Это еще один пример формальной аксиоматической теории. Рассматриваемый здесь способ формализации силлогистики был предложен в 1950-е гг. известным польским логиком Я.Лукасевичем.

Пусть строчные латинские буквы $a,b,c,\ldots$ обозначают переменные термины силлогистики, две прописные латинские буквы $A$ и $I$ — два силлогических бинарных отношения: $Aab:$ "Всякое $a$ есть $b$ ", $Iab:$ "Некоторое $a$ есть $b$ ".

Понятие формулы или правильно построенного силлогического предложения дается посредством следующего индуктивного определения:

1) $Aab$ и $Iab$ — простые (или атомарные) формулы силлогистики;
2) если $\alpha$ и $\beta$ — формулы силлогистики, то формулами силлогистики будут также

$(\alpha\land\beta),\quad (\alpha\lor\beta),\quad (\alpha\to\beta),\quad \lnot\alpha\,;$

3) никаких других формул, кроме получающихся по правилам пунктов 1 и 2, нет.

Перейдем теперь к формулировке аксиом. Во-первых, считаем, что имеется некоторое формализованное исчисление высказываний, построенное, например, на базе системы из трех аксиом. Так что эти аксиомы открывают список аксиом формальной силлогистики. В качестве специальных аксиом принимаются такие силлогические предложения:

$(\mathsf{FS1})\colon\quad Aaa$ ;
$(\mathsf{FS2})\colon\quad Iaa$ ;
$(\mathsf{FS3})\colon\quad (Abc\land Aab)\to Aac$ (силлогизм Barbara);
$(\mathsf{FS1})\colon\quad (Abc\land Ibc)\to Iac$ (силлогизм Datisi).

С помощью следующих определений введем еще два силлогических бинарных отношения $E$ и $O$ : $Eab$ означает $\lnot Iab$ , $Oab$ означает $\lnot Aab$ . Для удобства построения выводов на основе этих определений формулируются правила о возможности замены всюду в формулах $\lnot I$ на $E$ и наоборот, а также $\lnot A$ на $O$ и наоборот. Таким образом, в нашей формальной системе, которую будем обозначать $\mathsf{FS}$ , оказываются выраженными все четыре основных отношения силлогистики. Напомним, что в аристотелевой силлогистике отношение $Eab$ означает "Никакое $a$ не есть $b$ ", а $Oab$ — "Некоторые $a$ не есть $b$ ".

В качестве правил вывода в системе формализованной силлогистики $\mathsf{FS}$ принимаются два правила подстановки и правило заключения modus ponens:

а) подстановка в выводимую формулу исчисления высказываний на место пропозициональной переменной (всюду, где она входит в формулу) одной и той же силлогической формулы дает выводимую формулу системы $\mathsf{FS}$ ;

б) подстановка в выводимую формулу системы $\mathsf{FS}$ на место переменного термина (всюду, где он входит в формулу) другого переменного термина дает выводимую формулу системы $\mathsf{FS}$ ;

в) правило modus ponens: если формулы $\alpha\to\beta,\,\alpha$ выводимы в $\mathsf{FS}$ , то в $\mathsf{FS}$ выводима и формула $\beta$ .

Обратим внимание на то, что в качестве третьей $(\mathsf{FS3})$ и четвертой $(\mathsf{FS4})$ аксиом выбраны правильные аристотелевы силлогизмы Barbara и Datisi. Остальные семнадцать правильных силлогизмов нам предстоит доказать на основе данной системы аксиом. Приступим теперь к доказательству теорем формальной силлогистики.

$(\mathsf{FS5})\colon$ (Силлогические законы противоречия): а) $\lnot(Aab\land Oab)$ ; б) $\lnot(Iab\land Eab)$ .

Доказательство. Закон а) получается из закона отрицания противоречия исчисления высказываний $\lnot(X\land\lnot X)$ в результате подстановки $X\mid Aab$ (вместо $X$ подставляется силлогическая формула $Aab$ ) и замены по определению $\lnot Aab$ на $Oab$ . Подстановкой $X\mid Iab$ в тот же закон и заменой по определению $\lnot Iab$ на $Eab$ доказывается закон б).

$(\mathsf{FS6})\colon$ (Силлогические законы исключенного третьего): a) $Aab\lor Oab$ ; б) $Iab\lor Eab$ .

Доказательство. Для обоих законов их доказательство вытекает из логического закона исключенного третьего $X\lor\lnot X$ в результате очевидных подстановок и замен.

$(\mathsf{FS7})\colon$ (Закон обращения), $Iab\to Iba$ .

Доказательство. В закон разделения посылок исчисления высказываний $\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl(X\to (Y\to Z)\bigr)$ делаем подстановку $X\mid Abc,\, Y\mid Iba,\, Z\mid Iac$ и из полученной формулы и аксиомы $(\mathsf{FS4})$ по правилу modus ponens выводим: $Abc\to (Iba\to Iac)$ . Подстановка $b|a,\, c|a,\, a|b$ приводит к формуле $Aaa\to (Iab\to Iba)$ , из которой и из аксиомы $(\mathsf{FS1})$ по правилу modus ponens следует требуемая формула: $Iab\to Iba$ .

$(\mathsf{FS8})\colon$ (Законы подчинения): a) $Aab\to Iab$ ; б) $Eab\to Oab$ .

Доказательство, а) В закон перестановки посылок исчисления высказываний $(X\to (Y\to Z))\to (Y\to (X\to Z))$ делаем подстановку $X\mid Abc,~ Y\mid Ibc,~ Z\mid Iac$ . Посылка полученной формулы представляет собой следующую формулу: $Abc\to(Ibc\to Iac)$ , выводимую в $\mathsf{FS}$ , что установлено в ходе доказательства предыдущей теоремы. Тогда из этих двух формул по правилу MP выводим формулу: $Iba\to(Abc\to Iac)$ . Подстановка $b\mid a,~c\mid b$ в последнюю формулу дает формулу $Iaa\to(Aab\to Iab)$ . Из нее и аксиомы $(\mathsf{FS2})$ по правилу MP выводим требуемый закон.

б) В закон контрапозиции исчисления высказываний $(X\to Y)\to (\ne Y\to\ne X)$ делаем подстановку $X\mid Aab,~ Y\mid Iab$ и из полученной формулы и предыдущего закона подчинения $Aab\to Iab$ по правилу MP выводим: $\ne Iab\to\ne Aab$ . Применяя правила о замене $\ne I$ на $E$ и $\ne A$ на $O$ , получаем: $Eab\to Oab$ .

В следующей теореме формулируются и доказываются в формальной силлогистике FS все оставшиеся 17 правильных аристотелевых силлогизмов.

Теорема 28.5 (Аристотелевы силлогизмы). Следующие формулы являются теоремами формальной системы $\mathsf{FS}$ :

Фигура I	Фигура II
1) $(Abc\land Iab)\to Iac~(Darii)$ ; 2) $(Ebc\land Aab)\to Eac~(Celarent)$ ; 3) $(Ebc\land Iab)\to Oac~(Ferio)$ ;	4) $(Acb\land Oab)\to Oac~(Baroco)$ ; 5) $(Acb\land Eab)\to Eac~(Camestres)$ ; 6) $(Ecb\land Aab)\to Eac~(Cesare)$ ; 7) $(Ecb\land Iab)\to Oac~(Festino)$ ;
Фигура III	Фигура IV
8) $(Abc\land Aba)\to Iac~(Darapti)$ ; 9) $(Ibc\land Aba)\to Iac~(Disamis)$ ; 10) $(Obc\land Aba)\to Oac~(Bocardo)$ ; 11) $(Ebc\land Aba)\to Oac~(Felapton)$ ; 12) $(Ebc\land Iba)\to Oac~(Ferison)$ ;	13) $(Icb\land Aba)\to Iac~(Dimaris)$ ; 14) $(Acb\land Aba)\to Iac~(Bramanti p)$ ; 15) $(Acb\land Eba)\to Eac~(Camenes)$ ; 16) $(Ecb\land Aba)\to Oac~(Fesapo)$ ; 17) $(Ecb\land Iba)\to Oac~(Fresison)$ ;

Доказательство. Приведем доказательства некоторых из этих силлогизмов.

1) Используя теорему о дедукции, нетрудно убедиться в том, что следующая формула

$\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((V\to Y)\to ((X\land V)\to Z)\bigr)$

является теоремой формализованного исчисления высказываний. Делаем в нее подстановку: $X\mid Abc,~ Y\mid Iba,~ Z\mid Iac$ . Получаем формулу

$\bigl((Abc\land Iba)\to Iac\bigr)\to \bigl((V\to Iba)\to ((Abc\land V)\to Iac)\bigr).$

Вместе с аксиомой $(\mathsf{FS4})$ она по правилу MP дает формулу $(V\to Iba)\to ((Abc\land V)\to Iac)$ . Делаем сюда подстановку $V\mid Iab$ . Получаем $(Iab\to Iba)\to \bigl((Abc\land Iab)\to Iac\bigr)$ . Из этой формулы и формулы теоремы $(FS7)$ по правилу MP выводим требуемую формулу.

4) Начинаем со следующей теоремы формализованного исчисления высказываний:

$\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((X\land\ne Z)\to\ne Y\bigr).$

Подстановка $X\mid Abc,~ Y\mid Aab,~ Z\mid Aac$ в нее дает

$\bigl((Abc\land Aab)\to Aac\bigr)\to \bigl((Abc\land\ne Aac)\to\ne Aab\bigr).$

Из этой формулы и аксиомы $(\mathsf{FS3})$ по правилу MP выводим формулу $(Abc\land\ne Aac)\to\ne Aab$ .

Используя правило о замене $\ne A$ на $O$ , получаем: $(Abc\land Oac)\to Oab$ . Наконец, подстановка $b\mid c,~ c\mid b$ приводит нас к требуемой формуле.

8) В ходе доказательства формулы 1) была выведена формула $(V\to Iba)\to \bigl((Abc\land V)\to Iac\bigr)$ . Сделаем в нее подстановку $V\mid Aba$ . Получим:

$(Aba\to Iba)\to \bigl((Abc\land Aba)\to Iac\bigr).$

Используя теорему $(\mathsf{FS8}a)$ (в которой сделать подстановку $a\mid b,~ b\mid a$ , по правилу MP получаем требуемую формулу.

9) Подстановка $a\mid c,~ c\mid a$ в аксиому $(\mathsf{FS4})$ дает $Aba\land Ibc\to Ica$ , а подстановка $a\mid c,~ b\mid a$ в теорему $(\mathsf{FS}7)$ приводит к формуле $Ica\to Iac$ . Наконец, подстановка $X\mid Aba\land Ibc,~ Y\mid Ica,~ Z\mid Iac$ в выводимую формулу исчисления высказываний (закон силлогизма) $(X\to Y)\to \bigl((Y\to Z)\to (X\to Z)\bigr)$ дает формулу

$\bigl((Aba\land Ibc)\to Iac\bigr)\to \bigl((Ica\to Iac)\to (Aba\land Ibc)\to Iac\bigr).$

Используя полученные выше формулы для двукратного применения правила MP и исходя из последней формулы, получаем: $(Aba\land Ibc)\to Iac$ .

Далее, сделав подстановку $X\mid Ibc,~ Y\mid Aba$ в выводимую формулу $(X\land Y)\to (Y\land X)$ , получаем формулу $(Ibc\land Aba)\to (Aba\land Ibc)$ . В использованный выше закон силлогизма сделаем другую подстановку: $X\mid Ibc\land Aba,$ $Y\mid Aba\land Ibc,~ Z\mid Iac$ . Получим формулу

$\bigl((Ibc\land Aba)\to (Aba\land Ibc)\bigr)\to \bigl(((Aba\land Ibc)\to Iac)\to ((Ibc\land Aba)\to Iac)\bigr).$

Теперь применим дважды правило вывода MP: сначала к этой формуле и предыдущей, а затем к полученному результату и последней формуле предыдущего абзаца. В результате получим требуемую формулу.

13) Сделав в доказанную формулу 1) подстановку $c\mid a,~ a\mid c$ , получаем: $(Aba\land Icb)\to Ica$ . Сделав подстановку $X\mid Aba\land Icb,~ Y\mid Ica,~ Z\mid Iac$ в закон силлогизма $(X\to Y)\to \bigl((Y\to Z)\to (X\to Z)\bigr)$ , получим формулу

$\bigl((Aba\land Icb)\to Ica\bigr)\to \bigl((Ica\to Iac)\to ((Aba\land Icb)\to Iac)\bigr).$

Применяя дважды правило MP (учитывая при этом теорему $(\mathsf{FS}7)$ ), получаем: $(Aba\land Icb)\to Iac$ .

Сделав в закон силлогизма другую подстановку $X\mid Icb\land Aba,~ Y\mid Aba\land Icb,~ Z\mid Iac$ , придем к формуле

$\bigl((Icb\land Aba)\to (Aba\land Icb)\bigr)\to \bigl(\bigl((Aba\land Icb)\to Icb\bigr)\to ((Icb\land Aba)\to Iac)\bigr).$

Учитывая выводимость посылки этой формулы (см. второй абзац в доказательстве формулы 9)) и только что установленную выводимость посылки остающейся формулы, после двукратного применения правила MP придем к требуемой формуле.

14) Из $Aab\to Iab$ (теорема $(\mathsf{FS8}a)$ ) с помощью подстановки а|с получаем: $Acb\to Icb$ . В выводимую формулу исчисления высказываний

$\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((V\to X)\to ((V\land Y)\to Z)\bigr)$

делаем подстановку $X\mid Icb,~ Y\mid Aba,~ Z\mid Iac,~ V\mid Acb$ . В результате получаем формулу

$\bigl((Icb\land Aba)\to Iac\bigr)\to \bigl((Acb\to Icb)\to ((Acb\land Aba)\to Iac)\bigr).$

Учитывая формулу 13) и выведенную вначале формулу, после двукратного применения правила MP приходим к требуемой формуле.

Докажите выводимость остальных аристотелевых силлогизмов.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Список статей » Список форумов

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]