Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Евклидовы пространства

Евклидовы пространства


Определение евклидова пространства


Вещественное линейное пространство \mathbb{E} называется евклидовым, если каждой паре элементов \mathbf{u},\,\mathbf{v} этого пространства поставлено в соответствие действительное число \langle\mathbf{u},\mathbf{v} \rangle, называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:


\begin{aligned} &\bold{1.}\quad \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle= \langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{E}\,;\\[5pt] &\bold{2.}\quad \langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle= \langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle+ \langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in \mathbb{E}\,;\\[5pt] &\bold{3.}\quad \langle \lambda\cdot \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle= \lambda\cdot \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle\quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{E},~~ \forall \lambda\in \mathbb{R}\,;\\[5pt] &\bold{4.}\quad \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle>0\quad \forall \mathbf{v}\ne \mathbf{o}~\land~ \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0~~ \Rightarrow~~ \mathbf{v}=\mathbf{o}\,.\end{aligned}


В скалярном произведении \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle вектор \mathbf{u} — первый, а вектор \mathbf{v} — второй сомножители. Скалярное произведение \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle вектора \mathbf{v} на себя называется скалярным квадратом. Условия 1–4 называются аксиомами скалярного произведения. Аксиома 1 определяет симметричность скалярного произведения, аксиомы 2 и 3 — аддитивность и однородность по первому сомножителю, аксиома 4 — неотрицательность скалярного квадрата \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle.


Линейные операции над векторами евклидова пространства удовлетворяют аксиомам 1–8 линейного пространства, а операция скалярного умножения векторов удовлетворяет аксиомам 1–4 скалярного произведения. Можно сказать, что евклидово пространство — это вещественное линейное пространство со скалярным произведением. Поскольку евклидово пространство является линейным пространством, на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства, в частности, понятия размерности и базиса.




Простейшие следствия из аксиом скалярного произведения


1. Аксиомы 2 и 3 скалярного произведения можно заменить одним условием линейности скалярного произведения по первому сомножителю:


\langle \alpha\cdot \mathbf{u}+\beta\cdot \mathbf{v},\,\mathbf{w}\rangle= \alpha\cdot \langle \mathbf{u},\mathbf{w}\rangle + \beta \langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle \quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in \mathbb{E},~ \forall \alpha,\beta\in \mathbb{R}.

2. Условие линейности скалярного произведения по первому сомножителю в силу симметричности (аксиома 1) справедливо и для второго сомножителя, т.е. скалярное произведение линейно по любому сомножителю.


3. Линейность скалярного произведения по любому сомножителю распространяется на линейные комбинации векторов:


\Biggl\langle\sum_{i=1}^{m}\alpha_i \mathbf{u}_i,\,\sum_{j=1}^{n}\beta_j \mathbf{v}_j\Biggr\rangle= \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} \alpha_i\beta_j \langle \mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j\rangle.

для любых векторов \mathbf{u}_i,\,\mathbf{v}_j и действительных чисел \alpha_i,\,\beta_j,~ i=1,\ldots,m.


4. Если хотя бы один сомножитель — нулевой вектор, то скалярное про изведение равно нулю:


\langle \mathbf{v},\mathbf{o}\rangle= \langle \mathbf{o},\mathbf{v}\rangle=0\quad \forall \mathbf{v}\in \mathbb{E}.

Действительно, представим нулевой вектор в виде \mathbf{o}=0\cdot\mathbf{u}, где \mathbf{u} — произвольный вектор из \mathbb{E}. Тогда из аксиомы 3 получаем:


\langle \mathbf{o},\mathbf{v}\rangle= \langle 0\cdot\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle= 0\cdot \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=0.



Неравенство Коши-Буняковского


Для любых векторов \mathbf{u} и \mathbf{v} евклидова пространства \mathbb{E} выполняется неравенство Коши-Буняковского:


\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^2\leqslant \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle\cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle.
(8.25)

В самом деле, для любого действительного числа \lambda и любых векторов \mathbf{u} и \mathbf{v} справедливо неравенство:


0\leqslant \langle \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v},\,\mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}\rangle= \lambda^2\cdot\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle -2 \lambda\cdot \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle+ \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle.

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена (переменной \lambda) не больше нуля, т.е. 4 \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^2-4 \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle \cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle \leqslant0. Отсюда следует (8.25). Заметим, что равенство нулю дискриминанта возможно только в случае существования такого корня \lambda, для которого \langle \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}, \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}\rangle=0. Это условие равносильно коллинеарности векторов \mathbf{u} и \mathbf{v}\colon \mathbf{u}=\lambda\cdot \mathbf{v}. Напомним, что ненулевые векторы \mathbf{u} и \mathbf{v} называются коллинеарными, если существует такое число \lambda, что \mathbf{u}=\lambda\cdot \mathbf{v}. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Неравенство Коши-Буняковского выполняется как равенство только для коллинеарных векторов и как строгое неравенство для неколлинеарных.




Примеры евклидовых пространств


Определяя для элементов линейного пространства операцию скалярного произведения, получаем евклидово пространство. Если скалярное произведение можно ввести разными способами в одном и том же линейном пространстве, то и получаемые евклидовы пространства будут разными. Приведем примеры евклидовых пространств, соответствующих рассмотренным ранее примерам линейных пространств.


1. В нулевом линейном пространстве \{\mathbf{o}\} скалярное произведение можно определить единственным способом, положив \langle \mathbf{o},\mathbf{o}\rangle=0. Аксиомы скалярного произведения при этом выполняются.


2. В пространствах V_1,\,V_2,\,V_3 векторы (свободные или радиус- векторы) рассматриваются как направленные отрезки. В курсе элементарной геометрии вводятся понятия длины вектора и величины угла между векторами, а затем определяется скалярное произведение: \langle \vec{u},\vec{v}\rangle= |\vec{u}|\cdot|\vec{v}\cdot \cos\varphi|. Аксиомы 1—4 для этого скалярного произведения выполняются. Поэтому пространства V_1,\,V_2,\,V_3 являются евклидовыми. Неравенство Коши-Буняковского в этом пространстве означает, что |\cos\varphi|= \frac{|\langle\vec{u},\vec{v}\rangle|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\leqslant1. Геометрический смысл: длина проекции не превосходит длины наклонной (катет короче гипотенузы).


3. В пространстве \mathbb{R}^n скалярное произведение столбцов x= \begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T и y=\begin{pmatrix} y_1&\cdots&y_n\end{pmatrix}^T можно задать формулой:


\langle x,y,\rangle= x^T\cdot A\cdot y= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_iy_j,
(8.26)

где A — квадратная симметрическая положительно определенная матрица n-го порядка. Проверим выполнение аксиом 1-4. Аксиома 1 (симметричность) выполняется в силу симметричности матрицы A: \langle x,y\rangle= x^TAy= y^TA^Tx= y^TAx= \langle y,x\rangle, поскольку число при транспонировании не изменяется, т.е. x^TAy=y^TA^Tx. Свойство линейности по первому сомножителю (см. п.1 простейших следствий из аксиом) для (8.26) выполняется:


\langle \alpha x+\beta y,\,z\rangle= (\alpha x+\beta y)^TAz= \alpha x^TAz+\beta y^TAz= \alpha \langle x,z\rangle+ \beta\langle y,z\rangle.

Значит, выполняются аксиомы 2 и 3. Аксиома 4 также выполняется, так как квадратичная форма \langle x,x\rangle= x^TAx положительно определенная. Таким образом, пространство \mathbb{R}^n со скалярным произведением (8.26) является евклидовым пространством. В частности, если в качестве матрицы A взять единичную матрицу, формула (8.26) примет вид:


\langle x,y\rangle= x^Ty= x_1y_1+x_2y_2+ \ldots+x_ny_n.
(8.27)

Это скалярное произведение считается стандартным в пространстве \mathbb{R}^n. Неравенство (8.25) Коши-Буняковского в «-мерном арифметическом пространстве \mathbb{R}^n со скалярным произведением (8.27) трансформируется в неравенство Коши:


(x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n)^2\leqslant (x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2)\cdot (y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2).

Приведем примеры формул, которые не задают скалярного произведения в \mathbb{R}^2:


1) \langle x,y\rangle= |x_1|\cdot|y_1|+|x_2|\cdot|y_2| — аксиомы 1, 4 выполняются, а аксиомы 2, 3 — нет;


2) \langle x,y\rangle=x_2\cdot y_2 — аксиомы 1, 2, 3 выполняются, а аксиома 4 — нет.


4. Пространство \{Ax=o\} решений однородной системы Ax=o линейных уравнений со скалярным произведением (8.27) является евклидовым пространством.


5. В пространстве C[a,b] действительных функций, определенных и непрерывных на данном промежутке [a,b], скалярное произведение можно задать формулой:


\langle f,g\rangle= \int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\,.
(8.28)

В самом деле, аксиомы 1, 2, 3 для (8.28) выполняются в силу свойств определенного интеграла. Проверим выполнение аксиомы 4. Для ненулевой функции f(x)\colon \textstyle{ \langle f,f\rangle= \int\limits_{a}^{b}}f^2(x)\,dx>0, так как, если в какой-нибудь точке x_0\in(a,b) функция f(x_0)\ne0, то в силу непрерывности она отлична от нуля в некоторой окрестности точки x_0, целиком лежащей в интервале (a,b). Поэтому интеграл от f^2(x) в этой окрестности больше нуля.


Таким образом, пространство C[a,b] со скалярным произведением (8.28) является евклидовым. Скалярное произведение (8.28) считается стандартным в пространстве C[a,b]. Для разрывных функций формула (8.28) не определяет скалярного произведения, так как нарушается аксиома 4. Неравенство (8.25) Коши-Буняковского в пространстве C[a,b] со скалярным произведением (8.28) трансформируется в неравенство Шварца:


\Biggl(\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\Biggr)^2\leqslant \int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx\cdot \int\limits_{a}^{b}g^2(x)\,dx\,.

6. В пространстве P(\mathbb{R}) многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение можно задать формулой (8.28), так как многочлены являются непрерывными функциями.


В пространстве P_n(\mathbb{R}) многочленов степени не выше, чем n, зададим скалярное произведение многочленов p(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0 и q(x)=b_nx^n+\ldots+b_1x+b_0 формулой:


\langle p,q\rangle= a_n\cdot b_n+\ldots+a_1\cdot b_1+a_0\cdot b_0.
(8.29)

Выражение в правой части (8.29) симметрично для коэффициентов двух многочленов, поэтому аксиома 1 выполняется. Аксиомы 2, 3 следуют из линейности выражения по коэффициентам каждого многочлена. Проверим аксиому 4. Запишем скалярный квадрат \langle p,p\rangle= a_n^2+\ldots+ a_1^2+ a_0^2\geqslant0. Заметим, что \langle p,p\rangle=0 только при a_n=\ldots=a_1=a_0=0, т.е. в случае нулевого много члена p(x)\equiv0. Следовательно, формула (8.29) задает скалярное произведение в пространстве P_n(\mathbb{R}).


В пространстве P_3(\mathbb{R}) определим произведение формулой:


\langle p,q\rangle= p(1)\cdot q(1)+p(2)\cdot q(2)+p(3)\cdot q(3).
(8.30)

В силу симметричности и линейности правой части (8.30) по значениям многочленов, заключаем, что аксиомы 1-3 выполняются. Проверим выполнение аксиомы 4. Приравняв скалярный квадрат нулю, получаем


\langle p,p\rangle= [p(1)]^2+[p(2)]^2+[p(3)]^2=0.

Это возможно только при p(1)=p(2)=p(3)=0. Из этих трех равенств не следует, однако, что многочлен p(x) нулевой. Например, ненулевой многочлен p(x)=(x-1)(x-2)(x-3) удовлетворяет трем равенствам. Следовательно, в пространстве P_3(\mathbb{R}) формула (8.30) не задает скалярного произведения. Напротив, в пространстве P_2(\mathbb{R}) формула (8.30) определяет скалярное произведение. Так как из равенств p(1)=p(2)=p(3)=0 следует, что многочлен степени не выше второй тождественно равен нулю.




Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве


Длиной (нормой) вектора \mathbf{v} в евклидовом пространстве \mathbb{E} называется число |\mathbf{v}|=\sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}.


Имея в виду обозначение, длину |\mathbf{v}| называют также модулем вектора. Рассматривается арифметическое значение квадратного корня, которое определено для любого вектора из-за неотрицательности подкоренного выражения (аксиома 4). Поэтому каждый вектор имеет положительную длину, за исключением нулевого, длина которого равна нулю: |\mathbf{o}|=0.


Углом между ненулевыми векторами \mathbf{u} и \mathbf{v} евклидова пространства \mathbb{E} называется число


\varphi=\arccos\frac{\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle}{|\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|}, то есть \cos\varphi= \frac{\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle}{|\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|} и 0\leqslant\varphi \leqslant\pi\,.

Представив неравенство Коши-Буняковского (8.25) в виде |langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle|\leqslant| \mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}| можно сделать вывод, что абсолютное значение выражения \frac{\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle}{|\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|} не превосходит единицы, т.е. величина угла определена для любой пары ненулевых векторов. Заметим, что угол между коллинеарными векторами равен нулю или \pi.


Длина вектора и угол между векторами называются основными метрическими понятиями .


Из неравенства Коши-Буняковского (8.25) следует неравенство треугольника:


\Bigl||\mathbf{u}|-|\mathbf{v}|\Bigr|\leqslant |\mathbf{u}+\mathbf{v}|\leqslant |\mathbf{u}|+ |\mathbf{v}|.

Докажем последнее неравенство. Применяя оценку \langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle \leqslant |\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|, получаем


|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2= \langle \mathbf{u}+ \mathbf{v},\, \mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle= \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle+ 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+ \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle\leqslant |\mathbf{u}|^2+2\cdot |\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|+|\mathbf{v}|^2= (|\mathbf{u}|+ |\mathbf{v}|)^2.

то есть |\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2\leqslant (|\mathbf{u}|+ |\mathbf{v}|)^2 ~ \Leftrightarrow~ |\mathbf{u}+\mathbf{v}|\leqslant |\mathbf{u}|+|\mathbf{v}|.




Пример 8.17. Даны векторы евклидовых пространств:


а) x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~ y=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} — элементы пространства \mathbb{R}^2 со скалярным произведением (8.27): \langle x,y\rangle=x_1y_1+x_2y_2;


б) x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~ y=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} — элементы пространства \mathbb{R}^2 со скалярным произведением (8.26):


\langle x,y\rangle= x^T\! \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!y= 2x_1y_1+ x_1y_2+ x_2y_1+ x_2y_2.

в) f(x)=\sin{x},~ g(x)=\cos{x} — элементы пространства C[-\pi,\pi] со скалярным произведением (8.28): \langle f,g\rangle= \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx.


г) p(x)=x^2-2x+1,~ q(x)=x+2 — элементы пространства P_2(\mathbb{R}) со скалярным произведением (8.29): \langle p,q\rangle= a_2b_2+a_1b_1+a_0b_0;


д) p(x)=x^2-2x+1,~ q(x)=x+2 — элементы пространства P_2(\mathbb{R}) со скалярным произведением (8.30):


\langle p,q\rangle= p(1)\cdot q(1)+p(2)\cdot q(2)+p(3)\cdot q(3).

В каждом пространстве найти длины двух данных векторов и угол между ними.


Решение. а) Находим скалярные произведения:


\langle x,x\rangle \langle=1\cdot1+0\cdot0=1;\quad x,y\rangle=1\cdot0+0\cdot1=0;\quad \langle y,y\rangle=0\cdot0+1\cdot1=1.

Следовательно, |x|=\sqrt{1}=1,~ |y|=\sqrt{1}=1,~ \varphi=\arccos\frac{0}{1\cdot1}= \arccos0= \frac{\pi}{2}.


б) Находим скалярные произведения:


\begin{aligned}\langle x,x\rangle&= 2\cdot1\cdot1+1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0=2;\\[2pt] \langle x,y \rangle&= 2\cdot1\cdot0+1\cdot1+0\cdot0+0\cdot1=1;\\[2pt] \langle y,y\rangle&= 2\cdot0\cdot0+ 0\cdot1+1\cdot0+1\cdot1=1. \end{aligned}

Следовательно, |x|=\sqrt{2},~ |y|=\sqrt{1}=1,~\varphi= \arccos\frac{1}{\sqrt{2}\cdot1}= \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}.


в) Находим скалярные произведения:


\begin{aligned}\langle \sin{x},\sin{x} \rangle&= \int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx= \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(1-\cos2x)\,dx= \left.{\frac{1}{2}\!\left(x-\frac{1}{2}\sin2x \right)}\! \right|_{-\pi}^{\pi}=\pi\,;\\[2pt] \langle \sin{x},\cos{x} \rangle&= \int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin{x}\cos{x}\, dx= \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin2x\,dx= \left.{-\frac{1}{4}\cos2x} \right|_{-\pi}^{\pi}=0\,;\\[2pt] \langle \cos{x},\cos{x} \rangle&= \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx= \frac{1}{2} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (1+\cos2x)\,dx= \left.{\frac{1}{2}\!\left(x+ \frac{1}{2}\sin2x\right)}\! \right|_{-\pi}^{\pi}= \pi\,.\end{aligned}

Следовательно, |\sin{x}|=\sqrt{\pi},~ |\cos{x}|=\sqrt{\pi},~ \varphi=\arccos\frac{0}{\sqrt{\pi}\cdot \sqrt{\pi}}= \frac{\pi}{2}.


г) Находим скалярные произведения:


\langle p,p\rangle= 1\!\cdot\!1+(-2)\!\cdot\!(-2)+1\!\cdot\!1=6;~~ \langle p,q\rangle= 1\!\cdot\!0+(-2)\!\cdot\!1+1\!\cdot\!2=0;~~ \langle q,q\rangle= 0\!\cdot\!0+1\!\cdot\!1+2\!\cdot\!2=5.

Следовательно, |p|=\sqrt{6},~ |q|=\sqrt{5},~ \varphi= \arccos\frac{0}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{5}}= \frac{\pi}{2}.


д) Находим скалярные произведения:


\langle p,p\rangle= 0\!\cdot\!0+1\!\cdot\!1+4\!\cdot\!4=17;~~ \langle p,q\rangle= 0\!\cdot\!3+1\!\cdot\!4+4\!\cdot\!5=24;~~ \langle q,q\rangle= 3\!\cdot\!3+4\!\cdot\!4+5\!\cdot\!5=50.

Следовательно, |p|=\sqrt{17},~ |q|=\sqrt{50}=5\sqrt{2},~ \varphi= \arccos\frac{24}{\sqrt{17}\cdot 5\sqrt{2}}= \arccos\frac{24}{5\sqrt{34}}.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved