Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Эллипсоиды

Эллипсоиды


Определение эллипсоида


Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат [math]Oxyz[/math] каноническим уравнением


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,[/math]
(4.46)

где [math]a,\,b,\,c[/math] — положительные параметры, удовлетворяющие неравенствам [math]a\geqslant b\geqslant c[/math].

Если точка [math]M(x,y,z)[/math] принадлежит эллипсоиду (4.46), то координаты точек [math](\pm x,\pm y,\pm z)[/math] при любом выборе знаков также удовлетворяют уравнению (4.46). Поэтому эллипсоид (4.46) симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Начало координат называют центром эллипсоида (4.46). Шесть точек [math](\pm a,0,0),[/math] [math](0,\pm b,0),[/math] [math](0,0,\pm c)[/math] пересечения эллипсоида с координатными осями называются его вершинами, а три отрезка координатных осей, соединяющих вершины, — осями эллипсоида. Оси эллипсоида, принадлежащие координатным осям [math]Ox,\,Oy,\,Oz[/math], имеют длины [math]2a,\,2b,\,2c[/math] соответственно. Если [math]a>b>c[/math], то число [math]a[/math] называется большой полуосью, число [math]b[/math] — средней полуосью, число [math]c[/math] — малой полуосью эллипсоида. Если полуоси не удовлетворяют условиям [math]a\geqslant b\geqslant c[/math], то уравнение (4.46) не является каноническим. Однако при помощи переименования неизвестных можно всегда добиться выполнения неравенств [math]a\geqslant b\geqslant c[/math].




Плоские сечения эллипсоида


Подставляя [math]z=0[/math] в уравнение (4.46), получаем уравнение [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] линии пересечения эллипсоида с координатной плоскостью [math]Oxy[/math]. Это уравнение в плоскости [math]Oxy[/math] определяет эллипс Линии пересечения эллипсоида с другими координатными плоскостями также являются эллипсами. Они называются главными сечениями (главными эллипсами) эллипсоида.


Рассмотрим теперь сечение эллипсоида плоскостью, параллельной какой-нибудь координатной плоскости, например [math]Oxy[/math]. Подставляя [math]z=h[/math], где [math]h[/math] — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.46), получаем


[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2}\,.[/math]
(4.47)

При [math]|h|>c[/math] уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость [math]z=h[/math] не пересекает эллипсоид. При [math]h=\pm c[/math] уравнение (4.47) имеет нулевое решение [math]x=y=0[/math]. Следовательно, плоскости [math]z=\pm c[/math] касаются эллипсоида в его вершинах [math](0,0,\pm c)[/math]. При [math]|h|<c[/math], разделив обе части уравнения (4.47) на [math]1-\frac{h^2}{c^2}>0[/math], получаем уравнение эллипса [math]\frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1[/math] полуосями [math]a'=a\sqrt{1-\frac{h^2}{c^2}},[/math] [math]b'=b\sqrt{1-\frac{h^2}{c^2}}[/math]. Следовательно, сечение эллипсоида плоскостью [math]z=h[/math] при [math]|h|<c[/math] представляет собой эллипс.


Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде эллипсоида (рис.4.40,а).


Эллипсоид и его плоские сечения



Эллипсоиды вращения


Эллипсоид, у которого две полуоси равны, называется эллипсоидом вращения (или сфероидом). Такой эллипсоид является поверхностью вращения. Например, если [math]a=b[/math], то линии (4.47) при [math]|h|<c[/math] являются окружностями. Следовательно, сечения эллипсоида плоскостями [math]z=h,[/math] [math]|h|<c[/math] представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Такую поверхность можно получить, вращая вокруг оси [math]Oz[/math] эллипс [math]\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/math] заданный в плоскости [math]Oyz[/math] (рис.4.41,а).


Если [math]b=c[/math], то все сечения эллипсоида (4.46) плоскостями [math]x=h[/math] при [math]|h|<a[/math] будут окружностями с центрами на оси абсцисс. Такой эллипсоид можно получить, вращая вокруг оси [math]Ox[/math] эллипс [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] (рис.4.41,б).


Если все полуоси эллипсоида равны [math](a=b=c=R)[/math], то он представляет собой сферу [math]x^2+y^2+z^2=R^2[/math] радиуса [math]R[/math], которую можно получить, например, вращая окружность такого же радиуса вокруг любого диаметра.


Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны [math](a>b>c)[/math], называется трехосным (или общим).


Эллипсоид вращения



Замечания 4.8.


1. Плоскости [math]x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c[/math] определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед, внутри которого находится эллипсоид (см. рис.4.40,б). Грани параллелепипеда касаются эллипсоида в его вершинах.


2. Эллипсоид можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате трех сжатий (растяжений) сферы единичного радиуса к трем взаимно перпендикулярным плоскостям.


3. Начало канонической системы координат является центром симметрии эллипсоида, координатные оси — осями симметрии эллипсоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии эллипсоида.


В самом деле, если точка [math]M(x,y,z)[/math] принадлежит эллипсоиду, то точки с координатами [math](\pm x,\pm y, \pm z)[/math] при любом выборе знаков также принадлежат эллипсоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.46).


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved