Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Формализация теории аристотелевых силлогизмов

Формализация теории аристотелевых силлогизмов


Это еще один пример формальной аксиоматической теории. Рассматриваемый здесь способ формализации силлогистики был предложен в 1950-е гг. известным польским логиком Я.Лукасевичем.


Пусть строчные латинские буквы a,b,c,\ldots обозначают переменные термины силлогистики, две прописные латинские буквы A и I — два силлогических бинарных отношения: Aab: "Всякое a есть b", Iab: "Некоторое a есть b".


Понятие формулы или правильно построенного силлогического предложения дается посредством следующего индуктивного определения:


1) Aab и Iab — простые (или атомарные) формулы силлогистики;
2) если \alpha и \beta — формулы силлогистики, то формулами силлогистики будут также
(\alpha\land\beta),\quad (\alpha\lor\beta),\quad (\alpha\to\beta),\quad \lnot\alpha\,;

3) никаких других формул, кроме получающихся по правилам пунктов 1 и 2, нет.

Перейдем теперь к формулировке аксиом. Во-первых, считаем, что имеется некоторое формализованное исчисление высказываний, построенное, например, на базе системы из трех аксиом. Так что эти аксиомы открывают список аксиом формальной силлогистики. В качестве специальных аксиом принимаются такие силлогические предложения:


(\mathsf{FS1})\colon\quad Aaa;
(\mathsf{FS2})\colon\quad Iaa;
(\mathsf{FS3})\colon\quad (Abc\land Aab)\to Aac (силлогизм Barbara);
(\mathsf{FS1})\colon\quad (Abc\land Ibc)\to Iac (силлогизм Datisi).

С помощью следующих определений введем еще два силлогических бинарных отношения E и O: Eab означает \lnot Iab, Oab означает \lnot Aab. Для удобства построения выводов на основе этих определений формулируются правила о возможности замены всюду в формулах \lnot I на E и наоборот, а также \lnot A на O и наоборот. Таким образом, в нашей формальной системе, которую будем обозначать \mathsf{FS}, оказываются выраженными все четыре основных отношения силлогистики. Напомним, что в аристотелевой силлогистике отношение Eab означает "Никакое a не есть b", а Oab — "Некоторые a не есть b".


В качестве правил вывода в системе формализованной силлогистики \mathsf{FS} принимаются два правила подстановки и правило заключения modus ponens:


а) подстановка в выводимую формулу исчисления высказываний на место пропозициональной переменной (всюду, где она входит в формулу) одной и той же силлогической формулы дает выводимую формулу системы \mathsf{FS};


б) подстановка в выводимую формулу системы \mathsf{FS} на место переменного термина (всюду, где он входит в формулу) другого переменного термина дает выводимую формулу системы \mathsf{FS};


в) правило modus ponens: если формулы \alpha\to\beta,\,\alpha выводимы в \mathsf{FS}, то в \mathsf{FS} выводима и формула \beta.


Обратим внимание на то, что в качестве третьей (\mathsf{FS3}) и четвертой (\mathsf{FS4}) аксиом выбраны правильные аристотелевы силлогизмы Barbara и Datisi. Остальные семнадцать правильных силлогизмов нам предстоит доказать на основе данной системы аксиом. Приступим теперь к доказательству теорем формальной силлогистики.


(\mathsf{FS5})\colon (Силлогические законы противоречия): а) \lnot(Aab\land Oab); б) \lnot(Iab\land Eab).


Доказательство. Закон а) получается из закона отрицания противоречия исчисления высказываний \lnot(X\land\lnot X) в результате подстановки X\mid Aab (вместо X подставляется силлогическая формула Aab) и замены по определению \lnot Aab на Oab. Подстановкой X\mid Iab в тот же закон и заменой по определению \lnot Iab на Eab доказывается закон б).


(\mathsf{FS6})\colon (Силлогические законы исключенного третьего): a) Aab\lor Oab; б) Iab\lor Eab.


Доказательство. Для обоих законов их доказательство вытекает из логического закона исключенного третьего X\lor\lnot X в результате очевидных подстановок и замен.


(\mathsf{FS7})\colon (Закон обращения), Iab\to Iba.


Доказательство. В закон разделения посылок исчисления высказываний \bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl(X\to (Y\to Z)\bigr) делаем подстановку X\mid Abc,\, Y\mid Iba,\, Z\mid Iac и из полученной формулы и аксиомы (\mathsf{FS4}) по правилу modus ponens выводим: Abc\to (Iba\to Iac). Подстановка b|a,\, c|a,\, a|b приводит к формуле Aaa\to (Iab\to Iba), из которой и из аксиомы (\mathsf{FS1}) по правилу modus ponens следует требуемая формула: Iab\to Iba.


(\mathsf{FS8})\colon (Законы подчинения): a) Aab\to Iab; б) Eab\to Oab.


Доказательство, а) В закон перестановки посылок исчисления высказываний (X\to (Y\to Z))\to (Y\to (X\to Z)) делаем подстановку X\mid Abc,~ Y\mid Ibc,~ Z\mid Iac. Посылка полученной формулы представляет собой следующую формулу: Abc\to(Ibc\to Iac), выводимую в \mathsf{FS}, что установлено в ходе доказательства предыдущей теоремы. Тогда из этих двух формул по правилу MP выводим формулу: Iba\to(Abc\to Iac). Подстановка b\mid a,~c\mid b в последнюю формулу дает формулу Iaa\to(Aab\to Iab). Из нее и аксиомы (\mathsf{FS2}) по правилу MP выводим требуемый закон.


б) В закон контрапозиции исчисления высказываний (X\to Y)\to (\ne Y\to\ne X) делаем подстановку X\mid Aab,~ Y\mid Iab и из полученной формулы и предыдущего закона подчинения Aab\to Iab по правилу MP выводим: \ne Iab\to\ne Aab. Применяя правила о замене \ne I на E и \ne A на O, получаем: Eab\to Oab.


В следующей теореме формулируются и доказываются в формальной силлогистике FS все оставшиеся 17 правильных аристотелевых силлогизмов.


Теорема 28.5 (Аристотелевы силлогизмы). Следующие формулы являются теоремами формальной системы \mathsf{FS}:


Фигура IФигура II
1) (Abc\land Iab)\to Iac~(Darii);

2) (Ebc\land Aab)\to Eac~(Celarent);

3) (Ebc\land Iab)\to Oac~(Ferio);
4) (Acb\land Oab)\to Oac~(Baroco);

5) (Acb\land Eab)\to Eac~(Camestres);

6) (Ecb\land Aab)\to Eac~(Cesare);

7) (Ecb\land Iab)\to Oac~(Festino);
Фигура IIIФигура IV
8) (Abc\land Aba)\to Iac~(Darapti);

9) (Ibc\land Aba)\to Iac~(Disamis);

10) (Obc\land Aba)\to Oac~(Bocardo);

11) (Ebc\land Aba)\to Oac~(Felapton);

12) (Ebc\land Iba)\to Oac~(Ferison);
13) (Icb\land Aba)\to Iac~(Dimaris);

14) (Acb\land Aba)\to Iac~(Bramanti p);

15) (Acb\land Eba)\to Eac~(Camenes);

16) (Ecb\land Aba)\to Oac~(Fesapo);

17) (Ecb\land Iba)\to Oac~(Fresison);

Доказательство. Приведем доказательства некоторых из этих силлогизмов.


1) Используя теорему о дедукции, нетрудно убедиться в том, что следующая формула


\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((V\to Y)\to ((X\land V)\to Z)\bigr)

является теоремой формализованного исчисления высказываний. Делаем в нее подстановку: X\mid Abc,~ Y\mid Iba,~ Z\mid Iac. Получаем формулу


\bigl((Abc\land Iba)\to Iac\bigr)\to \bigl((V\to Iba)\to ((Abc\land V)\to Iac)\bigr).

Вместе с аксиомой (\mathsf{FS4}) она по правилу MP дает формулу (V\to Iba)\to ((Abc\land V)\to Iac). Делаем сюда подстановку V\mid Iab. Получаем (Iab\to Iba)\to \bigl((Abc\land Iab)\to Iac\bigr). Из этой формулы и формулы теоремы (FS7) по правилу MP выводим требуемую формулу.


4) Начинаем со следующей теоремы формализованного исчисления высказываний:


\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((X\land\ne Z)\to\ne Y\bigr).

Подстановка X\mid Abc,~ Y\mid Aab,~ Z\mid Aac в нее дает


\bigl((Abc\land Aab)\to Aac\bigr)\to \bigl((Abc\land\ne Aac)\to\ne Aab\bigr).

Из этой формулы и аксиомы (\mathsf{FS3}) по правилу MP выводим формулу (Abc\land\ne Aac)\to\ne Aab.


Используя правило о замене \ne A на O, получаем: (Abc\land Oac)\to Oab. Наконец, подстановка b\mid c,~ c\mid b приводит нас к требуемой формуле.


8) В ходе доказательства формулы 1) была выведена формула (V\to Iba)\to \bigl((Abc\land V)\to Iac\bigr). Сделаем в нее подстановку V\mid Aba. Получим:


(Aba\to Iba)\to \bigl((Abc\land Aba)\to Iac\bigr).

Используя теорему (\mathsf{FS8}a) (в которой сделать подстановку a\mid b,~ b\mid a, по правилу MP получаем требуемую формулу.


9) Подстановка a\mid c,~ c\mid a в аксиому (\mathsf{FS4}) дает Aba\land Ibc\to Ica, а подстановка a\mid c,~ b\mid a в теорему (\mathsf{FS}7) приводит к формуле Ica\to Iac. Наконец, подстановка X\mid Aba\land Ibc,~ Y\mid Ica,~ Z\mid Iac в выводимую формулу исчисления высказываний (закон силлогизма) (X\to Y)\to \bigl((Y\to Z)\to (X\to Z)\bigr) дает формулу


\bigl((Aba\land Ibc)\to Iac\bigr)\to \bigl((Ica\to Iac)\to (Aba\land Ibc)\to Iac\bigr).

Используя полученные выше формулы для двукратного применения правила MP и исходя из последней формулы, получаем: (Aba\land Ibc)\to Iac.


Далее, сделав подстановку X\mid Ibc,~ Y\mid Aba в выводимую формулу (X\land Y)\to (Y\land X), получаем формулу (Ibc\land Aba)\to (Aba\land Ibc). В использованный выше закон силлогизма сделаем другую подстановку: X\mid Ibc\land Aba, Y\mid Aba\land Ibc,~ Z\mid Iac. Получим формулу


\bigl((Ibc\land Aba)\to (Aba\land Ibc)\bigr)\to \bigl(((Aba\land Ibc)\to Iac)\to ((Ibc\land Aba)\to Iac)\bigr).

Теперь применим дважды правило вывода MP: сначала к этой формуле и предыдущей, а затем к полученному результату и последней формуле предыдущего абзаца. В результате получим требуемую формулу.


13) Сделав в доказанную формулу 1) подстановку c\mid a,~ a\mid c, получаем: (Aba\land Icb)\to Ica. Сделав подстановку X\mid Aba\land Icb,~ Y\mid Ica,~ Z\mid Iac в закон силлогизма (X\to Y)\to \bigl((Y\to Z)\to (X\to Z)\bigr), получим формулу


\bigl((Aba\land Icb)\to Ica\bigr)\to \bigl((Ica\to Iac)\to ((Aba\land Icb)\to Iac)\bigr).

Применяя дважды правило MP (учитывая при этом теорему (\mathsf{FS}7)), получаем: (Aba\land Icb)\to Iac.


Сделав в закон силлогизма другую подстановку X\mid Icb\land Aba,~ Y\mid Aba\land Icb,~ Z\mid Iac, придем к формуле


\bigl((Icb\land Aba)\to (Aba\land Icb)\bigr)\to \bigl(\bigl((Aba\land Icb)\to Icb\bigr)\to ((Icb\land Aba)\to Iac)\bigr).

Учитывая выводимость посылки этой формулы (см. второй абзац в доказательстве формулы 9)) и только что установленную выводимость посылки остающейся формулы, после двукратного применения правила MP придем к требуемой формуле.


14) Из Aab\to Iab (теорема (\mathsf{FS8}a)) с помощью подстановки а|с получаем: Acb\to Icb. В выводимую формулу исчисления высказываний


\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((V\to X)\to ((V\land Y)\to Z)\bigr)

делаем подстановку X\mid Icb,~ Y\mid Aba,~ Z\mid Iac,~ V\mid Acb. В результате получаем формулу


\bigl((Icb\land Aba)\to Iac\bigr)\to \bigl((Acb\to Icb)\to ((Acb\land Aba)\to Iac)\bigr).

Учитывая формулу 13) и выведенную вначале формулу, после двукратного применения правила MP приходим к требуемой формуле.


Докажите выводимость остальных аристотелевых силлогизмов.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved