Евклидовы пространства
Определение евклидова пространства
Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре элементов этого пространства поставлено в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:
![\begin{aligned} &\bold{1.}\quad \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle= \langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{E}\,;\\[5pt] &\bold{2.}\quad \langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle= \langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle+ \langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in \mathbb{E}\,;\\[5pt] &\bold{3.}\quad \langle \lambda\cdot \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle= \lambda\cdot \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle\quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{E},~~ \forall \lambda\in \mathbb{R}\,;\\[5pt] &\bold{4.}\quad \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle>0\quad \forall \mathbf{v}\ne \mathbf{o}~\land~ \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0~~ \Rightarrow~~ \mathbf{v}=\mathbf{o}\,.\end{aligned}](data:image/png;base64,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)
В скалярном произведении вектор — первый, а вектор — второй сомножители. Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом. Условия 1–4 называются аксиомами скалярного произведения. Аксиома 1 определяет симметричность скалярного произведения, аксиомы 2 и 3 — аддитивность и однородность по первому сомножителю, аксиома 4 — неотрицательность скалярного квадрата .
Линейные операции над векторами евклидова пространства удовлетворяют аксиомам 1–8 линейного пространства, а операция скалярного умножения векторов удовлетворяет аксиомам 1–4 скалярного произведения. Можно сказать, что евклидово пространство — это вещественное линейное пространство со скалярным произведением. Поскольку евклидово пространство является линейным пространством, на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства, в частности, понятия размерности и базиса.
Простейшие следствия из аксиом скалярного произведения
1. Аксиомы 2 и 3 скалярного произведения можно заменить одним условием линейности скалярного произведения по первому сомножителю:
2. Условие линейности скалярного произведения по первому сомножителю в силу симметричности (аксиома 1) справедливо и для второго сомножителя, т.е. скалярное произведение линейно по любому сомножителю.
3. Линейность скалярного произведения по любому сомножителю распространяется на линейные комбинации векторов:
для любых векторов и действительных чисел .
4. Если хотя бы один сомножитель — нулевой вектор, то скалярное про изведение равно нулю:
Действительно, представим нулевой вектор в виде , где — произвольный вектор из . Тогда из аксиомы 3 получаем:
Неравенство Коши-Буняковского
Для любых векторов и евклидова пространства выполняется неравенство Коши-Буняковского:
 (8.25)
В самом деле, для любого действительного числа и любых векторов и справедливо неравенство:
Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена (переменной ) не больше нуля, т.е. . Отсюда следует (8.25). Заметим, что равенство нулю дискриминанта возможно только в случае существования такого корня , для которого . Это условие равносильно коллинеарности векторов и . Напомним, что ненулевые векторы и называются коллинеарными, если существует такое число , что . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Неравенство Коши-Буняковского выполняется как равенство только для коллинеарных векторов и как строгое неравенство для неколлинеарных.
Примеры евклидовых пространств
Определяя для элементов линейного пространства операцию скалярного произведения, получаем евклидово пространство. Если скалярное произведение можно ввести разными способами в одном и том же линейном пространстве, то и получаемые евклидовы пространства будут разными. Приведем примеры евклидовых пространств, соответствующих рассмотренным ранее примерам линейных пространств.
1. В нулевом линейном пространстве скалярное произведение можно определить единственным способом, положив . Аксиомы скалярного произведения при этом выполняются.
2. В пространствах векторы (свободные или радиус- векторы) рассматриваются как направленные отрезки. В курсе элементарной геометрии вводятся понятия длины вектора и величины угла между векторами, а затем определяется скалярное произведение: . Аксиомы 1—4 для этого скалярного произведения выполняются. Поэтому пространства являются евклидовыми. Неравенство Коши-Буняковского в этом пространстве означает, что . Геометрический смысл: длина проекции не превосходит длины наклонной (катет короче гипотенузы).
3. В пространстве скалярное произведение столбцов и можно задать формулой:
 (8.26)
где — квадратная симметрическая положительно определенная матрица n-го порядка. Проверим выполнение аксиом 1-4. Аксиома 1 (симметричность) выполняется в силу симметричности матрицы , поскольку число при транспонировании не изменяется, т.е. . Свойство линейности по первому сомножителю (см. п.1 простейших следствий из аксиом) для (8.26) выполняется:
Значит, выполняются аксиомы 2 и 3. Аксиома 4 также выполняется, так как квадратичная форма положительно определенная. Таким образом, пространство со скалярным произведением (8.26) является евклидовым пространством. В частности, если в качестве матрицы взять единичную матрицу, формула (8.26) примет вид:
 (8.27)
Это скалярное произведение считается стандартным в пространстве . Неравенство (8.25) Коши-Буняковского в «-мерном арифметическом пространстве со скалярным произведением (8.27) трансформируется в неравенство Коши:
Приведем примеры формул, которые не задают скалярного произведения в 
1) — аксиомы 1, 4 выполняются, а аксиомы 2, 3 — нет;
2) — аксиомы 1, 2, 3 выполняются, а аксиома 4 — нет.
4. Пространство решений однородной системы линейных уравнений со скалярным произведением (8.27) является евклидовым пространством.
5. В пространстве действительных функций, определенных и непрерывных на данном промежутке , скалярное произведение можно задать формулой:
 (8.28)
В самом деле, аксиомы 1, 2, 3 для (8.28) выполняются в силу свойств определенного интеграла. Проверим выполнение аксиомы 4. Для ненулевой функции , так как, если в какой-нибудь точке функция , то в силу непрерывности она отлична от нуля в некоторой окрестности точки , целиком лежащей в интервале . Поэтому интеграл от в этой окрестности больше нуля.
Таким образом, пространство со скалярным произведением (8.28) является евклидовым. Скалярное произведение (8.28) считается стандартным в пространстве . Для разрывных функций формула (8.28) не определяет скалярного произведения, так как нарушается аксиома 4. Неравенство (8.25) Коши-Буняковского в пространстве со скалярным произведением (8.28) трансформируется в неравенство Шварца:
6. В пространстве многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение можно задать формулой (8.28), так как многочлены являются непрерывными функциями.
В пространстве многочленов степени не выше, чем , зададим скалярное произведение многочленов и формулой:
 (8.29)
Выражение в правой части (8.29) симметрично для коэффициентов двух многочленов, поэтому аксиома 1 выполняется. Аксиомы 2, 3 следуют из линейности выражения по коэффициентам каждого многочлена. Проверим аксиому 4. Запишем скалярный квадрат . Заметим, что только при , т.е. в случае нулевого много члена . Следовательно, формула (8.29) задает скалярное произведение в пространстве .
В пространстве определим произведение формулой:
 (8.30)
В силу симметричности и линейности правой части (8.30) по значениям многочленов, заключаем, что аксиомы 1-3 выполняются. Проверим выполнение аксиомы 4. Приравняв скалярный квадрат нулю, получаем
Это возможно только при . Из этих трех равенств не следует, однако, что многочлен нулевой. Например, ненулевой многочлен удовлетворяет трем равенствам. Следовательно, в пространстве формула (8.30) не задает скалярного произведения. Напротив, в пространстве формула (8.30) определяет скалярное произведение. Так как из равенств следует, что многочлен степени не выше второй тождественно равен нулю.
Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве
Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется число .
Имея в виду обозначение, длину называют также модулем вектора. Рассматривается арифметическое значение квадратного корня, которое определено для любого вектора из-за неотрицательности подкоренного выражения (аксиома 4). Поэтому каждый вектор имеет положительную длину, за исключением нулевого, длина которого равна нулю: .
Углом между ненулевыми векторами и евклидова пространства называется число
Представив неравенство Коши-Буняковского (8.25) в виде можно сделать вывод, что абсолютное значение выражения не превосходит единицы, т.е. величина угла определена для любой пары ненулевых векторов. Заметим, что угол между коллинеарными векторами равен нулю или .
Длина вектора и угол между векторами называются основными метрическими понятиями .
Из неравенства Коши-Буняковского (8.25) следует неравенство треугольника:
Докажем последнее неравенство. Применяя оценку , получаем
то есть .
Пример 8.17. Даны векторы евклидовых пространств:
а) — элементы пространства со скалярным произведением (8.27): ;
б) — элементы пространства со скалярным произведением (8.26):
в) — элементы пространства со скалярным произведением (8.28): .
г) — элементы пространства со скалярным произведением (8.29): ;
д) — элементы пространства со скалярным произведением (8.30):
В каждом пространстве найти длины двух данных векторов и угол между ними.
Решение. а) Находим скалярные произведения:
Следовательно, .
б) Находим скалярные произведения:
Следовательно, .
в) Находим скалярные произведения:
Следовательно, .
г) Находим скалярные произведения:
Следовательно, .
д) Находим скалярные произведения:
Следовательно, .
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
|