F[/math]. Ясно, что понятие семантической выводимости формулы является обобщением понятия общезначимости формулы, и первое превращается во второе при [math]\Phi=\varnothing[/math] (пустое множество). В терминах классов моделей множеств формул [math]\Phi[/math] и [math]\{F\}[/math] семантическая выводимость [math]F[/math] из [math]\Phi[/math] означает, что [math]\mathbf{M}(\Phi)\subseteq\mathbf{\{F\})[/math].




Метаматематика (свойства формальных аксиоматических теорий)


Исследование формальных теорий общепонятными логическими средствами и методами называется метаматематикой. В круг метаматематических вопросов входят вопросы, связанные прежде всего с непротиворечивостью, полнотой, разрешимостью формальных аксиоматических теорий.


Непротиворечивость — важнейшее свойство формальных аксиоматических теорий. Ранее рассматривалась непротиворечивость содержательных аксиоматических теорий и формализованного исчисления высказываний. Сформулированные там определения (16.8 и 27.1) применимы также и для любой формальной аксиоматической теории. Это свойство можно было бы назвать внутренней непротиворечивостью формальной теории. Также ранее отмечалось, что внутренняя непротиворечивость теории следует из наличия у теории (непротиворечивой) модели. Последнее свойство теории (наличие непротиворечивой модели) можно назвать содержательной непротиворечивостью теории. Таким образом, если теория содержательно непротиворечива, то она внутренне непротиворечива. Значительно труднее получить ответ на вопрос о справедливости обратного утверждения: всякая внутренне непротиворечивая формальная теория имеет модель, т. е. содержательно непротиворечива. Это еще одна теорема Гёделя. Доказательство этой сложной и важной теоремы математической логики будет проведено в следующем параграфе, посвященном свойствам формализованного исчисления предикатов.


Еще одним важным метаматематическим понятием является понятие разрешимости формальной аксиоматической теории.


Определение 28.3. Формальная аксиоматическая теория [math]T[/math] называется разрешимой, если имеется эффективная процедура (алгоритм), позволяющая для каждой данной формулы этой теории узнавать, существует ли ее вывод в [math]T[/math], т. е. является ли она теоремой теории [math]T[/math]. Если такого алгоритма не существует, то теория называется неразрешимой.


Другими словами, разрешимая теория — это такая теория, для которой можно изобрести машину, испытывающую формулы на свойство быть теоремой этой теории. Для выполнения той же задачи в неразрешимой теории такой машины построить нельзя, и для каждой конкретной формулы приходится изобретать свои методы определения того, будет ли она теоремой данной теории. Для разрешимости теории вовсе не требуется алгоритм, позволяющий доказывать (находить доказательство) каждую теорему теории. Именно таков характер теоремы 16.11 о разрешимости формализованного исчисления высказываний: на основании ее можно для каждой формулы ответить на вопрос, будет ли она доказуема, но построить доказательство нельзя. Что же касается разрешимости формализованного исчисления предикатов, то ранее отмечалось, что проблема разрешения общезначимости формулы в логике предикатов неразрешима. Этим, в частности, обусловливается и неразрешимость формализованного исчисления предикатов.


Дальнейшее рассмотрение свойств формальных аксиоматических теорий приводит нас к необходимости более подробно изучить свойства формализованного (или узкого) исчисления предикатов, являющегося логическим основанием конкретных формальных математических теорий (или формальных теорий первого порядка, или элементарных теорий). Этому и посвящается следующая лекция. Но прежде чем перейти к нему, обратимся еще раз к формализованному исчислению высказываний и установим еще два его свойства как формальной аксиоматической теории.




Формализованное исчисление высказываний как формальная аксиоматическая теория


Итак, формализованное исчисление высказываний представляет собой пример формальной аксиоматической теории. Более того, ранее была установлена полнота данной теории относительно алгебры высказываний, ее непротиворечивость и разрешимость. Рассмотрим вопросы внутренней полноты исчисления высказываний, т.е. выясним, будет ли эта теория абсолютно полной и полной в узком смысле (см. определения 27.5 и 27.6).


Если бы формализованное исчисление высказываний было абсолютно полным, т. е. для любой формулы [math]F[/math] этой теории сама [math]F[/math] или ее отрицание [math]\lnot F[/math] были теоремами, то, на основании теоремы 16.1, для каждой формулы [math]F[/math] алгебры высказываний либо [math]F[/math], либо [math]\lnot F[/math] была бы тавтологией. Но многочисленные примеры формул [math]F[/math], таких, что ни [math]F[/math], ни [math]\lnot F[/math] не есть тавтологии, опровергают подобное заключение. (Приведите примеры таких формул.) Итак, формализованное исчисление высказываний не является абсолютно полным. Иначе обстоит дело с его полнотой в узком смысле.


Теорема 28.4. Формализованное исчисление высказываний полно в узком смысле.


Доказательство. Пусть [math]F[/math]— некоторая формула формализованного исчисления высказываний, не являющаяся его теоремой. Докажем, что если [math]F[/math] присоединить в качестве схемы (А4) к трем схемам аксиом (А1)–(A3) формализованного исчисления высказываний, то получаемая на основе системы аксиом (А1)–(А4) формальная аксиоматическая теория будет противоречивой. Действительно, поскольку [math]F[/math] — не теорема, то она, на основании теоремы 16.5, не является тавтологией. Поэтому в ее таблице истинности найдется такая строка, в которой стоит значение 0. Фиксируем какую-либо одну такую строку. По схеме [math]F[/math] построим новую формулу следующим образом: все простые формулы, входящие в [math]F[/math] и принимающие в фиксированной строке значение 1, заменим формулой [math]P\lor\lnot P[/math], а все простые формулы, входящие в [math]F[/math] и принимающие в фиксированной строке значение 0, — формулой [math]P\land\lnot P[/math], где [math]P[/math] — пропозициональная переменная. В результате получим некоторую формулу [math]G(P)[/math], зависящую от одной пропозициональной переменной [math]P[/math]. Формула получена на основе схемы аксиом (А4) и потому является аксиомой новой формальной теории. Но в то же время при любых значениях [math]P[/math] формула [math]G(P)[/math] принимает значение 0, т.е. является тождественно ложной. Следовательно, ее отрицание [math]\lnot G(P)[/math] — тождественно истинная формула, а потому, на основании той же теоремы 16.5, есть теорема формализованного исчисления высказываний, т.е. [math]\lnot G(P)[/math] выводима из аксиом (А1)–(A3). Но тогда эта формула выводима и из аксиом (А1)–(А4).


Итак, обе формулы [math]G(P)[/math] и ее отрицание [math]\lnot G(P)[/math] являются теоремами новой формальной аксиоматической теории, построенной на основе системы аксиом (А1)–(А4). Следовательно, данная теория противоречива. Теорема доказана.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved