Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Евклидовы пространства
ОглавлениеЛинейная алгебра

Евклидовы пространства


Определение евклидова пространства


Вещественное линейное пространство [math]\mathbb{E}[/math] называется евклидовым, если каждой паре элементов [math]\mathbf{u},\,\mathbf{v}[/math] этого пространства поставлено в соответствие действительное число [math]\langle\mathbf{u},\mathbf{v} \rangle[/math], называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:


[math]\begin{aligned} &\bold{1.}\quad \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle= \langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{E}\,;\\[5pt] &\bold{2.}\quad \langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle= \langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle+ \langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in \mathbb{E}\,;\\[5pt] &\bold{3.}\quad \langle \lambda\cdot \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle= \lambda\cdot \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle\quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{E},~~ \forall \lambda\in \mathbb{R}\,;\\[5pt] &\bold{4.}\quad \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle>0\quad \forall \mathbf{v}\ne \mathbf{o}~\land~ \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0~~ \Rightarrow~~ \mathbf{v}=\mathbf{o}\,.\end{aligned}[/math]


В скалярном произведении [math]\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle[/math] вектор [math]\mathbf{u}[/math] — первый, а вектор [math]\mathbf{v}[/math] — второй сомножители. Скалярное произведение [math]\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle[/math] вектора [math]\mathbf{v}[/math] на себя называется скалярным квадратом. Условия 1–4 называются аксиомами скалярного произведения. Аксиома 1 определяет симметричность скалярного произведения, аксиомы 2 и 3 — аддитивность и однородность по первому сомножителю, аксиома 4 — неотрицательность скалярного квадрата [math]\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle[/math].


Линейные операции над векторами евклидова пространства удовлетворяют аксиомам 1–8 линейного пространства, а операция скалярного умножения векторов удовлетворяет аксиомам 1–4 скалярного произведения. Можно сказать, что евклидово пространство — это вещественное линейное пространство со скалярным произведением. Поскольку евклидово пространство является линейным пространством, на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства, в частности, понятия размерности и базиса.




Простейшие следствия из аксиом скалярного произведения


1. Аксиомы 2 и 3 скалярного произведения можно заменить одним условием линейности скалярного произведения по первому сомножителю:


[math]\langle \alpha\cdot \mathbf{u}+\beta\cdot \mathbf{v},\,\mathbf{w}\rangle= \alpha\cdot \langle \mathbf{u},\mathbf{w}\rangle + \beta \langle \mathbf{v},\mathbf{w}\rangle \quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in \mathbb{E},~ \forall \alpha,\beta\in \mathbb{R}.[/math]

2. Условие линейности скалярного произведения по первому сомножителю в силу симметричности (аксиома 1) справедливо и для второго сомножителя, т.е. скалярное произведение линейно по любому сомножителю.


3. Линейность скалярного произведения по любому сомножителю распространяется на линейные комбинации векторов:


[math]\Biggl\langle\sum_{i=1}^{m}\alpha_i \mathbf{u}_i,\,\sum_{j=1}^{n}\beta_j \mathbf{v}_j\Biggr\rangle= \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} \alpha_i\beta_j \langle \mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j\rangle.[/math]

для любых векторов [math]\mathbf{u}_i,\,\mathbf{v}_j[/math] и действительных чисел [math]\alpha_i,\,\beta_j,~ i=1,\ldots,m[/math].


4. Если хотя бы один сомножитель — нулевой вектор, то скалярное про изведение равно нулю:


[math]\langle \mathbf{v},\mathbf{o}\rangle= \langle \mathbf{o},\mathbf{v}\rangle=0\quad \forall \mathbf{v}\in \mathbb{E}.[/math]

Действительно, представим нулевой вектор в виде [math]\mathbf{o}=0\cdot\mathbf{u}[/math], где [math]\mathbf{u}[/math] — произвольный вектор из [math]\mathbb{E}[/math]. Тогда из аксиомы 3 получаем:


[math]\langle \mathbf{o},\mathbf{v}\rangle= \langle 0\cdot\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle= 0\cdot \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=0.[/math]



Неравенство Коши-Буняковского


Для любых векторов [math]\mathbf{u}[/math] и [math]\mathbf{v}[/math] евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math] выполняется неравенство Коши-Буняковского:


[math]\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^2\leqslant \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle\cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle.[/math]
(8.25)

В самом деле, для любого действительного числа [math]\lambda[/math] и любых векторов [math]\mathbf{u}[/math] и [math]\mathbf{v}[/math] справедливо неравенство:


[math]0\leqslant \langle \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v},\,\mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}\rangle= \lambda^2\cdot\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle -2 \lambda\cdot \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle+ \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle.[/math]

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена (переменной [math]\lambda[/math]) не больше нуля, т.е. [math]4 \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle^2-4 \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle \cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle \leqslant0[/math]. Отсюда следует (8.25). Заметим, что равенство нулю дискриминанта возможно только в случае существования такого корня [math]\lambda[/math], для которого [math]\langle \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}, \mathbf{u}-\lambda \mathbf{v}\rangle=0[/math]. Это условие равносильно коллинеарности векторов [math]\mathbf{u}[/math] и [math]\mathbf{v}\colon[/math] [math]\mathbf{u}=\lambda\cdot \mathbf{v}[/math]. Напомним, что ненулевые векторы [math]\mathbf{u}[/math] и [math]\mathbf{v}[/math] называются коллинеарными, если существует такое число [math]\lambda[/math], что [math]\mathbf{u}=\lambda\cdot \mathbf{v}[/math]. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Неравенство Коши-Буняковского выполняется как равенство только для коллинеарных векторов и как строгое неравенство для неколлинеарных.




Примеры евклидовых пространств


Определяя для элементов линейного пространства операцию скалярного произведения, получаем евклидово пространство. Если скалярное произведение можно ввести разными способами в одном и том же линейном пространстве, то и получаемые евклидовы пространства будут разными. Приведем примеры евклидовых пространств, соответствующих рассмотренным ранее примерам линейных пространств.


1. В нулевом линейном пространстве [math]\{\mathbf{o}\}[/math] скалярное произведение можно определить единственным способом, положив [math]\langle \mathbf{o},\mathbf{o}\rangle=0[/math]. Аксиомы скалярного произведения при этом выполняются.


2. В пространствах [math]V_1,\,V_2,\,V_3[/math] векторы (свободные или радиус- векторы) рассматриваются как направленные отрезки. В курсе элементарной геометрии вводятся понятия длины вектора и величины угла между векторами, а затем определяется скалярное произведение: [math]\langle \vec{u},\vec{v}\rangle= |\vec{u}|\cdot|\vec{v}\cdot \cos\varphi[/math]. Аксиомы 1—4 для этого скалярного произведения выполняются. Поэтому пространства [math]V_1,\,V_2,\,V_3[/math] являются евклидовыми. Неравенство Коши-Буняковского в этом пространстве означает, что [math]|\cos\varphi|= \frac{|\langle\vec{u},\vec{v}\rangle|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\leqslant1[/math]. Геометрический смысл: длина проекции не превосходит длины наклонной (катет короче гипотенузы).


3. В пространстве [math]\mathbb{R}^n[/math] скалярное произведение столбцов [math]x= \begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}^T[/math] и [math]y=\begin{pmatrix} y_1&\cdots&y_n\end{pmatrix}^T[/math] можно задать формулой:


[math]\langle x,y\rangle= x^T\cdot A\cdot y= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_iy_j,[/math]
(8.26)

где [math]A[/math] — квадратная симметрическая положительно определенная матрица n-го порядка. Проверим выполнение аксиом 1-4. Аксиома 1 (симметричность) выполняется в силу симметричности матрицы [math]A:[/math] [math]\langle x,y\rangle= x^TAy= y^TA^Tx= y^TAx= \langle y,x\rangle[/math], поскольку число при транспонировании не изменяется, т.е. [math]x^TAy=y^TA^Tx[/math]. Свойство линейности по первому сомножителю (см. п.1 простейших следствий из аксиом) для (8.26) выполняется:


[math]\langle \alpha x+\beta y,\,z\rangle= (\alpha x+\beta y)^TAz= \alpha x^TAz+\beta y^TAz= \alpha \langle x,z\rangle+ \beta\langle y,z\rangle.[/math]

Значит, выполняются аксиомы 2 и 3. Аксиома 4 также выполняется, так как квадратичная форма [math]\langle x,x\rangle= x^TAx[/math] положительно определенная. Таким образом, пространство [math]\mathbb{R}^n[/math] со скалярным произведением (8.26) является евклидовым пространством. В частности, если в качестве матрицы [math]A[/math] взять единичную матрицу, формула (8.26) примет вид:


[math]\langle x,y\rangle= x^Ty= x_1y_1+x_2y_2+ \ldots+x_ny_n.[/math]
(8.27)

Это скалярное произведение считается стандартным в пространстве [math]\mathbb{R}^n[/math]. Неравенство (8.25) Коши-Буняковского в «-мерном арифметическом пространстве [math]\mathbb{R}^n[/math] со скалярным произведением (8.27) трансформируется в неравенство Коши:


[math](x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n)^2\leqslant (x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2)\cdot (y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2).[/math]

Приведем примеры формул, которые не задают скалярного произведения в [math]\mathbb{R}^2:[/math]


1) [math]\langle x,y\rangle= |x_1|\cdot|y_1|+|x_2|\cdot|y_2|[/math] — аксиомы 1, 4 выполняются, а аксиомы 2, 3 — нет;


2) [math]\langle x,y\rangle=x_2\cdot y_2[/math] — аксиомы 1, 2, 3 выполняются, а аксиома 4 — нет.


4. Пространство [math]\{Ax=o\}[/math] решений однородной системы [math]Ax=o[/math] линейных уравнений со скалярным произведением (8.27) является евклидовым пространством.


5. В пространстве [math]C[a,b][/math] действительных функций, определенных и непрерывных на данном промежутке [math][a,b][/math], скалярное произведение можно задать формулой:


[math]\langle f,g\rangle= \int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\,.[/math]
(8.28)

В самом деле, аксиомы 1, 2, 3 для (8.28) выполняются в силу свойств определенного интеграла. Проверим выполнение аксиомы 4. Для ненулевой функции [math]f(x)\colon[/math] [math]\textstyle{ \langle f,f\rangle= \int\limits_{a}^{b}}f^2(x)\,dx>0[/math], так как, если в какой-нибудь точке [math]x_0\in(a,b)[/math] функция [math]f(x_0)\ne0[/math], то в силу непрерывности она отлична от нуля в некоторой окрестности точки [math]x_0[/math], целиком лежащей в интервале [math](a,b)[/math]. Поэтому интеграл от [math]f^2(x)[/math] в этой окрестности больше нуля.


Таким образом, пространство [math]C[a,b][/math] со скалярным произведением (8.28) является евклидовым. Скалярное произведение (8.28) считается стандартным в пространстве [math]C[a,b][/math]. Для разрывных функций формула (8.28) не определяет скалярного произведения, так как нарушается аксиома 4. Неравенство (8.25) Коши-Буняковского в пространстве [math]C[a,b][/math] со скалярным произведением (8.28) трансформируется в неравенство Шварца:


[math]\Biggl(\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\Biggr)^2\leqslant \int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx\cdot \int\limits_{a}^{b}g^2(x)\,dx\,.[/math]

6. В пространстве [math]P(\mathbb{R})[/math] многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение можно задать формулой (8.28), так как многочлены являются непрерывными функциями.


В пространстве [math]P_n(\mathbb{R})[/math] многочленов степени не выше, чем [math]n[/math], зададим скалярное произведение многочленов [math]p(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0[/math] и [math]q(x)=b_nx^n+\ldots+b_1x+b_0[/math] формулой:


[math]\langle p,q\rangle= a_n\cdot b_n+\ldots+a_1\cdot b_1+a_0\cdot b_0.[/math]
(8.29)

Выражение в правой части (8.29) симметрично для коэффициентов двух многочленов, поэтому аксиома 1 выполняется. Аксиомы 2, 3 следуют из линейности выражения по коэффициентам каждого многочлена. Проверим аксиому 4. Запишем скалярный квадрат [math]\langle p,p\rangle= a_n^2+\ldots+ a_1^2+ a_0^2\geqslant0[/math]. Заметим, что [math]\langle p,p\rangle=0[/math] только при [math]a_n=\ldots=a_1=a_0=0[/math], т.е. в случае нулевого много члена [math]p(x)\equiv0[/math]. Следовательно, формула (8.29) задает скалярное произведение в пространстве [math]P_n(\mathbb{R})[/math].


В пространстве [math]P_3(\mathbb{R})[/math] определим произведение формулой:


[math]\langle p,q\rangle= p(1)\cdot q(1)+p(2)\cdot q(2)+p(3)\cdot q(3).[/math]
(8.30)

В силу симметричности и линейности правой части (8.30) по значениям многочленов, заключаем, что аксиомы 1-3 выполняются. Проверим выполнение аксиомы 4. Приравняв скалярный квадрат нулю, получаем

[math]\bigl\langle p,p\bigr\rangle= [p(1)]^2+[p(2)]^2+[p(3)]^2=0.[/math][math][/math]

Это возможно только при [math]p(1)=p(2)=p(3)=0[/math]. Из этих трех равенств не следует, однако, что многочлен [math]p(x)[/math] нулевой. Например, ненулевой многочлен [math]p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)[/math] удовлетворяет трем равенствам. Следовательно, в пространстве [math]P_3(\mathbb{R})[/math] формула (8.30) не задает скалярного произведения. Напротив, в пространстве [math]P_2(\mathbb{R})[/math] формула (8.30) определяет скалярное произведение. Так как из равенств [math]p(1)=p(2)=p(3)=0[/math] следует, что многочлен степени не выше второй тождественно равен нулю.




Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве


Длиной (нормой) вектора [math]\mathbf{v}[/math] в евклидовом пространстве [math]\mathbb{E}[/math] называется число [math]|\mathbf{v}|=\sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}[/math].


Имея в виду обозначение, длину [math]|\mathbf{v}|[/math] называют также модулем вектора. Рассматривается арифметическое значение квадратного корня, которое определено для любого вектора из-за неотрицательности подкоренного выражения (аксиома 4). Поэтому каждый вектор имеет положительную длину, за исключением нулевого, длина которого равна нулю: [math]|\mathbf{o}|=0[/math].


Углом между ненулевыми векторами [math]\mathbf{u}[/math] и [math]\mathbf{v}[/math] евклидова пространства [math]\mathbb{E}[/math] называется число


[math]\varphi=\arccos\frac{\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle}{|\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|},[/math] то есть [math]\cos\varphi= \frac{\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle}{|\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|}[/math] и [math]0\leqslant\varphi \leqslant\pi\,.[/math]

Представив неравенство Коши-Буняковского (8.25) в виде [math]\bigl|\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle\bigr|\leqslant| \mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|[/math] можно сделать вывод, что абсолютное значение выражения [math]\frac{\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle}{|\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|}[/math] не превосходит единицы, т.е. величина угла определена для любой пары ненулевых векторов. Заметим, что угол между коллинеарными векторами равен нулю или [math]\pi[/math].


Длина вектора и угол между векторами называются основными метрическими понятиями .


Из неравенства Коши-Буняковского (8.25) следует неравенство треугольника:


[math]\bigl||\mathbf{u}|-|\mathbf{v}|\bigr|\leqslant |\mathbf{u}+\mathbf{v}|\leqslant |\mathbf{u}|+ |\mathbf{v}|.[/math]

Докажем последнее неравенство. Применяя оценку [math]\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle \leqslant |\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|[/math], получаем


[math]|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2= \langle \mathbf{u}+ \mathbf{v},\, \mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle= \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle+ 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle+ \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle\leqslant |\mathbf{u}|^2+2\cdot |\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|+|\mathbf{v}|^2= (|\mathbf{u}|+ |\mathbf{v}|)^2.[/math]

то есть [math]|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2\leqslant (|\mathbf{u}|+ |\mathbf{v}|)^2 ~ \Leftrightarrow~ |\mathbf{u}+\mathbf{v}|\leqslant |\mathbf{u}|+|\mathbf{v}|[/math].




Пример 8.17. Даны векторы евклидовых пространств:


а) [math]x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~ y=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}[/math] — элементы пространства [math]\mathbb{R}^2[/math] со скалярным произведением (8.27): [math]\langle x,y\rangle=x_1y_1+x_2y_2[/math];


б) [math]x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\!,~ y=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}[/math] — элементы пространства [math]\mathbb{R}^2[/math] со скалярным произведением (8.26):


[math]\langle x,y\rangle= x^T\! \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!y= 2x_1y_1+ x_1y_2+ x_2y_1+ x_2y_2.[/math]

в) [math]f(x)=\sin{x},~ g(x)=\cos{x}[/math] — элементы пространства [math]C[-\pi,\pi][/math] со скалярным произведением (8.28): [math]\langle f,g\rangle= \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx[/math].


г) [math]p(x)=x^2-2x+1,~ q(x)=x+2[/math] — элементы пространства [math]P_2(\mathbb{R})[/math] со скалярным произведением (8.29): [math]\langle p,q\rangle= a_2b_2+a_1b_1+a_0b_0[/math];


д) [math]p(x)=x^2-2x+1,~ q(x)=x+2[/math] — элементы пространства [math]P_2(\mathbb{R})[/math] со скалярным произведением (8.30):


[math]\langle p,q\rangle= p(1)\cdot q(1)+p(2)\cdot q(2)+p(3)\cdot q(3).[/math]

В каждом пространстве найти длины двух данных векторов и угол между ними.

Решение. а) Находим скалярные произведения:


[math]\langle x,x\rangle \langle=1\cdot1+0\cdot0=1;\quad x,y\rangle=1\cdot0+0\cdot1=0;\quad \langle y,y\rangle=0\cdot0+1\cdot1=1.[/math]

Следовательно, [math]|x|=\sqrt{1}=1,~ |y|=\sqrt{1}=1,~ \varphi=\arccos\frac{0}{1\cdot1}= \arccos0= \frac{\pi}{2}[/math].


б) Находим скалярные произведения:


[math]\begin{aligned}\langle x,x\rangle&= 2\cdot1\cdot1+1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0=2;\\[2pt] \langle x,y \rangle&= 2\cdot1\cdot0+1\cdot1+0\cdot0+0\cdot1=1;\\[2pt] \langle y,y\rangle&= 2\cdot0\cdot0+ 0\cdot1+1\cdot0+1\cdot1=1. \end{aligned}[/math]

Следовательно, [math]|x|=\sqrt{2},~ |y|=\sqrt{1}=1,~\varphi= \arccos\frac{1}{\sqrt{2}\cdot1}= \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}[/math].


в) Находим скалярные произведения:


[math]\begin{aligned}\langle \sin{x},\sin{x} \rangle&= \int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx= \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(1-\cos2x)\,dx= \left.{\frac{1}{2}\!\left(x-\frac{1}{2}\sin2x \right)}\! \right|_{-\pi}^{\pi}=\pi\,;\\[2pt] \langle \sin{x},\cos{x} \rangle&= \int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin{x}\cos{x}\, dx= \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin2x\,dx= \left.{-\frac{1}{4}\cos2x} \right|_{-\pi}^{\pi}=0\,;\\[2pt] \langle \cos{x},\cos{x} \rangle&= \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx= \frac{1}{2} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (1+\cos2x)\,dx= \left.{\frac{1}{2}\!\left(x+ \frac{1}{2}\sin2x\right)}\! \right|_{-\pi}^{\pi}= \pi\,.\end{aligned}[/math]

Следовательно, [math]|\sin{x}|=\sqrt{\pi},~ |\cos{x}|=\sqrt{\pi},~ \varphi=\arccos\frac{0}{\sqrt{\pi}\cdot \sqrt{\pi}}= \frac{\pi}{2}[/math].


г) Находим скалярные произведения:


[math]\langle p,p\rangle= 1\!\cdot\!1+(-2)\!\cdot\!(-2)+1\!\cdot\!1=6;~~ \langle p,q\rangle= 1\!\cdot\!0+(-2)\!\cdot\!1+1\!\cdot\!2=0;~~ \langle q,q\rangle= 0\!\cdot\!0+1\!\cdot\!1+2\!\cdot\!2=5.[/math]

Следовательно, [math]|p|=\sqrt{6},~ |q|=\sqrt{5},~ \varphi= \arccos\frac{0}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{5}}= \frac{\pi}{2}[/math].


д) Находим скалярные произведения:


[math]\langle p,p\rangle= 0\!\cdot\!0+1\!\cdot\!1+4\!\cdot\!4=17;~~ \langle p,q\rangle= 0\!\cdot\!3+1\!\cdot\!4+4\!\cdot\!5=24;~~ \langle q,q\rangle= 3\!\cdot\!3+4\!\cdot\!4+5\!\cdot\!5=50.[/math]

Следовательно, [math]|p|=\sqrt{17},~ |q|=\sqrt{50}=5\sqrt{2},~ \varphi= \arccos\frac{24}{\sqrt{17}\cdot 5\sqrt{2}}= \arccos\frac{24}{5\sqrt{34}}[/math].


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved