Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Формализация теории аристотелевых силлогизмов

Формализация теории аристотелевых силлогизмов


Это еще один пример формальной аксиоматической теории. Рассматриваемый здесь способ формализации силлогистики был предложен в 1950-е гг. известным польским логиком Я.Лукасевичем.


Пусть строчные латинские буквы [math]a,b,c,\ldots[/math] обозначают переменные термины силлогистики, две прописные латинские буквы [math]A[/math] и [math]I[/math] — два силлогических бинарных отношения: [math]Aab:[/math] "Всякое [math]a[/math] есть [math]b[/math]", [math]Iab:[/math] "Некоторое [math]a[/math] есть [math]b[/math]".


Понятие формулы или правильно построенного силлогического предложения дается посредством следующего индуктивного определения:


1) [math]Aab[/math] и [math]Iab[/math] — простые (или атомарные) формулы силлогистики;
2) если [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] — формулы силлогистики, то формулами силлогистики будут также
[math](\alpha\land\beta),\quad (\alpha\lor\beta),\quad (\alpha\to\beta),\quad \lnot\alpha\,;[/math]

3) никаких других формул, кроме получающихся по правилам пунктов 1 и 2, нет.

Перейдем теперь к формулировке аксиом. Во-первых, считаем, что имеется некоторое формализованное исчисление высказываний, построенное, например, на базе системы из трех аксиом. Так что эти аксиомы открывают список аксиом формальной силлогистики. В качестве специальных аксиом принимаются такие силлогические предложения:


[math](\mathsf{FS1})\colon\quad Aaa[/math];
[math](\mathsf{FS2})\colon\quad Iaa[/math];
[math](\mathsf{FS3})\colon\quad (Abc\land Aab)\to Aac[/math] (силлогизм Barbara);
[math](\mathsf{FS1})\colon\quad (Abc\land Ibc)\to Iac[/math] (силлогизм Datisi).

С помощью следующих определений введем еще два силлогических бинарных отношения [math]E[/math] и [math]O[/math]: [math]Eab[/math] означает [math]\lnot Iab[/math], [math]Oab[/math] означает [math]\lnot Aab[/math]. Для удобства построения выводов на основе этих определений формулируются правила о возможности замены всюду в формулах [math]\lnot I[/math] на [math]E[/math] и наоборот, а также [math]\lnot A[/math] на [math]O[/math] и наоборот. Таким образом, в нашей формальной системе, которую будем обозначать [math]\mathsf{FS}[/math], оказываются выраженными все четыре основных отношения силлогистики. Напомним, что в аристотелевой силлогистике отношение [math]Eab[/math] означает "Никакое [math]a[/math] не есть [math]b[/math]", а [math]Oab[/math] — "Некоторые [math]a[/math] не есть [math]b[/math]".


В качестве правил вывода в системе формализованной силлогистики [math]\mathsf{FS}[/math] принимаются два правила подстановки и правило заключения modus ponens:


а) подстановка в выводимую формулу исчисления высказываний на место пропозициональной переменной (всюду, где она входит в формулу) одной и той же силлогической формулы дает выводимую формулу системы [math]\mathsf{FS}[/math];


б) подстановка в выводимую формулу системы [math]\mathsf{FS}[/math] на место переменного термина (всюду, где он входит в формулу) другого переменного термина дает выводимую формулу системы [math]\mathsf{FS}[/math];


в) правило modus ponens: если формулы [math]\alpha\to\beta,\,\alpha[/math] выводимы в [math]\mathsf{FS}[/math], то в [math]\mathsf{FS}[/math] выводима и формула [math]\beta[/math].


Обратим внимание на то, что в качестве третьей [math](\mathsf{FS3})[/math] и четвертой [math](\mathsf{FS4})[/math] аксиом выбраны правильные аристотелевы силлогизмы Barbara и Datisi. Остальные семнадцать правильных силлогизмов нам предстоит доказать на основе данной системы аксиом. Приступим теперь к доказательству теорем формальной силлогистики.


[math](\mathsf{FS5})\colon[/math] (Силлогические законы противоречия): а) [math]\lnot(Aab\land Oab)[/math]; б) [math]\lnot(Iab\land Eab)[/math].


Доказательство. Закон а) получается из закона отрицания противоречия исчисления высказываний [math]\lnot(X\land\lnot X)[/math] в результате подстановки [math]X\mid Aab[/math] (вместо [math]X[/math] подставляется силлогическая формула [math]Aab[/math]) и замены по определению [math]\lnot Aab[/math] на [math]Oab[/math]. Подстановкой [math]X\mid Iab[/math] в тот же закон и заменой по определению [math]\lnot Iab[/math] на [math]Eab[/math] доказывается закон б).


[math](\mathsf{FS6})\colon[/math] (Силлогические законы исключенного третьего): a) [math]Aab\lor Oab[/math]; б) [math]Iab\lor Eab[/math].


Доказательство. Для обоих законов их доказательство вытекает из логического закона исключенного третьего [math]X\lor\lnot X[/math] в результате очевидных подстановок и замен.


[math](\mathsf{FS7})\colon[/math] (Закон обращения), [math]Iab\to Iba[/math].


Доказательство. В закон разделения посылок исчисления высказываний [math]\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl(X\to (Y\to Z)\bigr)[/math] делаем подстановку [math]X\mid Abc,\, Y\mid Iba,\, Z\mid Iac[/math] и из полученной формулы и аксиомы [math](\mathsf{FS4})[/math] по правилу modus ponens выводим: [math]Abc\to (Iba\to Iac)[/math]. Подстановка [math]b|a,\, c|a,\, a|b[/math] приводит к формуле [math]Aaa\to (Iab\to Iba)[/math], из которой и из аксиомы [math](\mathsf{FS1})[/math] по правилу modus ponens следует требуемая формула: [math]Iab\to Iba[/math].


[math](\mathsf{FS8})\colon[/math] (Законы подчинения): a) [math]Aab\to Iab[/math]; б) [math]Eab\to Oab[/math].


Доказательство, а) В закон перестановки посылок исчисления высказываний [math](X\to (Y\to Z))\to (Y\to (X\to Z))[/math] делаем подстановку [math]X\mid Abc,~ Y\mid Ibc,~ Z\mid Iac[/math]. Посылка полученной формулы представляет собой следующую формулу: [math]Abc\to(Ibc\to Iac)[/math], выводимую в [math]\mathsf{FS}[/math], что установлено в ходе доказательства предыдущей теоремы. Тогда из этих двух формул по правилу MP выводим формулу: [math]Iba\to(Abc\to Iac)[/math]. Подстановка [math]b\mid a,~c\mid b[/math] в последнюю формулу дает формулу [math]Iaa\to(Aab\to Iab)[/math]. Из нее и аксиомы [math](\mathsf{FS2})[/math] по правилу MP выводим требуемый закон.


б) В закон контрапозиции исчисления высказываний [math](X\to Y)\to (\ne Y\to\ne X)[/math] делаем подстановку [math]X\mid Aab,~ Y\mid Iab[/math] и из полученной формулы и предыдущего закона подчинения [math]Aab\to Iab[/math] по правилу MP выводим: [math]\ne Iab\to\ne Aab[/math]. Применяя правила о замене [math]\ne I[/math] на [math]E[/math] и [math]\ne A[/math] на [math]O[/math], получаем: [math]Eab\to Oab[/math].


В следующей теореме формулируются и доказываются в формальной силлогистике FS все оставшиеся 17 правильных аристотелевых силлогизмов.


Теорема 28.5 (Аристотелевы силлогизмы). Следующие формулы являются теоремами формальной системы [math]\mathsf{FS}[/math]:


Фигура IФигура II
1) [math](Abc\land Iab)\to Iac~(Darii)[/math];

2) [math](Ebc\land Aab)\to Eac~(Celarent)[/math];

3) [math](Ebc\land Iab)\to Oac~(Ferio)[/math];
4) [math](Acb\land Oab)\to Oac~(Baroco)[/math];

5) [math](Acb\land Eab)\to Eac~(Camestres)[/math];

6) [math](Ecb\land Aab)\to Eac~(Cesare)[/math];

7) [math](Ecb\land Iab)\to Oac~(Festino)[/math];
Фигура IIIФигура IV
8) [math](Abc\land Aba)\to Iac~(Darapti)[/math];

9) [math](Ibc\land Aba)\to Iac~(Disamis)[/math];

10) [math](Obc\land Aba)\to Oac~(Bocardo)[/math];

11) [math](Ebc\land Aba)\to Oac~(Felapton)[/math];

12) [math](Ebc\land Iba)\to Oac~(Ferison)[/math];
13) [math](Icb\land Aba)\to Iac~(Dimaris)[/math];

14) [math](Acb\land Aba)\to Iac~(Bramanti p)[/math];

15) [math](Acb\land Eba)\to Eac~(Camenes)[/math];

16) [math](Ecb\land Aba)\to Oac~(Fesapo)[/math];

17) [math](Ecb\land Iba)\to Oac~(Fresison)[/math];

Доказательство. Приведем доказательства некоторых из этих силлогизмов.


1) Используя теорему о дедукции, нетрудно убедиться в том, что следующая формула


[math]\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((V\to Y)\to ((X\land V)\to Z)\bigr)[/math]

является теоремой формализованного исчисления высказываний. Делаем в нее подстановку: [math]X\mid Abc,~ Y\mid Iba,~ Z\mid Iac[/math]. Получаем формулу


[math]\bigl((Abc\land Iba)\to Iac\bigr)\to \bigl((V\to Iba)\to ((Abc\land V)\to Iac)\bigr).[/math]

Вместе с аксиомой [math](\mathsf{FS4})[/math] она по правилу MP дает формулу [math](V\to Iba)\to ((Abc\land V)\to Iac)[/math]. Делаем сюда подстановку [math]V\mid Iab[/math]. Получаем [math](Iab\to Iba)\to \bigl((Abc\land Iab)\to Iac\bigr)[/math]. Из этой формулы и формулы теоремы [math](FS7)[/math] по правилу MP выводим требуемую формулу.


4) Начинаем со следующей теоремы формализованного исчисления высказываний:


[math]\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((X\land\ne Z)\to\ne Y\bigr).[/math]

Подстановка [math]X\mid Abc,~ Y\mid Aab,~ Z\mid Aac[/math] в нее дает


[math]\bigl((Abc\land Aab)\to Aac\bigr)\to \bigl((Abc\land\ne Aac)\to\ne Aab\bigr).[/math]

Из этой формулы и аксиомы [math](\mathsf{FS3})[/math] по правилу MP выводим формулу [math](Abc\land\ne Aac)\to\ne Aab[/math].


Используя правило о замене [math]\ne A[/math] на [math]O[/math], получаем: [math](Abc\land Oac)\to Oab[/math]. Наконец, подстановка [math]b\mid c,~ c\mid b[/math] приводит нас к требуемой формуле.


8) В ходе доказательства формулы 1) была выведена формула [math](V\to Iba)\to \bigl((Abc\land V)\to Iac\bigr)[/math]. Сделаем в нее подстановку [math]V\mid Aba[/math]. Получим:


[math](Aba\to Iba)\to \bigl((Abc\land Aba)\to Iac\bigr).[/math]

Используя теорему [math](\mathsf{FS8}a)[/math] (в которой сделать подстановку [math]a\mid b,~ b\mid a[/math], по правилу MP получаем требуемую формулу.


9) Подстановка [math]a\mid c,~ c\mid a[/math] в аксиому [math](\mathsf{FS4})[/math] дает [math]Aba\land Ibc\to Ica[/math], а подстановка [math]a\mid c,~ b\mid a[/math] в теорему [math](\mathsf{FS}7)[/math] приводит к формуле [math]Ica\to Iac[/math]. Наконец, подстановка [math]X\mid Aba\land Ibc,~ Y\mid Ica,~ Z\mid Iac[/math] в выводимую формулу исчисления высказываний (закон силлогизма) [math](X\to Y)\to \bigl((Y\to Z)\to (X\to Z)\bigr)[/math] дает формулу


[math]\bigl((Aba\land Ibc)\to Iac\bigr)\to \bigl((Ica\to Iac)\to (Aba\land Ibc)\to Iac\bigr).[/math]

Используя полученные выше формулы для двукратного применения правила MP и исходя из последней формулы, получаем: [math](Aba\land Ibc)\to Iac[/math].


Далее, сделав подстановку [math]X\mid Ibc,~ Y\mid Aba[/math] в выводимую формулу [math](X\land Y)\to (Y\land X)[/math], получаем формулу [math](Ibc\land Aba)\to (Aba\land Ibc)[/math]. В использованный выше закон силлогизма сделаем другую подстановку: [math]X\mid Ibc\land Aba,[/math] [math]Y\mid Aba\land Ibc,~ Z\mid Iac[/math]. Получим формулу


[math]\bigl((Ibc\land Aba)\to (Aba\land Ibc)\bigr)\to \bigl(((Aba\land Ibc)\to Iac)\to ((Ibc\land Aba)\to Iac)\bigr).[/math]

Теперь применим дважды правило вывода MP: сначала к этой формуле и предыдущей, а затем к полученному результату и последней формуле предыдущего абзаца. В результате получим требуемую формулу.


13) Сделав в доказанную формулу 1) подстановку [math]c\mid a,~ a\mid c[/math], получаем: [math](Aba\land Icb)\to Ica[/math]. Сделав подстановку [math]X\mid Aba\land Icb,~ Y\mid Ica,~ Z\mid Iac[/math] в закон силлогизма [math](X\to Y)\to \bigl((Y\to Z)\to (X\to Z)\bigr)[/math], получим формулу


[math]\bigl((Aba\land Icb)\to Ica\bigr)\to \bigl((Ica\to Iac)\to ((Aba\land Icb)\to Iac)\bigr).[/math]

Применяя дважды правило MP (учитывая при этом теорему [math](\mathsf{FS}7)[/math]), получаем: [math](Aba\land Icb)\to Iac[/math].


Сделав в закон силлогизма другую подстановку [math]X\mid Icb\land Aba,~ Y\mid Aba\land Icb,~ Z\mid Iac[/math], придем к формуле


[math]\bigl((Icb\land Aba)\to (Aba\land Icb)\bigr)\to \bigl(\bigl((Aba\land Icb)\to Icb\bigr)\to ((Icb\land Aba)\to Iac)\bigr).[/math]

Учитывая выводимость посылки этой формулы (см. второй абзац в доказательстве формулы 9)) и только что установленную выводимость посылки остающейся формулы, после двукратного применения правила MP придем к требуемой формуле.


14) Из [math]Aab\to Iab[/math] (теорема [math](\mathsf{FS8}a)[/math]) с помощью подстановки а|с получаем: [math]Acb\to Icb[/math]. В выводимую формулу исчисления высказываний


[math]\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((V\to X)\to ((V\land Y)\to Z)\bigr)[/math]

делаем подстановку [math]X\mid Icb,~ Y\mid Aba,~ Z\mid Iac,~ V\mid Acb[/math]. В результате получаем формулу


[math]\bigl((Icb\land Aba)\to Iac\bigr)\to \bigl((Acb\to Icb)\to ((Acb\land Aba)\to Iac)\bigr).[/math]

Учитывая формулу 13) и выведенную вначале формулу, после двукратного применения правила MP приходим к требуемой формуле.


Докажите выводимость остальных аристотелевых силлогизмов.


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved