Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Эллипсоиды

Эллипсоиды


Определение эллипсоида


Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением


\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,
(4.46)

где a,\,b,\,c — положительные параметры, удовлетворяющие неравенствам a\geqslant b\geqslant c.


Если точка M(x,y,z) принадлежит эллипсоиду (4.46), то координаты точек (\pm x,\pm y,\pm z) при любом выборе знаков также удовлетворяют уравнению (4.46). Поэтому эллипсоид (4.46) симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Начало координат называют центром эллипсоида (4.46). Шесть точек (\pm a,0,0), (0,\pm b,0), (0,0,\pm c) пересечения эллипсоида с координатными осями называются его вершинами, а три отрезка координатных осей, соединяющих вершины, — осями эллипсоида. Оси эллипсоида, принадлежащие координатным осям Ox,\,Oy,\,Oz, имеют длины 2a,\,2b,\,2c соответственно. Если a>b>c, то число a называется большой полуосью, число b — средней полуосью, число c — малой полуосью эллипсоида. Если полуоси не удовлетворяют условиям a\geqslant b\geqslant c, то уравнение (4.46) не является каноническим. Однако при помощи переименования неизвестных можно всегда добиться выполнения неравенств a\geqslant b\geqslant c.




Плоские сечения эллипсоида


Подставляя z=0 в уравнение (4.46), получаем уравнение \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 линии пересечения эллипсоида с координатной плоскостью Oxy. Это уравнение в плоскости Oxy определяет эллипс Линии пересечения эллипсоида с другими координатными плоскостями также являются эллипсами. Они называются главными сечениями (главными эллипсами) эллипсоида.


Рассмотрим теперь сечение эллипсоида плоскостью, параллельной какой-нибудь координатной плоскости, например Oxy. Подставляя z=h, где h — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.46), получаем


\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{h^2}{c^2}\,.
(4.47)

При |h|>c уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость z=h не пересекает эллипсоид. При h=\pm c уравнение (4.47) имеет нулевое решение x=y=0. Следовательно, плоскости z=\pm c касаются эллипсоида в его вершинах (0,0,\pm c). При |h|<c, разделив обе части уравнения (4.47) на 1-\frac{h^2}{c^2}>0, получаем уравнение эллипса \frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1 полуосями a'=a\sqrt{1-\frac{h^2}{c^2}}, b'=b\sqrt{1-\frac{h^2}{c^2}}. Следовательно, сечение эллипсоида плоскостью z=h при |h|<c представляет собой эллипс.


Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде эллипсоида (рис.4.40,а).


Эллипсоид и его плоские сечения



Эллипсоиды вращения


Эллипсоид, у которого две полуоси равны, называется эллипсоидом вращения (или сфероидом). Такой эллипсоид является поверхностью вращения. Например, если a=b, то линии (4.47) при |h|<c являются окружностями. Следовательно, сечения эллипсоида плоскостями z=h, |h|<c представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Такую поверхность можно получить, вращая вокруг оси Oz эллипс \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 заданный в плоскости Oyz (рис.4.41,а).


Если b=c, то все сечения эллипсоида (4.46) плоскостями x=h при |h|<a будут окружностями с центрами на оси абсцисс. Такой эллипсоид можно получить, вращая вокруг оси Ox эллипс \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (рис.4.41,б).


Если все полуоси эллипсоида равны (a=b=c=R), то он представляет собой сферу x^2+y^2+z^2=R^2 радиуса R, которую можно получить, например, вращая окружность такого же радиуса вокруг любого диаметра.


Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны (a>b>c), называется трехосным (или общим).


Эллипсоид вращения



Замечания 4.8.


1. Плоскости x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед, внутри которого находится эллипсоид (см. рис.4.40,б). Грани параллелепипеда касаются эллипсоида в его вершинах.


2. Эллипсоид можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате трех сжатий (растяжений) сферы единичного радиуса к трем взаимно перпендикулярным плоскостям.


3. Начало канонической системы координат является центром симметрии эллипсоида, координатные оси — осями симметрии эллипсоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии эллипсоида.


В самом деле, если точка M(x,y,z) принадлежит эллипсоиду, то точки с координатами (\pm x,\pm y, \pm z) при любом выборе знаков также принадлежат эллипсоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.46).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Кнопка "Поделиться"

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]


Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved